десетична фракция- разнообразие дроби, което има „кръгло“ число в знаменателя: 10, 100, 1000 и т.н., например фракция 5/10 има десетичен запис 0,5. Въз основа на този принцип, фракциямогат да бъдат представени в формадесетичен знак дроби.

Инструкции

Да кажем, че трябва да си представим формадесетичен знак фракция 18/25.
Първо трябва да се уверите, че едно от „кръглите“ числа се появява в знаменателя: 100, 1000 и т.н. За да направите това, трябва да умножите знаменателя по 4. Но ще трябва да умножите и числителя, и знаменателя по 4.

Умножение на числителя и знаменателя дроби 18/25 на 4, получава се 72/100. Това е записано фракцияв десетичен знак форматака че: 0,72.

В математиката дробта е рационално число, равно на една или повече части, на които е разделена единицата. В този случай записът на дробта трябва да съдържа индикация на две числа: едното от тях показва точно на колко дяла е разделена единицата при създаването на тази дроб, а другото показва колко от тези дялове включва дробта. Ако тези две числа са записани като числител и знаменател, разделени с линия, тогава този формат на запис се нарича „обикновена“ дроб. Има обаче друг формат за запис на дроби, наречен "десетичен".

Триетажната форма на писане на числа, при която знаменателят е разположен над числителя, а между тях има и разделителна линия, не винаги е удобна. Това неудобство особено започна да се проявява с масовото разпространение на персонални компютри. Десетичната форма за представяне на дроби няма този недостатък - не изисква посочване на числителя, тъй като по дефиниция той винаги е равен на десет на отрицателна степен. Следователно дробно число може да бъде написано на един ред, въпреки че дължината му в повечето случаи ще бъде много по-голяма от дължината на съответната обикновена дроб.

Друго предимство на записването на числа като десетични знаци е, че те са много по-лесни за сравнение. Тъй като знаменателят на всяка цифра от две такива числа е еднакъв, достатъчно е да се сравнят само две цифри от съответните цифри, докато при сравняване на обикновени дроби е необходимо да се вземат предвид както числителят, така и знаменателят на всяка от тях. Това предимство е важно не само за хората, но и за компютрите - сравняването на числа в десетичен формат е доста лесно за програмиране.

Има вековни правила за събиране, умножение и други математически операции, които ви позволяват да правите изчисления на хартия или наум с числа в десетичен формат. Това е още едно предимство на този формат пред обикновените дроби. Въпреки че с развитието на компютърните технологии, когато дори часовниците имат калкулатор, това става все по-малко забележимо.

Описаните предимства на десетичния формат за запис на дробни числа показват, че основната му цел е да опрости работата с математически величини. Този формат има и недостатъци - например, за да запишете периодични дроби в десетична дроб, трябва да добавите и число в скоби, а нерационалните числа в десетичен формат винаги имат приблизителна стойност. Въпреки това, при сегашното ниво на развитие на хората и техните технологии, той е много по-удобен за използване от обичайния формат за писане на дроби.

Десетична дроб е дроб, в която знаменателят е естествена степен на 10. Това например е дробта. Тази дроб може да се запише в следната форма: запишете цифрите на числителя на един ред и отделете колкото се може повече от ги със запетая вдясно, тъй като в знаменателя има нули, а именно:

При такъв запис числата отляво на десетичната запетая образуват цялата част, а числата отдясно на десетичната запетая - дробната част на дадената десетична дроб.

Нека p/q е някакво положително рационално число. От аритметиката процесът на деление е добре известен, което ви позволява да представите число като десетична дроб. Същността на процеса на деление е първо да се намери най-голямото цяло число пъти, когато q се съдържа в p; ако p е кратно на q, това е мястото, където процесът на деление завършва. В противен случай се появява остатък. След това те намират колко десети от q съдържа този остатък и на тази стъпка процесът може да приключи или ще се появи нов остатък. В последния случай намерете колко стотни от q съдържа и т.н.

Ако знаменателят q няма други прости множители освен 2 или 5, тогава след краен брой стъпки остатъкът ще бъде равен на нула, процесът на деление ще приключи и дадената обикновена дроб ще се превърне в последна десетична дроб. Всъщност в този случай винаги е възможно да се избере цяло число, така че след умножаване на числителя и знаменателя на дадена дроб по него да се получи еднаква дроб, в която знаменателят ще представлява естествена степен на десет. Например, това е фракцията

което може да бъде представено така:

Въпреки това, без да прави тези трансформации, разделяйки числителя на знаменателя, читателят ще получи същия резултат:

Ако знаменателят на несъкратима дроб има поне един прост делител, различен от 2 или 5, тогава процесът на деление на q никога няма да приключи (нито един от следващите остатъци няма да стигне до нула).

След извършване на разделението намираме

За да напишете резултата, получен в този пример, периодично повтарящите се числа 0 и 6 се ограждат в скоби и се записват:

В този пример и други подобни случаи действието деление не води до краен резултат като десетичен знак. Възможно е, обобщавайки концепцията за десетична дроб, все пак да кажем, че частното 965/132 е представено от безкрайна периодична дроб.Повтарящите се числа 06 се наричат ​​период на тази дроб, а техният брой, равен в нашия пример, е продължителността на периода.

За да разберем причината за явлението периодичност на дроб, нека разгледаме например процеса на деление на 7. Ако делението не е извършено напълно, тогава се появява остатък, който може да има само една от следните стойности: 1, 2, 3, 4, 5, 6. И на всяка от следващите стъпки остатъкът отново ще има една от тези шест стойности. Следователно, не по-късно от седмата стъпка, ние неизбежно ще се сблъскаме с една от стойностите на остатъците, които вече са се появили преди.Започвайки от тази точка, процесът на разделяне ще стане периодичен. Както стойностите на балансите, така и числата на коефициента ще се повтарят периодично. Същото разсъждение важи и за всеки друг делител.

Така всяка обикновена дроб се представя като крайна или безкрайна периодична десетична дроб. Забележително е, че обратно, всяка периодична десетична дроб може да бъде представена като обикновена дроб. Нека покажем как се изпълнява това действие. В този случай се използва формулата за сумата на безкрайно намаляваща геометрична прогресия (клауза 92).

може да се разбира така:

тук членовете от дясната страна, започвайки от втория, образуват безкрайна геометрична прогресия със знаменателя и първия член

Използвайки формула (92.2):

Ясно е, че същият процес ще позволи всяка дадена безкрайна периодична дроб да бъде представена под формата на обикновена дроб (и, както може да се покаже, точно тази, от която в процеса на разделяне дадената безкрайна периодична дроб в се получава ред). Тук обаче има едно изключение. Помислете за фракцията

и приложете процеса на преобразуването му в обикновена дроб:

Стигнахме до числото 1/2, което изглежда като крайна десетична дроб

Подобен резултат ще се получи винаги, когато периодът на дадена безкрайна дроб има формата (9). Следователно ние идентифицираме двойки числа, като например

Понякога е полезно да разрешите и записи на формуляра

формално представяне на крайни десетични дроби като безкрайни с период (0).

Всичко, което беше казано за превръщането на обикновена дроб в периодична десетична дроб и обратно, се отнасяше за положителните рационални числа. В случай на отрицателно число можете да го направите по два начина.

1) Вземете положителното число срещу даденото отрицателно число, преобразувайте го в десетичен знак и след това поставете знак минус пред него. Например за - 5/3 получаваме

2) Представете дадено отрицателно рационално число като сбор от неговата цяла част (отрицателна) и неговата дробна част (неотрицателна) и след това преобразувайте само тази дробна част от числото в десетична дроб. Например:

За записване на числа, представени като сбор от тяхната отрицателна цяла част и крайна или безкрайна десетична дроб, се приема следната нотация (изкуствена форма на записване на отрицателно число):

Тук знакът минус се поставя не пред цялата дроб, а над цялата й част, за да се подчертае, че само цялата част е отрицателна, а дробната част след десетичната запетая е положителна.

Тази нотация създава еднаквост в нотацията на положителните и отрицателните десетични дроби и ще се използва в бъдеще в теорията на десетичните логаритми (раздел 28). За практика каним читателя да провери прехода от един запис към друг в примерите:

Сега можем да формулираме окончателното заключение: всяко рационално число може да бъде представено от безкрайна десетична периодична дроб и, обратно, всяка такава дроб определя рационално число. Крайната десетична дроб също позволява две форми на запис под формата на безкрайна десетична дроб: с точка (0) и с точка (9).

Още в началното училище учениците са изложени на дроби. И тогава се появяват във всяка тема. Не можете да забравите действия с тези числа. Следователно трябва да знаете цялата информация за обикновените и десетичните дроби. Тези понятия не са сложни, основното е да разберете всичко в ред.

Защо са необходими дроби?

Светът около нас се състои от цели обекти. Следователно няма нужда от акции. Но ежедневието постоянно тласка хората да работят с части от предмети и неща.

Например, шоколадът се състои от няколко парчета. Помислете за ситуация, в която неговата плочка е образувана от дванадесет правоъгълника. Ако го разделите на две, получавате 6 части. Лесно може да се раздели на три. Но няма да е възможно да дадете на пет души цял брой шоколадови резени.

Между другото, тези резени вече са дроби. И по-нататъшното им разделяне води до появата на по-сложни числа.

Какво е "фракция"?

Това е число, съставено от части на единица. Външно изглежда като две числа, разделени с хоризонтална или наклонена черта. Тази характеристика се нарича фракционна. Числото, написано най-отгоре (вляво), се нарича числител. Това, което е долу (вдясно), е знаменателят.

По същество наклонената черта се оказва знак за деление. Тоест числителят може да се нарече дивидент, а знаменателят може да се нарече делител.

Какви дроби има?

В математиката има само два вида: обикновени и десетични дроби. Учениците се запознават с първите в началното училище, наричайки ги просто „дроби“. Последното ще се учи в 5 клас. Тогава се появяват тези имена.

Обикновени дроби са всички тези, които са записани като две числа, разделени с черта. Например 4/7. Десетичната запетая е число, в което дробната част има позиционен запис и е отделена от цялото число със запетая. Например 4.7. Учениците трябва ясно да разберат, че двата дадени примера са напълно различни числа.

Всяка проста дроб може да бъде записана като десетична дроб. Това твърдение почти винаги е вярно в обратна посока. Има правила, които ви позволяват да запишете десетична дроб като обикновена дроб.

Какви подвидове имат тези видове дроби?

По-добре е да започнете в хронологичен ред, тъй като те се изучават. На първо място са обикновените дроби. Сред тях могат да се разграничат 5 подвида.

Правилно. Числителят му винаги е по-малък от знаменателя.

погрешно Числителят му е по-голям или равен на знаменателя.

Редуцируем/нередуцируем. Може да се окаже или правилно, или грешно. Друго важно нещо е дали числителят и знаменателят имат общи множители. Ако има, тогава е необходимо да разделите двете части на фракцията на тях, тоест да я намалите.

Смесени. Цяло число се присвоява на обичайната му правилна (неправилна) дробна част. Освен това винаги е отляво.

Композитен. Образува се от две фракции, разделени една на друга. Тоест съдържа три дробни линии наведнъж.

Десетичните дроби имат само два подтипа:

краен, тоест този, чиято дробна част е ограничена (има край);

infinite - число, чиито цифри след десетичната запетая не завършват (могат да се пишат безкрайно).

Как да преобразувам десетична дроб в обикновена?

Ако това е крайно число, тогава се прилага асоциация по правилото - както чувам, така и пиша. Тоест, трябва да го прочетете правилно и да го запишете, но без запетая, но с дробна черта.

Като намек за необходимия знаменател, трябва да запомните, че той винаги е една и няколко нули. От последното трябва да напишете толкова, колкото цифри има в дробната част на въпросното число.

Как да преобразувам десетични дроби в обикновени дроби, ако тяхната цяла част липсва, тоест е равна на нула? Например 0,9 или 0,05. След прилагане на посоченото правило се оказва, че трябва да напишете нула цели числа. Но не е посочено. Остава само да запишем дробните части. Първото число ще има знаменател 10, второто ще има знаменател 100. Тоест дадените примери ще имат следните числа като отговори: 9/10, 5/100. Освен това се оказва, че последният може да бъде намален с 5. Следователно резултатът за него трябва да бъде записан като 1/20.

Как можете да преобразувате десетична дроб в обикновена дроб, ако нейната цяла част е различна от нула? Например 5,23 или 13,00108. И в двата примера се чете цялата част и се записва нейната стойност. В първия случай е 5, във втория е 13. След това трябва да преминете към дробната част. С тях се предвижда да се извърши същата операция. Първото число се появява 23/100, второто - 108/100000. Втората стойност трябва да се намали отново. Отговорът дава следните смесени дроби: 5 23/100 и 13 27/25000.

Как да преобразувам безкрайна десетична дроб в обикновена дроб?

Ако е непериодично, тогава такава операция няма да бъде възможна. Този факт се дължи на факта, че всяка десетична дроб винаги се преобразува или в крайна, или в периодична дроб.

Единственото нещо, което можете да направите с такава дроб, е да я закръглите. Но тогава десетичната запетая ще бъде приблизително равна на тази безкрайност. Вече може да се превърне в обикновен. Но обратният процес: преобразуването в десетична система никога няма да даде първоначалната стойност. Тоест безкрайните непериодични дроби не се преобразуват в обикновени дроби. Това трябва да се помни.

Как да напиша безкрайна периодична дроб като обикновена дроб?

В тези числа винаги има една или повече цифри след десетичната запетая, които се повтарят. Те се наричат ​​период. Например 0,3(3). Тук "3" е в периода. Те се класифицират като рационални, защото могат да бъдат превърнати в обикновени дроби.

Тези, които са се сблъсквали с периодични фракции, знаят, че те могат да бъдат чисти или смесени. В първия случай точката започва веднага от запетаята. Във втория дробната част започва с някои числа и след това започва повторението.

Правилото, по което трябва да напишете безкраен десетичен знак като обикновена дроб, ще бъде различно за двата посочени типа числа. Доста лесно е да напишете чисти периодични дроби като обикновени дроби. Както при крайните, те трябва да бъдат преобразувани: запишете точката в числителя, а знаменателят ще бъде числото 9, повторено толкова пъти, колкото цифрите съдържа точката.

Например 0,(5). Числото няма цяло число, така че трябва незабавно да започнете с дробната част. Запишете 5 като числител и 9 като знаменател.Тоест отговорът ще бъде дробта 5/9.

Правилото как да напишете обикновена десетична периодична дроб, която е смесена.

Вижте продължителността на периода. Толкова 9 ще има знаменателят.

Запишете знаменателя: първо деветки, след това нули.

За да определите числителя, трябва да запишете разликата на две числа. Всички числа след десетичната запетая ще бъдат намалени, заедно с точката. Самоучастие – то е без период.

Например 0,5(8) - запишете периодичната десетична дроб като обикновена дроб. Дробната част преди точката съдържа една цифра. Така че ще има една нула. В периода също има само едно число – 8. Тоест има само една деветка. Тоест трябва да напишете 90 в знаменателя.

За да определите числителя, трябва да извадите 5 от 58. Получава се 53. Например, трябва да напишете отговора като 53/90.

Как се преобразуват дроби в десетични знаци?

Най-простият вариант е число, чийто знаменател е числото 10, 100 и т.н. Тогава знаменателят просто се изхвърля и се поставя запетая между дробната и целочислената част.

Има ситуации, когато знаменателят лесно се превръща в 10, 100 и т.н. Например числата 5, 20, 25. Достатъчно е да ги умножите съответно по 2, 5 и 4. Просто трябва да умножите не само знаменателя, но и числителя по едно и също число.

За всички останали случаи е полезно просто правило: разделете числителя на знаменателя. В този случай можете да получите два възможни отговора: крайна или периодична десетична дроб.

Действия с обикновени дроби

Събиране и изваждане

Студентите се запознават с тях по-рано от останалите. Освен това в началото дробите имат еднакви знаменатели, а след това имат различни. Общите правила могат да бъдат сведени до този план.

Намерете най-малкото общо кратно на знаменателите.

Напишете допълнителни множители за всички обикновени дроби.

Умножете числителите и знаменателите по факторите, посочени за тях.

Съберете (извадете) числителите на дробите и оставете общия знаменател непроменен.

Ако числителят на умаляваното е по-малък от изваждаемото, тогава трябва да разберем дали имаме смесено число или правилна дроб.

В първия случай трябва да заемете един от цялата част. Добавете знаменателя към числителя на дробта. И след това направете изваждането.

Във втория е необходимо да се приложи правилото за изваждане на по-голямо число от по-малко число. Тоест, от модула на subtrahend, извадете модула на minuend и в отговор поставете знак „-“.

Погледнете внимателно резултата от събирането (изваждането). Ако получите неправилна дроб, тогава трябва да изберете цялата част. Тоест, разделете числителя на знаменателя.

Умножение и деление

За да ги изпълните, не е необходимо дробите да се свеждат до общ знаменател. Това улеснява извършването на действия. Но те все още изискват да спазвате правилата.

Когато умножавате дроби, трябва да гледате числата в числителите и знаменателите. Ако някой числител и знаменател имат общ множител, тогава те могат да бъдат намалени.

Умножете числителите.

Умножете знаменателите.

Ако резултатът е редуцируема дроб, тогава трябва да се опрости отново.

Когато делите, първо трябва да замените делението с умножение, а делителя (втората дроб) с реципрочната дроб (разменете числителя и знаменателя).

След това продължете както при умножението (започвайки от точка 1).

В задачи, в които трябва да умножите (делите) с цяло число, последното трябва да се запише като неправилна дроб. Тоест със знаменател 1. След това действайте както е описано по-горе.



Операции с десетични знаци

Събиране и изваждане

Разбира се, винаги можете да преобразувате десетичен знак в дроб. И действайте според вече описания план. Но понякога е по-удобно да се действа без този превод. Тогава правилата за тяхното събиране и изваждане ще бъдат абсолютно еднакви.

Изравнете броя на цифрите в дробната част на числото, тоест след десетичната запетая. Добавете към него липсващия брой нули.

Напишете дробите така, че запетаята да е под запетаята.

Добавяне (изваждане) като естествени числа.

Махнете запетаята.

Умножение и деление

Важно е, че не е необходимо да добавяте нули тук. Дробите трябва да се оставят както са дадени в примера. И след това вървете по план.

За да умножите, трябва да напишете дробите една под друга, като игнорирате запетаите.

Умножете като естествени числа.

Поставете запетая в отговора, като преброите от десния край на отговора толкова цифри, колкото са в дробните части на двата фактора.

За да разделите, първо трябва да трансформирате делителя: направете го естествено число. Тоест, умножете го по 10, 100 и т.н., в зависимост от това колко цифри има в дробната част на делителя.

Умножете дивидента по същото число.

Разделете десетична дроб на естествено число.

Поставете запетая в отговора си в момента, в който приключи разделянето на цялата част.



Ами ако един пример съдържа и двата вида дроби?

Да, в математиката често има примери, в които трябва да извършвате операции с обикновени и десетични дроби. В такива задачи има две възможни решения. Трябва обективно да претеглите числата и да изберете оптималния.

Първи начин: представя обикновени десетични знаци

Подходящо е, ако разделянето или транслацията води до крайни дроби. Ако поне едно число дава периодична част, тогава тази техника е забранена. Следователно, дори и да не обичате да работите с обикновени дроби, ще трябва да ги преброите.

Втори начин: запишете десетичните дроби като обикновени

Тази техника се оказва удобна, ако частта след десетичната запетая съдържа 1-2 цифри. Ако има повече от тях, може да получите много голяма обикновена дроб и десетичният запис ще направи задачата по-бърза и лесна за изчисляване. Затова винаги трябва трезво да оценявате задачата и да изберете най-простия метод за решение.

В тази статия ще разгледаме как преобразуване на дроби в десетични знаци, а също така разгледайте обратния процес - преобразуване на десетични дроби в обикновени дроби. Тук ще очертаем правилата за преобразуване на дроби и ще предоставим подробни решения на типични примери.

Навигация в страницата.

Преобразуване на дроби в десетични знаци

Нека обозначим последователността, в която ще се занимаваме с преобразуване на дроби в десетични знаци.

Първо, ще разгледаме как да представим дроби със знаменатели 10, 100, 1000, ... като десетични знаци. Това се обяснява с факта, че десетичните дроби по същество са компактна форма на запис на обикновени дроби със знаменатели 10, 100, ....

След това ще продължим и ще покажем как да напишем всяка обикновена дроб (не само тези със знаменатели 10, 100, ...) като десетична дроб. Когато обикновените дроби се третират по този начин, се получават както крайни десетични дроби, така и безкрайни периодични десетични дроби.

Сега нека поговорим за всичко по ред.

Преобразуване на обикновени дроби със знаменатели 10, 100, ... в десетични дроби

Някои правилни дроби изискват "предварителна подготовка", преди да бъдат преобразувани в десетични дроби. Това важи за обикновените дроби, чийто брой цифри в числителя е по-малък от броя на нулите в знаменателя. Например обикновената дроб 2/100 трябва първо да бъде подготвена за преобразуване в десетична дроб, но дробта 9/10 не се нуждае от подготовка.

„Предварителната подготовка“ на правилните обикновени дроби за преобразуване в десетични дроби се състои в добавяне на толкова много нули отляво в числителя, че общият брой на цифрите там да стане равен на броя на нулите в знаменателя. Например дроб след добавяне на нули ще изглежда като .

След като подготвите подходяща дроб, можете да започнете да я преобразувате в десетична.

Да дадем правило за преобразуване на правилна обикновена дроб със знаменател 10, или 100, или 1000, ... в десетична дроб. Състои се от три стъпки:

• напишете 0;
• след него поставяме десетична точка;
• Записваме числото от числителя (заедно с добавените нули, ако сме ги добавили).

Нека разгледаме приложението на това правило при решаване на примери.

Пример.

Преобразувайте правилната дроб 37/100 в десетична.

Решение.

Знаменателят съдържа числото 100, което има две нули. Числителят съдържа числото 37, неговото обозначение има две цифри, следователно тази фракция не трябва да се подготвя за преобразуване в десетична дроб.

Сега пишем 0, поставяме десетична запетая и записваме числото 37 от числителя и получаваме десетичната дроб 0,37.

Отговор:

0,37 .

За да затвърдим уменията за преобразуване на правилни обикновени дроби с числители 10, 100, ... в десетични дроби, ще анализираме решението на друг пример.

Пример.

Запишете правилната дроб 107/10 000 000 като десетичен знак.

Решение.

Броят на цифрите в числителя е 3, а броят на нулите в знаменателя е 7, така че тази обикновена дроб трябва да бъде подготвена за преобразуване в десетична. Трябва да добавим 7-3=4 нули отляво в числителя, така че общият брой на цифрите там да стане равен на броя на нулите в знаменателя. Получаваме.

Всичко, което остава, е да се създаде необходимата десетична дроб. За да направите това, първо, пишем 0, второ, поставяме запетая, трето, записваме числото от числителя заедно с нули 0000107, в резултат на което имаме десетична дроб 0,0000107.

Отговор:

0,0000107 .

Неправилните дроби не изискват никаква подготовка при преобразуване в десетични дроби. Трябва да се спазва следното правила за преобразуване на неправилни дроби със знаменатели 10, 100, ... в десетични знаци:

• запишете числото от числителя;
• Използваме десетична точка, за да отделим толкова цифри отдясно, колкото нули има в знаменателя на оригиналната дроб.

Нека да разгледаме приложението на това правило при решаване на пример.

Пример.

Преобразувайте неправилната дроб 56 888 038 009/100 000 в десетична запетая.

Решение.

Първо, записваме числото от числителя 56888038009 и второ, разделяме 5-те цифри вдясно с десетична запетая, тъй като знаменателят на оригиналната дроб има 5 нули. В резултат на това имаме десетичната дроб 568880.38009.

Отговор:

568 880,38009 .

За да преобразувате смесено число в десетична дроб, чийто знаменател на дробната част е числото 10, или 100, или 1000, ..., можете да преобразувате смесеното число в неправилна обикновена дроб и след това да преобразувате получената дроб в десетична дроб. Но можете да използвате и следното правилото за преобразуване на смесени числа с дробен знаменател 10, или 100, или 1000, ... в десетични дроби:

• ако е необходимо, извършваме „предварителна подготовка“ на дробната част от първоначалното смесено число, като добавяме необходимия брой нули отляво в числителя;
• запишете цялата част от първоначалното смесено число;
• поставете десетична точка;
• Записваме числото от числителя заедно с добавените нули.

Нека да разгледаме пример, в който изпълняваме всички необходими стъпки, за да представим смесено число като десетична дроб.

Пример.

Преобразувайте смесеното число в десетичен знак.

Решение.

Знаменателят на дробната част има 4 нули, а числителят съдържа числото 17, състоящо се от 2 цифри, следователно трябва да добавим две нули отляво в числителя, така че броят на цифрите там да стане равен на броя на нули в знаменателя. След като направите това, числителят ще бъде 0017.

Сега записваме цялата част от оригиналното число, тоест числото 23, поставяме десетична точка, след което записваме числото от числителя заедно с добавените нули, тоест 0017, и получаваме желания десетичен знак дроб 23.0017.

Нека запишем накратко цялото решение: .

Разбира се, беше възможно първо да се представи смесеното число като неправилна дроб и след това да се преобразува в десетична дроб. С този подход решението изглежда така: .

Отговор:

23,0017 .

Преобразуване на дроби в крайни и безкрайни периодични десетични знаци

Можете да преобразувате не само обикновени дроби със знаменател 10, 100, ... в десетична дроб, но и обикновени дроби с други знаменатели. Сега ще разберем как се прави това.

В някои случаи първоначалната обикновена дроб лесно се свежда до един от знаменателите 10, или 100, или 1000, ... (вижте привеждане на обикновена дроб към нов знаменател), след което не е трудно да се представи получената дроб като десетична дроб. Например, очевидно е, че дробта 2/5 може да се сведе до дроб със знаменател 10, за това трябва да умножите числителя и знаменателя по 2, което ще даде дробта 4/10, която според правила, обсъдени в предишния параграф, лесно се преобразува в десетична дроб 0, 4 .

В други случаи трябва да използвате друг метод за преобразуване на обикновена дроб в десетична, който сега ще разгледаме.

За да преобразувате обикновена дроб в десетична дроб, числителят на дробта се разделя на знаменателя, числителят първо се заменя с равна десетична дроб с произволен брой нули след десетичната запетая (говорихме за това в раздела равно и неравни десетични дроби). В този случай делението се извършва по същия начин, както делението на колона от естествени числа, като в частното се поставя десетична точка, когато разделянето на цялата част от дивидента приключи. Всичко това ще стане ясно от решенията на дадените по-долу примери.

Пример.

Преобразувайте дробта 621/4 в десетична.

Решение.

Нека представим числото в числителя 621 като десетична дроб, като добавим десетична запетая и няколко нули след нея. Първо, нека добавим 2 цифри 0, по-късно, ако е необходимо, винаги можем да добавим още нули. И така, имаме 621,00.

Сега нека разделим числото 621 000 на 4 с колона. Първите три стъпки не се различават от разделянето на естествени числа на колона, след което стигаме до следната картина:

Така стигаме до десетичната запетая в дивидента, а остатъкът е различен от нула. В този случай поставяме десетична запетая в частното и продължаваме да делим в колона, без да обръщаме внимание на запетаите:

Това завършва делението и в резултат получаваме десетичната дроб 155,25, която съответства на оригиналната обикновена дроб.

Отговор:

155,25 .

За да консолидирате материала, помислете за решението на друг пример.

Пример.

Преобразувайте дробта 21/800 в десетична.

Решение.

За да преобразуваме тази обикновена дроб в десетична, разделяме с колона от десетичната дроб 21 000... на 800. След първата стъпка ще трябва да поставим десетична запетая в частното и след това да продължим делението:

Накрая получихме остатъка 0, това завършва преобразуването на обикновената дроб 21/400 в десетична дроб и стигнахме до десетичната дроб 0,02625.

Отговор:

0,02625 .

Може да се случи така, че при разделянето на числителя на знаменателя на обикновена дроб пак да не получим остатък 0. В тези случаи разделянето може да продължи безкрайно дълго. Въпреки това, започвайки от определена стъпка, остатъците започват да се повтарят периодично и числата в частното също се повтарят. Това означава, че оригиналната дроб се преобразува в безкрайна периодична десетична дроб. Нека покажем това с пример.

Пример.

Запишете дробта 19/44 като десетичен знак.

Решение.

За да преобразувате обикновена дроб в десетична, извършете деление по колона:

Вече е ясно, че при деленето остатъците 8 и 36 са започнали да се повтарят, докато в частното се повтарят числата 1 и 8. Така първоначалната обикновена дроб 19/44 се преобразува в периодична десетична дроб 0,43181818...=0,43(18).

Отговор:

0,43(18) .

За да завършим тази точка, ще разберем кои обикновени дроби могат да бъдат преобразувани в крайни десетични дроби и кои могат да бъдат преобразувани само в периодични.

Нека имаме несъкратима обикновена дроб пред нас (ако дробта е съкратима, тогава първо намаляваме дробта) и трябва да разберем в коя десетична дроб може да се превърне - крайна или периодична.

Ясно е, че ако една обикновена дроб може да се сведе до един от знаменателите 10, 100, 1000, ..., тогава получената дроб може лесно да се преобразува в последна десетична дроб съгласно правилата, разгледани в предишния параграф. Но към знаменателите 10, 100, 1000 и т.н. Не са дадени всички обикновени дроби. До такива знаменатели могат да се сведат само дроби, чийто знаменател е поне едно от числата 10, 100, .... И кои числа могат да бъдат делители на 10, 100, ...? Числата 10, 100, ... ще ни позволят да отговорим на този въпрос и те са както следва: 10 = 2 5, 100 = 2 2 5 5, 1000 = 2 2 2 5 5 5, .... От това следва, че делителите са 10, 100, 1000 и т.н. Може да има само числа, чието разлагане на прости множители съдържа само числата 2 и (или) 5.

Сега можем да направим общо заключение за преобразуването на обикновени дроби в десетични:

• ако при разлагането на знаменателя на прости множители присъстват само числата 2 и (или) 5, тогава тази дроб може да се преобразува в крайна десетична дроб;
• ако в допълнение към двойки и петици има други прости числа в разширението на знаменателя, тогава тази дроб се преобразува в безкрайна десетична периодична дроб.

Пример.

Без да преобразувате обикновените дроби в десетични, кажете ми кои от дробите 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 могат да бъдат преобразувани в крайна десетична дроб и кои могат да бъдат преобразувани само в периодична дроб.

Решение.

Знаменателят на дробта 47/20 се разлага на прости множители като 20=2·2·5. В това разширение има само двойки и петици, така че тази дроб може да бъде намалена до един от знаменателите 10, 100, 1000, ... (в този пример до знаменателя 100), следователно може да бъде преобразувана в краен десетичен знак фракция.

Разлагането на знаменателя на дробта 7/12 на прости множители има формата 12=2·2·3. Тъй като съдържа прост множител 3, различен от 2 и 5, тази дроб не може да бъде представена като краен десетичен знак, но може да бъде преобразуван в периодичен десетичен дроб.

Фракция 21/56 – контрактилен, след контракция приема формата 3/8. Разлагането на знаменателя на прости множители съдържа три множителя, равни на 2, следователно обикновената дроб 3/8 и следователно равната дроб 21/56 могат да бъдат преобразувани в крайна десетична дроб.

И накрая, разширяването на знаменателя на самата дроб 31/17 е 17, следователно тази дроб не може да бъде преобразувана в крайна десетична дроб, но може да бъде преобразувана в безкрайна периодична дроб.

Отговор:

47/20 и 21/56 могат да бъдат преобразувани в крайна десетична дроб, но 7/12 и 31/17 могат да бъдат преобразувани само в периодична дроб.

Обикновените дроби не се преобразуват в безкрайни непериодични десетични знаци

Информацията в предишния абзац поражда въпроса: „Може ли разделянето на числителя на дроб на знаменателя да доведе до безкрайна непериодична дроб?“

Отговор: не. При преобразуване на обикновена дроб резултатът може да бъде или крайна десетична дроб, или безкрайна периодична десетична дроб. Нека обясним защо това е така.

От теоремата за делимост с остатък става ясно, че остатъкът винаги е по-малък от делителя, тоест ако разделим някакво цяло число на цяло число q, тогава остатъкът може да бъде само едно от числата 0, 1, 2 , ..., q−1. Следва, че след като колоната завърши разделянето на цялата част от числителя на обикновена дроб на знаменателя q, в не повече от q стъпки ще възникне една от следните две ситуации:

• или ще получим остатък от 0, това ще приключи делението и ще получим крайната десетична дроб;
• или ще получим остатък, който вече се е появил преди, след което остатъците ще започнат да се повтарят както в предишния пример (тъй като при деление на равни числа на q се получават равни остатъци, което следва от вече споменатата теорема за делимост), това ще доведе до безкрайна периодична десетична дроб.

Не може да има други опции, следователно при преобразуване на обикновена дроб в десетична дроб не може да се получи безкрайна непериодична десетична дроб.

От разсъжденията, дадени в този параграф, също следва, че дължината на периода на десетична дроб винаги е по-малка от стойността на знаменателя на съответната обикновена дроб.

Преобразуване на десетични числа в дроби

Сега нека да разберем как да преобразуваме десетична дроб в обикновена дроб. Нека започнем с преобразуване на крайните десетични дроби в обикновени дроби. След това ще разгледаме метод за обръщане на безкрайни периодични десетични дроби. В заключение, нека кажем за невъзможността за преобразуване на безкрайни непериодични десетични дроби в обикновени дроби.

Преобразуване на крайните десетични знаци в дроби

Получаването на дроб, която е записана като краен десетичен знак, е доста лесно. Правилото за преобразуване на последна десетична дроб в обикновена дробсе състои от три стъпки:

• първо, запишете дадената десетична дроб в числителя, като преди това сте изхвърлили десетичната запетая и всички нули отляво, ако има такива;
• второ, запишете едно в знаменателя и добавете към него толкова нули, колкото има цифри след десетичната запетая в оригиналната десетична дроб;
• трето, ако е необходимо, намалете получената фракция.

Нека разгледаме решенията на примерите.

Пример.

Преобразувайте десетичната запетая 3,025 в дроб.

Решение.

Ако премахнем десетичната запетая от оригиналната десетична дроб, получаваме числото 3025. Отляво няма нули, които бихме изхвърлили. И така, записваме 3,025 в числителя на желаната дроб.

Записваме числото 1 в знаменателя и добавяме 3 нули вдясно от него, тъй като в оригиналната десетична дроб има 3 цифри след десетичната точка.

Получаваме обикновената дроб 3025/1000. Тази дроб може да се намали с 25, получаваме .

Отговор:

.

Пример.

Преобразувайте десетичната дроб 0,0017 в дроб.

Решение.

Без десетична запетая оригиналната десетична дроб изглежда като 00017, като изхвърлим нулите отляво, получаваме числото 17, което е числителят на желаната обикновена дроб.

Записваме едно с четири нули в знаменателя, тъй като оригиналната десетична дроб има 4 цифри след десетичната запетая.

В резултат на това имаме обикновена дроб 17/10 000. Тази дроб е несъкратима и преобразуването на десетична дроб в обикновена дроб е завършено.

Отговор:

.

Когато цялата част от оригиналната последна десетична дроб е различна от нула, тя може незабавно да бъде преобразувана в смесено число, заобикаляйки обикновената дроб. Да дадем правило за преобразуване на крайна десетична дроб в смесено число:

• числото преди десетичната запетая трябва да бъде записано като цяла част от желаното смесено число;
• в числителя на дробната част трябва да напишете числото, получено от дробната част на първоначалната десетична дроб, след като изхвърлите всички нули отляво;
• в знаменателя на дробната част трябва да запишете числото 1, към което добавете толкова нули вдясно, колкото има цифри след десетичната запетая в оригиналната десетична дроб;
• ако е необходимо, намалете дробната част на полученото смесено число.

Нека да разгледаме пример за преобразуване на десетична дроб в смесено число.

Пример.

Изразете десетичната дроб 152,06005 като смесено число

За да запишете рационално число m/n като десетична дроб, трябва да разделите числителя на знаменателя. В този случай частното се записва като крайна или безкрайна десетична дроб.

Запишете това число като десетична дроб.

Решение. Разделете числителя на всяка дроб в колона по знаменателя: а)разделете 6 на 25; б)разделяне на 2 на 3; V)разделете 1 на 2 и след това добавете получената дроб към едно - цялата част от това смесено число.

Несъкратими обикновени дроби, чиито знаменатели не съдържат прости множители, различни от 2 И 5 , се записват като последна десетична дроб.

IN пример 1кога а)знаменател 25=5·5; кога V)знаменателят е 2, така че получаваме крайните десетични знаци 0,24 и 1,5. Кога б)знаменателят е 3, така че резултатът не може да бъде записан като краен десетичен знак.

Възможно ли е без дълго деление да се преобразува в десетична дроб такава обикновена дроб, чийто знаменател не съдържа други делители освен 2 и 5? Нека да го разберем! Каква дроб се нарича десетична и се записва без дробна черта? Отговор: дроб със знаменател 10; 100; 1000 и т.н. И всяко от тези числа е продукт равенброй двойки и петици. Всъщност: 10=2 ·5 ; 100=2 ·5 ·2 ·5 ; 1000=2 ·5 ·2 ·5 ·2 ·5 и т.н.

Следователно, знаменателят на нередуцируема обикновена дроб ще трябва да бъде представен като произведение от „двойки“ и „петици“ и след това да бъде умножен по 2 и (или) 5, така че „двойките“ и „петиците“ да станат равни. Тогава знаменателят на дробта ще бъде равен на 10 или 100 или 1000 и т.н. За да сме сигурни, че стойността на дробта не се променя, умножаваме числителя на дробта по същото число, с което сме умножили знаменателя.

Изразете следните обикновени дроби като десетични числа:

Решение. Всяка от тези дроби е несъкратима. Нека разложим знаменателя на всяка дроб на прости множители.

20=2·2·5. Извод: липсва едно „А“.

8=2·2·2. Заключение: липсват три „А“.

25=5·5. Заключение: липсват две „двойки“.

Коментирайте.На практика те често не използват факторизация на знаменателя, а просто задават въпроса: по колко трябва да се умножи знаменателят, така че резултатът да е единица с нули (10 или 100 или 1000 и т.н.). И след това числителят се умножава по същото число.

Така че, в случай а)(пример 2) от числото 20 можете да получите 100, като умножите по 5, следователно трябва да умножите числителя и знаменателя по 5.

Кога б)(пример 2) от числото 8 няма да се получи числото 100, а ще се получи числото 1000, като се умножи по 125. И числителят (3), и знаменателят (8) на дробта се умножават по 125.

Кога V)(пример 2) от 25 получавате 100, ако умножите по 4. Това означава, че числителят 8 трябва да се умножи по 4.

Нарича се безкрайна десетична дроб, в която една или повече цифри неизменно се повтарят в една и съща последователност периодиченкато десетичен знак. Наборът от повтарящи се цифри се нарича период на тази дроб. За краткост периодът на дроб се записва веднъж, ограден в скоби.

Кога б)(пример 1) има само една повтаряща се цифра и е равна на 6. Следователно нашият резултат 0,66... ​​​​ще бъде записан така: 0,(6) . Те гласят: нула точка, шест в точка.

Ако има една или повече неповтарящи се цифри между десетичната запетая и първата точка, тогава такава периодична дроб се нарича смесена периодична дроб.

Несъкратима обикновена дроб, чийто знаменател е заедно с другимножител съдържа множител 2 или 5 , става смесенпериодична дроб.

Запишете числата като десетични знаци.