Успоредникът е четириъгълник, чиито противоположни страни са успоредни по двойки. Освен това паралелограмът има следните свойства: противоположните страни са равни, противоположните ъгли са равни и сборът от всички ъгли е 360 градуса.

Ще имаш нужда

• Познания по геометрия.

Инструкции

1. Нека си представим, че един от ъглите на успоредника е даден и е равен на A. Нека намерим стойностите на останалите 3. Според свойството на успоредника срещуположните ъгли са равни. Това означава, че ъгълът срещу дадения е равен на дадения и неговата стойност е равна на A.

2. Нека намерим останалите два ъгъла. Тъй като сборът от всички ъгли в успоредник е равен на 360 градуса, а срещуположните ъгли са равни, се оказва, че ъгълът, принадлежащ на същата страна като дадената, е равен на (360 - 2A)/2. Е, или след реформата получаваме 180 - A. Така в успоредника два ъгъла са равни на A, а другите два ъгъла са равни на 180 - A.

Забележка!
Стойността на един ъгъл не може да надвишава 180 градуса. Получените стойности на ъглите могат лесно да бъдат проверени. За целта ги съберете и ако сумата е 360, всичко е изчислено правилно.

Полезен съвет
Правоъгълник и ромб са специални случаи на успоредник; следователно всички свойства и методи за изчисляване на ъгли се прилагат към тях.

Проблем 1. Един от ъглите на успоредника е 65°. Намерете останалите ъгли на успоредника.

∠C =∠A = 65° като противоположни ъгли на успоредник.

∠A +∠B = 180° като ъгли, съседни на едната страна на успоредник.

∠B = 180° - ∠A = 180° - 65° = 115°.

∠D =∠B = 115° като срещуположните ъгли на успоредник.

Отговор: ∠A =∠C = 65°; ∠B =∠D = 115°.

Задача 2.Сборът от два ъгъла на успоредник е 220°. Намерете ъглите на успоредника.

Тъй като успоредникът има 2 равни остри ъгъла и 2 равни тъпи ъгъла, ни е даден сборът от два тъпи ъгъла, т.е. ∠B +∠D = 220°. Тогава ∠B =∠D = 220° : 2 = 110°.

∠A + ∠B = 180° като ъгли, съседни на едната страна на успоредник, така че ∠A = 180° - ∠B = 180° - 110° = 70°. Тогава ∠C =∠A = 70°.

Отговор: ∠A =∠C = 70°; ∠B =∠D = 110°.

Задача 3.Един от ъглите на успоредника е 3 пъти по-голям от другия. Намерете ъглите на успоредника.

Нека ∠A =x. Тогава ∠B = 3x. Знаейки, че сумата от ъглите на успоредник, съседни на една от страните му, е 180°, ще съставим уравнение.

х = 180 : 4;

Получаваме: ∠A = x = 45° и ∠B = 3x = 3 ∙ 45° = 135°.

Противоположните ъгли на успоредник са равни, следователно,

∠A =∠C = 45°; ∠B =∠D = 135°.

Отговор: ∠A =∠C = 45°; ∠B =∠D = 135°.

Задача 4.Докажете, че ако един четириъгълник има две успоредни и равни страни, то този четириъгълник е успоредник.

Доказателство.

Нека начертаем диагонала BD и разгледаме Δ ADB и Δ CBD.

AD = BC по условие. Страната BD е често срещана. ∠1 = ∠2 като вътрешни напречно лежащи с успоредни (по условие) прави AD и BC и секуща BD. Следователно Δ ADB = Δ CBD на двете страни и ъгъла между тях (1-ви признак за равенство на триъгълниците). В еднаквите триъгълници съответните ъгли са равни, което означава ∠3 =∠4. И тези ъгли са вътрешни ъгли, лежащи на кръст с прави AB и CD и секуща BD. Това означава, че правите AB и CD са успоредни. Така в този четириъгълник ABCD противоположните страни са успоредни по двойки, следователно по дефиниция ABCD е успоредник, което трябваше да се докаже.

Задача 5.Двете страни на успоредника са в отношение 2 : 5, а периметърът е 3,5 m. Намерете страните на успоредника.

∙ (AB + AD).

Нека означим една част с x. тогава AB = 2x, AD = 5x метра. Знаейки, че периметърът на успоредника е 3,5 m, създаваме уравнението:

2 ∙ (2x + 5x) = 3,5;

2 ∙ 7x = 3,5;

х = 3,5 : 14;

Една част е 0,25 m, тогава AB = 2 ∙ 0,25 = 0,5 m; AD = 5 ∙ 0,25 = 1,25 m.

Преглед.

Периметър на успоредник P ABCD = 2 ∙ (AB + AD) = 2 ∙ (0,25 + 1,25) = 2 ∙ 1,75 = 3,5 (m).

Тъй като противоположните страни на успоредника са равни, тогава CD = AB = 0,25 m; BC = AD = 1,25м.

Отговор: CD = AB = 0,25 m; BC = AD = 1,25м.

Точно както в евклидовата геометрия точка и права линия са основните елементи на теорията на равнините, така и успоредникът е една от ключовите фигури на изпъкналите четириъгълници. От него, като нишки от топка, текат понятията "правоъгълник", "квадрат", "ромб" и други геометрични величини.

Във връзка с

Дефиниция на успоредник

изпъкнал четириъгълник,състоящ се от сегменти, всяка двойка от които е успоредна, е известен в геометрията като успоредник.

Как изглежда класическият успоредник е изобразен от четириъгълника ABCD. Страните се наричат ​​основи (AB, BC, CD и AD), перпендикулярът, изтеглен от всеки връх към страната, противоположна на този връх, се нарича височина (BE и BF), правите AC и BD се наричат ​​диагонали.

внимание!Квадрат, ромб и правоъгълник са специални случаи на успоредник.

Страни и ъгли: характеристики на връзката

Ключови свойства, като цяло, предопределено от самото обозначение, те се доказват от теоремата. Тези характеристики са както следва:

1. Страните, които са противоположни, са еднакви по двойки.
2. Ъглите един срещу друг са равни по двойки.

Доказателство: Да разгледаме ∆ABC и ∆ADC, които се получават чрез разделяне на четириъгълника ABCD с правата AC. ∠BCA=∠CAD и ∠BAC=∠ACD, тъй като AC е общ за тях ( вертикални ъглиза BC||AD и AB||CD, съответно). От това следва: ∆ABC = ∆ADC (вторият знак за равенство на триъгълниците).

Отсечките AB и BC в ∆ABC съответстват по двойки на правите CD и AD в ∆ADC, което означава, че те са еднакви: AB = CD, BC = AD. Така ∠B съответства на ∠D и те са равни. Тъй като ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, които също са идентични по двойки, тогава ∠A = ∠C. Имотът е доказан.

Характеристики на диагоналите на фигура

Основна характеристикана тези прави на успоредник: точката на пресичане ги разделя наполовина.

Доказателство: Нека i.e е пресечната точка на диагоналите AC и BD на фигурата ABCD. Те образуват два съизмерими триъгълника - ∆ABE и ∆CDE.

AB=CD, тъй като те са противоположни. Според правите и секанса ∠ABE = ∠CDE и ∠BAE = ∠DCE.

По втория критерий за равенство ∆ABE = ∆CDE. Това означава, че елементите ∆ABE и ∆CDE: AE = CE, BE = DE и същевременно са пропорционални части на AC и BD. Имотът е доказан.

Характеристики на съседни ъгли

Съседните страни имат сбор от ъгли, равен на 180°, тъй като те лежат от една и съща страна на успоредни прави и напречна. За четириъгълник ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Свойства на ъглополовящата:

1. , спуснати на една страна, са перпендикулярни;
2. срещуположните върхове имат успоредни ъглополовящи;
3. триъгълникът, получен чрез начертаване на ъглополовяща, ще бъде равнобедрен.

Определяне на характеристиките на успоредник с помощта на теоремата

Характеристиките на тази фигура следват от нейната основна теорема, която гласи следното: четириъгълник се счита за успоредникв случай, че неговите диагонали се пресичат и тази точка ги разделя на равни сегменти.

Доказателство: нека правите AC и BD на четириъгълника ABCD се пресичат в т.е. Тъй като ∠AED = ∠BEC, и AE+CE=AC BE+DE=BD, то ∆AED = ∆BEC (по първия критерий за равенство на триъгълниците). Тоест ∠EAD = ∠ECB. Те са и вътрешните напречни ъгли на секущата AC за прави AD и BC. Така, по дефиниция на паралелизъм - AD || пр.н.е. Подобно свойство на правите BC и CD също е изведено. Теоремата е доказана.

Изчисляване на площта на фигура

Площта на тази фигура открити по няколко методаедин от най-простите: умножаване на височината и основата, към която е начертана.

Доказателство: начертайте перпендикуляри BE и CF от върховете B и C. ∆ABE и ∆DCF са равни, тъй като AB = CD и BE = CF. ABCD е равен по размер на правоъгълника EBCF, тъй като те се състоят от съизмерими фигури: S ABE и S EBCD, както и S DCF и S EBCD. От това следва, че площта на това геометрична фигурае разположен по същия начин като правоъгълник:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

За да определим общата формула за площта на паралелограма, нека обозначим височината като hb, а отстрани - b. Съответно:

Други начини за намиране на площ

Изчисления на площ през страните на успоредника и ъгъла, който образуват, е вторият известен метод.

,

Спр-ма - площ;

a и b са неговите страни

α е ъгълът между сегментите a и b.

Този метод практически се основава на първия, но в случай, че е неизвестен. винаги отрязва правоъгълен триъгълник, чиито параметри се намират чрез тригонометрични идентичности, т.е. Трансформирайки отношението, получаваме . В уравнението на първия метод заместваме височината с този продукт и получаваме доказателство за валидността на тази формула.

През диагоналите на успоредника и ъгъла,които те създават, когато се пресичат, можете също да намерите областта.

Доказателство: AC и BD се пресичат и образуват четири триъгълника: ABE, BEC, CDE и AED. Тяхната сума е равна на площта на този четириъгълник.

Площта на всеки от тези ∆ може да се намери чрез израза , където a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Тъй като , изчисленията използват една синусова стойност. Това е . Тъй като AE+CE=AC= d 1 и BE+DE=BD= d 2, формулата за площ се редуцира до:

.

Приложение във векторната алгебра

Характеристиките на съставните части на този четириъгълник са намерили приложение във векторната алгебра, а именно добавянето на два вектора. Правилото на успоредника гласи това ако са дадени векториИНеса колинеарни, тогава тяхната сума ще бъде равна на диагонала на тази фигура, чиито основи съответстват на тези вектори.

Доказателство: от произволно избрано начало – т.е. - конструиране на вектори и . След това конструираме успоредник OASV, където сегментите OA и OB са страни. По този начин OS лежи върху вектора или сумата.

Формули за изчисляване на параметрите на успоредник

Идентичностите се дават при следните условия:

1. a и b, α - страни и ъгълът между тях;
2. d 1 и d 2, γ - диагонали и в точката на тяхното пресичане;
3. h a и h b - височини, спуснати до страни a и b;

Параметър	Формула
Намиране на страните
по диагоналите и косинуса на ъгъла между тях
по диагонали и страни
през височината и срещуположния връх
Намиране на дължината на диагоналите
отстрани и размера на върха между тях

Паралелограмът е четириъгълник, в който противоположните страни са успоредни по двойки.

Успоредникът има всички свойства на четириъгълниците, но освен това има и свои собствени отличителни черти. Познавайки ги, можем лесно да намерим както страните, така и ъглите на успоредник.

Свойства на успоредник

1. Сборът от ъглите във всеки успоредник, както във всеки четириъгълник, е 360°.
2. Средните линии на успоредник и неговите диагонали се пресичат в една точка и се разделят на две от нея. Тази точка обикновено се нарича център на симетрия на успоредника.
3. Противоположните страни на успоредник винаги са равни.
4. Освен това тази фигура винаги има равни противоположни ъгли.
5. Сборът от ъглите, които са съседни на която и да е от страните на успоредник, винаги е 180°.
6. Сборът от квадратите на диагоналите на успоредника е равен на удвоения сбор от квадратите на двете му съседни страни. Това се изразява с формулата:
   • d 1 2 + d 2 2 = 2 (a 2 + b 2), където d 1 и d 2 са диагонали, a и b са съседни страни.
7. Косинусът на тъпия ъгъл винаги е по-малък от нула.

Как да намерим ъглите на даден успоредник, използвайки тези свойства на практика? И какви други формули могат да ни помогнат за това? Нека разгледаме конкретни задачи, които изискват: намиране на ъглите на успоредник.

Намиране на ъглите на успоредник

Случай 1. Мярката на тъп ъгъл е известна; необходимо е да се намери остър ъгъл.

Пример: В успоредник ABCD ъгъл A е 120°. Намерете мярката на останалите ъгли.

Решение: Използвайки свойство № 5, можем да намерим мярката на ъгъл B, съседен на дадения в задачата ъгъл. Тя ще бъде равна на:

• 180°-120°= 60°

И сега, използвайки свойство № 4, ние определяме, че двата останали ъгъла C и D са противоположни на ъглите, които вече намерихме. Ъгъл C е противоположен на ъгъл A, ъгъл D е противоположен на ъгъл B. Следователно те са равни по двойки.

• Отговор: B = 60°, C = 120°, D=60°

Случай 2. Известни са дължините на страните и диагоналите

В този случай трябва да използваме косинусовата теорема.

Първо можем да използваме формулата, за да изчислим косинуса на ъгъла, от който се нуждаем, и след това да използваме специална таблица, за да намерим на какво е равен самият ъгъл.

За остър ъгълформулата е:

• cosa = (A² + B² - d²) / (2 * A * B), където
• a е желаният остър ъгъл,
• A и B са страните на успоредника,
• d - по-малък диагонал

За тъп ъгъл формулата се променя леко:

• cosß = (A² + B² - D²) / (2 * A * B), където
• ß е тъп ъгъл,
• A и B са страни
• D - голям диагонал

Пример: трябва да намерите остър ъгъл на успоредник, чиито страни са 6 cm и 3 cm, а по-малкият диагонал е 5,2 cm

Заменете стойностите във формулата, за да намерите остър ъгъл:

• cosa = (6 2 + 3 2 - 5,2 2) / (2 * 6 * 3) = (36 + 9 - 27,04) / (2 * 18) = 17,96/36 ~ 18/36 ~1/2
• cosa = 1/2. От таблицата разбираме, че желаният ъгъл е 60°.

Успоредникът е четириъгълник, чиито противоположни страни са успоредни, т.е. лежат на успоредни прави (фиг. 1).

Теорема 1. За свойствата на страните и ъглите на успоредник.В успоредник противоположните страни са равни, противоположните ъгли са равни и сборът от ъглите, съседни на едната страна на успоредника, е 180°.

Доказателство. В този успоредник ABCD начертаваме диагонал AC и получаваме два триъгълника ABC и ADC (фиг. 2).

Тези триъгълници са равни, тъй като ∠ 1 = ∠ 4, ∠ 2 = ∠ 3 (напречни ъгли за успоредни прави), а страната AC е обща. От равенството Δ ABC = Δ ADC следва, че AB = CD, BC = AD, ∠ B = ∠ D. Сумата от ъглите, съседни на едната страна, например ъгли A и D, е равна на 180° като едностранни за успоредни прави. Теоремата е доказана.

Коментирайте. Равенството на противоположните страни на успоредник означава, че сегментите на паралелите, отрязани от успоредни, са равни.

Следствие 1. Ако две прави са успоредни, тогава всички точки на една права са на еднакво разстояние от другата права.

Доказателство. Наистина, нека || b (фиг. 3).

Нека начертаем перпендикуляри BA и CD на права a от някои две точки B и C на права b. Тъй като AB || CD, тогава фигурата ABCD е успоредник и следователно AB = CD.

Разстоянието между две успоредни прави е разстоянието от произволна точка на едната права до другата права.

Според доказаното тя е равна на дължината на перпендикуляра, прекаран от някаква точка на една от успоредните прави към другата права.

Пример 1.Периметърът на успоредника е 122 см. Едната му страна е с 25 см по-голяма от другата.

Решение. Според теорема 1 противоположните страни на успоредник са равни. Нека означим едната страна на успоредника с x, а другата с y. След това, по условие $$\left\(\begin(matrix) 2x + 2y = 122 \\x - y = 25 \end(matrix)\right.$$ Решавайки тази система, получаваме x = 43, y = 18 Така страните на успоредника са 18, 43, 18 и 43 cm.

Пример 2.

Решение. Нека фигура 4 отговаря на условията на задачата.

Нека означим AB с x, а BC с y. Според условието периметърът на успоредника е 10 cm, т.е. 2(x + y) = 10, или x + y = 5. Периметърът на триъгълник ABD е 8 cm И тъй като AB + AD = x + y = 5 след това BD = 8 - 5 = 3. Така че BD = 3 cm.

Пример 3.Намерете ъглите на успоредника, като знаете, че единият от тях е с 50° по-голям от другия.

Решение. Нека фигура 5 отговаря на условията на задачата.

Нека означим градусната мярка на ъгъл A с x. Тогава степенна мяркаъгъл D е равен на x + 50°.

Ъгли BAD и ADC са едностранни вътрешни ъгли с успоредни прави AB и DC и секуща AD. Тогава сумата от тези именувани ъгли ще бъде 180°, т.е.
x + x + 50° = 180°, или x = 65°. Така ∠ A = ∠ C = 65°, a ∠ B = ∠ D = 115°.

Пример 4.Страните на успоредника са 4,5 dm и 1,2 dm. От върха на остър ъгъл е начертана ъглополовяща. На какви части се разделя? голяма странауспоредник?

Решение. Нека фигура 6 отговаря на условията на задачата.

AE е ъглополовяща на остър ъгъл на успоредник. Следователно ∠ 1 = ∠ 2.