Назад Напред

внимание! Визуализациите на слайдовете са само за информационни цели и може да не представят всички функции на презентацията. Ако се интересувате от тази работа, моля, изтеглете пълната версия.

Ключови думи:цялостен, криволинеен трапец, площ от фигури, ограничена от лилии

Оборудване: маркерна дъска, компютър, мултимедиен проектор

Тип урок: урок-лекция

Цели на урока:

• образователен:създаване на култура на умствен труд, създаване на ситуация на успех за всеки ученик и създаване на положителна мотивация за учене; развийте способността да говорите и да слушате другите.
• развитие:формиране на независимо мислене на ученика при прилагане на знания в различни ситуации, способност за анализ и изводи, развитие на логиката, развитие на способността за правилно поставяне на въпроси и намиране на отговори на тях. Подобряване на формирането на изчислителни и изчислителни умения, развиване на мисленето на учениците в хода на изпълнение на предложените задачи, развиване на алгоритмична култура.
• образователен: да се формират понятия за криволинеен трапец, за интеграл, да се овладеят умения за изчисляване на площите на равнинни фигури.

Метод на обучение:обяснителни и илюстративни.

Напредък на урока

В предишните класове се научихме да изчисляваме площите на фигури, чиито граници са начупени линии. В математиката има методи, които ви позволяват да изчислявате площите на фигури, ограничени от криви. Такива фигури се наричат ​​криволинейни трапеци и тяхната площ се изчислява с помощта на антипроизводни.

Криволинеен трапец ( слайд 1)

Извит трапец е фигура, ограничена от графиката на функция, ( ш.м.), прав х = аИ x = bи оста x

Различни видове извити трапеци ( слайд 2)

Обмисляме различни видовекриволинейни трапеци и забележете: една от линиите се изражда в точка, ролята на ограничаваща функция се играе от правата

Площ на извит трапец (слайд 3)

Фиксирайте левия край на интервала а,и дясната Xще променим, т.е. преместваме дясната стена на криволинейния трапец и получаваме променяща се фигура. Площта на променлив криволинеен трапец, ограничен от графиката на функцията, е първоизводна Еза функция f

И на сегмента [ а; b] площ на криволинеен трапец, образуван от функцията е,е равно на нарастването на първоизводната на тази функция:

Задача 1:

Намерете площта на криволинейния трапец, ограничен от графиката на функцията: f(x) = x 2и прав y = 0, x = 1, x = 2.

Решение: ( според алгоритъма слайд 3)

Нека начертаем графика на функцията и линии

Да намерим един от антипроизводни функции f(x) = x 2 :

Слайд самопроверка

Интеграл

Да разгледаме криволинейния трапец, определен от функцията fна сегмента [ а; b]. Нека разделим този сегмент на няколко части. Площта на целия трапец ще бъде разделена на сумата от площите на по-малките извити трапеци. ( слайд 5). Всеки такъв трапец може приблизително да се счита за правоъгълник. Сумата от площите на тези правоъгълници дава приблизителна представа за цялата площ на извития трапец. Колкото по-малко разделяме сегмента [ а; b], толкова по-точно изчисляваме площта.

Нека запишем тези аргументи под формата на формули.

Разделете сегмента [ а; b] на n части по точки x 0 = a, x1,…, xn = b.Дължина к- th означават с xk = xk – xk-1. Да направим сума

Геометрично тази сума представлява площта на фигурата, защрихована на фигурата ( ш.м.)

Сумите от формата се наричат ​​интегрални суми за функцията f. (ш.м.)

Интегралните суми дават приблизителна стойност на площта. Точната стойност се получава чрез преминаване към границата. Нека си представим, че прецизираме разделянето на сегмента [ а; b], така че дължините на всички малки сегменти да клонят към нула. Тогава площта на съставената фигура ще се доближи до площта на извития трапец. Можем да кажем, че площта на извит трапец е равна на границата на интегралните суми, наук. (ш.м.)или интегрална, т.е.

определение:

Интеграл на функция f(x)от акъм bнаречена граница на интегралните суми

= (ш.м.)

Формула на Нютон-Лайбниц.

Спомняме си, че границата на интегралните суми е равна на площта на криволинейния трапец, което означава, че можем да напишем:

наук. = (ш.м.)

От друга страна, площта на извит трапец се изчислява по формулата

С к.т. (ш.м.)

Сравнявайки тези формули, получаваме:

Това равенство се нарича формула на Нютон-Лайбниц.

За по-лесно изчисление формулата се записва така:

Задачи: (ш.м.)

1. Изчислете интеграла, като използвате формулата на Нютон-Лайбниц: ( проверете на слайд 5)

2. Съставете интеграли според чертежа ( проверете на слайд 6)

3. Намерете площта на фигурата, ограничена от линиите: y = x 3, y = 0, x = 1, x = 2. ( Слайд 7)

Намиране на площите на равнинни фигури ( слайд 8)

Как да намерите площта на фигури, които не са извити трапеци?

Нека са дадени две функции, чиито графики виждате на слайда . (ш.м.)Намерете площта на защрихованата фигура . (ш.м.). Въпросната фигура извит трапец ли е? Как можете да намерите неговата площ, като използвате свойството за адитивност на площта? Помислете за два извити трапеца и извадете площта на другия от площта на единия от тях ( ш.м.)

Нека създадем алгоритъм за намиране на областта с помощта на анимация на слайд:

1. Графични функции
2. Проектирайте пресечните точки на графиките върху оста x
3. Засенчете фигурата, получена при пресичането на графиките
4. Намерете криволинейни трапеци, чиято пресечна точка или обединение е дадената фигура.
5. Изчислете площта на всеки от тях
6. Намерете разликата или сбора на площите

Устна задача: Как да получите площта на защрихована фигура (кажете с помощта на анимация, слайд 8 и 9)

домашна работа:Разработете бележките, № 353 (а), № 364 (а).

Референции

1. Алгебра и началото на анализа: учебник за 9-11 клас на вечерно (сменно) училище / изд. Г.Д. Глейзър. - М: Просвещение, 1983.
2. Башмаков M.I. Алгебра и началото на анализа: учебник за 10-11 клас на средното училище / Башмаков M.I. - М: Просвещение, 1991.
3. Башмаков M.I. Математика: учебник за институции нач. и сряда проф. образование / M.I. Башмаков. - М: Академия, 2010.
4. Колмогоров A.N. Алгебра и начало на анализа: учебник за 10-11 клас. образователни институции / A.N. Kolmogorov. - М: Образование, 2010.
5. Островски С.Л. Как да направим презентация за урок?/ S.L. Островски. – М.: 1 септември 2010 г.

Задача № 3. Направете чертеж и изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите

Приложение на интеграла за решаване на приложни задачи

Изчисляване на площ

Определеният интеграл на непрекъсната неотрицателна функция f(x) е числено равен наплощта на криволинейния трапец, ограничен от кривата y = f(x), оста O x и правите линии x = a и x = b. В съответствие с това формулата за площ се записва, както следва:

Нека да разгледаме някои примери за изчисляване на площите на равнинни фигури.

Задача № 1. Да се ​​изчисли площта, ограничена от правите y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.

Решение.Нека построим фигура, чиято площ ще трябва да изчислим.

y = x 2 + 1 е парабола, чиито клонове са насочени нагоре и параболата е изместена нагоре с една единица спрямо оста O y (Фигура 1).

Фигура 1. Графика на функцията y = x 2 + 1

Задача № 2. Изчислете площта, ограничена от правите y = x 2 – 1, y = 0 в диапазона от 0 до 1.

Решение.Графиката на тази функция е парабола от клонове, които са насочени нагоре и параболата е изместена спрямо оста O y надолу с една единица (Фигура 2).

Фигура 2. Графика на функцията y = x 2 – 1

Задача № 3. Направете чертеж и изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите

y = 8 + 2x – x 2 и y = 2x – 4.

Решение.Първата от тези две линии е парабола с клони, насочени надолу, тъй като коефициентът на x 2 е отрицателен, а втората линия е права линия, пресичаща двете координатни оси.

За да построим парабола, намираме координатите на нейния връх: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – абсцисата на върха; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 е неговата ордината, N(1;9) е върхът.

Сега нека намерим пресечните точки на параболата и правата, като решим системата от уравнения:

Приравняване на десните страни на уравнение, чиито леви страни са равни.

Получаваме 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 или x 2 – 12 = 0, откъдето .

И така, точките са пресечните точки на парабола и права линия (Фигура 1).

Фигура 3 Графики на функциите y = 8 + 2x – x 2 и y = 2x – 4

Да построим права линия y = 2x – 4. Тя минава през точките (0;-4), (2;0) на координатните оси.

За да конструирате парабола, можете също да използвате нейните пресечни точки с оста 0x, т.е. корените на уравнението 8 + 2x – x 2 = 0 или x 2 – 2x – 8 = 0. Използвайки теоремата на Виета, е лесно за да намерите неговите корени: x 1 = 2, x 2 = 4.

Фигура 3 показва фигура (параболичен сегмент M 1 N M 2), ограничена от тези линии.

Втората част от проблема е да се намери площта на тази фигура. Площта му може да се намери с помощта на определен интегралспоред формулата .

Във връзка с това условие получаваме интеграла:

2 Изчисляване на обема на ротационно тяло

Обемът на тялото, получен от въртенето на кривата y = f(x) около оста O x, се изчислява по формулата:

При завъртане около оста O y формулата изглежда така:

Задача No4. Определете обема на тялото, получено от въртенето на извит трапец, ограничен от прави x = 0 x = 3 и крива y = около оста O x.

Решение.Нека нарисуваме картина (Фигура 4).

Фигура 4. Графика на функцията y =

Необходимият обем е

Задача No5. Изчислете обема на тялото, получено от въртенето на извит трапец, ограничен от кривата y = x 2 и прави линии y = 0 и y = 4 около оста O y.

Решение.Ние имаме:

Въпроси за преглед

Нека разгледаме извит трапец, ограничен от оста Ox, кривата y=f(x) и две прави: x=a и x=b (фиг. 85). Нека вземем произволна стойност на x (само не a и b). Нека да му дадем увеличение h = dx и да разгледаме лента, ограничена от прави линии AB и CD, оста Ox и дъгата BD, принадлежаща на разглежданата крива. Ще наричаме тази лента елементарна лента. Площта на елементарна лента се различава от площта на правоъгълника ACQB от криволинейния триъгълник BQD и площта на последния по-малко площправоъгълник BQDM със страни BQ = =h=dx) QD=Ay и площ, равна на hAy = Ay dx. Когато страната h намалява, страната Du също намалява и едновременно с h клони към нула. Следователно площта на BQDM е безкрайно малка от втори ред. Площта на елементарна лента е нарастването на площта, а площта на правоъгълника ACQB, равна на AB-AC ==/(x) dx> е диференциалът на площта. Следователно намираме самата площ чрез интегриране на нейния диференциал. В рамките на разглежданата фигура независимата променлива l: се променя от a на b, така че търсената площ 5 ще бъде равна на 5= \f(x) dx. (I) Пример 1. Нека изчислим площта, ограничена от параболата y - 1 -x*, правите X =--Fj-, x = 1 и оста O* (фиг. 86). на фиг. 87. Фиг. 86. 1 Тук f(x) = 1 - l?, границите на интегриране са a = - и £ = 1, следователно J [*-t]\- -fl -- Г -1-±Л_ 1V1 -l-l- Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Пример 2. Нека изчислим площта, ограничена от синусоидата y = sinXy, оста Ox и правата (фиг. 87). Прилагайки формула (I), получаваме A 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf Пример 3. Изчислете площта, ограничена от дъгата на синусоидата ^у = sin jc, оградена между две съседни пресечни точки с оста Ox (например между началото и точката с абсцисата i). Имайте предвид, че от геометрични съображения е ясно, че тази област ще бъде два пъти повече площпредишен пример. Нека обаче направим изчисленията: I 5= | s\nxdx= [ - cosх)* - - cos i-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. o Наистина предположението ни се оказа правилно. Пример 4. Изчислете площта, ограничена от синусоидата и оста Ox в един период (фиг. 88). Предварителните изчисления предполагат, че площта ще бъде четири пъти по-голяма, отколкото в пример 2. Въпреки това, след извършване на изчисленията, получаваме “i Г,*i S - \ sin x dx = [ - cos x]0 = = - cos 2l - (-cos 0) = - 1 + 1 = 0. Този резултат изисква пояснение. За да изясним същността на въпроса, ние също изчисляваме площта, ограничена от същата синусоида y = sin l: и оста Ox в диапазона от l до 2i. Прилагайки формула (I), получаваме 2l $2l sin xdx=[ - cosх]l = -cos 2i~)-c05i=- 1-1 =-2. Така виждаме, че тази област се оказа отрицателна. Сравнявайки я с площта, изчислена в упражнение 3, установяваме, че техните абсолютни стойностиса еднакви, но знаците са различни. Ако приложим свойство V (виж Глава XI, § 4), получаваме 2l I 2l J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0Случилото се в този пример не е инцидент. Винаги площта, разположена под оста Ox, при условие че независимата променлива се променя отляво надясно, се получава, когато се изчислява с помощта на интеграли. В този курс винаги ще разглеждаме области без знаци. Следователно отговорът в току-що обсъдения пример ще бъде: необходимата площ е 2 + |-2| = 4. Пример 5. Нека изчислим площта на BAB, показана на фиг. 89. Тази област е ограничена от оста Ox, параболата y = - xr и правата линия y - = -x+\. Площ на криволинеен трапец Необходимата област OAB се състои от две части: OAM и MAV. Тъй като точка A е пресечната точка на парабола и права линия, ще намерим нейните координати, като решим системата от уравнения 3 2 Y = mx. (трябва само да намерим абсцисата на точка А). Решавайки системата, намираме l; = ~. Следователно площта трябва да се изчисли на части, първо квадрат. OAM и след това pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 U 2. Графика на функцията QAM-^x y=x 2 +2 разположен над оста вол , Ето защо:

отговор: С =9 кв. единици

След като задачата е изпълнена, винаги е полезно да погледнете рисунката и да разберете дали отговорът е реален. IN в този случай„на око“ преброяваме броя на клетките в чертежа - добре, ще има около 9, изглежда е вярно. Абсолютно ясно е, че ако получим, да речем, отговора: 20 квадратни единици, то очевидно е, че някъде е допусната грешка - 20 клетки очевидно не се вписват във въпросната цифра, най-много дузина. Ако отговорът е отрицателен, значи и задачата е решена неправилно.

Какво да направите, ако се намира извитият трапец под оста О?

б)Изчислете площта на фигура, ограничена от линии y=-e x , х=1 И координатни оси.

Решение.

Да направим рисунка.

Ако извит трапец напълно разположени под оста о , тогава неговата площ може да се намери с помощта на формулата:

отговор: S=(e-1) кв. единици“ 1,72 кв. единици

внимание! Не трябва да се бъркат двата типа задачи:

1) Ако бъдете помолени да решите просто определен интеграл без никакво геометрично значение, тогава той може да е отрицателен.

2) Ако бъдете помолени да намерите площта на фигура, като използвате определен интеграл, тогава площта винаги е положителна! Ето защо минусът се появява в току-що обсъдената формула.

На практика най-често фигурата е разположена както в горната, така и в долната полуравнина.

с)Намерете площта на равнинна фигура, ограничена от линии y=2x-x 2, y=-x.

Решение.

Първо трябва да завършите чертежа. Най-общо казано, когато конструираме чертеж в задачи с площи, най-много се интересуваме от точките на пресичане на линиите. Нека намерим пресечните точки на параболата и прав Това може да стане по два начина. Първият метод е аналитичен.

Решаваме уравнението:

Това означава, че долната граница на интеграция а=0 , горна граница на интеграция b=3 .

Можете да конструирате линии точка по точка и границите на интеграцията стават ясни „сами по себе си“. Независимо от това, аналитичният метод за намиране на граници все още понякога трябва да се използва, ако например графиката е достатъчно голяма или подробната конструкция не разкрива границите на интегриране (те могат да бъдат дробни или ирационални).

Желаната фигура е ограничена от парабола отгоре и права линия отдолу.

На сегмента , по съответната формула:

отговор: С =4,5 кв. единици