Модулът е едно от онези неща, за които сякаш всички са чували, но в действителност никой не разбира. Затова днес ще има голям урок, посветен на решаването на уравнения с модули.

Ще кажа веднага: урокът няма да е труден. И като цяло модулите са относително проста тема. „Да, разбира се, не е сложно! Поразява ме!“ - ще кажат много студенти, но всички тези мозъчни счупвания се случват поради факта, че повечето хора нямат знания в главите си, а някакви глупости. И целта на този урок е да превърнем глупостите в знания :)

Малко теория

И така, да вървим. Да започнем с най-важното: какво е модул? Нека ви напомня, че модулът на едно число е просто същото число, но взето без знака минус. Това е например $\left| -5 \right|=5$. Или $\left| -129,5 \надясно|=$129,5.

Толкова ли е просто? Да, просто. Тогава каква е абсолютната стойност на положително число? Тук е още по-просто: модулът на положително число е равен на самото това число: $\left| 5 \right|=5$; $\ляво| 129,5 \right|=$129,5 и т.н.

Оказва се нещо любопитно: различни числаможе да има същия модул. Например: $\left| -5 \дясно|=\ляво| 5 \right|=5$; $\ляво| -129,5 \дясно|=\ляво| 129,5\вдясно|=$129,5. Лесно е да се види какви са тези числа, които имат еднакви модули: тези числа са противоположни. По този начин отбелязваме за себе си, че модулите на противоположните числа са равни:

\[\ляво| -a \дясно|=\ляво| a\right|\]

Друг важен факт: модулът никога не е отрицателен. Каквото и число да вземем – било то положително или отрицателно – модулът му винаги се оказва положителен (или в краен случай нула). Ето защо модулът често се нарича абсолютна стойност на число.

Освен това, ако комбинираме определението за модул за положителни и отрицателно число, тогава получаваме глобална дефиниция на модула за всички числа. А именно: модулът на числото е равен на самото число, ако числото е положително (или нула), или равен на противоположното число, ако числото е отрицателно. Можете да напишете това като формула:

Има и модул нула, но той винаги е равен на нула. Освен това нулата е единственото число, което няма противоположност.

Така, ако разгледаме функцията $y=\left| x \right|$ и опитайте да начертаете неговата графика, ще получите нещо подобно:

Графика на модула и пример за решаване на уравнението

От тази снимка веднага става ясно, че $\left| -m \дясно|=\ляво| m \right|$ и графиката на модула никога не пада под оста x. Но това не е всичко: червената линия маркира правата $y=a$, която при положително $a$ ни дава два корена едновременно: $((x)_(1))$ и $((x) _(2)) $, но ще говорим за това по-късно. :)

В допълнение към чисто алгебричната дефиниция има геометрична. Да кажем, че има две точки на числовата ос: $((x)_(1))$ и $((x)_(2))$. В този случай изразът $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ е просто разстоянието между посочените точки. Или, ако предпочитате, дължината на отсечката, свързваща тези точки:

Това определение също предполага, че модулът винаги е неотрицателен. Но стига дефиниции и теория - да преминем към реалните уравнения :)

Основна формула

Добре, подредихме определението. Но това не го направи по-лесно. Как да решим уравнения, съдържащи точно този модул?

Спокойно, само спокойно. Да започнем с най-простите неща. Помислете за нещо подобно:

\[\ляво| x\надясно|=3\]

Така че модулът на $x$ е 3. На какво може да е равно $x$? Е, съдейки по дефиницията, ние сме доста доволни от $x=3$. Наистина ли:

\[\ляво| 3\надясно|=3\]

Има ли други номера? Капачката сякаш намеква, че има. Например $x=-3$ също е $\left| -3 \right|=3$, т.е. изискваното равенство е изпълнено.

Така че може би, ако търсим и мислим, ще намерим повече числа? Но нека си признаем: няма повече числа. Уравнение $\left| x \right|=3$ има само два корена: $x=3$ и $x=-3$.

Сега нека усложним малко задачата. Нека функцията $f\left(x \right)$ виси под знака за модул вместо променливата $x$ и вместо тройката вдясно поставяме произволно число$a$. Получаваме уравнението:

\[\ляво| f\left(x \right) \right|=a\]

И така, как можем да разрешим това? Нека ви напомня: $f\left(x \right)$ е произволна функция, $a$ е произволно число. Тези. Каквото и да било! Например:

\[\ляво| 2x+1 \надясно|=5\]

\[\ляво| 10x-5 \right|=-65\]

Нека обърнем внимание на второто уравнение. Веднага можете да кажете за него: той няма корени. Защо? Всичко е правилно: защото изисква модулът да е равен на отрицателно число, което никога не се случва, тъй като вече знаем, че модулът винаги е положително число или, в краен случай, нула.

Но с първото уравнение всичко е по-забавно. Има два варианта: или има положителен израз под знака за модул и след това $\left| 2x+1 \right|=2x+1$ или този израз все още е отрицателен и след това $\left| 2x+1 \right|=-\left(2x+1 \right)=-2x-1$. В първия случай нашето уравнение ще бъде пренаписано, както следва:

\[\ляво| 2x+1 \right|=5\Rightarrow 2x+1=5\]

И изведнъж се оказва, че подмодулният израз $2x+1$ наистина е положителен - той е равен на числото 5. Т.е. можем безопасно да решим това уравнение - полученият корен ще бъде част от отговора:

Тези, които са особено недоверчиви, могат да опитат да заменят намерения корен в оригиналното уравнение и да се уверят, че под модула наистина има положително число.

Сега нека да разгледаме случая на отрицателен подмодулен израз:

\[\left\( \begin(align)& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end(align) \right.\Rightarrow -2x-1=5 \Стрелка надясно 2x+1=-5\]

Опа! Отново всичко е ясно: приехме, че $2x+1 \lt 0$, и в резултат получихме, че $2x+1=-5$ - наистина, това е изразът по-малко от нула. Решаваме полученото уравнение, като вече знаем със сигурност, че намереният корен ще ни подхожда:

Общо отново получихме два отговора: $x=2$ и $x=3$. Да, количеството изчисления се оказа малко по-голямо, отколкото в много простото уравнение $\left| x \right|=3$, но нищо фундаментално не се е променило. Така че може би има някои универсален алгоритъм?

Да, такъв алгоритъм съществува. И сега ще го анализираме.

Отървете се от знака за модул

Нека ни е дадено уравнението $\left| f\left(x \right) \right|=a$ и $a\ge 0$ (в противен случай, както вече знаем, няма корени). След това можете да се отървете от знака за модул, като използвате следното правило:

\[\ляво| f\left(x \right) \right|=a\Rightarrow f\left(x \right)=\pm a\]

Така нашето уравнение с модул се разделя на две, но без модул. Това е цялата технология! Нека се опитаме да решим няколко уравнения. Да започнем с това

\[\ляво| 5x+4 \right|=10\Rightarrow 5x+4=\pm 10\]

Нека разгледаме отделно кога има десет плюс отдясно и отделно кога има минус. Ние имаме:

\[\begin(align)& 5x+4=10\Rightarrow 5x=6\Rightarrow x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\Дясна стрелка 5x=-14\Дясна стрелка x=-\frac(14)(5)=-2,8. \\\край (подравняване)\]

Това е всичко! Имаме два корена: $x=1,2$ и $x=-2,8$. Цялото решение отне буквално два реда.

Добре, няма въпрос, нека да разгледаме нещо малко по-сериозно:

\[\ляво| 7-5x\надясно|=13\]

Отново отваряме модула с плюс и минус:

\[\begin(align)& 7-5x=13\Rightarrow -5x=6\Rightarrow x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\Стрелка надясно -5x=-20\Стрелка надясно x=4. \\\край (подравняване)\]

Отново няколко реда - и отговорът е готов! Както казах, няма нищо сложно в модулите. Просто трябва да запомните няколко правила. Затова продължаваме напред и започваме с наистина по-сложни задачи.

Случаят на променлива от дясната страна

Сега разгледайте това уравнение:

\[\ляво| 3x-2 \надясно|=2x\]

Това уравнение е фундаментално различно от всички предишни. как? И фактът, че вдясно от знака за равенство е изразът $2x$ - и не можем да знаем предварително дали е положителен или отрицателен.

Какво да направите в този случай? Първо, трябва да разберем това веднъж завинаги ако дясната страна на уравнението се окаже отрицателна, тогава уравнението няма да има корени- вече знаем, че модулът не може да бъде равен на отрицателно число.

И второ, ако дясната част все още е положителна (или равна на нула), тогава можете да действате точно по същия начин, както преди: просто отворете модула отделно със знак плюс и отделно със знак минус.

Така формулираме правило за произволни функции $f\left(x \right)$ и $g\left(x \right)$ :

\[\ляво| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\Rightarrow \left\( \begin(align)& f\left(x \right)=\pm g\left(x \right) ), \\& g\left(x \right)\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Във връзка с нашето уравнение получаваме:

\[\ляво| 3x-2 \right|=2x\Rightarrow \left\( \begin(align)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Е, все някак ще се справим с изискването $2x\ge 0$. В крайна сметка можем глупаво да заместим корените, които получаваме от първото уравнение и да проверим дали неравенството е валидно или не.

Така че нека решим самото уравнение:

\[\begin(align)& 3x-2=2\Rightarrow 3x=4\Rightarrow x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Стрелка надясно 3x=0\Стрелка надясно x=0. \\\край (подравняване)\]

Е, кой от тези два корена удовлетворява изискването $2x\ge 0$? Да и двете! Следователно отговорът ще бъде две числа: $x=(4)/(3)\;$ и $x=0$. Това е решението :)

Подозирам, че някои от учениците вече започват да скучаят? Е, нека да разгледаме още по-сложно уравнение:

\[\ляво| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\]

Въпреки че изглежда зло, всъщност това все още е същото уравнение във формата „модул е ​​равно на функция“:

\[\ляво| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\]

И се решава по абсолютно същия начин:

\[\ляво| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\Rightarrow \left\( \begin(align)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \left(x-((x)^(3)) \right), \\& x-((x )^(3))\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Ще се занимаваме с неравенството по-късно - то е някак си твърде зло (всъщност е просто, но няма да го решаваме). Засега е по-добре да се справите с получените уравнения. Нека разгледаме първия случай - това е, когато модулът е разширен със знак плюс:

\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]

Е, няма смисъл да съберете всичко отляво, да донесете подобни и да видите какво ще се случи. И ето какво се случва:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\край (подравняване)\]

Изваждаме общия множител $((x)^(2))$ извън скобите и получаваме много просто уравнение:

\[((x)^(2))\left(2x-3 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\end(align) \right.\]

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1,5.\]

Тук се възползвахме от едно важно свойство на произведението, в името на което разложихме оригиналния полином: произведението е равно на нула, когато поне един от факторите е равен на нула.

Сега нека се справим с второто уравнение по абсолютно същия начин, което се получава чрез разширяване на модула със знак минус:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\left(x-((x)^(3)) \right); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\наляво(-3x+2 \надясно)=0. \\\край (подравняване)\]

Отново същото: произведението е равно на нула, когато поне един от факторите е равен на нула. Ние имаме:

\[\left[ \begin(align)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\end(align) \right.\]

Е, имаме три корена: $x=0$, $x=1,5$ и $x=(2)/(3)\;$. Е, кое от този набор ще влезе в окончателния отговор? За да направите това, не забравяйте, че имаме допълнително ограничение под формата на неравенство:

Как да вземем предвид това изискване? Нека просто заместим намерените корени и да проверим дали неравенството е валидно за тези $x$ или не. Ние имаме:

\[\begin(align)& x=0\Rightarrow x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1,5\Стрелка надясно x-((x)^(3))=1,5-((1,5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Rightarrow x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\край (подравняване)\]

Така коренът $x=1,5$ не ни устройва. И в отговор ще има само два корена:

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]

Както можете да видите, дори в този случай нямаше нищо сложно - уравненията с модули винаги се решават с помощта на алгоритъм. Просто трябва да имате добро разбиране на полиномите и неравенствата. Затова преминаваме към по-сложни задачи - вече ще има не един, а два модула.

Уравнения с два модула

Досега сме проучили само най-много прости уравнения— имаше един модул и още нещо. Изпратихме това „нещо друго“ в друга част от неравенството, далеч от модула, така че накрая всичко да се сведе до уравнение от вида $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ или още по-просто $\left| f\left(x \right) \right|=a$.

Но детска градинаприключи - време е да помислим за нещо по-сериозно. Нека започнем с уравнения като това:

\[\ляво| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\]

Това е уравнение във формата „модул е ​​равен на модул“. Фундаментално важен моменте липсата на други условия и фактори: само един модул отляво, още един модул отдясно - и нищо повече.

Сега някой ще си помисли, че такива уравнения са по-трудни за решаване от това, което сме изучавали досега. Но не: тези уравнения са още по-лесни за решаване. Ето формулата:

\[\ляво| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\Rightarrow f\left(x \right)=\pm g\left(x \right)\]

Всичко! Ние просто приравняваме подмодулни изрази, като поставяме знак плюс или минус пред един от тях. И тогава решаваме получените две уравнения - и корените са готови! Без допълнителни ограничения, без неравности и т.н. Всичко е много просто.

Нека се опитаме да разрешим този проблем:

\[\ляво| 2x+3 \дясно|=\ляво| 2x-7 \right|\]

Елементарно Уотсън! Разширяване на модулите:

\[\ляво| 2x+3 \дясно|=\ляво| 2x-7 \right|\Rightarrow 2x+3=\pm \left(2x-7 \right)\]

Нека разгледаме всеки случай поотделно:

\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\ляво(2x-7 \дясно)\Дясна стрелка 2x+3=-2x+7. \\\край (подравняване)\]

Първото уравнение няма корени. Защото кога $3=-7$? При какви стойности на $x$? „Какво, по дяволите, е $x$? Накаменен ли си? Там изобщо няма $x$“, казвате вие. И ще бъдеш прав. Получихме равенство, което не зависи от променливата $x$, а в същото време самото равенство е неправилно. Затова няма корени. :)

С второто уравнение всичко е малко по-интересно, но и много, много просто:

Както можете да видите, всичко беше решено буквално в няколко реда - не очаквахме нищо друго от линейно уравнение.

В резултат крайният отговор е: $x=1$.

И как? Труден? Разбира се, че не. Нека опитаме нещо друго:

\[\ляво| x-1 \дясно|=\ляво| ((x)^(2))-3x+2 \right|\]

Отново имаме уравнение от вида $\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|$. Затова незабавно го пренаписваме, разкривайки знака на модула:

\[((x)^(2))-3x+2=\pm \left(x-1 \right)\]

Може би сега някой ще попита: „Ей, какви глупости? Защо „плюс-минус“ се появява в израза отдясно, а не вляво?“ Спокойно, сега ще обясня всичко. Наистина, по добър начин трябваше да пренапишем нашето уравнение, както следва:

След това трябва да отворите скобите, да преместите всички членове от едната страна на знака за равенство (тъй като уравнението очевидно ще бъде квадратно и в двата случая) и след това да намерите корените. Но трябва да признаете: когато „плюс-минус“ се появява пред три термина (особено когато един от тези термини е квадратичен израз), изглежда някак си по-сложно от ситуацията, когато „плюс-минус“ се появява само преди два термина.

Но нищо не ни пречи да пренапишем оригиналното уравнение, както следва:

\[\ляво| x-1 \дясно|=\ляво| ((x)^(2))-3x+2 \right|\Rightarrow \left| ((x)^(2))-3x+2 \right|=\left| x-1 \дясно|\]

Какво стана? Нищо особено: те просто размениха лявата и дясната страна. Малко нещо, което в крайна сметка ще направи живота ни малко по-лесен.

Като цяло решаваме това уравнение, като разглеждаме опции с плюс и минус:

\[\begin(align)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Rightarrow ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\left(x-1 \right)\Rightarrow ((x)^(2))-2x+1=0. \\\край (подравняване)\]

Първото уравнение има корени $x=3$ и $x=1$. Вторият обикновено е точен квадрат:

\[((x)^(2))-2x+1=((\ляво(x-1 \дясно))^(2))\]

Следователно има само един корен: $x=1$. Но ние вече получихме този корен по-рано. Така само две числа ще влязат в крайния отговор:

\[((x)_(1))=3;\quad ((x)_(2))=1.\]

Мисията е завършена! Можете да вземете пай от рафта и да го изядете. Те са 2, твоята е средната :)

Важна забележка. Наличието на еднакви корени различни вариантиразширението на модула означава, че оригиналните полиноми са факторизирани и сред тези фактори задължително ще има общ. Наистина ли:

\[\begin(align)& \left| x-1 \дясно|=\ляво| ((x)^(2))-3x+2 \right|; \\& \ляво| x-1 \дясно|=\ляво| \left(x-1 \right)\left(x-2 \right) \right|. \\\край (подравняване)\]

Едно от свойствата на модула: $\left| a\cdot b \right|=\left| a \right|\cdot \left| b \right|$ (т.е. модулът на произведението е равен на произведението на модулите), така че оригиналното уравнение може да бъде пренаписано, както следва:

\[\ляво| x-1 \дясно|=\ляво| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \надясно|\]

Както виждате, наистина имаме общ фактор. Сега, ако съберете всички модули от едната страна, можете да извадите този фактор от скобата:

\[\begin(align)& \left| x-1 \дясно|=\ляво| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \вдясно|; \\& \ляво| x-1 \дясно|-\ляво| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|=0; \\& \ляво| x-1 \right|\cdot \left(1-\left| x-2 \right| \right)=0. \\\край (подравняване)\]

Е, сега не забравяйте, че произведението е равно на нула, когато поне един от факторите е равен на нула:

\[\left[ \begin(align)& \left| x-1 \right|=0, \\& \left| x-2 \right|=1. \\\end(align) \right.\]

Така първоначалното уравнение с два модула е сведено до двете най-прости уравнения, за които говорихме в самото начало на урока. Такива уравнения се решават буквално в няколко реда :)

Тази забележка може да изглежда ненужно сложна и неприложима на практика. В действителност обаче може да срещнете много повече сложни задачи, отколкото тези, които анализираме днес. В тях модулите могат да се комбинират с полиноми, аритметични корени, логаритми и др. И в такива ситуации възможността да се намали общата степен на уравнението, като се извади нещо извън скоби, може да бъде много, много полезно :)

Сега бих искал да разгледам друго уравнение, което на пръв поглед може да изглежда налудничаво. Много студенти се забиват в него, дори и тези, които смятат, че разбират добре модулите.

Това уравнение обаче е дори по-лесно за решаване от това, което разгледахме по-рано. И ако разберете защо, ще получите още един трик за бързо решаване на уравнения с модули.

Така че уравнението е:

\[\ляво| x-((x)^(3)) \right|+\left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\]

Не, това не е печатна грешка: това е плюс между модулите. И трябва да намерим при колко $x$ сумата от два модула е равна на нула :)

Какъв е проблемът все пак? Но проблемът е, че всеки модул е ​​положително число или, в краен случай, нула. Какво се случва, ако съберете две положителни числа? Очевидно отново положително число:

\[\begin(align)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0,004+0,0001=0,0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\край (подравняване)\]

Последният ред може да ви даде представа: единственият път, когато сборът на модулите е нула, е ако всеки модул е ​​нула:

\[\ляво| x-((x)^(3)) \right|+\left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\Rightarrow \left\( \begin(align)& \left| x-((x)^(3)) \right|=0, \\& \left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0 \\\end(align) \right.\].

А кога модулът е равен на нула? Само в един случай - когато подмодулният израз е равен на нула:

\[((x)^(2))+x-2=0\Дясна стрелка \left(x+2 \right)\left(x-1 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& x=-2 \\& x=1 \\\end(align) \right.\]

Така имаме три точки, в които първият модул се нулира: 0, 1 и −1; както и две точки, в които вторият модул се нулира на нула: −2 и 1. Трябва обаче и двата модула да бъдат нулирани едновременно, така че сред намерените числа трябва да изберем тези, които са включени в двата комплекта. Очевидно има само едно такова число: $x=1$ - това ще бъде окончателният отговор.

Метод на разцепване

Е, вече покрихме куп проблеми и научихме много техники. Мислите ли, че това е всичко? Но не! Сега ще разгледаме крайната техника - и в същото време най-важната. Ще говорим за разделяне на уравнения с модул. За какво изобщо ще говорим? Нека се върнем малко назад и да разгледаме едно просто уравнение. Например това:

\[\ляво| 3x-5 \надясно|=5-3x\]

По принцип ние вече знаем как да решим такова уравнение, защото то е стандартна конструкция от вида $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$. Но нека се опитаме да погледнем това уравнение от малко по-различен ъгъл. По-точно, разгледайте израза под знака за модул. Нека ви напомня, че модулът на всяко число може да бъде равен на самото число или може да бъде противоположен на това число:

\[\ляво| a \right|=\left\( \begin(align)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end(align) \right.\]

Всъщност тази неяснота е целият проблем: тъй като числото под модула се променя (зависи от променливата), не ни е ясно дали е положително или отрицателно.

Но какво ще стане, ако първоначално изисквате това число да е положително? Например изискваме $3x-5 \gt 0$ - в този случай гарантирано ще получим положително число под знака на модула и можем напълно да се отървем от същия модул:

Така нашето уравнение ще се превърне в линейно, което лесно може да бъде решено:

Вярно е, че всички тези мисли имат смисъл само при условие $3x-5 \gt 0$ - ние сами въведохме това изискване, за да разкрием недвусмислено модула. Следователно, нека заместим намереното $x=\frac(5)(3)$ в това условие и да проверим:

Оказва се, че за посочената стойност на $x$ нашето изискване не е изпълнено, т.к изразът се оказа равен на нула и трябва да е строго по-голям от нула. тъжно :(

Но няма страшно! В края на краищата има още една опция $3x-5 \lt 0$. Освен това: има и случай $3x-5=0$ - това също трябва да се има предвид, в противен случай решението ще бъде непълно. И така, разгледайте случая $3x-5 \lt 0$:

Очевидно модулът ще се отвори със знак минус. Но тогава възниква странна ситуация: и отляво, и отдясно в оригиналното уравнение ще стърчи един и същ израз:

Чудя се при колко $x$ изразът $5-3x$ ще бъде равен на израза $5-3x$? Дори капитан Очевидност би се задавил със слюнка от подобни уравнения, но знаем: това уравнение е тъждество, т.е. вярно е за всяка стойност на променливата!

Това означава, че всеки $x$ ще ни подхожда. Имаме обаче ограничение:

С други думи, отговорът няма да бъде едно число, а цял интервал:

И накрая, остава още един случай за разглеждане: $3x-5=0$. Тук всичко е просто: под модула ще има нула, а модулът на нула също е равен на нула (това следва директно от определението):

Но тогава първоначалното уравнение $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ ще бъде пренаписано както следва:

Вече получихме този корен по-горе, когато разгледахме случая $3x-5 \gt 0$. Освен това този корен е решение на уравнението $3x-5=0$ - това е ограничението, което ние сами въведохме, за да нулираме модула :).

Така, освен с интервала, ще се задоволим и с числото, лежащо в самия край на този интервал:

Общ окончателен отговор: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$ Не е много обичайно да видите такива глупости в отговора на доста просто (по същество линейно) уравнение с модул, наистина? Е, свикнете с това: трудността на модула е, че отговорите в такива уравнения могат да бъдат напълно непредвидими.

Нещо друго е много по-важно: току-що анализирахме универсален алгоритъм за решаване на уравнение с модул! И този алгоритъм се състои от следните стъпки:

1. Приравнете всеки модул в уравнението на нула. Получаваме няколко уравнения;
2. Решете всички тези уравнения и маркирайте корените на числовата ос. В резултат на това правата линия ще бъде разделена на няколко интервала, на всеки от които всички модули се разкриват уникално;
3. Решете оригиналното уравнение за всеки интервал и комбинирайте отговорите си.

Това е всичко! Остава само един въпрос: какво да правим с корените, получени в стъпка 1? Да кажем, че имаме два корена: $x=1$ и $x=5$. Те ще разделят числовата линия на 3 части:

И така, какви са интервалите? Ясно е, че те са три:

1. Най-ляво: $x \lt 1$ — самата единица не е включена в интервала;
2. Централна: $1\le x \lt 5$ - тук единица е включена в интервала, но пет не са включени;
3. Най-вдясно: $x\ge 5$ - пет са включени само тук!

Мисля, че вече разбирате модела. Всеки интервал включва левия край и не включва десния.

На пръв поглед подобно влизане може да изглежда неудобно, нелогично и като цяло някаква лудост. Но повярвайте ми: след малко практика ще откриете, че този подход е най-надеждният и не пречи на недвусмисленото отваряне на модулите. По-добре е да използвате такава схема, отколкото да мислите всеки път: дайте левия/десния край на текущия интервал или го „хвърлете“ в следващия.

В тази статия ще анализираме подробно абсолютната стойност на число. Ние ще дадем различни определениямодул на число, въвеждане на обозначения и предоставяне на графични илюстрации. В същото време нека разгледаме различни примеринамиране на модула на число по дефиниция. След това ще изброим и обосновем основните свойства на модула. В края на статията ще говорим за това как се определя и намира модулът на комплексно число.

Навигация в страницата.

Числов модул - определение, означение и примери

Първо представяме обозначение на модула на числото. Ще запишем модула на числото a като , тоест отляво и отдясно на числото ще поставим вертикални тирета, за да образуваме знака за модул. Нека дадем няколко примера. Например, модул −7 може да се запише като ; модул 4.125 е написан като и модулът има нотация на формата.

Следната дефиниция на модула се отнася до , и следователно до , и до цели числа, и до рационални, и до ирационални числа, като съставни части на набора от реални числа. Ще говорим за модула на комплексно число в.

Определение.

Модул на числото а– това е или самото число a, ако a е положително число, или числото −a, противоположно число a, ако a е отрицателно число, или 0, ако a=0.

Озвучената дефиниция на модула на числото често се записва в следната форма , този запис означава, че ако a>0 , ако a=0 и ако a<0 .

Записът може да бъде представен в по-компактна форма . Тази нотация означава, че ако (a е по-голямо или равно на 0) и ако a<0 .

Там е и входът . Тук отделно трябва да обясним случая, когато a=0. В този случай имаме , но −0=0, тъй като нулата се счита за число, което е противоположно на себе си.

Да дадем примери за намиране на модула на числоизползвайки дадено определение. Например, нека намерим модулите на числата 15 и . Нека започнем с намирането. Тъй като числото 15 е положително, неговият модул по дефиниция е равен на самото това число, т.е. Какъв е модулът на числото? Тъй като е отрицателно число, неговият модул е ​​равен на числото, противоположно на числото, тоест числото . По този начин, .

За да завършим тази точка, представяме едно заключение, което е много удобно за използване на практика при намиране на модула на число. От дефиницията на модула на числото следва, че модулът на числото е равен на числото под знака на модула, без да се отчита знакът му, и от разгледаните по-горе примери това се вижда много ясно. Посоченото твърдение обяснява защо се нарича и модулът на числото абсолютна стойност на числото. Така че модулът на числото и абсолютната стойност на числото са едно и също.

Модул на число като разстояние

Геометрично, модулът на числото може да се тълкува като разстояние. Да дадем определяне на модула на число чрез разстояние.

Определение.

Модул на числото а– това е разстоянието от началото на координатната права до точката, съответстваща на числото a.

Това определение е в съответствие с определението за модула на число, дадено в първия параграф. Нека да изясним тази точка. Разстоянието от началото до точката, съответстваща на положително число, е равно на това число. Нулата съответства на началото, следователно разстоянието от началото до точката с координата 0 е равно на нула (не е необходимо да отделяте единичен сегмент от единица и нито един сегмент, който съставлява някаква част от единичен сегмент, за да за да стигнете от точка O до точка с координата 0). Разстоянието от началото до точка с отрицателна координата е равно на числото, противоположно на координатата на тази точка, тъй като е равно на разстоянието от началото до точката, чиято координата е противоположното число.

Например модулът на числото 9 е равен на 9, тъй като разстоянието от началото до точката с координата 9 е равно на девет. Нека дадем друг пример. Точката с координата −3.25 се намира на разстояние 3.25 от точка O, т.н .

Посочената дефиниция на модула на число е частен случай на дефиницията на модула на разликата на две числа.

Определение.

Модул на разликата на две числа a и b е равно на разстоянието между точките на координатната права с координати a и b.

Тоест, ако са дадени точки на координатната права A(a) и B(b), тогава разстоянието от точка A до точка B е равно на модула на разликата между числата a и b. Ако вземем точка O (начало) като точка B, тогава получаваме определението на модула на число, дадено в началото на този параграф.

Определяне на модула на число с помощта на аритметичен квадратен корен

Понякога се появява определяне на модул чрез аритметичен квадратен корен.

Например, нека изчислим модулите на числата −30 и въз основа на това определение. Ние имаме. По същия начин изчисляваме модула от две трети: .

Дефиницията на модула на число чрез аритметичен квадратен корен също е в съответствие с определението, дадено в първия параграф на тази статия. Нека го покажем. Нека a е положително число и нека −a е отрицателно число. Тогава И , ако a=0 , тогава .

Свойства на модула

Модулът има редица характерни резултати - свойства на модула. Сега ще представим основните и най-често използвани от тях. Когато обосноваваме тези свойства, ще разчитаме на дефиницията на модула на числото по отношение на разстоянието.

Нека започнем с най-очевидното свойство на модула - Модулът на числото не може да бъде отрицателно число. В буквална форма това свойство има формата за всяко число a. Това свойство е много лесно за обосноваване: модулът на числото е разстояние и разстоянието не може да бъде изразено като отрицателно число.

Нека да преминем към следващото свойство на модула. Модулът на дадено число е нула тогава и само ако това число е нула. Модулът на нула е нула по дефиниция. Нулата съответства на началото; никоя друга точка на координатната линия не съответства на нула, тъй като всяко реално число е свързано с една точка на координатната линия. По същата причина всяко число, различно от нула, съответства на точка, различна от началото. И разстоянието от началото до която и да е точка, различна от точка O, не е нула, тъй като разстоянието между две точки е нула тогава и само ако тези точки съвпадат. Горното разсъждение доказва, че само модулът на нула е равен на нула.

Продължавай. Противоположните числа имат равни модули, т.е. за всяко число a. Наистина, две точки на координатната права, чиито координати са противоположни числа, са на едно и също разстояние от началото, което означава, че модулите на противоположните числа са равни.

Следното свойство на модула е: Модулът на произведението на две числа е равен на произведението на модулите на тези числа, това е, . По дефиниция модулът на произведението на числата a и b е равен или на a·b, ако , или на −(a·b), ако . От правилата за умножение на реални числа следва, че произведението на модулите на числата a и b е равно на a·b, , или −(a·b), ако , което доказва въпросното свойство.

Модулът на частното от a делено на b е равен на частното на модула на число, делено на модула на b, това е, . Нека обосновем това свойство на модула. Тъй като частното е равно на произведението, тогава. По силата на предишното имущество, което имаме . Остава само да използваме равенството , което е валидно по силата на дефиницията на модула на число.

Следното свойство на модул се записва като неравенство: , a , b и c са произволни реални числа. Написаното неравенство не е нищо повече от неравенство на триъгълник. За да стане ясно това, нека вземем точки A(a), B(b), C(c) на координатната права и разгледаме изроден триъгълник ABC, чиито върхове лежат на една и съща права. По дефиниция модулът на разликата е равен на дължината на отсечката AB, - дължината на отсечката AC и - дължината на отсечката CB. Тъй като дължината на никоя страна на триъгълник не надвишава сумата от дължините на другите две страни, неравенството е вярно , следователно неравенството също е вярно.

Току-що доказаното неравенство е много по-често срещано във формата . Написаното неравенство обикновено се разглежда като отделно свойство на модула с формулировката: „ Модулът на сбора на две числа не превишава сбора на модулите на тези числа" Но неравенството следва директно от неравенството, ако поставим −b вместо b и приемем c=0.

Модул на комплексно число

Да дадем определение на модула на комплексно число. Нека ни се даде комплексно число, записано в алгебрична форма, където x и y са някои реални числа, представляващи съответно реалната и имагинерната част на дадено комплексно число z, и е имагинерната единица.

Една от най-трудните теми за учениците е решаването на уравнения, съдържащи променлива под знака на модула. Нека първо да разберем с какво е свързано това? Защо, например, повечето деца разбиват квадратни уравнения като ядки, но имат толкова много проблеми с такова далеч не сложно понятие като модул?

Според мен всички тези трудности са свързани с липсата на ясно формулирани правила за решаване на уравнения с модул. И така, решавайки квадратно уравнение, ученикът знае със сигурност, че първо трябва да приложи дискриминантната формула, а след това формулите за корените на квадратното уравнение. Какво да направите, ако в уравнението се намери модул? Ще се опитаме ясно да опишем необходимия план за действие за случая, когато уравнението съдържа неизвестно под знака на модула. Ще дадем няколко примера за всеки случай.

Но първо, нека си спомним модулна дефиниция. И така, по модул на числото асамото това число се нарича if анеотрицателни и -а, ако номер апо-малко от нула. Можете да го напишете така:

|a| = a, ако a ≥ 0 и |a| = -a ако a< 0

Говорейки за геометричния смисъл на модула, трябва да се помни, че всяко реално число съответства на определена точка на числовата ос - нейната координирам. И така, модулът или абсолютната стойност на число е разстоянието от тази точка до началото на числовата ос. Разстоянието винаги се задава като положително число. По този начин модулът на всяко отрицателно число е положително число. Между другото, дори на този етап много ученици започват да се объркват. Модулът може да съдържа произволно число, но резултатът от използването на модула винаги е положително число.

Сега нека преминем директно към решаването на уравненията.

1. Да разгледаме уравнение от вида |x| = c, където c е реално число. Това уравнение може да се реши с помощта на дефиницията на модула.

Разделяме всички реални числа на три групи: по-големи от нула, по-малки от нула и третата група е числото 0. Записваме решението под формата на диаграма:

(±c, ако c > 0

Ако |x| = c, тогава x = (0, ако c = 0

(без корени, ако с< 0

1) |x| = 5, защото 5 > 0, тогава x = ±5;

2) |x| = -5, защото -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, тогава x = 0.

2. Уравнение от вида |f(x)| = b, където b > 0. За да се реши това уравнение, е необходимо да се отървем от модула. Правим го по следния начин: f(x) = b или f(x) = -b. Сега трябва да решите всяко от получените уравнения поотделно. Ако в първоначалното уравнение b< 0, решений не будет.

1) |x + 2| = 4, защото 4 > 0, тогава

x + 2 = 4 или x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, защото 11 > 0, тогава

x 2 – 5 = 11 или x 2 – 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 няма корени

3) |x 2 – 5x| = -8, защото -8< 0, то уравнение не имеет корней.

3. Уравнение от формата |f(x)| = g(x). Според смисъла на модула такова уравнение ще има решения, ако дясната му страна е по-голяма или равна на нула, т.е. g(x) ≥ 0. Тогава ще имаме:

f(x) = g(x)или f(x) = -g(x).

1) |2x – 1| = 5x – 10. Това уравнение ще има корени, ако 5x – 10 ≥ 0. Тук започва решението на такива уравнения.

1. О.Д.З. 5x – 10 ≥ 0

2. Решение:

2x – 1 = 5x – 10 или 2x – 1 = -(5x – 10)

3. Комбинираме О.Д.З. и решението, получаваме:

Коренът x = 11/7 не пасва на O.D.Z., той е по-малък от 2, но x = 3 удовлетворява това условие.

Отговор: x = 3

2) |x – 1| = 1 – x 2 .

1. О.Д.З. 1 – x 2 ≥ 0. Нека решим това неравенство, използвайки интервалния метод:

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. Решение:

x – 1 = 1 – x 2 или x – 1 = -(1 – x 2)

x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0

x = -2 или x = 1 x = 0 или x = 1

3. Комбинираме разтвора и O.D.Z.:

Подходящи са само корени x = 1 и x = 0.

Отговор: x = 0, x = 1.

4. Уравнение от вида |f(x)| = |g(x)|. Такова уравнение е еквивалентно на следните две уравнения f(x) = g(x) или f(x) = -g(x).

1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|. Това уравнение е еквивалентно на следните две:

x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 или x 2 – 5x +7 = -2x + 5

x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0

x = 3 или x = 4 x = 2 или x = 1

Отговор: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Уравнения, решени по метода на заместване (заместване на променливи). Този метод на решение е най-лесно обяснен в конкретен пример. И така, нека ни е дадено квадратно уравнение с модул:

x 2 – 6|x| + 5 = 0. По свойството на модула x 2 = |x| 2, така че уравнението може да се пренапише, както следва:

|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. Нека направим замяната |x| = t ≥ 0, тогава ще имаме:

t 2 – 6t + 5 = 0. Решавайки това уравнение, намираме, че t = 1 или t = 5. Нека се върнем към замяната:

|x| = 1 или |x| = 5

x = ±1 x = ±5

Отговор: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

Нека да разгледаме друг пример:

x 2 + |x| – 2 = 0. По свойството на модула x 2 = |x| 2, следователно

|x| 2 + |x| – 2 = 0. Нека направим замяната |x| = t ≥ 0, тогава:

t 2 + t – 2 = 0. Решавайки това уравнение, получаваме t = -2 или t = 1. Нека се върнем към замяната:

|x| = -2 или |x| = 1

Няма корени x = ± 1

Отговор: x = -1, x = 1.

6. Друг вид уравнения са уравненията с „комплексен“ модул. Такива уравнения включват уравнения, които имат „модули в рамките на модул“. Уравнения от този тип могат да бъдат решени с помощта на свойствата на модула.

1) |3 – |x|| = 4. Ще действаме по същия начин, както в уравненията от втори тип. защото 4 > 0, тогава получаваме две уравнения:

3 – |x| = 4 или 3 – |x| = -4.

Сега нека изразим модула x във всяко уравнение, след това |x| = -1 или |x| = 7.

Решаваме всяко от получените уравнения. В първото уравнение няма корени, защото -1< 0, а во втором x = ±7.

Отговор x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. Решаваме това уравнение по подобен начин:

3 + |x + 1| = 5 или 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 или x + 1 = -2. Без корени.

Отговор: x = -3, x = 1.

Има и универсален метод за решаване на уравнения с модул. Това е методът на интервалите. Но ще го разгледаме по-късно.

blog.site, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към първоизточника.

Абсолютната стойност на число ае разстоянието от началото до точката А(а).

За да разберем това определение, нека заместим променливата апроизволно число, например 3 и опитайте да го прочетете отново:

Абсолютната стойност на число 3 е разстоянието от началото до точката А(3 ).

Става ясно, че модулът не е нищо повече от обикновено разстояние. Нека се опитаме да видим разстоянието от началото до точка A( 3 )

Разстояние от началото до точка A( 3 ) е равно на 3 (три единици или три стъпки).

Модулът на числото се обозначава с две вертикални линии, например:

Модулът на числото 3 се означава по следния начин: |3|

Модулът на числото 4 се означава по следния начин: |4|

Модулът на числото 5 се означава по следния начин: |5|

Потърсихме модула на числото 3 и открихме, че е равно на 3. Така че го записваме:

Чете се като: „Модулът на числото три е три“

Сега нека се опитаме да намерим модула на числото -3. Отново се връщаме към определението и заместваме числото -3 в него. Само вместо точка Аизползвайте нова точка б. Точка Авече използвахме в първия пример.

Модул на числото - 3 е разстоянието от началото до точка б(—3 ).

Разстоянието от една точка до друга не може да бъде отрицателно. Следователно модулът на всяко отрицателно число, което е разстояние, също няма да бъде отрицателен. Модулът на числото -3 ще бъде числото 3. Разстоянието от началото до точката B(-3) също е равно на три единици:

Чете се като: „Модулът от минус три е три.“

Модулът на числото 0 е равен на 0, тъй като точката с координата 0 съвпада с началото на координатите, т.е. разстояние от началото до точката О(0)е равно на нула:

„Модулът на нула е нула“

Правим изводи:

• Модулът на числото не може да бъде отрицателен;
• При положително число и нула модулът е равен на самото число, а при отрицателно число – обратното число;
• Противоположните числа имат равни модули.

Противоположни числа

Наричат ​​се числа, които се различават само по знаци противоположност. Например числата −2 и 2 са противоположни. Те се различават само по знаци. Числото −2 има знак минус, а 2 има знак плюс, но ние не го виждаме, защото плюс, както казахме по-рано, традиционно не се пише.

Още примери за противоположни числа:

Противоположните числа имат равни модули. Например, нека намерим модулите за −2 и 2

Фигурата показва, че разстоянието от началото до точките A(−2)И B(2)равно на две стъпки.

Хареса ли ви урока?
Присъединете се към нашата нова група VKontakte и започнете да получавате известия за нови уроци

А се изчислява в съответствие със следните правила:

За краткост се използват обозначения |a|. И така, |10| = 10; - 1/3 = | 1/3 |; | -100| =100 и т.н.

Всеки размер хсъответства на доста точна стойност | х|. А това означава идентичност при= |х| комплекти прикато някои аргумент функция х.

Графиктова функциипредставени по-долу.

За х > 0 |х| = х, и за х< 0 |х|= -х; в това отношение линията y = | х| при х> 0 в комбинация с права линия y = x(ъглополовяща на първия координатен ъгъл) и кога х< 0 - с прямой y = -x(ъглополовяща на втория координатен ъгъл).

Отделно уравнениявключете неизвестни под знака модул.

Произволни примери за такива уравнения - | х— 1| = 2, |6 — 2х| =3х+ 1 и т.н.

Решаване на уравнениясъдържащо неизвестно под знака за модул се основава на факта, че ако абсолютната стойност на неизвестното число x е равна на положително число a, тогава самото това число x е равно на a или -a.

Например:, ако | х| = 10, тогава или х=10, или х = -10.

Нека помислим решаване на отделни уравнения.

Нека анализираме решението на уравнението | х- 1| = 2.

Нека разширим модулатогава разликата х- 1 може да е равно на + 2 или - 2. Ако x - 1 = 2, тогава х= 3; ако х- 1 = - 2, тогава х= - 1. Правим заместване и откриваме, че и двете от тези стойности удовлетворяват уравнението.

Отговор.Горното уравнение има два корена: х 1 = 3, х 2 = - 1.

Да анализираме решение на уравнението | 6 — 2х| = 3х+ 1.

След разширение на модулаполучаваме: или 6 - 2 х= 3х+ 1 или 6 - 2 х= - (3х+ 1).

В първия случай х= 1, а във втория х= - 7.

Преглед.При х= 1 |6 — 2х| = |4| = 4, 3х+ 1 = 4; следва от съда, х = 1 - корендадено уравнения.

При х = - 7 |6 — 2х| = |20| = 20, 3х+ 1= - 20; тъй като 20 ≠ -20, тогава х= - 7 не е корен на това уравнение.

Отговор. Uуравнението има само един корен: х = 1.

Уравнения от този тип могат да бъдат решаване и графично.

Така че нека решим Например, графично уравнение | Х- 1| = 2.

Първо ще конструираме функционална графика при = |х- 1|. Първо, нека начертаем графика на функцията при=Х- 1:

Тази част от него графични изкуства, който се намира над ос хНяма да го променим. За нея х- 1 > 0 и следователно | х-1|=х-1.

Частта от графиката, която се намира под оста х, нека изобразим симетричноспрямо тази ос. Защото за тази част х - 1 < 0 и соответственно |Х - 1|= - (Х - 1). Получената линия(плътна линия) и ще функционална графика y = | х—1|.

Тази линия ще се пресича с прав при= 2 в две точки: M 1 с абциса -1 и M 2 с абциса 3. И съответно уравнението | х- 1| =2 ще има два корена: х 1 = - 1, х 2 = 3.