Знаменателят на аритметичната дроб a / b е числото b, което показва размера на дробите на единица, от която е съставена дробта. Знаменателят на алгебричната дроб A / B се нарича алгебричен израз B. За да се извърши аритметика с дроби, те трябва да бъдат намалени до техния най-малък общ знаменател.

Ще ви трябва

• За да работите с алгебрични дроби и да намерите най-малкия общ знаменател, трябва да знаете как да разлагате полиноми на множители.

Инструкции

Нека разгледаме намаляването на две аритметични дроби n/m и s/t до най-малкия общ знаменател, където n, m, s, t са цели числа. Ясно е, че тези две дроби могат да бъдат сведени до всеки знаменател, делим на m и t. Но те се опитват да го доведат до най-малкия общ знаменател. То е равно на най-малкото общо кратно на знаменателите m и t на дадените дроби. Най-малкото кратно (LMK) на число е най-малкото, което се дели на всички дадени числа едновременно. Тези. в нашия случай трябва да намерим най-малкото общо кратно на числата m и t. Означава се като LCM (m, t). След това дробите се умножават по съответните: (n/m) * (LCM (m, t) / m), (s/t) * (LCM (m, t) / t).

Нека намерим най-малкия общ знаменател на три дроби: 4/5, 7/8, 11/14. Първо, нека разширим знаменателите 5, 8, 14: 5 = 1 * 5, 8 = 2 * 2 * 2 = 2^3, 14 = 2 * 7. След това изчислете LCM (5, 8, 14), като умножите всички числа, включени в поне едно от разширенията. LCM (5, 8, 14) = 5 * 2^3 * 7 = 280. Обърнете внимание, че ако факторът се появи при разширяването на няколко числа (фактор 2 в разширяването на знаменатели 8 и 14), тогава вземаме фактора до по-голяма степен (2^3 в нашия случай).

И така, общото е получено. Равно е на 280 = 5 * 56 = 8 * 35 = 14 * 20. Тук получаваме числата, по които трябва да умножим дробите със съответните знаменатели, за да ги доведем до най-малкия общ знаменател. Получаваме 4/5 = 56 * (4/5) = 224/280, 7/8 = 35 * (7/8) = 245/280, 11/14 = 20 * (11/14) = 220/280.

Намаляването на алгебричните дроби до най-малкия общ знаменател се извършва по аналогия с аритметичните. За по-голяма яснота нека разгледаме проблема с пример. Нека са дадени две дроби (2 * x) / (9 * y^2 + 6 * y + 1) и (x^2 + 1) / (3 * y^2 + 4 * y + 1). Нека разложим двата знаменателя на множители. Обърнете внимание, че знаменателят на първата дроб е перфектен квадрат: 9 * y^2 + 6 * y + 1 = (3 * y + 1)^2. За

Но много естествени числа се делят и на други естествени числа.

например:

Числото 12 се дели на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12;

Числото 36 се дели на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12, на 18, на 36.

Числата, на които числото се дели на цяло (за 12 това са 1, 2, 3, 4, 6 и 12) се наричат делители на числата. Делител на естествено число а- е естествено число, което дели дадено число абез следа. Нарича се естествено число, което има повече от два делителя композитен .

Моля, обърнете внимание, че числата 12 и 36 имат общи множители. Тези числа са: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Най-големият делител на тези числа е 12. Общият делител на тези две числа аИ b- това е числото, на което се делят без остатък и двете дадени числа аИ b.

Общи кратниняколко числа е числото, което се дели на всяко от тези числа. например, числата 9, 18 и 45 имат общо кратно на 180. Но 90 и 360 също са техните общи кратни. Сред всички общи кратни винаги има най-малкото, in в този случайтова е 90. Това число се нарича най-малкатаобщо кратно (CMM).

LCM винаги е естествено число, което трябва да е по-голямо от най-голямото от числата, за които е дефинирано.

Най-малко общо кратно (LCM). Свойства.

Комутативност:

Асоциативност:

По-специално, ако и са взаимно прости числа, тогава:

Най-малкото общо кратно на две цели числа мИ пе делител на всички други общи кратни мИ п. Освен това, набор от общи кратни м, нсъвпада с множеството кратни на LCM( м, н).

Асимптотиката за може да бъде изразена чрез някои теоретични функции.

така че Функция на Чебишев. И също така:

Това следва от определението и свойствата на функцията на Ландау g(n).

Какво следва от закона за разпределение на простите числа.

Намиране на най-малкото общо кратно (LCM).

НОК( а, б) може да се изчисли по няколко начина:

1. Ако е известен най-големият общ делител, можете да използвате връзката му с LCM:

2. Нека е известно каноничното разлагане на двете числа на прости множители:

Къде p 1 ,...,p k- различни прости числа, А d 1 ,...,d kИ e 1 ,...,e k— неотрицателни цели числа (те могат да бъдат нули, ако съответното просто число не е в разширението).

След това NOC ( а,b) се изчислява по формулата:

С други думи, разлагането на LCM съдържа всички прости множители, включени в поне едно от разлаганията на числа а, б, и се взема най-големият от двата показателя на този множител.

Пример:

Изчисляването на най-малкото общо кратно на няколко числа може да се сведе до няколко последователни изчисления на LCM на две числа:

правило.За да намерите LCM на поредица от числа, трябва:

- разлагат числата на прости множители;

- прехвърлете най-голямото разлагане (произведението на факторите на най-големия брой от дадените) към факторите на желания продукт и след това добавете фактори от разлагането на други числа, които не се появяват в първото число или се появяват в него по-малко пъти;

— полученото произведение на прости множители ще бъде LCM на дадените числа.

Всеки две или повече естествени числа имат свой собствен LCM. Ако числата не са кратни едно на друго или нямат еднакви множители в разширението, тогава техният LCM е равен на произведението на тези числа.

Простите множители на числото 28 (2, 2, 7) се допълват с множителя 3 (числото 21), полученият продукт (84) ще бъде най-малкото число, което се дели на 21 и 28.

Простите множители на най-голямото число 30 се допълват с множителя 5 на числото 25, полученият продукт 150 е по-голям от най-голямото число 30 и се дели на всички дадени числа без остатък. Това е възможно най-малкото произведение (150, 250, 300...), което е кратно на всички дадени числа.

Числата 2,3,11,37 са прости числа, така че техният LCM е равен на произведението на дадените числа.

правило. За да изчислите LCM на прости числа, трябва да умножите всички тези числа заедно.

Друг вариант:

За да намерите най-малкото общо кратно (LCM) на няколко числа, трябва:

1) представя всяко число като произведение на неговите прости множители, например:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) запишете степените на всички прости множители:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) запишете всички прости делители (множители) на всяко от тези числа;

4) изберете най-голямата степен на всяко от тях, намираща се във всички разширения на тези числа;

5) умножете тези правомощия.

Пример. Намерете LCM на числата: 168, 180 и 3024.

Решение. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Записваме най-големите степени на всички прости делители и ги умножаваме:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Повечето операции с алгебрични дроби, като добавяне и изваждане, изискват първо преобразуване на тези дроби в същите знаменатели. Такива знаменатели също често се обозначават с фразата „ общ знаменател" В тази тема ще разгледаме дефиницията на понятията „общ знаменател на алгебрични дроби“ и „най-малък общ знаменател на алгебрични дроби (LCD)“, ще разгледаме алгоритъма за намиране на общия знаменател точка по точка и ще решим няколко задачи на тема.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Общ знаменател на алгебричните дроби

Ако говорим за обикновени дроби, тогава общият знаменател е число, което се дели на всеки от знаменателите на оригиналните дроби. За обикновени дроби 1 2 И 5 9 числото 36 може да бъде общ знаменател, тъй като се дели на 2 и 9 без остатък.

Общият знаменател на алгебричните дроби се определя по подобен начин, като вместо числа се използват само полиноми, тъй като те са числителите и знаменателите на алгебричната дроб.

Определение 1

Общ знаменател на алгебрична дробе многочлен, който се дели на знаменателя на всяка дроб.

Поради особеностите на алгебричните дроби, които ще бъдат разгледани по-долу, често ще работим с общи знаменатели, представени като продукт, а не като стандартен полином.

Пример 1

Полином, записан като произведение 3 x 2 (x + 1), съответства на полином от стандартната форма 3 х 3 + 3 х 2. Този полином може да бъде общият знаменател на алгебричните дроби 2 x, - 3 x y x 2 и y + 3 x + 1, поради факта, че се дели на х, на х 2и на х+1. Информация за делимостта на полиномите е достъпна в съответната тема на нашия ресурс.

Най-малък общ знаменател (LCD)

За дадени алгебрични дроби броят на общите знаменатели може да бъде безкраен.

Пример 2

Да вземем за пример дробите 1 2 x и x + 1 x 2 + 3. Техният общ знаменател е 2 x (x 2 + 3), както и − 2 x (x 2 + 3), както и x (x 2 + 3), както и 6, 4 x (x 2 + 3) (y + y 4), както и − 31 x 5 (x 2 + 3) 3и т.н.

Когато решавате задачи, можете да улесните работата си, като използвате общ знаменател, който има най-простата форма сред целия набор от знаменатели. Този знаменател често се нарича най-малък общ знаменател.

Определение 2

Най-малък общ знаменател на алгебричните дробие общият знаменател на алгебричните дроби, който има най-простата форма.

Между другото, терминът "най-малък общ знаменател" не е общоприет, така че е по-добре да се ограничим до термина "общ знаменател". И ето защо.

По-рано насочихме вниманието ви към израза „знаменателят на най прост тип" Основното значение на тази фраза е следното: знаменателят на най-простата форма трябва да бъде разделен без остатък на всеки друг общ знаменател на данните в условието на проблема с алгебрични дроби. В този случай в произведението, което е общ знаменател на дроби, могат да се използват различни числени коефициенти.

Пример 3

Нека вземем дробите 1 2 · x и x + 1 x 2 + 3 . Вече разбрахме, че ще ни бъде най-лесно да работим с общ знаменател от вида 2 x x (x 2 + 3). Освен това общият знаменател за тези две дроби може да бъде x (x 2 + 3), който не съдържа числов коефициент. Въпросът е кой от тези два общи знаменателя се счита за най-малък общ знаменател на дробите. Няма категоричен отговор, затова е по-правилно просто да говорим за общия знаменател и да работим с опцията, която ще бъде най-удобна за работа. Така че можем да използваме такива общи знаменатели като x 2 (x 2 + 3) (y + y 4)или − 15 x 5 (x 2 + 3) 3които имат повече сложен вид, но може да бъде по-трудно да се предприемат действия с тях.

Намиране на общия знаменател на алгебричните дроби: алгоритъм на действията

Да предположим, че имаме няколко алгебрични дроби, за които трябва да намерим общ знаменател. За да разрешим този проблем, можем да използваме следния алгоритъм от действия. Първо трябва да разложим знаменателите на първоначалните дроби. След това съставяме произведение, в което последователно включваме:

• всички множители от знаменателя на първата дроб заедно със степените;
• всички множители, присъстващи в знаменателя на втората дроб, но които не са в писменото произведение или тяхната степен е недостатъчна;
• всички липсващи множители от знаменателя на третата дроб и т.н.

Полученият продукт ще бъде общият знаменател на алгебричните дроби.

Като множители на произведението можем да приемем всички знаменатели на дробите, дадени в постановката на задачата. Но множителят, който ще получим в крайна сметка, ще бъде далеч от НЗД по смисъл и използването му ще бъде нерационално.

Пример 4

Определете общия знаменател на дробите 1 x 2 y, 5 x + 1 и y - 3 x 5 y.

Решение

В този случай не е необходимо да разлагаме знаменателите на първоначалните дроби. Затова ще започнем да прилагаме алгоритъма, като съставим работата.

От знаменателя на първата дроб вземаме множителя х 2 г, от знаменателя на втората дроб множителя х+1. Получаваме продукта x 2 y (x + 1).

Знаменателят на третата дроб може да ни даде множител х 5 г, но продуктът, който компилирахме по-рано, вече има фактори х 2И г. Затова добавяме още x 5 − 2 = x 3. Получаваме продукта x 2 y (x + 1) x 3, което може да се сведе до формата x 5 y (x + 1). Това ще бъде нашата NOZ от алгебрични дроби.

отговор: x 5 · y · (x + 1) .

Сега нека разгледаме примери за задачи, при които знаменателите на алгебричните дроби съдържат цели числа. В такива случаи ние също следваме алгоритъма, като предварително сме разложили целочислените числови множители на прости множители.

Пример 5

Намерете общия знаменател на дробите 1 12 x и 1 90 x 2.

Решение

Разделяйки числата в знаменателите на дробите на прости множители, получаваме 1 2 2 3 x и 1 2 3 2 5 x 2. Сега можем да преминем към съставянето на общ знаменател. За да направите това, от знаменателя на първата дроб вземаме продукта 2 2 3 хи добавете към него факторите 3, 5 и хот знаменателя на втората дроб. получаваме 2 2 3 x 3 5 x = 180 x 2. Това е нашият общ знаменател.

отговор: 180 х 2.

Ако се вгледате внимателно в резултатите от двата анализирани примера, ще забележите, че общите знаменатели на дробите съдържат всички фактори, присъстващи в разширенията на знаменателите, и ако определен фактор присъства в няколко знаменателя, тогава той се взема с най-големия наличен показател. И ако знаменателите имат цели коефициенти, тогава общият знаменател съдържа числов фактор, равен на най-малкото общо кратно на тези числени коефициенти.

Пример 6

Знаменателите на двете алгебрични дроби 1 12 x и 1 90 x 2 имат фактор х. Във втория случай факторът x е на квадрат. За да създадем общ знаменател, трябва да вземем този фактор в най-голяма степен, т.е. х 2. Няма други множители с променливи. Целочислени числови коефициенти на оригинални дроби 12 И 90 , а тяхното най-малко общо кратно е 180 . Оказва се, че търсеният общ знаменател има формата 180 х 2.

Сега можем да напишем друг алгоритъм за намиране на общия множител на алгебрични дроби. За това ние:

• разложете на множители знаменателите на всички дроби;
• съставяме произведението на всички буквени фактори (ако има фактор в няколко разширения, вземаме опцията с най-големия показател);
• добавяме LCM на числените коефициенти на разширенията към получения продукт.

Дадените алгоритми са еквивалентни, така че всеки от тях може да се използва за решаване на задачи. Важно е да се обърне внимание на детайлите.

Има случаи, когато общите множители в знаменателите на дробите могат да бъдат невидими зад числовите коефициенти. Тук е препоръчително първо да поставите числовите коефициенти при по-високи степени на променливите извън скоби във всеки от факторите, присъстващи в знаменателя.

Пример 7

Какъв общ знаменател имат дробите 3 5 - x и 5 - x · y 2 2 · x - 10?

Решение

В първия случай минус едно трябва да бъде извадено от скоби. Получаваме 3-x-5. Умножаваме числителя и знаменателя по - 1, за да се отървем от минуса в знаменателя: - 3 x - 5.

Във втория случай поставяме двете извън скоби. Това ни позволява да получим дробта 5 - x · y 2 2 · x - 5.

Очевидно е, че общият знаменател на тези алгебрични дроби - 3 x - 5 и 5 - x · y 2 2 · x - 5 е 2 (x − 5).

отговор:2 (x − 5).

Данните в условието на задачата с дроби може да имат дробни коефициенти. В тези случаи първо трябва да се отървете от дробните коефициенти, като умножите числителя и знаменателя по определено число.

Пример 8

Опростете алгебрични дроби 1 2 · x + 1 1 14 · x 2 + 1 7 и - 2 2 3 · x 2 + 1 1 3 , след което определете общия им знаменател.

Решение

Нека се отървем от дробните коефициенти, като умножим числителя и знаменателя в първия случай по 14, във втория случай по 3. Получаваме:

1 2 x + 1 1 14 x 2 + 1 7 = 14 1 2 x + 1 14 1 14 x 2 + 1 7 = 7 x + 1 x 2 + 2 и - 2 2 3 x 2 + 1 1 3 = 3 · - 2 3 · 2 3 · x 2 + 4 3 = - 6 2 · x 2 + 4 = - 6 2 · x 2 + 2 .

След трансформациите става ясно, че общият знаменател е 2 (x 2 + 2).

отговор: 2 (x 2 + 2).

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Кратно е число, което се дели на дадено число без остатък. Най-малкото общо кратно (LCM) на група числа е най-малкото число, което се дели на всяко число в групата, без да оставя остатък. За да намерите най-малкото общо кратно, трябва да намерите простите множители на дадени числа. LCM може също да се изчисли с помощта на редица други методи, които се прилагат към групи от две или повече числа.

стъпки

Серии от кратни

Вижте тези числа.Описаният тук метод се използва най-добре, когато са дадени две числа, всяко от които е по-малко от 10. Ако са дадени по-големи числа, използвайте различен метод.

• Например, намерете най-малкото общо кратно на 5 и 8. Това са малки числа, така че можете да използвате този метод.

1. Кратно е число, което се дели на дадено число без остатък. Множествата могат да бъдат намерени в таблицата за умножение.

   • Например числата, кратни на 5, са: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Запишете поредица от числа, кратни на първото число.Направете това под кратни на първото число, за да сравните два набора от числа.

   • Например числата, кратни на 8, са: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 и 64.

3. Намерете най-малкото число, което присъства и в двата набора от кратни.Може да се наложи да напишете дълги серии от кратни, за да намерите общ брой. Най-малкото число, което присъства и в двата набора от кратни, е най-малкото общо кратно.

   • Например най-малкото число, което се появява в поредицата от кратни на 5 и 8, е числото 40. Следователно 40 е най-малкото общо кратно на 5 и 8.

   Разлагане на прости множители

   1. Вижте тези числа.Описаният тук метод се използва най-добре, когато са дадени две числа, всяко от които е по-голямо от 10. Ако са дадени по-малки числа, използвайте различен метод.

      • Например, намерете най-малкото общо кратно на числата 20 и 84. Всяко от числата е по-голямо от 10, така че можете да използвате този метод.

   2. Разложете първото число на прости множители.Тоест, трябва да намерите такива прости числа, които при умножаване ще дадат дадено число. След като намерите простите множители, запишете ги като равенства.

      • например, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\умножено по 10=20)И 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\пъти (\mathbf (5) )=10). по този начин прости факторичислата 20 са числата 2, 2 и 5. Запишете ги като израз: .

   3. Разложете второто число на прости множители.Направете това по същия начин, както разложихте първото число, тоест намерете такива прости числа, които, когато се умножат, ще дадат даденото число.

      • например, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42)И 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). И така, простите множители на числото 84 са числата 2, 7, 3 и 2. Запишете ги като израз: .

   4. Запишете множителите, общи за двете числа.Запишете такива множители като операция за умножение. Докато пишете всеки множител, задраскайте го и в двата израза (изрази, които описват разлагане на числа на прости множители).

      • Например, двете числа имат общ множител 2, така че напишете 2 × (\displaystyle 2\times )и задраскайте 2 в двата израза.
      • Общото между двете числа е друг множител на 2, така че напишете 2 × 2 (\displaystyle 2\пъти 2)и задраскайте второто 2 в двата израза.

   5. Добавете останалите множители към операцията за умножение.Това са фактори, които не са зачеркнати и в двата израза, тоест фактори, които не са общи за двете числа.

      • Например в израза 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\пъти 2\пъти 5)Двете две (2) са зачеркнати, защото са общи множители. Коефициентът 5 не е зачеркнат, така че напишете операцията за умножение така: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\пъти 2\пъти 5)
      • В израза 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\пъти 7\пъти 3\пъти 2)и двете две (2) също са зачеркнати. Коефициентите 7 и 3 не са зачеркнати, така че напишете операцията за умножение така: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3).

   6. Изчислете най-малкото общо кратно.За да направите това, умножете числата в операцията за писмено умножение.

      • например, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\пъти 2\пъти 5\пъти 7\пъти 3=420). Така че най-малкото общо кратно на 20 и 84 е 420.

   Намиране на общи множители

   1. Начертайте решетка като за игра на тик-так-палец.Такава мрежа се състои от две успоредни линии, които се пресичат (под прав ъгъл) с други две успоредни линии. Това ще ви даде три реда и три колони (мрежата изглежда много като иконата #). Напишете първото число в първия ред и втората колона. Напишете второто число в първия ред и третата колона.

      • Например, намерете най-малкото общо кратно на числата 18 и 30. Напишете числото 18 на първия ред и втората колона и напишете числото 30 на първия ред и третата колона.

   2. Намерете делителя, общ за двете числа.Запишете го в първия ред и първата колона. По-добре е да търсите основни множители, но това не е изискване.

      • Например 18 и 30 са четни числа, така че общият им множител е 2. Затова напишете 2 в първия ред и първата колона.

   3. Разделете всяко число на първия делител.Запишете всяко частно под съответното число. Частното е резултат от разделянето на две числа.

      • например, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), така че напишете 9 под 18.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), така че запишете 15 под 30.

   4. Намерете делителя, общ за двете частни.Ако няма такъв делител, пропуснете следващите две стъпки. В противен случай напишете делителя във втория ред и първата колона.

      • Например 9 и 15 се делят на 3, така че напишете 3 във втория ред и първата колона.

   5. Разделете всяко частно на неговия втори делител.Запишете всеки резултат от деленето под съответното частно.

      • например, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), така че напишете 3 под 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), така че напишете 5 под 15.

   6. Ако е необходимо, добавете допълнителни клетки към мрежата.Повторете описаните стъпки, докато частните имат общ делител.

   7. Оградете числата в първата колона и последния ред на мрежата.След това запишете избраните числа като операция за умножение.

      • Например, числата 2 и 3 са в първата колона, а числата 3 и 5 са ​​в последния ред, така че напишете операцията за умножение така: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\пъти 3\пъти 3\пъти 5).

   8. Намерете резултата от умножението на числа.Това ще изчисли най-малкото общо кратно на две дадени числа.

      • например, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\пъти 3\пъти 3\пъти 5=90). Така че най-малкото общо кратно на 18 и 30 е 90.

   Алгоритъм на Евклид

   1. Запомнете терминологията, свързана с операцията деление.Дивидентът е числото, което се разделя. Делителят е числото, на което се дели. Частното е резултат от разделянето на две числа. Остатъкът е числото, което остава, когато две числа се делят.

      • Например в израза 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2)ост. 3:
        15 е дивидентът
        6 е делител
        2 е частно
        3 е остатъкът.

Най-голям общ делител

Определение 2

Ако естествено число a се дели на естествено число $b$, тогава $b$ се нарича делител на $a$, а $a$ се нарича кратно на $b$.

Нека $a$ и $b$ са естествени числа. Числото $c$ се нарича общ делител на $a$ и $b$.

Множеството от общи делители на числата $a$ и $b$ е крайно, тъй като никой от тези делители не може да бъде по-голям от $a$. Това означава, че сред тези делители има най-голям, който се нарича най-голям общ делител на числата $a$ и $b$ и се обозначава със следната нотация:

$GCD\(a;b)\ или \D\(a;b)$

За да намерите най-големия общ делител на две числа, трябва:

1. Намерете произведението на числата, намерени в стъпка 2. Полученото число ще бъде желаният най-голям общ делител.

Пример 1

Намерете gcd на числата $121$ и $132.$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Изберете числата, които са включени в разширението на тези числа

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Намерете произведението на числата, намерени в стъпка 2. Полученото число ще бъде желаният най-голям общ делител.

$GCD=2\cdot 11=22$

Пример 2

Намерете НОД на мономите $63$ и $81$.

Ще намерим според представения алгоритъм. За да направите това:

Нека разложим числата на прости множители

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Ние избираме числата, които са включени в разширението на тези числа

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Нека намерим произведението на числата, намерени в стъпка 2. Полученото число ще бъде желаният най-голям общ делител.

$GCD=3\cdot 3=9$

Можете да намерите gcd на две числа по друг начин, като използвате набор от делители на числа.

Пример 3

Намерете НОД на числата $48$ и $60$.

Решение:

Нека намерим множеството от делители на числото $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

Сега нека намерим множеството от делители на числото $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\) $

Нека намерим пресечната точка на тези множества: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - това множество ще определи множеството от общи делители на числата $48$ и $60 $. Най-големият елемент в даден наборчислото ще бъде $12$. Това означава, че най-големият общ делител на числата $48$ и $60$ е $12$.

Дефиниция на NPL

Определение 3

Обикновени кратни на естествени числа$a$ и $b$ е естествено число, което е кратно на $a$ и $b$.

Общите кратни на числата са числа, които се делят на оригиналните числа без остатък. Например, за числата $25$ и $50$, общите кратни ще бъдат числата $50,100,150,200$ и т.н.

Най-малкото общо кратно ще се нарича най-малко общо кратно и ще се обозначава като LCM$(a;b)$ или K$(a;b).$

За да намерите LCM на две числа, трябва да:

1. Разложете числата на прости множители
2. Запишете множителите, които са част от първото число и добавете към тях множителите, които са част от второто и не са част от първото

Пример 4

Намерете LCM на числата $99$ и $77$.

Ще намерим според представения алгоритъм. За това

Разложете числата на прости множители

$99=3\cdot 3\cdot 11$

Запишете факторите, включени в първия

добавете към тях множители, които са част от втория, а не част от първия

Намерете произведението на числата, намерени в стъпка 2. Полученото число ще бъде желаното най-малко общо кратно

$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Съставянето на списъци с делители на числа често е много трудоемка задача. Има начин да се намери GCD, наречен Евклидов алгоритъм.

Изявления, на които се основава алгоритъмът на Евклид:

Ако $a$ и $b$ са естествени числа и $a\vdots b$, тогава $D(a;b)=b$

Ако $a$ и $b$ са естествени числа, така че $b

Използвайки $D(a;b)= D(a-b;b)$, можем последователно да намаляваме разглежданите числа, докато достигнем двойка числа, така че едното от тях да се дели на другото. Тогава по-малкото от тези числа ще бъде търсеният най-голям общ делител за числата $a$ и $b$.

Свойства на GCD и LCM

1. Всяко общо кратно на $a$ и $b$ се дели на K$(a;b)$
2. Ако $a\vdots b$ , тогава К$(a;b)=a$

Ако K$(a;b)=k$ и $m$ е естествено число, тогава K$(am;bm)=km$

Ако $d$ е общ делител за $a$ и $b$, тогава K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

Ако $a\vdots c$ и $b\vdots c$ , тогава $\frac(ab)(c)$ е общото кратно на $a$ и $b$

За всякакви естествени числа $a$ и $b$ равенството е в сила

$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

Всеки общ делител на числата $a$ и $b$ е делител на числото $D(a;b)$