Синусът е един от основните тригонометрични функции, чието приложение не се ограничава само до геометрията. Таблиците за изчисляване на тригонометрични функции, като инженерните калкулатори, не винаги са под ръка и понякога е необходимо изчисляването на синуса за решаване на различни проблеми. Като цяло, изчисляването на синуса ще помогне за консолидиране на уменията за рисуване и знанията за тригонометричните идентичности.

Игри с линийка и молив

Проста задача: как да намерите синуса на ъгъл, начертан на хартия? За да решите, ще ви трябва обикновена линийка, триъгълник (или пергел) и молив. Най-простият начин за изчисляване на синуса на ъгъл е да разделите далечния катет на триъгълник с прав ъгъл на дълга страна- хипотенуза. По този начин първо трябва да завършите острия ъгъл до формата на правоъгълен триъгълник, като начертаете линия, перпендикулярна на един от лъчите на произволно разстояние от върха на ъгъла. Ще трябва да поддържаме ъгъл от точно 90 °, за което се нуждаем от чиновнически триъгълник.

Използването на компас е малко по-точно, но ще отнеме повече време. На един от лъчите трябва да маркирате 2 точки на определено разстояние, да коригирате радиуса на компаса, приблизително равно на разстояниемежду точките и начертайте полукръгове с центрове в тези точки, докато се получат пресечните точки на тези линии. Свързвайки пресечните точки на нашите кръгове една с друга, получаваме строг перпендикуляр към лъча на нашия ъгъл; остава само да удължим линията, докато се пресече с друг лъч.

В получения триъгълник трябва да използвате линийка, за да измерите страната срещу ъгъла и дългата страна на един от лъчите. Съотношението на първото измерение към второто ще бъде желаната стойностсинус остър ъгъл.

Намерете синуса за ъгъл, по-голям от 90°

За тъп ъгъл задачата не е много по-трудна. Трябва да начертаем лъч от върха в обратна посока с помощта на линийка, за да образуваме права линия с един от лъчите на ъгъла, който ни интересува. С полученото остър ъгълтрябва да продължи, както е описано по-горе, синусите на съседни ъгли, които заедно образуват обратен ъгъл от 180°, са равни.

Изчисляване на синус с помощта на други тригонометрични функции

Също така, изчисляването на синуса е възможно, ако са известни стойностите на други тригонометрични функции на ъгъла или поне дължините на страните на триъгълника. Тригонометричните идентичности ще ни помогнат с това. Нека да разгледаме общи примери.

Как да намерим синуса с известен косинус на ъгъл? Първата тригонометрична идентичност, основана на Питагоровата теорема, гласи, че сумата от квадратите на синуса и косинуса на един и същ ъгъл е равна на единица.

Как да намерим синуса с известен тангенс на ъгъл? Тангенсът се получава чрез разделяне на далечната страна на близката страна или разделяне на синуса на косинуса. Така синусът ще бъде произведението на косинуса и тангенса, а квадратът на синуса ще бъде квадратът на този продукт. Заменяме квадратния косинус с разликата между единица и квадратния синус според първата тригонометрична идентичност и чрез прости манипулации редуцираме уравнението до изчисляване на квадратния синус през тангенса; съответно, за да изчислите синуса трябва да извлечете корена на получения резултат.

Как да намерим синуса с известен котангенс на ъгъл? Стойността на котангенса може да се изчисли чрез разделяне на дължината на най-близкия до ъгъла крак на дължината на далечния, както и разделяне на косинуса на синуса, т.е. котангенсът е функция, обратна на тангенса относително към числото 1. За да изчислите синуса, можете да изчислите тангенса по формулата tg α = 1 / ctg α и да използвате формулата във втората опция. Можете също да изведете директна формула по аналогия с тангенса, която ще изглежда така.

Как да намерите синуса на трите страни на триъгълник

Има формула за намиране на дължината на неизвестната страна на всеки триъгълник, не само на правоъгълен триъгълник, от две известни страни, като се използва тригонометричната функция на косинуса на противоположния ъгъл. Тя изглежда така.

Отношението на противоположната страна към хипотенузата се нарича синус на остър ъгъл правоъгълен триъгълник.

\sin \alpha = \frac(a)(c)

Косинус на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник

Отношението на съседния катет към хипотенузата се нарича косинус на остър ъгълправоъгълен триъгълник.

\cos \alpha = \frac(b)(c)

Тангенс на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник

Отношението на срещуположната страна към съседната страна се нарича тангенс на остър ъгълправоъгълен триъгълник.

tg \alpha = \frac(a)(b)

Котангенс на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник

Отношението на съседната страна към противоположната страна се нарича котангенс на остър ъгълправоъгълен триъгълник.

ctg \alpha = \frac(b)(a)

Синус на произволен ъгъл

Нарича се ордината на точка от единичната окръжност, на която съответства ъгълът \alpha синус на произволен ъгълвъртене \alpha .

\sin \alpha=y

Косинус на произволен ъгъл

Нарича се абсцисата на точка от единичната окръжност, на която съответства ъгълът \alpha косинус на произволен ъгълвъртене \alpha .

\cos \alpha=x

Тангенс на произволен ъгъл

Отношението на синуса на произволен ъгъл на завъртане \alpha към неговия косинус се нарича тангенс на произволен ъгълвъртене \alpha .

tan \alpha = y_(A)

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

Котангенс на произволен ъгъл

Отношението на косинуса на произволен ъгъл на завъртане \alpha към неговия синус се нарича котангенс на произволен ъгълвъртене \alpha .

ctg\alpha =x_(A)

ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

Пример за намиране на произволен ъгъл

Ако \alpha е някакъв ъгъл AOM, където M е точка от единичната окръжност, тогава

\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).

Например ако \ъгъл AOM = -\frac(\pi)(4), тогава: ординатата на точка M е равна на -\frac(\sqrt(2))(2), абсцисата е равна \frac(\sqrt(2))(2)и следователно

\sin \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);

\cos \left (\frac(\pi)(4) \right)=\frac(\sqrt(2))(2);

tg;

ctg \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-1.

Таблица на стойностите на синусите на косинусите на тангенсите на котангенсите

Стойностите на основните често срещани ъгли са дадени в таблицата:

Една от областите на математиката, с които учениците се борят най-много, е тригонометрията. Не е изненадващо: за да овладеете свободно тази област на знанието, имате нужда от пространствено мислене, способността да намирате синуси, косинуси, тангенси, котангенси с помощта на формули, да опростявате изрази и да можете да използвате числото pi в изчисления. Освен това трябва да можете да използвате тригонометрията, когато доказвате теореми, а това изисква или развита математическа памет, или способност за извеждане на сложни логически вериги.

Произход на тригонометрията

Запознаването с тази наука трябва да започне с дефиницията на синус, косинус и тангенс на ъгъл, но първо трябва да разберете какво прави тригонометрията като цяло.

Исторически основният обект на изследване в този клон на математическата наука са били правоъгълните триъгълници. Наличието на ъгъл от 90 градуса дава възможност да се извършват различни операции, които позволяват да се определят стойностите на всички параметри на въпросната фигура, като се използват две страни и един ъгъл или два ъгъла и една страна. В миналото хората забелязали този модел и започнали активно да го използват в строителството на сгради, навигацията, астрономията и дори в изкуството.

Начален етап

Първоначално хората говореха за връзката между ъглите и страните, използвайки само примера на правоъгълни триъгълници. Тогава бяха открити специални формули, които направиха възможно разширяването на границите на употреба в ежедневиетотози клон на математиката.

Изучаването на тригонометрия в училище днес започва с правоъгълни триъгълници, след което учениците използват придобитите знания по физика и решаване на абстрактни задачи. тригонометрични уравнения, работата с която започва още в гимназията.

Сферична тригонометрия

По-късно, когато науката достигна следващото ниво на развитие, формулите със синус, косинус, тангенс и котангенс започнаха да се използват в сферичната геометрия, където важат различни правила, а сборът от ъглите в триъгълника винаги е повече от 180 градуса. Този участък не се изучава в училище, но е необходимо да се знае за съществуването му най-малкото защото земната повърхност, както и повърхността на всяка друга планета, е изпъкнала, което означава, че всяка повърхностна маркировка ще бъде „дъгообразна“ след три -измерително пространство.

Вземете глобуса и конеца. Прикрепете конеца към произволни две точки на земното кълбо, така че да е опънат. Моля, обърнете внимание - тя е придобила формата на дъга. Сферичната геометрия се занимава с такива форми, които се използват в геодезията, астрономията и други теоретични и приложни области.

Правоъгълен триъгълник

След като научихме малко за начините за използване на тригонометрията, нека се върнем към основната тригонометрия, за да разберем по-нататък какво са синус, косинус, тангенс, какви изчисления могат да се извършват с тяхна помощ и какви формули да използвате.

Първата стъпка е да разберете понятията, свързани с правоъгълен триъгълник. Първо, хипотенузата е страната срещу ъгъла от 90 градуса. Тя е най-дългата. Спомняме си, че според Питагоровата теорема нейната числова стойностравен на корена от сбора на квадратите на другите две страни.

Например, ако двете страни са съответно 3 и 4 сантиметра, дължината на хипотенузата ще бъде 5 сантиметра. Между другото, древните египтяни са знаели за това преди около четири и половина хиляди години.

Двете останали страни, които образуват прав ъгъл, се наричат ​​катети. Освен това трябва да помним, че сумата от ъглите в триъгълник в правоъгълна координатна система е равна на 180 градуса.

Определение

И накрая, с твърдо разбиране на геометричната основа, човек може да се обърне към дефиницията на синус, косинус и тангенс на ъгъл.

Синусът на ъгъл е съотношението на противоположната страна (т.е. страната, разположена срещуположно желан ъгъл) към хипотенузата. Косинусът на ъгъл е отношението на съседната страна към хипотенузата.

Не забравяйте, че нито синус, нито косинус могат да бъдат по-големи от едно! защо Тъй като хипотенузата по подразбиране е най-дългата, независимо колко е дълъг катетът, той ще бъде по-къс от хипотенузата, което означава, че тяхното отношение винаги ще бъде по-малко от едно. Така, ако в отговора си на задача получите синус или косинус със стойност, по-голяма от 1, потърсете грешка в изчисленията или разсъжденията. Този отговор е очевидно неправилен.

И накрая, тангенса на ъгъл е съотношението на срещуположната страна към съседната страна. Разделянето на синуса на косинуса ще даде същия резултат. Вижте: според формулата разделяме дължината на страната на хипотенузата, след това разделяме на дължината на втората страна и умножаваме по хипотенузата. Така получаваме същата връзка като в дефиницията на допирателната.

Котангенсът, съответно, е съотношението на страната, съседна на ъгъла, към противоположната страна. Получаваме същия резултат, като разделим едно на тангенса.

И така, разгледахме дефинициите за това какво са синус, косинус, тангенс и котангенс и можем да преминем към формулите.

Най-простите формули

В тригонометрията не можете без формули - как да намерите синус, косинус, тангенс, котангенс без тях? Но точно това се изисква при решаването на проблеми.

Първата формула, която трябва да знаете, когато започнете да изучавате тригонометрия, гласи, че сборът от квадратите на синуса и косинуса на ъгъл е равен на едно. Тази формула е пряко следствие от Питагоровата теорема, но спестява време, ако трябва да знаете размера на ъгъла, а не на страната.

Много ученици не могат да запомнят втората формула, която също е много популярна при решаването на училищни задачи: сумата от едно и квадрата на тангенса на ъгъл е равна на единица, разделена на квадрата на косинуса на ъгъла. Погледнете по-отблизо: това е същото твърдение като в първата формула, само че двете страни на тъждеството бяха разделени на квадрата на косинуса. Оказва се, че една проста математическа операция прави тригонометричната формула напълно неузнаваема. Запомнете: знаейки какво са синус, косинус, тангенс и котангенс, правилата за трансформация и няколко основни формули, можете по всяко време независимо да извлечете необходимото повече сложни формулина лист хартия.

Формули за двойни ъгли и събиране на аргументи

Още две формули, които трябва да научите, са свързани със стойностите на синуса и косинуса за сбора и разликата на ъглите. Те са представени на фигурата по-долу. Моля, обърнете внимание, че в първия случай синусът и косинусът се умножават и двата пъти, а във втория се добавя произведението по двойки на синус и косинус.

Има и формули, свързани с аргументи с двоен ъгъл. Те са напълно извлечени от предишните - като тренировка се опитайте да ги получите сами, като вземете алфа ъгъла равен на ъгълабета.

И накрая, имайте предвид, че формулите за двоен ъгъл могат да бъдат пренаредени, за да се намали степента на синус, косинус, тангенс алфа.

Теореми

Двете основни теореми в основната тригонометрия са синусовата теорема и косинусовата теорема. С помощта на тези теореми можете лесно да разберете как да намерите синуса, косинуса и тангенса и следователно площта на фигурата и размера на всяка страна и т.н.

Синусовата теорема гласи, че разделянето на дължината на всяка страна на триъгълник на противоположния ъгъл води до същото число. Освен това това число ще бъде равно на два радиуса на описаната окръжност, тоест окръжността, съдържаща всички точки на даден триъгълник.

Косинусовата теорема обобщава Питагоровата теорема, проектирайки я върху всякакви триъгълници. Оказва се, че от сумата на квадратите на двете страни извадете техния продукт, умножен по двойния косинус на съседния ъгъл - получената стойност ще бъде равна на квадрата на третата страна. Така Питагоровата теорема се оказва частен случай на косинусовата теорема.

Грешки от невнимание

Дори да знаете какво са синус, косинус и тангенс, лесно е да направите грешка поради разсеяност или грешка в най-простите изчисления. За да избегнем подобни грешки, нека да разгледаме най-популярните.

Първо, не трябва да преобразувате дроби в десетични, докато не получите крайния резултат - можете да оставите отговора като обикновена дроб, освен ако не е посочено друго в условията. Такава трансформация не може да се нарече грешка, но трябва да се помни, че на всеки етап от проблема могат да се появят нови корени, които според идеята на автора трябва да бъдат намалени. В този случай ще си губите времето за ненужни неща математически операции. Това е особено вярно за стойности като корен от три или корен от две, защото те се намират в проблеми на всяка стъпка. Същото важи и за закръгляването на „грозните“ числа.

Освен това имайте предвид, че косинусовата теорема се прилага за всеки триъгълник, но не и за Питагоровата теорема! Ако по погрешка забравите да извадите два пъти произведението на страните, умножено по косинуса на ъгъла между тях, не само ще получите напълно грешен резултат, но и ще демонстрирате пълна липса на разбиране на темата. Това е по-лошо от грешка по невнимание.

Трето, не бъркайте стойностите за ъгли от 30 и 60 градуса за синуси, косинуси, тангенси, котангенси. Запомнете тези стойности, защото синус от 30 градуса е равен на косинус от 60 и обратно. Лесно е да ги объркате, в резултат на което неизбежно ще получите грешен резултат.

Приложение

Много ученици не бързат да започнат да изучават тригонометрия, защото не разбират нейния практически смисъл. Какво е синус, косинус, тангенс за инженер или астроном? Това са концепции, с които можете да изчислите разстоянието до далечни звезди, да предскажете падането на метеорит или да изпратите изследователска сонда до друга планета. Без тях е невъзможно да се построи сграда, да се проектира автомобил, да се изчисли натоварването върху повърхност или траекторията на обект. И това са само най-очевидните примери! В крайна сметка тригонометрията под една или друга форма се използва навсякъде, от музиката до медицината.

В заключение

Така че вие ​​сте синус, косинус, тангенс. Можете да ги използвате при изчисления и да решавате успешно училищни задачи.

Целият смисъл на тригонометрията се свежда до факта, че с помощта на известните параметри на триъгълник трябва да изчислите неизвестните. Има общо шест параметъра: дължина три странии величина три ъгъла. Единствената разлика в задачите е, че се дават различни входни данни.

Вече знаете как да намерите синус, косинус, тангенс въз основа на известните дължини на катетите или хипотенузата. Тъй като тези термини не означават нищо повече от съотношение, а съотношението е дроб, основната цел на тригонометричен проблем е да се намерят корените на обикновено уравнение или система от уравнения. И тук ще ви помогне обикновената училищна математика.

Инструкции

Първият вариант е класически, използвайки хартия, транспортир и молив (или химикал по дефиниция). ъгълравно на противоположната страна на хипотенузата на правоъгълен триъгълник. Тоест, за да изчислите стойността, трябва да използвате транспортир, за да построите правоъгълен триъгълник, един от ъглите на който е равен на този, чийто синус ви интересува. След това измерете дължината на хипотенузата и противоположния катет и разделете втория на първия с необходимата точност.

Вторият вариант е училище. От училище всеки си спомня „таблиците на Bradis“, съдържащи хиляди тригонометрични стойности от различни ъгли. Можете да търсите както хартиеното издание, така и електронния му аналог в pdf формат – има ги в интернет. След като намерите таблиците, намерете стойността синуснеобходимо ъгълняма да е трудно.

Третият вариант е оптимален. Ако имате достъп, можете да използвате стандартния калкулатор на Windows OS. Трябва да се превключи в разширен режим. За да направите това, в секцията „Преглед“ на менюто изберете „Инженеринг“. Външният вид на калкулатора ще се промени - по-специално ще се появят бутони за изчисляване на тригонометрични функции. Сега въведете стойността ъгъл, чийто синус трябва да изчислите. Можете да направите това или от клавиатурата, или като щракнете върху желаните клавиши на калкулатора с курсора на мишката. Или можете просто да вмъкнете стойността, от която се нуждаете (CTRL + C и CTRL + V). След това изберете единиците, в които трябва да се изчисли - за тригонометричните функции това може да са радиани, градуси или радове. Това става чрез избиране на една от трите стойности на превключвателя, разположени под полето за въвеждане на изчислената стойност. Сега, като щракнете върху бутона с надпис "sin", вие ще получите отговора на вашия въпрос.

Четвъртият вариант е най-модерният. В ерата на интернет има онлайн решения, които предлагат почти всеки възникнал проблем. Онлайн калкулатори на тригонометрични функции с удобен за потребителя интерфейс, по-усъвършенстван функционалностизобщо не мога да го намеря. Най-добрите от тях предлагат да се изчислят не само стойностите на една функция, но и доста сложни изрази от няколко функции.

Функции синуситеи ко синуситепринадлежат към областта на математиката, наречена тригонометрия, поради което самите функции се наричат ​​тригонометрични. Според най-старата дефиниция те изразяват големината на острия ъгъл в правоъгълен триъгълник чрез отношението на дължините на страните му. Изчисляване на стойности синуситеа при сегашното ниво на развитие на електронните технологии – съвсем проста задача.

Ще ви трябва

• Windows калкулатор.

Инструкции

Използвайте за изчисляване синуситеи ъгъл - изчисляването на тригонометрични функции е предвидено в повечето от тях. Като се има предвид наличието на калкулатор в много мобилни телефони, някои китка и други мобилни джаджи, да не говорим за компютри, това е вероятно достъпен начинизчисления синуситеА. Ако решите да използвате компютърен софтуерен калкулатор, потърсете връзка за стартирането му в главното меню на ОС. Ако е Windows, натиснете бутона Win, изберете „Всички програми“ от менюто, отидете в подраздела „Стандартни“ и щракнете върху реда „Калкулатор“. За да отворите достъп до команди за изчисляване на тригонометрични функции в стартираното приложение, натиснете клавишната комбинация Alt + 2.

Ако началната стойност на ъгъла е синуситекоето искате да изчислите е дадено в , уверете се, че до надписа " " в интерфейса на калкулатора

Ако ъгълът на триъгълника е известен, тогава можете да използвате специален справочники вижте синуса на този ъгъл там. Ако ъгълът не е известен, тогава можете да използвате теоремата за синусите. В конкретен случай синусът на ъгъл в правоъгълен триъгълник е равен на отношението на противоположната страна към хипотенузата.

Нека дефинираме какво е синус.

Синусът на ъгъл (sin) в триъгълник е отношението на срещуположната страна към хипотенузата.

Така че намирането на синуса на ъгъл е доста лесно, ако имате стойността на катета и хипотенузата.



За да намерите синуса на ъгъл във всеки триъгълник, трябва да използвате формули. Тази фигура показва основните формули за изчисляване на синуса на ъгъл в триъгълник:



Използвайте тези формули за изчисляване.

Ако големината на ъгъла е неизвестна, тогава това: синусът на ъгъла е равен на съотношението на дължината на страната, противоположна на разглеждания ъгъл, към диаметъра на окръжността, описана около триъгълника. Как да намерите този диаметър? Трябва да намерим центъра на описаната окръжност. За да направите това, начертайте перпендикуляри през средните точки на произволни две страни на триъгълника. Пресечната точка на тези перпендикуляри е центърът на описаната окръжност. Разстоянието от него до всеки връх на триъгълника е радиусът на описаната окръжност.

За да отговорите правилно на този въпрос, трябва да изясните синуса на ъгъла, в който триъгълник трябва да намерите. Ако този триъгълник произволен, тогава можем да направим това само чрез теорема за синусите(вижте изчерпателния отговор на Алекс тук).

Ако трябва да намерите синуса на остър ъгъл в правоъгълентриъгълник, тогава трябва да използвате определението за синус на ъгъл (като съотношение на противоположната страна към хипотенузата). Тогава отговорът ще бъде: синус на ъгъл А = BC/AV,където BC е противоположната страна, AB е хипотенузата.



Добър ден

За да намерите синуса на ъгъл/ъгли на правоъгълен триъгълник, можете да използвате два метода:

• първият от тях е да вземете транспортир и да намерите ъгъла на триъгълника (колко градуса) и след това да използвате таблицата, за да намерите синуса на този ъгъл;
• вторият метод е да се използва формулата за намиране на синуса на ъгъл, който, както знаем, е равен на отношението на противоположната страна към хипотенузата.

Можете да намерите синуса на ъгъл по два начина и да сравните стойностите.

Това е съвсем просто.

Както разбирам, проблемът се свежда до факта, че не знаем ъгъла на триъгълника и трябва да го намерим.

За да намерите синуса на ъгъл и след това самия ъгъл в произволен триъгълник, трябва да знаете дължините на двете страни: страната, противоположна на желания ъгъл, и друга страна, както и размера на ъгъла, противоположен на тази последна страна.

И тогава трябва да приложите теоремата за синусите.

Нека обозначим желания (неизвестен) ъгъл като A, срещуположната страна a, другата позната страна b, известният ъгъл B срещу тази страна.

Според теоремата за синусите: a/sin(A) = b/sin(B).

От тук: sin(A) = a * sin(B)/b;

A = арксина * sin(B)/b.

В случай на правоъгълен триъгълник, задачата за намиране на синуса на който и да е ъгъл се свежда до просто изчисляване на съотношението на противоположния крак на ъгъла към хипотенузата - получената стойност ще бъде синус. В произволен триъгълник намирането на синуса на ъгъл е по-трудно, но също възможно. За да направите това, трябва да знаете поне нещо за параметрите на триъгълника. Например, ако са известни три страни на триъгълник, тогава ъглите се намират с помощта на косинусовата теорема и след това, ако желаете, може лесно да се намери синусът на вече намерения ъгъл.