В курсовете на средното и средното училище учениците разглеждаха темата „Дроби“. Това понятие обаче е много по-широко от това, което се дава в учебния процес. Днес концепцията за дроб се среща доста често и не всеки може да изчисли всеки израз, например умножаване на дроби.

Какво е дроб?

Исторически погледнато, дробните числа възникват поради необходимостта от измерване. Както показва практиката, често има примери за определяне на дължината на сегмент и обема на правоъгълен правоъгълник.

Първоначално учениците се запознават с понятието акция. Например, ако разделите диня на 8 части, тогава всеки ще получи една осма от динята. Тази част от осем се нарича дял.

Дял, равен на ½ от всяка стойност, се нарича половина; ⅓ - трети; ¼ - една четвърт. Записите от формата 5/8, 4/5, 2/4 се наричат ​​обикновени дроби. Обикновената дроб се дели на числител и знаменател. Между тях е дробната лента, или фракционната лента. Дробната линия може да бъде начертана като хоризонтална или наклонена линия. IN в такъв случайпредставлява знака за деление.

Знаменателят представлява на колко равни части е разделено количеството или обектът; а числителят е колко еднакви акции са взети. Числителят е написан над дробната черта, а знаменателят е написан под нея.

Най-удобно е да се показват обикновени дроби на координатен лъч. Ако единичен сегмент е разделен на 4 равни части, маркирайте всяка част латиница, тогава резултатът може да бъде отлично визуално помагало. И така, точка А показва дял, равен на 1/4 от целия единичен сегмент, а точка Б маркира 2/8 от даден сегмент.

Видове дроби

Дробите могат да бъдат обикновени, десетични и смесени числа. Освен това дробите могат да бъдат разделени на правилни и неправилни. Тази класификация е по-подходяща за обикновени дроби.

Правилна дроб е число, чийто числител е по-малко от знаменателя. Съответно неправилна дроб е число, чийто числител е по-голям от знаменателя. Вторият тип обикновено се записва като смесено число. Този израз се състои от цяло число и дробна част. Например 1½. 1 - цяла част, ½ - дробно. Ако обаче трябва да извършите някои манипулации с израза (разделяне или умножаване на дроби, намаляване или преобразуване), смесеното число се преобразува в неправилна дроб.

Правилният дробен израз винаги е по-малък от единица, а неправилният винаги е по-голям или равен на 1.

Що се отнася до този израз, имаме предвид запис, в който е представено произволно число, чийто знаменател на дробния израз може да бъде изразен чрез единица с няколко нули. Ако дробта е правилна, тогава цялата част в десетичната система ще бъде равна на нула.

За да напишете десетична дроб, първо трябва да напишете цялата част, да я отделите от дробта със запетая и след това да напишете дробния израз. Трябва да се помни, че след десетичната запетая числителят трябва да съдържа същия брой цифрови знаци, колкото има нули в знаменателя.

Пример. Изразете дробта 7 21 / 1000 в десетичен запис.

Алгоритъм за преобразуване на неправилна дроб в смесено число и обратно

Неправилно е да се пише неправилна дроб в отговора на задача, затова трябва да се преобразува в смесено число:

• разделете числителя на съществуващия знаменател;
• V конкретен примернепълно частно – цяло;
• а остатъкът е числителят на дробната част, като знаменателят остава непроменен.

Пример. Преобразувайте неправилна дроб в смесено число: 47 / 5.

Решение. 47: 5. Частичното частно е 9, остатъкът = 2. И така, 47/5 = 9 2/5.

Понякога трябва да представите смесено число като неправилна дроб. След това трябва да използвате следния алгоритъм:

• цялата част се умножава по знаменателя на дробния израз;
• полученият продукт се добавя към числителя;
• резултатът се записва в числителя, знаменателят остава непроменен.

Пример. Представете смесеното число като неправилна дроб: 9 8 / 10.

Решение. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 е числителят.

Отговор: 98 / 10.

Умножение на дроби

С обикновените дроби могат да се извършват различни алгебрични операции. За да умножите две числа, трябва да умножите числителя с числителя и знаменателя със знаменателя. Освен това умножаването на дроби с различни знаменатели не се различава от произведението дробни числас еднакви знаменатели.

Случва се, че след като намерите резултата, трябва да намалите фракцията. Наложително е да се опрости полученият израз възможно най-много. Разбира се, не може да се каже, че неправилна дроб в отговор е грешка, но също така е трудно да се нарече правилен отговор.

Пример. Намерете произведението на две обикновени дроби: ½ и 20/18.

Както се вижда от примера, след намиране на продукта се получава редуцируема дробна нотация. И числителят, и знаменателят в този случай са разделени на 4 и резултатът е отговорът 5/9.

Умножаване на десетични дроби

работа десетични знацидоста различни от обикновените произведения по принцип. И така, умножаването на дроби е както следва:

• две десетични дроби трябва да бъдат записани една под друга, така че най-десните цифри да са една под друга;
• трябва да умножите написаните числа, въпреки запетаите, тоест като естествени числа;
• пребройте броя на цифрите след десетичната запетая във всяко число;
• в резултата, получен след умножението, трябва да преброите отдясно толкова цифрови символи, колкото се съдържат в сумата в двата фактора след десетичната запетая, и да поставите разделителен знак;
• ако в продукта има по-малко числа, тогава трябва да напишете толкова нули пред тях, за да покриете това число, да поставите запетая и да добавите цялата част, равна на нула.

Пример. Изчислете произведението на две десетични дроби: 2,25 и 3,6.

Решение.

Умножение на смесени дроби

За да изчислите произведението на две смесени дроби, трябва да използвате правилото за умножение на дроби:

• преобразуват смесени числа в неправилни дроби;
• намерете произведението на числителите;
• намерете произведението на знаменателите;
• запишете резултата;
• опростете израза колкото е възможно повече.

Пример. Намерете произведението на 4½ и 6 2/5.

Умножение на число с дроб (дроби с число)

В допълнение към намирането на произведението на две дроби и смесени числа, има задачи, в които трябва да умножите по дроб.

И така, за да намерите произведението на десетична дроб и естествено число, трябва:

• напишете числото под дробта, така че най-десните цифри да са една над друга;
• намерете продукта въпреки запетаята;
• в получения резултат отделете цялата част от дробната част със запетая, като броите отдясно броя на цифрите, които се намират след десетичната запетая в дробта.

За да умножите обикновена дроб по число, трябва да намерите произведението на числителя и естествения фактор. Ако отговорът дава дроб, която може да бъде намалена, тя трябва да бъде преобразувана.

Пример. Изчислете произведението на 5/8 и 12.

Решение. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Отговор: 7 1 / 2.

Както можете да видите от предишния пример, беше необходимо да се намали полученият резултат и да се преобразува изразът на неправилната дроб в смесено число.

Умножението на дроби също се отнася до намирането на произведението на число в смесена форма и естествен фактор. За да умножите тези две числа, трябва да умножите цялата част от смесения фактор по числото, да умножите числителя по същата стойност и да оставите знаменателя непроменен. Ако е необходимо, трябва да опростите получения резултат възможно най-много.

Пример. Намерете произведението на 9 5/6 и 9.

Решение. 9 5 / 6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.

Отговор: 88 1 / 2.

Умножение с коефициенти 10, 100, 1000 или 0,1; 0,01; 0,001

Следното правило следва от предходния параграф. За да умножите десетична дроб по 10, 100, 1000, 10000 и т.н., трябва да преместите десетичната запетая надясно с толкова цифри, колкото нули има след единицата във фактора.

Пример 1. Намерете произведението на 0,065 и 1000.

Решение. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.

Отговор: 65.

Пример 2. Намерете произведението на 3,9 и 1000.

Решение. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.

Отговор: 3900.

Ако трябва да умножите естествено число и 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 и т.н., трябва да преместите запетаята в получения продукт наляво с толкова цифри, колкото нули има преди единица. Ако е необходимо, пред естественото число се записват достатъчен брой нули.

Пример 1. Намерете произведението на 56 и 0,01.

Решение. 56 х 0,01 = 0056 = 0,56.

Отговор: 0,56.

Пример 2. Намерете произведението на 4 и 0,001.

Решение. 4 х 0,001 = 0004 = 0,004.

Отговор: 0,004.

Така че намирането на продукта от различни фракции не трябва да създава трудности, освен може би изчисляването на резултата; в този случай просто не можете без калкулатор.

Десетичната запетая се използва, когато трябва да извършвате операции с нецели числа. Това може да изглежда ирационално. Но този тип числа значително опростяват математическите операции, които трябва да се извършват с тях. Това разбиране идва с времето, когато писането им стане познато и четенето им не създава затруднения и правилата за десетичните дроби са усвоени. Освен това всички действия повтарят вече познати, които са научени с естествени числа. Просто трябва да запомните някои функции.

Десетично определение

Десетичният дроб е специално представяне на нецяло число със знаменател, който се дели на 10, давайки отговора като едно и евентуално нули. С други думи, ако знаменателят е 10, 100, 1000 и т.н., тогава е по-удобно числото да се пренапише със запетая. Тогава цялата част ще бъде разположена преди него, а след това дробната част. Освен това записът на втората половина на числото ще зависи от знаменателя. Броят на цифрите, които са в дробната част, трябва да бъде равен на цифрата на знаменателя.

Горното може да се илюстрира със следните числа:

9/10=0,9; 178/10000=0,0178; 3,05; 56 003,7006.

Причини за използване на десетични знаци

Математиците се нуждаеха от десетични знаци по няколко причини:

Опростяване на записа. Такава фракция е разположена на една линия без тире между знаменателя и числителя, докато яснотата не страда.

Простота в сравнение. Достатъчно е просто да съпоставите числа, които са на еднакви позиции, докато с обикновените дроби ще трябва да ги сведете до общ знаменател.

Опростете изчисленията.

Калкулаторите не са предназначени да приемат дроби; те използват десетична нотация за всички операции.

Как да четем правилно такива числа?

Отговорът е прост: точно като обикновено смесено число със знаменател, който е кратен на 10. Единственото изключение са дроби без цяло число, тогава при четене трябва да произнесете „нула цели числа“.

Например 45/1000 трябва да се произнася като четиридесет и пет хиляди, в същото време 0,045 ще звучи като нула точка четиридесет и пет хилядни.

Смесено число с цяла част от 7 и дроб от 17/100, което би било записано като 7,17, и в двата случая ще се чете като седем точка седемнадесет.

Ролята на цифрите при записване на дроби

Правилното отбелязване на ранга е това, което математиката изисква. Десетичните знаци и тяхното значение могат да се променят значително, ако напишете цифрата на грешното място. Това обаче беше вярно преди.

За да прочетете цифрите на цялата част от десетична дроб, просто трябва да използвате известните правила естествени числа. А от дясната страна са огледални и се четат различно. Ако цялата част звучи „десетки“, тогава след десетичната запетая вече ще бъде „десети“.

Това може ясно да се види в тази таблица.

Как правилно да напишете смесено число като десетична запетая?

Ако знаменателят съдържа число, равно на 10 или 100, и други, тогава въпросът как да преобразувате дроб в десетична не е труден. За да направите това, достатъчно е да пренапишете всички негови компоненти по различен начин. Следните точки ще помогнат за това:

напишете числителя на фракцията малко встрани, в този момент десетичната точка се намира вдясно, след последната цифра;

преместете запетаята наляво, най-важното тук е да преброите правилно числата - трябва да я преместите с толкова позиции, колкото нули има в знаменателя;

ако няма достатъчно от тях, тогава трябва да има нули в празните позиции;

нулите, които бяха в края на числителя, сега не са необходими и могат да бъдат задраскани;

Преди запетаята добавете цялата част; ако не е била там, тогава ще има и нула.

внимание. Не можете да задраскате нули, които са заобиколени от други числа.

Можете да прочетете по-долу за това как да се справите със ситуация, в която знаменателят съдържа повече от единици и нули, и как да преобразувате дроб в десетичен знак. Това важна информация, което определено си заслужава да се провери.

Как да преобразувам дроб в десетична, ако знаменателят е произволно число?

Тук има два варианта:

Когато знаменателят може да бъде представен като число, равно на десет на произволна степен.

Ако такава операция не може да бъде извършена.

Как мога да проверя това? Трябва да разложите знаменателя на множители. Ако в продукта присъстват само 2 и 5, тогава всичко е наред и дробта лесно се преобразува в краен десетичен знак. В противен случай, ако се появят 3, 7 и други прости числа, резултатът ще бъде безкраен. Такава десетична дроб за лесна употреба в математически операцииПрието е да се закръглят. Това ще бъде обсъдено малко по-долу.

Изследва как се правят десетични знаци, 5. клас. Примерите тук ще бъдат много полезни.

Нека знаменателите са числата: 40, 24 и 75. Разлагане на основни факториза тях ще е така:

• 40=2·2·2·5;
• 24=2·2·2·3;
• 75=5·5·3.

В тези примери само първата фракция може да бъде представена като крайна фракция.

Алгоритъм за преобразуване на обикновена дроб в крайна десетична дроб

Проверете разлагането на знаменателя на прости множители и се уверете, че ще се състои от 2 и 5.

Добавете толкова 2s и 5s към тези числа, така че да има равен брой от тях. Те ще дадат стойността на допълнителния множител.

Умножете знаменателя и числителя по това число. Резултатът ще бъде обикновена дроб, под чертата на която има 10 до някаква степен.

Ако в задача тези действия се изпълняват с смесено число, то първо трябва да се представи като неправилна дроб. И едва тогава действайте според описания сценарий.

Представяне на дроб като заоблен десетичен знак

Този метод за преобразуване на дроб в десетичен знак може да изглежда дори по-лесен за някои. Защото няма много действие. Просто трябва да разделите числителя на знаменателя.

Всяко число с десетична част вдясно от десетичната запетая може да получи безкраен брой нули. Този имот е това, от което трябва да се възползвате.

Първо запишете цялата част и поставете запетая след нея. Ако дробта е правилна, напишете нула.

След това трябва да разделите числителя на знаменателя. Така че да имат еднакъв брой цифри. Тоест добавете отдясно на числителя необходимо количествонули.

Извършете дълго деление, докато се достигне необходимия брой цифри. Например, ако трябва да закръглите до стотни, тогава отговорът трябва да бъде 3. Като цяло трябва да има едно число повече, отколкото трябва да получите накрая.

Запишете междинния отговор след десетичната запетая и закръглете според правилата. Ако последната цифра е от 0 до 4, тогава просто трябва да я изхвърлите. И когато е равно на 5-9, тогава този пред него трябва да се увеличи с единица, като се изхвърли последният.

Връщане от десетична към обикновена дроб

В математиката има проблеми, когато е по-удобно да се представят десетични дроби под формата на обикновени дроби, в които има числител със знаменател. Можете да въздъхнете с облекчение: тази операция винаги е възможна.

За тази процедура трябва да направите следното:

запишете цялата част, ако е равна на нула, тогава няма нужда да пишете нищо;

начертайте дробна линия;

над него запишете числата от дясната страна, ако нулите са на първо място, те трябва да бъдат задраскани;

Под чертата напишете единица с толкова нули, колкото са цифрите след десетичната запетая в оригиналната дроб.

Това е всичко, което трябва да направите, за да преобразувате десетичен знак в дроб.

Какво можете да правите с десетичните знаци?

В математиката това ще бъдат определени операции с десетични знаци, които преди са били извършвани за други числа.

Те са:

сравнение;

събиране и изваждане;

умножение и деление.

Първото действие, сравнението, е подобно на начина, по който е направено за естествени числа. За да определите кое е по-голямо, трябва да сравните цифрите на цялата част. Ако се окажат равни, тогава преминават към дробните и също ги сравняват по цифри. Числото с най-голямата цифра в най-значимата цифра ще бъде отговорът.

Събиране и изваждане на десетични знаци

Това са може би най-много прости стъпки. Защото се извършват по правилата за естествените числа.



И така, за да добавите десетични дроби, те трябва да бъдат написани една под друга, като се поставят запетаи в колона. При тази нотация цели части се появяват отляво на запетаите, а дробни части отдясно. И сега трябва да събирате числата малко по малко, както се прави с естествените числа, като местите запетаята надолу. Трябва да започнете да добавяте от най-малката цифра на дробната част на числото. Ако в дясната половина няма достатъчно числа, тогава се добавят нули.

Същото важи и за изваждането. И тук има правило, което описва възможността за вземане на единица от най-висок ранг. Ако фракцията, която се редуцира, има по-малко цифри след десетичната запетая, отколкото дробта, която се изважда, тогава към нея просто се добавят нули.

Ситуацията е малко по-сложна със задачи, в които трябва да умножавате и разделяте десетични дроби.

Как да умножим десетична дроб в различни примери?

Правилото за умножаване на десетични дроби с естествено число е:

запишете ги в колона, без да обръщате внимание на запетаята;

размножават се, сякаш са естествени;

Разделете със запетая толкова цифри, колкото е имало в дробната част на оригиналното число.

Специален случай е примерът, в който естествено число е равно на 10 на произволна степен. След това, за да получите отговора, просто трябва да преместите десетичната запетая надясно с толкова позиции, колкото нули има в другия фактор. С други думи, когато се умножи по 10, десетичната точка се премества с една цифра, със 100 - ще бъдат две и т.н. Ако в дробната част няма достатъчно числа, тогава трябва да напишете нули в празните позиции.

Правилото, което се използва, когато дадена задача изисква умножаване на десетични дроби с друго същото число:

запишете ги един след друг, без да обръщате внимание на запетаите;

размножават се като естествени;

Разделете със запетая толкова цифри, колкото е имало в дробните части на двете оригинални дроби заедно.

Специален случай са примерите, в които един от множителите е равен на 0,1 или 0,01 и т.н. В тях трябва да преместите десетичната запетая наляво с броя на цифрите в представените фактори. Тоест, ако се умножи по 0,1, тогава десетичната точка се измества с една позиция.

Как се дели десетична дроб в различни задачи?

Разделянето на десетични дроби на естествено число се извършва по следното правило:

запишете ги за разделяне в колона като натурални;

разделете според обичайното правило, докато цялата част свърши;

поставете запетая в отговора;

продължете да разделяте дробния компонент, докато остатъкът стане нула;

ако е необходимо, можете да добавите необходимия брой нули.

Ако цялата част е равна на нула, тогава тя също няма да бъде в отговора.

Отделно има разделяне на числа, равни на десет, сто и т.н. При такива задачи трябва да преместите десетичната запетая наляво с броя на нулите в делителя. Случва се в цяла част да няма достатъчно числа, тогава вместо тях се използват нули. Можете да видите, че тази операция е подобна на умножаване по 0,1 и подобни числа.

За да разделите десетични числа, трябва да използвате това правило:

превърнете делителя в естествено число и за целта преместете запетаята в него надясно до края;

преместете десетичната запетая в дивидента със същия брой цифри;

действайте според предишния сценарий.

Делението на 0,1 е подчертано; 0,01 и други подобни числа. В такива примери десетичната точка се измества надясно с броя на цифрите в дробната част. Ако те свършат, тогава трябва да добавите липсващия брой нули. Струва си да се отбележи, че това действие повтаря делене на 10 и подобни числа.



Заключение: Всичко е въпрос на практика

Нищо в ученето не идва лесно или без усилия. Надеждното овладяване на нов материал изисква време и практика. Математиката не прави изключение.

За да сте сигурни, че темата за десетичните дроби не създава затруднения, трябва да решите възможно най-много примери с тях. В крайна сметка имаше време, когато добавянето на естествени числа беше задънена улица. И сега всичко е наред.

Затова, ако перифразираме една добре позната фраза: решавайте, решавайте и пак решавайте. Тогава задачите с такива числа ще се изпълняват лесно и естествено, като поредния пъзел.

Между другото, пъзелите са трудни за решаване в началото, а след това трябва да правите обичайните движения. Същото е и в математическите примери: след като сте вървели по една и съща пътека няколко пъти, тогава вече няма да мислите къде да завиете.

Нека да преминем към изучаването на следващото действие с десетични дроби, сега ще разгледаме изчерпателно умножение на десетични знаци. Нека първо да поговорим основни принципиумножение на десетични дроби. След това ще преминем към умножаване на десетична дроб по десетична дроб, ще покажем как да умножаваме десетични дроби по колона и ще разгледаме решения на примери. След това ще разгледаме умножението на десетични дроби с естествени числа, по-специално с 10, 100 и т.н. И накрая, нека поговорим за умножаването на десетични числа с дроби и смесени числа.

Нека кажем веднага, че в тази статия ще говорим само за умножаване на положителни десетични дроби (вижте положителни и отрицателни числа). Останалите случаи са разгледани в статиите умножение на рационални числа и умножаване на реални числа.

Навигация в страницата.

Общи принципи на умножение на десетични знаци

Нека обсъдим общите принципи, които трябва да се следват при умножение с десетични знаци.

Тъй като крайните десетични дроби и безкрайните периодични дроби са десетичната форма на обикновените дроби, умножаването на такива десетични знаци по същество е умножаване на обикновени дроби. С други думи, умножаване на крайни десетични числа, умножаване на крайни и периодични десетични дроби, и умножаване на периодични десетични знацисе свежда до умножаване на обикновени дроби след преобразуване на десетични числа в обикновени дроби.

Нека да разгледаме примери за прилагане на посочения принцип за умножаване на десетични дроби.

Пример.

Умножете десетичните знаци 1,5 и 0,75.

Решение.

Нека заменим умножените десетични дроби със съответните обикновени дроби. Тъй като 1,5=15/10 и 0,75=75/100, тогава . Можете да намалите дробта, след което да изолирате цялата част от неправилната дроб и е по-удобно да напишете получената обикновена дроб 1 125/1 000 като десетична дроб 1,125.

Отговор:

1,5·0,75=1,125.

Трябва да се отбележи, че е удобно да се умножават крайните десетични дроби в колона; ще говорим за този метод за умножаване на десетични дроби в.

Нека да разгледаме пример за умножение на периодични десетични дроби.

Пример.

Изчислете произведението на периодичните десетични дроби 0,(3) и 2,(36) .

Решение.

Нека преобразуваме периодичните десетични дроби в обикновени дроби:

Тогава . Можете да преобразувате получената обикновена дроб в десетична дроб:

Отговор:

0,(3)·2,(36)=0,(78) .

Ако сред умножените десетични дроби има безкрайни непериодични, тогава всички умножени дроби, включително крайни и периодични, трябва да бъдат закръглени до определена цифра (вж. закръгляване на числа), и след това умножете крайните десетични дроби, получени след закръгляване.

Пример.

Умножете десетичните знаци 5,382... и 0,2.

Решение.

Първо, нека закръглим една безкрайна непериодична десетична дроб, закръглянето може да се направи до стотни, имаме 5,382...≈5,38. Последната десетична дроб 0,2 не е необходимо да се закръгля до най-близката стотна. Така 5,382...·0,2≈5,38·0,2. Остава да изчислим произведението на крайните десетични дроби: 5,38·0,2=538/100·2/10= 1,076/1,000=1,076.

Отговор:

5,382…·0,2≈1,076.

Умножение на десетични дроби по колона

Умножаването на крайни десетични дроби може да се извърши в колона, подобно на умножаването на естествени числа в колона.

Да формулираме правило за умножение на десетични дроби по колона. За да умножите десетични дроби по колона, трябва:

• без да обръщате внимание на запетаите, извършете умножение по всички правила за умножение с колона от естествени числа;
• в полученото число отделете с десетична запетая толкова цифри отдясно, колкото са десетичните знаци в двата фактора заедно, а ако няма достатъчно цифри в произведението, тогава трябва да добавите необходимия брой нули отляво.

Нека да разгледаме примери за умножаване на десетични дроби по колони.

Пример.

Умножете десетичните знаци 63,37 и 0,12.

Решение.

Нека умножим десетични дроби в колона. Първо умножаваме числата, като игнорираме запетаите:

Остава само да добавите запетая към получения продукт. Тя трябва да раздели 4 цифри вдясно, тъй като множителите имат общо четири знака след десетичната запетая (два в дробта 3,37 и две в дробта 0,12). Там има достатъчно числа, така че не е нужно да добавяте нули отляво. Да завършим записа:

В резултат на това имаме 3,37·0,12=7,6044.

Отговор:

3,37·0,12=7,6044.

Пример.

Изчислете произведението на десетичните знаци 3,2601 и 0,0254.

Решение.

След като извършихме умножение в колона, без да вземаме предвид запетаите, получаваме следната картина:

Сега в продукта трябва да разделите 8-те цифри отдясно със запетая, тъй като общият брой десетични знаци на умножените дроби е осем. Но има само 7 цифри в продукта, следователно трябва да добавите толкова нули отляво, така че да можете да отделите 8 цифри със запетая. В нашия случай трябва да зададем две нули:

Това завършва умножението на десетични дроби по колона.

Отговор:

3,2601·0,0254=0,08280654.

Умножаване на десетични знаци по 0,1, 0,01 и т.н.

Доста често трябва да умножите десетични дроби по 0,1, 0,01 и т.н. Ето защо е препоръчително да се формулира правило за умножаване на десетична дроб с тези числа, което следва от принципите на умножаване на десетични дроби, разгледани по-горе.

Така, умножаване на даден десетичен знак по 0,1, 0,01, 0,001 и т.н.дава дроб, който се получава от оригиналния, ако в неговия запис запетаята се премести наляво съответно с 1, 2, 3 и т.н. цифри и ако няма достатъчно цифри за преместване на запетаята, тогава трябва да добавете необходимия брой нули отляво.

Например, за да умножите десетичната дроб 54,34 по 0,1, трябва да преместите десетичната запетая в дробта 54,34 наляво с 1 цифра, което ще ви даде дроб 5,434, тоест 54,34·0,1=5,434. Нека дадем друг пример. Умножете десетичната дроб 9,3 по 0,0001. За да направим това, трябва да преместим десетичната запетая с 4 цифри наляво в умножената десетична дроб 9.3, но записът на дробта 9.3 не съдържа толкова много цифри. Следователно, трябва да присвоим толкова много нули отляво на дробта 9,3, така че да можем лесно да преместим десетичната запетая до 4 цифри, имаме 9,3·0,0001=0,00093.

Обърнете внимание, че посоченото правило за умножаване на десетична дроб по 0,1, 0,01, ... е валидно и за безкрайни десетични дроби. Например 0.(18)·0.01=0.00(18) или 93.938…·0.1=9.3938… .

Умножение на десетична запетая по естествено число

В основата си умножаване на десетични числа с естествени числане се различава от умножаването на десетичен знак по десетичен знак.

Най-удобно е да умножите крайна десетична дроб по естествено число в колона; в този случай трябва да се придържате към правилата за умножение на десетични дроби в колона, разгледани в един от предишните параграфи.

Пример.

Изчислете произведението 15·2,27.

Решение.

Нека умножим естествено число по десетична дроб в колона:

Отговор:

15·2,27=34,05.

При умножаване на периодична десетична дроб с естествено число, периодичната дроб трябва да се замени с обикновена дроб.

Пример.

Умножете десетичната дроб 0.(42) по естественото число 22.

Решение.

Първо, нека преобразуваме периодичната десетична дроб в обикновена дроб:

Сега нека направим умножението: . Този резултат като десетична запетая е 9,(3) .

Отговор:

0,(42)·22=9,(3) .

И когато умножавате безкрайна непериодична десетична дроб с естествено число, първо трябва да извършите закръгляване.

Пример.

Умножете 4·2,145….

Решение.

След като закръглихме първоначалната безкрайна десетична дроб до стотни, стигаме до умножението на естествено число и крайна десетична дроб. Имаме 4·2,145…≈4·2,15=8,60.

Отговор:

4·2,145…≈8,60.

Умножение на десетична запетая по 10, 100,...

Доста често трябва да умножите десетични дроби по 10, 100, ... Ето защо е препоръчително да се спрем подробно на тези случаи.

Нека го озвучим правило за умножение на десетична дроб с 10, 100, 1000 и т.н.Когато умножавате десетична дроб по 10, 100, ... в нейния запис, трябва да преместите десетичната запетая надясно до съответно 1, 2, 3, ... цифри и да изхвърлите допълнителните нули отляво; Ако нотацията на дробта, която се умножава, няма достатъчно цифри за преместване на десетичната запетая, тогава трябва да добавите необходимия брой нули вдясно.

Пример.

Умножете десетичната дроб 0,0783 по 100.

Решение.

Нека преместим дробта 0,0783 две цифри надясно и получаваме 007,83. Пускането на двете нули отляво дава десетичната дроб 7,38. Така 0,0783·100=7,83.

Отговор:

0,0783·100=7,83.

Пример.

Умножете десетичната дроб 0,02 по 10 000.

Решение.

За да умножим 0,02 по 10 000, трябва да преместим десетичната запетая с 4 цифри надясно. Очевидно в нотацията на дробта 0,02 няма достатъчно цифри за преместване на десетичната запетая с 4 цифри, така че ще добавим няколко нули вдясно, за да може да се премести десетичната запетая. В нашия пример е достатъчно да добавите три нули, имаме 0,02000. След като преместим запетаята, получаваме записа 00200.0. Като изхвърлим нулите отляво, имаме числото 200,0, което е равно на естественото число 200, което е резултат от умножаването на десетичната дроб 0,02 по 10 000.

Умножаване на десетични числапротича в три етапа.

Десетичните дроби се записват в колона и се умножават като обикновените числа.

Преброяваме броя на десетичните знаци за първата десетична дроб и за втората. Събираме броя им.

В получения резултат преброяваме отдясно наляво същия брой числа, както в горния абзац, и поставяме запетая.

Как да умножаваме десетични числа

Записваме десетичните дроби в колона и ги умножаваме като естествени числа, без да обръщаме внимание на запетаите. Тоест считаме 3,11 за 311 и 0,01 за 1.

Получихме 311. Сега преброяваме броя на знаците (цифрите) след десетичната запетая за двете дроби. Първият десетичен знак има две цифри, а вторият има две. Общ брой знаци след десетичната запетая:

Преброяваме отдясно наляво 4 знака (цифри) от полученото число. Полученият резултат съдържа по-малко числа, отколкото трябва да бъдат разделени със запетая. В този случай имате нужда от наляводобавете липсващия брой нули.

Липсва ни една цифра, затова добавяме една нула отляво.

При умножаване на всяка десетична дробна 10; 100; 1000 и т.н. Десетичната точка се премества надясно с толкова места, колкото нули има след единицата.

За да умножите десетична запетая по 0,1; 0,01; 0,001 и т.н., трябва да преместите десетичната запетая в тази дроб наляво с толкова места, колкото нули има преди единицата.

Ние броим нула цели числа!

• 12 0,1 = 1,2
• 0,05 · 0,1 = 0,005
• 1,256 · 0,01 = 0,012 56

За да разберете как да умножавате десетични числа, нека разгледаме конкретни примери.

Правило за умножение на десетични дроби

1) Умножете, без да обръщате внимание на запетаята.

2) В резултат на това отделяме толкова цифри след десетичната запетая, колкото има след десетичните точки в двата фактора заедно.

Намерете произведението на десетичните дроби:

За да умножим десетични дроби, умножаваме, без да обръщаме внимание на запетаите. Тоест умножаваме не 6,8 и 3,4, а 68 и 34. В резултат на това отделяме толкова цифри след десетичната запетая, колкото има след десетичните точки в двата множителя заедно. В първия фактор има една цифра след десетичната запетая, във втория също има една. Общо разделяме две числа след десетичната запетая. Така получаваме крайния отговор: 6,8∙3,4=23,12.

Умножаваме десетични числа, без да вземаме предвид десетичната запетая. Тоест всъщност, вместо да умножаваме 36,85 по 1,14, ние умножаваме 3685 по 14. Получаваме 51590. Сега в този резултат трябва да разделим със запетая толкова цифри, колкото има в двата фактора заедно. Първото число има две цифри след десетичната запетая, второто има една. Общо отделяме три цифри със запетая. Тъй като в края на записа има нула след десетичната запетая, не я записваме в отговора: 36,85∙1,4=51,59.

За да умножим тези десетични знаци, нека умножим числата, без да обръщаме внимание на запетаите. Тоест, умножаваме естествените числа 2315 и 7. Получаваме 16205. В това число трябва да отделите четири цифри след десетичната запетая - толкова, колкото са в двата множителя заедно (по две във всеки). Краен отговор: 23,15∙0,07=1,6205.

Умножаването на десетична дроб с естествено число се извършва по същия начин. Умножаваме числата, без да обръщаме внимание на запетаята, тоест умножаваме 75 по 16. Полученият резултат трябва да съдържа същия брой знаци след десетичната запетая, колкото има в двата множителя заедно - един. Така 75∙1,6=120,0=120.

Започваме да умножаваме десетични дроби, като умножаваме естествени числа, тъй като не обръщаме внимание на запетаите. След това отделяме толкова цифри след десетичната запетая, колкото има в двата фактора заедно. Първото число има два знака след десетичната запетая, второто също има два. Общо резултатът трябва да бъде четири цифри след десетичната запетая: 4,72∙5,04=23,7888.

И още няколко примера за умножаване на десетични дроби:

www.for6cl.uznateshe.ru

Умножение с десетични знаци, правила, примери, решения.

Да преминем към учене следващо действиес десетични дроби, сега ще разгледаме изчерпателно умножение на десетични знаци. Първо, нека обсъдим общите принципи на умножаване на десетични знаци. След това ще преминем към умножаване на десетична дроб по десетична дроб, ще покажем как да умножаваме десетични дроби по колона и ще разгледаме решения на примери. След това ще разгледаме умножението на десетични дроби с естествени числа, по-специално с 10, 100 и т.н. И накрая, нека поговорим за умножаването на десетични числа с дроби и смесени числа.

Нека кажем веднага, че в тази статия ще говорим само за умножаване на положителни десетични дроби (вижте положителни и отрицателни числа). Останалите случаи са разгледани в статиите умножение на рационални числа и умножаване на реални числа.

Навигация в страницата.

Общи принципи на умножение на десетични знаци

Нека обсъдим общите принципи, които трябва да се следват при умножение с десетични знаци.

Тъй като крайните десетични дроби и безкрайните периодични дроби са десетичната форма на обикновените дроби, умножаването на такива десетични знаци по същество е умножаване на обикновени дроби. С други думи, умножаване на крайни десетични числа, умножаване на крайни и периодични десетични дроби, и умножаване на периодични десетични знацисе свежда до умножаване на обикновени дроби след преобразуване на десетични дроби в обикновени.

Нека да разгледаме примери за прилагане на посочения принцип за умножаване на десетични дроби.

Умножете десетичните знаци 1,5 и 0,75.

Нека заменим умножените десетични дроби със съответните обикновени дроби. Тъй като 1,5=15/10 и 0,75=75/100, тогава. Можете да намалите дробта, след което да изолирате цялата част от неправилната дроб и е по-удобно да напишете получената обикновена дроб 1 125/1 000 като десетична дроб 1,125.

Трябва да се отбележи, че е удобно да се умножават крайните десетични дроби в колона; ще говорим за този метод за умножение на десетични дроби в следващия параграф.

Нека да разгледаме пример за умножение на периодични десетични дроби.

Изчислете произведението на периодичните десетични дроби 0,(3) и 2,(36) .

Нека преобразуваме периодичните десетични дроби в обикновени дроби:

Тогава. Можете да преобразувате получената обикновена дроб в десетична дроб:


Ако сред умножените десетични дроби има безкрайни непериодични, тогава всички умножени дроби, включително крайни и периодични, трябва да бъдат закръглени до определена цифра (вж. закръгляване на числа), и след това умножете крайните десетични дроби, получени след закръгляване.

Умножете десетичните знаци 5,382... и 0,2.

Първо, нека закръглим една безкрайна непериодична десетична дроб, закръглянето може да се направи до стотни, имаме 5,382...≈5,38. Последната десетична дроб 0,2 не е необходимо да се закръгля до най-близката стотна. Така 5,382...·0,2≈5,38·0,2. Остава да изчислим произведението на крайните десетични дроби: 5,38·0,2=538/100·2/10= 1,076/1,000=1,076.

Умножение на десетични дроби по колона

Умножаването на крайни десетични дроби може да се извърши в колона, подобно на умножаването на естествени числа в колона.

Да формулираме правило за умножение на десетични дроби по колона. За да умножите десетични дроби по колона, трябва:

• без да обръщате внимание на запетаите, извършете умножение по всички правила за умножение с колона от естествени числа;
• в полученото число отделете с десетична запетая толкова цифри отдясно, колкото са десетичните знаци в двата фактора заедно, а ако няма достатъчно цифри в произведението, тогава трябва да добавите необходимия брой нули отляво.

Нека да разгледаме примери за умножаване на десетични дроби по колони.

Умножете десетичните знаци 63,37 и 0,12.

Нека умножим десетични дроби в колона. Първо умножаваме числата, като игнорираме запетаите:


Остава само да добавите запетая към получения продукт. Тя трябва да раздели 4 цифри вдясно, защото множителите имат общо четири знака след десетичната запетая (два в дробта 3,37 и две в дробта 0,12). Там има достатъчно числа, така че не е нужно да добавяте нули отляво. Да завършим записа:


В резултат на това имаме 3,37·0,12=7,6044.

Изчислете произведението на десетичните знаци 3,2601 и 0,0254.

След като извършихме умножение в колона, без да вземаме предвид запетаите, получаваме следната картина:


Сега в продукта трябва да разделите 8-те цифри отдясно със запетая, тъй като общият брой десетични знаци на умножените дроби е осем. Но има само 7 цифри в продукта, следователно трябва да добавите толкова нули отляво, така че да можете да отделите 8 цифри със запетая. В нашия случай трябва да зададем две нули:


Това завършва умножението на десетични дроби по колона.

Умножаване на десетични знаци по 0,1, 0,01 и т.н.

Доста често трябва да умножите десетични дроби по 0,1, 0,01 и т.н. Ето защо е препоръчително да се формулира правило за умножаване на десетична дроб с тези числа, което следва от принципите на умножаване на десетични дроби, разгледани по-горе.

Така, умножаване на даден десетичен знак по 0,1, 0,01, 0,001 и т.н.дава дроб, който се получава от оригиналния, ако в неговия запис запетаята се премести наляво съответно с 1, 2, 3 и т.н. цифри и ако няма достатъчно цифри за преместване на запетаята, тогава трябва да добавете необходимия брой нули отляво.

Например, за да умножите десетичната дроб 54,34 по 0,1, трябва да преместите десетичната запетая в дробта 54,34 наляво с 1 цифра, което ще ви даде дроб 5,434, тоест 54,34·0,1=5,434. Нека дадем друг пример. Умножете десетичната дроб 9,3 по 0,0001. За да направим това, трябва да преместим десетичната запетая с 4 цифри наляво в умножената десетична дроб 9.3, но записът на дробта 9.3 не съдържа толкова много цифри. Следователно, трябва да присвоим толкова много нули отляво на дробта 9.3, така че да можем лесно да преместим десетичната запетая до 4 цифри, имаме 9.3·0.0001=0.00093.

Обърнете внимание, че посоченото правило за умножаване на десетична дроб по 0,1, 0,01, ... е валидно и за безкрайни десетични дроби. Например 0.(18)·0.01=0.00(18) или 93.938…·0.1=9.3938… .

Умножение на десетична запетая по естествено число

В основата си умножаване на десетични числа с естествени числане се различава от умножаването на десетичен знак по десетичен знак.

Най-удобно е да умножите крайна десетична дроб по естествено число в колона; в този случай трябва да се придържате към правилата за умножение на десетични дроби в колона, разгледани в един от предишните параграфи.

Изчислете произведението 15·2,27.

Нека умножим естествено число по десетична дроб в колона:


При умножаване на периодична десетична дроб с естествено число, периодичната дроб трябва да се замени с обикновена дроб.

Умножете десетичната дроб 0.(42) по естественото число 22.

Първо, нека преобразуваме периодичната десетична дроб в обикновена дроб:

Сега нека направим умножението: . Този резултат като десетична запетая е 9,(3) .

И когато умножавате безкрайна непериодична десетична дроб с естествено число, първо трябва да извършите закръгляване.

Умножете 4·2,145….

След като закръглихме първоначалната безкрайна десетична дроб до стотни, стигаме до умножението на естествено число и крайна десетична дроб. Имаме 4·2,145…≈4·2,15=8,60.

Умножение на десетична запетая по 10, 100,...

Доста често трябва да умножите десетични дроби по 10, 100, ... Ето защо е препоръчително да се спрем подробно на тези случаи.

Нека го озвучим правило за умножение на десетична дроб с 10, 100, 1000 и т.н.Когато умножавате десетична дроб по 10, 100, ... в нейния запис, трябва да преместите десетичната запетая надясно до съответно 1, 2, 3, ... цифри и да изхвърлите допълнителните нули отляво; Ако нотацията на дробта, която се умножава, няма достатъчно цифри за преместване на десетичната запетая, тогава трябва да добавите необходимия брой нули вдясно.

Умножете десетичната дроб 0,0783 по 100.

Нека преместим дробта 0,0783 две цифри надясно и получаваме 007,83. Пускането на двете нули отляво дава десетичната дроб 7,38. Така 0,0783·100=7,83.

Умножете десетичната дроб 0,02 по 10 000.

За да умножим 0,02 по 10 000, трябва да преместим десетичната запетая с 4 цифри надясно. Очевидно в записа на дробта 0,02 няма достатъчно цифри за преместване на десетичната запетая с 4 цифри, така че ще добавим няколко нули вдясно, за да може да се премести десетичната запетая. В нашия пример е достатъчно да добавите три нули, имаме 0,02000. След като преместим запетаята, получаваме записа 00200.0. Като изхвърлим нулите отляво, имаме числото 200,0, което е равно на естественото число 200, което е резултат от умножаването на десетичната дроб 0,02 по 10 000.

Посоченото правило е вярно и за умножаване на безкрайни десетични дроби по 10, 100, ... Когато умножавате периодични десетични дроби, трябва да внимавате с периода на дробта, която е резултат от умножението.

Умножете периодичната десетична дроб 5,32(672) по 1000.

Преди да умножим, нека запишем периодичната десетична дроб като 5,32672672672..., това ще ни позволи да избегнем грешки. Сега преместете запетаята надясно с 3 места, имаме 5 326.726726…. Така след умножение се получава периодичната десетична дроб 5 326,(726).

5,32(672)·1000=5326,(726) .

Когато умножавате безкрайни непериодични дроби по 10, 100, ..., първо трябва да закръглите безкрайната дроб до определена цифра и след това да извършите умножението.

Умножение на десетична дроб с дроб или смесено число

За да умножите крайна десетична дроб или безкрайна периодична десетична дроб с обикновена дроб или смесено число, трябва да представите десетичната дроб във формата обикновена дроб, и след това извършете умножението.

Умножете десетичната дроб 0,4 по смесено число.

Тъй като 0,4=4/10=2/5 и тогава. Полученото число може да бъде записано като периодична десетична дроб 1,5(3).

Когато умножавате безкрайна непериодична десетична дроб с дроб или смесено число, заменете дробта или смесеното число с десетична дроб, след това закръглете умножените дроби и завършете изчислението.

Тъй като 2/3=0,6666..., тогава. След като закръглим умножените дроби до хилядни, стигаме до произведението на две последни десетични дроби 3,568 и 0,667. Нека направим колонно умножение:


Полученият резултат трябва да се закръгли до най-близката хилядна, тъй като умножените дроби са взети с точност до хилядна, имаме 2,379856≈2,380.

www.cleverstudents.ru

29. Умножение на десетични знаци. правила




Намерете площта на правоъгълник с равни страни
1,4 dm и 0,3 dm. Нека преобразуваме дециметри в сантиметри:

1,4 dm = 14 cm; 0,3 dm = 3 cm.

Сега нека изчислим площта в сантиметри.

S = 14 3 = 42 cm 2.

Преобразувайте квадратни сантиметри в квадратни сантиметри
дециметри:

d m 2 = 0,42 d m 2.

Това означава S = 1,4 dm 0,3 dm = 0,42 dm 2.

Умножаването на две десетични дроби се извършва по следния начин:
1) числата се умножават, без да се вземат предвид запетаите.
2) запетаята в продукта се поставя така, че да го разделя отдясно
същият брой знаци, които са разделени в двата фактора
комбинирани. Например:

1,1 0,2 = 0,22 ; 1,1 1,1 = 1,21 ; 2,2 0,1 = 0,22 .

Примери за умножение на десетични дроби в колона:



Вместо да умножавате произволно число по 0,1; 0,01; 0,001
можете да разделите това число на 10; 100 ; или съответно 1000.
Например:

22 0,1 = 2,2 ; 22: 10 = 2,2 .

Когато умножаваме десетична дроб с естествено число, трябва:

1) умножете числа, без да обръщате внимание на запетаята;

2) в получения продукт поставете запетая, така че вдясно
имаше същия брой цифри като десетична дроб.

Да намерим продукта 3.12 10. Съгласно горното правило
Първо умножаваме 312 по 10. Получаваме: 312 10 = 3120.
Сега разделяме двете цифри отдясно със запетая и получаваме:

3,12 10 = 31,20 = 31,2 .

Това означава, че при умножаване на 3,12 по 10 сме преместили десетичната запетая с единица
номер вдясно. Ако умножим 3,12 по 100, получаваме 312, т.е
Запетаята беше преместена с две цифри вдясно.

3,12 100 = 312,00 = 312 .

Когато умножавате десетична дроб с 10, 100, 1000 и т.н., трябва
в тази дроб преместете десетичната запетая надясно с толкова места, колкото са нулите
струва множителя. Например:

0,065 1000 = 0065, = 65 ;

2,9 1000 = 2,900 1000 = 2900, = 2900 .

Задачи по темата „Умножение на десетични знаци“

school-assistant.ru

Събиране, изваждане, умножение и деление на десетични знаци

Добавянето и изваждането на десетични числа е подобно на събирането и изваждането на естествени числа, но с определени условия.

правило.

се извършва от цифрите на целите и дробните части като естествени числа. Писменосъбиране и изваждане на десетични знаци

запетаята, разделяща цялата част от дробната част, трябва да се намира при събираемите и сумата или при умаляваното, изваждаемото и разликата в една колона (запетая под запетаята от изписването на условието до края на изчислението).Събиране и изваждане на десетични знаци

243,625 + 24,026 = 200 + 40 + 3 + 0,6 + 0,02 + 0,005 + 20 + 4 + 0,02 + 0,006 = 200 + (40 + 20) + (3 + 4)+ 0,6 + (0,02 + 0,02) + (0,005 + 0,006) = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,04 + 0,011 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + (0,04 + 0,01) + 0,001 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,05 + 0,001 = 267,651

843,217 - 700,628 = (800 - 700) + 40 + 3 + (0,2 - 0,6) + (0,01 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + (1,2 - 0,6) + (0,01 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + (0,11 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,09 + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + (0,017 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + 0,009 = 142,589

запетаята, разделяща цялата част от дробната част, трябва да се намира при събираемите и сумата или при умаляваното, изваждаемото и разликата в една колона (запетая под запетаята от изписването на условието до края на изчислението).към реда:

в колона:

Добавянето на десетични знаци изисква допълнителен горен ред за записване на числа, когато сумата на стойността на мястото надхвърля десет. Изваждането на десетичните знаци изисква допълнителен горен ред, за да маркира мястото, където е заето 1.

Умножаване на десетични числаАко няма достатъчно цифри от дробната част вдясно от събираемото или умаляваното, тогава отдясно в дробната част можете да добавите толкова нули (увеличете цифрата на дробната част), колкото цифри има в другото събираемо или минуенд.

се извършва по същия начин като умножението на естествени числа, по същите правила, но в произведението се поставя запетая според сумата от цифрите на множителите в дробната част, като се брои отдясно наляво (сумата от цифри на множителите е броят на цифрите след десетичната запетая на факторите, взети заедно). Приумножение на десетични знаци

в колона първата значима цифра вдясно се подписва под първата значима цифра вдясно, както при естествените числа: Записвайтекъм реда:

в колона първата значима цифра вдясно се подписва под първата значима цифра вдясно, както при естествените числа: умножение на десетични знацикъм реда:

деление на десетични дроби

Подчертаните знаци са знаците, последвани от запетая, тъй като делителят трябва да е цяло число. правило. Приделение на дроби

Десетичният делител се увеличава с толкова цифри, колкото цифри има в дробната част. За да се гарантира, че дробта не се променя, дивидентът се увеличава със същия брой цифри (при дивидента и делителя десетичната точка се премества на същия брой цифри). Запетая се поставя в частното на този етап от деленето, когато се разделя цялата част от дробта. За десетичните дроби, както и за естествените числа, правилото остава:

§ 107. Събиране на десетични дроби.

Добавянето на десетични знаци е същото като добавянето на цели числа. Нека видим това с примери.

1) 0,132 + 2,354. Нека обозначим термините един под друг.
Тук добавянето на 2 хилядни към 4 хилядни води до 6 хилядни;
от добавяне на 3 стотни с 5 стотни резултатът е 8 стотни;
от добавяне на 1 десета с 3 десети -4 десети и

2) 5,065 + 7,83.

от събиране на 0 цели числа с 2 цели числа - 2 цели числа.

3) 1,2357 + 0,469 + 2,08 + 3,90701.

Тук при добавяне на хилядни резултатът е 21 хилядни; написахме 1 под хилядните и добавихме 2 към стотните, така че на мястото на стотните получихме следните членове: 2 + 3 + 6 + 8 + 0; общо дават 19 стотни, подписахме 9 под стотни, а 1 сметнахме за десети и т.н.

По този начин, когато добавяте десетични дроби, трябва да се спазва следният ред: подпишете дробите една под друга, така че във всички термини еднакви цифри да са разположени една под друга и всички запетаи да са в една и съща вертикална колона; Вдясно от десетичните знаци на някои термини се добавят такъв брой нули, поне мислено, така че всички термини след десетичната запетая да имат еднакъв брой цифри. След това извършват събиране по цифри, започвайки от дясната страна, и в получената сума поставят запетая в същата вертикална колона, в която се намира в тези условия.

§ 108. Изваждане на десетични дроби.

Изваждането на десетични числа работи по същия начин като изваждането на цели числа. Нека покажем това с примери.

1) 9,87 - 7,32. Нека подпишем субтрахенда под умаляваното, така че единиците от една и съща цифра да са една под друга:

2) 16,29 - 4,75. Нека подпишем субтрахенда под умаляваното, както в първия пример:

За да извадите десети, трябваше да вземете една цяла единица от 6 и да я разделите на десети.

3) 14.0213- 5.350712. Нека подпишем субтрахенда под умаляваното:

Изваждането беше извършено по следния начин: тъй като не можем да извадим 2 милионни от 0, трябва да се обърнем към най-близката цифра отляво, т.е. сто хилядни, но на мястото на сто хилядни също има нула, така че вземаме 1 десет хилядна от 3 десетхилядни и го разделяме на стохилядни, получаваме 10 стохилядни, от които оставяме 9 стохилядни в категорията стохилядни и разделяме 1 стохилядни на милионни, получаваме 10 милионни. Така в последните три цифри получихме: милионни 10, стохилядни 9, десетхилядни 2. За по-голяма яснота и удобство (за да не забравяме) тези числа са написани над съответните дробни цифри на умаляваното. Сега можете да започнете да изваждате. От 10 милионни изваждаме 2 милионни, получаваме 8 милионни; от 9 стохилядна изваждаме 1 стохилядна, получаваме 8 стохилядна и т.н.

По този начин при изваждане на десетични дроби се спазва следният ред: подпишете субтрахенда под умаляваното, така че същите цифри да са разположени една под друга и всички запетаи да са в една и съща вертикална колона; отдясно добавят, поне мислено, толкова много нули в умаляваното или субтрахента, така че да имат еднакъв брой цифри, след което изваждат по цифри, започвайки от дясната страна, и в получената разлика поставят запетая същата вертикална колона, в която се намира в minuend и изваждане.

§ 109. Умножение на десетични дроби.

Нека да разгледаме някои примери за умножение на десетични дроби.

За да намерим произведението на тези числа, можем да разсъждаваме по следния начин: ако факторът се увеличи 10 пъти, тогава и двата фактора ще бъдат цели числа и след това можем да ги умножим според правилата за умножение на цели числа. Но знаем, че когато един от факторите се увеличи няколко пъти, продуктът се увеличава със същото количество. Това означава, че числото, което се получава от умножаването на целочислените множители, т.е. 28 по 23, е 10 пъти по-голямо от истинското произведение и за да се получи истинското произведение, намереното произведение трябва да се намали 10 пъти. Следователно тук ще трябва да умножите по 10 веднъж и да разделите по 10 веднъж, но умножението и делението на 10 става чрез преместване на десетичната запетая надясно и наляво с едно място. Следователно, трябва да направите следното: във фактора преместете запетаята на едно място надясно, това ще го направи равно на 23, след което трябва да умножите получените цели числа:

Този продукт е 10 пъти по-голям от истинския. Следователно трябва да се намали 10 пъти, за което преместваме запетаята едно място вляво. Така получаваме

28 2,3 = 64,4.

За целите на проверката можете да напишете десетична дроб със знаменател и да извършите действието според правилото за умножение на обикновени дроби, т.е.

2) 12,27 0,021.

Разликата между този пример и предишния е, че тук и двата фактора са представени като десетични дроби. Но тук, в процеса на умножение, няма да обръщаме внимание на запетаите, т.е. временно ще увеличим множителя 100 пъти, а множителя 1000 пъти, което ще увеличи произведението 100 000 пъти. Така, умножавайки 1227 по 21, получаваме:

1 227 21 = 25 767.

Като се има предвид, че полученият продукт е 100 000 пъти по-голям от истинския продукт, сега трябва да го намалим със 100 000 пъти, като правилно поставим запетая в него, тогава получаваме:

32,27 0,021 = 0,25767.

Да проверим:

По този начин, за да умножите две десетични дроби, е достатъчно, без да обръщате внимание на запетаите, да ги умножите като цели числа и в продукта да отделите със запетая от дясната страна толкова десетични знаци, колкото е имало в умножаващото и в множител заедно.

Последният пример доведе до продукт с пет знака след десетичната запетая. Ако не се изисква такава голяма точност, тогава десетичната дроб се закръгля. Когато закръгляте, трябва да използвате същото правило, както е посочено за цели числа.

§ 110. Умножение с помощта на таблици.

Умножаването на десетични знаци понякога може да се извърши с помощта на таблици. За тази цел можете например да използвате онези таблици за умножение на двуцифрени числа, чието описание беше дадено по-рано.

1) Умножете 53 по 1,5.

Ще умножим 53 по 15. В таблицата този продукт е равен на 795. Намерихме продукта 53 по 15, но нашият втори множител беше 10 пъти по-малък, което означава, че продуктът трябва да бъде намален 10 пъти, т.е.

53 1,5 = 79,5.

2) Умножете 5,3 по 4,7.

Първо, намираме в таблицата произведението от 53 на 47, то ще бъде 2491, но тъй като увеличихме множителя и множителя общо 100 пъти, полученият продукт е 100 пъти по-голям, отколкото трябва да бъде; така че трябва да намалим този продукт 100 пъти:

5,3 4,7 = 24,91.

3) Умножете 0,53 по 7,4.

Първо намираме в таблицата продукта 53 на 74; ще бъде 3922, но тъй като увеличихме множителя 100 пъти, а множителя 10 пъти, произведението се увеличи 1000 пъти; така че сега трябва да го намалим 1000 пъти:

0,53 7,4 = 3,922.

§ 111. Деление на десетични дроби.

Ще разгледаме разделянето на десетични дроби в този ред:

1. Деление на десетична дроб на цяло число,

1. Разделете десетична дроб на цяло число.

1) Разделете 2,46 на 2.

Разделихме на 2 първо цяло, след това десети и накрая стотни.

2) Разделете 32,46 на 3.

32,46: 3 = 10,82.

Разделихме 3 десетици на 3, след което започнахме да делим 2 единици на 3; тъй като броят на единиците на дивидента е (2) по-малко от делителя(3), тогава трябваше да поставя 0 в частното; освен това към остатъка взехме 4 десети и разделихме 24 десети на 3; получи 8 десети в частното и накрая раздели 6 стотни.

3) Разделете 1,2345 на 5.

1,2345: 5 = 0,2469.

Тук в частното първото място е нула цели числа, тъй като едно цяло число не се дели на 5.

4) Разделете 13,58 на 4.

Особеността на този пример е, че когато получихме 9 стотни в частното, открихме остатък, равен на 2 стотни, разделихме този остатък на хилядни, получихме 20 хилядни и завършихме делението.

правило.Деленето на десетична дроб на цяло число се извършва по същия начин като деленето на цели числа, а получените остатъци се преобразуват във все по-малки и по-малки десетични дроби; Делението продължава, докато остатъкът стане нула.

2. Разделяне на десетична запетая на десетична запетая.

1) Разделете 2,46 на 0,2.

Вече знаем как да разделим десетична дроб на цяло число. Нека помислим дали този нов случай на деление също може да се сведе до предишния? Едно време разгледахме забележителното свойство на частното, което се състои в това, че то остава непроменено, когато дивидентът и делителят се увеличават или намаляват едновременно с еднакъв брой пъти. Можем лесно да разделим дадените ни числа, ако делителят е цяло число. За да направите това, достатъчно е да го увеличите 10 пъти, а за да получите правилния коефициент, е необходимо да увеличите дивидента със същата сума, т.е. 10 пъти. Тогава делението на тези числа ще бъде заменено с деленето на следните числа:

Освен това вече няма да има нужда да правите промени в подробностите.

Нека направим това разделение:

Така че 2,46: 0,2 = 12,3.

2) Разделете 1,25 на 1,6.

Увеличаваме делителя (1.6) с 10 пъти; така че коефициентът да не се променя, ние увеличаваме дивидента 10 пъти; 12 цели числа не се делят на 16, така че записваме в частното 0 и разделяме 125 десети на 16, получаваме 7 десети в частното и остатъкът е 13. Разделяме 13 десети на стотни, като присвояваме нула и разделяме 130 стотни на 16 и т.н. Моля, обърнете внимание на следното:

а) когато в дадена част няма цели числа, на тяхно място се записват цели нула;

б) когато след добавяне на цифрата на делимото към остатъка се получи число, което не се дели на делителя, тогава в частното се записва нула;

в) когато след премахване на последната цифра на дивидента делението не приключи, тогава, добавяйки нули към остатъка, делението продължава;

г) ако дивидентът е цяло число, тогава при разделянето му на десетична дроб се увеличава чрез добавяне на нули към него.

По този начин, за да разделите число на десетична дроб, трябва да изпуснете запетаята в делителя и след това да увеличите делителя толкова пъти, колкото се е увеличил делителя при изпускане на запетаята в него и след това да извършите разделянето според правилото за деление на десетична дроб на цяло число.

§ 112. Приблизителни частни.

В предишния параграф разгледахме делението на десетични дроби и във всички примери, които решихме, делението беше завършено, т.е. беше получено точно частно. В повечето случаи обаче не може да се получи точно частно, колкото и да продължим делението. Ето един такъв случай: разделете 53 на 101.

Вече сме получили пет цифри в частното, но делението все още не е приключило и няма надежда, че някога ще свърши, тъй като в остатъка започваме да имаме числа, които вече са били срещани преди. В частното числата също ще се повтарят: очевидно е, че след числото 7 ще се появи числото 5, след това 2 и т.н. безкрайно. В такива случаи делението се прекъсва и се ограничава до първите няколко цифри на частното. Такова частно се нарича близки.Ще покажем с примери как се извършва деление.

Да кажем, че трябва да разделим 25 на 3. Очевидно е, че точно частно, изразено като цяло число или десетична дроб, не може да се получи от такова деление. Следователно ще търсим приблизителен коефициент:

25: 3 = 8 и остатък 1

Приблизителното частно е 8; то, разбира се, е по-малко от точното частно, защото има остатък 1. За да получите точното частно, трябва да добавите частта, която се получава, като остатъка, равен на 1, разделите на 3 към намереното приблизително частно, т.е. , до 8; това ще бъде дроб 1/3. Това означава, че точното частно ще бъде изразено като смесено число 8 1/3. Тъй като 1/3 е правилна дроб, т.е. дроб, по-малко от едно, тогава, като го изхвърлим, ще позволим грешка, който по-малко от едно. Коефициентът 8 ще бъде приблизително частно до единица с недостатък.Ако вместо 8 вземем 9 в частното, тогава ще допуснем и грешка, която е по-малка от единица, тъй като няма да добавим цялата единица, а 2/3. Такава частна воля приблизително частно с точност до едно с излишък.

Нека сега вземем друг пример. Да речем, че трябва да разделим 27 на 8. Тъй като тук няма да получим точно частно, изразено като цяло число, ще потърсим приблизително частно:

27: 8 = 3 и остатък 3.

Тук грешката е равна на 3/8, тя е по-малка от единица, което означава, че приблизителното частно (3) е установено с точност до единица с недостатък. Нека продължим делението: разделяме остатъка 3 на десети, получаваме 30 десети; разделете ги на 8.

Получихме 3 в частното на мястото на десети и 6 десети в остатъка. Ако се ограничим до числото 3.3 и изхвърлим остатъка 6, тогава ще допуснем грешка по-малка от една десета. Защо? Тъй като точният коефициент ще бъде получен, когато добавим към 3,3 резултата от деленето на 6 десети на 8; това деление би дало 6/80, което е по-малко от една десета. (Проверете!) Така, ако в частното се ограничим до десети, тогава можем да кажем, че сме намерили частното с точност до една десета(с недостатък).

Нека продължим с делението, за да намерим друг знак след десетичната запетая. За да направим това, разделяме 6 десети на стотни и получаваме 60 стотни; разделете ги на 8.

В частното на трето място се оказа 7, а остатъкът 4 стотни; ако ги изхвърлим, ще допуснем грешка по-малка от една стотна, защото 4 стотни делено на 8 е по-малко от една стотна. В такива случаи казват, че частното е намерено с точност до една стотна(с недостатък).

В примера, който разглеждаме сега, можем да получим точното частно, изразено като десетична дроб. За да направите това, достатъчно е да разделите последния остатък, 4 стотни, на хилядни и да го разделите на 8.

Въпреки това, в по-голямата част от случаите е невъзможно да се получи точен коефициент и човек трябва да се ограничи до неговите приблизителни стойности. Сега ще разгледаме този пример:

40: 7 = 5,71428571...

Точките в края на числото показват, че делението не е завършено, т.е. равенството е приблизително. Обикновено приблизителното равенство се записва по следния начин:

40: 7 = 5,71428571.

Взехме частното с осем знака след десетичната запетая. Но ако не се изисква такава голяма точност, можете да се ограничите само до цялата част от коефициента, т.е. числото 5 (по-точно 6); за по-голяма точност може да се вземат предвид десети и частното да бъде равно на 5,7; ако по някаква причина тази точност не е достатъчна, тогава можете да спрете на стотни и да вземете 5,71 и т.н. Нека напишем отделните коефициенти и да ги назовем.

Първото приблизително частно с точност до едно 6.

Секунда » » » до една десета 5.7.

Трети » » » до една стотна 5.71.

Четвърто » » » до една хилядна 5,714.

По този начин, за да намерите приблизително частно с точност до някои, например 3-ти знак след десетичната запетая (т.е. до една хилядна), спрете делението веднага щом бъде намерен този знак. В този случай трябва да запомните правилото, посочено в § 40.

§ 113. Най-простите задачи с проценти.

След като научим за десетичните дроби, ще решим още няколко задачи с проценти.

Тези задачи са подобни на тези, които решихме в отдела за дроби; но сега ще напишем стотните под формата на десетични дроби, тоест без изрично посочен знаменател.

На първо място, трябва да можете лесно да преминавате от обикновена дроб към десетична със знаменател 100. За да направите това, трябва да разделите числителя на знаменателя:

Таблицата по-долу показва как число със символ % (процент) се заменя с десетична дроб със знаменател 100:

Нека сега разгледаме няколко проблема.

1. Намиране на процента на дадено число.

Задача 1.В едно село живеят едва 1600 души. Брой деца училищна възрастсъставлява 25% от общия брой жители. Колко деца в училищна възраст има в това село?

В тази задача трябва да намерите 25%, или 0,25 от 1600, като умножите:

1600 0,25 = 400 (деца).

Следователно 25% от 1600 е 400.

За да разберем ясно тази задача, е полезно да си припомним, че на всеки сто от населението има 25 деца в училищна възраст. Следователно, за да намерите броя на всички деца в училищна възраст, можете първо да разберете колко стотици има в числото 1600 (16) и след това да умножите 25 по броя на стотиците (25 x 16 = 400). По този начин можете да проверите валидността на решението.

Задача 2.Спестовните банки осигуряват на вложителите 2% възвръщаемост годишно. Колко доходи ще получи вложителят за една година, ако постави в касата: а) 200 рубли? б) 500 рубли? в) 750 рубли? г) 1000 rub.?

И в четирите случая, за да решите задачата, ще трябва да изчислите 0,02 от посочените суми, т.е. всяко от тези числа ще трябва да се умножи по 0,02. Хайде да го направим:

а) 200 0,02 = 4 (търкайте),

б) 500 0,02 = 10 (търкайте),

в) 750 0,02 = 15 (търкайте),

г) 1000 0,02 = 20 (търкайте).

Всеки от тези случаи може да бъде проверен чрез следните съображения. Спестовните банки дават на вложителите 2% доход, т.е. 0,02 от сумата, депозирана в спестяванията. Ако сумата беше 100 рубли, тогава 0,02 от нея ще бъдат 2 рубли. Това означава, че всеки сто носи на инвеститора 2 рубли. доходи. Следователно във всеки от разглежданите случаи е достатъчно да разберете колко стотици има в дадено число и да умножите 2 рубли по този брой стотици. В пример а) има 2 стотици, което означава

2 2 = 4 (търкайте).

В пример d) има 10 стотици, което означава

2 10 = 20 (търкайте).

2. Намиране на число по неговия процент.

Задача 1.Училището завърши 54 ученици през пролетта, което представлява 6% от общия му прием. Колко ученици е имало в училището миналата година? академична година?

Нека първо изясним смисъла на тази задача. Училището са завършили 54 ученици, което е 6% от общия брой на учениците, или с други думи 6 стотни (0,06) от всички ученици в училището. Това означава, че знаем частта от учениците, изразена с числото (54) и дробта (0,06), и от тази дроб трябва да намерим цялото число. Така пред нас обикновена задачанамиране на число от неговата дроб (§90 стр.6). Задачи от този тип се решават чрез разделяне:

Това означава, че в училището е имало само 900 ученици.

Полезно е да проверите такива задачи чрез решаване на обратната задача, т.е. след решаването на задачата трябва поне наум да решите задача от първия тип (намиране на процента на дадено число): вземете намереното число ( 900), както е дадено, и намерете процента от него, посочен в решената задача, а именно:

900 0,06 = 54.

Задача 2.Семейството харчи 780 рубли за храна през месеца, което е 65% от месечните доходи на бащата. Определете месечния му доход.

Тази задача има същото значение като предишната. Той дава част от месечната печалба, изразена в рубли (780 рубли), и показва, че тази част е 65%, или 0,65, от общата печалба. И това, което търсите, са всички приходи:

780: 0,65 = 1 200.

Следователно необходимият доход е 1200 рубли.

3. Намиране на процента на числата.

Задача 1. IN училищна библиотекасамо 6000 книги. Сред тях са 1200 книги по математика. Какъв процент от книгите по математика съставляват общия брой книги в библиотеката?

Вече разгледахме (§97) задачи от този вид и стигнахме до извода, че за да изчислим процента на две числа, трябва да намерите съотношението на тези числа и да го умножите по 100.

В нашата задача трябва да намерим процентното съотношение на числата 1200 и 6000.

Нека първо намерим съотношението им и след това го умножим по 100:

Така процентът на числата 1200 и 6000 е 20. С други думи, математическите книги съставляват 20% от общия брой на всички книги.

За да проверим, нека решим обратната задача: намерете 20% от 6000:

6 000 0,2 = 1 200.

Задача 2.Централата трябва да получава 200 тона въглища. 80 тона вече са доставени въглища в централата?

Този проблем пита какъв процент е едно число (80) от друго (200). Съотношението на тези числа ще бъде 80/200. Нека го умножим по 100:

Това означава, че 40% от въглищата са доставени.