За да определите площта на триъгълник, можете да използвате различни формули. От всички методи най-лесният и най-често използваният е височината да се умножи по дължината на основата и резултатът да се раздели на две. Този метод обаче далеч не е единственият. По-долу можете да прочетете как да намерите площта на триъгълник с помощта на различни формули.

Отделно ще разгледаме начините за изчисляване на площта на конкретни видове триъгълници - правоъгълни, равнобедрени и равностранни. Придружаваме всяка формула с кратко обяснение, което ще ви помогне да разберете нейната същност.

Универсални методи за намиране на площта на триъгълник

Формулите по-долу използват специална нотация. Ще дешифрираме всеки от тях:

• a, b, c – дължините на трите страни на фигурата, която разглеждаме;
• r е радиусът на окръжността, която може да бъде вписана в нашия триъгълник;
• R е радиусът на окръжността, която може да бъде описана около него;
• α е големината на ъгъла, образуван от страни b и c;
• β е големината на ъгъла между a и c;
• γ е големината на ъгъла, образуван от страни a и b;
• h е височината на нашия триъгълник, спусната от ъгъл α към страна a;
• p – половината от сбора на страни a, b и c.

Логически е ясно защо можете да намерите площта на триъгълник по този начин. Триъгълникът може лесно да бъде завършен в успоредник, в който едната страна на триъгълника ще действа като диагонал. Площта на успоредник се намира чрез умножаване на дължината на една от страните му по стойността на височината, начертана към нея. Диагоналът разделя този условен паралелограм на 2 еднакви триъгълника. Следователно е съвсем очевидно, че площта на нашия оригинален триъгълник трябва да бъде равна на половината от площта на този спомагателен успоредник.

S=½ a b sin γ

Според тази формула площта на триъгълник се намира чрез умножаване на дължините на двете му страни, тоест a и b, по синуса на ъгъла, образуван от тях. Тази формула е логично изведена от предишната. Ако намалим височината от ъгъл β към страна b, тогава според свойствата правоъгълен триъгълник, когато умножим дължината на страната a по синуса на ъгъла γ, получаваме височината на триъгълника, тоест h.

Площта на въпросната фигура се намира чрез умножаване на половината радиус на окръжността, която може да бъде вписана в нея, по нейния периметър. С други думи, намираме произведението на полупериметъра и радиуса на споменатата окръжност.

S= a b c/4R

Според тази формула стойността, от която се нуждаем, може да бъде намерена, като продуктът на страните на фигурата се раздели на 4 радиуса на описаната около нея окръжност.

Тези формули са универсални, тъй като позволяват да се определи площта на всеки триъгълник (мащабен, равнобедрен, равностранен, правоъгълен). Това може да стане с помощта на по-сложни изчисления, на които няма да се спираме подробно.

Площи на триъгълници със специфични свойства

Как да намерите площта на правоъгълен триъгълник? Особеността на тази фигура е, че двете й страни са едновременно нейни височини. Ако a и b са катети и c става хипотенуза, тогава намираме площта по следния начин:

Как да намерите площта на равнобедрен триъгълник? Има две страни с дължина a и една страна с дължина b. Следователно неговата площ може да бъде определена чрез разделяне на 2 на произведението на квадрата на страната a на синуса на ъгъл γ.

Как да намерим площта на равностранен триъгълник? В него дължината на всички страни е равна на a, а големината на всички ъгли е α. Височината му е равна на половината от произведението на дължината на страна a и корен квадратен от 3. За да намерите площта на правилен триъгълник, трябва да умножите квадрата на страна a по корен квадратен от 3 и да разделите на 4.

Понятие за площ

Концепцията за площта на всяка геометрична фигура, по-специално триъгълник, ще бъде свързана с фигура като квадрат. За единица площ на всяка геометрична фигура ще вземем площта на квадрат, чиято страна е равна на едно. За пълнота нека си припомним две основни свойства за понятието области геометрични форми.

Свойство 1:Ако геометричните фигури са равни, то техните повърхнини също са равни.

Свойство 2:Всяка фигура може да бъде разделена на няколко фигури. Освен това площта на оригиналната фигура е равна на сумата от площите на всичките й съставни фигури.

Нека разгледаме един пример.

Пример 1

Очевидно една от страните на триъгълника е диагонал правоъгълник, в която едната страна е с дължина $5$ (тъй като има $5$ клетки), а втората е $6$ (тъй като има $6$ клетки). Следователно площта на този триъгълник ще бъде равна на половината от такъв правоъгълник. Площта на правоъгълника е

Тогава площта на триъгълника е равна на

Отговор: $15$.

След това ще разгледаме няколко метода за намиране на площите на триъгълници, а именно използване на височина и основа, използване Формули на Херони площта на равностранен триъгълник.

Как да намерите площта на триъгълник, като използвате неговата височина и основа

Теорема 1

Площта на триъгълник може да се намери като половината от произведението на дължината на страната и височината на тази страна.

Математически изглежда така

$S=\frac(1)(2)αh$

където $a$ е дължината на страната, $h$ е височината, начертана към нея.

Доказателство.

Да разгледаме триъгълник $ABC$, в който $AC=α$. Към тази страна е начертана височината $BH$, която е равна на $h$. Нека го изградим до квадрата $AXYC$, както е на фигура 2.

Площта на правоъгълника $AXBH$ е $h\cdot AH$, а площта на правоъгълника $HBYC$ е $h\cdot HC$. Тогава

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Следователно необходимата площ на триъгълника, по свойство 2, е равна на

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Теоремата е доказана.

Пример 2

Намерете площта на триъгълника на фигурата по-долу, ако клетката има площ, равна на единица

Основата на този триъгълник е равна на $9$ (тъй като $9$ е $9$ квадратчета). Височината също е $9$. Тогава, съгласно теорема 1, получаваме

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$

Отговор: 40,5$.

Формулата на Херон

Теорема 2

Ако са ни дадени три страни на триъгълник $α$, $β$ и $γ$, тогава неговата площ може да се намери, както следва

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

тук $ρ$ означава полупериметъра на този триъгълник.

Доказателство.

Помислете за следната фигура:

По Питагоровата теорема от триъгълника $ABH$ получаваме

От триъгълника $CBH$, според Питагоровата теорема, имаме

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

От тези две отношения получаваме равенството

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Тъй като $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, тогава $α+β+γ=2ρ$, което означава

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

По теорема 1 получаваме

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Както може би си спомняте от училищна програмаСпоред геометрията триъгълникът е фигура, образувана от три сегмента, свързани с три точки, които не лежат на една и съща права линия. Триъгълникът образува три ъгъла, откъдето идва и името на фигурата. Дефиницията може да е различна. Триъгълник може да се нарече и многоъгълник с три ъгъла, отговорът също ще бъде правилен. Триъгълниците се делят според броя на равните страни и големината на ъглите във фигурите. По този начин триъгълниците се разграничават като равнобедрени, равностранни и мащабни, както и съответно правоъгълни, остри и тъпи.

Има много формули за изчисляване на площта на триъгълник. Изберете как да намерите площта на триъгълник, т.е. Коя формула да използвате зависи от вас. Но си струва да се отбележат само някои от обозначенията, които се използват в много формули за изчисляване на площта на триъгълник. И така, запомнете:

S е площта на триъгълника,

a, b, c са страните на триъгълника,

h е височината на триъгълника,

R е радиусът на описаната окръжност,

p е полупериметърът.

Ето основните обозначения, които могат да ви бъдат полезни, ако напълно сте забравили курса си по геометрия. По-долу са най-разбираемите и неусложнени опции за изчисляване на неизвестната и мистериозна площ на триъгълник. Не е трудно и ще ви бъде полезно както за вашите битови нужди, така и за помощ на вашите деца. Нека си припомним как да изчислим площта на триъгълник възможно най-лесно:

В нашия случай площта на триъгълника е: S = ½ * 2,2 см * 2,5 см = 2,75 кв. см. Не забравяйте, че площта се измерва в квадратни сантиметри (sqcm).

Правоъгълен триъгълник и неговата площ.

Правоъгълният триъгълник е триъгълник, в който единият ъгъл е равен на 90 градуса (оттук се нарича прав). Правият ъгъл се образува от две перпендикулярни прави (в случай на триъгълник, два перпендикулярни сегмента). В правоъгълен триъгълник може да има само един прав ъгъл, защото... сумата от всички ъгли на всеки триъгълник е равна на 180 градуса. Оказва се, че 2 други ъгъла трябва да разделят останалите 90 градуса, например 70 и 20, 45 и 45 и т.н. И така, помните основното, остава само да разберете как да намерите площта на правоъгълен триъгълник. Нека си представим, че имаме такъв правоъгълен триъгълник пред нас и трябва да намерим неговата площ S.

1. Най-простият начин за определяне на площта на правоъгълен триъгълник се изчислява по следната формула:

В нашия случай площта на правоъгълния триъгълник е: S = 2,5 см * 3 см / 2 = 3,75 кв. см.

По принцип вече няма нужда да проверявате площта на триъгълника по други начини, защото Само този ще бъде полезен и ще помогне в ежедневието. Но има и опции за измерване на площта на триъгълник чрез остри ъгли.

2. За други методи на изчисление трябва да имате таблица с косинуси, синуси и тангенси. Преценете сами, ето някои опции за изчисляване на площта на правоъгълен триъгълник, които все още могат да се използват:

Решихме да използваме първата формула и с някои малки петна (начертахме я в тетрадка и използвахме стара линийка и транспортир), но получихме правилното изчисление:

S = (2,5*2,5)/(2*0,9)=(3*3)/(2*1,2). Получихме следните резултати: 3,6=3,7, но като вземем предвид изместването на клетките, можем да простим този нюанс.

Равнобедрен триъгълник и неговата площ.

Ако сте изправени пред задачата да изчислите формулата за равнобедрен триъгълник, тогава най-лесният начин е да използвате основната и това, което се счита за класическа формула за площта на триъгълник.

Но първо, преди да намерим площта на равнобедрен триъгълник, нека разберем какъв вид фигура е това. Равнобедрен триъгълник е триъгълник, в който двете страни имат еднаква дължина. Тези две страни се наричат ​​странични, третата страна се нарича основа. Не бъркайте равнобедрен триъгълник с равностранен триъгълник, т.е. правилен триъгълник с равни три страни. В такъв триъгълник няма специални тенденции към ъглите или по-скоро към техния размер. Ъглите при основата в равнобедрен триъгълник обаче са равни, но различни от ъгъла между равните страни. И така, вече знаете първата и основна формула; остава да разберете какви други формули за определяне на площта на равнобедрен триъгълник са известни:

Триъгълникът е една от най-често срещаните геометрични фигури, с които вече се запознаваме начално училище. Всеки ученик е изправен пред въпроса как да намери площта на триъгълник в уроците по геометрия. И така, какви характеристики за намиране на площта на дадена фигура могат да бъдат идентифицирани? В тази статия ще разгледаме основните формули, необходими за изпълнение на такава задача, както и ще анализираме видовете триъгълници.

Видове триъгълници

Можете да намерите абсолютно площта на триъгълник различни начини, тъй като в геометрията има повече от един вид фигури, съдържащи три ъгъла. Тези видове включват:

• Тъп.
• Равностранен (правилен).
• Правоъгълен триъгълник.
• Равнобедрен.

Нека разгледаме по-подробно всеки от тях съществуващи типоветриъгълници.

Тази геометрична фигура се счита за най-често срещаната при решаването на геометрични задачи. Когато възникне необходимост от начертаване на произволен триъгълник, тази опция идва на помощ.

В остроъгълен триъгълник, както подсказва името, всички ъгли са остри и сборът им е 180°.

Този тип триъгълник също е много разпространен, но е малко по-рядко срещан от остроъгълния. Например, когато решавате триъгълници (т.е. някои от неговите страни и ъгли са известни и трябва да намерите останалите елементи), понякога трябва да определите дали ъгълът е тъп или не. Косинусът е отрицателно число.

B, стойността на един от ъглите надвишава 90 °, така че останалите два ъгъла могат да приемат малки стойности (например 15 ° или дори 3 °).

За да намерите площта на триъгълник от този тип, трябва да знаете някои нюанси, за които ще говорим по-късно.

Правилен и равнобедрен триъгълник

Правилен многоъгълник е фигура, която включва n ъгъла и всички страни и ъгли са равни. Това е правилният триъгълник. Тъй като сборът от всички ъгли на триъгълник е 180°, тогава всеки от трите ъгъла е 60°.

Правилният триъгълник, поради своето свойство, се нарича още равностранна фигура.

Заслужава да се отбележи също, че в правилен триъгълник може да бъде вписан само един кръг и около него може да бъде описан само един кръг, като центровете им са разположени в една и съща точка.

В допълнение към равностранен тип, може да се разграничи и равнобедрен триъгълник, който е малко по-различен от него. В такъв триъгълник две страни и два ъгъла са равни един на друг, а третата страна (към която съседните равни ъгли) е основата.

Фигурата показва равнобедрен триъгълник DEF, чиито ъгли D и F са равни, а DF е основата.

Правоъгълен триъгълник

Правоъгълният триъгълник се нарича така, защото един от ъглите му е прав, тоест равен на 90°. Другите два ъгъла дават сбор от 90°.

Повечето голяма странана такъв триъгълник тази, която лежи срещу ъгъла от 90°, е хипотенузата, докато останалите две страни са катетите. За този тип триъгълник се прилага Питагоровата теорема:

Сборът от квадратите на дължините на катетите е равен на квадрата на дължината на хипотенузата.

Фигурата показва правоъгълен триъгълник BAC с хипотенуза AC и катети AB и BC.

За да намерите площта на триъгълник с прав ъгъл, трябва да знаете числови стойностикраката му.

Нека да преминем към формулите за намиране на площта на дадена фигура.

Основни формули за намиране на площ

В геометрията има две формули, които са подходящи за намиране на площта на повечето видове триъгълници, а именно за остри, тъпи, правилни и равнобедрени триъгълници. Нека разгледаме всеки от тях.

По страна и височина

Тази формула е универсална за намиране на площта на фигурата, която разглеждаме. За да направите това, достатъчно е да знаете дължината на страната и дължината на височината, начертана към нея. Самата формула (половината от произведението на основата и височината) е следната:

където A е страната на даден триъгълник, а H е височината на триъгълника.

Например, за да намерите площта на остър триъгълник ACB, трябва да умножите неговата страна AB по височината CD и да разделите получената стойност на две.

Въпреки това, не винаги е лесно да се намери площта на триъгълник по този начин. Например, за да използвате тази формула за тъп триъгълник, трябва да удължите една от страните му и едва след това да начертаете надморска височина към нея.

На практика тази формула се използва по-често от останалите.

От двете страни и ъгъл

Тази формула, както и предишната, е подходяща за повечето триъгълници и по смисъла си е следствие от формулата за намиране на площта на страната и височината на триъгълник. Тоест въпросната формула лесно може да се изведе от предишната. Формулировката му изглежда така:

S = ½*sinO*A*B,

където A и B са страните на триъгълника, а O е ъгълът между страните A и B.

Нека си припомним, че синусът на ъгъл може да се види в специална таблица, наречена на името на изключителния съветски математик В. М. Брадис.

Сега нека да преминем към други формули, които са подходящи само за изключителни видове триъгълници.

Площ на правоъгълен триъгълник

В допълнение към универсалната формула, която включва необходимостта да се намери надморската височина в триъгълник, площта на триъгълник, съдържащ прав ъгъл, може да се намери от неговите крака.

По този начин площта на триъгълник, съдържащ прав ъгъл, е половината от произведението на краката му или:

където a и b са катетите на правоъгълен триъгълник.

Правилен триъгълник

Този видгеометрични фигури се различава по това, че площта му може да се намери с посочената стойност само на една от страните му (тъй като всички страни на правилния триъгълник са равни). Така че, когато се сблъскате със задачата да „намирате площта на триъгълник, когато страните са равни“, трябва да използвате следната формула:

S = A 2 *√3 / 4,

където А е страната на равностранния триъгълник.

Формулата на Херон

Последният вариант за намиране на площта на триъгълник е формулата на Heron. За да го използвате, трябва да знаете дължините на трите страни на фигурата. Формулата на Heron изглежда така:

S = √p·(p - a)·(p - b)·(p - c),

където a, b и c са страните на даден триъгълник.

Понякога проблемът се дава: „площта на правилен триъгълник е да се намери дължината на страната му“. IN в такъв случайтрябва да използваме формулата, която вече знаем, за намиране на площта на правилен триъгълник и да извлечем от нея стойността на страната (или нейния квадрат):

A 2 = 4S / √3.

Изпитни задачи

В задачите на GIA по математика има много формули. Освен това доста често е необходимо да се намери площта на триъгълник върху карирана хартия.

В този случай е най-удобно да начертаете височината до една от страните на фигурата, да определите нейната дължина от клетките и да използвате универсалната формула за намиране на площта:

Така че, след като изучите формулите, представени в статията, няма да имате проблеми с намирането на площта на триъгълник от всякакъв вид.