Нека да преминем към изучаването на следващото действие с десетични дроби, сега ще разгледаме изчерпателно умножение на десетични знаци. Нека първо да поговорим общи принципиумножение на десетични дроби. След това ще преминем към умножаване на десетична дроб по десетична дроб, ще покажем как да умножаваме десетични дроби по колона и ще разгледаме решения на примери. След това ще разгледаме умножението на десетични дроби с естествени числа, по-специално с 10, 100 и т.н. И накрая, нека поговорим за умножаването на десетични числа с дроби и смесени числа.

Нека кажем веднага, че в тази статия ще говорим само за умножаване на положителни десетични дроби (вижте положителни и отрицателни числа). Останалите случаи са разгледани в статиите умножение на рационални числа и умножаване на реални числа.

Навигация в страницата.

Общи принципи на умножение на десетични знаци

Нека обсъдим общите принципи, които трябва да се следват при извършване на умножение с десетични знаци.

Тъй като крайните десетични дроби и безкрайните периодични дроби са десетичната форма на обикновените дроби, умножаването на такива десетични знаци по същество е умножаване на обикновени дроби. С други думи, умножаване на крайни десетични числа, умножаване на крайни и периодични десетични дроби, а също така умножаване на периодични десетични знацисе свежда до умножаване на обикновени дроби след преобразуване на десетични числа в обикновени дроби.

Нека да разгледаме примери за прилагане на посочения принцип за умножаване на десетични дроби.

Пример.

Умножете десетичните знаци 1,5 и 0,75.

Решение.

Нека заменим умножените десетични дроби със съответните обикновени дроби. Тъй като 1,5=15/10 и 0,75=75/100, тогава . Можете да намалите дроб и след това да изберете цялата част от неправилната дроб или по-удобно получената обикновена дробЗапишете 1,125/1,000 като десетична дроб 1,125.

отговор:

1,5·0,75=1,125.

Трябва да се отбележи, че е удобно да се умножават крайните десетични дроби в колона; ще говорим за този метод за умножаване на десетични дроби в.

Нека да разгледаме пример за умножение на периодични десетични дроби.

Пример.

Изчислете произведението на периодичните десетични дроби 0,(3) и 2,(36) .

Решение.

Нека преобразуваме периодичните десетични дроби в обикновени дроби:

Тогава. Можете да преобразувате получената обикновена дроб в десетична дроб:

отговор:

0,(3)·2,(36)=0,(78) .

Ако сред умножените десетични дроби има безкрайни непериодични, тогава всички умножени дроби, включително крайни и периодични, трябва да бъдат закръглени до определена цифра (вж. закръгляване на числата), и след това умножете крайните десетични дроби, получени след закръгляване.

Пример.

Умножете десетичните знаци 5,382... и 0,2.

Решение.

Първо, нека закръглим една безкрайна непериодична десетична дроб, закръглянето може да се направи до стотни, имаме 5,382...≈5,38. Последната десетична дроб 0,2 не е необходимо да се закръгля до най-близката стотна. Така 5,382...·0,2≈5,38·0,2. Остава да изчислим произведението на крайните десетични дроби: 5,38·0,2=538/100·2/10= 1,076/1,000=1,076.

отговор:

5,382…·0,2≈1,076.

Умножение на десетични дроби по колона

Умножаването на крайни десетични дроби може да се извърши в колона, подобно на умножаването на естествени числа в колона.

Да формулираме правило за умножение на десетични дроби по колона. За да умножите десетични дроби по колона, трябва:

• без да обръщате внимание на запетаите, извършете умножение по всички правила за умножение с колона от естествени числа;
• в полученото число отделете с десетична запетая толкова цифри отдясно, колкото има десетични знаци в двата фактора заедно и ако няма достатъчно цифри в продукта, тогава трябва да добавите отляво необходимо количествонули.

Нека да разгледаме примери за умножаване на десетични дроби по колони.

Пример.

Умножете десетичните знаци 63,37 и 0,12.

Решение.

Нека умножим десетични дроби в колона. Първо умножаваме числата, като игнорираме запетаите:

Остава само да добавите запетая към получения продукт. Тя трябва да раздели 4 цифри вдясно, тъй като множителите имат общо четири знака след десетичната запетая (два в дробта 3,37 и две в дробта 0,12). Там има достатъчно числа, така че не е нужно да добавяте нули отляво. Да завършим записа:

В резултат на това имаме 3,37·0,12=7,6044.

отговор:

3,37·0,12=7,6044.

Пример.

Изчислете произведението на десетичните знаци 3,2601 и 0,0254.

Решение.

След като извършихме умножение в колона, без да вземаме предвид запетаите, получаваме следната картина:

Сега в продукта трябва да разделите 8-те цифри отдясно със запетая, тъй като общият брой десетични знаци на умножените дроби е осем. Но има само 7 цифри в продукта, следователно трябва да добавите толкова нули отляво, така че да можете да отделите 8 цифри със запетая. В нашия случай трябва да зададем две нули:

Това завършва умножението на десетични дроби по колона.

отговор:

3,2601·0,0254=0,08280654.

Умножаване на десетични знаци по 0,1, 0,01 и т.н.

Доста често трябва да умножите десетични дроби по 0,1, 0,01 и т.н. Ето защо е препоръчително да се формулира правило за умножаване на десетична дроб с тези числа, което следва от принципите на умножаване на десетични дроби, разгледани по-горе.

така че умножаване на даден десетичен знак по 0,1, 0,01, 0,001 и т.н.дава дроб, който се получава от оригиналния, ако в неговия запис запетаята се премести наляво съответно с 1, 2, 3 и т.н. цифри и ако няма достатъчно цифри за преместване на запетаята, тогава трябва да добавете необходимия брой нули отляво.

Например, за да умножите десетичната дроб 54,34 по 0,1, трябва да преместите десетичната запетая в дробта 54,34 наляво с 1 цифра, което ще ви даде дроб 5,434, тоест 54,34·0,1=5,434. Нека дадем друг пример. Умножете десетичната дроб 9,3 по 0,0001. За да направим това, трябва да преместим десетичната запетая с 4 цифри наляво в умножената десетична дроб 9.3, но записът на дробта 9.3 не съдържа толкова много цифри. Следователно, трябва да присвоим толкова много нули отляво на дробта 9,3, така че да можем лесно да преместим десетичната запетая до 4 цифри, имаме 9,3·0,0001=0,00093.

Обърнете внимание, че посоченото правило за умножаване на десетична дроб по 0,1, 0,01, ... е валидно и за безкрайни десетични дроби. Например 0.(18)·0.01=0.00(18) или 93.938…·0.1=9.3938… .

Умножение на десетична запетая по естествено число

В основата си умножаване на десетични числа с естествени числане се различава от умножаването на десетичен знак по десетичен знак.

Най-удобно е да умножите крайна десетична дроб по естествено число в колона; в този случай трябва да се придържате към правилата за умножение на десетични дроби в колона, разгледани в един от предишните параграфи.

Пример.

Изчислете произведението 15·2,27.

Решение.

Нека умножим естествено число по десетична дроб в колона:

отговор:

15·2,27=34,05.

При умножаване на периодична десетична дроб с естествено число, периодичната дроб трябва да се замени с обикновена дроб.

Пример.

Умножете десетичната дроб 0.(42) по естественото число 22.

Решение.

Първо, нека преобразуваме периодичната десетична дроб в обикновена дроб:

Сега нека направим умножението: . Този резултат като десетична запетая е 9,(3) .

отговор:

0,(42)·22=9,(3) .

И когато умножавате безкрайна непериодична десетична дроб с естествено число, първо трябва да извършите закръгляване.

Пример.

Умножете 4·2,145….

Решение.

След като закръглихме първоначалната безкрайна десетична дроб до стотни, стигаме до умножението на естествено число и крайна десетична дроб. Имаме 4·2,145…≈4·2,15=8,60.

отговор:

4·2,145…≈8,60.

Умножение на десетична запетая по 10, 100, ...

Доста често трябва да умножите десетични дроби по 10, 100, ... Ето защо е препоръчително да се спрем подробно на тези случаи.

Нека го озвучим правило за умножение на десетична дроб с 10, 100, 1000 и т.н.Когато умножавате десетична дроб по 10, 100, ... в нейния запис, трябва да преместите десетичната запетая надясно до съответно 1, 2, 3, ... цифри и да изхвърлите допълнителните нули отляво; ако нотацията на дробта, която се умножава, няма достатъчно цифри за преместване на десетичната запетая, тогава трябва да добавите необходимия брой нули вдясно.

Пример.

Умножете десетичната дроб 0,0783 по 100.

Решение.

Нека преместим дробта 0,0783 две цифри надясно и получаваме 007,83. Пускането на двете нули отляво дава десетичната дроб 7,38. Така 0,0783·100=7,83.

отговор:

0,0783·100=7,83.

Пример.

Умножете десетичната дроб 0,02 по 10 000.

Решение.

За да умножим 0,02 по 10 000, трябва да преместим десетичната запетая с 4 цифри надясно. Очевидно в нотацията на дробта 0,02 няма достатъчно цифри за преместване на десетичната запетая с 4 цифри, така че ще добавим няколко нули вдясно, за да може да се премести десетичната запетая. В нашия пример е достатъчно да добавите три нули, имаме 0,02000. След като преместим запетаята, получаваме записа 00200.0. Като изхвърлим нулите отляво, имаме числото 200,0, което е равно на естественото число 200, което е резултат от умножаването на десетичната дроб 0,02 по 10 000.

В тази статия ще разгледаме действието на умножаване на десетични знаци. Нека започнем, като посочим общите принципи, след това покажем как да умножим една десетична дроб по друга и разгледаме метода на умножение по колона. Всички определения ще бъдат илюстрирани с примери. След това ще разгледаме как правилно да умножаваме десетични дроби с обикновени, както и смесени и естествени числа (включително 100, 10 и т.н.)

В този материал ще се докоснем само до правилата за умножаване на положителни дроби. Случаите с отрицателни числа се разглеждат отделно в статии за умножение на рационални и реални числа.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Нека формулираме общи принципи, които трябва да се следват при решаване на задачи, свързани с умножаване на десетични дроби.

Нека си припомним, като за начало, че десетичните дроби не са нищо повече от специална форма на писане на обикновени дроби; следователно процесът на умножаването им може да бъде сведен до подобен процес за обикновени дроби. Това правило работи както за крайни, така и за безкрайни дроби: след преобразуването им в обикновени дроби е лесно да умножаваме с тях според правилата, които вече сме научили.

Нека да видим как се решават подобни проблеми.

Пример 1

Изчислете произведението на 1,5 и 0,75.

Решение: Първо, нека заменим десетичните дроби с обикновени. Знаем, че 0,75 е 75/100, а 1,5 е 15/10. Можем да намалим фракцията и да изберем цялата част. Ще запишем получения резултат 125 1000 като 1, 125.

отговор: 1 , 125 .

Можем да използваме метода за преброяване на колони, точно както при естествените числа.

Пример 2

Умножете една периодична дроб 0, (3) с друга 2, (36).

Първо, нека редуцираме оригиналните дроби до обикновени. Ще получим:

0 , (3) = 0 , 3 + 0 , 03 + 0 , 003 + 0 , 003 + . . . = 0 , 3 1 - 0 , 1 = 0 , 3 9 = 3 9 = 1 3 2 , (36) = 2 + 0 , 36 + 0 , 0036 + . . . = 2 + 0 , 36 1 - 0 , 01 = 2 + 36 99 = 2 + 4 11 = 2 4 11 = 26 11

Следователно 0, (3) · 2, (36) = 1 3 · 26 11 = 26 33.

Получената обикновена дроб може да бъде намалена до десетична форма, разделяйки числителя на знаменателя в колона:

отговор: 0 , (3) · 2 , (36) = 0 , (78) .

Ако имаме безкрайни непериодични дроби в формулировката на проблема, тогава трябва да извършим предварително закръгляване (вижте статията за закръгляване на числа, ако сте забравили как да направите това). След това можете да извършите действието за умножение с вече закръглени десетични дроби. Да дадем пример.

Пример 3

Изчислете произведението на 5, 382... и 0, 2.

Решение

В нашия проблем имаме безкрайна дроб, която първо трябва да бъде закръглена до стотни. Оказва се, че 5,382... ≈ 5,38. Няма смисъл вторият фактор да се закръгля до стотни. Сега можете да изчислите търсения продукт и да запишете отговора: 5,38 0,2 = 538 100 2 10 = 1 076 1000 = 1,076.

отговор: 5,382…·0,2 ≈ 1,076.

Методът за преброяване на колони може да се използва не само за естествени числа. Ако имаме десетични числа, можем да ги умножим по абсолютно същия начин. Нека изведем правилото:

Определение 1

Умножаването на десетични дроби по колона се извършва в 2 стъпки:

1. Извършете умножение по колони, без да обръщате внимание на запетаите.

2. Поставете десетична запетая в крайното число, като го разделите с толкова цифри от дясната страна, колкото и двата фактора съдържат десетични знаци заедно. Ако резултатът не е достатъчно числа за това, добавете нули отляво.

Нека да разгледаме примери за такива изчисления на практика.

Пример 4

Умножете десетичните знаци 63, 37 и 0, 12 по колони.

Решение

Първо, нека умножим числата, като игнорираме десетичните точки.

Сега трябва да поставим запетаята на правилното място. Той ще раздели четирите цифри от дясната страна, тъй като сумата от десетичните знаци в двата фактора е 4. Няма нужда да добавяте нули, т.к достатъчно знаци:

отговор: 3,37 0,12 = 7,6044.

Пример 5

Изчислете колко е 3,2601 по 0,0254.

Решение

Броим без запетаи. Получаваме следното число:

Ще поставим запетая, разделяща 8 цифри от дясната страна, защото оригиналните дроби заедно имат 8 знака след десетичната запетая. Но нашият резултат има само седем цифри и не можем без допълнителни нули:

отговор: 3,2601 0,0254 = 0,08280654.

Как да умножим десетичен знак по 0,001, 0,01, 01 и т.н.

Умножаването на десетични числа с такива числа е обичайно, така че е важно да можете да го правите бързо и точно. Нека запишем специално правило, което ще използваме за това умножение:

Определение 2

Ако умножим десетична запетая по 0, 1, 0, 01 и т.н., ще получим число, подобно на оригиналната дроб, като десетичната запетая е преместена наляво с необходимия брой места. Ако няма достатъчно числа за прехвърляне, трябва да добавите нули отляво.

И така, за да умножите 45, 34 по 0, 1, трябва да преместите десетичната запетая в оригиналната десетична дроб с едно място. Ще завършим с 4534.

Пример 6

Умножете 9,4 по 0,0001.

Решение

Ще трябва да преместим десетичната запетая с четири позиции според броя на нулите във втория фактор, но числата в първия фактор не са достатъчни за това. Присвояваме необходимите нули и откриваме, че 9,4 · 0,0001 = 0,00094.

отговор: 0 , 00094 .

За безкрайни десетични числа използваме същото правило. Така например 0, (18) · 0, 01 = 0, 00 (18) или 94, 938... · 0, 1 = 9, 4938.... и т.н.

Процесът на такова умножение не се различава от действието на умножаване на две десетични дроби. Удобно е да използвате метода на умножение по колони, ако формулировката на проблема съдържа последна десетична дроб. В този случай е необходимо да се вземат предвид всички правила, за които говорихме в предишния параграф.

Пример 7

Пресметнете колко е 15 · 2,27.

Решение

Нека умножим оригиналните числа с колона и разделим две запетаи.

отговор: 15 · 2,27 = 34,05.

Ако умножим периодична десетична дроб по естествено число, първо трябва да променим десетичната дроб на обикновена.

Пример 8

Изчислете произведението на 0 , (42) и 22 .

Нека редуцираме периодичната дроб до обикновен вид.

0 , (42) = 0 , 42 + 0 , 0042 + 0 , 000042 + . . . = 0 , 42 1 - 0 , 01 = 0 , 42 0 , 99 = 42 99 = 14 33

0, 42 22 = 14 33 22 = 14 22 3 = 28 3 = 9 1 3

Можем да запишем крайния резултат под формата на периодична десетична дроб като 9, (3).

отговор: 0 , (42) 22 = 9 , (3) .

Безкрайните дроби трябва първо да бъдат закръглени преди изчисленията.

Пример 9

Пресметнете колко ще бъде 4 · 2, 145....

Решение

Нека закръглим първоначалната безкрайна десетична дроб до стотни. След това стигаме до умножаване на естествено число и последна десетична дроб:

4 2,145… ≈ 4 2,15 = 8,60.

отговор: 4 · 2, 145… ≈ 8, 60.

Как да умножим десетичен знак по 1000, 100, 10 и т.н.

Умножаването на десетична дроб по 10, 100 и т.н. често се среща в задачи, така че ще анализираме този случай отделно. Основното правило за умножение е:

Определение 3

За да умножите десетична дроб по 1000, 100, 10 и т.н., трябва да преместите запетаята й до 3, 2, 1 цифри в зависимост от множителя и да изхвърлите допълнителните нули отляво. Ако няма достатъчно числа за преместване на запетаята, добавяме толкова нули вдясно, колкото са ни необходими.

Нека покажем с пример как точно се прави това.

Пример 10

Умножете 100 и 0,0783.

Решение

За да направим това, трябва да преместим десетичната запетая с 2 цифри надясно. Ще завършим с 007, 83. Нулите отляво могат да бъдат изхвърлени и резултатът да бъде записан като 7, 38.

отговор: 0,0783 100 = 7,83.

Пример 11

Умножете 0,02 по 10 хиляди.

Решение: Ще преместим запетаята четири цифри надясно. Нямаме достатъчно знаци за това в оригиналната десетична дроб, така че ще трябва да добавим нули. В този случай три 0 ще бъдат достатъчни. Резултатът е 0, 02000, преместете запетаята и вземете 00200, 0. Пренебрегвайки нулите отляво, можем да запишем отговора като 200.

отговор: 0,02 · 10 000 = 200.

Правилото, което дадохме, ще работи по същия начин в случай на безкрайни десетични дроби, но тук трябва да сте много внимателни относно периода на крайната дроб, тъй като е лесно да направите грешка в него.

Пример 12

Изчислете произведението от 5,32 (672) по 1000.

Решение: първо, ще запишем периодичната дроб като 5, 32672672672 ..., така че вероятността да сгрешим ще бъде по-малка. След това можем да преместим запетаята до необходимия брой знака (три). Резултатът ще бъде 5326, 726726... Нека оградим точката в скоби и напишем отговора като 5,326, (726).

отговор: 5, 32 (672) · 1000 = 5326, (726) .

Ако условията на проблема съдържат безкрайни непериодични дроби, които трябва да се умножат по десет, сто, хиляда и т.н., не забравяйте да ги закръглите, преди да умножите.

За да извършите умножение от този тип, трябва да представите десетичната дроб като обикновена дроб и след това да продължите според вече познатите правила.

Пример 13

Умножете 0, 4 по 3 5 6

Решение

Първо, нека преобразуваме десетичната дроб в обикновена дроб. Имаме: 0, 4 = 4 10 = 2 5.

Отговорът получихме под формата на смесено число. Можете да го запишете като периодична дроб 1, 5 (3).

отговор: 1 , 5 (3) .

Ако в изчислението участва безкрайна непериодична дроб, трябва да я закръглите до определено число и след това да я умножите.

Пример 14

Изчислете произведението 3, 5678. . . · 2 3

Решение

Можем да представим втория фактор като 2 3 = 0, 6666…. След това закръглете двата фактора до хилядната позиция. След това ще трябва да изчислим произведението на две последни десетични дроби 3,568 и 0,667. Нека преброим с колона и да получим отговора:

Крайният резултат трябва да бъде закръглен до хилядни, тъй като именно до тази цифра закръглихме първоначалните числа. Оказва се, че 2,379856 ≈ 2,380.

отговор: 3, 5678. . . · 2 3 ≈ 2, 380

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Десетичната запетая се използва, когато трябва да извършвате операции с нецели числа. Това може да изглежда ирационално. Но този тип числа значително опростяват математическите операции, които трябва да се извършват с тях. Това разбиране идва с времето, когато писането им стане познато и четенето им не създава затруднения и правилата за десетичните дроби са усвоени. Освен това всички действия повтарят вече познати, които са научени с естествени числа. Просто трябва да запомните някои функции.

Десетично определение

Десетичният дроб е специално представяне на нецяло число със знаменател, който се дели на 10, давайки отговора като едно и евентуално нули. С други думи, ако знаменателят е 10, 100, 1000 и т.н., тогава е по-удобно числото да се пренапише със запетая. Тогава цялата част ще бъде разположена преди него, а след това дробната част. Освен това записът на втората половина на числото ще зависи от знаменателя. Броят на цифрите, които са в дробната част, трябва да бъде равен на цифрата на знаменателя.

Горното може да се илюстрира със следните числа:

9/10=0,9; 178/10000=0,0178; 3,05; 56 003,7006.

Причини за използване на десетични знаци

Математиците се нуждаеха от десетични знаци по няколко причини:

Опростяване на записа. Такава фракция е разположена на една линия без тире между знаменателя и числителя, докато яснотата не страда.

Простота в сравнение. Достатъчно е просто да съпоставите числа, които са на еднакви позиции, докато с обикновените дроби ще трябва да ги сведете до общ знаменател.

Опростете изчисленията.

Калкулаторите не са предназначени да приемат дроби; те използват десетична нотация за всички операции.

Как да четем правилно такива числа?

Отговорът е прост: точно като обикновено смесено число със знаменател, който е кратен на 10. Единственото изключение са дроби без цяло число, тогава при четене трябва да произнесете „нула цели числа“.

Например 45/1000 трябва да се произнася като четиридесет и пет хиляди, в същото време 0,045 ще звучи като нула точка четиридесет и пет хилядни.

Смесено число с цяла частравно на 7 и дробта 17/100, която ще бъде написана като 7.17, и в двата случая ще се чете като седем точка седемнадесет.

Ролята на цифрите при записване на дроби

Правилното отбелязване на ранга е това, което математиката изисква. Десетичните знаци и тяхното значение могат да се променят значително, ако напишете цифрата на грешното място. Това обаче беше вярно преди.

За да прочетете цифрите на цялата част от десетична дроб, просто трябва да използвате правилата, известни за естествените числа. А от дясната страна са огледални и се четат различно. Ако цялата част звучи "десетки", тогава след десетичната запетая ще бъде "десети".

Това може ясно да се види в тази таблица.

Как правилно да напишете смесено число като десетична запетая?

Ако знаменателят съдържа число, равно на 10 или 100, и други, тогава въпросът как да преобразувате дроб в десетична не е труден. За да направите това, достатъчно е да пренапишете всички негови компоненти по различен начин. Следните точки ще помогнат за това:

напишете числителя на дроба малко встрани, в този момент десетичната точка се намира вдясно, след последната цифра;

преместете запетаята наляво, най-важното тук е да преброите правилно числата - трябва да я преместите с толкова позиции, колкото нули има в знаменателя;

ако няма достатъчно от тях, тогава трябва да има нули в празните позиции;

нулите, които бяха в края на числителя, сега не са необходими и могат да бъдат задраскани;

Преди запетаята добавете цялата част; ако не е била там, тогава ще има и нула.

внимание. Не можете да задраскате нули, които са заобиколени от други числа.

Можете да прочетете по-долу какво да направите в ситуация, в която знаменателят има число, състоящо се не само от единици и нули, и как да преобразувате дроб в десетичен знак. това важна информация, което определено си заслужава да се провери.

Как да преобразувам дроб в десетична, ако знаменателят е произволно число?

Тук има два варианта:

Когато знаменателят може да бъде представен като число, равно на десет на произволна степен.

Ако такава операция не може да бъде извършена.

Как мога да проверя това? Трябва да разложите знаменателя на множители. Ако в продукта присъстват само 2 и 5, тогава всичко е наред и дробта лесно се преобразува в краен десетичен знак. В противен случай, ако се появят 3, 7 и други прости числа, резултатът ще бъде безкраен. Такава десетична дроб за лесна употреба в математически операцииПрието е да се закръглят. Това ще бъде обсъдено малко по-долу.

Изследва как се правят десетични дроби, 5 клас. Примерите тук ще бъдат много полезни.

Нека знаменателите са числата: 40, 24 и 75. Разлагане на основни факториза тях ще е така:

• 40=2·2·2·5;
• 24=2·2·2·3;
• 75=5·5·3.

В тези примери само първата фракция може да бъде представена като крайна фракция.

Алгоритъм за преобразуване на обикновена дроб в крайна десетична дроб

Проверете разлагането на знаменателя на прости множители и се уверете, че ще се състои от 2 и 5.

Добавете толкова 2s и 5s към тези числа, така че да има равен брой от тях. Те ще дадат стойността на допълнителния множител.

Умножете знаменателя и числителя по това число. Резултатът ще бъде обикновена дроб, под чертата на която има 10 до някаква степен.

Ако в задачата тези действия се извършват със смесено число, то първо трябва да се представи като неправилна дроб. И едва тогава действайте според описания сценарий.

Представяне на дроб като заоблен десетичен знак

Този метод за преобразуване на дроб в десетичен знак може да изглежда дори по-лесен за някои. Защото няма много действие. Просто трябва да разделите числителя на знаменателя.

Всяко число с десетична част вдясно от десетичната запетая може да получи безкраен брой нули. Този имот е това, от което трябва да се възползвате.

Първо запишете цялата част и поставете запетая след нея. Ако дробта е правилна, напишете нула.

След това трябва да разделите числителя на знаменателя. Така че да имат еднакъв брой цифри. Тоест добавете необходимия брой нули отдясно на числителя.

Извършете дълго деление, докато се достигне необходимия брой цифри. Например, ако трябва да закръглите до стотни, тогава отговорът трябва да бъде 3. Като цяло трябва да има едно число повече, отколкото трябва да получите накрая.

Запишете междинния отговор след десетичната запетая и закръглете според правилата. Ако последната цифра е от 0 до 4, тогава просто трябва да я изхвърлите. И когато е равно на 5-9, тогава този пред него трябва да се увеличи с единица, като се изхвърли последният.

Връщане от десетична към обикновена дроб

В математиката има проблеми, когато е по-удобно да се представят десетични дроби под формата на обикновени дроби, в които има числител със знаменател. Можете да въздъхнете с облекчение: тази операция винаги е възможна.

За тази процедура трябва да направите следното:

запишете цялата част, ако е равна на нула, тогава няма нужда да пишете нищо;

начертайте дробна линия;

над него запишете числата от дясната страна, ако нулите са на първо място, те трябва да бъдат задраскани;

Под чертата напишете единица с толкова нули, колкото са цифрите след десетичната запетая в оригиналната дроб.

Това е всичко, което трябва да направите, за да преобразувате десетичен знак в дроб.

Какво можете да правите с десетичните знаци?

В математиката това ще бъдат определени операции с десетични знаци, които преди са били извършвани за други числа.

Те са:

сравнение;

събиране и изваждане;

умножение и деление.

Първото действие, сравнението, е подобно на начина, по който е направено за естествени числа. За да определите кое е по-голямо, трябва да сравните цифрите на цялата част. Ако се окажат равни, тогава преминават към дробните и също ги сравняват по цифри. Числото с най-голямата цифра в най-значимата цифра ще бъде отговорът.

Събиране и изваждане на десетични знаци

Това са може би най-много прости стъпки. Защото се извършват по правилата за естествените числа.



И така, за да добавите десетични дроби, те трябва да бъдат записани една под друга, като се поставят запетаи в колона. При тази нотация цели части се появяват отляво на запетаите, а дробни части отдясно. И сега трябва да събирате числата малко по малко, както се прави с естествените числа, като местите запетаята надолу. Трябва да започнете да добавяте от най-малката цифра на дробната част на числото. Ако в дясната половина няма достатъчно числа, тогава се добавят нули.

Същото важи и за изваждането. И тук има правило, което описва възможността за вземане на единица от най-висок ранг. Ако фракцията, която се редуцира, има по-малко цифри след десетичната запетая, отколкото дробта, която се изважда, тогава към нея просто се добавят нули.

Ситуацията е малко по-сложна със задачи, в които трябва да умножавате и разделяте десетични дроби.

Как да умножим десетична дроб в различни примери?

Правилото за умножаване на десетични дроби с естествено число е:

запишете ги в колона, без да обръщате внимание на запетаята;

размножават се, сякаш са естествени;

Разделете със запетая толкова цифри, колкото е имало в дробната част на оригиналното число.

Специален случай е примерът, в който естествено число е равно на 10 на произволна степен. След това, за да получите отговора, просто трябва да преместите десетичната запетая надясно с толкова позиции, колкото нули има в другия фактор. С други думи, когато се умножи по 10, десетичната точка се премества с една цифра, със 100 - ще бъдат две и т.н. Ако в дробната част няма достатъчно числа, тогава трябва да напишете нули в празните позиции.

Правилото, което се използва, когато дадена задача изисква умножаване на десетични дроби с друго същото число:

запишете ги един след друг, без да обръщате внимание на запетаите;

размножават се като естествени;

Разделете със запетая толкова цифри, колкото е имало в дробните части на двете оригинални дроби заедно.

Специален случай са примерите, в които един от множителите е равен на 0,1 или 0,01 и т.н. В тях трябва да преместите десетичната запетая наляво с броя на цифрите в представените фактори. Тоест, ако се умножи по 0,1, тогава десетичната точка се измества с една позиция.

Как се дели десетична дроб в различни задачи?

Разделянето на десетични дроби на естествено число се извършва по следното правило:

запишете ги за разделяне в колона като натурални;

разделете според обичайното правило, докато цялата част свърши;

поставете запетая в отговора;

продължете да разделяте дробния компонент, докато остатъкът стане нула;

ако е необходимо, можете да добавите необходимия брой нули.

Ако цялата част е равна на нула, тогава тя също няма да бъде в отговора.

Отделно има разделяне на числа, равни на десет, сто и т.н. При такива задачи трябва да преместите десетичната точка наляво с броя на нулите в делителя. Случва се в цяла част да няма достатъчно числа, тогава вместо тях се използват нули. Можете да видите, че тази операция е подобна на умножение по 0,1 и подобни числа.

За да разделите десетични числа, трябва да използвате това правило:

превърнете делителя в естествено число и за целта преместете запетаята в него надясно до края;

преместете десетичната запетая в дивидента със същия брой цифри;

действайте според предишния сценарий.

Делението на 0,1 е подчертано; 0,01 и други подобни числа. В такива примери десетичната точка се измества надясно с броя на цифрите в дробната част. Ако те свършат, тогава трябва да добавите липсващия брой нули. Струва си да се отбележи, че това действие повтаря делене на 10 и подобни числа.



Заключение: Всичко е въпрос на практика

Нищо в ученето не идва лесно или без усилия. Надеждното овладяване на нов материал изисква време и практика. Математиката не прави изключение.

За да сте сигурни, че темата за десетичните дроби не създава затруднения, трябва да решите възможно най-много примери с тях. В крайна сметка имаше време, когато добавянето на естествени числа беше задънена улица. И сега всичко е наред.

Затова, ако перифразираме една добре позната фраза: решавайте, решавайте и пак решавайте. Тогава задачите с такива числа ще се изпълняват лесно и естествено, като поредния пъзел.

Между другото, пъзелите са трудни за решаване в началото, а след това трябва да правите обичайните движения. Същото е и в математическите примери: след като сте вървели по една и съща пътека няколко пъти, тогава вече няма да мислите къде да завиете.

За да разберете как да умножавате десетични числа, нека разгледаме конкретни примери.

Правило за умножение на десетични знаци

1) Умножете, без да обръщате внимание на запетаята.

2) В резултат на това отделяме толкова цифри след десетичната запетая, колкото има след десетичните точки в двата фактора заедно.

Примери.

Намерете произведението на десетичните дроби:

За да умножим десетични дроби, умножаваме, без да обръщаме внимание на запетаите. Тоест умножаваме не 6,8 и 3,4, а 68 и 34. В резултат на това отделяме толкова цифри след десетичната запетая, колкото има след десетичните точки в двата множителя заедно. В първия фактор има една цифра след десетичната запетая, във втория също има една. Общо разделяме две числа след десетичната запетая. Така получаваме крайния отговор: 6,8∙3,4=23,12.

Умножаваме десетични числа, без да вземаме предвид десетичната запетая. Тоест всъщност, вместо да умножаваме 36,85 по 1,14, ние умножаваме 3685 по 14. Получаваме 51590. Сега в този резултат трябва да разделим със запетая толкова цифри, колкото има в двата фактора заедно. Първото число има две цифри след десетичната запетая, второто има една. Общо отделяме три цифри със запетая. Тъй като в края на записа има нула след десетичната запетая, не я записваме в отговора: 36,85∙1,4=51,59.

За да умножим тези десетични знаци, нека умножим числата, без да обръщаме внимание на запетаите. Тоест, умножаваме естествените числа 2315 и 7. Получаваме 16205. В това число трябва да отделите четири цифри след десетичната запетая - толкова, колкото са в двата множителя заедно (по две във всеки). Краен отговор: 23,15∙0,07=1,6205.

Умножаването на десетична дроб с естествено число се извършва по същия начин. Умножаваме числата, без да обръщаме внимание на десетичната запетая, тоест умножаваме 75 по 16. Полученият резултат трябва да съдържа същия брой знаци след десетичната запетая, колкото има в двата множителя заедно – един. Така 75∙1,6=120,0=120.

Започваме да умножаваме десетични дроби, като умножаваме естествени числа, тъй като не обръщаме внимание на запетаите. След това отделяме толкова цифри след десетичната запетая, колкото има в двата фактора заедно. Първото число има два знака след десетичната запетая, второто също има два. Общо резултатът трябва да бъде четири цифри след десетичната запетая: 4,72∙5,04=23,7888.

В курсовете на средното и средното училище учениците разглеждаха темата „Дроби“. Това понятие обаче е много по-широко от това, което се дава в учебния процес. Днес концепцията за дроб се среща доста често и не всеки може да изчисли произволен израз, например умножаване на дроби.

Какво е дроб?

Исторически дробните числа възникват поради необходимостта от измерване. Както показва практиката, често има примери за определяне на дължината на сегмент и обема на правоъгълен правоъгълник.

Първоначално учениците се запознават с понятието акция. Например, ако разделите диня на 8 части, тогава всеки човек ще получи една осма от динята. Тази част от осем се нарича дял.

Дял, равен на ½ от всяка стойност, се нарича половина; ⅓ - трети; ¼ - една четвърт. Записите от формата 5/8, 4/5, 2/4 се наричат ​​обикновени дроби. Обикновената дроб се дели на числител и знаменател. Между тях е дробната лента, или фракционната лента. Дробната линия може да бъде начертана като хоризонтална или наклонена линия. IN в този случайпредставлява знака за деление.

Знаменателят представлява на колко равни части е разделено количеството или обектът; а числителят е колко еднакви акции са взети. Числителят е написан над дробната черта, а знаменателят е написан под нея.

Най-удобно е да се показват обикновени дроби на координатен лъч. Ако единичен сегмент е разделен на 4 равни части, маркирайте всяка част латиница, тогава резултатът може да бъде отлично визуално помагало. И така, точка А показва дял, равен на 1/4 от целия единичен сегмент, а точка Б маркира 2/8 от даден сегмент.

Видове дроби

Дробите могат да бъдат обикновени, десетични и смесени числа. Освен това дробите могат да бъдат разделени на правилни и неправилни. Тази класификация е по-подходяща за обикновени дроби.

Под правилна дробразбират числото, чийто числител по-малко от знаменателя. Съответно, неправилна дроб е число, чийто числител е по-голям от знаменателя. Вторият тип обикновено се записва като смесено число. Този израз се състои от цяло число и дробна част. Например 1½. 1 е цяла част, ½ е дробна част. Ако обаче трябва да извършите някои манипулации с израза (разделяне или умножаване на дроби, намаляване или преобразуване), смесеното число се преобразува в неправилна дроб.

Правилният дробен израз винаги е по-малък от единица, а неправилният винаги е по-голям или равен на 1.

Що се отнася до този израз, имаме предвид запис, в който е представено произволно число, чийто знаменател на дробния израз може да бъде изразен чрез единица с няколко нули. Ако дробта е правилна, тогава цялата част в десетичната система ще бъде равна на нула.

За да напишете десетична дроб, първо трябва да напишете цялата част, да я отделите от дробта със запетая и след това да напишете дробния израз. Трябва да се помни, че след десетичната запетая числителят трябва да съдържа същия брой цифрови знаци, колкото има нули в знаменателя.

Пример. Изразете дробта 7 21 / 1000 в десетичен запис.

Алгоритъм за преобразуване на неправилна дроб в смесено число и обратно

Неправилно е да се пише неправилна дроб в отговора на задача, затова трябва да се преобразува в смесено число:

• разделете числителя на съществуващия знаменател;
• V конкретен примернепълно частно – цяло;
• а остатъкът е числителят на дробната част, като знаменателят остава непроменен.

Пример. Преобразувайте неправилна дроб в смесено число: 47 / 5.

Решение. 47: 5. Частичното частно е 9, остатъкът = 2. И така, 47/5 = 9 2/5.

Понякога трябва да представите смесено число като неправилна дроб. След това трябва да използвате следния алгоритъм:

• цялата част се умножава по знаменателя на дробния израз;
• полученият продукт се добавя към числителя;
• резултатът се записва в числителя, знаменателят остава непроменен.

Пример. Представете смесеното число като неправилна дроб: 9 8 / 10.

Решение. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 е числителят.

отговор: 98 / 10.

Умножение на дроби

С обикновените дроби могат да се извършват различни алгебрични операции. За да умножите две числа, трябва да умножите числителя с числителя и знаменателя със знаменателя. Освен това умножаването на дроби с различни знаменатели не се различава от произведението дробни числас еднакви знаменатели.

Случва се, че след като намерите резултата, трябва да намалите фракцията. Наложително е да се опрости полученият израз възможно най-много. Разбира се, не може да се каже, че неправилна дроб в отговор е грешка, но също така е трудно да се нарече правилен отговор.

Пример. Намерете произведението на две обикновени дроби: ½ и 20/18.

Както се вижда от примера, след намиране на продукта се получава редуцируема дробна нотация. И числителят, и знаменателят в този случай са разделени на 4 и резултатът е отговорът 5/9.

Умножаване на десетични дроби

Произведението на десетичните дроби е доста различно от произведението на обикновените дроби по своя принцип. И така, умножаването на дроби е както следва:

• две десетични дроби трябва да бъдат записани една под друга, така че най-десните цифри да са една под друга;
• трябва да умножите написаните числа, въпреки запетаите, тоест като естествени числа;
• пребройте броя на цифрите след десетичната запетая във всяко число;
• в резултата, получен след умножението, трябва да преброите отдясно толкова цифрови символи, колкото се съдържат в сумата в двата фактора след десетичната запетая, и да поставите разделителен знак;
• ако в продукта има по-малко числа, тогава трябва да напишете толкова нули пред тях, за да покриете това число, да поставите запетая и да добавите цялата част, равна на нула.

Пример. Изчислете произведението на две десетични дроби: 2,25 и 3,6.

Решение.

Умножение на смесени дроби

За да изчислите произведението на две смесени дроби, трябва да използвате правилото за умножение на дроби:

• преобразуват смесени числа в неправилни дроби;
• намерете произведението на числителите;
• намерете произведението на знаменателите;
• запишете резултата;
• опростете израза колкото е възможно повече.

Пример. Намерете произведението на 4½ и 6 2/5.

Умножение на число с дроб (дроби с число)

В допълнение към намирането на произведението на две дроби и смесени числа, има задачи, в които трябва да умножите по дроб.

И така, за да намерите произведението на десетична дроб и естествено число, трябва:

• напишете числото под дробта, така че най-десните цифри да са една над друга;
• намерете продукта въпреки запетаята;
• в получения резултат отделете цялата част от дробната част със запетая, като броите отдясно броя на цифрите, които се намират след десетичната запетая в дробта.

За да умножите обикновена дроб по число, трябва да намерите произведението на числителя и естествения фактор. Ако отговорът дава дроб, която може да бъде намалена, тя трябва да бъде преобразувана.

Пример. Изчислете произведението на 5/8 и 12.

Решение. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

отговор: 7 1 / 2.

Както можете да видите от предишния пример, беше необходимо да се намали полученият резултат и да се преобразува изразът на неправилната дроб в смесено число.

Умножението на дроби също се отнася до намирането на произведението на число в смесена форма и естествен фактор. За да умножите тези две числа, трябва да умножите цялата част от смесения фактор по числото, да умножите числителя по същата стойност и да оставите знаменателя непроменен. Ако е необходимо, трябва да опростите получения резултат възможно най-много.

Пример. Намерете произведението на 9 5/6 и 9.

Решение. 9 5 / 6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.

отговор: 88 1 / 2.

Умножение с коефициенти 10, 100, 1000 или 0,1; 0,01; 0,001

Следното правило следва от предходния параграф. За да умножите десетична дроб по 10, 100, 1000, 10000 и т.н., трябва да преместите десетичната запетая надясно с толкова цифри, колкото нули има във фактора след единица.

Пример 1. Намерете произведението на 0,065 и 1000.

Решение. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.

отговор: 65.

Пример 2. Намерете произведението на 3,9 и 1000.

Решение. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.

отговор: 3900.

Ако трябва да умножите естествено число и 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 и т.н., трябва да преместите запетаята в получения продукт наляво с толкова цифри, колкото нули има преди единица. Ако е необходимо, пред естественото число се записват достатъчен брой нули.

Пример 1. Намерете произведението на 56 и 0,01.

Решение. 56 х 0,01 = 0056 = 0,56.

отговор: 0,56.

Пример 2. Намерете произведението на 4 и 0,001.

Решение. 4 х 0,001 = 0004 = 0,004.

отговор: 0,004.

Така че намирането на продукта от различни фракции не трябва да създава никакви затруднения, освен може би изчисляването на резултата; в този случай просто не можете без калкулатор.