На пръв поглед алгебричните дроби изглеждат много сложни и неподготвен ученик може да си помисли, че нищо не може да се направи с тях. Безпорядъкът от променливи, числа и дори степени предизвиква страх. Същите правила обаче се използват за намаляване на дроби (като 15/25) и алгебрични дроби.

стъпки

Намаляване на дроби

Вижте дейностите с прости дроби. Операциите с обикновени и алгебрични дроби са подобни. Например, нека вземем дробта 15/35. За да опростите тази дроб, трябва намерете общ делител. И двете числа се делят на пет, така че можем да изолираме 5 в числителя и знаменателя:

Сега можете намаляване на общите фактори, тоест задраскайте 5 в числителя и знаменателя. В резултат на това получаваме опростената дроб 3/7 . IN алгебрични изразиобщите фактори се разпределят по същия начин, както при обикновените. В предишния пример успяхме лесно да изолираме 5 от 15 - същият принцип се прилага за по-сложни изрази като 15x – 5. Нека намерим общия множител. IN в този случайтова ще бъде 5, тъй като и двата члена (15x и -5) се делят на 5. Както преди, изолирайте общия множител и го преместете наляво.

15x – 5 = 5 * (3x – 1)

За да проверите дали всичко е правилно, просто умножете израза в скоби по 5 - резултатът ще бъде същите числа като в началото. Сложните членове могат да бъдат изолирани по същия начин като простите. За алгебричните дроби важат същите принципи, както и за обикновените. Това е най-лесният начин за намаляване на дроб. Разгледайте следната фракция:

Имайте предвид, че както числителят (отгоре), така и знаменателят (отдолу) съдържат член (x+2), така че той може да бъде намален по същия начин като общия множител 5 в дробта 15/35:

В резултат на това получаваме опростен израз: (x-3)/(x+10)

Редуциране на алгебрични дроби

Намерете общия множител в числителя, тоест в горната част на дробта. Когато редуцирате алгебрична дроб, първата стъпка е да опростите двете страни. Започнете с числителя и се опитайте да го включите във възможно най-много фактори. Разгледайте в този раздел следната фракция:

Нека започнем с числителя: 9x – 3. За 9x и -3 общият множител е числото 3. Нека извадим 3 от скобите, както се прави с обикновените числа: 3 * (3x-1). Резултатът от тази трансформация е следната дроб:

Намерете общия множител в числителя. Нека продължим с примера по-горе и запишем знаменателя: 15x+6. Както преди, нека намерим на какво число се делят двете части. И в този случай общият множител е 3, така че можем да запишем: 3 * (5x +2). Нека пренапишем дробта в следния вид:

Съкратете същите срокове. На тази стъпка можете да опростите дробта. Съкратете същите членове в числителя и знаменателя. В нашия пример това число е 3.

Определете, че частта има най-простата форма. Една дроб е напълно опростена, когато в числителя и знаменателя не са останали общи множители. Имайте предвид, че не можете да отмените членове, които са в скоби - в примера по-горе няма начин да изолирате x от 3x и 5x, тъй като пълните членове са (3x -1) и (5x + 2). По този начин дробта не може да бъде опростена допълнително и крайният отговор е следният:

Упражнявайте се да намалявате дроби сами. Най-добрият начиннаучете метода е независимо решениезадачи. Верните отговори са дадени под примерите.

отговор:(x=13)

отговор:(2x-1)/5

Специални движения

Извадете го отрицателен знакизвън фракцията. Да предположим, че ви е дадена следната дроб:

Обърнете внимание, че (x-4) и (4-x) са "почти" идентични, но не могат да бъдат намалени веднага, защото са "обърнати". Въпреки това (x - 4) може да се запише като -1 * (4 - x), точно както (4 + 2x) може да се запише като 2 * (2 + x). Това се нарича „обръщане на знака“.

Сега можете да намалите идентични термини (4-x):

И така, получаваме окончателния отговор: -3/5 . Научете се да разпознавате разликата между квадратите. Разлика на квадратите е, когато квадратът на едно число се извади от квадрата на друго число, както в израза (a 2 - b 2). Разликата на пълните квадрати винаги може да се разложи на две части - сбор и разлика на съответните квадратни корени. Тогава изразът ще приеме следната форма:

A 2 - b 2 = (a+b)(a-b)

Тази техника е много полезна при намиране на общи термини в алгебрични дроби.

• Проверете дали правилно сте разложили този или онзи израз. За да направите това, умножете факторите - резултатът трябва да бъде същия израз.
• За да опростите напълно дроб, винаги изолирайте най-големите множители.

В тази статия ще разгледаме подробно как намаляване на дроби. Първо, нека обсъдим какво се нарича намаляване на дроб. След това нека поговорим за редуцирането на съкратима дроб до несъкратима форма. След това ще получим правилото за намаляване на дроби и накрая ще разгледаме примери за прилагането на това правило.

Навигация в страницата.

Какво означава да намалиш дроб?

Знаем, че обикновените дроби се делят на съкратими и несъкратими. От имената можете да се досетите, че съкратимите дроби могат да бъдат съкратени, но несъкратимите не могат.

Какво означава да намалиш дроб? Намалете дроб- това означава да разделим числителя и знаменателя на техните положителни и различни от единица. Ясно е, че в резултат на намаляване на дроб се получава нова дроб с по-малък числител и знаменател и поради основното свойство на дробта получената дроб е равна на първоначалната.

Например, нека намалим обикновената дроб 8/24, като разделим нейния числител и знаменател на 2. С други думи, нека намалим дробта 8/24 с 2. Тъй като 8:2=4 и 24:2=12, това намаление води до дробта 4/12, която е равна на първоначалната дроб 8/24 (вижте равни и неравни дроби). В резултат на това имаме.

Привеждане на обикновени дроби до несъкратима форма

Обикновено крайната цел на редуцирането на дроб е да се получи нередуцируема дроб, която е равна на оригиналната редуцируема дроб. Тази цел може да бъде постигната чрез намаляване на първоначалната редуцируема дроб с нейния числител и знаменател. В резултат на такова намаление винаги се получава несъкратима дроб. Наистина, малка част е нередуцируем, тъй като е известно, че И - . Тук ще кажем, че най-големият общ делител на числителя и знаменателя на една дроб е най-голямото число, с което тази фракция може да бъде намалена.

така че редуциране на обикновена дроб до несъкратим видсе състои от разделяне на числителя и знаменателя на оригиналната редуцируема дроб на техния gcd.

Нека разгледаме пример, за който се връщаме към дробта 8/24 и я намаляваме с най-големия общ делител на числата 8 и 24, който е равен на 8. Тъй като 8:8=1 и 24:8=3, стигаме до несъкратимата дроб 1/3. И така, .

Обърнете внимание, че фразата „намаляване на дроб“ често означава редуциране на оригиналната дроб до нейната нередуцируема форма. С други думи, намаляването на дроб много често се отнася до разделяне на числителя и знаменателя на техния най-голям общ множител (вместо на който и да е общ множител).

Как да намалим дроб? Правила и примери за съкращаване на дроби

Остава само да разгледаме правилото за съкращаване на дроби, което обяснява как да съкратим дадена дроб.

Правило за съкращаване на дробисе състои от две стъпки:

• първо се намира gcd на числителя и знаменателя на дробта;
• второ, числителят и знаменателят на дробта се разделят на тяхната gcd, което дава несъкратима дроб, равна на първоначалната.

Нека го подредим пример за намаляване на дробспоред посоченото правило.

Пример.

Намалете дробта 182/195.

Решение.

Нека изпълним и двете стъпки, предписани от правилото за съкращаване на дроб.

Първо намираме НОД(182, 195) . Най-удобно е да използвате алгоритъма на Евклид (вижте): 195=182·1+13, 182=13·14, тоест НОД(182, 195)=13.

Сега разделяме числителя и знаменателя на дробта 182/195 на 13 и получаваме несъкратимата дроб 14/15, която е равна на оригиналната дроб. Това завършва намаляването на фракцията.

Накратко решението може да се напише по следния начин: .

отговор:

Това е мястото, където можем да завършим редуцирането на дроби. Но за да бъде пълна картината, нека разгледаме още два начина за намаляване на дроби, които обикновено се използват в лесни случаи.

Понякога числителят и знаменателят на намалената дроб не са трудни. Намаляването на дроб в този случай е много просто: просто трябва да премахнете всички общи множители от числителя и знаменателя.

Струва си да се отбележи, че този метод следва директно от правилото за съкращаване на дроби, тъй като произведението на всички общи прости множители на числителя и знаменателя е равно на техния най-голям общ делител.

Нека разгледаме решението на примера.

Пример.

Намалете дробта 360/2 940.

Решение.

Нека разделим числителя и знаменателя на прости множители: 360=2·2·2·3·3·5 и 2940=2·2·3·5·7·7. по този начин .

Сега се отърваваме от общите множители в числителя и знаменателя за удобство, просто ги задраскваме: .

Накрая умножаваме останалите множители: , и редукцията на дробта е завършена.

Ето кратко резюме на решението: .

отговор:

Нека разгледаме друг начин за намаляване на дроб, който се състои в последователно намаляване. Тук на всяка стъпка дробта се намалява с някакъв общ делител на числителя и знаменателя, който е или очевиден, или се определя лесно с

Без да знаете как да намалите дроб и да имате постоянни умения за решаване подобни примериМного е трудно да се изучава алгебра в училище. Колкото по-далеч отивате, толкова повече основни познания за съкращението обикновени дробинасложени нова информация. Първо се появяват степени, след това фактори, които по-късно стават полиноми.

Как можете да избегнете объркване тук? Внимателно затвърдете уменията в предишни теми и постепенно се подгответе за знания как да намалите дроб, което става все по-сложно от година на година.

Основни познания

Без тях няма да можете да се справите със задачи от всяко ниво. За да разберете, трябва да разберете две неща прости моменти. Първо: можете само да намалите факторите. Този нюанс се оказва много важен, когато в числителя или знаменателя се появяват полиноми. След това трябва ясно да разграничите къде е множителят и къде събираемият.

Втората точка казва, че всяко число може да бъде представено под формата на фактори. Освен това резултатът от намаляването е дроб, чийто числител и знаменател вече не могат да бъдат намалени.

Правила за съкращаване на обикновени дроби

Първо трябва да проверите дали числителят се дели на знаменателя или обратното. Тогава точно този брой трябва да бъде намален. Това е най-простият вариант.

Второто е анализът външен видчисла. Ако и двете завършват с една или повече нули, тогава те могат да бъдат съкратени с 10, 100 или хиляда. Тук можете да видите дали числата са четни. Ако да, тогава можете спокойно да го намалите на две.

Третото правило за намаляване на дроб е разлагането на числителя и знаменателя на прости множители. По това време трябва активно да използвате всичките си знания за признаците за делимост на числата. След това разлагане остава само да се намерят всички повтарящи се, да се умножат и да се намалят с полученото число.

Ами ако има алгебричен израз в дроб?

Тук се появяват първите трудности. Защото тук се появяват термини, които могат да бъдат идентични с фактори. Много искам да ги намаля, но не мога. Преди отсичане алгебрична дроб, трябва да се трансформира, така че да има множители.

За да направите това, ще трябва да изпълните няколко стъпки. Може да се наложи да преминете през всички тях или може би първият ще предостави подходящ вариант.

Проверете дали числителят и знаменателят или някой израз в тях се различават по знак. В този случай просто трябва да поставите минус едно извън скоби. Това създава равни фактори, които могат да бъдат намалени.

Вижте дали е възможно да премахнете общия множител от полинома извън скоби. Може би това ще доведе до скоба, която също може да бъде съкратена, или ще бъде премахнат моном.

Опитайте се да групирате мономите, за да добавите общ множител към тях. След това може да се окаже, че ще има фактори, които могат да бъдат намалени, или отново ще се повтори поставянето в скоби на общи елементи.

Опитайте се да разгледате писмено формулите за съкратено умножение. С тяхна помощ можете лесно да преобразувате полиноми в множители.

Последователност от действия с дроби със степени

За да разберете лесно въпроса как да намалите дроб със степени, трябва да запомните твърдо основните операции с тях. Първият от тях е свързан с умножението на правомощията. В този случай, ако основите са еднакви, индикаторите трябва да се добавят.

Второто е разделението. Отново, за тези, които имат същите причини, индикаторите ще трябва да бъдат извадени. Освен това трябва да извадите от числото, което е в дивидента, а не обратното.

Третото е степенуването. При това положение показателите се умножават.

Успешното редуциране също ще изисква способността да се редуцират правомощията до равни бази. Тоест, да видим, че четири е две на квадрат. Или 27 - кубът от три. Тъй като намаляването на 9 на квадрат и 3 на куб е трудно. Но ако трансформираме първия израз като (3 2) 2, тогава редукцията ще бъде успешна.

Много ученици правят същите грешки, когато работят с дроби. И всичко това, защото забравят основните правила аритметика. Днес ще повторим тези правила на специфични задачикоито давам в часовете си.

Ето задачата, която предлагам на всички, които се готвят за Единния държавен изпит по математика:

Задача. Една морска свиня изяжда 150 грама храна на ден. Но тя порасна и започна да яде 20% повече. Колко грама фураж изяжда прасето сега?

не правилното решение. Това е процентен проблем, който се свежда до уравнението:

Много (много) намаляват числото 100 в числителя и знаменателя на дроб:

Това е грешката, която моят ученик направи точно в деня на написването на тази статия. Числата, които са съкратени, са маркирани в червено.

Излишно е да казвам, че отговорът беше грешен. Съдете сами: прасето изяде 150 грама, но започна да яде 3150 грама. Увеличението не е 20%, а 21 пъти, т.е. с 2000%.

За да избегнете подобни недоразумения, запомнете основното правило:

Само множителите могат да бъдат намалени. Сроковете не могат да бъдат намалявани!

Така правилното решение на предишния проблем изглежда така:

Числата, които са съкратени в числителя и знаменателя, са отбелязани в червено. Както можете да видите, числителят е произведението, знаменателят е обикновен номер. Следователно намалението е напълно законно.

Работа с пропорции

Още нещо проблемна зона — пропорции. Особено когато променливата е от двете страни. Например:

Задача. Решете уравнението:

Грешно решение - някои хора буквално ги сърби да съкратят всичко с m:

Намалените променливи са показани в червено. Изразът 1/4 = 1/5 се оказва пълна глупост, тези числа никога не са равни.

И сега - правилното решение. По същество е обикновен линейно уравнение . Може да се реши или чрез преместване на всички елементи на една страна, или чрез основното свойство на пропорцията:

Много читатели ще възразят: „Къде е грешката в първото решение?“ Е, нека разберем. Нека си припомним правилото за работа с уравнения:

Всяко уравнение може да бъде разделено и умножено по всяко число, ненулев.

Пропуснахте ли трика? Можете да делите само с числа ненулев. По-специално, можете да разделите на променлива m само ако m != 0. Но какво ще стане, ако все пак m = 0? Нека заместим и проверим:

Получихме правилното числово равенство, т.е. m = 0 е коренът на уравнението. За останалите m != 0 получаваме израз от формата 1/4 = 1/5, което естествено е неправилно. Следователно няма ненулеви корени.

Изводи: всичко това заедно

И така, за решаване дробни рационални уравнениязапомнете три правила:

1. Само множителите могат да бъдат намалени. Добавките не са разрешени. Затова се научете да разделяте числителя и знаменателя на множители;
2. Основното свойство на пропорцията: произведението на екстремните елементи е равно на произведението на средните;
3. Уравненията могат да се умножават и делят само с числа k, различни от нула. Случаят k = 0 трябва да се провери отделно.

Запомнете тези правила и не правете грешки.

дивизияи числителя и знаменателя на дробта върху техните общ делител, различен от един, се нарича намаляване на дроб.

За да намалите обикновена дроб, трябва да разделите нейния числител и знаменател на едно и също естествено число.

Това число е най-големият общ делител на числителя и знаменателя на дадената дроб.

Възможни са следните формуляри за записване на решенияПримери за съкращаване на обикновени дроби.

Студентът има право да избере всяка форма на запис.

Примери. Опростете дробите.

Намалете дробта с 3 (разделете числителя на 3;

разделете знаменателя на 3).

Намалете дроба със 7.

Извършваме посочените действия в числителя и знаменателя на дробта.

Получената дроб се намалява с 5.

Нека намалим тази дроб 4) на 5·7³- най-големият общ делител (НОД) на числителя и знаменателя, който се състои от общите множители на числителя и знаменателя, взети на степен с най-малък показател.

Нека разложим числителя и знаменателя на тази дроб на прости множители.

Получаваме: 756=2²·3³·7И 1176=2³·3·7².

Определете НОД (най-големия общ делител) на числителя и знаменателя на дробта 5) .

Това е произведението на общи множители, взети с най-ниските показатели.

gcd(756, 1176)= 2²·3·7.

Разделяме числителя и знаменателя на тази дроб на тяхната gcd, т.е 2²·3·7получаваме несъкратима дроб 9/14 .

Или беше възможно да се напише разлагането на числителя и знаменателя под формата на произведение от прости множители, без да се използва концепцията за мощност, и след това да се намали дробта, като се зачеркнат същите множители в числителя и знаменателя. Когато не останат еднакви множители, умножаваме останалите множители отделно в числителя и отделно в знаменателя и записваме получената дроб 9/14 .

И накрая беше възможно да се намали тази част 5) постепенно, прилагайки знаци за деление на числата както към числителя, така и към знаменателя на дробта. Разсъждаваме така: числа 756 И 1176 завършват на четно число, което означава, че и двете се делят на 2 . Намаляваме дроба с 2 . Числителят и знаменателят на новата дроб са числа 378 И 588 също се разделя на 2 . Намаляваме дроба с 2 . Забелязваме, че броят 294 - дори и 189 е нечетно и намаляването с 2 вече не е възможно. Да проверим делимостта на числата 189 И 294 на 3 .

(1+8+9)=18 се дели на 3 и (2+9+4)=15 се дели на 3, следователно и самите числа 189 И 294 се разделят на 3 . Намаляваме дроба с 3 . следващ, 63 се дели на 3 и 98 - не Нека разгледаме други основни множители. И двете числа се делят на 7 . Намаляваме дроба с 7 и получаваме несъкратимата дроб 9/14 .