Степента се използва за опростяване на операцията по умножаване на число по себе си. Например, вместо да пишете, можете да пишете 4 5 (\displaystyle 4^(5))(обяснение за този преход е дадено в първия раздел на тази статия). Степените улесняват писането на дълги или сложни изрази или уравнения; степените също са лесни за добавяне и изваждане, което води до опростен израз или уравнение (напр. 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Забележка:ако трябва да решите експоненциално уравнение (в такова уравнение неизвестното е в степента), прочетете.

стъпки

Решаване на прости задачи със степени

Умножете основата на експонентата по себе си толкова пъти, колкото е степента.Ако трябва да решите степенна задача на ръка, пренапишете степента като операция за умножение, където основата на степента се умножава сама по себе си. Например, дадена степен 3 4 (\displaystyle 3^(4)). В този случай основата на степен 3 трябва да се умножи сама по себе си 4 пъти: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). Ето и други примери:

Първо умножете първите две числа.например, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). Не се притеснявайте - процесът на изчисление не е толкова сложен, колкото изглежда на пръв поглед. Първо умножете първите две четворки и след това ги заменете с резултата. като това:

• 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
  • 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

1. Умножете резултата (16 в нашия пример) по следващото число.Всеки следващ резултат ще нараства пропорционално. В нашия пример умножете 16 по 4. Така:

   • 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
     • 16 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
   • 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
     • 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
     • 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • Продължете да умножавате резултата от първите две числа по следващото число, докато получите окончателния отговор. За да направите това, умножете първите две числа и след това умножете получения резултат по следващото число в редицата. Този метод е валиден за всяка степен. В нашия пример трябва да получите: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .

2. Решете следните задачи.Проверете отговора си с помощта на калкулатор.

   • 8 2 (\displaystyle 8^(2))
   • 3 4 (\displaystyle 3^(4))
   • 10 7 (\displaystyle 10^(7))

3. На вашия калкулатор потърсете ключа с надпис "exp" или " x n (\displaystyle x^(n))“ или „^“.С помощта на този ключ ще повдигнете число на степен. Почти невъзможно е ръчно да се изчисли степен с голям индикатор (например степента 9 15 (\displaystyle 9^(15))), но калкулаторът може лесно да се справи с тази задача. В Windows 7 стандартният калкулатор може да бъде превключен в инженерен режим; За да направите това, щракнете върху „Преглед“ -> „Инженеринг“. За да превключите към нормален режим, щракнете върху „Преглед“ -> „Нормално“.

   • Проверете получения отговор с помощта на търсачка (Google или Yandex). Използвайки клавиша "^" на клавиатурата на компютъра, въведете израза в търсачката, която незабавно ще покаже правилния отговор (и евентуално ще предложи подобни изрази, които да изучавате).

   Събиране, изваждане, умножение на степени

   1. Можете да събирате и изваждате градуси само ако имат еднакви основи.Ако трябва да добавите степени с еднакви основи и показатели, тогава можете да замените операцията събиране с операцията умножение. Например, като се има предвид изразът 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). Не забравяйте, че степента 4 5 (\displaystyle 4^(5))могат да бъдат представени във формата 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); по този начин 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(където 1 +1 =2). Тоест, пребройте броя на подобни степени и след това умножете тази степен и това число. В нашия пример повишете 4 на пета степен и след това умножете получения резултат по 2. Не забравяйте, че операцията събиране може да бъде заменена с операцията умножение, например, 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). Ето и други примери:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. При умножение на степени с една и съща основа се събират техните показатели (основата не се променя).Например, като се има предвид изразът x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). В този случай просто трябва да добавите индикаторите, като оставите основата непроменена. по този начин x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). Ето визуално обяснение на това правило:

      При повишаване на степен на степен показателите се умножават.Например, дава се степен. Тъй като експонентите се умножават, тогава (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). Смисълът на това правило е, че умножавате по степени (x 2) (\displaystyle (x^(2)))върху себе си пет пъти. като това:

      • (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • Тъй като основата е една и съща, показателите просто се сумират: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. Степен с отрицателен показател трябва да се преобразува в дроб (обратна степен).Няма значение, ако не знаете какво е реципрочна степен. Ако ви бъде дадена степен с отрицателен показател, напр. 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2)), запишете тази степен в знаменателя на дробта (поставете 1 в числителя) и направете показателя положителен. В нашия пример: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). Ето и други примери:

      При деление на степени с една и съща основа, експонентите им се изваждат (основата не се променя).Операцията деление е противоположна на операцията умножение. Например, като се има предвид изразът 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). Извадете степента в знаменателя от степента в числителя (не променяйте основата). по този начин 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • Степента в знаменателя може да бъде записана по следния начин: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4 − 2 (\displaystyle 4^(-2)). Не забравяйте, че дробта е число (степен, израз) с отрицателен показател.

   4. По-долу са дадени някои изрази, които ще ви помогнат да научите как да решавате задачи с показатели.Дадените изрази покриват материала, представен в този раздел. За да видите отговора, просто изберете празното място след знака за равенство.

   Решаване на задачи с дробни показатели

   Степен с дробен показател (например ) се преобразува в операция за корен.В нашия пример: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x (\displaystyle (\sqrt (x))). Тук няма значение кое число е в знаменателя на дробния показател. например, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4)))- е четвъртият корен от “x”, т.е x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

   1. Ако показателят е неправилна дроб, тогава показателят може да се разложи на две степени, за да се опрости решението на проблема. В това няма нищо сложно - просто помнете правилото за умножение на степените. Например, дава се степен. Преобразувайте такава степен в корен, чиято степен е равна на знаменателя на дробния показател, и след това повдигнете този корен до степен, равна на числителя на дробния показател. За да направите това, помнете това = 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3)))(1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5)

      • . В нашия пример:
      • x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
      • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x))) = x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3)))
   2. (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
   3. Някои калкулатори имат бутон за изчисляване на степени (първо трябва да въведете основата, след това да натиснете бутона и след това да въведете степента). Означава се като ^ или x^y. Не забравяйте, че всяко число на първа степен е равно на себе си, например, 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.) Освен това всяко число, умножено или разделено на едно, е равно на себе си, напр. 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5) И.
   4. 5 / 1 = 5 (\displaystyle 5/1=5) Знайте, че степента 0 0 не съществува (такава степен няма решение). Ако се опитате да решите такава степен на калкулатор или на компютър, ще получите грешка. Но не забравяйте, че всяко число на нулева степен е 1, например,
   5. 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.) Във висшата математика, която оперира с въображаеми числа: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax) , Къде; e е константа, приблизително равна на 2,7; a е произволна константа. Доказателството за това равенство може да се намери във всеки учебник по висша математика.

   Предупреждения

   • С увеличаването на експонентата неговата стойност нараства значително. Така че, ако отговорът ви изглежда грешен, той всъщност може да е правилен. Можете да проверите това, като начертаете всеки експоненциална функциянапример 2 x .

Повдигането на отрицателна степен е един от основните елементи на математиката, който често се среща при решаването на алгебрични задачи. По-долу има подробни инструкции.

Как да повдигнем на отрицателна степен - теория

Когато повдигаме число на обикновена степен, ние умножаваме стойността му няколко пъти. Например 3 3 = 3×3×3 = 27. При отрицателна дроб е вярно обратното. Общ изгледспоред формулата ще изглежда така: a -n = 1/a n. По този начин, за да повдигнете число на отрицателна степен, трябва да разделите едно на даденото число, но на положителна степен.

Как да повдигнем на отрицателна степен - примери за обикновени числа

Като имаме предвид горното правило, нека решим няколко примера.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Отговор: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Отговор -4 -2 = 1/16.

Но защо отговорите в първия и втория пример са еднакви? Факт е, че при изграждането отрицателно числона четна степен (2, 4, 6 и т.н.), знакът става положителен. Ако степента беше четна, тогава минусът щеше да остане:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Как да повдигнем на отрицателна степен - числа от 0 до 1

Спомнете си, че когато число между 0 и 1 се повдигне на положителна степен, стойността намалява с увеличаване на степента. Така например, 0,5 2 = 0,25. 0,25

Пример 3: Изчислете 0,5 -2
Решение: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Отговор: 0,5 -2 = 4

Анализ (последователност от действия):

• Ние превеждаме десетичен знак 0,5 до дробна 1/2. Така е по-лесно.
  Повишете 1/2 на отрицателна степен. 1/(2) -2. Разделяме 1 на 1/(2) 2, получаваме 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Пример 4: Изчислете 0,5 -3
Решение: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Пример 5: Изчислете -0,5 -3
Решение: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Отговор: -0,5 -3 = -8

Въз основа на 4-ти и 5-ти пример можем да направим няколко извода:

• За положително число в диапазона от 0 до 1 (пример 4), повдигнато на отрицателна степен, независимо дали степента е четна или нечетна, стойността на израза ще бъде положителна. Освен това, колкото по-висока е степента, толкова по-голяма е стойността.
• За отрицателно число в диапазона от 0 до 1 (пример 5), повдигнато на отрицателна степен, дали степента е четна или нечетна не е важно, стойността на израза ще бъде отрицателна. В този случай колкото по-висока е степента, толкова по-ниска е стойността.

Как да повдигнем на отрицателна степен - степен под формата на дробно число

Изразите от този тип имат следния вид: a -m/n, където a е редовно число, m е числителят на степента, n е знаменателят на степента.

Да разгледаме един пример:
Изчислете: 8 -1/3

Решение (последователност от действия):

• Нека си припомним правилото за повдигане на число на отрицателна степен. Получаваме: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
• Забележете, че знаменателят има числото 8 в дробна степен. Общата форма за изчисляване на дробна степен е следната: a m/n = n √8 m.
• Така 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). получаваме кубичен коренот осем, което е равно на 2. Оттук 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• Отговор: 8 -1/3 = 2

От училище всички знаем правилото за степенуването: всяко число със степен N е равно на резултата от умножаването на това число по себе си N брой пъти. С други думи, 7 на степен 3 е 7, умножено по себе си три пъти, тоест 343. Друго правило е, че повишаването на произволно количество на степен 0 дава единица, а повишаването на отрицателно количество е резултат от обикновеното повишаване на степента, ако е четна, и същия резултат със знак минус, ако е нечетна.

Правилата дават и отговор как да повдигнем число на отрицателна степен. За да направите това, трябва да повишите необходимата стойност с модула на индикатора по обичайния начин и след това да разделите единицата на резултата.

От тези правила става ясно, че изпълнението на реални задачи, включващи големи количества, ще изисква присъствието на технически средства. Ръчно можете да умножите сами максимален диапазон от числа до двадесет до тридесет и след това не повече от три или четири пъти. Това не е да споменаваме разделянето на едно на резултата. Ето защо, за тези, които нямат под ръка специален инженерен калкулатор, ще ви кажем как да повишите числото до отрицателна мощност в Excel.

Решаване на задачи в Excel

За решаване на проблеми със строителството в Степен Excelви позволява да използвате една от двете опции.

Първият е използването на формула със стандартен знак „капак“. Въведете следните данни в клетките на работния лист:

По същия начин можете да повишите желаната стойност до произволна степен - отрицателна, дробна. нека го направим следващи стъпкии отговорете на въпроса как да повдигнете число на отрицателна степен. Пример:

Можете да коригирате =B2^-C2 директно във формулата.

Вторият вариант е да използвате готовата функция „Степен“, която приема два необходими аргумента - число и експонента. За да започнете да я използвате, просто поставете знака за равенство (=) във всяка свободна клетка, указваща началото на формулата, и въведете горните думи. Остава само да изберете две клетки, които ще участват в операцията (или да посочите ръчно конкретни числа) и да натиснете клавиша Enter. Нека да разгледаме няколко прости примера.

Както можете да видите, няма нищо сложно в това как да увеличите число до отрицателна степен и до нормална степен с помощта на Excel. В крайна сметка, за да разрешите този проблем, можете да използвате както познатия символ „капак“, така и вградената функция на програмата, която е лесна за запомняне. Това е категоричен плюс!

Нека да преминем към по-сложни примери. Нека си припомним правилото как да повдигнем число на отрицателна дробна степен и ще видим, че този проблем се решава много лесно в Excel.

Дробни показатели

Накратко, алгоритъмът за изчисляване на число с дробен показател е следният.

1. Преобразувайте дроб в правилна или неправилна дроб.
2. Повишете нашето число до числителя на получената преобразувана дроб.
3. От числото, получено в предишния параграф, изчислете корена, при условие че показателят на корена ще бъде знаменателят на фракцията, получена на първия етап.

Съгласете се, че дори когато работите с малки числа и правилни дробиТакива изчисления могат да отнемат много време. Добре е, че процесорът за електронни таблици на Excel не се интересува какво число се повишава до каква степен. Опитайте да решите следния пример в работен лист на Excel:

Използвайки горните правила, можете да проверите и да се уверите, че изчислението е извършено правилно.

В края на нашата статия ще представим под формата на таблица с формули и резултати няколко примера за това как да повдигнем число на отрицателна степен, както и няколко примера за работа с дробни числа и степени.

Примерна таблица

Вижте следните примери във вашия работен лист в Excel. За да работи всичко правилно, трябва да използвате смесена препратка, когато копирате формулата. Фиксирайте номера на колоната, съдържаща числото, което се повишава, и номера на реда, съдържащ индикатора. Вашата формула трябва да изглежда така: "=$B4^C$3."

Моля, имайте предвид, че положителните числа (дори нецелите) могат да бъдат изчислени без проблеми за всяка степен. Няма проблеми с повдигането на произволни числа до цели числа. Но повишаването на отрицателно число до дробна степен ще се окаже грешка за вас, тъй като е невъзможно да следвате правилото, посочено в началото на нашата статия за повишаване на отрицателни числа, тъй като паритетът е характеристика изключително на ЦЯЛО число.

Число, повдигнато на степенТе наричат ​​число, което се умножава по себе си няколко пъти.

Степен на число с отрицателна стойност (a - n) може да се определи по подобен начин, както се определя степента на същото число с положителен показател (a n) . Той обаче изисква и допълнително определение. Формулата се дефинира като:

а-н = (1/a n)

Свойствата на отрицателните стойности на степените на числата са подобни на мощностите с положителен показател. Представено уравнение а m/a n= м-н може да е справедливо като

« Никъде, както в математиката, яснотата и точността на заключението не позволява на човек да се измъкне от отговор, като говори около въпроса».

А. Д. Александров

при п повече м , и с м повече п . Да разгледаме един пример: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .

Първо трябва да определите числото, което действа като дефиниция на степента. b=a(-n) . В този пример -н е степенен показател b - желаната числена стойност, а - основата на степента под формата на естествена числова стойност. След това определете модула, тоест абсолютната стойност на отрицателно число, което действа като експонента. Изчислете степента на дадено относително число абсолютно число, като индикатор. Стойността на градуса се намира, като едно се раздели на полученото число.

ориз. 1

Помислете за степента на число с отрицателен дробен показател. Нека си представим, че числото а е всяко положително число, числа п И м - естествени числа. Според определението а , която е издигната на степен - е равно на единица, разделена на същото число с положителна степен (Фигура 1). Когато степента на числото е дроб, тогава в такива случаи се използват само числа с положителни показатели.

Струва си да се помниче нулата никога не може да бъде показател на число (правилото за деление на нула).

Разпространението на такава концепция като число стана такива манипулации като изчисления на измерванията, както и развитието на математиката като наука. Въвеждането на отрицателни стойности се дължи на развитието на алгебрата, което даде общи решенияаритметични задачи, независимо от тяхното конкретно значение и изходни числови данни. В Индия, още през 6-11 век, отрицателните числа са били систематично използвани при решаване на задачи и са били интерпретирани по същия начин, както днес. В европейската наука отрицателните числа започват да се използват широко благодарение на Р. Декарт, който дава геометрична интерпретация на отрицателните числа като посоки на сегменти. Декарт беше този, който предложи обозначаването на число, повдигнато на степен, което да се показва като двуетажна формула a n .

може да се намери чрез умножение. Например: 5+5+5+5+5+5=5x6. За такъв израз се казва, че сборът от равни членове се сгъва в произведение. И обратното, ако прочетем това равенство отдясно наляво, откриваме, че сме разширили сбора от равни членове. По същия начин можете да свиете произведението на няколко равни множителя 5x5x5x5x5x5=5 6.

Тоест, вместо да умножат шест еднакви множителя 5x5x5x5x5x5, те пишат 5 6 и казват „пет на шеста степен”.

Изразът 5 6 е степен на число, където:

5 - степен база;

6 - експонент.

Наричат ​​се действия, чрез които произведението на равни множители се свежда до степен издигане на степен.

По принцип степен с основа „a“ и показател „n“ се записва по следния начин

Повишаването на числото a на степен n означава намиране на произведението от n фактора, всеки от които е равен на a

Ако основата на степента "a" е равна на 1, тогава стойността на степента за всяко естествено n ще бъде равна на 1. Например 1 5 =1, 1 256 =1

Ако увеличите числото „а“ до първа степен, тогава получаваме самото число a: a 1 = a

Ако повишите произволно число до нулева степен, тогава в резултат на изчисленията получаваме едно. а 0 = 1

Втората и третата степен на число се считат за специални. Те измислиха имена за тях: втората степен се нарича квадрат на числото, трето - кубтози номер.

Всяко число може да бъде повдигнато на степен - положителна, отрицателна или нула. В този случай не се прилагат следните правила:

При намиране на степента на положително число резултатът е положително число.

Когато изчисляваме нула към естествената степен, получаваме нула.

x m · x n = x m + n

например: 7 1,7 7 - 0,9 = 7 1,7+(- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8

до разделят степени с еднакви основиНе променяме основата, а изваждаме степените:

x m / x n = x m - n , къде, m > n,

например: 13 3,8 / 13 -0,2 = 13 (3,8 -0,2) = 13 3,6

При изчисляване издигане на степен на степенНе променяме основата, а умножаваме степенните степени един по друг.

(при м ) n = y m п

например: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

(X · y) n = x n · y m ,

например:(2 3) 3 = 2 n 3 m,

При извършване на изчисления съгл повишаване на дроб на степенповдигаме числителя и знаменателя на дробта на дадена степен

(x/y)n = x n / y n

например: (2/5) 3 = (2/5) · (2 ​​​​/ 5) · (2 ​​​​/ 5) = 2 3 / 5 3.

Последователността на изчисленията при работа с изрази, съдържащи степен.

При извършване на изчисления на изрази без скоби, но съдържащи степени, те първо извършват степенуване, след това умножение и деление и едва след това операции събиране и изваждане.

Ако трябва да изчислите израз, съдържащ скоби, тогава първо направете изчисленията в скобите в реда, посочен по-горе, а след това останалите действия в същия ред отляво надясно.

Много широко в практическите изчисления се използват готови таблици на мощностите за опростяване на изчисленията.

Урок и презентация на тема: "Показател с отрицателен показател. Определение и примери за решаване на задачи"

Допълнителни материали
Уважаеми потребители, не забравяйте да оставите вашите коментари, отзиви, желания. Всички материали са проверени с антивирусна програма.

Учебни помагала и тренажори в онлайн магазин Интеграл за 8 клас
Ръководство за учебника Muravin G.K.   

Ръководство към учебника на Алимов Ш.А.

Например: $2^4=2*2*2*2=16$  $((-3))^3=(-3)*(-3)*(-3)=27$.
Знаем добре, че всяко число на нулева степен е равно на единица. $a^0=1$, $a≠0$.
Възниква въпросът какво се случва, ако повдигнете число на отрицателна степен? Например, на какво ще бъде равно числото $2^(-2)$?
Първите математици, които зададоха този въпрос, решиха, че не си струва да изобретяват колелото и е добре всички свойства на степените да останат същите. Тоест, когато се умножават степени с една и съща основа, показателите се събират.
Нека разгледаме този случай: $2^3*2^(-3)=2^(3-3)=2^0=1$.

Открихме, че произведението на такива числа трябва да дава едно. Единицата в продукта се получава чрез умножаване на реципрочните числа, тоест $2^(-3)=\frac(1)(2^3)$.
Такива разсъждения доведоха до следното определение. Определение. Ако $n$ –естествено число

и $a≠0$, тогава е валидно равенството: $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$.
Важна идентичност, която често се използва, е: $(\frac(a)(b))^(-n)=(\frac(b)(a))^n$.

По-специално, $(\frac(1)(a))^(-n)=a^n$.

Изчислете: $2^(-3)+(\frac(2)(5))^(-2)-8^(-1)$.
Решение.
Нека разгледаме всеки термин поотделно.
2. $(\frac(2)(5))^(-2)=(\frac(5)(2))^2=\frac(5^2)(2^2)=\frac(25) (4)$.
3. $8^(-1)=\frac(1)(8)$.
Остава да извършите операциите събиране и изваждане: $\frac(1)(8)+\frac(25)(4)-\frac(1)(8)=\frac(25)(4)=6\frac( 1) (4)$.
Отговор: $6\frac(1)(4)$.

Пример 2.
Представете дадено число като степен просто число$\frac(1)(729)$.

Изчислете: $2^(-3)+(\frac(2)(5))^(-2)-8^(-1)$.
Очевидно $\frac(1)(729)=729^(-1)$.
Но 729 не е просто число, завършващо на 9. Може да се предположи, че това число е степен на три. Последователно разделете 729 на 3.
1) $\frac(729)(3)=243$;
2) $\frac(243)(3)=81$;
3) $\frac(81)(3)=27$;
4) $\frac(27)(3)=9$;
5) $\frac(9)(3)=3$;
6) $\frac(3)(3)=1$.
Извършени са шест операции и това означава: $729=3^6$.
За нашата задача:
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
Отговор: $3^(-6)$.

Пример 3. Изразете израза като степен: $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))$.
Решение. Първото действие винаги се извършва в скоби, след това умножението $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))= \frac (a^6*a^(-10))((a^5)^(-1))=\frac(a^((-4)))(a^((-5)))= a^ (-4-(-5))=a^(-4+5)=a$.
Отговор: $a$.

Пример 4. Докажете идентичността:
$(\frac(y^2 (xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)*\frac(y^2(x^(-2) )+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y)):\frac(1-x^(-1) y)(xy^(-1 ) +1)=\frac(x-y)(x+y)$.

Решение.
От лявата страна разглеждаме всеки фактор в скоби отделно.
1. $\frac(y^2(xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)=\frac(y^2(\frac(x) )(y)-1)^2)(x(1+\frac(y)(x))^2) =\frac(y^2(\frac(x^2)(y^2)-2\ frac(x)(y)+1))(x(1+2\frac(y)(x)+\frac(y^2)(x^2)))=\frac(x^2-2xy+ y ^2)(x+2y+\frac(y^2)(x))=\frac(x^2-2xy+y^2)(\frac(x^2+2xy+y^2)(x) ) =\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))$.
2. $\frac(y^2(x^(-2)+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))=\frac(y^ 2(\frac(1)(x^2)+\frac(1)(y^2)))(x(\frac(x)(y)+\frac(y)(x))) =\frac (\frac(y^2)(x^2)+1)(\frac(x^2)(y)+y)=\frac(\frac(y^2+x^2)(x^2) )((\frac(x^2+y^2)(y)))=\frac(y^2+x^2)(x^2) *\frac(y)(x^2+y^2 )=\frac(y)(x^2)$.
3. $\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))*\frac(y)(x^2)=\frac(y(x ^2-2xy+y^2))(x(x^2+2xy+y^2))=\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2)$.
4. Да преминем към дроба, на който делим.
$\frac(1-x^(-1)y)(xy^(-1)+1)=\frac(1-\frac(y)(x))(\frac(x)(y)+1 )=\frac(\frac(x-y)(x))(\frac(x+y)(y))=\frac(x-y)(x)*\frac(y)(x+y)=\frac( y(x-y))(x(x+y))$.
5. Да направим делението.
$\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2):\frac(y(x-y))(x(x+y))=\frac(y(x-y)^2)( x(x+y)^2)*\frac(x(x+y))(y(x-y))=\frac(x-y)(x+y)$.
Получихме правилната самоличност, която трябваше да докажем.

В края на урока отново ще запишем правилата за работа със степени, тук показателят е цяло число.
$a^s*a^t=a^(s+t)$.
$\frac(a^s)(a^t)=a^(s-t)$.
$(a^s)^t=a^(st)$.
$(ab)^s=a^s*b^s$.
$(\frac(a)(b))^s=\frac(a^s)(b^s)$.

Проблеми за самостоятелно решаване

Повдигането на отрицателна степен е един от основните елементи на математиката и често се среща при решаването на алгебрични задачи. По-долу има подробни инструкции.

Как да повдигнем на отрицателна степен - теория

Когато повдигаме число на обикновена степен, ние умножаваме стойността му няколко пъти. Например 3 3 = 3×3×3 = 27. При отрицателна дроб е вярно обратното. Общата форма на формулата ще бъде както следва: a -n = 1/a n. По този начин, за да повдигнете число на отрицателна степен, трябва да разделите едно на даденото число, но на положителна степен.

Как да повдигнем на отрицателна степен - примери за обикновени числа

Като имаме предвид горното правило, нека решим няколко примера.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Отговор: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Отговор -4 -2 = 1/16.

Но защо отговорите в първия и втория пример са еднакви? Факт е, че когато отрицателно число се повиши до четна степен (2, 4, 6 и т.н.), знакът става положителен. Ако степента беше четна, тогава минусът щеше да остане:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Как да повдигнем числата от 0 до 1 на отрицателна степен

Спомнете си, че когато число между 0 и 1 се повдигне на положителна степен, стойността намалява с увеличаване на степента. Така например, 0,5 2 = 0,25. 0,25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

Пример 3: Изчислете 0,5 -2
Решение: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Отговор: 0,5 -2 = 4

Анализ (последователност от действия):

• Преобразувайте десетичната дроб 0,5 в дробната дроб 1/2. Така е по-лесно.
  Повишете 1/2 на отрицателна степен. 1/(2) -2. Разделяме 1 на 1/(2) 2, получаваме 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Пример 4: Изчислете 0,5 -3
Решение: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Пример 5: Изчислете -0,5 -3
Решение: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Отговор: -0,5 -3 = -8

Въз основа на 4-ти и 5-ти пример можем да направим няколко извода:

• За положително число в диапазона от 0 до 1 (пример 4), повдигнато на отрицателна степен, независимо дали степента е четна или нечетна, стойността на израза ще бъде положителна. Освен това, колкото по-висока е степента, толкова по-голяма е стойността.
• За отрицателно число в диапазона от 0 до 1 (пример 5), повдигнато на отрицателна степен, дали степента е четна или нечетна не е важно, стойността на израза ще бъде отрицателна. В този случай колкото по-висока е степента, толкова по-ниска е стойността.

Как да повдигнем на отрицателна степен - степен под формата на дробно число

Изразите от този тип имат следния вид: a -m/n, където a е редовно число, m е числителят на степента, n е знаменателят на степента.

Да разгледаме един пример:
Изчислете: 8 -1/3

Решение (последователност от действия):

• Нека си припомним правилото за повдигане на число на отрицателна степен. Получаваме: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
• Забележете, че знаменателят има числото 8 в дробна степен. Общата форма за изчисляване на дробна степен е следната: a m/n = n √8 m.
• Така 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Получаваме кубичен корен от осем, който е равен на 2. Оттук 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• Отговор: 8 -1/3 = 2