|
Трапецовиден метод
Основна статия:Трапецовиден метод
Ако функцията на всеки от частичните сегменти се апроксимира с права линия, минаваща през крайни стойности, тогава получаваме трапецовиден метод.
Площ на трапеца на всеки сегмент:
Грешка в приближението за всеки сегмент:
 Къде 
Пълна формулатрапец в случай на разделяне на целия интеграционен интервал на сегменти с еднаква дължина:
 Къде
Грешка във формулата на трапец:
 Къде 
Методът на Симпсън.
 Интегранд f(x)заменени интерполационен полиномвтора степен P(x)– парабола, минаваща през три възела, например, както е показано на фигурата ((1) – функция, (2) – полином).
Нека разгледаме две стъпки на интеграция ( ч= const = x i+1 – x i), тоест три възела x 0, x 1, x 2, през която начертаваме парабола, използвайки уравнението на Нютон:
Нека z = x - x 0,
Тогава
Сега, използвайки получената връзка, изчисляваме интеграла върху този интервал:
.
За равномерна мрежаИ четен брой стъпки nФормулата на Симпсън приема формата:
тук  , А  при предположението за непрекъснатост на четвъртата производна на подинтегралната функция.
[редактиране] Повишена точност
Апроксимацията на функция с един полином в целия интервал на интегриране, като правило, води до голяма грешка при оценката на стойността на интеграла.
За да се намали грешката, интеграционният сегмент се разделя на части и се използва числен метод за оценка на интеграла на всяка от тях.
Тъй като броят на дяловете клони към безкрайност, оценката на интеграла клони към истинската му стойност за аналитични функции за всеки числен метод.
Горните методи позволяват проста процедура за намаляване наполовина на стъпката, като всяка стъпка изисква стойностите на функцията да се изчисляват само в новодобавените възли. За оценка на грешката на изчислението се използва правилото на Runge.
Приложение на правилото на Рунге
edit]Оценка на точността на изчисляване на определен интеграл
Интегралът се изчислява по избраната формула (правоъгълници, трапеци, параболи на Симпсън) с брой стъпки, равен на n, и след това с брой стъпки, равен на 2n. Грешката при изчисляване на стойността на интеграла с брой стъпки, равен на 2n, се определя от формулата на Runge:
, за формули на правоъгълници и трапеци и за формула на Симпсън.
По този начин интегралът се изчислява за последователни стойности на броя стъпки, където n 0 е първоначалният брой стъпки. Процесът на изчисление приключва, когато условието е изпълнено за следващата стойност N, където ε е зададената точност.
Характеристики на поведение при грешка.
Изглежда, защо да анализираме различни методиинтеграция, ако можем да постигнем висока точност, просто намалявайки размера на стъпката на интегриране. Въпреки това, разгледайте графиката на поведението на задната грешка Ррезултати от числено изчисление в зависимост от  и от броя пинтервални дялове (т.е. на стъпка . В раздел (1) грешката намалява поради намаляване на стъпка h. Но в раздел (2) изчислителната грешка започва да доминира, натрупвайки се в резултат на множество аритметични операции. Така всяка методът има свой собствен Rmin, което зависи от много фактори, но преди всичко от априорната стойност на грешката на метода Р.
Изясняваща формула на Ромберг.
Методът на Ромберг се състои в последователно прецизиране на стойността на интеграла с многократно увеличаване на броя на дяловете. За основа може да се вземе формулата на трапеца с равномерни стъпки ч.
Нека означим интеграла с броя дялове п= 1 като  .
Намалявайки стъпката наполовина, получаваме  .
Ако последователно намалим стъпката с 2 n пъти, получаваме рекурентна връзка за изчисляване.
Определен интеграл. Примери за решенияЗдравейте отново В този урок ще разгледаме подробно такова прекрасно нещо като определен интеграл. Този път въведението ще бъде кратко. Всички. Защото зад прозореца има снежна буря. За да научите как да решавате определени интеграли, трябва да:
1) Бъдете в състояние намеринеопределени интеграли.
2) Да можеш изчислявамопределен интеграл.
Както можете да видите, за да овладеете определен интеграл, трябва да имате доста добро разбиране на „обикновените“ неопределени интеграли. Ето защо, ако тепърва започвате да се гмуркате в интегралното смятане и чайникът изобщо не е заврял, тогава е по-добре да започнете с урока Неопределен интеграл. Примери за решения.
IN общ изгледопределеният интеграл се записва по следния начин:
Какво се добавя в сравнение с неопределения интеграл? повече граници на интеграция.
Долна граница на интеграция
Горна граница на интеграциястандартно се обозначава с буквата .
Сегментът се нарича сегмент на интеграция.
Преди да стигнем до практически примери, малък често задаван въпрос за определения интеграл.
Какво означава да се реши определен интеграл?Решаването на определен интеграл означава намиране на число.
Как да решим определен интеграл?Използвайки познатата от училище формула на Нютон-Лайбниц:
По-добре е да препишете формулата на отделен лист хартия, тя трябва да е пред очите ви през целия урок.
Стъпките за решаване на определен интеграл са следните:
1) Първо намираме функцията на първообразната производна (неопределен интеграл). Забележете, че константата в определения интеграл не е добавен. Обозначението е чисто техническо и вертикалната пръчка не носи никакво математическо значение, всъщност е просто маркировка. Защо е необходим самият запис? Подготовка за прилагане на формулата на Нютон-Лайбниц.
2) Заместете стойността на горната граница в антипроизводната функция: .
3) Заместете стойността на долната граница в антипроизводната функция: .
4) Изчисляваме (без грешки!) разликата, тоест намираме числото.
Винаги ли съществува определен интеграл?Не, не винаги.
Например интегралът не съществува, тъй като сегментът на интегриране не е включен в областта на дефиниране на интегранта (стойностите под корен квадратенне може да бъде отрицателна). Ето един по-малко очевиден пример: . Такъв интеграл също не съществува, тъй като няма допирателна в точките на сегмента. Между другото, кой още не го е чел? методически материал Графики и основни свойства на елементарни функции– моментът да го направите е сега. Ще бъде чудесно да помогнете в курса на висшата математика.
За това за да съществува определен интеграл изобщо, е достатъчно интеграндът да е непрекъснат в интервала на интегриране.
От горното следва първата важна препоръка: преди да започнете да решавате ВСЕКИ определен интеграл, трябва да се уверите, че интегралната функция е непрекъснат на интервала на интегриране. Когато бях студент, многократно имах инцидент, когато дълго време се борех с намирането на труден първоизводен и когато най-накрая го намерих, си блъсках мозъка над друг въпрос: „Каква глупост се оказа това ?" В опростена версия ситуацията изглежда така:  ???! Не можете да замествате отрицателни числа под корена! Какво по дяволите е това?! Първоначално невнимание.
Ако за решаване (в тестова работа, на тест, изпит) Предлага ви се несъществуващ интеграл като , след което трябва да дадете отговор, че интегралът не съществува и да обосновете защо.
Може ли определеният интеграл да бъде равен на отрицателно число?
може би И отрицателно число. И нула. Може дори да се окаже безкрайност, но вече ще бъде неправилен интеграл, на които се изнася отделна лекция.
Може ли долната граница на интеграция да бъде по-голяма от горната граница на интеграция?Може би тази ситуация наистина се среща на практика.
– интегралът може лесно да се изчисли с помощта на формулата на Нютон-Лайбниц.
За какво е необходима висшата математика? Разбира се, без всякакви имоти. Затова нека разгледаме някои свойства на определения интеграл.
В определен интеграл можете да пренаредите горната и долната граница, като промените знака: 
Например, в определен интеграл, преди интегриране, е препоръчително да промените границите на интегриране в „обичайния“ ред:
 – в тази форма е много по-удобно да се интегрира.
 – това важи не само за две, но и за произволен брой функции.
В определен интеграл може да се извърши замяна на интеграционна променлива, но в сравнение с неопределения интеграл, това има своите специфики, за които ще говорим по-късно.
За определен интеграл е вярно следното: формула за интегриране по части:
Пример 1
Решение:
(1) Изваждаме константата от интегралния знак.
(2) Интегрирайте върху таблицата, като използвате най-популярната формула  . Препоръчително е да отделите възникващата константа от и да я преместите извън скобата. Не е необходимо да правите това, но е препоръчително - защо са допълнителните изчисления?
 . Първо заместваме горната граница, след това долната граница. Извършваме допълнителни изчисления и получаваме окончателния отговор.
Пример 2
Изчислете определен интеграл
Това е пример, който можете да решите сами, решението и отговорът са в края на урока.
Нека усложним малко задачата:
Пример 3
Изчислете определен интеграл
Решение:
(1) Използваме свойствата на линейността на определения интеграл.
(2) Интегрираме според таблицата, като изваждаме всички константи - те няма да участват в заместването на горната и долната граница.
(3) За всеки от трите члена прилагаме формулата на Нютон-Лайбниц:
СЛАБОТО БРЪНКО в определения интеграл са грешките в изчисленията и често срещаното ОБЪРКВАНЕ В ЗНАЦИТЕ. Бъдете внимателни! Специално вниманиеСъсредоточавам се върху третия член:  – първо място в хит парада на грешки поради невнимание, много често пишат автоматично  (особено когато заместването на горната и долната граница се извършва устно и не се изписва толкова подробно). Още веднъж внимателно проучете горния пример.
Трябва да се отбележи, че разглежданият метод за решаване на определен интеграл не е единственият. С известен опит решението може да бъде значително намалено. Например, аз самият съм свикнал да решавам такива интеграли като този:
Тук вербално използвах правилата за линейност и вербално интегрирах с помощта на таблицата. В крайна сметка получих само една скоба с отбелязани граници:  (за разлика от трите скоби в първия метод). И в „цялата“ антипроизводна функция, първо заместих 4, след това –2, като отново извърших всички действия в ума си.
Какви са недостатъците на краткото решение? Всичко тук не е много добро от гледна точка на рационалността на изчисленията, но лично мен не ме интересува - обикновени дробиРазчитам на калкулатор.
Освен това има повишен риск от допускане на грешка в изчисленията, така че е по-добре студентът да използва първия метод; с „моя“ метод за решаване знакът определено ще се загуби някъде.
Въпреки това несъмнени предимстваВторият метод е скоростта на решението, компактността на записа и факта, че първоизводната е в една скоба.
Съвет: преди да използвате формулата на Нютон-Лайбниц, полезно е да проверите дали самата антипроизводна е намерена правилно?
И така, във връзка с разглеждания пример: преди да замените горната и долната граница във функцията на производната, препоръчително е да проверите в черновата дали неопределеният интеграл е намерен правилно? Нека разграничим:
Получена е оригиналната интегрална функция, което означава, че неопределеният интеграл е намерен правилно. Сега можем да приложим формулата на Нютон-Лайбниц.
Такава проверка няма да бъде излишна при изчисляване на всеки определен интеграл.
Пример 4
Изчислете определен интеграл
Това е пример, за да решите сами. Опитайте се да го решите кратко и подробно.
Промяна на променлива в определен интеграл
За определен интеграл са валидни всички видове замествания, както и за неопределения интеграл. Така че, ако не сте много добри със заместванията, трябва внимателно да прочетете урока Метод на заместване в неопределен интеграл.
В този параграф няма нищо страшно или трудно. Новото се крие във въпроса как да промените границите на интеграция при подмяна.
В примери ще се опитам да дам видове заместители, които все още не са намерени никъде в сайта.
Пример 5
Изчислете определен интеграл
Основният въпрос тук изобщо не е за определения интеграл, а за това как правилно да се извърши замяната. Нека да разгледаме таблица на интегралитеи да разберем как най-много изглежда нашата интегрална функция? Очевидно за дългия логаритъм:  . Но има едно несъответствие, в интеграла на таблицата под корена, а в нашия - "x" на четвърта степен. Идеята за заместване също следва от разсъжденията - би било хубаво по някакъв начин да превърнем нашата четвърта мощност в квадрат. Това е реално.
Първо подготвяме нашия интеграл за подмяна:
От горните съображения съвсем естествено възниква замяна:
Така всичко ще е наред в знаменателя: .
Откриваме в какво ще се превърне останалата част от интегранта, за това намираме диференциала:
В сравнение със замяната в неопределения интеграл, добавяме допълнителна стъпка.
Намиране на нови граници на интеграция.
Това е съвсем просто. Нека да разгледаме нашата замяна и старите граници на интеграция, .
Първо, заместваме долната граница на интегриране, тоест нула, в заместващия израз:
След това заместваме горната граница на интегриране в заместващия израз, тоест корен от три:
Готови. И това е просто...
Да продължим с решението.
(1) Според замяната напишете нов интеграл с нови граници на интегриране.
(2) Това е най-простият табличен интеграл, който интегрираме върху таблицата. По-добре е да оставите константата извън скобите (не е нужно да правите това), така че да не пречи на по-нататъшните изчисления. Вдясно начертаваме линия, показваща новите граници на интеграция - това е подготовка за прилагане на формулата на Нютон-Лайбниц.
(3) Използваме формулата на Нютон-Лайбниц  .
Стремим се да напишем отговора колкото е възможно повече. компактна форма, тук използвах свойствата на логаритмите.
Друга разлика от неопределения интеграл е, че след като сме направили заместването, не е необходимо да се извършват обратни замени.
А сега няколко примера за независимо решение. Какви замени да направите - опитайте се да познаете сами.
Пример 6
Изчислете определен интеграл
Пример 7
Изчислете определен интеграл
Това са примери, които можете да решите сами. Решения и отговори в края на урока.
И в края на параграфа важни точки, чийто анализ се появи благодарение на посетителите на сайта. Първият се отнася законност на замяната. В някои случаи не може да се направи!По този начин, пример 6, изглежда, може да бъде решен с помощта на универсално тригонометрично заместване, обаче, горната граница на интеграция ("пи")не са включени в област на дефинициятази допирателна и следователно това заместване е незаконно! по този начин функцията „заместване“ трябва да бъде непрекъсната във всичкиточки на интеграционния сегмент.
В друг имейлвъведени следващ въпрос: „Необходимо ли е да променяме границите на интегриране, когато включим функцията под диференциалния знак?“ Първоначално исках да „отхвърля глупостите“ и автоматично да отговоря „разбира се, че не“, но след това се замислих за причината за такъв въпрос и изведнъж открих, че няма информация
не е достатъчно. Но, макар и очевидно, е много важно:
Ако включим функцията под диференциалния знак, тогава няма нужда да променяме границите на интегриране! защо Защото в този случай няма действителен преход към нова променлива. Например:
И тук сумирането е много по-удобно от академичната замяна с последващо „рисуване” на нови граници на интеграция. по този начин ако определеният интеграл не е много сложен, тогава винаги се опитвайте да поставите функцията под диференциалния знак! Той е по-бърз, по-компактен е и е обичаен - както ще видите десетки пъти!
Благодаря ви много за вашите писма!
Метод на интегриране по части в определен интеграл
Тук има още по-малко новости. Всички изчисления на статията Интегриране по части в неопределен интегралса напълно валидни за определения интеграл.
Има само една подробност, която е плюс, във формулата за интегриране по части се добавят границите на интегриране:
Формулата на Нютон-Лайбниц трябва да се приложи два пъти тук: за произведението и след като вземем интеграла.
За примера отново избрах типа интеграл, който все още не е намерен никъде в сайта. Примерът не е най-простият, но много, много информативен.
Пример 8
Изчислете определен интеграл
Нека решим.
Нека интегрираме по части:
Който се затруднява с интеграла, да погледне урока Интеграли на тригонометрични функции, там е разгледано подробно.
(1) Записваме решението в съответствие с формулата за интегриране по части.
(2) За продукта прилагаме формулата на Нютон-Лайбниц. За останалия интеграл използваме свойствата на линейността, като го разделяме на два интеграла. Не се обърквайте от знаците!
(4) Прилагаме формулата на Нютон-Лайбниц за двете открити първоизводни.
Честно казано, формулата не ми харесва.  и, ако е възможно, ... без него изобщо! Нека разгледаме второто решение; от моя гледна точка то е по-рационално.
Изчислете определен интеграл
На първия етап намирам неопределения интеграл:
Нека интегрираме по части:
Открита е противопроизводната функция. Постоянно в в този случайняма смисъл да добавям.
Какво е предимството на такъв поход? Няма нужда да „разнасяте“ границите на интеграцията; наистина може да бъде изтощително да записвате малките символи на границите на интеграцията десетки пъти
На втория етап проверявам(обикновено в чернова).
Също логично. Ако намерих неправилно функцията за производна, тогава ще реша неправилно определения интеграл. По-добре е да разберете веднага, нека разграничим отговора:
Оригиналната функция на интегранд е получена, което означава, че функцията на първообразната функция е намерена правилно.
Третият етап е прилагането на формулата на Нютон-Лайбниц:
И тук има значителна полза! При „моя“ метод на решение има много по-малък риск от объркване при замествания и изчисления - формулата на Нютон-Лайбниц се прилага само веднъж. Ако чайникът реши подобен интеграл с помощта на формулата  (по първия начин), тогава той със сигурност ще направи грешка някъде.
Разгледаният алгоритъм за решение може да се приложи за всеки определен интеграл.
Скъпи ученико, отпечатай и запиши:
Какво да направите, ако ви бъде даден определен интеграл, който изглежда сложен или не е ясно веднага как да го решите?
1) Първо намираме неопределения интеграл (антипроизводна функция). Ако на първия етап имаше неприятности, няма смисъл да разклащаме лодката с Нютон и Лайбниц. Има само един начин - да повишите нивото си на знания и умения за решаване неопределени интеграли.
2) Проверяваме намерената първообразна функция чрез диференциране. Ако се намери неправилно, третата стъпка ще бъде загуба на време.
3) Използваме формулата на Нютон-Лайбниц. Ние извършваме всички изчисления ИЗКЛЮЧИТЕЛНО ВНИМАТЕЛНО - това е най-слабото звено на задачата.
И за лека закуска, интегрално за самостоятелно решение.
Пример 9
Изчислете определен интеграл
Решението и отговорът са някъде наблизо.
Следващият препоръчителен урок по темата е Как да изчислим площта на фигура с помощта на определен интеграл?
Нека интегрираме по части:
Сигурни ли сте, че сте ги решили и сте получили същите отговори? ;-) Има и порно за старица. |
Теорема. Ако функцията f(x)интегрируем на интервала [ а, б], Къде а< b
, и за всички x ∈неравенството е в сила
Използвайки неравенствата от теоремата, може да се оцени определеният интеграл, т.е. посочват границите, между които се съдържа значението му. Тези неравенства изразяват оценка на определения интеграл.
Теорема [Средна теорема]. Ако функцията f(x)интегрируем на интервала [ а, б] и за всички x ∈неравенствата са изпълнени m ≤ f(x) ≤ M, Това
Къде m ≤ μ ≤ M.
Коментирайте. В случай, че функцията f(x)е непрекъснат на интервала [ а, б], равенството от теоремата приема формата
Къде c ∈. Номер μ=f(c), определени с тази формула, се нарича средна стойностфункции f(x)на сегмента [ а, б]. Това равенство има следното геометричен смисъл: площ на извит трапец, ограничен от непрекъсната линия y=f(x) (f(x) ≤ 0), е равна на площта на правоъгълник със същата основа и височина, равна на ординатата на някаква точка от тази линия.
Наличие на първоизводна за непрекъсната функция
Първо въвеждаме понятието интеграл с променлива горна граница.
Нека функцията f(x)интегрируем на интервала [ а, б]. Тогава каквото и да е числото хот [ а, б], функция f(x)интегрируем на интервала [ а, б]. Следователно на интервала [ а, б] дефинирана функция
който се нарича интеграл с променлива горна граница.
Теорема. Ако интегралната функция е непрекъсната на интервала [ а, б], тогава производната на определен интеграл с променлива горна граница съществува и е равна на стойността на интегралната функция за тази граница, т.е.
Последица. Определен интеграл с променлива горна граница е една от първоизводните за непрекъснат интегранд. С други думи, за всяка функция, непрекъсната на интервал, има първоизводна.
Бележка 1. Имайте предвид, че ако функцията f(x)интегрируем на интервала [ а, б], тогава интегралът с променлива горна граница е функция на горната граница, непрекъсната на този сегмент. Наистина, от St.2 и теоремата за средната стойност имаме
Бележка 2. Интегралът с променлива горна граница на интегриране се използва при дефинирането на много нови функции, напр. 
. Тези функции не са основни; както вече беше отбелязано, първопроизводните на посочените интегранти не се изразяват чрез елементарни функции.
Основни правила на интеграция
Формула на Нютон-Лайбниц
Тъй като всякакви две антипроизводни функции f(x)се различават с константа, тогава съгласно предишната теорема може да се твърди, че всяка антипроизводна Φ(x)непрекъснат на сегмента [ а, б] функции f(x)изглежда като
Къде В- някаква константа.
Ако приемем в тази формула х=аИ x=b, използвайки St.1 определени интеграли, намираме
Тези равенства предполагат отношението
което се нарича Формула на Нютон-Лайбниц.
Така доказахме следната теорема:
Теорема. Определеният интеграл на непрекъсната функция е равен на разликата между стойностите на която и да е от нейните първоизводни за горната и долната граница на интегриране.
Формулата на Нютон-Лайбниц може да бъде пренаписана като
Промяна на променлива в определен интеграл
Теорема. Ако
- функция f(x)е непрекъснат на интервала [ а, б];
- сегмент [ а, б] е набор от стойности на функцията φ(t), определени на сегмента α ≤ t ≤ βи има непрекъсната производна върху него;
- φ(α)=a, φ(β)=b
тогава формулата е правилна
Формула за интегриране по части
Теорема. Ако функциите u=u(x), v=v(x)имат непрекъснати производни на интервала [ а, б], тогава формулата е валидна
Стойност на приложението теореми за средна стойност
е възможността за получаване качествена оценкастойността на определен интеграл, без да го изчислявате. Да формулираме
: ако една функция е непрекъсната на интервал, тогава вътре в този интервал има точка, такава че 
.
Тази формула е доста подходяща за груба оценка на интеграла на сложна или тромава функция. Единствената точка, която прави формулата приблизителен
, е необходимост независим избор
точки Ако тръгнем по най-простия път - средата на интеграционния интервал (както се предлага в редица учебници), тогава грешката може да бъде доста значителна. За да получите по-точен резултат препоръчваме
извършете изчислението в следната последователност:
Построяване на графика на функция върху интервала ;
Начертайте горната граница на правоъгълника така, че отрязаните части на графиката на функцията да са приблизително равни по площ
(точно това е показано на горната фигура - два криволинейни триъгълника са почти еднакви);
Определете от фигурата;
Използвайте теоремата за средната стойност.
Като пример, нека изчислим прост интеграл:
Точна стойност;
За средата на интервала 
получаваме и приблизителна стойност, т.е. очевидно неточен резултат;
Като построим графика с горната страна на правоъгълника, начертана в съответствие с препоръките, получаваме , следователно приблизителната стойност . Доста задоволителен резултат, грешката е 0,75%.
Формула на трапец
Точността на изчисленията, използващи теоремата за средната стойност, зависи значително, както беше показано, от визуална цел
според точковия график. Всъщност, като изберете в същия пример точки или , можете да получите други стойности на интеграла и грешката може да се увеличи. Субективните фактори, мащабът на графиката и качеството на рисуване оказват голямо влияние върху резултата. това неприемливо
в критични изчисления, така че теоремата за средната стойност се прилага само за бързи качество
интегрални оценки.
В този раздел ще разгледаме един от най-популярните методи за приблизителна интеграция - трапецовидна формула
. Основната идея за конструиране на тази формула се основава на факта, че кривата може да бъде приблизително заменена с прекъсната линия, както е показано на фигурата.
Нека приемем за определеност (и в съответствие с фигурата), че интеграционният интервал е разделен на равен
(това не е задължително, но много удобно) части. Дължината на всяка от тези части се изчислява по формулата и се нарича стъпка
. Абсцисите на точките на разделяне, ако са дадени, се определят по формулата, където . С помощта на известните абсцисите е лесно да се изчислят ординатите. по този начин
Това е трапецовидната формула за случая. Обърнете внимание, че първият член в скобите е полусумата от началната и крайната ордината, към която се добавят всички междинни ординати. За произволен бройдялове на интеграционния интервал обща формула за трапец
има формата: квадратурни формули: правоъгълници, Симпсън, Гаус и др. Те се основават на същата идея за представяне на криволинеен трапец чрез елементарни области различни форми, следователно, след усвояване на трапецовидната формула, разбирането на подобни формули няма да бъде трудно. Много формули не са толкова прости като трапецовидната формула, но ви позволяват да получите резултати с висока точност с малък брой дялове.
Използвайки трапецовидната формула (или подобни), можете да изчислите с необходимата на практика точност както „неизпълними“ интеграли, така и интеграли на сложни или тромави функции.
Преди това разглеждахме определен интеграл като разликата в стойностите на антипроизводната за интегранта. Предполага се, че подинтегралната функция има антипроизводна на интервала на интегриране.
В случай, че първоизводната се изразява чрез елементарни функции, можем да сме сигурни в нейното съществуване. Но ако няма такъв израз, тогава въпросът за съществуването на първоизводна остава открит и ние не знаем дали съответният определен интеграл съществува.
Геометричните съображения предполагат, че въпреки че например за функцията y=e^(-x^2) е невъзможно да се изрази първоизводната чрез елементарни функции, интегралът \textstyle(\int\limits_(a)^(b)e^(-x^2)\,dx)съществува и равна на площфигура, ограничена от оста x, графиката на функцията y=e^(-x^2) и правите x=a,~ x=b (фиг. 6). Но при по-строг анализ се оказва, че самата концепция за площ се нуждае от обосновка и следователно не може да се разчита на нея при решаването на въпросите за съществуването на антипроизводна и определен интеграл.
Нека докажем това всяка функция, непрекъсната на интервал, има първоизводна на този интервал, и следователно има определен интеграл за него върху този сегмент. За да направим това, се нуждаем от различен подход към концепцията за определен интеграл, който не разчита на предположението за съществуването на антипроизводна.
Нека първо да установим някои свойства на определен интеграл, разбирано като разликата в стойностите на антипроизводното.
Оценки на определени интеграли
Теорема 1. Нека функцията y=f(x) е ограничена на интервала и m=\min_(x\in)f(x)И M=\max_(x\in)f(x), съответно най-малката и най-висока стойностфункции y=f(x) на , а на този сегмент функцията y=f(x) има първоизводна. Тогава
m(b-a)\leqslant \int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx\leqslant M(b-a).
Доказателство. Нека F(x) е една от първоизводните за функцията y=f(x) върху сегмента. Тогава
\int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx=\Bigl.(F(x))\Bigr|_(a)^(b)=F(b)-F(a).
Според теоремата на Лагранж F(b)-F(a)=F"(c)(b-a), където a \int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx=f(c)(b-a).
По условие за всички стойности на x от сегмента е валидно следното неравенство: m\leqslant f(x)\leqslant M, Ето защо m\leqslant f(c)\leqslant Mи следователно
m(b-a)\leqslant f(c)(b-a)\leqslant M(b-a), т.е m(b-a)\leqslant \int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx\leqslant M(b-a),
Q.E.D.
Двойното неравенство (1) дава само много груба оценка за стойността на определения интеграл. Например на отсечка стойностите на функцията y=x^2 са между 1 и 25 и следователно неравенствата се изпълняват
4=1\cdot(5-1)\leqslant\int\limits_(1)^(5)x^2\,dx\leqslant 25\cdot(5-1)=100.
За да получите по-точна оценка, разделете сегмента на няколко части с точки a=x_0 и неравенство (1) се прилага към всяка част. Ако неравенството е валидно за сегмента, тогава
m_k\cdot\Delta x_k\leqslant \int\limits_(x_k)^(x_(k+1)) f(x)\,dx\leqslant M_k\cdot \Delta x_k\,
където \Delta x_k обозначава разликата (x_(k+1)-x_k), т.е. дължината на сегмента. Записвайки тези неравенства за всички стойности на k от 0 до n-1 и добавяйки ги, получаваме:
\sum_(k=0)^(n-1)(m_k\cdot\Delta x_k) \leqslant \sum_(k=0)^(n-1) \int\limits_(x_k)^(x_(k+1) ))f(x)\,dx\leqslant \sum_(k=0)^(n-1) (M_k\cdot \Delta x_k),
Но според адитивното свойство на определен интеграл сумата от интегралите по всички части на отсечката е равна на интеграла по тази отсечка, т.е.
\sum_(k=0)^(n-1) \int\limits_(x_k)^(x_(k+1))f(x)\,dx= \int\limits_a)^(b)f(x) \,dx\,.
означава,
\sum_(k=0)^(n-1)(m_k\cdot\Delta x_k) \leqslant \sum_(k=0)^(n-1) \int\limits_(a)^(b)f(x )\,dx\leqslant \sum_(k=0)^(n-1) (M_k\cdot \Delta x_k)
Например, ако разделите сегмент на 10 равни части, всяка от които има дължина 0,4, тогава на частичен сегмент
неравенството е в сила
(1+0,\!4k)^2\leqslant x^2\leqslant \bigl(1+0,\!4(k+1)\bigr)^2
Следователно имаме:
0,\!4\sum_(k=0)^(9)(1+0,\!4k)^2\leqslant \int\limits_(1)^(5)x^2\,dx\leqslant 0, \!4\sum_(k=0)^(9)\bigl(1+0,\!4(k+1)\bigr)^2.
Изчислявайки, получаваме: 36,\!64\leqslant \int\limits_(1)^(5) x^2\,dx\leqslant 46,\!24. Тази оценка е много по-точна от предишната 4\leqslant\int\limits_(1)^(5)x^2\,dx\leqslant100.
За да получите още по-точна оценка на интеграла, трябва да разделите сегмента не на 10, а, да речем, на 100 или 1000 части и да изчислите съответните суми. Разбира се, този интеграл е по-лесен за изчисляване с помощта на първоизводната:
\int\limits_(1)^(5)x^2\,dx= \left.(\frac(x^3)(3))\right|_(1)^(5)= \frac(1) (3)(125-1)= \frac(124)(3)\,.
Но ако изразът за първоизводната не ни е известен, тогава неравенствата (2) позволяват да се оцени стойността на интеграла отдолу и отгоре.
Определен интеграл като делително число
Числата m_k и M_k, включени в неравенството (2), могат да бъдат избрани произволно, стига неравенството да е изпълнено на всеки от сегментите m_k\leqslant f(x)\leqslant M_k. Най-точната оценка на интеграла за дадена част от сегмента се получава, ако вземем M_k за най-малката и m_k за най-голямата от всички възможни стойности. Това означава, че като m_k трябва да вземем точната долна граница на стойностите на функцията y=f(x) на сегмента, а като M_k точната горна граница на тези стойности на същия сегмент:
m_k=\inf_(x\in)f(x),\qquad M_k=\sup_(x\in)f(x).
Ако y=f(x) е ограничена функция на сегмента, тогава тя е ограничена на всеки от сегментите и следователно за нея числата m_k и M_k,~ 0\leqslant k\leqslant n-1. С този избор на числа m_k и M_k, сумите \textstyle(\sum\limits_(k=0)^(n-1)m_k\Делта x_k)И \textstyle(\sum\limits_(k=0)^(n-1)M_k\Делта x_k)се наричат, съответно, долната и горната интегрална сума на Дарбу за функцията y=-f(x) за даден дял P:
a=x_0
сегмент Ще обозначим тези суми съответно като s_(fP) и S_(fP) и ако функцията y=f(x) е фиксирана, тогава просто s_P и S_P.
Неравенство (2) означава, че ако функция y=f(x), ограничена в интервал, има първоизводна в този интервал, тогава определен интеграл разделя числените множества \(s_p\) и \(S_P\), състоящи се съответно от всички долни и горни суми на Дарбу за всички възможни дялове P на интервала. Най-общо казано, може да се случи числото, разделящо тези два комплекта, да не е уникално. Но по-долу ще видим, че за най-важните класове функции (по-специално за непрекъснати функции) тя е уникална.
Това ни позволява да въведем ново определение за \textstyle(\int\limits_(a)^(b) f(x)\,dx), който не се основава на концепцията за антипроизводна, а използва само суми на Дарбу.
Определение.Функция y=f(x), ограничена в интервал, се нарича интегрируема в този интервал, ако има едно число \ell, разделящо наборите от долни и горни суми на Дарбу, образувани за всички възможни дялове на интервала. Ако функцията y=f(x) е интегрируема на интервала, тогава единственото число, разделящо тези множества, се нарича определен интеграл на тази функция върху интервала и означава .
Дефинирахме интеграла \textstyle(\int\limits_(a)^(b) f(x)\,dx)за случая, когато a b , тогава поставяме
\int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx= -\int\limits_(b)^(a)f(x)\,dx\,.
Това определение е естествено, тъй като когато посоката на интеграционния интервал се промени, всички разлики \Делта x_k=x_(k+1)-x_kсменете знака и след това сменете знаците и сумите на Дарбу и по този начин числото, което ги разделя, т.е. интегрална.
Тъй като когато a=b всички \Delta x_k изчезнат, задаваме
\int\limits_(b)^(a)f(x)\,dx=0.
Получихме две дефиниции на понятието определен интеграл: като разлика между стойностите на първоизводната и като делително число за сумите на Дарбу. Тези определения в най-важните случаи водят до същия резултат:
Теорема 2. Ако функцията y=f(x) е ограничена на интервал и има първоизводна y=F(x) върху него и има едно число, разделящо долната и горната сума на Дарбу, тогава това число е равно на F(b )-F(a).
Доказателство. По-горе доказахме, че числото F(a)-F(b) разделя множествата \(s_P\) и \(S_P\) . Тъй като по условие разделителното число е еднозначно определено, то съвпада с F(b)-F(a) .
Оттук нататък ще използваме нотацията \textstyle(\int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx)само за едно число, разделящо множествата \(s_P\) и \(S_P\) . От доказаната теорема следва, че няма противоречие с разбирането на тази нотация, която използвахме по-горе.
Свойства на долната и горната сума на Дарбу
За да има смисъл дадената по-рано дефиниция на интеграл, е необходимо да се докаже, че наборът от горни суми на Дарбу наистина се намира вдясно от набора от долни суми на Дарбу.
Лема 1. За всеки дял P, съответната долна сума на Darboux не надвишава горната сума на Darboux, s_P\leqslant S_P.
Доказателство. Нека разгледаме някои дял P на сегмента:
a=x_0 "
Очевидно е, че за всяко k и за всяко избрано разпределение P е валидно неравенството s_P\leqslant S_P. следователно m_k\cdot\Delta x_k\leqslant M_k\cdot\Delta x_k, и следователно
s_P= \sum_(k=0)^(n-1)(m_k\cdot\Delta x_k)\leqslant \sum_(k=0)^(n-1)(M_k\cdot\Delta x_k)=S_P.
Q.E.D. Неравенство (4) е валидно само за фиксиран дял P. Следователно все още не може да се каже, че долната сума на Дарбу на един дял не може да надвишава горната сума на Дарбу на друг дял. За да докажем това твърдение се нуждаем от следната лема:
Лема 2. Чрез добавяне на нова точка на делене долната сума на Дарбу не може да намалява, а горната сума не може да се увеличава.
Доказателство. Нека изберем някаква част P от сегмента и добавим към нея нова точка на делене (x^(\ast)) . Нека означим новото разделение с P^(\ast) . Разделението P^(\ast) е усъвършенстване на дяла P, т.е. всяка точка на разделяне P също е точка на разделяне P^(\ast) .
Нека точката (x^(\ast)) попада върху отсечката \двоеточие\, x_k . Нека разгледаме двата получени сегмента и
и означете съответните точни долни граници за стойностите на функцията с m_(k)^(\ast) и m_(k)^(\ast\ast) и точните горни граници с M_(k)^(\ast ) и M_(k )^(\ast\ast) .
Допълнение m_k(x_(k+1)-m_(k))Оригиналната долна сума на Дарбу в новата долна сума на Дарбу съответства на два члена:
m_(k)^(\ast)(x^(\ast)-x_k)+ m_(k)^(\ast\ast)(x_(k+1)-x^(\ast)).
В същото време m_k\leqslant m_(k)^(\ast)И m_k\leqslant m_(k)^(\ast\ast), тъй като m_k е точната долна граница за стойностите на функцията f(x) на целия сегмент, а m_(k)^(\ast) и m_(k)^(\ast\ast) само на неговия части и
съответно.
Нека оценим отдолу сумата от получените членове:
\begin(aligned) m_(k)^(\ast)\bigl(x^(\ast)-x_(k)\bigr)+ m_(k)^(\ast\ast)\bigl(x_(k+ 1) )-x^(\ast)\bigr) \geqslant & \,\,m_k \bigl(x^(\ast)-x_k)+m_k(x_(k+1)-x^(\ast)\bigr ) =\\ &=m_k\bigl(x^(\ast)-x_k+x_(k+1)-x^(\ast)\bigr)=\\ &=m_k\bigl(x_(k+1) - x_k\bigr).\край (подравнено)
Тъй като останалите членове както в старата, така и в новата долна сума на Дарбу останаха непроменени, долната сума на Дарбу не намаля от добавянето на нова точка на деление, s_P\leqslant S_P.
Доказаното твърдение остава валидно дори при добавяне на произволен краен брой точки към дяла P.
Твърдението за горната сума на Дарбу се доказва по подобен начин: S_(P^(\ast))\leqslant S_(P).
Нека да преминем към сравняване на сумите на Дарбу за всеки две дяла.
Лема 3. Нито една долна сума на Darboux не надвишава която и да е горна сума на Darboux (дори ако съответства на различно разпределение на сегмента).
Доказателство. Разгледайте две произволни дялове P_1 и P_2 на сегмента и образувайте трети дял P_3, състоящ се от всички точки на дяловете P_1 и P_2. По този начин дялът P_3 е усъвършенстване както на дяла P_1, така и на дяла P_2 (фиг. 7).
Нека означим съответно долната и горната сума на Дарбу за тези дялове s_1,~S_1.~s_2,~S_2и докажете, че s_1\leqslant S_2 .
Тъй като P_3 е усъвършенстване на дяла P_1, тогава s_1\leqslant s_3. След това s_3\leqslant S_3, тъй като сумите s_3 и S_3 съответстват на един и същи дял. И накрая, S_3\leqslant S_2, тъй като P_3 е усъвършенстване на дяла P_2.
по този начин s_1\leqslant s_3\leqslant S_3\leqslant S_2, т.е. s_1\leqslant S_2, което трябваше да бъде доказано.
От лема 3 следва, че числовият набор X=\(s_P\) от долните суми на Дарбу лежи отляво на числовия набор Y=\(S_P\) от горните суми на Дарбу.
По силата на теоремата за съществуването на разделително число за две числови множества1 има поне едно число /, което разделя множествата X и Y, т.е. така че за всяко разделение на сегмента е валидно двойното неравенство:
s_P= \sum_(k=0)^(n-1)\bigl(m_k\cdot\Delta x_k\bigr) \leqslant I\leqslant \sum_(k=0)^(n-1)\bigl(M_k\ cdot\Delta x_k\bigr)=S_P.
Ако този номер е уникален, тогава \textstyle(I= \int\limits_(a)^(b) f(x)\,dx).
Нека дадем пример, показващ, че такова число I, най-общо казано, не е еднозначно определено. Спомнете си, че функцията на Дирихле е функция y=D(x) на интервала, определен от равенствата:
D(x)= \begin(cases)0,& \text(if)~~ x~~\text(е ирационално число);\\1,& \text(if)~~ x~~ \text(is рационално число).\end(cases)
Какъвто и сегмент да вземем, на него ще има както рационални, така и ирационални точки, т.е. и точки, където D(x)=0, и точки, където D(x)=1. Следователно, за всяко разделение на сегмента, всички стойности на m_k са равни на нула, а всички стойности на M_k са равни на единица. Но тогава всички по-ниски суми на Дарбу \textstyle(\sum\limits_(k=0)^(n-1)\bigl(m_k\cdot\Delta x_k\bigr))са равни на нула и всички горни суми на Дарбу \textstyle(\sum\limits_(k=0)^(n-1)\bigl(M_k\cdot\Delta x_k\bigr))равно на едно,
