Нека разберем какво е намаляване на дроби, защо и как да намалим дроби и да дадем правилото за намаляване на дроби и примери за неговото използване.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Какво е "намаляване на дроби"

Да съкратиш дроб означава да разделиш числителя и знаменателя на общ множител, който е положителен и различен от единица.

В резултат на това действие ще се получи дроб с нов числител и знаменател, равна на първоначалната дроб.

Например, нека вземем обикновената дроб 6 24 и я съкратим. Разделете числителя и знаменателя на 2, което води до 6 24 = 6 ÷ 2 24 ÷ 2 = 3 12. В този пример намалихме първоначалната дроб с 2.

Редуциране на дроби до несъкратима форма

В предишния пример намалихме дробта 6 24 с 2, което доведе до дробта 3 12. Лесно е да се види, че тази фракция може да бъде допълнително намалена. Обикновено целта на намаляването на дроби е да се получи несъкратима дроб. Как да съкратим дроб до несъкратимата й форма?

Това може да стане чрез намаляване на числителя и знаменателя с техния най-голям общ множител (НОД). След това, от собствеността на най-великите общ делител, числителят и знаменателят ще имат взаимно прости числа и дробта ще бъде несъкратима.

a b = a ÷ N O D (a , b) b ÷ N O D (a , b)

Редуциране на дроб до несъкратим вид

За да намалите дроб до нейната несъкратима форма, трябва да разделите нейния числител и знаменател на техния gcd.

Нека се върнем към дробта 6 24 от първия пример и да я доведем до нейната несъкратима форма. Най-големият общ делител на числата 6 и 24 е 6. Нека намалим дробта:

6 24 = 6 ÷ 6 24 ÷ 6 = 1 4

Намаляването на дроби е удобно за използване, за да не се работи с големи числа. Като цяло има негласно правило в математиката: ако можете да опростите всеки израз, тогава трябва да го направите. Намаляването на дроб най-често означава свеждането й до несъкратим вид, а не просто намаляването й с общия делител на числителя и знаменателя.

Правило за съкращаване на дроби

За да намалите дробите, просто запомнете правилото, което се състои от две стъпки.

Правило за съкращаване на дроби

За да намалите дроб, трябва:

1. Намерете gcd на числителя и знаменателя.
2. Разделете числителя и знаменателя на техния gcd.

Нека да разгледаме практически примери.

Пример 1. Нека съкратим дробта.

Дадена е дробта 182 195. Нека го съкратим.

Нека намерим gcd на числителя и знаменателя. За целта в в такъв случайНай-удобно е да се използва алгоритъмът на Евклид.

195 = 182 1 + 13 182 = 13 14 N O D (182, 195) = 13

Разделете числителя и знаменателя на 13. Получаваме:

182 195 = 182 ÷ 13 195 ÷ 13 = 14 15

Готов. Получихме несъкратима дроб, която е равна на първоначалната дроб.

Как иначе можете да намалите дробите? В някои случаи е удобно да разложите числителя и знаменателя на прости множители и след това да премахнете всички общи множители от горната и долната част на дробта.

Пример 2. Намалете фракцията

Дадена е дробта 360 2940. Нека го съкратим.

За да направите това, представете си оригиналната дроб във формата:

360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 7 7

Нека се отървем от общите множители в числителя и знаменателя, което води до:

360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 7 7 = 2 3 7 7 = 6 49

И накрая, нека разгледаме друг начин за намаляване на дроби. Това е така нареченото последователно намаляване. С помощта на този метод редукцията се извършва на няколко етапа, във всеки от които фракцията се намалява с някакъв очевиден общ фактор.

Пример 3. Намалете дробта

Нека намалим дробта 2000 на 4400.

Веднага става ясно, че числителят и знаменателят имат общ коефициент 100. Намаляваме дроба със 100 и получаваме:

2000 4400 = 2000 ÷ 100 4400 ÷ 100 = 20 44

20 44 = 20 ÷ 2 44 ÷ 2 = 10 22

Намаляваме получения резултат отново с 2 и получаваме несъкратима дроб:

10 22 = 10 ÷ 2 22 ÷ 2 = 5 11

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

За да разберем как да съкращаваме дроби, нека първо да разгледаме един пример.

Да намалиш дроб означава да разделиш числителя и знаменателя на едно и също нещо. И 360, и 420 завършват с цифра, така че можем да намалим тази дроб с 2. В новата дроб и 180, и 210 също се делят на 2, така че намаляваме тази дроб с 2. В числата 90 и 105 сумата от цифрите се дели на 3, така че и двете числа се делят на 3, намаляваме дробта с 3. В новата дроб 30 и 35 завършват на 0 и 5, което означава, че и двете числа се делят на 5, така че намаляваме дробта с 5. Получената дроб от шест седми е несъкратима. Това е окончателният отговор.

Можем да стигнем до същия отговор по различен начин.

И 360, и 420 завършват на нула, което означава, че се делят на 10. Намаляваме дробта с 10. В новата дроб и числителят 36, и знаменателят 42 са разделени на 2. Намаляваме дробта с 2. В следващата дроб, както числителят 18, така и знаменателят 21 са разделени на 3, което означава, че намаляваме дробта с 3. Стигнахме до резултата - шест седми.

И още едно решение.

Следващия път ще разгледаме примери за съкращаване на дроби.

Онлайн калкулатор изпълнява намаляване алгебрични дроби в съответствие с правилото за съкращаване на дроби: замяна на оригиналната дроб с равна дроб, но с по-малък числител и знаменател, т.е. Едновременно деление на числителя и знаменателя на дроб на техния общ най-голям общ множител (НОД). Калкулаторът също така показва подробно решение, което ще ви помогне да разберете последователността на намаляването.

дадени:

Решение:

Извършва редукция на дроби

проверка на възможността за извършване на редукция на алгебрична дроб

1) Определяне на най-големия общ делител (НОД) на числителя и знаменателя на дроб

определяне на най-големия общ делител (НОД) на числителя и знаменателя на алгебрична дроб

2) Намаляване на числителя и знаменателя на дроб

намаляване на числителя и знаменателя на алгебрична дроб

3) Избиране на цялата част от дроб

отделяне на цялата част от алгебрична дроб

4) Преобразуване на алгебрична дроб в десетична дроб

превръщане на алгебрична дроб в десетичен знак

Помощ за изработка на сайт на проекта

Уважаеми посетители на сайта.
Ако не сте успели да намерите това, което търсите, не забравяйте да напишете за това в коментарите, какво липсва в момента на сайта. Това ще ни помогне да разберем в каква посока трябва да продължим, а други посетители скоро ще могат да получат необходимия материал.
Ако сайтът се оказа полезен за вас, дарете сайта на проекта само 2 ₽и ще знаем, че се движим в правилната посока.

Благодаря ви, че се отбихте!

I. Процедура за намаляване на алгебрична дроб с помощта на онлайн калкулатор:

1. За да намалите алгебрична дроб, въведете стойностите на числителя и знаменателя на дробта в съответните полета. Ако фракцията е смесена, попълнете и полето, съответстващо на цялата част от фракцията. Ако дробта е проста, оставете полето за цялата част празно.
2. За да посочите отрицателна дроб, поставете знак минус върху цялата част на дробта.
3. В зависимост от зададената алгебрична дроб автоматично се изпълнява следната последователност от действия:

• определяне на най-големия общ делител (НОД) на числителя и знаменателя на дроб;
• намаляване на числителя и знаменателя на дроб с gcd;
• подчертаване на цялата част от дроб, ако числителят на крайната дроб е по-голям от знаменателя.
• преобразуване на крайната алгебрична дроб в десетична дробзакръглено до най-близката стотна.

II. За справка:

Дробта е число, състоящо се от една или повече части (дроби) на единица. Обикновена дроб(проста дроб) се записва като две числа (числителя на дробта и знаменателя на дробта), разделени от хоризонтална черта (дробна лента), указваща знака за деление. Числителят на дроб е числото над дробната черта. Числителят показва колко акции са взети от цялото. Знаменателят на дроб е числото под дробната черта. Знаменателят показва на колко равни части е разделено цялото. Простата дроб е дроб, която няма цяла част. Простата дроб може да бъде правилна или неправилна. правилна дроб - дроб, чийто числител е по-малко от знаменателя, така че правилната дроб винаги е по-малка от единица. Пример за правилни дроби: 8/7, 11/19, 16/17. Неправилна дроб е дроб, в която числителят е по-голям или равен на знаменателя, така че неправилната дроб винаги е по-голяма или равна на едно. Пример за неправилни дроби: 7/6, 8/7, 13/13. смесена дроб е число, което съдържа цяло число и правилна дроб и обозначава сумата от това цяло число и правилната дроб. Всяка смесена дроб може да се преобразува в неправилна дроб проста дроб. Пример смесени фракции: 1¼, 2½, 4¾.

III. Забележка:

1. Маркиран блок с изходни данни жълто , блокът от междинни изчисления е маркиран в синьо, блокът за решение е маркиран в зелено.
2. За събиране, изваждане, умножение и деление на обикновени или смесени дроби използвайте онлайн калкулатор на дробис подробно решение.

Много ученици правят същите грешки, когато работят с дроби. И всичко това, защото забравят основните правила аритметика. Днес ще повторим тези правила на специфични задачикоито давам в часовете си.

Ето задачата, която предлагам на всички, които се готвят за Единния държавен изпит по математика:

Задача. Една морска свиня изяжда 150 грама храна на ден. Но тя порасна и започна да яде 20% повече. Колко грама фураж изяжда прасето сега?

Не правилно решение. Това е процентен проблем, който се свежда до уравнението:

Много (много) намаляват числото 100 в числителя и знаменателя на дроб:

Това е грешката, която моят ученик направи точно в деня на написването на тази статия. Числата, които са съкратени, са маркирани в червено.

Излишно е да казвам, че отговорът беше грешен. Съдете сами: прасето изяде 150 грама, но започна да яде 3150 грама. Увеличението не е 20%, а 21 пъти, т.е. с 2000%.

За да избегнете подобни недоразумения, запомнете основното правило:

Само множителите могат да бъдат намалени. Сроковете не могат да бъдат намалявани!

Така правилното решение на предишния проблем изглежда така:

Числата, които са съкратени в числителя и знаменателя, са отбелязани в червено. Както можете да видите, числителят е произведението, а знаменателят е обикновен номер. Следователно намалението е напълно законно.

Работа с пропорции

Друг проблемна зона — пропорции. Особено когато променливата е от двете страни. Например:

Задача. Решете уравнението:

Грешно решение - някои хора буквално ги сърби да съкратят всичко с m:

Намалените променливи са показани в червено. Изразът 1/4 = 1/5 се оказва пълна глупост, тези числа никога не са равни.

И сега - правилното решение. По същество това е обикновено линейно уравнение . Може да се реши или чрез преместване на всички елементи на една страна, или чрез основното свойство на пропорцията:

Много читатели ще възразят: „Къде е грешката в първото решение?“ Е, нека разберем. Нека си припомним правилото за работа с уравнения:

Всяко уравнение може да бъде разделено и умножено по всяко число, ненулев.

Пропуснахте ли трика? Можете да делите само с числа ненулев. По-специално, можете да разделите на променлива m само ако m != 0. Но какво ще стане, ако m = 0? Нека заместим и проверим:

Получихме правилното числово равенство, т.е. m = 0 е коренът на уравнението. За останалите m != 0 получаваме израз от вида 1/4 = 1/5, което естествено е неправилно. Следователно няма ненулеви корени.

Изводи: всичко това заедно

И така, за решаване дробни рационални уравнениязапомнете три правила:

1. Само множителите могат да бъдат намалени. Добавянето не е възможно. Затова се научете да разделяте числителя и знаменателя на множители;
2. Основното свойство на пропорцията: произведението на екстремните елементи е равно на произведението на средните;
3. Уравненията могат да се умножават и делят само с числа k, различни от нула. Случаят k = 0 трябва да се провери отделно.

Запомнете тези правила и не правете грешки.