Информацията в тази статия дава общо разбиране за цели числа. Първо се дава дефиниция на цели числа и се дават примери. След това разглеждаме числата на числовата ос, откъдето става ясно кои числа се наричат ​​положителни цели числа и кои се наричат ​​отрицателни цели числа. След това се показва как промените в количествата се описват с цели числа и се разглеждат цели числа отрицателни числав смисъл на дълг.

Навигация в страницата.

Цели числа – определение и примери

Определение.

Цели числа– това са естествени числа, числото нула, както и числа, противоположни на естествените.

Дефиницията на целите числа гласи, че всяко от числата 1, 2, 3, …, числото 0, както и всяко от числата −1, −2, −3, … е цяло число. Сега можем лесно да донесем примери за цели числа. Например числото 38 е цяло число, числото 70 040 също е цяло число, нулата е цяло число (не забравяйте, че нулата НЕ е естествено число, нулата е цяло число), числата −999, −1, −8 934 832 също са примери за цели числа.

Удобно е всички цели числа да се представят като поредица от цели числа, която има следния вид: 0, ±1, ±2, ±3, ... Поредица от цели числа може да бъде записана така: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

От определението за цели числа следва, че множеството от естествени числа е подмножество от множеството от цели числа. Следователно всяко естествено число е цяло число, но не всяко цяло число е естествено число.

Цели числа на координатна права

Определение.

Положителни цели числаса цели числа, по-големи от нула.

Определение.

Отрицателни цели числаса цели числа, които по-малко от нула.

Положителните и отрицателните цели числа също могат да бъдат определени от позицията им върху координатната права. На хоризонтална координатна линия точките, чиито координати са цели положителни числа, лежат вдясно от началото. На свой ред точките с отрицателни цели координати са разположени вляво от точка O.

Ясно е, че множеството от всички положителни цели числа е множеството от естествени числа. От своя страна, множеството от всички отрицателни цели числа е множеството от всички числа, противоположни на естествените числа.

Отделно, нека ви обърнем внимание на факта, че спокойно можем да наречем всяко естествено число цяло число, но не можем да наречем всяко цяло число естествено число. Можем да наречем всяко положително цяло число само естествено число, тъй като отрицателните цели числа и нулата не са естествени числа.

Неположителни и неотрицателни цели числа

Нека дадем дефиниции на неположителни цели числа и неотрицателни цели числа.

Определение.

Всички положителни числа, заедно с числото нула, се наричат неотрицателни цели числа.

Определение.

Неположителни цели числа– всички те са цели отрицателни числа заедно с числото 0.

С други думи, неотрицателно цяло число е цяло число, което е по-голямо от нула или равно на нула, а неположително цяло число е цяло число, което е по-малко от нула или равно на нула.

Примери за цели неположителни числа са числата −511, −10,030, 0, −2, а като примери за цели неотрицателни числа даваме числата 45, 506, 0, 900,321.

Най-често за краткост се използват термините „цели неположителни числа” и „цели неотрицателни числа”. Например, вместо фразата „числото a е цяло число и a е по-голямо от нула или равно на нула“, можете да кажете „a е неотрицателно цяло число“.

Описване на промените в количествата с помощта на цели числа

Време е да поговорим защо са необходими цели числа.

Основната цел на целите числа е, че с тяхна помощ е удобно да се описват промените в количеството на всякакви обекти. Нека разберем това с примери.

Нека в склада има определен брой части. Ако например в склада бъдат докарани още 400 части, тогава броят на частите в склада ще се увеличи, а числото 400 изразява тази промяна в количеството в положителна страна(повишаване на). Ако например се вземат 100 части от склада, тогава броят на частите в склада ще намалее, а числото 100 ще изрази промяна в количеството в отрицателна посока (надолу). Частите няма да се доставят в склада и частите няма да се изнасят от склада, тогава можем да говорим за постоянно количество части (т.е. можем да говорим за нулева промяна в количеството).

В дадените примери промяната в броя на частите може да бъде описана с цели числа 400, −100 и 0, съответно. Цяло положително число 400 показва промяна в количеството в положителна посока (увеличение). Отрицателно цяло число −100 изразява промяна в количеството в отрицателна посока (намаляване). Цялото число 0 показва, че количеството остава непроменено.

Удобството при използване на цели числа в сравнение с използването на естествени числа е, че не е необходимо изрично да посочвате дали количеството се увеличава или намалява - цялото число определя количествено промяната, а знакът на цялото число показва посоката на промяната.

Целите числа също могат да изразяват не само промяна в количеството, но и промяна в някакво количество. Нека разберем това, като използваме примера за температурни промени.

Покачване на температурата с, да речем, 4 градуса се изразява като положително цяло число 4. Намаляване на температурата, например с 12 градуса, може да се опише с цяло отрицателно число −12. А инвариантността на температурата е нейното изменение, определено от цяло число 0.

Отделно е необходимо да се каже за тълкуването на отрицателните цели числа като размер на дълга. Например, ако имаме 3 ябълки, тогава положителното цяло число 3 представлява броя на ябълките, които притежаваме. От друга страна, ако трябва да дадем 5 ябълки на някого, но ги нямаме на склад, тогава тази ситуация може да бъде описана с отрицателно цяло число −5. В този случай ние „притежаваме“ −5 ябълки, знакът минус показва дълг, а числото 5 определя дълга количествено.

Разбирането на отрицателно цяло число като дълг позволява например да се обоснове правилото за добавяне на отрицателни цели числа. Нека дадем пример. Ако някой дължи 2 ябълки на един човек и 1 ябълка на друг, тогава общият дълг е 2+1=3 ябълки, така че −2+(−1)=−3.

Библиография.

• Виленкин Н.Я. и други. 6 клас: учебник за общообразователните институции.

Да кажем, че Ахил тича десет пъти по-бързо от костенурката и е на хиляда стъпки зад нея. През времето, необходимо на Ахил да измине това разстояние, костенурката ще пропълзи стотина стъпки в същата посока. Когато Ахил пробяга сто крачки, костенурката пълзи още десет крачки и т.н. Процесът ще продължи безкрайно, Ахил никога няма да настигне костенурката.

Това разсъждение се превърна в логичен шок за всички следващи поколения. Аристотел, Диоген, Кант, Хегел, Хилберт... Всички те разглеждат по един или друг начин апориите на Зенон. Шокът беше толкова силен, че " ... дискусиите продължават и до днес; научната общност все още не е успяла да стигне до общо мнение относно същността на парадоксите ... в изследването на въпроса са включени математически анализ, теория на множествата, нови физически и философски подходи ; нито едно от тях не стана общоприето решение на проблема...„[Уикипедия, „Апория на Зенон“. Всички разбират, че ги заблуждават, но никой не разбира в какво се състои измамата.

От математическа гледна точка Зенон в своята апория ясно демонстрира прехода от количество към . Този преход предполага прилагане вместо постоянни. Доколкото разбирам, математическият апарат за използване на променливи мерни единици или все още не е разработен, или не е приложен към апориите на Зенон. Прилагането на нашата обичайна логика ни води в капан. Ние, поради инерцията на мисленето, прилагаме постоянни единици време към реципрочната стойност. От физическа гледна точка това изглежда като забавяне на времето, докато спре напълно в момента, в който Ахил настигне костенурката. Ако времето спре, Ахил вече не може да надбяга костенурката.

Ако обърнем обичайната си логика, всичко си идва на мястото. Ахил тича с постоянна скорост. Всеки следващ сегмент от пътя му е десет пъти по-кратък от предишния. Съответно времето, прекарано за преодоляването му, е десет пъти по-малко от предишното. Ако приложим концепцията за „безкрайност“ в тази ситуация, тогава би било правилно да кажем „Ахил ще настигне костенурката безкрайно бързо“.

Как да избегнем този логически капан? Останете в постоянни единици за време и не преминавайте към реципрочни единици. На езика на Зенон това изглежда така:

За времето, необходимо на Ахил да направи хиляда крачки, костенурката ще пропълзи стотина крачки в същата посока. През следващия интервал от време, равен на първия, Ахил ще направи още хиляда стъпки, а костенурката ще пропълзи сто стъпки. Сега Ахил е на осемстотин стъпки пред костенурката.

Този подход описва адекватно реалността без никакви логически парадокси. Но това не е пълно решение на проблема. Твърдението на Айнщайн за неустоимостта на скоростта на светлината е много подобно на апорията на Зенон „Ахил и костенурката“. Все още трябва да изучаваме, преосмисляме и решаваме този проблем. И решението трябва да се търси не в безкрайно големи числа, а в мерни единици.

Друга интересна апория на Зенон разказва за летяща стрела:

Летящата стрела е неподвижна, тъй като във всеки момент от времето тя е в покой, и тъй като е в покой във всеки момент от времето, тя винаги е в покой.

В тази апория логическият парадокс се преодолява много просто – достатъчно е да се изясни, че във всеки момент една летяща стрела е в покой в ​​различни точки на пространството, което всъщност е движение. Тук трябва да се отбележи още един момент. От една снимка на автомобил на пътя е невъзможно да се определи нито фактът на неговото движение, нито разстоянието до него. За да определите дали колата се движи, ви трябват две снимки, направени от една и съща точка в различни точки във времето, но не можете да определите разстоянието от тях. За да определите разстоянието до кола, имате нужда от две снимки, направени от различни точки в пространството в един момент във времето, но от тях не можете да определите факта на движение (разбира се, все още имате нужда от допълнителни данни за изчисления, тригонометрията ще ви помогне ). Това, което искам да отбележа Специално внимание, е, че две точки във времето и две точки в пространството са различни неща, които не бива да се бъркат, защото предоставят различни възможности за изследване.

Сряда, 4 юли 2018 г

Разликите между множество и мултимножество са описани много добре в Wikipedia. Да видим.

Както можете да видите, "не може да има два идентични елемента в набор", но ако има идентични елементи в набор, такъв набор се нарича "мултисет". Разумните същества никога няма да разберат такава абсурдна логика. Това е нивото на говорещите папагали и дресираните маймуни, които нямат интелигентност от думата „напълно“. Математиците действат като обикновени обучители, проповядвайки ни своите абсурдни идеи.

Имало едно време инженерите, които построили моста, били в лодка под моста, докато тествали моста. Ако мостът се срути, посредственият инженер загина под развалините на своето творение. Ако мостът можеше да издържи натоварването, талантливият инженер построи други мостове.

Колкото и да се крият математиците зад фразата „имайте предвид, аз съм в къщата“ или по-скоро „математиката изучава абстрактни понятия“, има една пъпна връв, която ги свързва неразривно с реалността. Тази пъпна връв е пари. Нека приложим математическата теория на множествата към самите математици.

Учихме математика много добре и сега седим на касата и даваме заплати. И така, един математик идва при нас за парите си. Ние му преброяваме цялата сума и я поставяме на масата си в различни купчини, в които поставяме банкноти от една и съща деноминация. След това вземаме по една банкнота от всяка купчина и даваме на математика неговия „математически набор от заплата“. Нека обясним на математика, че той ще получи останалите сметки едва когато докаже, че множество без еднакви елементи не е равно на множество с еднакви елементи. Тук започва забавлението.

На първо място ще работи логиката на депутатите: „Това може да се приложи към другите, но не и към мен!“ След това ще започнат да ни уверяват, че банкнотите с една и съща номинална стойност имат различни номера на банкнотите, което означава, че не могат да се считат за едни и същи елементи. Добре, да броим заплатите в монети - на монетите няма цифри. Тук математикът ще започне трескаво да си спомня физиката: на различни монети има различни количествамръсотията, кристалната структура и атомната подредба на всяка монета са уникални...

А сега имам най-много интерес Питай: къде е линията, отвъд която елементите на мултимножество се превръщат в елементи на множество и обратно? Такава линия не съществува - всичко се решава от шаманите, тук науката дори не лъже.

Вижте тук. Избираме футболни стадиони с еднаква площ. Площите на полетата са еднакви - което означава, че имаме мултимножество. Но ако погледнем имената на същите тези стадиони, получаваме много, защото имената са различни. Както можете да видите, едно и също множество от елементи е както множество, така и мултимножество. Кое е вярно? И ето че математикът-шаман-шарпист вади асо коз от ръкава си и започва да ни говори или за множество, или за мултимножество. При всички случаи той ще ни убеди, че е прав.

За да разберем как съвременните шамани оперират с теорията на множествата, обвързвайки я с реалността, е достатъчно да отговорим на един въпрос: как елементите на едно множество се различават от елементите на друго множество? Ще ви покажа, без никакво „мислимо като неединно цяло“ или „немислимо като единно цяло“.

Неделя, 18 март 2018 г

Сумата от цифрите на едно число е танц на шамани с тамбура, който няма нищо общо с математиката. Да, в уроците по математика ни учат да намираме сумата от цифрите на числото и да го използваме, но те затова са шамани, за да учат потомците на своите умения и мъдрост, иначе шаманите просто ще измрат.

Имате ли нужда от доказателство? Отворете Wikipedia и се опитайте да намерите страницата „Сума от цифри на число“. Тя не съществува. Няма формула в математиката, която може да се използва за намиране на сумата от цифрите на произволно число. Все пак числата са графични символи, с помощта на който пишем числа и на езика на математиката задачата звучи така: „Намерете сбора от графични символи, представляващи произволно число.“ Математиците не могат да решат този проблем, но шаманите могат да го направят лесно.

Нека да разберем какво и как правим, за да намерим сумата от цифрите на дадено число. И така, нека имаме числото 12345. Какво трябва да се направи, за да се намери сборът от цифрите на това число? Нека разгледаме всички стъпки по ред.

1. Запишете числото на лист хартия. какво направихме Ние преобразувахме числото в графичен числов символ. Това не е математическа операция.

2. Разрязваме една получена картина на няколко картинки, съдържащи отделни числа. Изрязването на картина не е математическа операция.

3. Преобразувайте отделни графични символи в числа. Това не е математическа операция.

4. Съберете получените числа. Това вече е математика.

Сумата от цифрите на числото 12345 е 15. Това са „курсовете по кроене и шиене“, преподавани от шамани, които математиците използват. Но това не е всичко.

От математическа гледна точка няма значение в коя бройна система записваме едно число. И така, в различни системиВ смятането сумата от цифрите на едно и също число ще бъде различна. В математиката числовата система се обозначава като долен индекс отдясно на числото. С голямото число 12345, не искам да си заблуждавам главата, нека разгледаме числото 26 от статията за. Нека запишем това число в двоична, осмична, десетична и шестнадесетична бройни системи. Няма да разглеждаме всяка стъпка под микроскоп; вече сме го направили. Нека да видим резултата.

Както можете да видите, в различните бройни системи сумата от цифрите на едно и също число е различна. Този резултат няма нищо общо с математиката. Това е същото, както ако определите площта на правоъгълник в метри и сантиметри, ще получите напълно различни резултати.

Нулата изглежда еднакво във всички бройни системи и няма сбор от цифри. Това е още един аргумент в полза на факта, че. Въпрос към математиците: как в математиката се обозначава нещо, което не е число? Какво, за математиците не съществува нищо освен числата? Това мога да го позволя за шаманите, но не и за учените. Реалността не е само в числа.

Полученият резултат трябва да се счита за доказателство, че бройните системи са мерни единици за числа. В крайна сметка не можем да сравняваме числа с различни мерни единици. Ако едни и същи действия с различни мерни единици на една и съща величина водят до различни резултатислед като ги сравняваме, това означава, че няма нищо общо с математиката.

Какво е истинска математика? Това е, когато резултатът математическа операцияне зависи от размера на числото, използваната мерна единица и кой извършва действието.