Раздели на сайта
Избор на редактора:
- Шест примера за компетентен подход към склонението на числата
- Лицето на зимата Поетични цитати за деца
- Урок по руски език "мек знак след съскащи съществителни"
- Щедрото дърво (притча) Как да измислим щастлив край на приказката Щедрото дърво
- План на урока за света около нас на тема „Кога ще дойде лятото?
- Източна Азия: страни, население, език, религия, история Като противник на псевдонаучните теории за разделянето на човешките раси на по-нисши и по-висши, той доказа истината
- Класификация на категориите годност за военна служба
- Малоклузия и армията Малоклузията не се приема в армията
- Защо сънувате мъртва майка жива: тълкувания на книги за сънища
- Под какви зодиакални знаци са родените през април?
реклама
Как да изчислим площта на триъгълник въз основа на три страни. Как да изчислим площта на триъгълник |
За да определите площта на триъгълник, можете да използвате различни формули. От всички методи най-лесният и най-често използваният е височината да се умножи по дължината на основата и резултатът да се раздели на две. Този метод обаче далеч не е единственият. По-долу можете да прочетете как да намерите площта на триъгълник с помощта на различни формули. Отделно ще разгледаме начините за изчисляване на площта на конкретни видове триъгълници - правоъгълни, равнобедрени и равностранни. Придружаваме всяка формула с кратко обяснение, което ще ви помогне да разберете нейната същност. Универсални методи за намиране на площта на триъгълникФормулите по-долу използват специална нотация. Ще дешифрираме всеки от тях:
Логически е ясно защо можете да намерите площта на триъгълник по този начин. Триъгълникът може лесно да бъде завършен в успоредник, в който едната страна на триъгълника ще действа като диагонал. Площта на успоредник се намира чрез умножаване на дължината на една от страните му по стойността на височината, начертана към нея. Диагоналът разделя този условен паралелограм на 2 еднакви триъгълника. Следователно е съвсем очевидно, че площта на нашия оригинален триъгълник трябва да бъде равна на половината от площта на този спомагателен успоредник. S=½ a b sin γ Според тази формула площта на триъгълник се намира чрез умножаване на дължините на двете му страни, тоест a и b, по синуса на ъгъла, образуван от тях. Тази формула е логично изведена от предишната. Ако намалим височината от ъгъл β към страна b, тогава според свойствата правоъгълен триъгълник, когато умножим дължината на страната a по синуса на ъгъла γ, получаваме височината на триъгълника, тоест h. Площта на въпросната фигура се намира чрез умножаване на половината радиус на окръжността, която може да бъде вписана в нея, по нейния периметър. С други думи, намираме произведението на полупериметъра и радиуса на споменатата окръжност. S= a b c/4R Според тази формула стойността, от която се нуждаем, може да бъде намерена, като продуктът на страните на фигурата се раздели на 4 радиуса на описаната около нея окръжност. Тези формули са универсални, тъй като позволяват да се определи площта на всеки триъгълник (мащабен, равнобедрен, равностранен, правоъгълен). Това може да стане с помощта на по-сложни изчисления, на които няма да се спираме подробно. Площи на триъгълници със специфични свойстваКак да намерим площта на правоъгълен триъгълник? Особеността на тази фигура е, че двете й страни са едновременно нейни височини. Ако a и b са катети и c става хипотенуза, тогава намираме площта по следния начин: Как да намерите площта на равнобедрен триъгълник? Има две страни с дължина a и една страна с дължина b. Следователно неговата площ може да се определи чрез разделяне на 2 на произведението на квадрата на страната a на синуса на ъгъл γ. Как да намерим площта на равностранен триъгълник? В него дължината на всички страни е равна на a, а големината на всички ъгли е α. Височината му е равна на половината от произведението на дължината на страна a и корен квадратен от 3. За да намерите площта на правилен триъгълник, трябва да умножите квадрата на страна a по корен квадратен от 3 и да разделите на 4. от противоположен връх) и разделете получения продукт на две. Във форма това изглежда така: S = ½ * a * h, където: Дължината и височината на страната трябва да бъдат представени в едни и същи мерни единици. В този случай площта на триъгълника ще бъде получена в съответните единици „ “. Пример. Ако са известни дължините на които и да е две страни на скален триъгълник и ъгълът между тях, използвайте формулата: S = ½ * a * b * sinγ, където: a, b са дължините на две произволни страни, а γ е ъгълът между тях. На практика, например, при измерване на парцели, използването на горните формули понякога е трудно, тъй като изисква допълнително изграждане и измерване на ъгли. Ако знаете дължините на всичките три страни на скален триъгълник, използвайте формулата на Heron: S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)), a, b, c – дължини на страните на триъгълника, Ако в допълнение към дължините на всички страни е известен радиусът на окръжността, вписана в триъгълника, използвайте следната компактна формула: където: r – радиус на вписаната окръжност (р – полупериметър). За да изчислите площта на скален триъгълник и дължината на страните му, използвайте формулата: където: R – радиус на описаната окръжност. Ако знаете дължината на една от страните на триъгълника и три ъгъла (по принцип са достатъчни два - стойността на третия се изчислява от равенството на сумата от трите ъгъла на триъгълника - 180º), тогава използвайте формулата: S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα, където α е стойността на ъгъла срещу страната a; Необходимостта от намиране различни елементи, включително области триъгълник, се появява много векове преди новата ера сред учени астрономи Древна Гърция. Квадрат триъгълникможе да се изчисли по различни начиниизползвайки различни формули. Методът на изчисление зависи от кои елементи триъгълникизвестен. Инструкции Ако от условието знаем стойностите на двете страни b, c и ъгъла, образуван от тях?, тогава площта триъгълник ABC се намира по формулата: Ако от условието знаем стойностите на двете страни a, b и ъгъла, който не е образуван от тях?, тогава площта триъгълник ABC се намира, както следва: Ако от условието знаем стойностите само на три страни триъгълник a, b и c, след това площта триъгълник ABC се намира по формулата: Ако от условията на задачата знаем височината триъгълник h и страната, на която тази височина се спуска, след това площта триъгълник ABC по формулата: Ако знаем значенията на страните триъгълник a, b, c и радиуса, описан за това триъгълник R, тогава площта на това триъгълник ABC се определя по формулата: Ако ABC е равностранен, тогава площта се намира по формулата: Видео по темата
източници:
Съвет 3: Как да намерите площта на триъгълник, ако ъгълът е известенПознаването само на един параметър (ъгълът) не е достатъчно, за да се намери площта тре квадрат . Ако има допълнителни размери, тогава за определяне на площта можете да изберете една от формулите, в които стойността на ъгъла също се използва като една от известните променливи. По-долу са дадени няколко от най-често използваните формули. Инструкции Ако освен големината на ъгъла (γ), образуван от двете страни тре квадрат , тогава дължините на тези страни (A и B) също са известни квадрат(S) на фигура може да се дефинира като половината от произведението на дължините на страните и синуса на този известен ъгъл: S=½×A×B×sin(γ). Площ на триъгълник - формули и примери за решаване на задачиПо-долу са формули за намиране на площта на произволен триъгълниккоито са подходящи за намиране на площта на всеки триъгълник, независимо от неговите свойства, ъгли или размери. Формулите са представени под формата на картина, с обяснения за тяхното приложение или обосновка за тяхната коректност. Съответствията също са посочени на отделна фигура буквени обозначениявъв формули и графични символина чертежа. Забележка . Ако триъгълникът има специални свойства(равнобедрен, правоъгълен, равностранен), можете да използвате формулите, дадени по-долу, както и допълнителни специални формули, които са валидни само за триъгълници с тези свойства:
Формули за площ на триъгълникОбяснения към формулите: Моля, обърнете внимание, че дадените обозначения съответстват на фигурата по-горе, така че при решаване на реален геометричен проблем ще ви бъде визуално по-лесно да замените правилните стойности на правилните места във формулата.
Забележка. Следват примери за решаване на геометрични задачи за намиране на площта на триъгълник. Ако трябва да решите геометрична задача, която не е подобна тук, пишете за това във форума. В решенията вместо символа " корен квадратен" може да се използва функцията sqrt(), в която sqrt е символът за квадратен корен, а радикалният израз е посочен в скоби.Понякога за прости радикални изрази може да се използва символът √ Задача. Намерете площта на дадените две страни и ъгъла между тяхСтраните на триъгълника са 5 и 6 см. Ъгълът между тях е 60 градуса. Намерете площта на триъгълника. Решение. За решаването на тази задача използваме формула номер две от теоретичната част на урока. Тъй като имаме всички необходими данни за решението (според формулата), можем само да заместим стойностите от условията на задачата във формулата: В таблицата със стойности тригонометрични функцииНека намерим и заместим стойността на синуса от 60 градуса в израза. Ще бъде равно на корен от три по две. отговор: 7,5 √3 (в зависимост от изискванията на учителя, вероятно можете да оставите 15 √3/2) Задача. Намерете площта на равностранен триъгълникНамерете лицето на равностранен триъгълник със страна 3 cm. Разтвор . Площта на триъгълник може да се намери с помощта на формулата на Heron: S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) Тъй като a = b = c, формулата за площта на равностранен триъгълник приема формата: S = √3 / 4 * a 2 S = √3 / 4 * 3 2 отговор: 9 √3 / 4. Задача. Промяна в площта при промяна на дължината на странитеКолко пъти ще се увеличи площта на триъгълника, ако страните се увеличат 4 пъти? Решение. Тъй като размерите на страните на триъгълника не са ни известни, за да решим задачата, ще приемем, че дължините на страните са съответно равни произволни числа a, b, c. След това, за да отговорим на въпроса на задачата, ще намерим площта на дадения триъгълник, а след това ще намерим площта на триъгълника, чиито страни са четири пъти по-големи. Отношението на площите на тези триъгълници ще ни даде отговора на задачата. По-долу предоставяме текстово обяснение на решението на проблема стъпка по стъпка. В самия край обаче същото това решение е представено в по-удобна графична форма. Тези, които се интересуват, могат веднага да преминат към решенията. За решаване използваме формулата на Heron (вижте по-горе в теоретичната част на урока). Изглежда така: S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) Дължините на страните на произволен триъгълник се задават от променливите a, b, c. S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c)) Както можете да видите, 4 е общ множител, който може да бъде изваден от скоби от всичките четири израза според общи правиламатематика. S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - на третия ред на картината Коренът квадратен от числото 256 е идеално извлечен, така че нека го извадим изпод корена За да отговорим на въпроса, зададен в задачата, просто трябва да разделим площта на получения триъгълник на площта на първоначалния. Инструкции Партитаи ъглите се считат за основни елементи А. Триъгълникът е напълно дефиниран от някой от следните основни елементи: или три страни, или една страна и два ъгъла, или две страни и ъгъл между тях. За съществуване триъгълникдадено от три страни a, b, c, е необходимо и достатъчно да се удовлетворят неравенствата, наречени неравенства триъгълник: Да строиш триъгълникот три страни a, b, c, е необходимо от точка C на сегмента CB = a да начертаете кръг с радиус b с компас. След това по същия начин начертайте окръжност от точка B с радиус, равен на страната c. Тяхната пресечна точка А е третият връх на търсеното триъгълник ABC, където AB=c, CB=a, CA=b - страни триъгълник. Задачата е , ако страните a, b, c, отговарят на неравенствата триъгълникпосочени в стъпка 1. Зона S, изградена по този начин триъгълник ABC с известни страни a, b, c се изчислява по формулата на Heron: Ако триъгълникът е равностранен, т.е. всичките му страни са равни (a=b=c).Площ триъгълникизчислено по формулата: Ако триъгълникът е правоъгълен, тоест един от ъглите му е равен на 90°, а страните, които го образуват, са катети, третата страна е хипотенузата. IN в този случай квадрате равно на произведението на краката, разделено на две. За да намерите квадрат триъгълник, можете да използвате една от многото формули. Изберете формула в зависимост от това какви данни вече са известни. Ще ви трябва
Инструкции Ако знаете размера на една от страните и стойността на височината, спусната до тази страна от противоположния на нея ъгъл, тогава можете да намерите площта, като използвате следното: S = a*h/2, където S е площта на триъгълника, a е една от страните на триъгълника, а h - височина, към страна a. Има известен метод за определяне на площта на триъгълник, ако са известни трите му страни. Това е формулата на Heron. За опростяване на записването му е въведена междинна стойност - полупериметър: p = (a+b+c)/2, където a, b, c - . Тогава формулата на Херон е следната: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^½, ^ степенуване. Да приемем, че знаете една от страните на триъгълник и три ъгъла. Тогава е лесно да се намери площта на триъгълника: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), където β е ъгълът, противоположен на страната a, а α и γ са ъгли, съседни на страната. Видео по темата
Моля, обърнете внимание Най-общата формула, която е подходяща за всички случаи, е формулата на Heron. източници: Съвет 3: Как да намерите площта на триъгълник въз основа на три страниНамирането на площта на триъгълник е един от най-често срещаните проблеми в училищната планиметрия. Познаването на трите страни на триъгълника е достатъчно, за да се определи площта на всеки триъгълник. В специални случаи на равностранни триъгълници е достатъчно да знаете дължините съответно на две и една страна. Ще ви трябва
Инструкции Формулата на Heron за площта на триъгълник е следната: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Ако напишем полупериметъра p, получаваме: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c )/2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4. Можете да извлечете формула за площта на триъгълник от съображения, например, като приложите косинусовата теорема. По косинусовата теорема AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Използвайки въведените обозначения, те също могат да бъдат записани във формата: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Следователно cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c) Площта на триъгълник също се намира по формулата S = a*c*sin(ABC)/2, като се използват две страни и ъгълът между тях. Синусът на ъгъл ABC може да бъде изразен чрез него с помощта на основната тригонометрична идентичност: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2). Като заместим синуса във формулата за площта и я изпишем , можете да стигнете до формулата за лицето на триъгълника ABC. Видео по темата
За извършване ремонтна дейностможе да се наложи измерване квадратстени Това улеснява изчисляването на необходимото количество боя или тапет. За измервания е най-добре да използвате ролетка или измервателна лента. Измерванията трябва да се направят след стенибяха изравнени. Ще ви трябва
Инструкции Да брои квадратстени, трябва да знаете точната височина на таваните и също така да измерите дължината по пода. Това се прави по следния начин: вземете сантиметър и го поставете върху перваза. Обикновено един сантиметър не е достатъчен за цялата дължина, така че го закрепете в ъгъла, след което го развийте максимална дължина. В тази точка поставете маркировка с молив, запишете получения резултат и извършете допълнителни измервания по същия начин, като започнете от последната точка на измерване. Стандартни таванив типичните - 2 метра 80 сантиметра, 3 метра и 3 метра 20 сантиметра, в зависимост от къщата. Ако къщата е построена преди 50-те години, тогава най-вероятно действителната височина е малко по-ниска от посочената. Ако пресмятате квадратза ремонтни дейности, тогава малка доставка няма да навреди - помислете въз основа на стандарта. Ако все още трябва да знаете реална височина- направете измервания. Принципът е подобен на измерването на дължина, но ще ви е необходима стълба. Умножете получените показатели - това е квадраттвоя стени. Вярно, кога бояджийски работиили за е необходимо да се извади квадратврата и прозоречни отвори. За да направите това, поставете сантиметър по протежение на отвора. Ако ние говорим заотносно вратата, която впоследствие ще смените, след това я преведете с премахнатата рамка на вратата, като се има предвид само квадратдиректно до самия отвор. Площта на прозореца се изчислява по периметъра на рамката му. след квадратизчислени прозорец и врата, извадете резултата от общата получена площ на стаята. Моля, имайте предвид, че измерването на дължината и ширината на стаята се извършва от двама души, което улеснява фиксирането на сантиметър или рулетка и съответно получаването на по-точен резултат. Направете едно и също измерване няколко пъти, за да сте сигурни, че получените числа са точни. Видео по темата
Намирането на обема на триъгълник е наистина нетривиална задача. Факт е, че триъгълникът е двуизмерна фигура, т.е. лежи изцяло в една равнина, което означава, че просто няма обем. Разбира се, не можете да намерите нещо, което не съществува. Но да не се отказваме! Можем да приемем следното предположение: обемът на двумерна фигура е нейната площ. Ще търсим площта на триъгълника. Ще ви трябва
Инструкции Начертайте върху лист хартия с линийка и молив. Като внимателно разгледате триъгълника, можете да се уверите, че той наистина няма триъгълник, тъй като е начертан на равнина. Обозначете страните на триъгълника: нека едната страна е страна "a", другата страна "b", а третата страна "c". Обозначете върховете на триъгълника с буквите "A", "B" и "C". Измерете всяка страна на триъгълника с линийка и запишете резултата. След това възстановете перпендикуляра на измерената страна от противоположния му връх, такъв перпендикуляр ще бъде височината на триъгълника. В случая, показан на фигурата, перпендикулярът "h" се възстановява на страна "c" от върха "A". Измерете получената височина с линийка и запишете резултата от измерването. Може да ви е трудно да възстановите точния перпендикуляр. В този случай трябва да използвате различна формула. Измерете всички страни на триъгълника с линийка. След това изчислете полупериметъра на триъгълника "p", като добавите получените дължини на страните и разделите сбора им наполовина. Имайки на ваше разположение стойността на полупериметъра, можете да използвате формулата на Heron. За да направите това, трябва да вземете корен квадратен от следното: p(p-a)(p-b)(p-c). имаш необходимата стойностплощта на триъгълника. Проблемът с намирането на обема на триъгълник не е решен, но както беше споменато по-горе, обемът не е решен. Можете да намерите обем, който по същество е триъгълник в триизмерния свят. Ако си представим, че нашият първоначален триъгълник се е превърнал в триизмерна пирамида, тогава обемът на такава пирамида ще бъде произведението на дължината на нейната основа и площта на триъгълника, който сме получили. Моля, обърнете внимание Колкото по-внимателно измервате, толкова по-точни ще бъдат вашите изчисления. източници:
Трите точки, които еднозначно определят триъгълник в декартовата координатна система, са неговите върхове. Познавайки тяхната позиция спрямо всяка от координатните оси, можете да изчислите всички параметри на това плоска фигура, включително и ограничено от периметъра си квадрат. Това може да стане по няколко начина. Инструкции Използвайте формулата на Heron за изчисляване на площта триъгълник. Той включва размерите на трите страни на фигурата, така че започнете изчисленията си с . Дължината на всяка страна трябва да бъде равна на корена от сумата от квадратите на дължините на нейните проекции върху координатни оси. Ако означим координатите A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) и C(X₃,Y3,Z₃), дължините на техните страни могат да бъдат изразени по следния начин: AB = √((X₁- X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √(( X₁-X3)² + (Y₁-Y3)² + (Z1-Z3)²). За да опростите изчисленията, въведете спомагателна променлива - полупериметър (P). От факта, че това е половината от сбора на дължините на всички страни: P = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁- Z₂)²) + √ ((X₂-X3)² + (Y₂-Y3)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X3)² + (Y₁-Y3)² + (Z₁-Z₃) ²). В интернет можете да намерите над 10 формули за изчисляване на площта на триъгълник. Много от тях се използват в задачи с известни страни и ъгли на триъгълника. Има обаче редица сложни примери, при които според условията на заданието са известни само една страна и ъгли на триъгълник или радиус на описана или вписана окръжност и още една характеристика. В такива случаи не може да се приложи проста формула. Формулите, дадени по-долу, ще ви позволят да решите 95 процента от задачите, в които трябва да намерите площта на триъгълник. На фигурата и по-долу във формулите са въведени класическите обозначения на всички негови характеристики. Основни формули за площта на триъгълник1. Площта е равна на половината от произведението на страната на триъгълника и височината, спусната до тази страна. На езика на формулите това определение може да се напише по следния начин Така, ако страната и височината са известни, тогава всеки ученик ще намери площта. 2. Ако вземем предвид, че височината на триъгълник през съседната страна се изразява чрез зависимостта След това първата формула за площ е последвана от вторите от същия тип Погледнете внимателно формулите - те са лесни за запомняне, тъй като работата включва две страни и ъгъла между тях. Ако правилно обозначим страните и ъглите на триъгълника (както на фигурата по-горе), ще получим две страни a,b а ъгълът е свързан с третияС (хамма). 3. За ъглите на триъгълник връзката е вярна Зависимостта ви позволява да използвате следните формули за площта на триъгълник в изчисленията: Примерите за тази зависимост са изключително редки, но трябва да запомните, че има такава формула. 4. Ако страната и двата съседни ъгъла са известни, тогава площта се намира по формулата 5. Формулата за площ по отношение на страна и котангенс на съседни ъгли е следната Чрез пренареждане на индексите можете да получите зависимости за други страни. 6. Формулата за площ по-долу се използва в задачи, когато върховете на триъгълник са посочени в равнината с координати. В този случай площта е равна на половината от детерминантата, взета по модул. 7. Формула на Херонизползвани в примери с известни страни на триъгълник. И след това определете площта с помощта на формулата Доста често се използва в кода на калкулаторните програми. 8. Ако всички височини на триъгълника са известни, то площта се определя по формулата Трудно е да се изчисли с калкулатор, но в пакетите MathCad, Mathematica, Maple площта е "време две". 9. Следните формули използват известните радиуси на вписани и описани окръжности. 10. В примери, където са дадени страните и радиусът или диаметърът на описаната окръжност, площта се намира по формулата 11. Следната формула определя площта на триъгълник по отношение на страната и ъглите на триъгълника. И накрая - специални случаи: Формула за площта на равностранен (правилен) триъгълник= |
Прочетете: |
---|
Популярни:
Афоризми и цитати за самоубийство |
Нов
- Лицето на зимата Поетични цитати за деца
- Урок по руски език "мек знак след съскащи съществителни"
- Щедрото дърво (притча) Как да измислим щастлив край на приказката Щедрото дърво
- План на урока за света около нас на тема „Кога ще дойде лятото?
- Източна Азия: страни, население, език, религия, история Като противник на псевдонаучните теории за разделянето на човешките раси на по-нисши и по-висши, той доказа истината
- Класификация на категориите годност за военна служба
- Малоклузия и армията Малоклузията не се приема в армията
- Защо сънувате мъртва майка жива: тълкувания на книги за сънища
- Под какви зодиакални знаци са родените през април?
- Защо мечтаете за буря на морските вълни?