дроб- число, което се състои от цяло число дроби от единица и е представено във формата: a/b

Числител на дроб (а)- числото, което се намира над дробната черта и показва броя на акциите, на които е разделен дялът.

Знаменател на дроб (b)- число, разположено под дробната черта и показващо на колко части е разделена единицата.

2. Намаляване на дроби до общ знаменател

3. Аритметични операции върху обикновени дроби

3.1. Събиране на обикновени дроби

3.2. Изваждане на дроби

3.3. Умножение на обикновени дроби

3.4. Деление на дроби

4. Реципрочни числа

5. Десетични знаци

6. Аритметични операции с десетични дроби

6.1. Добавяне на десетични знаци

6.2. Изваждане на десетични числа

6.3. Умножаване на десетични числа

6.4. Десетично деление

#1. Основното свойство на дробта

Ако числителят и знаменателят на една дроб се умножат или разделят на едно и също число, което не е равно на нула, се получава дроб, равна на дадената.

3/7=3*3/7*3=9/21, тоест 3/7=9/21

a/b=a*m/b*m - така изглежда основното свойство на една дроб.

С други думи, получаваме дроб, равна на дадената, като умножим или разделим числителя и знаменателя на първоначалната дроб на същото естествено число.

Ако реклама=bc, тогава две дроби a/b =c /d се считат за равни.

Например, дробите 3/5 и 9/15 ще бъдат равни, тъй като 3*15=5*9, тоест 45=45

Намаляване на дробе процес на замяна на дроб, при който новата дроб е равна на първоначалната, но с по-малък числител и знаменател.

Обичайно е дробите да се редуцират въз основа на основното свойство на дробта.

например, 45/60=15/ ​ ​20 =9/12=3/4 ​ ​ ​ (числителят и знаменателят се делят на числото 3, на 5 и на 15).

Несъкратима дробе част от формата 3/4 ​ ​ , където числителят и знаменателят са взаимни прости числа. Основната цел на намаляването на дроб е да направи дробта несъкратима.

2. Привеждане на дроби към общ знаменател

За да приведете две дроби към общ знаменател, трябва:

1) разширете знаменателя на всяка дроб в основни фактори;

2) умножете числителя и знаменателя на първата дроб по липсващите

фактори от разширяването на втория знаменател;

3) умножете числителя и знаменателя на втората дроб по липсващите множители от първото разгъване.

Примери: Намаляване на дроби до общ знаменател.

Нека разложим знаменателите на прости множители: 18=3∙3∙2, 15=3∙5

Умножете числителя и знаменателя на дробта по липсващия фактор 5 от второто разширение.

числител и знаменател на дробта в липсващите множители 3 и 2 от първото разгъване.

= , 90 – общ знаменател на дроби.

3. Аритметични действия върху обикновени дроби

3.1. Събиране на обикновени дроби

а) Ако знаменателите са еднакви, числителят на първата дроб се добавя към числителя на втората дроб, като знаменателят остава същият. Както можете да видите в примера:

a/b+c/b=(a+c)/b ​ ​ ;

б) За различните знаменатели дробите първо се свеждат до общ знаменател, а след това числителите се събират съгласно правило а):

7/3+1/4=7*4/12+1*3/12=(28+3)/12=31/12

3.2. Изваждане на дроби

а) Ако знаменателите са еднакви, извадете числителя на втората дроб от числителя на първата дроб, оставяйки знаменателя същия:

a/b-c/b=(a-c)/b ​ ​ ;

б) Ако знаменателите на дробите са различни, то първо дробите се привеждат към общ знаменател и след това действията се повтарят както в точка а).

3.3. Умножение на обикновени дроби

Умножението на дроби се подчинява на следното правило:

a/b*c/d=a*c/b*d,

тоест те умножават отделно числителите и знаменателите.

Например:

3/5*4/8=3*4/5*8=12/40.

3.4. Деление на дроби

Фракциите се разделят по следния начин:

a/b:c/d=a*d/b*c,

т.е. дробта a/b се умножава по обратната дроб на дадената, т.е. умножава се по d/c.

Пример: 7/2:1/8=7/2*8/1=56/2=28

4. Реципрочни числа

Ако a*b=1,тогава числото b е реципрочно числоза числото а.

Пример: за числото 9 реципрочната е 1/9 ​ ​ , тъй като 9*1/9 = 1 , за числото 5 - обратното число 1/5 ​ ​ , защото 5* ​ 1/5 ​ ​ = 1 .

5. Десетични знаци

десетичнае правилна дроб, чийто знаменател е равен на 10, 1000, 10 000, …, 10^n 1 0 , 1 0 0 0 , 1 0 0 0 0 , . . . , 1 0 ​ п​ ​ .

Например: 6/10 =0,6; 44/1000=0,044 ​ .

Неправилните със знаменател се пишат по същия начин 10^nили смесени числа.

Например: 51/10= 5,1; 763/100=7,63

Всяка обикновена дроб със знаменател, който е делител на определена степен на 10, се представя като десетична дроб.

чейнджър, който е делител на определена степен на числото 10.

Пример: 5 е делител на 100, така че е дроб 1/5=1 *20/5*20=20/100=0,2 ​ 0 = 0 , 2 .

6. Аритметични действия върху десетични дроби

6.1. Добавяне на десетични знаци

За да съберете две десетични дроби, трябва да ги подредите така, че да има еднакви цифри една под друга и запетая под запетаята, след което да съберете дробите като обикновени числа.

6.2. Изваждане на десетични числа

Извършва се по същия начин като събирането.

6.3. Умножаване на десетични числа

При умножаване десетични числаДостатъчно е да умножите дадените числа, без да обръщате внимание на запетаите (като естествените числа), и в получения отговор една запетая вдясно разделя толкова цифри, колкото са цифрите след десетичната запетая в двата множителя общо.

Нека умножим 2,7 по 1,3. Имаме 27\cdot 13=351 2 7 ⋅ 1 3 = 3 5 1 . Разделяме две цифри отдясно със запетая (първото и второто число имат по една цифра след десетичната запетая; 1+1=2 1 + 1 = 2 ). В резултат на това получаваме 2,7\cdot 1,3=3,51 2 , 7 ⋅ 1 , 3 = 3 , 5 1 .

Ако полученият резултат съдържа по-малко цифри, отколкото трябва да бъдат разделени със запетая, тогава липсващите нули се записват отпред, например:

За да умножите по 10, 100, 1000, трябва да преместите десетичната запетая с 1, 2, 3 цифри вдясно (ако е необходимо, определен брой нули се задават вдясно).

Например: 1,47\cdot 10 000 = 14 700 1 , 4 7 ⋅ 1 0 0 0 0 = 1 4 7 0 0 .

6.4. Десетично деление

Деленето на десетична дроб на естествено число се извършва по същия начин като деленето на естествено число на естествено число. Запетаята в частното се поставя след приключване на делението на цялата част.

Ако цяла частделима по-малко от делителя, тогава отговорът се оказва нула цели числа, например:

Нека да разгледаме разделянето на десетичен знак на десетичен знак. Да кажем, че трябва да разделим 2,576 на 1,12. Първо, нека умножим делителя и делителя на дробта по 100, тоест преместваме десетичната запетая надясно в делителя и делителя с толкова цифри, колкото има в делителя след десетичната точка (в в този примерс две). След това трябва да разделите фракцията 257.6 на естественото число 112, т.е. проблемът се свежда до вече разгледания случай:

Случва се не винаги да се получава крайният резултат десетичен знакпри деление на едно число на друго. Резултатът е безкрайна десетична дроб. В такива случаи преминаваме към обикновени дроби.

Например 2,8: 0,09= 28/10: 9/100= 28*100/10*9=2800/90=280/9= ​ 31 1/9 ​ ​ .

Примерите с дроби са един от основните елементи на математиката. Много са различни видовеуравнения с дроби. По-долу е подробни инструкцииза решаване на примери от този тип.

Как се решават примери с дроби - общи правила

За да решавате примери с дроби от всякакъв вид, било то събиране, изваждане, умножение или деление, трябва да знаете основните правила:

• За да съберете дробни изрази с еднакъв знаменател (знаменателят е числото в долната част на дробта, числителят в горната част), трябва да съберете техните числители и да оставите знаменателя същия.
• За да извадите втори дробен израз (със същия знаменател) от една дроб, трябва да извадите техните числители и да оставите знаменателя същия.
• За добавяне или изваждане на дробни изрази с различни знаменатели, трябва да намерите най-малкия общ знаменател.
• За да намерите дробен продукт, трябва да умножите числителите и знаменателите и, ако е възможно, да намалите.
• За да разделите дроб на дроб, умножавате първата дроб по втората дроб в обратен ред.

Как се решават примери с дроби - упражнение

Правило 1, пример 1:

Изчислете 3/4 +1/4.

Съгласно правило 1, ако две (или повече) дроби имат еднакъв знаменател, вие просто събирате техните числители. Получаваме: 3/4 + 1/4 = 4/4. Ако една дроб има еднакви числител и знаменател, дробта ще бъде равна на 1.

Отговор: 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1.

Правило 2, пример 1:

Изчислете: 3/4 – 1/4

Използвайки правило номер 2, за да решите това уравнение, трябва да извадите 1 от 3 и да оставите знаменателя същия. Получаваме 2/4. Тъй като две 2 и 4 могат да бъдат намалени, намаляваме и получаваме 1/2.

Отговор: 3/4 – 1/4 = 2/4 = 1/2.

Правило 3, Пример 1

Изчислете: 3/4 + 1/6

Решение: Използвайки 3-то правило, намираме най-малкия общ знаменател. Най-малкият общ знаменател е числото, което се дели на знаменателите на всички дробни изрази в примера. Така трябва да намерим минималното число, което ще се дели и на 4, и на 6. Това число е 12. Записваме 12 като знаменател, разделяме 12 на знаменателя на първата дроб, получаваме 3, умножаваме по 3, пишем. 3 в числителя *3 и знак +. Разделете 12 на знаменателя на втората дроб, получаваме 2, умножете 2 по 1, напишете 2*1 в числителя. И така, получаваме нова дроб със знаменател равен на 12 и числител равен на 3*3+2*1=11. 11/12.

Отговор: 11/12

Правило 3, Пример 2:

Изчислете 3/4 – 1/6. Този пример е много подобен на предишния. Правим всички същите стъпки, но в числителя вместо знака +, пишем знак минус. Получаваме: 3*3-2*1/12 = 9-2/12 = 7/12.

Отговор: 7/12

Правило 4, Пример 1:

Изчислете: 3/4 * 1/4

Използвайки четвъртото правило, умножаваме знаменателя на първата дроб по знаменателя на втората и числителя на първата дроб по числителя на втората. 3*1/4*4 = 3/16.

Отговор: 3/16

Правило 4, Пример 2:

Изчислете 2/5 * 10/4.

Тази фракция може да бъде намалена. В случай на произведение числителят на първата дроб и знаменателят на втората и числителят на втората дроб и знаменателят на първата се анулират.

2 анулира от 4. 10 анулира от 5. Получаваме 1 * 2/2 = 1*1 = 1.

Отговор: 2/5 * 10/4 = 1

Правило 5, Пример 1:

Изчислете: 3/4: 5/6

Използвайки 5-то правило, получаваме: 3/4: 5/6 = 3/4 * 6/5. Намаляваме дроба според принципа на предишния пример и получаваме 9/10.

Отговор: 9/10.

Как се решават примери с дроби - дробни уравнения

Дробните уравнения са примери, при които знаменателят съдържа неизвестно. За да разрешите такова уравнение, трябва да използвате определени правила.

Да разгледаме един пример:

Решете уравнението 15/3x+5 = 3

Нека помним, че не можете да делите на нула, т.е. стойността на знаменателя не трябва да е нула. При решаването на такива примери това трябва да се посочи. За тази цел има OA (обхват на допустимите стойности).

Така че 3x+5 ≠ 0.
Следователно: 3x ≠ 5.
x ≠ 5/3

При x = 5/3 уравнението просто няма решение.

Като посочи ОДЗ, по възможно най-добрия начинРешаването на това уравнение ще премахне дробите. За да направим това, първо представяме всички недробни стойности под формата на дроб, в в този случайномер 3. Получаваме: 15/(3x+5) = 3/1. За да се отървете от дроби, трябва да умножите всяка от тях по най-малкия общ знаменател. В този случай ще бъде (3x+5)*1. Последователност от действия:

1. Умножете 15/(3x+5) по (3x+5)*1 = 15*(3x+5).
2. Отворете скобите: 15*(3x+5) = 45x + 75.
3. Правим същото с дясната страна на уравнението: 3*(3x+5) = 9x + 15.
4. Приравнете лявата и дясната страна: 45x + 75 = 9x +15
5. Преместете X-овете наляво, числата надясно: 36x = – 50
6. Намерете x: x = -50/36.
7. Намаляваме: -50/36 = -25/18

Отговор: ODZ x ≠ 5/3. х = -25/18.

Как се решават примери с дроби - дробни неравенства

Дробните неравенства от вида (3x-5)/(2-x)≥0 се решават с помощта на числовата ос. Нека да разгледаме този пример.

Последователност от действия:

• Приравняваме числителя и знаменателя на нула: 1. 3x-5=0 => 3x=5 => x=5/3
  2. 2-x=0 => x=2
• Начертаваме числова ос, записвайки получените стойности върху нея.
• Начертайте кръг под стойността. Има два вида кръгове - запълнени и празни. Запълнен кръг означава, че дадената стойност е в обхвата на решението. Празен кръг показва, че тази стойност не е включена в областта на решението.
• Тъй като знаменателят не може да бъде равен на нула, под второто ще има празно кръгче.

• За да определим знаците, заместваме всяко число, по-голямо от две, в уравнението, например 3. (3*3-5)/(2-3)= -4. стойността е отрицателна, което означава, че пишем минус над областта след двете. След това заменете X с произволна стойност от интервала от 5/3 до 2, например 1. Стойността отново е отрицателна. Пишем минус. Повтаряме същото с областта, разположена до 5/3. Заменяме всяко число, по-малко от 5/3, например 1. Отново минус.

• Тъй като се интересуваме от стойностите на x, при които изразът ще бъде по-голям или равен на 0, и няма такива стойности (навсякъде има минуси), това неравенство няма решение, тоест x = Ø (празен комплект).

Отговор: x = Ø

Калкулатор на дробипредназначен за бързо изчисляване на операции с дроби, той ще ви помогне лесно да добавяте, умножавате, разделяте или изваждате дроби.

Съвременните ученици започват да изучават дроби още в 5-ти клас и всяка година упражненията с тях стават все по-сложни. Математическите термини и величини, които учим в училище, рядко могат да ни бъдат полезни в живота. възрастен живот. Дробите обаче, за разлика от логаритмите и степените, се срещат доста често в ежедневието (измерване на разстояния, претегляне на стоки и др.). Нашият калкулатор е предназначен за бързи операции с дроби.

Първо, нека дефинираме какво представляват дробите и какви са те. Дробите са съотношението на едно число към друго; това е число, състоящо се от цял ​​брой дроби от единица.

Видове дроби:

• Обикновен
• десетична
• Смесени

Пример обикновени дроби:

Горната стойност е числителят, долната е знаменателят. Тирето ни показва, че горното число се дели на долното число. Вместо този формат на писане, когато тирето е хоризонтално, можете да пишете различно. Можете да поставите наклонена линия, например:

1/2, 3/7, 19/5, 32/8, 10/100, 4/1

Десетични знациса най-популярният вид дроби. Състоят се от цяла част и дробна част, разделени със запетая.

Пример за десетични дроби:

0,2 или 6,71 или 0,125

Състои се от цяло число и дробна част. За да разберете стойността на тази дроб, трябва да съберете цялото число и дробта.

Пример за смесени дроби:

Калкулаторът за дроби на нашия уебсайт може бързо да изпълнява всякакви задачи онлайн. математически операциис дроби:

• Допълнение
• Изваждане
• Умножение
• дивизия

За да извършите изчислението, трябва да въведете числа в полетата и да изберете действие. За дроби трябва да попълните числителя и знаменателя, може да не се пише цялото число (ако дробта е обикновена). Не забравяйте да кликнете върху бутона "равно".

Удобно е, че калкулаторът веднага предоставя процеса за решаване на пример с дроби, а не само готов отговор. Благодарение на подробното решение можете да използвате този материал за решаване на училищни задачи и за по-добро усвояване на преминатия материал.

Трябва да извършите примерното изчисление:

След въвеждане на индикаторите в полетата на формуляра получаваме:

За да направите своя собствена калкулация, въведете данните във формата.

Калкулатор на дроби

Свързани раздели.

Учениците се запознават с дробите в 5. клас. Преди хората, които знаеха как да извършват операции с дроби, се смятаха за много умни. Първата дроб беше 1/2, тоест половината, след това се появи 1/3 и т.н. В продължение на няколко века примерите се смятаха за твърде сложни. Сега разработен подробни правилаза преобразуване на дроби, събиране, умножение и други операции. Достатъчно е да разберете малко материала и решението ще бъде лесно.

Обикновена дроб, наречена проста дроб, се записва като деление на две числа: m и n.

M е дивидентът, тоест числителят на дробта, а делителят n се нарича знаменател.

Идентифицирайте правилните дроби (m< n) а также неправильные (m >n).

Правилната дроб е по-малка от единица (например 5/6 - това означава, че от една са взети 5 части; 2/8 - от една са взети 2 части). Неправилна дроб е равна или по-голяма от 1 (8/7 - единицата е 7/7 и още една част се приема като плюс).

И така, едно е, когато числителят и знаменателят съвпадат (3/3, 12/12, 100/100 и други).

Действия с обикновени дроби 6 клас

Можете да направите следното с прости дроби:

• Разширяване на дроб. Ако умножите горната и долната част на фракцията по всяко едно и също число (само не по нула), тогава стойността на дробта няма да се промени (3/5 = 6/10 (просто умножено по 2).
• Намаляването на дроби е подобно на разширяването, но тук те се делят на число.
• Сравнете. Ако две дроби имат еднакви числители, тогава дробта с по-малък знаменател ще бъде по-голяма. Ако знаменателите са еднакви, тогава фракцията с най-голям числител ще бъде по-голяма.
• Извършвайте събиране и изваждане. С еднакви знаменатели това е лесно да се направи (сумираме горните части, но долната част не се променя). Ако са различни, ще трябва да намерите общ знаменател и допълнителни фактори.
• Умножение и деление на дроби.

Нека да разгледаме примери за операции с дроби по-долу.

Съкратени дроби 6 клас

Да намалиш означава да разделиш горната и долната част на дроб на някакво равно число.

Фигурата показва прости примери за намаляване. В първия вариант можете веднага да познаете, че числителят и знаменателят се делят на 2.

Забележка! Ако числото е четно, то се дели на 2 по произволен начин. Четните числа са 2, 4, 6...32 8 (завършва с четно число) и т.н.

Във втория случай, при разделяне на 6 на 18, веднага става ясно, че числата се делят на 2. Разделяйки, получаваме 3/9. Тази дроб се разделя допълнително на 3. Тогава отговорът е 1/3. Ако умножите двата делителя: 2 по 3, получавате 6. Оказва се, че дробта е разделена на шест. Това постепенно разделяне се нарича последователно намаляване на дробта с общи делители.

Някои хора веднага ще разделят на 6, други ще трябва да разделят на части. Основното е, че накрая остава една дроб, която не може да бъде намалена по никакъв начин.

Обърнете внимание, че ако едно число се състои от цифри, чието добавяне води до число, делимо на 3, тогава първоначалното може да бъде намалено с 3. Пример: число 341. Съберете числата: 3 + 4 + 1 = 8 (8 не се дели на 3, Това означава, че числото 341 не може да се намали с 3 без остатък). Друг пример: 264. Добавете: 2 + 6 + 4 = 12 (делимо на 3). Получаваме: 264: 3 = 88. Това ще улесни намаляването на големи числа.

В допълнение към метода за последователно намаляване на дроби чрез общи делители, има и други методи.

НОД е най-големият делител на число. След като намерите gcd за знаменателя и числителя, можете веднага да намалите фракцията до желаното число. Търсенето се извършва чрез постепенно разделяне на всяко число. След това гледат кои делители съвпадат; ако има няколко от тях (както е на снимката по-долу), тогава трябва да умножите.

Смесени дроби 6 клас

Всички неправилни дроби могат да се превърнат в смесени дроби, като се отдели цялата част от тях. Цялото число е написано отляво.

Често трябва да направите смесено число от неправилна дроб. Процесът на преобразуване е показан в примера по-долу: 22/4 = 22 делено на 4, получаваме 5 цели числа (5 * 4 = 20). 22 - 20 = 2. Получаваме 5 цели числа и 2/4 (знаменателят не се променя). Тъй като фракцията може да бъде намалена, разделяме горната и долната част на 2.

Лесно е да превърнете смесено число в неправилна дроб (това е необходимо при деление и умножение на дроби). За да направите това: умножете цялото число по долната част на дробта и добавете числителя към него. Готови. Знаменателят не се променя.

Изчисления с дроби 6 клас

Могат да се добавят смесени числа. Ако знаменателите са еднакви, тогава това е лесно да се направи: добавете целите части и числителите, знаменателят остава на мястото си.

При събиране на числа с различни знаменатели процесът е по-сложен. Първо намаляваме числата до самото едно малък знаменател(NOZ).

В примера по-долу за числата 9 и 6 знаменателят ще бъде 18. След това са необходими допълнителни множители. За да ги намерите, трябва да разделите 18 на 9, така намирате допълнителното число - 2. Умножаваме го по числителя 4, за да получим дробта 8/18). Те правят същото с втората фракция. Вече добавяме преобразуваните дроби (цели числа и числители отделно, не променяме знаменателя). В примера отговорът трябваше да се преобразува в правилна дроб (първоначално числителят се оказа по-голям от знаменателя).

Моля, имайте предвид, че когато дробите се различават, алгоритъмът на действията е същият.

Когато умножавате дроби, е важно да поставите и двете под една и съща линия. Ако числото е смесено, тогава го превръщаме в проста дроб. След това умножете горната и долната част и запишете отговора. Ако е ясно, че дробите могат да бъдат намалени, тогава ги редуцираме веднага.

В горния пример не е трябвало да изрязвате нищо, просто сте записали отговора и сте маркирали цялата част.

В този пример трябваше да намалим числата под един ред. Въпреки че можете да съкратите готовия отговор.

При разделянето алгоритъмът е почти същият. Първо превръщаме смесената дроб в неправилна, след което записваме числата под един ред, като заместваме делението с умножение. Не забравяйте да размените горната и долната част на втората дроб (това е правилото за разделяне на дроби).

Ако е необходимо, намаляваме числата (в примера по-долу ги намалихме с пет и две). Преобразуваме неправилната дроб, като подчертаваме цялата част.

Основни задачи с дроби 6 клас

Видеото показва още няколко задачи. Използва се за яснота графични изображениярешения, които ще ви помогнат да визуализирате дроби.

Примери за умножение на дроби 6 клас с обяснения

Умножителните дроби се записват под един ред. След това се намаляват чрез разделяне на същите числа (например 15 в знаменателя и 5 в числителя могат да бъдат разделени на пет).

Сравняване на дроби 6 клас

За да сравните дроби, трябва да запомните две прости правила.

Правило 1. Ако знаменателите са различни

Правило 2. Когато знаменателите са еднакви

Например, сравнете дробите 7/12 и 2/3.

1. Гледаме знаменателите, не съвпадат. Така че трябва да намерите общ.
2. За дробите общият знаменател е 12.
3. Първо разделяме 12 на долната част на първата дроб: 12: 12 = 1 (това е допълнителен фактор за 1-вата дроб).
4. Сега разделяме 12 на 3, получаваме 4 - допълнително. фактор на 2-ра дроб.
5. Умножаваме получените числа по числителите, за да преобразуваме дроби: 1 x 7 = 7 (първа дроб: 7/12); 4 x 2 = 8 (втора дроб: 8/12).
6. Сега можем да сравним: 7/12 и 8/12. Оказа се: 7/12< 8/12.

За по-добро представяне на дроби можете да използвате картини за яснота, където даден обект е разделен на части (например торта). Ако искате да сравните 4/7 и 2/3, то в първия случай тортата се разделя на 7 части и се избират 4 от тях. Във втория разделят на 3 части и взимат 2. С невъоръжено око ще се види, че 2/3 ще е по-голямо от 4/7.

Примери с дроби 6 клас за обучение

Можете да изпълнявате следните задачи като практика.

• Сравнете дроби

• извършва умножение

Съвет: ако е трудно да се намери най-малкият общ знаменател за дроби (особено ако техните стойности са малки), тогава можете да умножите знаменателя на първата и втората дроби. Пример: 2/8 и 5/9. Намирането на техния знаменател е лесно: умножете 8 по 9 и ще получите 72.

Решаване на уравнения с дроби 6 клас

Решаването на уравнения изисква запомняне на операции с дроби: умножение, деление, изваждане и събиране. Ако един от факторите е неизвестен, тогава продуктът (общо) се разделя на известния фактор, т.е. дробите се умножават (вторият се обръща).

Ако дивидентът е неизвестен, тогава знаменателят се умножава по делителя и за да намерите делителя, трябва да разделите дивидента на частното.

Нека си представим прости примерирешения на уравнения:

Тук трябва само да създадете разликата на дробите, без да водите до общ знаменател.

Отговорът излезе като неправилна дроб. Може да се преобразува в 1 цяло и 3/5.

При втория метод числителят и знаменателят бяха умножени по 4, за да се анулира долната част, вместо да се обърне знаменателят.

Дробите са обикновени числа и могат да се събират и изваждат. Но тъй като имат знаменател, те изискват по-сложни правила, отколкото за цели числа.

Нека разгледаме най-простия случай, когато има две дроби с същите знаменатели. След това:

За да добавите дроби с еднакви знаменатели, трябва да добавите техните числители и да оставите знаменателя непроменен.

За да извадите дроби с еднакви знаменатели, трябва да извадите числителя на втората от числителя на първата дроб и отново да оставите знаменателя непроменен.

Във всеки израз знаменателите на дробите са равни. По дефиниция за събиране и изваждане на дроби получаваме:

Както можете да видите, няма нищо сложно: просто събираме или изваждаме числителите и това е.

Но дори и в такива прости действияхората успяват да грешат. Най-често се забравя, че знаменателят не се променя. Например, когато ги добавяте, те също започват да се добавят и това е фундаментално погрешно.

Отървете се от лош навикДобавянето на знаменателите е доста просто. Опитайте същото, когато изваждате. В резултат на това знаменателят ще бъде нула и дробта (внезапно!) ще загуби значението си.

Затова запомнете веднъж завинаги: при събиране и изваждане знаменателят не се променя!

Много хора също правят грешки, когато събират няколко отрицателни дроби. Има объркване със знаците: къде да поставите минус и къде да поставите плюс.

Този проблем също е много лесен за решаване. Достатъчно е да запомните, че знакът минус пред дроб винаги може да бъде прехвърлен в числителя - и обратно. И разбира се, не забравяйте две прости правила:

1. Плюс с минус дава минус;
2. Две отрицания правят утвърдително.

Нека разгледаме всичко това с конкретни примери:

Задача. Намерете значението на израза:

В първия случай всичко е просто, но във втория нека добавим минуси към числителите на дробите:

Какво да направите, ако знаменателите са различни

Не можете директно да събирате дроби с различни знаменатели. Поне на мен този метод е непознат. Оригиналните дроби обаче винаги могат да бъдат пренаписани, така че знаменателите да станат еднакви.

Има много начини за преобразуване на дроби. Три от тях се разглеждат в урока „Привеждане на дроби към общ знаменател“, така че тук няма да се спираме на тях. Нека да разгледаме някои примери:

Задача. Намерете значението на израза:

В първия случай редуцираме дробите до общ знаменател по метода „кръстосан“. Във втория ще търсим НОК. Забележете, че 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Последните множители в тези разлагания са равни, а първите са относително прости. Следователно, LCM(6, 9) = 2 3 3 = 18.

Какво да направите, ако една дроб има цяла част

Мога да ви зарадвам: различните знаменатели в дробите не са най-голямото зло. Много повече грешкивъзниква, когато цяло число е изолирано в частните членове.

Разбира се, има собствени алгоритми за събиране и изваждане за такива дроби, но те са доста сложни и изискват дълго проучване. По-добра употреба проста диаграма, дадено по-долу:

1. Преобразувайте всички дроби, съдържащи цяла част, в неправилни. Получаваме нормални термини (дори с различни знаменатели), които се изчисляват по правилата, обсъдени по-горе;
2. Всъщност изчислете сбора или разликата на получените дроби. В резултат на това практически ще намерим отговора;
3. Ако това е всичко, което се изисква в задачата, извършваме обратната трансформация, т.е. Отърваваме се от неправилна дроб, като подчертаваме цялата част.

Правила за преход към неправилни дробии подчертаване на цяла част са описани подробно в урока „Какво е числова дроб“. Ако не си спомняте, не забравяйте да го повторите. Примери:

Задача. Намерете значението на израза:

Тук всичко е просто. Знаменателите във всеки израз са равни, така че всичко, което остава, е да преобразувате всички дроби в неправилни и да преброите. Ние имаме:

За да опростя изчисленията, пропуснах някои очевидни стъпки в последните примери.

Малка забележка към последните два примера, където се изваждат дроби с осветена цяла част. Минусът преди втората дроб означава, че се изважда цялата дроб, а не само цялата й част.

Прочетете отново това изречение, погледнете примерите - и помислете върху него. Това е мястото, където начинаещите правят огромен брой грешки. Те обичат да дават такива задачи тестове. Ще ги срещнете няколко пъти и в тестовете за този урок, които ще бъдат публикувани скоро.

Резюме: обща изчислителна схема

В заключение ще дам общ алгоритъм, който ще ви помогне да намерите сумата или разликата на две или повече дроби:

1. Ако една или повече дроби имат цяла част, преобразувайте тези дроби в неправилни;
2. Приведете всички дроби към общ знаменател по всеки удобен за вас начин (освен ако, разбира се, авторите на проблемите не са направили това);
3. Събиране или изваждане на получените числа по правилата за събиране и изваждане на дроби с еднакви знаменатели;
4. Ако е възможно, съкратете резултата. Ако фракцията е неправилна, изберете цялата част.

Не забравяйте, че е по-добре да подчертаете цялата част в самия край на задачата, непосредствено преди да запишете отговора.