Темата „Множества” се изучава в 5 клас средно училище. Целта му е да подобри уменията за писмено и устно математическо пресмятане. В този урок се въвеждат нови понятия - „множество числа“ и „делители“, практикува се техниката за намиране на делители и кратни на естествено число и способността да се намира LCM по различни начини.

Тази тема е много важна. Знанието за него може да се приложи при решаване на примери с дроби. За да направите това, трябва да намерите общ знаменателчрез изчисляване на най-малкото общо кратно (LCM).

Кратно на A е цяло число, което се дели на A без остатък.

Всяко естествено число има безкраен брой кратни на него. Самият той се счита за най-малкия. Кратното не може да бъде по-малко от самото число.

Трябва да докажете, че числото 125 е кратно на 5. За да направите това, трябва да разделите първото число на второто. Ако 125 се дели на 5 без остатък, тогава отговорът е да.

Този метод е приложим за малки числа.

Има специални случаи при изчисляване на LOC.

1. Ако трябва да намерите общо кратно на 2 числа (например 80 и 20), където едно от тях (80) се дели на другото (20), то това число (80) е най-малкото кратно на тези две числа.

LCM(80, 20) = 80.

2. Ако две нямат общ делител, тогава можем да кажем, че техният LCM е произведението на тези две числа.

LCM(6, 7) = 42.

Нека разгледаме последния пример. 6 и 7 спрямо 42 са делители. Те делят кратно на число без остатък.

В този пример 6 и 7 са двойки фактори. Тяхното произведение е равно на най-кратното число (42).

Едно число се нарича просто, ако се дели само на себе си или на 1 (3:1=3; 3:3=1). Останалите се наричат ​​композитни.

Друг пример включва определяне дали 9 е делител на 42.

42:9=4 (остатък 6)

Отговор: 9 не е делител на 42, защото отговорът има остатък.

Делителят се различава от кратното по това, че делителят е числото, на което се делят естествените числа, а самото кратно се дели на това число.

Най-големият общ делителчисла аИ b, умножено по тяхното най-малко кратно, ще даде произведението на самите числа аИ b.

А именно: gcd (a, b) x gcd (a, b) = a x b.

Общи кратни за по-сложни числа се намират по следния начин.

Например, намерете LCM за 168, 180, 3024.

Разлагаме тези числа на прости множители и ги записваме като произведение на степени:

168=2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

LCM(168, 180, 3024) = 15120.

Признаци на делимост естествени числа.

Числата, които се делят на 2 без остатък, се наричатдаже .

Числата, които не се делят равномерно на 2, се наричатстранно .

Тест за делимост на 2

Ако едно естествено число завършва с четна цифра, то това число се дели на 2 без остатък, а ако едно число завършва с нечетна цифра, то това число не се дели на 2 по равно.

Например числата 60 , 30 8 , 8 4 се делят на 2 без остатък, а числата са 51 , 8 5 , 16 7 не се делят на 2 без остатък.

Тест за делимост на 3

Ако сборът от цифрите на едно число се дели на 3, то числото се дели на 3; Ако сборът от цифрите на едно число не се дели на 3, то числото не се дели на 3.

Например, нека разберем дали числото 2772825 се дели на 3. За целта нека изчислим сумата от цифрите на това число: 2+7+7+2+8+2+5 = 33 - дели се на 3. Това означава, че числото 2772825 се дели на 3.

Тест за делимост на 5

Ако записът на едно естествено число завършва с цифрата 0 или 5, то това число се дели на 5 без остатък. Ако записът на дадено число завършва с друга цифра, то числото не се дели на 5 без остатък.

Например числата 15 , 3 0 , 176 5 , 47530 0 се делят на 5 без остатък, а числата са 17 , 37 8 , 9 1 не споделяй.

Тест за делимост на 9

Ако сборът от цифрите на едно число се дели на 9, то числото се дели на 9; Ако сборът от цифрите на едно число не се дели на 9, то числото не се дели на 9.

Например, нека разберем дали числото 5402070 се дели на 9. За целта нека изчислим сумата от цифрите на това число: 5+4+0+2+0+7+0 = 16 - не се дели на 9 . Това означава, че числото 5402070 не се дели на 9.

Тест за делимост на 10

Ако едно естествено число завършва с цифрата 0, то това число се дели на 10 без остатък. Ако едно естествено число завършва с друга цифра, то не се дели равномерно на 10.

Например числата 40 , 17 0 , 1409 0 се делят на 10 без остатък, а числата 17 , 9 3 , 1430 7 - не споделяйте.

Правилото за намиране на най-голям общ делител (НОД).

За да намерите най-големия общ делител на няколко естествени числа, трябва:

2) от факторите, включени в разширяването на едно от тези числа, зачеркнете онези, които не са включени в разширяването на други числа;

3) намерете произведението на останалите фактори.

Пример. Нека намерим НОД (48;36). Нека използваме правилото.

1. Нека разложим числата 48 и 36 на прости множители.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

36 = 2 · 2 · 3 · 3

2. От факторите, включени в разширението на числото 48, изтриваме тези, които не са включени в разширението на числото 36.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

Останалите фактори са 2, 2 и 3.

3. Умножете останалите множители и получете 12. Това число е най-големият общ делител на числата 48 и 36.

НОД (48;36) = 2· 2 · 3 = 12.

Правилото за намиране на най-малкото общо кратно (LCM).

За да намерите най-малкото общо кратно на няколко естествени числа, трябва:

1) разложете ги на прости множители;

2) запишете факторите, включени в разширяването на едно от числата;

3) добавете към тях липсващите множители от разширенията на останалите числа;

4) намерете произведението на получените фактори.

Пример.Нека намерим LOC (75;60). Нека използваме правилото.

1. Нека разложим числата 75 и 60 на прости множители.

75 = 3 · 5 · 5

60 = 2 · 2 · 3 · 3

2. Нека запишем факторите, включени в разгръщането на числото 75: 3, 5, 5.

LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · …

3. Добавете към тях липсващите множители от разгъването на числото 60, т.е. 2, 2.

LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2

4. Намерете произведението на получените множители

LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 300.

Нека започнем да изучаваме най-малкото общо кратно на две или повече числа. В този раздел ще дефинираме термина, ще разгледаме теоремата, която установява връзката между най-малкото общо кратно и най-големия общ делител и ще дадем примери за решаване на задачи.

Общи кратни – определение, примери

В тази тема ще се интересуваме само от общи кратни на цели числа, различни от нула.

Определение 1

Общо кратно на цели числае цяло число, което е кратно на всички дадени числа. Всъщност това е всяко цяло число, което може да бъде разделено на което и да е от дадените числа.

Определението за общи кратни се отнася до две, три или повече цели числа.

Пример 1

Според дефиницията, дадена по-горе, общите кратни на числото 12 са 3 и 2. Освен това числото 12 ще бъде общо кратно на числата 2, 3 и 4. Числата 12 и -12 са обикновени кратни на числата ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.

В същото време общото кратно на числата 2 и 3 ще бъдат числата 12, 6, − 24, 72, 468, − 100 010 004 и цяла поредица от други.

Ако вземем числа, които се делят на първото число от двойката и не се делят на второто, тогава такива числа няма да бъдат общи кратни. Така че за числата 2 и 3 числата 16, − 27, 5009, 27001 няма да бъдат обикновени кратни.

0 е общо кратно на всеки набор от цели числа, различни от нула.

Ако си припомним свойството делимост по отношение на противоположни числа, тогава се оказва, че някакво цяло число k ще бъде общо кратно на тези числа, също като числото - k. Това означава, че общите делители могат да бъдат положителни или отрицателни.

Възможно ли е да се намери LCM за всички номера?

Общото кратно може да се намери за всяко цяло число.

Пример 2

Да предположим, че ни е дадено кцели числа a 1 , a 2 , … , a k. Числото, което получаваме при умножаване на числа a 1 · a 2 · … · a kспоред свойството на делимост, той ще бъде разделен на всеки от факторите, които са били включени в оригиналния продукт. Това означава, че произведението на числата a 1 , a 2 , … , a kе най-малкото общо кратно на тези числа.

Колко общи кратни могат да имат тези цели числа?

Група от цели числа може да има голям брой общи кратни. Всъщност броят им е безкраен.

Пример 3

Да предположим, че имаме някакво число k. Тогава произведението на числата k · z, където z е цяло число, ще бъде общо кратно на числата k и z. Като се има предвид, че броят на числата е безкраен, броят на общите кратни е безкраен.

Най-малко общо кратно (LCM) – Дефиниция, нотация и примери

Нека си припомним концепцията за най-малкото число на даден наборчисла, които разгледахме в раздела „Сравняване на цели числа“. Като вземем предвид тази концепция, формулираме дефиницията на най-малкото общо кратно, което има най-голямо практическо значение сред всички общи кратни.

Определение 2

Най-малкото общо кратно на дадени цели числае най-малкото положително общо кратно на тези числа.

Съществува най-малко общо кратно за произволен брой дадени числа. Най-често използваното съкращение за понятието в справочната литература е NOC. Кратка нотация за най-малко общо кратно на числа a 1 , a 2 , … , a kще има формата LOC (a 1, a 2, …, a k).

Пример 4

Най-малкото общо кратно на 6 и 7 е 42. Тези. LCM(6, 7) = 42. Най-малкото общо кратно на четирите числа 2, 12, 15 и 3 е 60. Кратка нотация ще изглежда като LCM (- 2, 12, 15, 3) = 60.

Най-малкото общо кратно не е очевидно за всички групи от дадени числа. Често трябва да се изчислява.

Връзка между NOC и GCD

Най-малкото общо кратно и най-големият общ делител са свързани. Връзката между понятията се установява от теоремата.

Теорема 1

Най-малкото общо кратно на две цели положителни числа a и b е равно на произведението от a и b, делено на най-големия общ делител на a и b, тоест LCM (a, b) = a · b: НОД (a, b ).

Доказателство 1

Да предположим, че имаме някакво число M, което е кратно на числата a и b. Ако числото M се дели на a, съществува и някакво цяло z , при което равенството е вярно M = a k. Според определението за делимост, ако М се дели на b, тогава a · kразделено на b.

Ако въведем нова нотация за gcd (a, b) as d, тогава можем да използваме равенствата a = a 1 dи b = b 1 · d. В този случай и двете равенства ще бъдат относително прости числа.

Вече установихме това по-горе a · kразделено на b. Сега това условие може да се запише по следния начин:
a 1 d kразделено на b 1 d, което е еквивалентно на условието а 1 кразделено на b 1според свойствата на делимост.

Според свойството на взаимно прости числа, ако а 1И b 1– взаимно прости числа, а 1не се дели на b 1въпреки факта, че а 1 кразделено на b 1, Това b 1трябва да се сподели к.

В този случай би било уместно да приемем, че има число t, за което k = b 1 t, и оттогава b 1 = b: d, Това k = b: d t.

Сега вместо това кнека заместим в равенство M = a kизразяване на формата b: d t. Това ни позволява да постигнем равенство M = a b: d t. При t = 1можем да получим най-малкото положително общо кратно на a и b , равен a b: d, при условие че числата a и b положителен.

Така доказахме, че LCM (a, b) = a · b: НОД (а, б).

Установяването на връзка между LCM и GCD ви позволява да намерите най-малкото общо кратно чрез най-големия общ делител на две или повече дадени числа.

Определение 3

Теоремата има две важни следствия:

• кратни на най-малкото общо кратно на две числа са същите като общите кратни на тези две числа;
• най-малкото общо кратно на взаимно прости положителни числа a и b е равно на тяхното произведение.

Не е трудно да се обосноват тези два факта. Всяко общо кратно на M на числата a и b се определя от равенството M = LCM (a, b) · t за някакво цяло число t. Тъй като a и b са относително прости, тогава gcd (a, b) = 1, следователно gcd (a, b) = a · b: gcd (a, b) = a · b: 1 = a · b.

Най-малко общо кратно на три или повече числа

За да се намери най-малкото общо кратно на няколко числа, е необходимо последователно да се намери НОК на две числа.

Теорема 2

Да приемем, че a 1 , a 2 , … , a kса някои положителни цели числа. За да се изчисли LCM m kтези числа трябва да изчислим последователно m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = НОК(m 2 , a 3) , … , m k = НОК(m k - 1, a k) .

Доказателство 2

Първото следствие от първата теорема, обсъдена в тази тема, ще ни помогне да докажем валидността на втората теорема. Разсъжденията се основават на следния алгоритъм:

• общи кратни на числа а 1И а 2съвпадат с кратни на техния LCM, всъщност те съвпадат с кратни на числото м 2;
• общи кратни на числа а 1, а 2И а 3 м 2И а 3 м 3;
• общи кратни на числа a 1 , a 2 , … , a kсъвпадат с общи кратни на числа m k - 1И a k, следователно съвпадат с кратни на числото m k;
• поради факта, че най-малкото положително кратно на числото m kе самото число m k, тогава най-малкото общо кратно на числата a 1 , a 2 , … , a kе m k.

Ето как доказахме теоремата.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Онлайн калкулаторът ви позволява бързо да намерите най-големия общ делител и най-малкото общо кратно за две или всеки друг брой числа.

Калкулатор за намиране на GCD и LCM

Намерете GCD и LOC

Намерени GCD и LOC: 6433

Как да използвате калкулатора

• Въведете числа в полето за въвеждане
• Ако въведете неправилни знаци, полето за въвеждане ще бъде маркирано в червено
• щракнете върху бутона „Намиране на GCD и LOC“.

Как се въвеждат числа

• Числата се въвеждат разделени с интервал, точка или запетая
• Дължината на въведените числа не е ограничена, така че намирането на GCD и LCM на дълги числа не е трудно

Какво представляват GCD и NOC?

Най-голям общ делителняколко числа е най-голямото естествено цяло число, на което всички оригинални числа се делят без остатък. Най-големият общ делител се обозначава съкратено като GCD.
Най-малко общо кратноняколко числа е най-малкото число, което се дели на всяко от оригиналните числа без остатък. Най-малкото общо кратно се обозначава съкратено като НОК.

Как да проверим дали едно число се дели на друго число без остатък?

За да разберете дали едно число се дели на друго без остатък, можете да използвате някои свойства на делимост на числата. След това, като ги комбинирате, можете да проверите делимостта на някои от тях и техните комбинации.

Някои признаци за делимост на числата

1. Тест за делимост на число на 2
За да определите дали едно число се дели на две (дали е четно), достатъчно е да погледнете последната цифра на това число: ако е равно на 0, 2, 4, 6 или 8, тогава числото е четно, което означава, че се дели на 2.
Пример:определи дали числото 34938 се дели на 2.
Решение:Гледаме последната цифра: 8 - това означава, че числото се дели на две.

2. Тест за делимост на число на 3
Едно число се дели на 3, когато сборът от неговите цифри се дели на три. По този начин, за да определите дали дадено число се дели на 3, трябва да изчислите сбора от цифрите и да проверите дали то се дели на 3. Дори ако сборът от цифрите е много голям, можете да повторите същия процес отново.
Пример:определи дали числото 34938 се дели на 3.
Решение:Преброяваме сбора на числата: 3+4+9+3+8 = 27. 27 се дели на 3, което означава, че числото се дели на три.

3. Тест за делимост на число на 5
Едно число се дели на 5, когато последната му цифра е нула или пет.
Пример:определи дали числото 34938 се дели на 5.
Решение:погледнете последната цифра: 8 означава, че числото НЕ се дели на пет.

4. Тест за делимост на числото на 9
Този знак е много подобен на знака за делимост на три: едно число се дели на 9, когато сборът от неговите цифри се дели на 9.
Пример:определи дали числото 34938 се дели на 9.
Решение:Преброяваме сбора на числата: 3+4+9+3+8 = 27. 27 се дели на 9, което означава, че числото се дели на девет.

Как да намерим GCD и LCM на две числа

Как да намерите gcd на две числа

Повечето по прост начинИзчисляването на най-големия общ делител на две числа е да се намерят всички възможни делители на тези числа и да се избере най-големият от тях.

Нека разгледаме този метод, като използваме примера за намиране на GCD(28, 36):

1. Разлагаме и двете числа: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
2. Намираме общи множители, тоест тези, които имат и двете числа: 1, 2 и 2.
3. Изчисляваме произведението на тези множители: 1 2 2 = 4 - това е най-големият общ делител на числата 28 и 36.

Как да намерим LCM на две числа

Има два най-често срещани начина за намиране на най-малкото кратно на две числа. Първият метод е, че можете да запишете първите кратни на две числа и след това да изберете сред тях число, което ще бъде общо за двете числа и в същото време най-малкото. И второто е да намерим gcd на тези числа. Нека разгледаме само него.

За да изчислите LCM, трябва да изчислите произведението на оригиналните числа и след това да го разделите на предварително намереното GCD. Нека намерим LCM за същите числа 28 и 36:

1. Намерете произведението на числата 28 и 36: 28·36 = 1008
2. НОД(28, 36), както вече е известно, е равно на 4
3. LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252.

Намиране на GCD и LCM за няколко числа

Най-големият общ делител може да се намери за няколко числа, а не само за две. За тази цел числата, които трябва да се намерят за най-големия общ делител, се разлагат на прости множители, след което се намира произведението на общите множители основни факторитези числа. Можете също да използвате следната връзка, за да намерите gcd на няколко числа: НОД(a, b, c) = НОД(НОД(a, b), c).

Подобна връзка се прилага за най-малкото общо кратно: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Пример:намерете GCD и LCM за числата 12, 32 и 36.

1. Първо, нека разложим числата на множители: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
2. Нека намерим общите множители: 1, 2 и 2.
3. Техният продукт ще даде НОД: 1·2·2 = 4
4. Сега нека намерим LCM: за да направим това, нека първо намерим LCM(12, 32): 12·32 / 4 = 96 .
5. За да намерите LCM на трите числа, трябва да намерите НОД(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , НОД = 1·2· 2 3 = 12.
6. LCM(12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288.

Нека продължим разговора за най-малкото общо кратно, което започнахме в раздела „LCM - най-малко общо кратно, определение, примери.“ В тази тема ще разгледаме начини за намиране на LCM за три или повече числа и ще разгледаме въпроса как да намерим LCM на отрицателно число.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Изчисляване на най-малкото общо кратно (LCM) чрез GCD

Вече установихме връзката между най-малкото общо кратно и най-големия общ делител. Сега нека научим как да определяме LCM чрез GCD. Първо, нека разберем как да направим това за положителни числа.

Определение 1

Можете да намерите най-малкото общо кратно чрез най-големия общ делител, като използвате формулата LCM (a, b) = a · b: НОД (a, b).

Пример 1

Трябва да намерите LCM на числата 126 и 70.

Решение

Да вземем a = 126, b = 70. Нека заместим стойностите във формулата за изчисляване на най-малкото общо кратно чрез най-големия общ делител LCM (a, b) = a · b: НОД (a, b) .

Намира НОД на числата 70 и 126. За това се нуждаем от евклидовия алгоритъм: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, следователно НОД (126 , 70) = 14 .

Нека изчислим LCM: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

отговор: LCM(126, 70) = 630.

Пример 2

Намерете числото 68 и 34.

Решение

GCD в в този случайТова не е трудно, тъй като 68 се дели на 34. Нека изчислим най-малкото общо кратно по формулата: LCM (68, 34) = 68 34: НОД (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

отговор: LCM(68, 34) = 68.

В този пример използвахме правилото за намиране на най-малкото общо кратно на положителни цели числа a и b: ако първото число се дели на второто, LCM на тези числа ще бъде равно на първото число.

Намиране на LCM чрез разлагане на числа на прости множители

Сега нека разгледаме метода за намиране на LCM, който се основава на разлагането на числа на прости множители.

Определение 2

За да намерим най-малкото общо кратно, трябва да изпълним няколко прости стъпки:

• съставяме произведението на всички прости множители на числата, за които трябва да намерим LCM;
• ние изключваме всички прости множители от техните резултатни продукти;
• произведението, получено след елиминиране на общите прости множители, ще бъде равно на LCM на дадените числа.

Този метод за намиране на най-малкото общо кратно се основава на равенството LCM (a, b) = a · b: НОД (a, b). Ако погледнете формулата, ще стане ясно: произведението на числата a и b е равно на произведението на всички фактори, които участват в разлагането на тези две числа. В този случай gcd ​​на две числа е равна на произведението на всички прости множители, които присъстват едновременно в разложенията на тези две числа.

Пример 3

Имаме две числа 75 и 210. Можем да ги разложим, както следва: 75 = 3 5 5И 210 = 2 3 5 7. Ако съставите произведението на всички множители на двете оригинални числа, получавате: 2 3 3 5 5 5 7.

Ако изключим множителите, общи за числата 3 и 5, получаваме продукт от следната форма: 2 3 5 5 7 = 1050. Този продукт ще бъде нашият LCM за числата 75 и 210.

Пример 4

Намерете LCM на числата 441 И 700 , разлагайки двете числа на прости множители.

Решение

Нека намерим всички прости множители на числата, дадени в условието:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Получаваме две вериги от числа: 441 = 3 3 7 7 и 700 = 2 2 5 5 7.

Продуктът на всички фактори, участвали в разлагането на тези числа, ще има формата: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Нека намерим общи множители. Това е числото 7. Нека го изключим от общия продукт: 2 2 3 3 5 5 7 7. Оказва се, че НОК (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

отговор: LOC(441, 700) = 44 100.

Нека дадем друга формулировка на метода за намиране на LCM чрез разлагане на числа на прости множители.

Определение 3

Преди това изключихме от общия брой фактори, общи за двете числа. Сега ще го направим по различен начин:

• Нека разделим двете числа на прости множители:
• добавете към произведението на простите множители на първото число липсващите множители на второто число;
• получаваме продукта, който ще бъде търсеният LCM от две числа.

Пример 5

Да се ​​върнем към числата 75 и 210, за които вече търсихме LCM в един от предишните примери. Нека ги разделим на прости фактори: 75 = 3 5 5И 210 = 2 3 5 7. Към произведението на множители 3, 5 и 5 числата 75 добавете липсващите множители 2 И 7 номера 210. Получаваме: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 .Това е LCM на числата 75 и 210.

Пример 6

Необходимо е да се изчисли LCM на числата 84 и 648.

Решение

Нека разделим числата от условието на прости множители: 84 = 2 2 3 7И 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Нека добавим към произведението множителите 2, 2, 3 и 7 числа 84 липсващи множители 2, 3, 3 и
3 номера 648. Получаваме продукта 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536.Това е най-малкото общо кратно на 84 и 648.

отговор: LCM(84, 648) = 4536.

Намиране на LCM на три или повече числа

Независимо с колко числа имаме работа, алгоритъмът на нашите действия винаги ще бъде един и същ: ние последователно ще намерим LCM на две числа. Има теорема за този случай.

Теорема 1

Да приемем, че имаме цели числа a 1 , a 2 , … , a k. НОК m kтези числа се намират чрез последователно изчисляване на m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k).

Сега нека да разгледаме как теоремата може да се приложи за решаване на конкретни проблеми.

Пример 7

Трябва да изчислите най-малкото общо кратно на четири числа 140, 9, 54 и 250 .

Решение

Нека въведем обозначението: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Нека започнем с изчисляването на m 2 = LCM (a 1, a 2) = LCM (140, 9). Нека приложим алгоритъма на Евклид, за да изчислим НОД на числата 140 и 9: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Получаваме: НОД (140, 9) = 1, НОД (140, 9) = 140 · 9: НОД (140, 9) = 140 · 9: 1 = 1260. Следователно m 2 = 1,260.

Сега нека изчислим, използвайки същия алгоритъм m 3 = LCM (m 2, a 3) = LCM (1 260, 54). По време на изчисленията получаваме m 3 = 3 780.

Всичко, което трябва да направим, е да изчислим m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250). Следваме същия алгоритъм. Получаваме m 4 = 94 500.

LCM на четирите числа от примерното условие е 94500.

отговор: NOC (140, 9, 54, 250) = 94 500.

Както можете да видите, изчисленията са прости, но доста трудоемки. За да спестите време, можете да отидете по друг начин.

Определение 4

Предлагаме ви следния алгоритъм на действие:

• разлагаме всички числа на прости множители;
• към произведението на множителите на първото число добавяме липсващите множители от произведението на второто число;
• към продукта, получен на предишния етап, добавяме липсващите фактори на третото число и т.н.;
• полученото произведение ще бъде най-малкото общо кратно на всички числа от условието.

Пример 8

Трябва да намерите LCM на пет числа 84, 6, 48, 7, 143.

Решение

Нека разложим всичките пет числа на прости множители: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Прости числа, което е числото 7, не може да бъде разложено на прости множители. Такива числа съвпадат с тяхното разлагане на прости множители.

Сега нека вземем произведението на простите множители 2, 2, 3 и 7 на числото 84 и добавим към тях липсващите множители на второто число. Разложихме числото 6 на 2 и 3. Тези множители вече са в произведението на първото число. Затова ги пропускаме.

Продължаваме да добавяме липсващите множители. Нека преминем към числото 48, от произведението на чиито прости множители вземаме 2 и 2. След това добавяме простия множител 7 от четвъртото число и множителите 11 и 13 от петото. Получаваме: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48 048. Това е най-малкото общо кратно на първоначалните пет числа.

отговор: LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48 048.

Намиране на най-малкото общо кратно на отрицателни числа

За намиране на най-малкото общо кратно отрицателни числа, тези числа трябва първо да бъдат заменени с числа с противоположен знаки след това извършете изчисления, като използвате горните алгоритми.

Пример 9

LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) и LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888).

Такива действия са допустими поради факта, че ако приемем това аИ − а– противоположни числа,
тогава наборът от кратни на число асъответства на набора от кратни на число − а.

Пример 10

Необходимо е да се изчисли LCM на отрицателни числа − 145 И − 45 .

Решение

Да заменим числата − 145 И − 45 към техните противоположни числа 145 и 45 . Сега, използвайки алгоритъма, ние изчисляваме LCM (145, 45) = 145 · 45: GCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1,305, като преди това сме определили GCD с помощта на Евклидовия алгоритъм.

Получаваме, че LCM на числата е − 145 и − 45 равни 1 305 .

отговор: LCM (− 145, − 45) = 1305.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter