Обикновено диференциално уравнение е уравнение, което свързва независима променлива, неизвестна функция на тази променлива и нейните производни (или диференциали) от различен порядък.

Редът на диференциалното уравнение се нарича ред на най-високата производна, съдържаща се в него.

Освен обикновените се изучават и частни диференциални уравнения. Това са уравнения, свързващи независими променливи, неизвестна функция на тези променливи и нейните частни производни по отношение на същите променливи. Но ние само ще разгледаме обикновени диференциални уравнения и затова, за краткост, ще пропуснем думата „обикновен“.

Примери диференциални уравнения:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Уравнение (1) е от четвърти ред, уравнение (2) е от трети ред, уравнения (3) и (4) са от втори ред, уравнение (5) е от първи ред.

Диференциално уравнение пред не е задължително да съдържа изрична функция, всички нейни производни от първия до п-ти ред и независима променлива. Може да не съдържа изрично производни на определени редове, функция или независима променлива.

Например, в уравнение (1) очевидно няма производни от трети и втори ред, както и функция; в уравнение (2) - производната от втори ред и функцията; в уравнение (4) - независимата променлива; в уравнение (5) - функции. Само уравнение (3) съдържа изрично всички производни, функцията и независимата променлива.

Решаване на диференциално уравнение всяка функция се извиква y = f(x), когато се замести в уравнението, то се превръща в идентичност.

Процесът на намиране на решение на диференциално уравнение се нарича негов интеграция.

Пример 1.Намерете решението на диференциалното уравнение.

Решение. Нека напишем това уравнение във формата . Решението е да се намери функцията от нейната производна. Първоначалната функция, както е известно от интегралното смятане, е антипроизводна за, т.е.

Това е решение на това диференциално уравнение . Промяна в него В, ще получим различни решения. Открихме, че има безкраен брой решения на диференциално уравнение от първи ред.

Общо решение на диференциалното уравнение пред е неговото решение, изразено изрично по отношение на неизвестната функция и съдържащо пнезависими произволни константи, т.е.

Решението на диференциалното уравнение в пример 1 е общо.

Частично решение на диференциалното уравнение се нарича решение, при което на произволни константи се дават конкретни числени стойности.

Пример 2.Намерете общото решение на диференциалното уравнение и частно решение за .

Решение. Нека интегрираме двете страни на уравнението брой пъти, равен на реда на диференциалното уравнение.

,

.

В резултат на това получихме общо решение -

на дадено диференциално уравнение от трети ред.

Сега нека намерим конкретно решение при посочените условия. За да направите това, заменете техните стойности вместо произволни коефициенти и вземете

.

Ако в допълнение към диференциалното уравнение първоначалното условие е дадено във формата , тогава такава задача се нарича Проблем на Коши . Заменете стойностите и в общото решение на уравнението и намерете стойността на произволна константа Ви след това конкретно решение на уравнението за намерената стойност В. Това е решението на проблема на Коши.

Пример 3.Решете задачата на Коши за диференциалното уравнение от Пример 1, предмет на .

Решение. Нека заместим стойностите от началното условие в общото решение г = 3, х= 1. Получаваме

Записваме решението на проблема на Коши за това диференциално уравнение от първи ред:

Решаването на диференциални уравнения, дори и на най-простите, изисква добри умения за интегриране и производни, включително сложни функции. Това може да се види в следния пример.

Пример 4.Намерете общото решение на диференциалното уравнение.

Решение. Уравнението е написано в такава форма, че можете веднага да интегрирате и двете страни.

.

Прилагаме метода на интегриране чрез промяна на променливата (заместване). Нека бъде тогава.

Задължително да се вземе dxи сега - внимание - правим това според правилата за диференциране на сложна функция, тъй като хи има сложна функция ("ябълка" - екстракт корен квадратенили, което е едно и също - повдигане на степен "половин", а "кайма" е самият израз под корена):

Намираме интеграла:

Връщане към променливата х, получаваме:

.

Това е общото решение на това диференциално уравнение от първа степен.

При решаването на диференциални уравнения ще са необходими не само умения от предишни раздели на висшата математика, но и умения от началната, тоест училищна математика. Както вече беше споменато, в диференциално уравнение от всякакъв ред може да няма независима променлива, т.е. променлива х. Знанията за пропорциите от училище, които не са забравени (но в зависимост от кого) от училище, ще помогнат за решаването на този проблем. Това е следващият пример.

Диференциални уравнения (DE). Тези две думи обикновено ужасяват обикновения човек. Диференциалните уравнения изглеждат нещо непосилно и трудно за овладяване за много ученици. Уууууу... диференциални уравнения, как да преживея всичко това?!

Това мнение и това отношение е коренно погрешно, защото в действителност ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ – ПРОСТО Е И ДОРИ ЗАБАВНО. Какво трябва да знаете и да можете, за да се научите да решавате диференциални уравнения? За да изучавате успешно дифузи, трябва да сте добри в интегрирането и диференцирането. Колкото по-добре се изучават темите Производна на функция на една променливаи Неопределен интеграл, толкова по-лесно ще бъде разбирането на диференциалните уравнения. Ще кажа повече, ако имате повече или по-малко прилични умения за интеграция, тогава темата е почти овладяна! Колкото повече интеграли различни видовезнаете как да решите - толкова по-добре. защо Защото ще трябва да интегрирате много. И разграничете. Също така силно препоръчвамнаучете се да намирате производна на функция, зададена имплицитно.

В 95% от случаите в тестовеИма 3 вида диференциални уравнения от първи ред: уравнения с разделими променливи, които ще разгледаме в този урок; хомогенни уравненияи линейни нееднородни уравнения. За тези, които започват да изучават дифузори, ви съветвам да прочетете уроците в този ред. Има още по-редки видове диференциални уравнения: уравнения в общи диференциали, Уравнения на Бернулии някои други. Най-важният от последните два вида са уравненията в общите диференциали, тъй като в допълнение към това диференциално уравнение считам нов материал– частна интеграция.

Първо, нека си припомним обичайните уравнения. Те съдържат променливи и числа. Най-простият пример: . Какво означава да решиш обикновено уравнение? Това означава намиране набор от числа, които удовлетворяват това уравнение. Лесно се забелязва, че уравнението на децата има един корен: . Просто за забавление, нека проверим и заместим намерения корен в нашето уравнение:

– получено е правилното равенство, което означава, че решението е намерено правилно.

Дифузорите са проектирани почти по същия начин!

Диференциално уравнение първа поръчка, съдържа:
1) независима променлива;
2) зависима променлива (функция);
3) първата производна на функцията: .

В някои случаи уравнението от първи ред може да не съдържа "x" и/или "y" - важнода отидете в контролната зала бешепърва производна и нямашепроизводни от по-високи разряди – и др.

Какво означава?Решаването на диференциално уравнение означава намиране много функции, които удовлетворяват това уравнение. Този набор от функции се нарича общо решение на диференциалното уравнение.

Пример 1

Решете диференциално уравнение

Пълни боеприпаси. Откъде да започна решаването на всяко диференциално уравнение от първи ред?

Първо, трябва да пренапишете производната в малко по-различна форма. Нека си припомним тромавата нотация за производната: . Това обозначение за производно вероятно е изглеждало смешно и ненужно на много от вас, но това е правилото в дифузьорите!

И така, на първия етап пренаписваме производната във формата, от която се нуждаем:

На втория етап Винагида видим дали е възможно отделни променливи?Какво означава да се разделят променливите? Грубо казано, от лявата странатрябва да си тръгваме само "гърци", А от дясната странаорганизирам само "Х". Разделянето на променливите се извършва с помощта на „училищни“ манипулации: поставянето им извън скоби, прехвърляне на термини от част към част с промяна на знака, прехвърляне на фактори от част към част според правилото за пропорцията и др.

Диференциали и са пълни умножители и активни участници във военните действия. В разглеждания пример променливите лесно се разделят чрез подхвърляне на факторите според правилото за пропорцията:

Променливите са разделени. От лявата страна има само "Y", от дясната страна - само "X".

Следващият етап е интегриране на диференциално уравнение. Просто е, поставяме интеграли от двете страни:

Разбира се, трябва да вземем интеграли. IN в този случайте са таблични:

Както си спомняме, константа се приписва на всяка антипроизводна. Тук има два интеграла, но е достатъчно да напишете константата веднъж. Почти винаги се определя от дясната страна.

Строго погледнато, след като се вземат интегралите, диференциалното уравнение се счита за решено. Единственото нещо е, че нашето "y" не се изразява чрез "x", тоест решението е представено в имплицитноформа. Решението на диференциално уравнение в неявна форма се нарича общ интеграл на диференциалното уравнение. Тоест това е общ интеграл.

Сега трябва да се опитаме да намерим общо решение, тоест да се опитаме да представим функцията изрично.

Моля, запомнете първата техника, тя е много разпространена и често се използва в практически задачи. Когато след интегриране от дясната страна се появи логаритъм, почти винаги е препоръчително да напишете константата също под логаритъма.

т.е. вместозаписите обикновено са писмени .

Тук това е същата пълноценна константа като . Защо е необходимо това? И за да се улесни изразяването на „играта“. Използваме училищното свойство на логаритмите: . В този случай:

Вече могат да се използват логаритми и модули чиста съвестпремахнете от двете части:

Функцията е представена изрично. Това е общото решение.

Много функции е общо решение на диференциално уравнение.

Даване на константа различни значения, можете да получите безкрайно много частни решениядиференциално уравнение. Всяка от функциите , и т.н. ще задоволи диференциалното уравнение.

Понякога се извиква общото решение семейство от функции. IN в този примеробщо решение е семейство от линейни функции или по-точно семейство от права пропорционалност.

Много диференциални уравнения са доста лесни за тестване. Това се прави много просто, вземаме намереното решение и намираме производната:

Заменяме нашето решение и намерената производна в оригиналното уравнение:

– получено е правилното равенство, което означава, че решението е намерено правилно. С други думи, общото решение удовлетворява уравнението.

След задълбочен преглед на първия пример е подходящо да отговорите на няколко наивни въпроса относно диференциалните уравнения.

1)В този пример успяхме да разделим променливите: . Може ли това винаги да се прави?Не, не винаги. И още по-често променливите не могат да бъдат разделени. Например в хомогенни уравнения от първи ред, първо трябва да го смените. В други видове уравнения, напр. в линейно нехомогенно уравнение от първи ред, трябва да се използва различни техникии методи за намиране на общо решение. Уравненията с разделими променливи, които разглеждаме в първия урок, са най-простият тип диференциални уравнения.

2) Винаги ли е възможно да се интегрира диференциално уравнение?Не, не винаги. Много е лесно да се измисли „фантастично“ уравнение, което не може да бъде интегрирано; освен това има интеграли, които не могат да бъдат взети. Но такива DE могат да бъдат решени приблизително с помощта на специални методи. Гаранция на Д'Аламбер и Коши. ...уф, lurkmore.ru Току-що прочетох много.

3) В този пример получихме решение под формата на общ интеграл . Винаги ли е възможно да се намери общо решение от общ интеграл, тоест да се изрази изрично „y“?Не, не винаги. Например: . Е, как ще изразиш тук "гръцки"?! В такива случаи отговорът трябва да се запише като общ интеграл. Освен това понякога е възможно да се намери общо решение, но то е написано толкова тромаво и тромаво, че е по-добре да оставим отговора под формата на общ интеграл

Няма да бързаме. Друго просто дистанционно управление и друго типично решение.

Пример 2

Намерете конкретно решение на диференциалното уравнение, което удовлетворява началното условие

Според условието трябва да намерите частно решение DE, удовлетворяващ началното условие. Тази постановка на въпроса се нарича още Проблем на Коши.

Първо намираме общо решение. В уравнението няма променлива "x", но това не трябва да обърква, основното е, че има първата производна.

Пренаписваме производната в в правилната форма:

Очевидно променливите могат да бъдат разделени, момчета отляво, момичета отдясно:

Нека интегрираме уравнението:

Получава се общият интеграл. Тук нарисувах константа със звездичка, факт е, че много скоро тя ще се превърне в друга константа.

Сега се опитваме да трансформираме общия интеграл в общо решение (изразете изрично „y“). Да си припомним добрите стари неща от училище: . В този случай:

Константата в индикатора изглежда някак некошерна, така че обикновено се сваля на земята. В детайли така става. Използвайки свойството на степените, пренаписваме функцията, както следва:

Ако е константа, тогава е и някаква константа, която обозначаваме с буквата:

Не забравяйте, че „пренасяте“ константата, това е втората техника, която често се използва при решаване на диференциални уравнения.

И така, общото решение е: . Това е хубаво семейство от експоненциални функции.

На последния етап трябва да намерите конкретно решение, което да отговаря на даденото начално условие. Това също е просто.

Каква е задачата? Трябва да вземете такивастойността на константа, така че определеното начално условие да е изпълнено.

Може да се форматира по различни начини, но това вероятно ще бъде най-ясният начин. В общото решение вместо „X“ заместваме нула, а вместо „Y“ заместваме две:



т.е.

Стандартна версия на дизайна:

Заместваме намерената стойност на константата в общото решение:
– това е конкретното решение, от което се нуждаем.

Да проверим. Проверката на частно решение включва два етапа.

Първо трябва да проверите дали конкретното намерено решение наистина удовлетворява първоначалното условие? Вместо „X“ заместваме нула и вижте какво се случва:
- да, наистина е получена двойка, което означава, че първоначалното условие е изпълнено.

Вторият етап вече е познат. Взимаме полученото конкретно решение и намираме производната:

Заместваме в оригиналното уравнение:

– получава се правилното равенство.

Заключение: конкретното решение е намерено правилно.

Да преминем към по-смислени примери.

Пример 3

Решете диференциално уравнение

Решение:Пренаписваме производната във формата, от която се нуждаем:

Оценяваме дали е възможно да разделим променливите? може. Преместваме втория член от дясната страна с промяна на знака:

И прехвърляме множителите според правилото на пропорцията:

Променливите са разделени, нека интегрираме двете части:

Трябва да ви предупредя, че денят на страшния съд наближава. Ако не сте учили добре неопределени интеграли, са решили няколко примера, тогава няма къде да отидете - ще трябва да ги усвоите сега.

Интегралът на лявата страна е лесен за намиране; ние работим с интеграла на котангенса, използвайки стандартната техника, която разгледахме в урока Интеграция тригонометрични функции миналата година:

От дясната страна имаме логаритъм, според първата ми техническа препоръка, в този случай константата също трябва да бъде записана под логаритъма.

Сега се опитваме да опростим общия интеграл. Тъй като имаме само логаритми, е напълно възможно (и необходимо) да се отървем от тях. Ние „опаковаме“ логаритмите колкото е възможно повече. Опаковането се извършва с помощта на три свойства:

Моля, препишете тези три формули във вашия работна книга, при решаване на дифузори те се използват много често.

Ще опиша решението много подробно:

Опаковането е завършено, премахнете логаритмите:

Може ли да се изрази „игра“? може. Необходимо е да квадратирате и двете части. Но не е нужно да правите това.

трето технически съвети: Ако за получаване на общо решение е необходимо да се повиши на степен или да се вкоренят, тогава в повечето случаитрябва да се въздържате от тези действия и да оставите отговора под формата на общ интеграл. Факт е, че общото решение ще изглежда претенциозно и ужасно - с големи корени, знаци.

Затова записваме отговора под формата на общ интеграл. По добър начинСмята се, че представя общия интеграл във формата , тоест от дясната страна, ако е възможно, оставете само константа. Не е необходимо да правите това, но винаги е полезно да угодите на професора ;-)

отговор:общ интеграл:

Забележка:Общият интеграл на всяко уравнение може да бъде записан по повече от един начин. Следователно, ако вашият резултат не съвпада с предварително известен отговор, това не означава, че сте решили уравнението неправилно.

Общият интеграл също е доста лесен за проверка, основното е да можете да намерите производни на функция, зададена имплицитно. Нека разграничим отговора:

Умножаваме двата члена по:

И разделете на:

Оригиналното диференциално уравнение е получено точно, което означава, че общият интеграл е намерен правилно.

Пример 4

Намерете конкретно решение на диференциалното уравнение, което удовлетворява началното условие. Извършете проверка.

Това е пример за независимо решение. Позволете ми да ви напомня, че проблемът на Коши се състои от два етапа:
1) Намиране на общо решение.
2) Намиране на конкретно решение.

Проверката също се извършва на два етапа (вижте също Пример 2), трябва да:
1) Уверете се, че конкретното намерено решение наистина удовлетворява първоначалното условие.
2) Проверете дали конкретното решение като цяло удовлетворява диференциалното уравнение.

Пълно решение и отговор в края на урока.

Пример 5

Намерете конкретно решение на диференциалното уравнение , отговарящи на началното условие. Извършете проверка.

Решение:Първо, нека намерим общо решение. Това уравнение вече съдържа готови диференциали и следователно решението е опростено. Разделяме променливите:

Нека интегрираме уравнението:

Интегралът отляво е табличен, интегралът отдясно е взет метод за поставяне на функция под диференциалния знак:

Общият интеграл е получен; възможно ли е да се изрази успешно общото решение? може. Ние окачваме логаритми:

(Надявам се всички да разберат трансформацията, такива неща вече трябва да се знаят)

И така, общото решение е:

Нека намерим конкретно решение, отговарящо на даденото начално условие. В общото решение вместо „X“ заместваме нулата, а вместо „Y“ заместваме логаритъма от две:

По-познат дизайн:

Заместваме намерената стойност на константата в общото решение.

отговор:лично решение:

Проверка: Първо, нека проверим дали е изпълнено първоначалното условие:
- всичко жужи.

Сега нека проверим дали намереното конкретно решение изобщо удовлетворява диференциалното уравнение. Намиране на производната:

Нека да разгледаме оригиналното уравнение: – представя се в диференциали. Има два начина за проверка. Възможно е да се изрази диференциала от намерената производна:

Нека заместим намереното конкретно решение и получения диференциал в първоначалното уравнение :

Използваме основната логаритмична идентичност:

Получава се правилното равенство, което означава, че конкретното решение е намерено правилно.

Вторият метод за проверка е огледален и по-познат: от уравнението Нека изразим производната, за да направим това, разделяме всички части на:

И в преобразуваното DE заместваме полученото частично решение и намерената производна. В резултат на опростявания трябва да се получи и правилното равенство.

Пример 6

Решете диференциално уравнение. Представете отговора под формата на общ интеграл.

Това е пример, който можете да решите сами, пълно решение и отговор в края на урока.

Какви трудности чакат при решаването на диференциални уравнения с разделими променливи?

1) Не винаги е очевидно (особено за чайник), че променливите могат да бъдат разделени. Нека помислим условен пример: . Тук трябва да извадите факторите от скоби: и да разделите корените: . Ясно е какво да правим по-нататък.

2) Трудности със самата интеграция. Интегралите често не са най-простите и ако има недостатъци в уменията за намиране неопределен интеграл, тогава ще е трудно с много дифузори. В допълнение, логиката „тъй като диференциалното уравнение е просто, нека интегралите да бъдат по-сложни“ е популярна сред съставителите на колекции и ръководства за обучение.

3) Трансформации с константа. Както всички са забелязали, можете да правите почти всичко с константа в диференциалните уравнения. И такива трансформации не винаги са разбираеми за начинаещ. Нека да разгледаме друг условен пример: . Препоръчително е да умножите всички членове в него по 2: . Получената константа също е някакъв вид константа, която може да бъде означена с: . Да, и тъй като от дясната страна има логаритъм, тогава е препоръчително да пренапишете константата под формата на друга константа: .

Проблемът е, че те често не се занимават с индекси и използват една и съща буква. И в резултат на това записът на решението приема следната форма:

Какво по дяволите е това? Има и грешки. Формално, да. Но неофициално - няма грешка, разбира се, че при преобразуване на константа все пак се получава някаква друга константа.

Или този пример, да предположим, че в хода на решаването на уравнението се получава общ интеграл. Този отговор изглежда грозен, така че е препоръчително да промените знаците на всички фактори: . Формално според записа пак има грешка, трябваше да се запише. Но неофициално се разбира, че това все още е някаква друга константа (нещо повече, тя може да приеме всякаква стойност), така че промяната на знака на константа няма смисъл и можете да използвате същата буква.

Ще се опитам да избегна невнимателен подход и все пак да сложа различни индексипри преобразуването им.

Пример 7

Решете диференциално уравнение. Извършете проверка.

Решение:Това уравнение позволява разделяне на променливи. Разделяме променливите:

Нека интегрираме:

Не е необходимо да дефинирате константата тук като логаритъм, тъй като нищо полезно няма да излезе от това.

отговор:общ интеграл:

Проверка: Разграничете отговора (имплицитна функция):

Отърваваме се от дроби, като умножим двата члена по:

Получено е оригиналното диференциално уравнение, което означава, че общият интеграл е намерен правилно.

Пример 8

Намерете конкретно решение на DE.
,

Това е пример, който можете да решите сами. Единственият коментар е, че тук получавате общ интеграл и, по-правилно казано, трябва да се опитате да намерите не конкретно решение, а частичен интеграл. Пълно решение и отговор в края на урока.

Както вече беше отбелязано, в дифузи с разделими променливи често се появяват не най-простите интеграли. И ето още няколко такива примера, които можете да решите сами. Препоръчвам на всички да решат примери № 9-10, независимо от нивото на подготовка, това ще им позволи да актуализират уменията си за намиране на интеграли или да попълнят пропуските в знанията.

Пример 9

Решете диференциално уравнение

Пример 10

Решете диференциално уравнение

Не забравяйте, че има повече от един начин да напишете общ интеграл и вашите отговори може да изглеждат различно. външен видмоите отговори. Кратко решение и отговори в края на урока.

Честита промоция!

Пример 4:Решение: Нека намерим общо решение. Разделяме променливите:


Нека интегрираме:



Общият интеграл е получен; опитваме се да го опростим. Нека опаковаме логаритми и да се отървем от тях:

I. Обикновени диференциални уравнения

1.1. Основни понятия и определения

Диференциалното уравнение е уравнение, което свързва независима променлива х, необходимата функция ги неговите производни или диференциали.

Символично диференциалното уравнение се записва по следния начин:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

Диференциалното уравнение се нарича обикновено, ако търсената функция зависи от една независима променлива.

Решаване на диференциално уравнениесе нарича функция, която превръща това уравнение в идентичност.

Редът на диференциалното уравнениее порядъкът на най-високата производна, включена в това уравнение

Примери.

1. Разгледайте диференциално уравнение от първи ред

Решението на това уравнение е функцията y = 5 ln x. Наистина, заместване y"в уравнението, получаваме идентичността.

И това означава, че функцията y = 5 ln x– е решение на това диференциално уравнение.

2. Разгледайте диференциалното уравнение от втори ред y" - 5y" +6y = 0. Функцията е решението на това уравнение.

Наистина,.

Замествайки тези изрази в уравнението, получаваме: , – идентичност.

И това означава, че функцията е решението на това диференциално уравнение.

Интегриране на диференциални уравненияе процес на намиране на решения на диференциални уравнения.

Общо решение на диференциалното уравнениенаречена функция на формата , което включва толкова независими произволни константи, колкото е редът на уравнението.

Частично решение на диференциалното уравнениее решение, получено от общо решение за различни числени стойности на произволни константи. Стойностите на произволни константи се намират при определени начални стойности на аргумента и функцията.

Графиката на конкретно решение на диференциално уравнение се нарича интегрална крива.

Примери

1. Намерете конкретно решение на диференциално уравнение от първи ред

xdx + ydy = 0, Ако г= 4 at х = 3.

Решение. Интегрирайки двете страни на уравнението, получаваме

Коментирайте. Произволна константа C, получена в резултат на интегриране, може да бъде представена във всяка форма, удобна за по-нататъшни трансформации. В този случай, като се вземе предвид каноничното уравнение на кръг, е удобно да се представи произволна константа C във формата.

- общо решение на диференциалното уравнение.

Частно решение на уравнението, удовлетворяващо началните условия г = 4 at х = 3 се намира от общото чрез заместване на началните условия в общото решение: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

Замествайки C=5 в общото решение, получаваме x 2 + y 2 = 5 2 .

Това е конкретно решение на диференциално уравнение, получено от общо решение при дадени начални условия.

2. Намерете общото решение на диференциалното уравнение

Решението на това уравнение е всяка функция от формата , където C е произволна константа. Действително, замествайки , в уравненията, получаваме: , .

Следователно това диференциално уравнение има безкраен брой решения, тъй като за различни стойности на константата C равенството определя различни решения на уравнението.

Например чрез директно заместване можете да проверите дали функциите са решения на уравнението.

Задача, в която трябва да намерите определено решение на уравнението y" = f(x,y)удовлетворяващи първоначалното условие y(x 0) = y 0, се нарича проблем на Коши.

Решаване на уравнението y" = f(x,y), отговарящи на първоначалното условие, y(x 0) = y 0, се нарича решение на задачата на Коши.

Решението на проблема на Коши има прост геометричен смисъл. Всъщност, според тези дефиниции, решете проблема на Коши y" = f(x,y)предвид това y(x 0) = y 0, означава да се намери интегралната крива на уравнението y" = f(x,y)който преминава през тази точка M 0 (x 0,y 0).

II. Диференциални уравнения от първи ред

2.1. Основни понятия

Диференциалното уравнение от първи ред е уравнение на формата F(x,y,y") = 0.

Диференциалното уравнение от първи ред включва първата производна и не включва производни от по-висок ред.

Уравнение y" = f(x,y)се нарича уравнение от първи ред, решено по отношение на производната.

Общото решение на диференциално уравнение от първи ред е функция от формата , която съдържа една произволна константа.

Пример.Разгледайте диференциално уравнение от първи ред.

Решението на това уравнение е функцията.

Наистина, замествайки това уравнение с неговата стойност, получаваме

това е 3x=3x

Следователно функцията е общо решение на уравнението за всяка константа C.

Намерете конкретно решение на това уравнение, което удовлетворява началното условие y(1)=1Заместване на началните условия x = 1, y = 1в общото решение на уравнението, получаваме откъде C=0.

Така получаваме конкретно решение от общото, като заместваме в това уравнение получената стойност C=0– частно решение.

2.2. Диференциални уравнения с разделими променливи

Диференциално уравнение с разделими променливи е уравнение от формата: y"=f(x)g(y)или чрез диференциали, където f(x)и g(y)– определени функции.

За тези г, за които , уравнението y"=f(x)g(y)е еквивалентно на уравнението, в която променливата гприсъства само от лявата страна, а променливата x е само от дясната страна. Те казват, „в ур. y"=f(x)g(yНека разделим променливите."

Уравнение на формата наречено уравнение с отделена променлива.

Интегриране на двете страни на уравнението от х, получаваме G(y) = F(x) + Cе общото решение на уравнението, където G(y)и F(x)– някои антипроизводни, съответно на функции и f(x), Впроизволна константа.

Алгоритъм за решаване на диференциално уравнение от първи ред с разделими променливи

Пример 1

Решете уравнението y" = xy

Решение. Производна на функция y"заменете го с

нека разделим променливите

Нека интегрираме двете страни на равенството:

Пример 2

2yy" = 1- 3x 2, Ако y 0 = 3при х 0 = 1

Това е уравнение с отделена променлива. Нека си го представим в диференциали. За да направим това, пренаписваме това уравнение във формата Оттук

Интегрирайки двете страни на последното равенство, намираме

Заместване на първоначалните стойности x 0 = 1, y 0 = 3ще намерим СЪС 9=1-1+В, т.е. С = 9.

Следователно исканият частичен интеграл ще бъде или

Пример 3

Напишете уравнение за крива, минаваща през точка M(2;-3)и имаща тангенс с ъглов коефициент

Решение. Според състоянието

Това е уравнение с разделими променливи. Разделяйки променливите, получаваме:

Интегрирайки двете страни на уравнението, получаваме:

Използвайки началните условия, х = 2и y = - 3ще намерим В:

Следователно търсеното уравнение има вида

2.3. Линейни диференциални уравнения от първи ред

Линейно диференциално уравнение от първи ред е уравнение от формата y" = f(x)y + g(x)

Къде f(x)и g(x)- някои определени функции.

Ако g(x)=0тогава линейното диференциално уравнение се нарича хомогенно и има формата: y" = f(x)y

Ако тогава уравнението y" = f(x)y + g(x)се нарича хетерогенна.

Общо решение на линейно хомогенно диференциално уравнение y" = f(x)yсе дава по формулата: където СЪС– произволна константа.

По-специално, ако C =0,тогава решението е y = 0Ако е линейно хомогенно уравнениеизглежда като y" = kyКъде ке някаква константа, тогава нейното общо решение има формата: .

Общо решение на линейно нехомогенно диференциално уравнение y" = f(x)y + g(x)се дава по формулата ,

тези. е равно на сумата от общото решение на съответното линейно хомогенно уравнение и частното решение на това уравнение.

За линейно нехомогенно уравнение от вида y" = kx + b,

Къде ки b- някои числа и определено решение ще бъдат постоянна функция. Следователно общото решение има формата .

Пример. Решете уравнението y" + 2y +3 = 0

Решение. Нека представим уравнението във формата y" = -2y - 3Къде k = -2, b = -3Общото решение се дава с формулата.

Следователно, където C е произволна константа.

2.4. Решаване на линейни диференциални уравнения от първи ред по метода на Бернули

Намиране на общо решение на линейно диференциално уравнение от първи ред y" = f(x)y + g(x)свежда до решаване на две диференциални уравнения с разделени променливи чрез заместване y=uv, Къде uи v- неизвестни функции от х. Този метод на решение се нарича метод на Бернули.

Алгоритъм за решаване на линейно диференциално уравнение от първи ред

y" = f(x)y + g(x)

1. Въведете заместване y=uv.

2. Диференцирайте това равенство y" = u"v + uv"

3. Заместник ги y"в това уравнение: u"v + uv" =f(x)uv + g(x)или u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Групирайте членовете на уравнението така, че uизвади го от скоби:

5. От скобата, приравнявайки я на нула, намерете функцията

Това е разделимо уравнение:

Нека разделим променливите и да получим:

Къде . .

6. Заменете получената стойност vв уравнението (от стъпка 4):

и намерете функцията Това е уравнение с разделими променливи:

7. Напишете общото решение във формата: , т.е. .

Пример 1

Намерете конкретно решение на уравнението y" = -2y +3 = 0Ако y =1при х = 0

Решение. Нека го решим чрез заместване y=uv,.y" = u"v + uv"

Заместване ги y"в това уравнение, получаваме

Като групираме втория и третия член от лявата страна на уравнението, премахваме общия множител u извън скоби

Приравняваме израза в скоби към нула и след като решим полученото уравнение, намираме функцията v = v(x)

Получаваме уравнение с разделени променливи. Нека интегрираме двете страни на това уравнение: Намерете функцията v:

Нека заместим получената стойност vв уравнението, което получаваме:

Това е уравнение с отделена променлива. Нека интегрираме двете страни на уравнението: Нека намерим функцията u = u(x,c) Нека намерим общо решение: Нека намерим конкретно решение на уравнението, което удовлетворява началните условия y = 1при х = 0:

III. Диференциални уравнения от по-висок ред

3.1. Основни понятия и определения

Диференциално уравнение от втори ред е уравнение, съдържащо производни от не по-висок от втори ред. В общия случай диференциалното уравнение от втори ред се записва като: F(x,y,y",y") = 0

Общото решение на диференциално уравнение от втори ред е функция от формата , която включва две произволни константи C 1и C 2.

Конкретно решение на диференциално уравнение от втори ред е решение, получено от общо решение за определени стойности на произволни константи C 1и C 2.

3.2. Линейни хомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти.

Линейно хомогенно диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициентинаречено уравнение на формата y" + py" +qy = 0, Къде стри р- постоянни стойности.

Алгоритъм за решаване на хомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти

1. Напишете диференциалното уравнение във формата: y" + py" +qy = 0.

2. Съставете характеристичното му уравнение, като обозначите y"чрез r 2, y"чрез r, гв 1: r 2 + pr + q = 0

Съдържание на статията

ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ.много физични закони, на които са подчинени определени явления, се записват под формата на математическо уравнение, изразяващо определена връзка между някои величини. често ние говорим заотносно връзката между количествата, които се променят с времето, например ефективността на двигателя, измерена чрез разстоянието, което една кола може да измине с един литър гориво, зависи от скоростта на колата. Съответното уравнение съдържа една или повече функции и техните производни и се нарича диференциално уравнение. (Скоростта на промяна на разстоянието във времето се определя от скоростта; следователно скоростта е производна на разстоянието; по същия начин ускорението е производна на скоростта, тъй като ускорението определя скоростта на промяна на скоростта с времето.) Голяма стойност, които диференциалните уравнения имат за математиката и особено за нейните приложения, се обясняват с факта, че изучаването на много физически и технически проблеми се свежда до решаването на такива уравнения. Диференциалните уравнения също играят важна роля в други науки, като биология, икономика и електротехника; всъщност те възникват навсякъде, където има нужда от количествено (числово) описание на явленията (тъй като света около наспромени във времето и условията се променят от едно място на друго).

Примери.

Следните примери осигуряват по-добро разбиране на това как различни проблеми се формулират на езика на диференциалните уравнения.

1) Законът за разпадане на някои радиоактивни вещества е, че скоростта на разпадане е пропорционална на наличното количество от това вещество. Ако х– количеството вещество в определен момент от време t, то този закон може да се запише по следния начин:

Къде dx/дте скоростта на разпадане, и к– някаква положителна константа, характеризираща дадено вещество. (Знакът минус от дясната страна показва това хнамалява с времето; знак плюс, винаги подразбиращ се, когато знакът не е изрично посочен, би означавал това хсе увеличава с времето.)

2) Контейнерът първоначално съдържа 10 kg сол, разтворена в 100 m 3 вода. Ако чиста водаизлива в контейнера със скорост 1 m 3 в минута и се смесва равномерно с разтвора, а полученият разтвор изтича от контейнера със същата скорост, тогава колко сол ще има в контейнера във всеки следващ момент? Ако х– количество сол (в kg) в контейнера наведнъж t, след това по всяко време t 1 m 3 разтвор в контейнера съдържа х/100 кг сол; следователно количеството сол намалява със скорост х/100 кг/мин, или

3) Нека има маси по тялото мокачен от края на пружината, действа възстановяваща сила, пропорционална на количеството напрежение в пружината. Нека х– степента на отклонение на тялото от равновесното положение. След това, според втория закон на Нютон, който гласи, че ускорението (втората производна на хпо време, определено d 2 х/дт 2) пропорционално на силата:

Дясната страна има знак минус, защото възстановяващата сила намалява разтягането на пружината.

4) Законът за охлаждане на тялото гласи, че количеството топлина в тялото намалява пропорционално на разликата в телесната температура и среда. Ако чаша кафе, загрята до температура 90°C, е в стая, където температурата е 20°C, тогава

Къде Т– температура на кафето по време t.

5) Външният министър на държавата Блефуску твърди, че оръжейната програма, приета от Лилипутия, принуждава страната му да увеличи военните разходи колкото е възможно повече. Министърът на външните работи на Лилипутия прави подобни изявления. Получената ситуация (в нейната най-проста интерпретация) може да бъде точно описана с две диференциални уравнения. Нека хи г- разходи за въоръжение на Лилипутия и Блефуску. Ако приемем, че Лилипутия увеличава разходите си за въоръжение със скорост, пропорционална на скоростта на нарастване на разходите за въоръжение на Блефуску и обратно, получаваме:

където са членовете брадваи - отопишете военните разходи на всяка страна, ки лса положителни константи. (Този проблем е формулиран за първи път по този начин през 1939 г. от Л. Ричардсън.)

След като задачата е написана на езика на диференциалните уравнения, трябва да се опитате да ги решите, т.е. намерете количествата, чиито скорости на изменение са включени в уравненията. Понякога решенията се намират под формата на изрични формули, но по-често те могат да бъдат представени само в приблизителна форма или може да се получи качествена информация за тях. Често може да бъде трудно да се определи дали изобщо съществува решение, камо ли да се намери такова. Важен раздел от теорията на диференциалните уравнения се състои от така наречените „теореми за съществуване“, в които се доказва съществуването на решение за един или друг вид диференциално уравнение.

Оригиналната математическа формулировка на физически проблем обикновено съдържа опростяващи предположения; критерият за тяхната разумност може да бъде степента на съответствие на математическото решение с наличните наблюдения.

Решения на диференциални уравнения.

Диференциално уравнение, например dy/dx = х/г, се удовлетворява не от число, а от функция, в този конкретен случай такава, че нейната графика във всяка точка, например в точка с координати (2,3), има допирателна с наклон, равно на отношението на координатите (в нашия пример 2/3). Това е лесно да се провери, ако строите голям бройточки и от всяка отделете къс сегмент със съответния наклон. Решението ще бъде функция, чиято графика докосва всяка своя точка до съответния сегмент. Ако има достатъчно точки и сегменти, тогава можем приблизително да очертаем хода на кривите на решението (на фиг. 1 са показани три такива криви). Има точно една крива на решение, минаваща през всяка точка с г№ 0. Всяко отделно решение се нарича частично решение на диференциално уравнение; ако е възможно да се намери формула, съдържаща всички частни решения (с възможно изключение на няколко специални), тогава те казват, че е получено общо решение. Конкретно решение представлява една функция, докато общо решение представлява цяло семейство от тях. Решаването на диференциално уравнение означава намиране на неговото частно или общо решение. В примера, който разглеждаме, общото решение има формата г 2 – х 2 = c, Къде c– произволен брой; конкретно решение, минаващо през точката (1,1), има формата г = хи се оказва кога c= 0; конкретно решение, минаващо през точка (2,1), има формата г 2 – х 2 = 3. Условието, изискващо кривата на решението да премине, например, през точката (2,1), се нарича начално условие (тъй като определя началната точка на кривата на решението).

Може да се покаже, че в пример (1) общото решение има формата х = ce –кт, Къде c– константа, която може да се определи например чрез посочване на количеството вещество при t= 0. Уравнение от пример (2) – специален случайуравнение от пример (1), съотв к= 1/100. Първоначално състояние х= 10 ат t= 0 дава конкретно решение х = 10д –t/100 . Уравнението от пример (4) има общо решение Т = 70 + ce –кти частно решение 70 + 130 – кт; за определяне на стойността к, необходими са допълнителни данни.

Диференциално уравнение dy/dx = х/гсе нарича уравнение от първи ред, тъй като съдържа първата производна (редът на диференциалното уравнение обикновено се счита за ред на най-високата производна, включена в него). За повечето (макар и не всички) диференциални уравнения от първи вид, които възникват на практика, само една крива на решение минава през всяка точка.

Има няколко важни типа диференциални уравнения от първи ред, които могат да бъдат решени под формата на формули, съдържащи само елементарни функции - степени, експоненти, логаритми, синуси и косинуси и т.н. Такива уравнения включват следното.

Уравнения с разделими променливи.

Уравнения на формата dy/dx = f(х)/ж(г) може да се реши, като се запише в диференциали ж(г)dy = f(х)dxи интегриране на двете части. В най-лошия случай решението може да бъде представено под формата на интеграли от известни функции. Например в случая с уравнението dy/dx = х/гимаме f(х) = х, ж(г) = г. Като го напиша във формата ydy = xdxи интегрирайки, получаваме г 2 = х 2 + c. Уравненията с разделими променливи включват уравнения от примери (1), (2), (4) (те могат да бъдат решени по начина, описан по-горе).

Уравнения в тотални диференциали.

Ако диференциалното уравнение има формата dy/dx = М(х,г)/Н(х,г), Къде Ми Нса две дадени функции, тогава тя може да бъде представена като М(х,г)dx – Н(х,г)dy= 0. Ако лявата странае диференциалът на някаква функция Е(х,г), тогава диференциалното уравнение може да бъде написано като dF(х,г) = 0, което е еквивалентно на уравнението Е(х,г) = конст. По този начин кривите на решението на уравнението са „линиите на постоянни нива“ на функцията или геометричното място на точките, които удовлетворяват уравненията Е(х,г) = c. Уравнение ydy = xdx(Фиг. 1) - с разделими променливи и същото - в общи диференциали: за да се уверим в последното, го записваме във формата ydy – xdx= 0, т.е. d(г 2 – х 2) = 0. Функция Е(х,г) в този случай е равно на (1/2)( г 2 – х 2); Някои от неговите линии на постоянно ниво са показани на фиг. 1.

Линейни уравнения.

Линейните уравнения са уравнения от "първа степен" - неизвестната функция и нейните производни се появяват в такива уравнения само до първа степен. По този начин линейното диференциално уравнение от първи ред има формата dy/dx + стр(х) = р(х), Къде стр(х) И р(х) – функции, които зависят само от х. Неговото решение винаги може да бъде написано с помощта на интеграли на известни функции. Много други видове диференциални уравнения от първи ред се решават с помощта на специални техники.

Уравнения от по-висок ред.

Много диференциални уравнения, с които се сблъскват физиците, са уравнения от втори ред (т.е. уравнения, съдържащи втори производни, например е уравнението на простото хармонично движение от пример (3), md 2 х/дт 2 = –kx. Най-общо казано, можем да очакваме, че уравнение от втори ред има частични решения, които отговарят на две условия; например, може да се изисква кривата на решението да минава през дадена точка в дадена посока. В случаите, когато диференциалното уравнение съдържа някакъв параметър (число, чиято стойност зависи от обстоятелствата), решения от необходимия тип съществуват само ако определени стойноститози параметър. Например, разгледайте уравнението md 2 х/дт 2 = –kxи ние ще поискаме това г(0) = г(1) = 0. Функция ге 0 очевидно е решение, но ако е цяло число, кратно стр, т.е. к = м 2 п 2 стр 2, където пе цяло число, но в действителност само в този случай има други решения, а именно: г= грях npx. Стойностите на параметрите, за които уравнението има специални решения, се наричат ​​характерни или собствени стойности; те играят важна роля в много задачи.

Уравнението на простото хармонично движение е пример за важен клас уравнения, а именно линейни диференциални уравнения с постоянни коефициенти. повече общ пример(също втори ред) – уравнение

Къде аи b– дадени константи, f(х) е дадена функция. Такива уравнения могат да бъдат решени по различни начини, например, използвайки интегралното преобразуване на Лаплас. Същото може да се каже и за линейни уравнения от по-висок ред с постоянни коефициенти. Те също играят важна роля линейни уравненияс променливи коефициенти.

Нелинейни диференциални уравнения.

Уравнения, съдържащи неизвестни функции и техните производни на степени, по-високи от първата или по някакъв по-сложен начин, се наричат ​​нелинейни. IN последните годинипривличат все повече внимание. Факт е, че физическите уравнения обикновено са линейни само до първо приближение; По-нататъшните и по-точни изследвания, като правило, изискват използването на нелинейни уравнения. Освен това много проблеми са нелинейни по природа. Тъй като решенията на нелинейни уравнения често са много сложни и трудни за представяне с прости формули, значителна част съвременна теорияе посветен на качествен анализ на тяхното поведение, т.е. разработването на методи, които позволяват, без да се решава уравнението, да се каже нещо съществено за природата на решенията като цяло: например, че всички те са ограничени, или имат периодичен характер, или зависят по определен начин от коефициентите.

Приблизителните решения на диференциалните уравнения могат да бъдат намерени числено, но това изисква много време. С появата на високоскоростни компютри това време беше значително намалено, което отвори нови възможности за числено решаване на много проблеми, които преди това бяха неразрешими за такова решение.

Теореми за съществуване.

Теорема за съществуване е теорема, която твърди, че при определени условия дадено диференциално уравнение има решение. Има диференциални уравнения, които нямат решения или имат повече от очакваното. Целта на една теорема за съществуване е да ни убеди, че дадено уравнение действително има решение и най-често да ни увери, че то има точно едно решение от търсения тип. Например уравнението, което вече срещнахме dy/dx = –2гима точно едно решение, минаващо през всяка точка от равнината ( х,г), и тъй като вече намерихме едно такова решение, по този начин напълно решихме това уравнение. От друга страна, уравнението ( dy/dx) 2 = 1 – г 2 има много решения. Сред тях има и прави г = 1, г= –1 и криви г= грях( х + c). Решението може да се състои от няколко сегмента от тези прави линии и криви, преминаващи един в друг в точки на контакт (фиг. 2).

Частични диференциални уравнения.

Обикновеното диференциално уравнение е твърдение за производната на неизвестна функция на една променлива. Частично диференциално уравнение съдържа функция на две или повече променливи и производни на тази функция по отношение на поне две различни променливи.

Във физиката примери за такива уравнения са уравнението на Лаплас

X, г) вътре в кръга, ако стойностите uопределени във всяка точка от ограничаващия кръг. Тъй като проблемите с повече от една променлива във физиката са по-скоро правило, отколкото изключение, лесно е да си представим колко обширен е предметът на теорията на частичните диференциални уравнения.

дадени онлайн калкулаторви позволява да решавате диференциални уравнения онлайн. Достатъчно е да въведете вашето уравнение в съответното поле, като обозначите производната на функцията с апостроф и щракнете върху бутона „решаване на уравнение“ и системата, реализирана на базата на популярния уебсайт WolframAlpha, ще ви даде подробности решаване на диференциално уравнениеабсолютно безплатно. Можете също така да дефинирате проблема на Коши, така че от целия набор възможни решенияизберете коефициента, съответстващ на дадените начални условия. Задачата на Коши се въвежда в отделно поле.

Диференциално уравнение

По подразбиране функцията в уравнението ге функция на променлива х. Можете обаче да зададете собствено обозначение за променливата; ако напишете например y(t) в уравнението, калкулаторът автоматично ще го разпознае гима функция от променлива t. С помощта на калкулатор можете решаване на диференциални уравненияот всякаква сложност и тип: хомогенни и нехомогенни, линейни или нелинейни, първи ред или втори и по-високи редове, уравнения с разделими или неразделими променливи и др. Решение разл. уравнението е дадено в аналитична форма, има подробно описание. Диференциалните уравнения са много често срещани във физиката и математиката. Без тяхното изчисление е невъзможно да се решат много проблеми (особено в математическата физика).

Един от етапите на решаване на диференциални уравнения е интегрирането на функции. Съществуват стандартни методи за решаване на диференциални уравнения. Необходимо е да се редуцират уравненията до форма с разделими променливи y и x и отделно да се интегрират разделените функции. За да направите това, понякога трябва да се направи определена подмяна.