Елементи на комбинаторния анализ

Връзки.празна А а 1 , а 2, а 3 …a n А м (мот н връзки от нелементи от м

Пренареждания.празна А– множество, състоящо се от краен брой елементи а 1 , а 2, а 3 …a n. От различни елементи на комплекта Амогат да се образуват групи. Ако всяка група съдържа еднакъв брой елементи м (мот н), тогава се казва, че образуват връзки от нелементи от мвъв всеки. Има три типа връзки: разположения, комбинации и пермутации.

Разположения.Съединения, всяко от които съдържа мразлични елементи ( м < н) взето от нелементи от комплекта А, различаващи се един от друг или по състава на елементите, или по техния ред се наричат разположения от нелементи от мвъв всеки. Броят на тези поставяния се обозначава със символа

Теорема 1. Броят на всички отделни пермутации на n елемента е

N(n-1)(n-2)(n-3)….3*2*1=1*2*3…(n-1)n=n!

Теорема 2. Брой всички разположения от нелементи от мизчислено по формулата:

Комбинации. Връзкивсяка от които съдържа мразлични елементи ( м < н) взето от нелементи от комплекта А, различаващи се един от друг поне с един от елементите (само състав) се наричат комбинации от нелементи от мвъв всеки. Броят на тези комбинации се обозначава със символа

Теорема 3. Броят на всички комбинации от n елемента по m се определя по формулата:

Понякога се използва следната формула за записване на броя разположения:

Същността и условията за прилагане на теорията на вероятностите.

Теория на вероятностите

Случайно явление -

само

Т.в. служи за обосноваване на математически и приложни статистики, които се използват при планиране на производството и др.

Основни понятия на теорията на вероятностите.

Теория на вероятноститее математическа наука, която изучава моделите в случайни явления.

Случайно явление -Това е феномен, който, когато едно и също преживяване се възпроизвежда многократно, се случва всеки път по малко по-различен начин.

Методите на теорията на вероятностите са адаптирани по природа самоза изследване на масови случайни явления; те не позволяват да се предвиди резултатът от отделно случайно явление, но правят възможно да се предвиди средният общ резултат от маса от еднородни случайни явления.

В теорията на вероятностите тестПрието е да се нарича експеримент, който (поне теоретично) може да се извършва при едни и същи условия неограничен брой пъти.

Резултатът или резултатът от всеки тест ще бъде извикан събитие. Събитието е основното понятие на теорията на вероятностите. Ще обозначим събитията с буквите A, B, C.

Видове събития:

надеждно събитие- събитие, което със сигурност ще се случи в резултат на опит.

невъзможно събитие- събитие, което не може да се случи в резултат на опит.

случайно събитие- събитие, което може или не може да се случи в даден опит. Равна възможност за събития

Вероятностсъбития А(означават P(A) А(означават m(A)), нтези. P(A)= m(A)/N.

Вероятностно пространство.

Вероятностно пространствое математически модел на случаен експеримент (опит) в аксиоматиката на А.Н. Колмогоров. Вероятностното пространство съдържа цялата информация за свойствата на случаен експеримент, необходима за неговия математически анализ с помощта на средствата на теорията на вероятностите. Всеки проблем в теорията на вероятностите се решава в рамките на определено вероятностно пространство, напълно определено първоначално. Проблеми, при които вероятностното пространство не е напълно определено и липсващата информация трябва да бъде получена от резултатите от наблюденията, принадлежат към областта на математическата статистика.

Вероятностно пространствосе определя от тройка компоненти (символи) (Ω,S,P), където Ω е пространството на елементарни събития

S-∂(сигма)-алгебра на събитията, P - вероятност, Ω-определено събитие, S-система от подмножества на пространството от елементарни резултати Ω.

5. 5. Директно изчисляване на вероятността.

Класическа дефиниция на вероятносттавъз основа на концепцията равенство на събитията .

Равна възможност за събитияозначава, че няма причина да предпочитате някой от тях пред останалите.

Помислете за тест, който може да доведе до събитието А. Всеки резултат, в който се случва събитието А, Наречен благоприятен събитие А.

Вероятностсъбития А(означават P(A)) е съотношението на броя на резултатите, благоприятни за събитието А(означават m(A)),към броя на всички резултати от теста – нтези. P(A)= m(A)/N.

От класическата дефиниция на вероятността следва следното: Имоти :

Вероятността за всяко събитие е между нула и едно.

Доказателство. Тъй като тогава разделяме всички части на неравенството на н, получаваме

Откъдето според класическата дефиниция на вероятността следва, че

Вероятността за надеждно събитие е равна на единица.

Вероятността за невъзможно събитие е нула

6. 6.Теореми за събиране на вероятности.

Ако A и B са несъвместими, тогава P(A + B) = P(A) + P(B)

Ако A и B са противоположни събития, тогава

По-нататък ще наричаме елемент от сигма алгебрата случайно събитие.

Пълна група от събития

Пълна група от събития е пълна група от подмножества, всяко от които е събитие. Те казват, че събитията на пълна група са част от пространството на елементарните резултати.

Крайна адитивна функция

Позволявам А – алгебра. Функция , преобразуваща алгебрата в множеството от реални числа

се нарича крайно адитивен, ако за всеки краен набор от двойки несъвместими събития

Преброително-добавителна функция

Позволявам Е– алгебра или сигма алгебра. функция

се нарича изброимо адитивен, ако е крайно адитивен и за всяко изброимо множество от двойно несъвместими събития

Мярката е неотрицателна изброимо адитивна функция, дефинирана на сигма алгебра, която удовлетворява условието

Крайна мярка

Измерете се нарича краен ако

Вероятност

Вероятност (вероятностна мярка) Птова е такава мярка, че

Отсега нататък ще спрем да измерваме вероятността в проценти и ще започнем да я измерваме в реални числа от 0 до 1.

се нарича вероятност за събитие А

Вероятностно пространство

Вероятностното пространство е колекция от три обекта - пространството на елементарните резултати, сигма алгебрата на събитията и вероятността.

Това е математически модел на случайно явление или обект.

Парадоксът на дефинирането на вероятностно пространство

Нека се върнем към първоначалната формулировка на проблема в теорията на вероятностите. Нашата цел беше да изградим математически модел на случаен феномен, който да помогне за количественото определяне на вероятностите от случайни събития. В същото време, за да се конструира вероятностно пространство, е необходимо да се посочи вероятност, т.е. изглежда е точно това, което търсим (?).

Решението на този парадокс е да се дефинира напълно вероятността като функция на всички елементи Е, обикновено е достатъчно да го настроите само на някои събития от Е, чиято вероятност е лесно да определим , и след това, използвайки неговата изброима адитивност, изчислете всеки елемент Е.

Независими събития

Важна концепция в теорията на вероятностите е независимостта.

Събитията A и B се наричат ​​независими ако

тези. вероятността тези събития да се случат едновременно е равна на произведението на техните вероятности.

Събитията в изброимо или крайно множество се наричат ​​независими по двойки, ако всяка двойка от тях е двойка независими събития

Общо

Събитията в изброимо или крайно множество се наричат ​​колективно независими, ако вероятността всяко крайно подмножество от тях да се случи едновременно е равна на произведението на вероятностите на събитията от това подмножество.

Ясно е, че колективно независимите събития са независими и по двойки. Обратното не е вярно.

Условна вероятност

Условната вероятност за събитие А, като се има предвид, че събитие Б е настъпило, е количеството

Засега ще дефинираме условна вероятност само за събития B, чиято вероятност не е равна на нула.

Ако събития A и B са независими, тогава

Свойства и теореми

Най-простите свойства на вероятността

Форма за събития пълна група, ако поне един от тях със сигурност ще се появи в резултат на експеримента и са несъвместими по двойки.

Да приемем, че събитието Аможе да възникне само заедно с едно от няколко несъвместими по двойки събития, които образуват пълна група. Ще извикаме събития ( аз= 1, 2,…, н) хипотезидопълнителен опит (априори). Вероятността за настъпване на събитие А се определя по формулата пълна вероятност :

Пример 16.Има три урни. Първата урна съдържа 5 бели и 3 черни топки, втората съдържа 4 бели и 4 черни топки, а третата съдържа 8 бели топки. Една от урните е избрана на случаен принцип (това може да означава, например, че изборът е направен от спомагателна урна, съдържаща три топки, номерирани с 1, 2 и 3). От тази урна произволно се тегли топка. Каква е вероятността да е черен?

Решение.Събитие А– черната топка се отстранява. Ако се знае от коя урна е изтеглена топката, тогава желаната вероятност може да се изчисли, като се използва класическата дефиниция на вероятността. Нека въведем предположения (хипотези) относно това коя урна е избрана за извличане на топката.

Топката може да бъде изтеглена или от първата урна (предположение), или от втората (предположение), или от третата (предположение). Тъй като има равни шансове за избор на която и да е от урните, тогава .

Следва, че

Пример 17.Електрическите лампи се произвеждат в три завода. Първият завод произвежда 30% от общия брой електрически лампи, вторият - 25%,
а третият - останалите. Продуктите на първия завод съдържат 1% дефектни електрически лампи, вторият - 1,5%, третият - 2%. Магазинът получава продукти и от трите фабрики. Каква е вероятността лампа, закупена в магазин, да се окаже дефектна?

Решение. Трябва да се направят предположения относно завода, в който е произведена електрическата крушка. Знаейки това, можем да намерим вероятността той да е дефектен. Нека въведем обозначения за събития: А– закупената електрическа лампа се оказа дефектна, – лампата е произведена от първия завод, – лампата е произведена от втория завод,
– лампата е произведена от третия завод.

Намираме желаната вероятност, използвайки формулата за обща вероятност:

Формула на Бейс.

Нека е пълна група от по двойки несъвместими събития (хипотези). А– случайно събитие. Тогава,

Последната формула, която позволява да се преоценят вероятностите на хипотезите, след като е известен резултатът от теста, довел до събитие А, се нарича Формула на Бейс .

Пример 18.Средно 50% от пациентите със заболяването постъпват в специализирана болница ДА СЕ, 30% – със заболяване Л, 20 % –
с болест М. Вероятност за пълно излекуване на заболяването Кравно на 0,7 за болести ЛИ Мтези вероятности са съответно 0,8 и 0,9. Постъпилият в болницата пациент е изписан здрав. Намерете вероятността този пациент да е страдал от заболяването К.

Решение.Нека въведем хипотезите: – пациентът е страдал от заболяване ДА СЕ Л, – пациентът е страдал от заболяване М.

Тогава според условията на задачата имаме . Нека представим едно събитие А– постъпилият в болницата пациент е изписан здрав. По условие

Използвайки формулата за обща вероятност, получаваме:

Според формулата на Байс.

Вероятностно пространство

Първите теоретични резултати в теорията на вероятностите се отнасят до

до средата на 17 век и принадлежи на Б. Паскал, П. Ферма, Х. Хюйгенс, Й. Бернули. Тази теория дължи своите успехи през 18 век и началото на 19 век на А. Моавър, П. Лаплас, К. Гаус, С. Поасон, А. Лежандр. Значителен напредък в теорията на вероятностите е постигнат в края на 19 и началото на 20 век в трудовете на Л. Болцман, П. Чебишев, А. Ляпунов, А. Марков, Е. Борел и др началото на 20 век, строга и последователна теория. Само аксиоматичният подход направи възможно постигането на това. Първата аксиоматична конструкция на теорията е направена от S.N Bernstein през 1917 г., който основава своите конструкции на сравнението на случайни събития според тяхната степен на вероятност. Този подход обаче не беше доразвит. Аксиоматичният подход, основан на теорията на множествата и теорията на мярката, разработен от А. Н. Колмогоров през 20-те години на 20 век, се оказа по-плодотворен. В аксиоматиката на Колмогоров концепцията за случайно събитие, за разлика от класическия подход, не е първоначална, а е следствие от по-елементарни концепции. Източникът на Колмогоров е множеството (пространството) W от елементарни събития (пространството на резултатите, пространството на извадката). Природата на елементите на това пространство няма значение.

Ако A,B,C О W , то следните отношения, установени в теорията на множествата, са очевидни:

A+A = A, AA = A, AÆ =Æ, A +Æ = A, A +W =W, AW = A, W = Æ, Æ = W, A = A,

където горната черта обозначава допълнението в W; A+B = A B, AB = A + B, AB=BA, A+B = B+A, (A+B)+C=A+(B+C), (AB)C=A(BC) , A (B+C) = AB+AC, A+BC = (A+B)(A+C);

тук Æ означава празното множество, т.е. невъзможно събитие.

В аксиоматиката на Колмогоров се разглежда определена система U от подмножества на множеството W, чиито елементи се наричат ​​случайни събития. Система U удовлетворява следните изисквания: ако подмножествата A и B на множеството W са включени в системата U, то тази система съдържа и множествата A È B, A Ç B, A и B; самото множество W също е елемент от системата U. Такава система от множества се нарича (булева) алгебра от множества.

Очевидно от дефиницията на алгебрата на множествата следва, че семейството U съдържа и празното множество Æ. По този начин алгебрата на множествата (т.е. множеството от случайни събития) е затворена по отношение на операциите на добавяне, пресичане и образуване на допълнения и следователно елементарните операции върху случайни събития не водят отвъд множеството от случайни събития U.

За повечето приложения е необходимо да се изисква семейството от множества U да включва не само крайни суми и пресечни точки на подмножества на W, но и изброими суми и пресечни точки. Това ни води до дефиницията на понятието s-алгебра.

Определение 1.1. S-алгебра е семейство от подмножества (U) на множество W, което е затворено спрямо операциите за образуване на допълнения, изброими суми и изброими пресечни точки.

Ясно е, че всяка s-алгебра съдържа самото множество W и празното множество. Ако е дадено произволно семейство U от подмножества на множество W, тогава най-малката s-алгебра, съдържаща всички множества на семейството U, се нарича s-алгебра, генерирана от семейството U.

Най-голямата s-алгебра съдържа всички подмножества на s; то е полезно в дискретни пространства W, в които вероятността обикновено е дефинирана за всички подмножества на множеството W. Въпреки това, в по-общи пространства, дефинирането на вероятност (определението на вероятността ще бъде дадено по-долу) за всички подмножества е или невъзможно, или нежелателно. Друга крайна дефиниция на s-алгебра може да бъде s-алгебра, състояща се само от множеството W. и празното множество Æ.

Като пример за избора на W и s-алгебрата на подмножества U, разгледайте игра, в която участниците хвърлят зар, върху всяка от шестте лица на който са отпечатани числата от 1 до 6 за всяко хвърляне на зара , се реализират само шест състояния: w 1, w 2, w 3, w 4, w 5 и w 6, i-тото от които означава, че се хвърлят i точки. Семейството U от случайни събития се състои от 2 6 = 64 елемента, съставени от всички възможни комбинации w i: w 1 ,…,w 6 ; (w 1 ,w 6),...,(w 5 ,w 6);(w 1 ,w 2 ,w 3),...,(w 1 ,w 2 ,w 3 ,w 4 ,w 5 ,w 6) Æ.

Случайни събития, т.е. Често ще означаваме елементи от s-алгебрата U с буквите A, B,... Ако две случайни събития A и B не съдържат еднакви елементи w i ОW, тогава ще ги наречем несъвместими. Събитията A и A се наричат ​​противоположни (в други означения вместо A можем да поставим CA). Сега можем да преминем към дефиниране на концепцията за вероятност.

Определение 1.2.Вероятностна мярка P на s-алгебра U на подмножества на множество W е функция на множество P, която удовлетворява следните изисквания:

1) P(A) ³ 0; AÎU;

, т.е. притежаващ свойството на изброима адитивност, където A k са взаимно несъответстващи множества от U.

По този начин, каквото и да е примерното пространство W, ние приписваме вероятности само на набори от някаква s-алгебра U и тези вероятности се определят от стойността на мярката P на тези набори.

По този начин, във всяка задача за изучаване на случайни събития, първоначалната концепция е извадковото пространство s, в което s-алгебрата е избрана по един или друг начин, върху която вече е определена вероятностната мярка P. Следователно можем да дадем следното определение

Определение 1.3.Вероятностното пространство е тройка (W,U,P), състояща се от примерно пространство W,s-алгебра U на нейните подмножества и вероятностна мярка P, дефинирана върху U.

На практика може да има проблеми, при които различни вероятности се приписват на едни и същи случайни събития от U. Например, в случай на симетричен зар, естествено е да поставите:

P(w 1) = P(w 2) = ... = P(w 6) == 1/6,

и ако костта е асиметрична, тогава следните вероятности може да са по-съвместими с реалността: P(w 1) = P(w 2) = P(w 3) = P(w 4) = 1/4, P(w 5 ) = P (w 6) = 1/12.

Ще се занимаваме главно с множества W, които са подмножества на крайномерното евклидово пространство Rn. Основният обект на теорията на вероятностите са случайните променливи, т.е. някои функции, дефинирани в примерното пространство W. Нашата първа задача е да ограничим класа от функции, с които ще работим. Препоръчително е да се избере клас от функции, така че стандартните операции, върху които няма да бъдат извлечени от този клас, по-специално, така че, например, операциите за вземане на точкови граници, състав на функции и т.н. няма да бъдат извлечени от този клас клас.

Определение 1.4.Най-малкият клас функции B, който е затворен при поточкови гранични преходи (т.е. ако ¦ 1 , ¦ 2 ,... принадлежат към клас B и за всички x има граница ¦(x) = lim¦ n (x), тогава ¦( x) принадлежи на B), съдържащ всички непрекъснати функции, се нарича клас Baire.

От тази дефиниция следва, че сумата, разликата, произведението, проекцията, композицията на две функции на Бер са отново функции на Бер, т.е. всяка функция на функцията на Baire отново е функция на Baire. Оказва се, че ако се ограничим до по-тесни класове функции, тогава не може да се получи никакво укрепване или опростяване на теорията.

В общия случай случайните величини, т.е. функциите X = U(x), където XÎWÌR n, трябва да бъдат дефинирани така, че събитията (X £ t) за всяко t да имат определена вероятност, т.е. така че множествата (X £ t) принадлежат към семейството U, за чиито елементи се определят вероятностите P, т.е. така че да се определят стойностите на P(X £ t). Това ни води до следната дефиниция на измеримостта на функция по отношение на семейството U.

Определение 1.5.Реална функция U(x), xОW, се нарича U-измерима, ако за всяко реално t множеството от тези точки xОW, за които U(x) £ t принадлежи към семейството U.

Тъй като s-алгебрата U е затворена спрямо операцията за вземане на допълнения, тогава в дефиницията на измеримостта неравенството £ може да бъде заменено с всяко от неравенствата ³, >,<. Из самого определения следует, что n-измеримые функции образуют замкнутый класс наподс бие класса бэровских функций.

Както вече беше посочено, s-алгебрата може да бъде избрана доста произволно, и по-специално, както следва: първо, n-мерни интервали са дефинирани в пространството WÎR n, след това, използвайки операциите на алгебрата на множествата, набори от по-сложни структура може да бъде конструирана от тези интервали и се формират семейства от множества. Сред всички възможни семейства може да се избере едно, което съдържа всички отворени подмножества в W. Тази конструкция води до следната дефиниция.

Определение 1.6.Най-малката s-алгебра U b, съдържаща всички отворени (и следователно всички затворени) подмножества на множествата WÌ R n, се нарича борелова s-алгебра, а нейните множества се наричат ​​борелови.

Оказва се, че класът от функции на Беер B е идентичен с класа от функции, измерими по отношение на s-алгебрата U b на множествата на Борел.

Сега можем ясно да дефинираме концепцията за случайна променлива и нейната функция на разпределение на вероятностите.

Определение 1.7.Случайна величина X е реална функция X =U(x), xОW, измерима спрямо s-алгебрата U, включена в дефиницията на вероятностното пространство.

Определение 1.8.Функцията на разпределение на случайна променлива X е функцията F(t) = P(X £ t), която определя вероятността случайната променлива X да не надвишава стойността t.

За дадена функция на разпределение F вероятностната мярка може да бъде конструирана недвусмислено и обратно.

Нека разгледаме основните вероятностни закони, използвайки примера на крайно множество W. Нека A,BÌ W. Ако A и B съдържат общи елементи, т.е. AB¹0, тогава можем да напишем: A+B=A+(B-AB) и B = AB+(B-AB), където от дясната страна има несвързани множества (т.е. несъвместими събития) и следователно, по свойството на адитивност вероятностна мярка: P(A+B) = P(B-AB)+P(A), P(B) = P(AB)+P(B-AB); оттук следва формулата за сумата от вероятностите за произволни събития: P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB).

Ако не са наложени условия при изчисляване на вероятността за събитие A, тогава вероятността P(A) се нарича безусловна. Ако се осъществи събитие А, например, при условие че се осъществи събитие В, тогава говорим за условна вероятност, като я обозначаваме със символа P(A/B). В аксиоматичната теория на вероятностите по дефиниция се приема:

P(A/B) = P(AB)/P(B).

За да направите това определение интуитивно ясно, помислете например за следната ситуация. Нека една кутия съдържа k листа хартия, обозначени с буквата A, r листа хартия, обозначени с буквата B, m парчета хартия, обозначени с буквите A B и n празни парчета хартия. Има p = k + r + n + m парчета хартия. И нека листчетата се изваждат от кутията един след друг и след всяко издърпване се отбелязва вида на извадената хартия и се връща обратно в кутията. Записват се резултатите от много голям брой такива тестове. Условната вероятност P(A/B) означава, че събитие A се разглежда само във връзка с изпълнението на събитие B. В този пример това означава, че е необходимо да се преброи броят на извадените листчета с буквите A·B и буквата B и разделете първото число на сумата от първото и второто число. При достатъчно голям брой опити това съотношение ще клони към числото, което определя условната вероятност P(A/B). Подобно преброяване на други парчета хартия ще покаже това

Изчислителен коефициент

Уверяваме се, че тя съвпада точно със стойността, която предварително сме изчислили за вероятността P(A/B). Така получаваме

P(A·B) = P(A/B)·P(B).

Провеждайки подобни разсъждения, разменяйки A и B, получаваме

P(A B) = P(B/A) P(A)

Равенства

P(A B) = P(A/B) P(B) = P(B/A) P(A)

наречена теорема за умножение на вероятностите.

Разгледаният пример също ни позволява ясно да проверим валидността на следното равенство за A·B¹Æ:

P(A + B) == P(A) + P(B) - P(A B).

Пример 1.1.Нека зарът бъде хвърлен два пъти и трябва да определите вероятността P(A/B) да получите общо 10 точки, ако първото хвърляне е 4.

Вероятността да получите 6 при второ хвърляне е 1/6. следователно

Пример 1.2.Нека има 6 урни:

в урна от тип А 1 има две бели и една черна топка, в урна от тип А 2 има две бели и две черни топки, в урна от тип А 3 има две черни и една бяла топка. Има 1 урна тип А 1, 2 урни тип А 2 и 3 урни тип А 3. На случаен принцип се избира урна и от нея се тегли топка. Каква е вероятността тази топка да е бяла? Нека означим с B събитието на изтегляне на бялата топка.

За да решим задачата, приемем, че някакво събитие B се реализира само заедно с едно от n несъвместими събития A 1,..., A n, т.е. B = , където събития VA i и VA j с различни индекси i и j са несъвместими. От свойството на адитивност на вероятността P следва:

Като заместим тук зависимостта (1.1), получаваме

Тази формула се нарича формула за обща вероятност. За да решим последния пример, ще използваме формулата за пълна вероятност. Тъй като бялата топка (събитие B) може да бъде взета от една от трите урни (събития A 1, A 2, A 3), можем да напишем

B = A 1 B + A 2 B + A 3 B.

Формулата за обща вероятност дава

Нека изчислим вероятностите, включени в тази формула. Вероятността топката да бъде взета от урна от тип A 1 очевидно е равна на P(A 1) = 1/6, от урна от тип A 2: P(A 2) = 2/6 == 1/3 и от урна от тип A 3: P(A 3) = 3/6 = 1/2. Ако топката е взета от урна от тип A 1, тогава P(B/A 1) = 2/3, ако от урна от тип A 2, тогава P(B/A 2) = 1/2 и ако от урна от тип A 3, тогава P(B/A 3) = 1/3. По този начин,

P(B) = (1/6)(2/W)+ (1/3) (1/2) + (1/2) (1/3) = 4/9.

Условната вероятност Р(В/А) има всички свойства на вероятността Р(В/А)³0, В(В/В) = 1 и P(В/А) е адитивна.

Тъй като

Р(А·В) == Р(В/А)-Р(А) = Р(А/В)·Р(В) ,

тогава следва, че ако A не зависи от B, т.е. ако

P(A/B) = P(A),

тогава B не зависи от A, т.е. P(B/A) = P(B).

Така, в случай на независими събития, теоремата за умножение приема най-простата форма:

Р(А·В) = Р(А)·Р(В) (1.3)

Ако събития A и B са независими, тогава всяка от следните двойки събития също е независима: (A,B), (A,B), (A,B). Нека се уверим, например, че ако A и B са независими, тогава A и B също са независими. Тъй като P(B/A) + P(B/A) = I, тогава, като вземем предвид условието за независимост. на събития А и Б, т.е. условия P(B/A) = P(B), следва: P(B/A) = 1 - P(B) = P(B).

Събитията могат да бъдат независими по двойки, но да се окажат зависими в съвкупността. В тази връзка се въвежда и концепцията за взаимна независимост: събитията A 1,..., A n се наричат ​​взаимно независими, ако за всяко подмножество E от индекси 1,2,...,n равенството

На практика често е необходимо да се оценят вероятностите на хипотезите след извършване на някои тестове. Нека например събитие B може да се реализира само с едно от несъвместимите събития A 1,...,A n, т.е. и нека се случи събитие B. Изисква се да се намери вероятността за хипотеза (събитие) A i, при условие

какво Б се случи. От теоремата за умножение

P(A i B) = P(B) P(A i /B) = P(A i) P(B/A i)

Като се вземе предвид формулата за пълна вероятност за P(B), следва

Тези формули се наричат ​​формули на Бейс.

Пример 1.3.В Пример 1.2, да кажем, че е изтеглена бяла топка и искате да определите вероятността тя да е от урна от тип 3.

Вероятности и правила за работа с тях. За да се опише напълно механизмът на изучавания случаен експеримент, не е достатъчно да се посочи само пространството на елементарните събития. Очевидно, наред с изброяването на всички възможни резултати от изучавания случаен експеримент, ние също трябва да знаем колко често в дълга поредица от такива експерименти могат да се случат определени елементарни събития. Наистина, връщайки се, да речем, към примерите, лесно е да си представим, че в рамките на всеки от описаните в

В тези пространства от елементарни събития можем да разгледаме безброй случайни експерименти, които се различават значително по техния механизъм. Така в примери 4.1-4.3 ще имаме значително различни относителни честоти на поява на едни и същи елементарни резултати, ако използваме различни моменти и зарове (симетрични. , с леко изместен център на тежестта, със силно изместен център на тежестта и др.) В примери 4.4-4.7 честотата на поява на дефектни продукти, естеството на замърсяване на инспектираните партиди с дефектни продукти и честотата на поява на определен брой откази на автоматични линейни машини ще зависи от нивото на технологично оборудване на изследваното производство: при едно и също пространство на елементарни събития, честотата на поява на „добри“ елементарни резултати ще бъде по-висока в производството с по-високо ниво на технология.

За да се изгради (в дискретен случай) цялостна и завършена математическа теория на случаен експеримент - теория на вероятността, в допълнение към вече въведените първоначални понятия за случаен експеримент, елементарен резултат и случайно събитие, е необходимо да се запасят въз основа на още едно първоначално предположение (аксиома), постулиращо съществуването на вероятности за елементарни събития (удовлетворяващи определена нормализация) и определящо вероятността за всяко случайно събитие.

Аксиома. Всеки елемент от пространството на елементарните събития Q съответства на някаква неотрицателна числена характеристика на шансовете за неговото възникване, наречена вероятност на събитието и

(от тук, в частност, следва, че за всички ).

Определяне на вероятността от събитие. Вероятността за всяко събитие A се определя като сбор от вероятностите на всички елементарни събития, които съставляват събитие A, т.е. ако използваме символизъм, за да обозначим „вероятността за събитие A“, тогава

От тук и от (4.2) веднага следва, че вероятността за надеждно събитие е винаги

е равна на единица, а вероятността за невъзможно събитие е нула. Всички други концепции и правила за работа с вероятности и събития вече ще бъдат извлечени от четирите първоначални дефиниции, въведени по-горе (случаен експеримент, елементарен резултат, случайно събитие и неговата вероятност) и една аксиома.

По този начин, за цялостно описание на механизма на изучавания случаен експеримент (в дискретния случай), е необходимо да се определи краен или изброим набор от всички възможни елементарни резултати Q и да се присвои на всеки елементарен резултат някои неотрицателни (не надвишаваща единица), числена характеристика, интерпретирана като вероятността за възникване на резултата, с установения тип съответствие трябва да отговаря на изискването за нормализиране (4.2).

Вероятностното пространство е точно концепцията, която формализира такова описание на механизма на случаен експеримент. Да се ​​дефинира вероятностно пространство означава да се дефинира пространството на елементарни събития Q и да се дефинира горното типово съответствие в него

Очевидно съответствието от тип (4.4) може да бъде определено по различни начини: с помощта на таблици, графики, аналитични формули и накрая, алгоритмично.

Как да конструираме вероятностно пространство, съответстващо на реалния набор от изследвани условия? По правило няма трудности при запълването на понятията случаен експеримент, елементарно събитие, пространство на елементарни събития и в отделен случай с всяко разложимо случайно събитие с конкретно съдържание. Но определянето на вероятностите за отделни елементарни събития от конкретните условия на решаваната задача не е толкова лесно! За тази цел се използва един от следните три подхода.

Априорният подход за изчисляване на вероятностите се състои от теоретичен, спекулативен анализ на специфичните условия на даден случаен експеримент (преди провеждането на самия експеримент). В редица ситуации този предварителен анализ дава възможност теоретично да се обоснове методът за определяне на желаните вероятности. Например, възможно е пространството на всички възможни

елементарните резултати се състоят от краен брой N елементи и условията за произвеждане на случаен експеримент, който се изследва, са такива, че вероятностите всеки от тези N елементарни резултата да ни изглеждат равни (това е точно ситуацията, в която се намираме, когато хвърляне на симетрична монета, хвърляне на честни зарове или произволно теглене на карта за игра от добре смесено тесте и т.н.). По силата на аксиома (4.2) вероятността за всяко елементарно събитие в този случай е равна на MN. Това ни позволява да получим проста рецепта за изчисляване на вероятността за всяко събитие: ако събитие А съдържа NA елементарни събития, тогава в съответствие с дефиницията (4.3)

Значението на формула (4.3) е, че вероятността за събитие в даден клас ситуации може да се определи като съотношението на броя на благоприятните резултати (т.е. елементарните резултати, включени в това събитие) към броя на всички възможни резултати ( така наречената класическа дефиниция на вероятността). В съвременната си интерпретация формула (4.3) не е дефиниция на вероятността: тя е приложима само в частния случай, когато всички елементарни резултати са еднакво вероятни.

Подходът на задната честота за изчисляване на вероятностите по същество се основава на дефиницията на вероятността, възприета от така наречената честотна концепция за вероятност (за повече информация относно тази концепция вижте, например, в ). В съответствие с тази концепция вероятността се определя като границата на относителната честота на поява на резултата в процеса на неограничено увеличаване на общия брой случайни експерименти, т.е.

където е броят на случайните експерименти (от общия брой извършени случайни експерименти), в които е регистрирано настъпването на елементарно събитие. Съответно, за практическо (приблизително) определяне на вероятностите се предлага да се вземат относителните честоти на. настъпването на събитие в достатъчно дълъг период

серия от случайни експерименти. Този метод за изчисляване на вероятностите не противоречи на съвременната (аксиоматична) концепция на теорията на вероятностите, тъй като последната е конструирана по такъв начин, че емпиричният (или селективен) аналог на обективно съществуващата вероятност за всяко събитие A е относителната честота на възникване на това събитие в серия от независими опити. Дефинициите на вероятността в тези две концепции са различни: в съответствие с честотната концепция, вероятността не е обективно свойство на изучаваното явление, което съществува преди опита, а се появява само във връзка с експеримент или наблюдение; това води до смесване на теоретични (истински, обусловени от реалния комплекс от условия за „съществуване” на изследваното явление) вероятностни характеристики и техните емпирични (избирателни) аналози. Както пише Г. Крамер, „посочената дефиниция на вероятността може да се сравни, например, с дефиницията на геометрична точка като граница на тебеширени петна с неограничено намаляващи размери, но съвременната аксиоматична геометрия не въвежда такова определение“ () . Тук няма да се спираме на математическите недостатъци на честотната концепция за вероятност. Нека отбележим само фундаменталните трудности при прилагането на изчислителна техника за получаване на приблизителни стойности с помощта на относителни честоти. Първо, поддържане на непроменени условията на случаен експеримент (т.е. поддържане на условията на статистически ансамбъл), при които предположението за тенденцията на относителните честоти да се групират около постоянна стойност се оказва валидна, не може да се поддържа безкрайно и с висока точност. Следователно за оценка на вероятностите с помощта на относителни честоти няма

Няма смисъл да се вземат твърде дълги серии (т.е. твърде големи) и следователно, между другото, точен преход към границата (4.5) не може да има реално значение. Второ, в ситуации, в които имаме достатъчно голям брой възможни елементарни резултати (и те могат да образуват безкраен набор и дори, както е отбелязано в § 4.1, континуален набор), дори в произволно дълга поредица от случайни експерименти ще имаме възможни резултати, които никога не са били реализирани по време на нашия експеримент; и за други възможни резултати, приблизителните стойности на вероятността, получени с помощта на относителни честоти, ще бъдат изключително ненадеждни при тези условия.

Подходът на апостериорния модел за определяне на вероятности, съответстващи на конкретния реален набор от условия, които се изучават, в момента е може би най-широко разпространеният и най-удобният от практическа гледна точка. Логиката на този подход е следната. От една страна, в рамките на априорен подход, т.е. в рамките на теоретичен, спекулативен анализ на възможни варианти за спецификата на хипотетични реални комплекси от условия, набор от моделни вероятностни пространства (бином, Поасон, нормално, експоненциален и т.н., вижте § 6.1). От друга страна, изследователят разполага с резултатите от ограничен брой произволни експерименти. След това, използвайки специални математически и статистически техники (въз основа на методи за статистическа оценка на неизвестни параметри и статистическо тестване на хипотези, вижте глави 8 и 9), изследователят, така да се каже, „настройва“ хипотетичните модели на вероятностните пространства към резултатите от наблюдението той има (отразявайки спецификата на изучавания реален свят) и оставя за по-нататъшно използване само този модел или онези модели, които не противоречат на тези резултати и в известен смисъл най-добре им съответстват.

Нека сега опишем основните правила за работа с вероятностите за събития, които са следствие от дефинициите и аксиомите, приети по-горе.

Вероятност на сбора от събития (теорема за добавяне на вероятности). Нека формулираме и докажем правилото за изчисляване на вероятността на сумата от две събития. За да направим това, разделяме всяко от множеството елементарни събития,

компоненти на събитието на две части:

където обединява всички елементарни събития с, включени в, но невключени в се състои от всички тези елементарни събития, които са едновременно включени в Използвайки дефиниция (4.3) и дефиницията на продукт от събития, имаме:

В същото време, в съответствие с дефиницията на сумата от събития и с (4.3), имаме

От (4.6), (4.7) и (4.8) получаваме формулата за събиране на вероятности (за две събития):

Формула (4.9) за добавяне на вероятности може да се обобщи за случай на произволен брой членове (вижте например 183, стр. 105):

където „добавянията“ се изчисляват под формата на сума от вероятностите на формата

Освен това, сумирането от дясната страна се извършва, очевидно, при условие, че всички са различни, . В специалния случай, когато системата, която ни интересува, се състои само от несъвместими събития, всички продукти на формата

ще бъдат празни (или невъзможни) събития и съответно формула (4.9) дава

Вероятност за продукт от събития (теорема за умножение на вероятностите). Условна вероятност.

Нека разгледаме ситуации, когато предварително зададено условие или фиксирането на някакво вече настъпило събитие изключва от списъка на възможните някои от елементарните събития на анализираното вероятностно пространство. По този начин, анализирайки набор от N масово произвеждани продукти, съдържащи продукти от първи, - втори, - трети и - четвърти клас, ние разглеждаме вероятностно пространство с елементарни резултати и техните вероятности - съответно (тук означава събитието, че даден продукт е произволен извлечени от съвкупността се оказаха разнообразие). Да предположим, че условията за сортиране на продуктите са такива, че на някакъв етап продуктите от първи клас са отделени от общата съвкупност и трябва да изградим всички вероятностни заключения (и по-специално изчисляване на вероятностите за различни събития) във връзка с a съкратено население, състоящо се само от продукти от втори, трети и четвърти клас. В такива случаи е обичайно да се говори за условни вероятности, т.е. за вероятности, изчислени при условие, че дадено събитие вече е настъпило. В този случай такова извършено събитие е събитие, т.е. събитие, включващо произволно извлечен продукт, е втори, трети или четвърти клас. Следователно, ако се интересуваме от изчисляването на условната вероятност за събитие A (при условие, че събитие B вече се е случило), което се състои например във факта, че продукт, изтеглен на случаен принцип, се оказва от втора или трета степен , тогава очевидно тази условна вероятност (ние я обозначаваме) може да се определи от следната връзка:

Както е лесно да се разбере от този пример, изчисляването на условни вероятности е по същество преход към друго пространство от елементарни събития, съкратено от дадено условие, когато съотношението на вероятностите за елементарни събития в съкратеното пространство остава същото като в оригинален (по-широк), но всички те са нормализирани (разделени на), така че изискването за нормализиране (4.2) също е изпълнено в новото вероятностно пространство. Разбира се, би било възможно да не се въвежда терминология с условни вероятности, а просто да се използва апаратът на обикновените („безусловни“) вероятности в новото пространство. Писането по отношение на вероятностите на „старото“ пространство е полезно в случаите, когато според условията на конкретен проблем трябва винаги да помним съществуването на оригиналното, по-широко пространство от елементарни събития.

Нека получим формулата за условна вероятност в общия случай. Нека B е събитие (непразно), N се счита за вече настъпило („условие“), събитие, чиято условна вероятност трябва да бъде изчислена. Новото (скъсено) пространство на елементарни събития Q се състои само от елементарни събития, включени в B, и следователно техните вероятности (с условието за нормализация) се определят от отношенията

По дефиниция вероятността е вероятността за събитие А в „намалено“ вероятностно пространство и следователно в съответствие с (4.3) и (4.10)

или, което е същото,

Еквивалентните формули (4.11) и (4.11") обикновено се наричат ​​съответно формула за условна вероятност и правило за умножение на вероятностите.

Нека подчертаем още веднъж, че разглеждането на условните вероятности на различни събития при едно и също условие B е еквивалентно на разглеждането на обикновени вероятности в друго (редуцирано) пространство от елементарни събития чрез преизчисляване на съответните вероятности на елементарни събития с помощта на формула (4.10). Следователно всички общи теореми и правила за работа с вероятности остават в сила за условни вероятности, ако тези условни вероятности се приемат при едно и също условие.

Независимост на събитията.

Две събития A и B се наричат ​​независими if

За да обясним естествеността на такова определение, нека се върнем към теоремата за умножение на вероятностите (4.11) и да видим в какви ситуации (4.12) следва от нея. Очевидно това може да бъде, когато условната вероятност е равна на съответната безусловна вероятност, т.е. грубо казано, когато знанието, че дадено събитие е настъпило, по никакъв начин не влияе на оценката на шансовете за настъпване на събитие А.

Разширяването на определението за независимост до система от повече от две събития е както следва. Събитията се наричат ​​взаимно независими, ако за всякакви двойки, тройки, четворки и т.н. на събития, избрани от този набор от събития, се прилагат следните правила за умножение:

Очевидно първият ред предполага

(броя на комбинациите от k две) уравнения, във второто - и т.н. Общо следователно (4.13) комбинира условията. В същото време условията на първата линия са достатъчни, за да осигурят двойна независимост на тези събития. И въпреки че двойката и взаимната независимост на система от събития, строго погледнато, не са едно и също нещо, тяхната разлика е от теоретичен, а не практически интерес: практически важни примери за двойки независими събития, които не са взаимно независими, очевидно не съществуват.

Свойството за независимост на събитията значително улеснява анализа на различни вероятности, свързани с изследваната система от събития. Достатъчно е да се каже, че ако в общия случай, за да опишете вероятностите на всички възможни комбинации от системни събития, трябва да посочите 2 вероятности, тогава в случай на взаимна независимост на тези събития са достатъчни само k вероятности

Независими събития се срещат много често в реалната реалност, която се изучава; те се извършват в експерименти (наблюдения), извършвани независимо едно от друго в обичайния физически смисъл.

Това е свойството за независимост на резултатите от четири последователни хвърляния на зара, което направи възможно (с помощта на (4.13)) лесно да се изчисли вероятността да не се получи шестица (в нито едно от тези хвърляния) в проблема за раздел 2.2.1. Наистина, обозначавайки събитието, което се състои в неполучаване на шестица при жребий (тази възможност пряко следва от факта, че събитията изчерпват общо цялото пространство от елементарни събития и не се пресичат по двойки), т.е.

Освен това, използвайки теоремата за добавяне на вероятности (по отношение на несъвместими събития, които са събития) и изчисляване на вероятността за всеки от продуктите, използвайки формулата за произведение на вероятностите (4.1G), получаваме (4.14).

Формула на Бейс.

Нека първо се обърнем към следващия проблем. Складът съдържа устройства, произведени от три фабрики: 20% от устройствата в склада са произведени от завод № 1, 50% от завод № 2 и 30% от завод № 3. Вероятността устройството да изисква ремонт по време на гаранционният срок е за продукта, всяка от растенията е равна съответно на 0,2; 0,1; 0,3. Взетият от склада уред нямаше фабрична маркировка и изискваше ремонт (в гаранционния срок). Коя фабрика най-вероятно е произвела това устройство? Каква е тази вероятност? Ако дефинираме събитието, при което случайно взето от склад устройство се е оказало произведено в

Замествайки (4.16) и (4.17) в (4.15), получаваме

С помощта на тази формула е лесно да се изчислят необходимите вероятности:

Следователно най-вероятно некачественото устройство е произведено в завод №3.

Доказателството на формула (4.18) в случай на пълна система от събития, състояща се от произволен брой k събития, точно повтаря доказателството на формула (4.18). В тази обща форма формулата

Обикновено се нарича формула на Байс.