В този урок ще разгледаме преобразуването на дроби в общ знаменатели решаване на задачи по тази тема. Нека дефинираме концепцията за общ знаменател и допълнителен фактор, припомнете си взаимното прости числа. Нека да дефинираме концепцията за най-малкия общ знаменател (LCD) и да решим редица задачи, за да го намерим.

Тема: Събиране и изваждане на дроби с различни знаменатели

Урок: Привеждане на дроби към общ знаменател

Повторение. Основното свойство на дробта.

Ако числителят и знаменателят на дроб се умножат или разделят на едно и също естествено число, тогава получавате дроб, равна на него.

Например числителят и знаменателят на дроб могат да бъдат разделени на 2. Получаваме дробта. Тази операция се нарича редуциране на дроб. Можете също така да извършите обратното преобразуване, като умножите числителя и знаменателя на дробта по 2. В този случай казваме, че сме намалили дробта до нов знаменател. Числото 2 се нарича допълнителен фактор.

Заключение.Една дроб може да бъде намалена до всеки знаменател, който е кратен на знаменателя на дадената дроб. За да приведете дроб към нов знаменател, нейният числител и знаменател се умножават по допълнителен коефициент.

1. Намалете дробта до знаменател 35.

Числото 35 е кратно на 7, тоест 35 се дели на 7 без остатък. Това означава, че тази трансформация е възможна. Нека намерим допълнителен фактор. За да направите това, разделете 35 на 7. Получаваме 5. Умножете числителя и знаменателя на оригиналната дроб по 5.

2. Намалете дробта до знаменател 18.

Нека намерим допълнителен фактор. За да направите това, разделете новия знаменател на оригиналния. Получаваме 3. Умножете числителя и знаменателя на тази дроб по 3.

3. Намалете дробта до знаменател 60.

Разделянето на 60 на 15 дава допълнителен фактор. Равно е на 4. Умножете числителя и знаменателя по 4.

4. Намалете дробта до знаменателя 24

В прости случаи редуцирането до нов знаменател се извършва мислено. Обичайно е само допълнителният фактор да се посочи зад скоба малко вдясно и над първоначалната фракция.

Една дроб може да бъде намалена до знаменател 15 и една дроб може да бъде намалена до знаменател 15. Дробите също имат общ знаменател 15.

Общият знаменател на дробите може да бъде всяко общо кратно на техните знаменатели. За простота дробите се свеждат до най-малкия им общ знаменател. То е равно на най-малкото общо кратно на знаменателите на дадените дроби.

Пример. Намалете дробите и до най-малкия общ знаменател.

Първо, нека намерим най-малкото общо кратно на знаменателите на тези дроби. Това число е 12. Нека намерим допълнителен множител за първата и втората дроби. За да направите това, разделете 12 на 4 и 6. Три е допълнителен фактор за първата дроб, а две е за втората. Нека приведем дробите към знаменателя 12.

Доведохме дробите до общ знаменател, тоест намерихме равни дроби, които имат еднакъв знаменател.

правило.За да намалите дробите до техния най-малък общ знаменател, трябва

Първо, намерете най-малкото общо кратно на знаменателите на тези дроби, то ще бъде техният най-малък общ знаменател;

Второ, разделете най-малкия общ знаменател на знаменателите на тези дроби, т.е. намерете допълнителен фактор за всяка дроб.

Трето, умножете числителя и знаменателя на всяка дроб по нейния допълнителен коефициент.

а) Сведете дробите и до общ знаменател.

Най-малкият общ знаменател е 12. Допълнителният множител за първата дроб е 4, за втората - 3. Свеждаме дробите до знаменател 24.

б) Сведете дробите и до общ знаменател.

Най-малкият общ знаменател е 45. Разделянето на 45 на 9 дава съответно 5 и 3.

в) Сведете дробите и до общ знаменател.

Общият знаменател е 24. Допълнителните множители са съответно 2 и 3.

Понякога може да е трудно да се намери устно най-малкото общо кратно на знаменателите на дадени дроби. След това общият знаменател и допълнителните множители се намират чрез разлагане на основни фактори.

Сведете дробите и до общ знаменател.

Нека разложим числата 60 и 168 на прости множители. Нека напишем разширението на числото 60 и добавим липсващите множители 2 и 7 от второто разширение. Нека умножим 60 по 14 и получим общ знаменател 840. Допълнителният множител за първата дроб е 14. Допълнителният множител за втората дроб е 5. Нека приведем дробите към общ знаменател 840.

Референции

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др.Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012.

2. Мерзляк А.Г., Полонски В.В., Якир М.С. Математика 6 клас. - Гимназия, 2006г.

3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. Зад страниците на учебник по математика. - Просвещение, 1989г.

4. Рурукин А.Н., Чайковски И.В. Задачи за курса по математика 5-6 клас. - ЗШ МИФИ, 2011.

5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковски К.Г. Математика 5-6. Ръководство за ученици от 6 клас в задочната школа на МИФИ. - ЗШ МИФИ, 2011.

6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О. и др.Математика: Учебник-събеседник за 5-6 клас гимназия. Библиотека на учителя по математика. - Просвещение, 1989г.

Можете да изтеглите книгите, посочени в точка 1.2. на този урок.

домашна работа

Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др.Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012. (виж връзка 1.2)

Домашна работа: No297, No298, No300.

Други задачи: No270, No290

В този урок ще разгледаме свеждането на дроби до общ знаменател и ще решим задачи по тази тема. Нека да дефинираме концепцията за общ знаменател и допълнителен множител и да си спомним за относително простите числа. Нека да дефинираме концепцията за най-малкия общ знаменател (LCD) и да решим редица задачи, за да го намерим.

Тема: Събиране и изваждане на дроби с различни знаменатели

Урок: Привеждане на дроби към общ знаменател

Повторение. Основното свойство на дробта.

Ако числителят и знаменателят на дроб се умножат или разделят на едно и също естествено число, се получава еднаква дроб.

Например числителят и знаменателят на дроб могат да бъдат разделени на 2. Получаваме дробта. Тази операция се нарича редуциране на дроб. Можете също така да извършите обратното преобразуване, като умножите числителя и знаменателя на дробта по 2. В този случай казваме, че сме намалили дробта до нов знаменател. Числото 2 се нарича допълнителен фактор.

Заключение.Една дроб може да бъде намалена до всеки знаменател, който е кратен на знаменателя на дадената дроб. За да приведете дроб към нов знаменател, нейният числител и знаменател се умножават по допълнителен коефициент.

1. Намалете дробта до знаменател 35.

Числото 35 е кратно на 7, тоест 35 се дели на 7 без остатък. Това означава, че тази трансформация е възможна. Нека намерим допълнителен фактор. За да направите това, разделете 35 на 7. Получаваме 5. Умножете числителя и знаменателя на оригиналната дроб по 5.

2. Намалете дробта до знаменател 18.

Нека намерим допълнителен фактор. За да направите това, разделете новия знаменател на оригиналния. Получаваме 3. Умножете числителя и знаменателя на тази дроб по 3.

3. Намалете дробта до знаменател 60.

Разделянето на 60 на 15 дава допълнителен фактор. Равно е на 4. Умножете числителя и знаменателя по 4.

4. Намалете дробта до знаменателя 24

В прости случаи редуцирането до нов знаменател се извършва мислено. Обичайно е само допълнителният фактор да се посочи зад скоба малко вдясно и над първоначалната фракция.

Една дроб може да бъде намалена до знаменател 15 и една дроб може да бъде намалена до знаменател 15. Дробите също имат общ знаменател 15.

Общият знаменател на дробите може да бъде всяко общо кратно на техните знаменатели. За простота дробите се свеждат до най-малкия им общ знаменател. То е равно на най-малкото общо кратно на знаменателите на дадените дроби.

Пример. Намалете дробите и до най-малкия общ знаменател.

Първо, нека намерим най-малкото общо кратно на знаменателите на тези дроби. Това число е 12. Нека намерим допълнителен множител за първата и втората дроби. За да направите това, разделете 12 на 4 и 6. Три е допълнителен фактор за първата дроб, а две е за втората. Нека приведем дробите към знаменателя 12.

Доведохме дробите до общ знаменател, тоест намерихме равни дроби, които имат еднакъв знаменател.

правило.За да намалите дробите до техния най-малък общ знаменател, трябва

Първо, намерете най-малкото общо кратно на знаменателите на тези дроби, то ще бъде техният най-малък общ знаменател;

Второ, разделете най-малкия общ знаменател на знаменателите на тези дроби, т.е. намерете допълнителен фактор за всяка дроб.

Трето, умножете числителя и знаменателя на всяка дроб по нейния допълнителен коефициент.

а) Сведете дробите и до общ знаменател.

Най-малкият общ знаменател е 12. Допълнителният множител за първата дроб е 4, за втората - 3. Свеждаме дробите до знаменател 24.

б) Сведете дробите и до общ знаменател.

Най-малкият общ знаменател е 45. Разделянето на 45 на 9 дава съответно 5 и 3.

в) Сведете дробите и до общ знаменател.

Общият знаменател е 24. Допълнителните множители са съответно 2 и 3.

Понякога може да е трудно да се намери устно най-малкото общо кратно на знаменателите на дадени дроби. След това общият знаменател и допълнителните множители се намират чрез разлагане на прости фактори.

Сведете дробите и до общ знаменател.

Нека разложим числата 60 и 168 на прости множители. Нека напишем разширението на числото 60 и добавим липсващите множители 2 и 7 от второто разширение. Нека умножим 60 по 14 и получим общ знаменател 840. Допълнителният множител за първата дроб е 14. Допълнителният множител за втората дроб е 5. Нека приведем дробите към общ знаменател 840.

Референции

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др.Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012.

2. Мерзляк А.Г., Полонски В.В., Якир М.С. Математика 6 клас. - Гимназия, 2006г.

3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. Зад страниците на учебник по математика. - Просвещение, 1989г.

4. Рурукин А.Н., Чайковски И.В. Задачи за курса по математика 5-6 клас. - ЗШ МИФИ, 2011.

5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковски К.Г. Математика 5-6. Ръководство за ученици от 6 клас в задочната школа на МИФИ. - ЗШ МИФИ, 2011.

6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О. и др. Математика: Учебник-беседник за 5-6 клас на СОУ. Библиотека на учителя по математика. - Просвещение, 1989г.

Можете да изтеглите книгите, посочени в точка 1.2. на този урок.

домашна работа

Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др.Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012. (виж връзка 1.2)

Домашна работа: No297, No298, No300.

Други задачи: No270, No290

Тази статия обяснява как да намерим най-малкия общ знаменателИ как да сведем дроби до общ знаменател. Първо са дадени определенията за общ знаменател на дроби и най-малък общ знаменател и е показано как да се намери общият знаменател на дроби. По-долу е дадено правило за редуциране на дроби до общ знаменател и са разгледани примери за прилагането на това правило. В заключение, примери за привеждане на три и повечедроби към общ знаменател.

Навигация в страницата.

Какво се нарича свеждане на дроби до общ знаменател?

Сега можем да кажем какво е свеждането на дроби до общ знаменател. Привеждане на дроби към общ знаменател- Това е умножаването на числителите и знаменателите на дадени дроби с такива допълнителни множители, че резултатът е дроби с еднакви знаменатели.

Общ знаменател, определение, примери

Сега е време да дефинираме общия знаменател на дробите.

С други думи, общият знаменател на определен набор от обикновени дроби е всяко естествено число, което се дели на всички знаменатели на тези дроби.

От дадената дефиниция следва, че даден набор от дроби има безкрайно много общи знаменатели, тъй като има безкраен брой общи кратни на всички знаменатели на оригиналния набор от дроби.

Определянето на общия знаменател на дроби ви позволява да намерите общите знаменатели на дадени дроби. Нека, например, дадени дроби 1/4 и 5/6, техните знаменатели са съответно 4 и 6. Положителни общи кратни на числата 4 и 6 са числата 12, 24, 36, 48, ... Всяко от тези числа е общ знаменател на дробите 1/4 и 5/6.

За да консолидирате материала, разгледайте решението на следния пример.

Пример.

Могат ли дробите 2/3, 23/6 и 7/12 да бъдат сведени до общ знаменател 150?

Решение.

За да отговорим на поставения въпрос, трябва да разберем дали числото 150 е общо кратно на знаменателите 3, 6 и 12. За целта нека проверим дали 150 се дели на всяко от тези числа (ако е необходимо вижте правилата и примерите за деление на естествени числа, както и правилата и примерите за деление на естествени числа с остатък): 150:3=50 , 150:6=25, 150:12=12 (оставащи 6) .

така че 150 не се дели равномерно на 12, следователно 150 не е общо кратно на 3, 6 и 12. Следователно числото 150 не може да бъде общият знаменател на първоначалните дроби.

отговор:

Забранено е.

Най-малък общ знаменател, как да го намерите?

В множеството от числа, които са общ знаменател на дадени дроби, има най-малко естествено число, което се нарича най-малък общ знаменател. Нека формулираме дефиницията на най-малкия общ знаменател на тези дроби.

Определение.

Най-малък общ знаменателе най-малкото число от всички общи знаменатели на тези дроби.

Остава да се справим с въпроса как да намерим най-малкия общ делител.

Тъй като е най-малкият положителен общ делител на даден набор от числа, LCM на знаменателите на дадените дроби представлява най-малкия общ знаменател на дадените дроби.

По този начин намирането на най-малкия общ знаменател на дробите се свежда до знаменателите на тези дроби. Нека разгледаме решението на примера.

Пример.

Намерете най-малкия общ знаменател на дробите 3/10 и 277/28.

Решение.

Знаменателите на тези дроби са 10 и 28. Желаният най-малък общ знаменател се намира като LCM на числата 10 и 28. В нашия случай е лесно: тъй като 10=2·5 и 28=2·2·7, тогава LCM(15, 28)=2·2·5·7=140.

отговор:

140 .

Как да сведем дроби до общ знаменател? Правило, примери, решения

Обикновено обикновени дробиводят до най-малкия общ знаменател. Сега ще запишем правило, което обяснява как да сведем дроби до най-малкия им общ знаменател.

Правило за свеждане на дроби до най-малък общ знаменателсе състои от три стъпки:

• Първо, намерете най-малкия общ знаменател на дробите.
• Второ, за всяка дроб се изчислява допълнителен фактор чрез разделяне на най-малкия общ знаменател на знаменателя на всяка дроб.
• Трето, числителят и знаменателят на всяка дроб се умножават по нейния допълнителен коефициент.

Нека приложим посоченото правило, за да решим следния пример.

Пример.

Намалете дробите 5/14 и 7/18 до техния най-малък общ знаменател.

Решение.

Нека изпълним всички стъпки от алгоритъма за свеждане на дроби до най-малкия общ знаменател.

Първо намираме най-малкия общ знаменател, който е равен на най-малкото общо кратно на числата 14 и 18. Тъй като 14=2·7 и 18=2·3·3, тогава LCM(14, 18)=2·3·3·7=126.

Сега изчисляваме допълнителни множители, с помощта на които дробите 5/14 и 7/18 ще бъдат намалени до знаменател 126. За дробта 5/14 допълнителният фактор е 126:14=9, а за дробта 7/18 допълнителният фактор е 126:18=7.

Остава да умножим числителите и знаменателите на дробите 5/14 и 7/18 с допълнителни множители съответно 9 и 7. Имаме и .

И така, редуцирането на дробите 5/14 и 7/18 до най-малкия общ знаменател е завършено. Получените фракции бяха 45/126 и 49/126.

Първоначално исках да включа техники за общ знаменател в раздела за добавяне и изваждане на дроби. Но се оказа, че има толкова много информация и нейното значение е толкова голямо (в края на краищата не само числовите дроби имат общи знаменатели), че е по-добре този въпрос да се проучи отделно.

Да кажем, че имаме две дроби с различни знаменатели. И искаме да сме сигурни, че знаменателите стават еднакви. На помощ идва основното свойство на дробта, което, нека ви напомня, звучи така:

Една дроб няма да се промени, ако нейният числител и знаменател се умножат по едно и също число, различно от нула.

Така, ако изберете факторите правилно, знаменателите на дробите ще станат равни - този процес се нарича редуциране до общ знаменател. А необходимите числа, „изравняващи“ знаменателите, се наричат ​​допълнителни фактори.

Защо трябва да свеждаме дробите до общ знаменател? Ето само няколко причини:

1. Събиране и изваждане на дроби с различни знаменатели. Няма друг начин за извършване на тази операция;
2. Сравняване на дроби. Понякога редуцирането до общ знаменател значително опростява тази задача;
3. Решаване на задачи, включващи дроби и проценти. Процентите са по същество обикновени изрази, които съдържат дроби.

Има много начини да намерите числа, които, когато се умножат по тях, ще направят знаменателите на дробите равни. Ще разгледаме само три от тях - по ред на нарастване на сложността и в известен смисъл на ефективността.

Кръстосано умножение

Най-простият и надежден начин, което гарантирано изравнява знаменателите. Ще действаме „стремглаво“: умножаваме първата дроб по знаменателя на втората дроб, а втората по знаменателя на първата. В резултат на това знаменателите на двете дроби ще станат равни на произведението на първоначалните знаменатели. Разгледайте:

Като допълнителни фактори помислете за знаменателите на съседните дроби. Получаваме:

Да, толкова е просто. Ако тепърва започвате да изучавате дроби, по-добре е да работите по този метод - така ще се застраховате от много грешки и гарантирано ще получите резултата.

Единственият недостатък на този метод е, че трябва да броите много, защото знаменателите се умножават „докрай“ и резултатът може да бъде много голям брой. Това е цената, която трябва да платите за надеждността.

Метод на общия делител

Тази техника помага значително да намали изчисленията, но, за съжаление, се използва доста рядко. Методът е както следва:

1. Преди да продължите направо (т.е. като използвате метода на кръстосване), погледнете знаменателите. Може би един от тях (този, който е по-голям) е разделен на другия.
2. Числото, получено от това деление, ще бъде допълнителен фактор за дробта с по-малък знаменател.
3. В този случай дроб с голям знаменател изобщо не трябва да се умножава по нищо - това е къде се спестява. В същото време вероятността от грешка рязко намалява.

Задача. Намерете значенията на изразите:

Обърнете внимание, че 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Тъй като и в двата случая единият знаменател се дели без остатък на другия, използваме метода на общите множители. Ние имаме:

Обърнете внимание, че втората дроб изобщо не е умножена по нищо. Всъщност намаляваме количеството изчисления наполовина!

Между другото, не случайно взех дробите в този пример. Ако се интересувате, опитайте да ги преброите по метода на кръстосване. След намаляване отговорите ще бъдат същите, но ще има много повече работа.

Това е силата на метода общи делители, но, повтарям, може да се използва само в случай, че единият от знаменателите е разделен на другия без остатък. Което се случва доста рядко.

Метод за най-малко често срещано множество

Когато редуцираме дроби до общ знаменател, по същество се опитваме да намерим число, което се дели на всеки знаменател. След това привеждаме знаменателите на двете дроби към това число.

Има много такива числа и най-малкото от тях не е задължително да бъде равно на директния продукт на знаменателите на оригиналните дроби, както се предполага в метода „кръстосано“.

Например за знаменатели 8 и 12 числото 24 е доста подходящо, тъй като 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Това число е много по-малко от произведението 8 · 12 = 96.

Най-малкото число, което се дели на всеки от знаменателите, се нарича тяхното най-малко общо кратно (LCM).

Забележка: Най-малкото общо кратно на a и b се означава с LCM(a ; b) . Например, LCM(16, 24) = 48; LCM(8; 12) = 24 .

Ако успеете да намерите такова число, общият размер на изчисленията ще бъде минимален. Вижте примерите:

Задача. Намерете значенията на изразите:

Обърнете внимание, че 234 = 117 2; 351 = 117 3. Фактори 2 и 3 са взаимно прости (нямат общи множители, различни от 1), а фактор 117 е общ. Следователно LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.

По същия начин 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Фактори 3 и 4 са взаимно прости, а фактор 5 е общ. Следователно LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Сега нека приведем дробите към общи знаменатели:

Забележете колко полезно беше разлагането на множители на оригиналните знаменатели:

1. След като открихме идентични фактори, веднага стигнахме до най-малкото общо кратно, което, най-общо казано, е нетривиална задача;
2. От полученото разширение можете да разберете кои фактори „липсват“ във всяка фракция. Например 234 · 3 = 702, следователно за първата дроб допълнителният фактор е 3.

За да оцените каква разлика прави методът на най-малко общо кратно, опитайте да изчислите същите тези примери, като използвате метода на кръстосване. Разбира се, без калкулатор. Мисля, че след това коментарите ще са излишни.

Не си мислете, че в реалните примери няма да има толкова сложни дроби. Те се срещат през цялото време и горните задачи не са ограничението!

Единственият проблем е как да намерите точно този NOC. Понякога всичко може да се намери за няколко секунди, буквално „на око“, но като цяло това е сложна изчислителна задача, която изисква отделно разглеждане. Тук няма да засягаме това.