Площ на триъгълник - формули и примери за решаване на задачи

По-долу са формули за намиране на площта на произволен триъгълниккоито са подходящи за намиране на площта на всеки триъгълник, независимо от неговите свойства, ъгли или размери. Формулите са представени под формата на картина, с обяснения за тяхното приложение или обосновка за тяхната коректност. Съответствията също са посочени на отделна фигура буквени обозначениявъв формули и графични символина чертежа.

Забележка . Ако триъгълникът има специални свойства(равнобедрен, правоъгълен, равностранен), можете да използвате формулите, дадени по-долу, както и допълнителни специални формули, които са валидни само за триъгълници с тези свойства:

• "Формула за площта на равностранен триъгълник"

Формули за площ на триъгълник

Обяснения към формулите:
a, b, c- дължините на страните на триъгълника, чиято площ искаме да намерим
r- радиус на окръжността, вписана в триъгълника
Р- радиус на окръжността, описана около триъгълника
ч- височина на триъгълника, спуснат настрани
стр- полупериметър на триъгълник, 1/2 от сбора на страните му (периметър)
α - ъгъл срещу страна а на триъгълника
β - ъгъл срещу страна b на триъгълника
γ - ъгъл срещу страната c на триъгълника
ч а, ч b , ч c- височина на триъгълника, спуснат до страни a, b, c

Моля, обърнете внимание, че дадените обозначения съответстват на фигурата по-горе, така че при решаване на реален геометричен проблем ще ви бъде визуално по-лесно да замените правилните стойности на правилните места във формулата.

• Площта на триъгълника е половината от произведението на височината на триъгълника и дължината на страната, с която тази височина е намалена(Формула 1). Правилността на тази формула може да се разбере логично. Височината, спусната до основата, ще раздели произволен триъгълник на два правоъгълни. Ако построите всеки от тях в правоъгълник с размери b и h, тогава очевидно площта на тези триъгълници ще бъде равна на точно половината от площта на правоъгълника (Spr = bh)
• Площта на триъгълника е половината от произведението на двете му страни и синуса на ъгъла между тях(Формула 2) (вижте пример за решаване на задача с помощта на тази формула по-долу). Въпреки факта, че изглежда различен от предишния, той лесно може да се трансформира в него. Ако намалим височината от ъгъл B към страната b, се оказва, че произведението на страната a и синуса на ъгъл γ, според свойствата на синуса в правоъгълен триъгълник, е равно на височината на триъгълника, който начертахме , което ни дава предишната формула
• Може да се намери площта на произволен триъгълник чрез работаполовината от радиуса на вписаната в нея окръжност от сумата от дължините на всичките й страни(Формула 3), просто казано, трябва да умножите полупериметъра на триъгълника по радиуса на вписания кръг (това е по-лесно за запомняне)
• Площта на произволен триъгълник може да се намери, като продуктът на всичките му страни се раздели на 4 радиуса на описаната около него окръжност (Формула 4)
• Формула 5 е намиране на площта на триъгълник чрез дължините на страните му и неговия полупериметър (половината от сбора на всичките му страни)
• Формулата на Херон(6) е представяне на същата формула без използване на концепцията за полупериметър, само чрез дължините на страните
• Площта на произволен триъгълник е равна на произведението на квадрата на страната на триъгълника и синусите на ъглите, съседни на тази страна, разделени на двойния синус на ъгъла, противоположен на тази страна (Формула 7)
• Площта на произволен триъгълник може да се намери като произведение на два квадрата на окръжността, описана около него от синусите на всеки от неговите ъгли. (Формула 8)
• Ако са известни дължината на едната страна и стойностите на два съседни ъгъла, тогава площта на триъгълника може да се намери като квадрат на тази страна, разделен на двойната сума на котангенсите на тези ъгли (Формула 9)
• Ако е известна само дължината на всяка от височините на триъгълника (Формула 10), тогава площта на такъв триъгълник е обратно пропорционална на дължините на тези височини, както според формулата на Херон
• Формула 11 ви позволява да изчислявате площ на триъгълник въз основа на координатите на неговите върхове, които са посочени като (x;y) стойности за всеки от върховете. Моля, имайте предвид, че получената стойност трябва да се вземе по модул, тъй като координатите на отделни (или дори всички) върхове може да са в областта на отрицателните стойности

Забележка. Следват примери за решаване на геометрични задачи за намиране на площта на триъгълник. Ако трябва да решите геометрична задача, която не е подобна тук, пишете за това във форума. В решенията вместо символа " корен квадратен" може да се използва функцията sqrt(), в която sqrt е символът за квадратен корен, а радикалният израз е посочен в скоби.Понякога за прости радикални изрази може да се използва символът √

Задача. Намерете площта на дадените две страни и ъгъла между тях

Страните на триъгълника са 5 и 6 см. Ъгълът между тях е 60 градуса. Намерете площта на триъгълника.

Решение.

За решаването на тази задача използваме формула номер две от теоретичната част на урока.
Площта на триъгълник може да се намери чрез дължините на двете страни и синуса на ъгъла между тях и ще бъде равна на
S=1/2 ab sin γ

Тъй като имаме всички необходими данни за решението (според формулата), можем само да заместим стойностите от условията на задачата във формулата:
S = 1/2 * 5 * 6 * sin 60

В таблицата със стойности тригонометрични функцииНека намерим и заместим стойността на синус 60 градуса в израза. Ще бъде равно на корен от три по две.
S = 15 √3 / 2

отговор: 7,5 √3 (в зависимост от изискванията на учителя, вероятно можете да оставите 15 √3/2)

Задача. Намерете площта на равностранен триъгълник

Намерете лицето на равностранен триъгълник със страна 3 cm.

Разтвор .

Площта на триъгълник може да се намери с помощта на формулата на Heron:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Тъй като a = b = c, формулата за площта на равностранен триъгълник приема формата:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

отговор: 9 √3 / 4.

Задача. Промяна в площта при промяна на дължината на страните

Колко пъти ще се увеличи площта на триъгълника, ако страните се увеличат 4 пъти?

Решение.

Тъй като размерите на страните на триъгълника не са ни известни, за да решим задачата, ще приемем, че дължините на страните са съответно равни произволни числа a, b, c. След това, за да отговорим на въпроса на задачата, ще намерим площта на дадения триъгълник, а след това ще намерим площта на триъгълника, чиито страни са четири пъти по-големи. Отношението на площите на тези триъгълници ще ни даде отговора на задачата.

По-долу предоставяме текстово обяснение на решението на проблема стъпка по стъпка. В самия край обаче същото това решение е представено в по-удобна графична форма. Тези, които се интересуват, могат веднага да преминат към решенията.

За решаване използваме формулата на Heron (вижте по-горе в теоретичната част на урока). Изглежда така:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(вижте първия ред на снимката по-долу)

Дължините на страните на произволен триъгълник се задават от променливите a, b, c.
Ако страните се увеличат 4 пъти, тогава площта на новия триъгълник c ще бъде:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(вижте втория ред на снимката по-долу)

Както можете да видите, 4 е общ множител, който може да бъде изваден от скоби от всичките четири израза според общи правиламатематика.
Тогава

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - на третия ред на картината
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - четвърти ред

Коренът квадратен от числото 256 е идеално извлечен, така че нека го извадим изпод корена
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(вижте петия ред на снимката по-долу)

За да отговорим на въпроса, зададен в задачата, просто трябва да разделим площта на получения триъгълник на площта на първоначалния.
Нека определим съотношенията на площите, като разделим изразите един на друг и намалим получената дроб.

Инструкции

Партитаи ъглите се считат за основни елементи А. Триъгълникът е напълно дефиниран от някой от следните основни елементи: или три страни, или една страна и два ъгъла, или две страни и ъгъл между тях. За съществуване триъгълникдадено от три страни a, b, c, е необходимо и достатъчно да се удовлетворят неравенствата, наречени неравенства триъгълник:
a+b > c,
a+c > b,
b+c > a.

Да строиш триъгълникот три страни a, b, c, е необходимо от точка C на сегмента CB = a да начертаете кръг с радиус b с помощта на компас. След това по същия начин начертайте окръжност от точка B с радиус, равен на страната c. Тяхната пресечна точка А е третият връх на търсеното триъгълник ABC, където AB=c, CB=a, CA=b - страни триъгълник. Задачата е , ако страните a, b, c, отговарят на неравенствата триъгълникпосочени в стъпка 1.

Зона S, изградена по този начин триъгълник ABC с известни партии a, b, c, изчислени по формулата на Heron:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
където a, b, c са страни триъгълник, p – полупериметър.
p = (a+b+c)/2

Ако триъгълникът е равностранен, т.е. всичките му страни са равни (a=b=c).Площ триъгълникизчислено по формулата:
S=(a^2 v3)/4

Ако триъгълникът е правоъгълен, тоест един от ъглите му е равен на 90°, а страните, които го образуват, са катети, третата страна е хипотенузата. IN в този случай квадрате равно на произведението на краката, разделено на две.
S=ab/2

За намиране квадрат триъгълник, можете да използвате една от многото формули. Изберете формула в зависимост от това какви данни вече са известни.

Ще ви трябва

• познаване на формули за намиране на площта на триъгълник

Инструкции

Ако знаете размера на една от страните и стойността на височината, спусната до тази страна от противоположния на нея ъгъл, тогава можете да намерите площта, като използвате следното: S = a*h/2, където S е площта на триъгълника, a е една от страните на триъгълника, а h - височина, към страна a.

Има известен метод за определяне на площта на триъгълник, ако са известни трите му страни. Това е формулата на Heron. За опростяване на записването му е въведена междинна стойност - полупериметър: p = (a+b+c)/2, където a, b, c - . Тогава формулата на Херон е следната: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^½, ^ степенуване.

Да приемем, че знаете една от страните на триъгълник и три ъгъла. Тогава е лесно да се намери площта на триъгълника: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), където β е ъгълът, противоположен на страната a, а α и γ са ъгли, съседни на страната.

Видео по темата

Моля, обърнете внимание

Най-общата формула, която е подходяща за всички случаи, е формулата на Heron.

източници:

Съвет 3: Как да намерите площта на триъгълник въз основа на три страни

Намирането на площта на триъгълник е един от най-често срещаните проблеми в училищната планиметрия. Познаването на трите страни на триъгълника е достатъчно, за да се определи площта на всеки триъгълник. В специални случаи на равностранен триъгълник е достатъчно да се знаят дължините съответно на две и една страна.

Ще ви трябва

• дължини на страни на триъгълници, формула на Херон, косинусова теорема

Инструкции

Формулата на Heron за площта на триъгълник е следната: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Ако напишем полупериметъра p, получаваме: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c )/2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Можете да извлечете формула за площта на триъгълник от съображения, например, като приложите косинусовата теорема.

По косинусовата теорема AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Използвайки въведените обозначения, те също могат да бъдат записани във формата: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Следователно cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

Площта на триъгълник също се намира по формулата S = a*c*sin(ABC)/2, като се използват две страни и ъгълът между тях. Синусът на ъгъл ABC може да бъде изразен чрез него с помощта на основната тригонометрична идентичност: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2). Като заместим синуса във формулата за площта и я изпишем , можете да стигнете до формулата за лицето на триъгълника ABC.

Видео по темата

За извършване ремонтна дейностможе да се наложи измерване квадратстени Това улеснява изчисляването на необходимото количество боя или тапет. За измервания е най-добре да използвате ролетка или измервателна лента. Измерванията трябва да се направят след стенибяха изравнени.

Ще ви трябва

• -рулетка;
• -стълба.

Инструкции

Да брои квадратстени, трябва да знаете точната височина на таваните и също така да измерите дължината по пода. Това се прави по следния начин: вземете сантиметър и го поставете върху перваза. Обикновено един сантиметър не е достатъчен за цялата дължина, така че го закрепете в ъгъла, след което го развийте максимална дължина. В тази точка поставете маркировка с молив, запишете получения резултат и извършете допълнителни измервания по същия начин, като започнете от последната точка на измерване.

Стандартни таванив типичните - 2 метра 80 сантиметра, 3 метра и 3 метра 20 сантиметра, в зависимост от къщата. Ако къщата е построена преди 50-те години, тогава най-вероятно действителната височина е малко по-ниска от посочената. Ако пресмятате квадратза ремонтни дейности, тогава малка доставка няма да навреди - помислете въз основа на стандарта. Ако все още трябва да знаете реална височина- направете измервания. Принципът е подобен на измерването на дължина, но ще ви е необходима стълба.

Умножете получените показатели - това е квадраттвоя стени. Вярно, кога бояджийски работиили за е необходимо да се извади квадратврата и прозоречни отвори. За да направите това, поставете сантиметър по протежение на отвора. Ако ние говорим заотносно вратата, която впоследствие ще смените, след това я преведете с премахнатата рамка на вратата, като се има предвид само квадратдиректно до самия отвор. Площта на прозореца се изчислява по периметъра на рамката му. след квадратизчислени прозорец и врата, извадете резултата от общата получена площ на стаята.

Моля, имайте предвид, че измерването на дължината и ширината на стаята се извършва от двама души, което улеснява фиксирането на сантиметър или рулетка и съответно получаване на по-точен резултат. Направете едно и също измерване няколко пъти, за да сте сигурни, че получените числа са точни.

Видео по темата

Намирането на обема на триъгълник е наистина нетривиална задача. Факт е, че триъгълникът е двуизмерна фигура, т.е. лежи изцяло в една равнина, което означава, че просто няма обем. Разбира се, не можете да намерите нещо, което не съществува. Но да не се отказваме! Можем да приемем следното предположение: обемът на двумерна фигура е нейната площ. Ще търсим площта на триъгълника.

Ще ви трябва

• лист хартия, молив, линийка, калкулатор

Инструкции

Начертайте върху лист хартия с линийка и молив. Като внимателно разгледате триъгълника, можете да се уверите, че той наистина няма триъгълник, тъй като е начертан на равнина. Обозначете страните на триъгълника: нека едната страна е страна "a", другата страна "b", а третата страна "c". Обозначете върховете на триъгълника с буквите "A", "B" и "C".

Измерете всяка страна на триъгълника с линийка и запишете резултата. След това възстановете перпендикуляр на измерената страна от противоположния на него връх, такъв перпендикуляр ще бъде височината на триъгълника. В случая, показан на фигурата, перпендикулярът "h" се възстановява на страна "c" от върха "A". Измерете получената височина с линийка и запишете резултата от измерването.

Може да ви е трудно да възстановите точния перпендикуляр. В този случай трябва да използвате различна формула. Измерете всички страни на триъгълника с линийка. След това изчислете полупериметъра на триъгълника "p", като добавите получените дължини на страните и разделите сбора им наполовина. Имайки на ваше разположение стойността на полупериметъра, можете да използвате формулата на Heron. За да направите това, трябва да вземете корен квадратен от следното: p(p-a)(p-b)(p-c).

имаш необходимата стойностплощта на триъгълника. Проблемът с намирането на обема на триъгълник не е решен, но както беше споменато по-горе, обемът не е решен. Можете да намерите обем, който по същество е триъгълник в триизмерния свят. Ако си представим, че нашият първоначален триъгълник се е превърнал в триизмерна пирамида, тогава обемът на такава пирамида ще бъде произведението на дължината на нейната основа и получената площ на триъгълника.

Моля, обърнете внимание

Колкото по-внимателно измервате, толкова по-точни ще бъдат вашите изчисления.

източници:

• Калкулатор “Всичко към всичко” - портал за референтни стойности
• обем на триъгълника през 2019 г

Трите точки, които еднозначно определят триъгълник в декартовата координатна система, са неговите върхове. Познавайки тяхната позиция спрямо всяка от координатните оси, можете да изчислите всички параметри на това плоска фигура, включително и ограничено от периметъра си квадрат. Това може да стане по няколко начина.

Инструкции

Използвайте формулата на Heron за изчисляване на площта триъгълник. Той включва размерите на трите страни на фигурата, така че започнете изчисленията си с . Дължината на всяка страна трябва да бъде равна на корена от сумата от квадратите на дължините на нейните проекции върху координатни оси. Ако означим координатите A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) и C(X₃,Y3,Z₃), дължините на техните страни могат да бъдат изразени по следния начин: AB = √((X₁- X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √(( X₁-X3)² + (Y₁-Y3)² + (Z1-Z3)²).

За да опростите изчисленията, въведете спомагателна променлива - полупериметър (P). От факта, че това е половината от сбора на дължините на всички страни: P = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁- Z₂)²) + √ ((X₂-X3)² + (Y₂-Y3)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X3)² + (Y₁-Y3)² + (Z₁-Z₃) ²).

В интернет можете да намерите над 10 формули за изчисляване на площта на триъгълник. Много от тях се използват в задачи с известни страни и ъгли на триъгълник. Има обаче редица сложни примери, при които според условията на заданието са известни само една страна и ъгли на триъгълник или радиус на описана или вписана окръжност и още една характеристика. В такива случаи не може да се приложи проста формула.

Формулите, дадени по-долу, ще ви позволят да решите 95 процента от задачите, в които трябва да намерите площта на триъгълник.
Нека да преминем към разглеждане на формулите за обща площ.
Помислете за триъгълника, показан на фигурата по-долу

На фигурата и по-долу във формулите са въведени класическите обозначения на всички негови характеристики
a,b,c – страни на триъгълника,
R – радиус на описаната окръжност,
r – радиус на вписаната окръжност,
h[b],h[a],h[c] – височини, начертани в съответствие със страни a,b,c.
алфа, бета, хама – ъгли в близост до върховете.

Основни формули за площта на триъгълник

1. Площта е равна на половината от произведението на страната на триъгълника и височината, спусната до тази страна. На езика на формулите това определение може да се напише по следния начин

Така, ако страната и височината са известни, тогава всеки ученик ще намери площта.
Между другото, от тази формула може да се извлече една полезна връзка между височините

2. Ако вземем предвид, че височината на триъгълник през съседната страна се изразява чрез зависимостта

След това първата формула за площ е последвана от вторите от същия тип

Погледнете внимателно формулите - те са лесни за запомняне, тъй като работата включва две страни и ъгъла между тях. Ако правилно обозначим страните и ъглите на триъгълника (както на фигурата по-горе), ще получим две страни a,b а ъгълът е свързан с третияС (хамма).

3. За ъглите на триъгълник връзката е вярна

Зависимостта ви позволява да използвате следните формули за площта на триъгълник в изчисленията:

Примерите за тази зависимост са изключително редки, но трябва да запомните, че има такава формула.

4. Ако страната и двата съседни ъгъла са известни, тогава площта се намира по формулата

5. Формулата за площ по отношение на страна и котангенс на съседни ъгли е следната

Чрез пренареждане на индексите можете да получите зависимости за други страни.

6. Формулата за площ по-долу се използва в задачи, когато върховете на триъгълник са посочени в равнината с координати. В този случай площта е равна на половината от детерминантата, взета по модул.

7. Формула на Херонизползвани в примери с известни страни на триъгълник.
Първо намерете полупериметъра на триъгълника

И след това определете площта с помощта на формулата

или

Доста често се използва в кода на калкулаторните програми.

8. Ако всички височини на триъгълника са известни, то площта се определя по формулата

Трудно е да се изчисли с калкулатор, но в пакетите MathCad, Mathematica, Maple площта е "време две".

9. Следните формули използват известните радиуси на вписани и описани окръжности.

По-специално, ако радиусът и страните на триъгълника или неговият периметър са известни, тогава площта се изчислява по формулата

10. В примери, където са дадени страните и радиусът или диаметърът на описаната окръжност, площта се намира по формулата

11. Следната формула определя площта на триъгълник по отношение на страната и ъглите на триъгълника.

И накрая - специални случаи:
Квадрат правоъгълен триъгълник с катети a и b, равни на половината от техния продукт

Формула за площта на равностранен (правилен) триъгълник=

= една четвърт от произведението на квадрата на страната и корен от три.

от противоположен връх) и разделете получения продукт на две. Това изглежда така:

S = ½ * a * h,

където:
S – площта на триъгълника,
a е дължината на неговата страна,
h е височината, спусната до тази страна.

Дължината и височината на страната трябва да бъдат представени в едни и същи мерни единици. В този случай площта на триъгълника ще бъде получена в съответните единици „ “.

Пример.
Върху едната страна на мащабен триъгълник с дължина 20 cm е спуснат перпендикуляр от срещуположния връх с дължина 10 cm.
Изисква се площта на триъгълника.
Решение.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (cm²).

Ако са известни дължините на които и да е две страни на скален триъгълник и ъгълът между тях, използвайте формулата:

S = ½ * a * b * sinγ,

където: a, b са дължините на две произволни страни, а γ е ъгълът между тях.

На практика, например, при измерване на парцели, използването на горните формули понякога е трудно, тъй като изисква допълнително изграждане и измерване на ъгли.

Ако знаете дължините на всичките три страни на скален триъгълник, използвайте формулата на Heron:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

a, b, c – дължини на страните на триъгълника,
p – полупериметър: p = (a+b+c)/2.

Ако в допълнение към дължините на всички страни е известен радиусът на окръжността, вписана в триъгълника, използвайте следната компактна формула:

където: r – радиус на вписаната окръжност (р – полупериметър).

За да изчислите площта на скален триъгълник и дължината на страните му, използвайте формулата:

където: R – радиус на описаната окръжност.

Ако са известни дължината на една от страните на триъгълника и три ъгъла (по принцип са достатъчни два - стойността на третия се изчислява от равенството на сумата от трите ъгъла на триъгълника - 180º), тогава използвайте формулата:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

където α е стойността на ъгъла срещу страната a;
β, γ – стойности на останалите два ъгъла на триъгълника.

Необходимостта от намиране различни елементи, включително области триъгълник, се появява много векове пр.н.е. сред учени астрономи Древна Гърция. Квадрат триъгълникможе да се изчисли по различни начиниизползвайки различни формули. Методът на изчисление зависи от кои елементи триъгълникизвестен.

Инструкции

Ако от условието знаем стойностите на двете страни b, c и образувания от тях ъгъл?, тогава площта триъгълник ABC се намира по формулата:
S = (bcsin?)/2.

Ако от условието знаем стойностите на двете страни a, b и ъгъла, който не е образуван от тях?, тогава площта триъгълник ABC се намира, както следва:
Намиране на ъгъла?, грях? = bsin?/a, след това използвайте таблицата, за да определите самия ъгъл.
Намиране на ъгъл?, ? = 180°-?-?.
Намираме самата площ S = (абсин?)/2.

Ако от условието знаем стойностите само на три страни триъгълник a, b и c, след това площта триъгълник ABC се намира по формулата:
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)), където p е полупериметърът p = (a+b+c)/2

Ако от условията на задачата знаем височината триъгълник h и страната, на която тази височина се спуска, след това площта триъгълник ABC по формулата:
S = ah(a)/2 = bh(b)/2 = ch(c)/2.

Ако знаем значенията на страните триъгълник a, b, c и радиуса, описан за това триъгълник R, тогава площта на това триъгълник ABC се определя по формулата:
S = abc/4R.
Ако са известни три страни a, b, c и радиусът на вписаната, тогава площта триъгълник ABC се намира по формулата:
S = pr, където p е полупериметърът, p = (a+b+c)/2.

Ако ABC е равностранен, тогава площта се намира по формулата:
S = (a^2v3)/4.
Ако триъгълник ABC е равнобедрен, тогава площта се определя по формулата:
S = (cv(4a^2-c^2))/4, където c – триъгълник.
Ако триъгълник ABC е правоъгълен, тогава площта се определя по формулата:
S = ab/2, където a и b са крака триъгълник.
Ако триъгълник ABC е правоъгълен равнобедрен триъгълник, тогава площта се определя по формулата:
S = c^2/4 = a^2/2, където c е хипотенузата триъгълник, a=b – крак.

Видео по темата

източници:

• как да измерите площта на триъгълник

Съвет 3: Как да намерите площта на триъгълник, ако ъгълът е известен

Познаването само на един параметър (ъгълът) не е достатъчно, за да се намери площта тре квадрат . Ако има допълнителни размери, тогава за определяне на площта можете да изберете една от формулите, в които стойността на ъгъла също се използва като една от известните променливи. По-долу са дадени няколко от най-често използваните формули.

Инструкции

Ако освен големината на ъгъла (γ), образуван от двете страни тре квадрат , тогава дължините на тези страни (A и B) също са известни квадрат(S) на фигура може да се дефинира като половината от произведението на дължините на страните и синуса на този известен ъгъл: S=½×A×B×sin(γ).