Поздрави, котки! Последния път обсъдихме подробно какво представляват корените (ако не си спомняте, препоръчвам да го прочетете). Основният извод от този урок: има само една универсална дефиниция на корените, която трябва да знаете. Другото са глупости и губене на време.

Днес отиваме по-далеч. Ще се научим да умножаваме корени, ще изучаваме някои задачи, свързани с умножението (ако тези задачи не бъдат решени, те могат да станат фатални на изпита) и ще се упражняваме правилно. Така че запасете се с пуканки, настанете се удобно и да започваме :)

И ти още не си го пушил, нали?

Урокът се оказа доста дълъг, затова го разделих на две части:

1. Първо ще разгледаме правилата за умножение. Капачката изглежда намеква: това е, когато има два корена, между тях има знак „умножение“ - и ние искаме да направим нещо с него.
2. Тогава нека разгледаме обратната ситуация: има един голям корен, но ние бяхме нетърпеливи да го представим като продукт на два по-прости корена. Защо е необходимо това е отделен въпрос. Ще анализираме само алгоритъма.

За тези, които нямат търпение веднага да преминат към втората част, заповядайте. Да започнем с останалите по ред.

Основно правило за умножение

Нека започнем с най-простото - класически квадратни корени. Същите, които са означени с $\sqrt(a)$ и $\sqrt(b)$. Всичко им е очевидно:

Правило за умножение. За да умножите един квадратен корен по друг, просто умножете техните радикални изрази и запишете резултата под общия радикал:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

Не се налагат допълнителни ограничения върху числата отдясно или отляво: ако съществуват коренните фактори, значи продуктът също съществува.

Примери. Нека да разгледаме четири примера с числа наведнъж:

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \край (подравняване)\]

Както можете да видите, основното значение на това правило е да опрости ирационални изрази. И ако в първия пример щяхме сами да извлечем корените на 25 и 4 без нови правила, тогава нещата стават трудни: $\sqrt(32)$ и $\sqrt(2)$ не се разглеждат сами по себе си, а тяхното произведение се оказва перфектен квадрат, така че неговият корен е равен на рационално число.

Особено бих искал да подчертая последния ред. Там и двата радикални израза са дроби. Благодарение на продукта много фактори се отменят и целият израз се превръща в адекватно число.

Разбира се, нещата не винаги ще бъдат толкова красиви. Понякога ще има пълна бъркотия под корените - не е ясно какво да се прави с него и как да се трансформира след умножаването. Малко по-късно, когато започнете да изучавате ирационални уравнения и неравенства, ще има всякакви променливи и функции. И много често авторите на проблеми разчитат на факта, че ще откриете някои анулиращи условия или фактори, след което проблемът ще бъде многократно опростен.

Освен това изобщо не е необходимо да се умножават точно два корена. Можете да умножите три, четири или дори десет наведнъж! Това няма да промени правилото. Разгледайте:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0,001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0,001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \край (подравняване)\]

И отново малка бележкаспоред втория пример. Както можете да видите, в третия фактор под корена има десетична дроб - в процеса на изчисления го заместваме с обикновен, след което всичко лесно се намалява. И така: силно препоръчвам да се отървете от десетичните дроби във всички ирационални изрази (т.е. съдържащи поне един радикален символ). Това ще ви спести много време и нерви в бъдеще.

Но това беше лирично отклонение. Сега нека да разгледаме повече общ случай- когато коренният индикатор е произволно число$n$, а не само "класическите" две.

Случаят на произволен индикатор

И така, с квадратни корениразбрах го. Какво да правим с кубиците? Или дори с корени от произволна степен $n$? Да, всичко е същото. Правилото остава същото:

За да умножите два корена от степен $n$, е достатъчно да умножите техните радикални изрази и след това да запишете резултата под един радикал.

Като цяло, нищо сложно. Освен че количеството изчисления може да бъде по-голямо. Нека да разгледаме няколко примера:

Примери. Изчислете продуктите:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\ frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3 )) ))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \край (подравняване)\]

И отново внимание към втория израз. Ние се размножаваме кубични корени, отървете се от десетичен знаки в резултат получаваме произведението на числата 625 и 25 в знаменателя Това е доста голям брой- Лично аз не мога веднага да изчисля на какво се равнява.

Затова просто изолирахме точния куб в числителя и знаменателя и след това използвахме едно от ключовите свойства (или, ако предпочитате, дефиниция) на $n$-тия корен:

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\left| a\надясно|. \\ \край (подравняване)\]

Такива „машинации“ могат да ви спестят много време на изпита или тестова работа, така че запомнете:

Не бързайте да умножавате числа с радикални изрази. Първо проверете: какво ще стане, ако точната степен на който и да е израз е „криптирана“ там?

Въпреки очевидността на тази забележка, трябва да призная, че повечето неподготвени студенти не виждат точните степени от упор. Вместо това те умножават всичко направо и след това се чудят: защо са получили толкова брутални числа? :)

Всичко това обаче са бебешки приказки в сравнение с това, което ще изучаваме сега.

Умножение на корени с различни степени

Добре, сега можем да умножим корени със същите показатели. Ами ако показателите са различни? Да речем, как да умножа обикновен $\sqrt(2)$ по някакви глупости като $\sqrt(23)$? Възможно ли е изобщо да се направи това?

Да, разбира се, че можете. Всичко се прави по тази формула:

Правило за умножение на корени. За да умножите $\sqrt[n](a)$ по $\sqrt[p](b)$, е достатъчно да извършите следната трансформация:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Тази формула обаче работи само ако радикалните изрази са неотрицателни. Това е много важна бележка, към която ще се върнем малко по-късно.

Засега нека да разгледаме няколко примера:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot 8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \край (подравняване)\]

Както можете да видите, нищо сложно. Сега нека разберем откъде идва изискването за неотрицателност и какво ще се случи, ако го нарушим :)

Защо радикалните изрази трябва да са неотрицателни?

Разбира се, че можете да бъдете като учители в училищеи с умен поглед цитирайте учебника:

Изискването за неотрицателност е свързано с различни дефиниции на корени от четни и нечетни степени (съответно техните области на дефиниране също са различни).

Е, стана ли по-ясно? Лично аз, когато прочетох тази глупост в 8-ми клас, разбрах нещо от рода на следното: „Изискването за неотрицателност е свързано с *#&^@(*#@^#)~%“ - накратко, аз нищо не разбирам по това време :)

Така че сега ще обясня всичко по нормален начин.

Първо, нека разберем откъде идва горната формула за умножение. За да направите това, нека ви напомня едно важно свойство на корена:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

С други думи, можем лесно да повдигнем радикалния израз до всеки естествена степен$k$ - в този случай коренният показател ще трябва да се умножи по същата степен. Следователно можем лесно да редуцираме всякакви корени до общ показател и след това да ги умножим. Ето откъде идва формулата за умножение:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Но има един проблем, който рязко ограничава използването на всички тези формули. Помислете за това число:

Според току-що дадената формула можем да добавим произволна степен. Нека опитаме да добавим $k=2$:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

Премахнахме минуса точно защото квадратът изгаря минуса (като всяка друга четна степен). Сега нека извършим обратната трансформация: „намалете“ двете в степента и степента. В крайна сметка всяко равенство може да се чете както отляво надясно, така и отдясно наляво:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](а); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \край (подравняване)\]

Но тогава се оказва някаква глупост:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Това не може да се случи, защото $\sqrt(-5) \lt 0$ и $\sqrt(5) \gt 0$. Това означава, че за четни степени и отрицателни числа нашата формула вече не работи. След което имаме две възможности:

1. Да се ​​удари в стената и да заяви, че математиката е глупава наука, в която „има някакви правила, но тези са неточни“;
2. Въведете допълнителни ограничения, при които формулата ще стане 100% работеща.

В първия вариант ще трябва постоянно да хващаме „неработещи“ случаи - това е трудно, отнема много време и като цяло уф. Затова математиците предпочетоха втория вариант :)

Но не се тревожете! На практика това ограничение не засяга изчисленията по никакъв начин, тъй като всички описани проблеми се отнасят само до корени от нечетна степен и от тях могат да се вземат минуси.

Затова нека формулираме още едно правило, което общо взето важи за всички действия с корени:

Преди да умножите корени, уверете се, че радикалните изрази са неотрицателни.

Пример. В числото $\sqrt(-5)$ можете да премахнете минуса под знака на корена - тогава всичко ще бъде нормално:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt((((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]

Усещате ли разликата? Ако оставите минус под корена, тогава, когато радикалният израз е на квадрат, той ще изчезне и ще започнат глупости. И ако първо извадите минуса, тогава можете да построите / премахнете квадрата, докато не посинявате - числото ще остане отрицателно.

По този начин най-правилният и най- надежден начинумножаването на корените е както следва:

1. Премахнете всички негативи от радикалите. Минусите съществуват само в корени с нечетна множественост - те могат да бъдат поставени пред корена и, ако е необходимо, намалени (например, ако има два от тези минуси).
2. Извършете умножение според правилата, разгледани по-горе в днешния урок. Ако показателите на корените са еднакви, ние просто умножаваме радикалните изрази. И ако са различни, използваме злата формула \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
3. 3.Насладете се на резултата и добрите оценки.:)

добре? Да тренираме ли?

Пример 1: Опростете израза:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3 ) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=- \ sqrt(64)=-4; \край (подравняване)\]

Това е най-простият вариант: корените са еднакви и нечетни, единственият проблем е, че вторият фактор е отрицателен. Изваждаме този минус от снимката, след което всичко се изчислява лесно.

Пример 2: Опростете израза:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( подравняване)\]

Тук мнозина биха се объркали от факта, че изходът се оказа ирационално число. Да, случва се: не можахме напълно да се отървем от корена, но поне значително опростихме израза.

Пример 3: Опростете израза:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((( a)^(4)) \right))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

Искам да обърна внимание на тази задача. Тук има две точки:

1. Коренът не е конкретно число или степен, а променливата $a$. На пръв поглед това е малко необичайно, но в действителност, когато решавате математически задачи, най-често трябва да се справяте с променливи.
2. В крайна сметка успяхме да „намалим” радикалния показател и степента на радикална изява. Това се случва доста често. И това означава, че е възможно значително да се опростят изчисленията, ако не използвате основната формула.

Например можете да направите това:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^( 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \\край (подравняване)\]

Всъщност всички трансформации са извършени само с втория радикал. И ако не опишете подробно всички междинни стъпки, тогава в крайна сметка количеството на изчисленията ще бъде значително намалено.

Всъщност вече се сблъскахме с подобна задача по-горе, когато решихме примера $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Сега може да се напише много по-просто:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \край (подравняване)\]

Е, подредихме умножението на корените. Сега нека разгледаме обратната операция: какво да правим, когато има продукт под корена?

Извличането на квадрантния корен на число не е единствената операция, която може да се извърши с този математически феномен. Точно като обикновените числа, квадратните корени събират и изваждат.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Правила за събиране и изваждане на корен квадратен

Операции като събиране и изваждане на квадратни корени са възможни само ако радикалният израз е един и същ.

Пример 1

Можете да добавяте или изваждате изрази 2 3 и 63, но не и 5 6 и 9 4. Ако е възможно да се опрости изразът и да се намали до корени със същия радикал, тогава опростете и след това добавете или извадете.

Действия с корени: основи

6 50 - 2 8 + 5 12

Алгоритъм на действие:

1. Опростете радикалния израз. За да направите това, е необходимо радикалният израз да се разложи на 2 фактора, единият от които е квадратно число (числото, от което се извлича целият квадратен корен, например 25 или 9).
2. След това трябва да вземете корена на квадратното числои запишете получената стойност преди знака за корен. Моля, имайте предвид, че вторият фактор е въведен под знака на корена.
3. След процеса на опростяване е необходимо да се подчертаят корените със същите радикални изрази - само те могат да се добавят и изваждат.
4. За корени с еднакви радикални изрази е необходимо да добавите или извадите множителите, които се появяват преди знака за корен. Радикалният израз остава непроменен. Не можете да събирате или изваждате радикални числа!

Съвет 1

Ако имате пример с голям бройидентични радикални изрази, след това подчертайте тези изрази с единични, двойни и тройни линии, за да улесните процеса на изчисление.

Пример 3

Нека се опитаме да решим този пример:

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2. Първо трябва да разложите 50 на 2 множителя 25 и 2, след това да вземете корен от 25, което е равно на 5, и да извадите 5 изпод корена. След това трябва да умножите 5 по 6 (фактора в корена) и да получите 30 2.

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2. Първо трябва да разложите 8 на 2 множителя: 4 и 2. След това вземете корен от 4, което е равно на 2, и извадете 2 изпод корена. След това трябва да умножите 2 по 2 (факторът в корена) и да получите 4 2.

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3. Първо трябва да разложите 12 на 2 фактора: 4 и 3. След това извлечете корена на 4, който е равен на 2, и го премахнете изпод корена. След това трябва да умножите 2 по 5 (коефициента в корена) и да получите 10 3.

Резултат от опростяването: 30 2 - 4 2 + 10 3

30 2 - 4 2 + 10 3 = (30 - 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

В резултат на това видяхме колко еднакви радикални изрази се съдържат в в този пример. Сега нека се упражняваме с други примери.

Пример 4

• Нека опростим (45). Фактор 45: (45) = (9 × 5) ;
• Изваждаме 3 от под корена (9 = 3): 45 = 3 5;
• Добавете множителите при корените: 3 5 + 4 5 = 7 5.

Пример 5

6 40 - 3 10 + 5:

• Нека опростим 6 40. Разлагаме 40 на множители: 6 40 = 6 (4 × 10) ;
• Изваждаме 2 от корена (4 = 2): 6 40 = 6 (4 × 10) = (6 × 2) 10 ;
• Умножаваме множителите, които стоят пред корена: 12 10 ;
• Записваме израза в опростен вид: 12 10 - 3 10 + 5 ;
• Тъй като първите два члена имат еднакви радикални числа, можем да ги извадим: (12 - 3) 10 = 9 10 + 5.

Пример 6

Както виждаме, не е възможно да се опростят радикални числа, затова търсим термини със същите радикални числа в примера, извършваме математически операции (събиране, изваждане и т.н.) и записваме резултата:

(9 - 4) 5 - 2 3 = 5 5 - 2 3 .

Съвет:

• Преди добавяне или изваждане е необходимо да се опростят (ако е възможно) радикалните изрази.
• Събирането и изваждането на корени с различни радикални изрази е строго забранено.
• Не трябва да добавяте или изваждате цяло число или корен: 3 + (2 x) 1/2.
• Когато извършвате операции с дроби, трябва да намерите число, което се дели на всеки знаменател, след което да намалите дробите до общ знаменател, след това добавете числителите и оставете знаменателите непроменени.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявка на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, адрес имейли т.н.

Как използваме вашата лична информация:

• Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас и да ви информираме за уникални предложения, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
• Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на информация на трети лица

Ние не разкриваме информацията, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

• При необходимост - по реда на закона, съдебния ред, в изпитание, и/или въз основа на публични искания или искания от държавни агенции в Руската федерация - разкрива личната ви информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Зачитане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Най-лесният начин да извадите корен от число е с калкулатор. Но ако нямате калкулатор, тогава трябва да знаете алгоритъма за изчисляване на квадратния корен. Факт е, че под корена има квадратно число. Например 4 на квадрат е 16. Тоест корен квадратен от 16 ще бъде равен на четири. Освен това 5 на квадрат е 25. Следователно коренът от 25 ще бъде 5. И така нататък.

Ако числото е малко, то може лесно да се извади устно, например коренът от 25 ще бъде равен на 5, а коренът от 144-12. Можете също да изчислите на калкулатора; има специална икона за корен;

Таблица с квадратни корени също ще помогне:

Има и методи, които са по-сложни, но много ефективни:

Коренът на произволно число може да се извади с помощта на калкулатор, особено след като те са налични във всеки телефон днес.

Можете да опитате грубо да оцените как може да се получи дадено число, като умножите едно число по самото себе си.



Изчисляването на корен квадратен от число не е трудно, особено ако имате специална таблица. Добре позната таблица от уроците по алгебра. Тази операция се нарича изваждане на квадратен корен от число, с други думи решаване на уравнение. Почти всички калкулатори на смартфони имат функция за определяне на корен квадратен.



Резултатът от изваждането на корен квадратен от известно число ще бъде друго число, което, когато бъде повдигнато на втора степен (на квадрат), ще даде същото число, което знаем. Нека да разгледаме едно от описанията на изчисленията, което изглежда кратко и ясно:







Ето видео по темата:

Има няколко начина за изчисляване на корен квадратен от число.

Най-популярният начин е да използвате специална основна таблица (вижте по-долу).

Освен това всеки калкулатор има функция, с която можете да разберете корена.

Или с помощта на специална формула.



Има няколко начина за извличане на корен квадратен от число. Един от тях е най-бързият, с помощта на калкулатор.

Но ако нямате калкулатор, можете да го направите ръчно.

Резултатът ще бъде точен.

Принципът е почти същият като разделянето на колона:



















Нека се опитаме да намерим корен квадратен от число без калкулатор, например 190969.







Следователно всичко е изключително просто. При изчисленията основното е да се придържате към определени прости правилаи мисли логично.

За това ви е необходима таблица с квадрати



Например, корен от 100 = 10, от 20 = 400 от 43 = 1849

Сега почти всички калкулатори, включително тези на смартфони, могат да изчислят корен квадратен от число. НО ако нямате калкулатор, тогава можете да намерите корена на число по няколко прости начина:

Разлагане на основни фактори



Разделете радикалното число на множители, които са квадратни числа. В зависимост от радикалното число ще получите приблизителен или точен отговор. Квадратните числа са числа, от които може да бъде извлечен целият квадратен корен. Фактори на число, които, когато се умножат, дават оригиналното число. Например факторите на числото 8 са 2 и 4, тъй като 2 x 4 = 8, числата 25, 36, 49 са квадратни числа, тъй като 25 = 5, 36 = 6, 49 = 7. Квадратните фактори са фактори, които са квадратни числа. Първо, опитайте се да разложите радикалното число на квадратни множители.

Например, изчислете корен квадратен от 400 (на ръка). Първо опитайте да разложите 400 на квадратни множители. 400 е кратно на 100, тоест делимо на 25 е квадратно число. Разделянето на 400 на 25 ви дава 16, което също е квадратно число. По този начин 400 може да се разложи на квадратни множители на 25 и 16, тоест 25 x 16 = 400.

Запишете го като: 400 = (25 x 16).



Коренът квадратен от произведението на някои членове е равен на произведението от корените квадратни на всеки член, тоест (a x b) = a x b. Използвайки това правило, вземете квадратен корен от всеки квадратен фактор и умножете резултатите, за да намерите отговора.

В нашия пример вземете корен от 25 и 16.



Ако радикалното число не се разлага на две квадратен фактор(и това се случва в повечето случаи), няма да можете да намерите точния отговор под формата на цяло число. Но можете да опростите проблема, като разложите радикалното число на квадратен множител и обикновен множител (число, от което не може да се извади целият квадратен корен). След това ще вземете корен квадратен от квадратния множител и ще вземете корен от общия множител.

Например, изчислете корен квадратен от числото 147. Числото 147 не може да бъде разложено на два квадратни множителя, но може да бъде разложено на следните множители: 49 и 3. Решете задачата, както следва:



Сега можете да оцените стойността на корена (намерете приблизителна стойност), като го сравните със стойностите на корените на квадратните числа, които са най-близо (от двете страни на числовата линия) до радикалното число. Ще получите коренната стойност като десетична дроб, която трябва да бъде умножена по числото зад знака за корен.

Да се ​​върнем към нашия пример. Радикалното число е 3. Най-близките до него квадратни числа ще бъдат числата 1 (1 = 1) и 4 (4 = 2). Така стойността на 3 се намира между 1 и 2. Тъй като стойността на 3 вероятно е по-близо до 2, отколкото до 1, нашата оценка е: 3 = 1,7. Умножаваме тази стойност по числото в знака на корена: 7 x 1,7 = 11,9. Ако направите изчисленията с калкулатор, ще получите 12,13, което е доста близо до нашия отговор.

Този метод работи и с големи числа. Например, помислете за 35. Радикалното число е 35. Най-близките квадратни числа до него са числата 25 (25 = 5) и 36 (36 = 6). Така стойността на 35 се намира между 5 и 6. Тъй като стойността на 35 е много по-близо до 6, отколкото до 5 (тъй като 35 е само с 1 по-малко от 36), можем да кажем, че 35 е малко по-малко от 6. Проверка на калкулаторът ни дава отговор 5,92 - бяхме прави.



Друг начин е радикалното число да се разложи на прости множители. Прости множители на числа, които се делят само на 1 и на себе си. Напишете простите множители в редица и намерете двойки еднакви множители. Такива фактори могат да бъдат извадени от коренния знак.

Например, изчислете корен квадратен от 45. Разлагаме радикалното число на прости множители: 45 = 9 x 5 и 9 = 3 x 3. Така 45 = (3 x 3 x 5). 3 може да бъде извадено като знак за корен: 45 = 35. Сега можем да оценим 5.

Нека да разгледаме друг пример: 88.

= (2 x 4 x 11)

= (2 x 2 x 2 x 11). Получихте три множителя по 2; вземете няколко от тях и ги преместете отвъд знака за корен.

2(2 x 11) = 22 x 11. Сега можете да оцените 2 и 11 и да намерите приблизителен отговор.

Това видео за обучение също може да бъде полезно:

За да извлечете корена на число, трябва да използвате калкулатор или ако нямате подходящ, съветвам ви да отидете на този сайт и да решите проблема с онлайн калкулатор, което ще даде правилната стойност за секунди.

Събиране и изваждане на корени- един от най-често срещаните „препъникамъци“ за тези, които посещават курс по математика (алгебра) в гимназията. Но да се научите правилно да ги добавяте и изваждате е много важно, тъй като примерите за сумата или разликата на корените са включени в програмата на основния Единен държавен изпит по дисциплината „математика“.

За да овладеете решаването на такива примери, трябват две неща - да разберете правилата, а също и да натрупате практика. След като реши една или две дузини типични примери, ученикът ще доведе това умение до автоматизма и тогава вече няма да има от какво да се страхува на Единния държавен изпит. Препоръчително е да започнете да овладявате аритметичните операции със събиране, защото добавянето им е малко по-лесно от изваждането.

Най-лесният начин да обясните това е да използвате квадратния корен като пример. В математиката има утвърден термин „вдигане на квадрат“. „Въвеждане на квадрат“ означава еднократно умножаване на конкретно число само по себе си.. Например, ако повдигнете на квадрат 2, получавате 4. Ако повдигнете на квадрат 7, ще получите 49. На квадрат от 9 е 81. Така че квадратният корен от 4 е 2, от 49 е 7 и от 81 е 9.

По правило преподаването на тази тема по математика започва с квадратни корени. За да го определи веднага ученикът гимназиятрябва да знае таблицата за умножение наизуст. Тези, които не знаят твърдо тази таблица, трябва да използват съвети. Обикновено процесът на извличане на корен квадратен от число е даден под формата на таблица на кориците на много ученически тетрадки по математика.

Корените са от следните видове:

• квадрат;
• кубичен (или т.нар. трета степен);
• четвърта степен;
• пета степен.

Правила за добавяне

За да се реши успешно типичен пример, е необходимо да се има предвид, че не всички коренни числа могат да се подреждат един с друг. За да се сгънат, трябва да се докарат униформен модел. Ако това е невъзможно, тогава проблемът няма решение. Такива задачи също често се срещат в учебниците по математика като своеобразен капан за учениците.

Не се допуска добавяне в задачи, когато коренните изрази се различават един от друг. Това може да се илюстрира с ясен пример:

• Ученикът е изправен пред задачата: да събере корен квадратен от 4 и 9;
• неопитен ученик, който не знае правилото, обикновено пише: „корен от 4 + корен от 9 = корен от 13.“
• Много е лесно да се докаже, че това решение е неправилно. За да направите това, трябва да намерите корен квадратен от 13 и да проверите дали примерът е решен правилно;
• с помощта на микрокалкулатор можете да определите, че е приблизително 3,6. Сега остава само да проверим решението;
• корен от 4=2 и корен от 9=3;
• Сумата от числата "две" и "три" е равна на пет. Следователно този алгоритъм за решение може да се счита за неправилен.

Ако корените имат еднаква степен, но различни числови изрази, изважда се от скоби и се поставя в скоби сбор от два радикални израза. Така вече се извлича от това количество.

Алгоритъм за добавяне

За да решите правилно най-простата задача, необходимо:

1. Определете какво точно изисква добавяне.
2. Разберете дали е възможно да добавяте стойности една към друга, ръководейки се от съществуващите правила в математиката.
3. Ако не са сгъваеми, трябва да ги трансформирате, за да могат да се сгъват.
4. След като извършите всички необходими трансформации, трябва да извършите добавянето и да запишете готовия отговор. Можете да извършите събиране наум или с помощта на микрокалкулатор, в зависимост от сложността на примера.

Какви са подобни корени

За да разрешите правилно пример за добавяне, първо трябва да помислите как можете да го опростите. За да направите това, трябва да имате основни познания за това какво е сходство.

Способността да се идентифицират подобни помага за бързо решаване на подобни примери за добавяне, привеждайки ги в опростена форма. За да опростите типичен пример за добавяне, трябва да:

1. Намерете подобни и ги разделете в една група (или няколко групи).
2. Пренапишете съществуващия пример по такъв начин, че корените, които имат един и същ индикатор, следват ясно един след друг (това се нарича „групиране“).
3. След това трябва отново да напишете израза, този път по такъв начин, че подобни (които имат същия индикатор и същата радикална фигура) също следват един след друг.

След като това бъде направено, опростеният пример обикновено е лесен за решаване.

За да решите правилно всеки пример за добавяне, трябва ясно да разберете основните правила за добавяне, както и да знаете какво е корен и какво може да бъде.

Понякога такива проблеми изглеждат много трудни на пръв поглед, но обикновено се решават лесно чрез групиране на подобни. Най-важното нещо е практиката и тогава ученикът ще започне да „разбива проблемите като ядки“. Добавянето на корени е една от най-важните части на математиката, така че учителите трябва да отделят достатъчно време за изучаването му.

видео

Това видео ще ви помогне да разберете уравненията с квадратни корени.