Извиква се функция от формата where квадратична функция.

Графика на квадратична функция – парабола.

Нека разгледаме случаите:

I СЛУЧАЙ, КЛАСИЧЕСКА ПАРАБОЛА

това е,

За да конструирате, попълнете таблицата, като замените стойностите x във формулата:

Маркирайте точките (0;0); (1;1); (-1;1) и т.н. на координатна равнина(колкото по-малка стъпка вземаме стойностите на x (in в този случайстъпка 1), и колкото повече x стойности вземем, толкова по-гладка ще бъде кривата), получаваме парабола:

Лесно е да се види, че ако вземем случая , , , т.е. тогава получаваме парабола, която е симетрична спрямо оста (oh). Лесно е да проверите това, като попълните подобна таблица:

II СЛУЧАЙ, „а“ Е РАЗЛИЧНО ОТ ЕДИНИЦА

Какво ще стане, ако вземем , , ? Как ще се промени поведението на параболата? Със заглавие="Предадено от QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

На първата снимка (виж по-горе) ясно се вижда, че точките от таблицата за параболата (1;1), (-1;1) са трансформирани в точки (1;4), (1;-4), тоест при еднакви стойности ординатата на всяка точка се умножава по 4. Това ще се случи с всички ключови точки от оригиналната таблица. Разсъждаваме по подобен начин в случаите на снимки 2 и 3.

И когато параболата "стане по-широка" от параболата:

Нека да обобщим:

1)Знакът на коефициента определя посоката на клоните. Със заглавие="Предадено от QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Абсолютна стойност коефициент (модул) е отговорен за "разширяването" и "компресията" на параболата. Колкото по-голямо е, толкова по-тясна е параболата, колкото по-малко е |a|, толкова по-широка е параболата.

III СЛУЧАЙ, ПОЯВЯВА СЕ “C”.

Сега нека въведем в играта (т.е. да разгледаме случая, когато), ще разгледаме параболи от формата . Не е трудно да се досетите (винаги можете да се обърнете към таблицата), че параболата ще се измести нагоре или надолу по оста в зависимост от знака:

IV СЛУЧАЙ, ПОЯВЯВА СЕ “b”.

Кога параболата ще се "откъсне" от оста и най-накрая ще "ходи" по цялата координатна равнина? Кога ще спре да е равно?

Ето, за да построим парабола, от която се нуждаем формула за изчисляване на върха: , .

Така че в този момент (както в точка (0;0) нова системакоординати) ще изградим парабола, която вече можем да направим. Ако се занимаваме със случая, тогава от върха поставяме един единичен сегмент надясно, един нагоре, - получената точка е наша (по същия начин стъпка наляво, стъпка нагоре е нашата точка); ако имаме работа, например, тогава от върха поставяме един единичен сегмент надясно, два - нагоре и т.н.

Например върхът на парабола:

Сега основното нещо, което трябва да разберем е, че в този връх ще изградим парабола според модела на парабола, защото в нашия случай.

При построяването на парабола след намиране на координатите на върха многоУдобно е да се вземат предвид следните точки:

1) парабола определено ще мине през точката . Наистина, замествайки x=0 във формулата, получаваме, че . Тоест ординатата на пресечната точка на параболата с оста (oy) е . В нашия пример (по-горе) параболата пресича ординатата в точка , тъй като .

2) ос на симетрия параболи е права линия, така че всички точки на параболата ще бъдат симетрични спрямо нея. В нашия пример веднага вземаме точката (0; -2) и я изграждаме симетрично спрямо оста на симетрия на параболата, получаваме точката (4; -2), през която ще премине параболата.

3) Приравнявайки се към , намираме точките на пресичане на параболата с оста (oh). За да направим това, решаваме уравнението. В зависимост от дискриминанта ще получим едно (, ), две ( title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . В предишния пример нашият корен на дискриминанта не е цяло число при конструирането, няма много смисъл да намираме корените, но ясно виждаме, че ще имаме две точки на пресичане с оста (ох) (от title="Предадено от QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Така че нека да го решим

Алгоритъм за построяване на парабола, ако е дадена във формата

1) определете посоката на клоните (a>0 – нагоре, a<0 – вниз)

2) намираме координатите на върха на параболата по формулата , .

3) ние намираме точката на пресичане на параболата с оста (oy), използвайки свободния термин, конструираме точка, симетрична на тази точка по отношение на оста на симетрия на параболата (трябва да се отбележи, че се случва, че е нерентабилно да се маркира тази точка, например, защото стойността е голяма... пропускаме тази точка...)

4) В намерената точка - върха на параболата (като в точката (0;0) на новата координатна система) построяваме парабола. If title="Изобразено от QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Намираме точките на пресичане на параболата с оста (oy) (ако все още не са "изплували") чрез решаване на уравнението

Пример 1

Пример 2

Бележка 1.Ако първоначално параболата ни бъде дадена във формата , където са някои числа (например ), тогава ще бъде още по-лесно да я конструираме, тъй като вече са ни дадени координатите на върха . защо

Нека вземем квадратен трином и изолираме пълния квадрат в него: Вижте, имаме това , . Вие и аз преди това наричахме върха на парабола, тоест сега,.

Например,. Маркираме върха на параболата в равнината, разбираме, че клоните са насочени надолу, параболата е разширена (спрямо ). Тоест изпълняваме точки 1; 3; 4; 5 от алгоритъма за конструиране на парабола (виж по-горе).

Бележка 2.Ако параболата е дадена във форма, подобна на тази (т.е. представена като произведение на два линейни фактора), тогава веднага виждаме точките на пресичане на параболата с оста (ox). В случая – (0;0) и (4;0). За останалото действаме според алгоритъма, отваряйки скобите.

В часовете по математика в училище вече сте се запознали с най-простите свойства и графика на функция y = x 2. Нека разширим знанията си върху квадратична функция.

Задача 1.

Графика на функцията y = x 2. Мащаб: 1 = 2 см. Маркирайте точка на оста Oy Е(0; 1/4). С помощта на компас или хартиена лента измерете разстоянието от точката Едо някакъв момент Мпараболи. След това закачете лентата в точка M и я завъртете около тази точка, докато стане вертикална. Краят на лентата ще падне малко под оста x (фиг. 1). Маркирайте върху лентата колко далеч се простира отвъд оста x. Сега вземете друга точка на параболата и повторете измерването отново. Колко далеч е паднал ръбът на лентата под оста x?

Резултат:независимо коя точка от параболата y = x 2 вземете, разстоянието от тази точка до точката F(0; 1/4) ще бъде по-голямо от разстоянието от същата точка до абсцисната ос с винаги едно и също число - с 1/4.

Можем да го кажем по различен начин: разстоянието от всяка точка на параболата до точката (0; 1/4) е равно на разстоянието от същата точка на параболата до правата линия y = -1/4. Тази чудесна точка F(0; 1/4) се нарича фокуспараболи y = x 2 и права линия y = -1/4 – директоркатази парабола. Всяка парабола има директриса и фокус.

Интересни свойства на парабола:

1. Всяка точка от параболата е на еднакво разстояние от някаква точка, наречена фокус на параболата, и някаква права линия, наречена нейна директриса.

2. Ако завъртите парабола около оста на симетрия (например парабола y = x 2 около оста Oy), ще получите много интересна повърхност, наречена параболоид на въртене.

Повърхността на течността във въртящ се съд има формата на параболоид на въртене. Можете да видите тази повърхност, ако разбъркате енергично с лъжица в непълна чаша чай и след това извадете лъжицата.

3. Ако хвърлите камък в празнотата под определен ъгъл спрямо хоризонта, той ще лети в парабола (фиг. 2).

4. Ако пресечете повърхността на конус с равнина, успоредна на някоя от неговите образуващи, тогава напречното сечение ще доведе до парабола (фиг. 3).

5. Увеселителни паркове понякога имат забавно пътуване, наречено Paraboloid of Wonders. На всеки, който стои вътре във въртящия се параболоид, изглежда, че той стои на пода, докато останалите хора по някакъв чуден начин се държат за стените.

6. В рефлекторните телескопи се използват и параболични огледала: светлината на далечна звезда, идваща в паралелен лъч, падайки върху огледалото на телескопа, се събира във фокус.

7. Прожекторите обикновено имат огледало във формата на параболоид. Ако поставите източник на светлина във фокуса на параболоид, тогава лъчите, отразени от параболичното огледало, образуват паралелен лъч.

Графика на квадратична функция

В уроците по математика сте учили как да получите графики на функции от формата от графиката на функцията y = x 2:

1) y = брадва 2– разтягане на графиката y = x 2 по оста Oy в |a| пъти (с |a|< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, ориз. 4).

2) y = x 2 + n– изместване на графиката с n единици по оста Oy, като ако n > 0, то изместването е нагоре, а ако n< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).

3) y = (x + m) 2– изместване на графиката с m единици по оста Ox: ако m< 0, то вправо, а если m >0, след това наляво, (фиг. 5).

4) y = -x 2– симетрично изобразяване спрямо оста Ox на графиката y = x 2 .

Нека разгледаме по-отблизо изобразяването на функцията y = a(x – m) 2 + n.

Квадратна функция от формата y = ax 2 + bx + c винаги може да бъде намалена до формата

y = a(x – m) 2 + n, където m = -b/(2a), n = -(b 2 – 4ac)/(4a).

Нека го докажем.

наистина

y = ax 2 + bx + c = a(x 2 + (b/a) x + c/a) =

A(x 2 + 2x · (b/a) + b 2 /(4a 2) – b 2 /(4a 2) + c/a) =

A((x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a).

Нека въведем нови обозначения.

Нека m = -b/(2a), А n = -(b 2 – 4ac)/(4a),

тогава получаваме y = a(x – m) 2 + n или y – n = a(x – m) 2.

Нека направим още няколко замествания: нека y – n = Y, x – m = X (*).

Тогава получаваме функцията Y = aX 2, чиято графика е парабола.

Върхът на параболата е в началото. X = 0; Y = 0.

Замествайки координатите на върха в (*), получаваме координатите на върха на графиката y = a(x – m) 2 + n: x = m, y = n.

По този начин, за да се начертае квадратична функция, представена като

y = a(x – m) 2 + n

чрез трансформации можете да продължите по следния начин:

а)начертайте функцията y = x 2 ;

б)чрез паралелно преместване по оста Ox с m единици и по оста Oy с n единици - прехвърляне на върха на параболата от началото до точката с координати (m; n) (фиг. 6).

Записване на трансформации:

y = x 2 → y = (x – m) 2 → y = a(x – m) 2 → y = a(x – m) 2 + n.

Пример.

С помощта на трансформации постройте графика на функцията y = 2(x – 3) 2 в декартовата координатна система – 2.

Решение.

Верига от трансформации:

y = x 2 (1) → y = (x – 3) 2 (2) → y = 2(x – 3) 2 (3) → y = 2(x – 3) 2 – 2 (4) .

Графиката е показана в ориз. 7.

Можете сами да упражнявате графики на квадратични функции. Например, изградете графика на функцията y = 2(x + 3) 2 + 2 в една координатна система, като използвате трансформации. Ако имате въпроси или искате да получите съвет от учител, тогава имате възможност да проведете безплатен 25-минутен урок с онлайн учителслед регистрация. За по-нататъшна работаС вашия учител можете да изберете тарифния план, който ви подхожда.

Все още имате въпроси? Не знаете как да начертаете графика на квадратична функция?
За да получите помощ от преподавател, регистрирайте се.
Първият урок е безплатен!

уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.

Важни бележки!
1. Ако видите gobbledygook вместо формули, изчистете кеша. Как да направите това във вашия браузър е написано тук:
2. Преди да започнете да четете статията, обърнете внимание на нашия навигатор за най-полезните ресурси за

За да разберете какво ще бъде написано тук, трябва да знаете добре какво е квадратна функция и с какво се използва. Ако се смятате за професионалист, когато става дума за квадратични функции, добре дошли. Но ако не, трябва да прочетете темата.

Да започнем с една малка чекове:

1. Как изглежда квадратичната функция в общ вид (формула)?
2. Как се нарича графиката на квадратична функция?
3. Как водещият коефициент влияе върху графиката на квадратична функция?

Ако сте успели да отговорите на тези въпроси веднага, продължете да четете. Ако поне един въпрос предизвика затруднения, отидете на.

И така, вече знаете как да работите с квадратична функция, да анализирате нейната графика и да изградите графика по точки.

Е, ето го: .

Нека си припомним накратко какво правят коефициенти.

1. Водещият коефициент отговаря за „стръмността“ на параболата или, с други думи, за нейната ширина: колкото по-голям е, толкова по-тясна е параболата (по-стръмна) и колкото по-малък е, толкова по-широка е параболата (по-плоска).
2. Свободният член е координатата на пресечната точка на параболата с ординатната ос.
3. И коефициентът по някакъв начин е отговорен за изместването на параболата от центъра на координатите. Нека поговорим за това по-подробно сега.

Къде винаги започваме да изграждаме парабола? Каква е неговата отличителна черта?

това връх. Помните ли как се намират координатите на върха?

Абсцисата се търси по следната формула:

Подобно на това: отколкото повече, тези налявовърхът на параболата се движи.

Ординатата на върха може да се намери чрез заместване във функцията:

Поставете го и направете сами сметката. какво стана

Ако направите всичко правилно и опростите получения израз възможно най-много, получавате:

Оказва се, че колкото повече по модул, тези по-високоще връхпараболи.

Нека най-накрая да преминем към начертаването на графиката.
Най-лесният начин е да изградите парабола, като започнете от върха.

Пример:

Постройте графика на функцията.

Решение:

Първо, нека определим коефициентите: .

Сега нека изчислим координатите на върха:

Сега запомнете: всички параболи с еднакъв водещ коефициент изглеждат еднакво. Това означава, че ако изградим парабола и преместим нейния връх в точка, ще получим графиката, от която се нуждаем:

Просто, нали?

Остава само един въпрос: как бързо да нарисувате парабола? Дори да начертаем парабола с връх в началото, пак трябва да я изграждаме точка по точка, а това е дълго и неудобно. Но всички параболи изглеждат еднакви, може би има начин да се ускори рисуването им?

Когато бях в училище, моят учител по математика каза на всички да изрежат шаблон с форма на парабола от картон, за да могат бързо да го нарисуват. Но няма да можете да ходите навсякъде със шаблон и няма да им бъде позволено да го вземат на изпита. Това означава, че няма да използваме чужди предмети, а ще търсим модел.

Нека разгледаме най-простата парабола. Нека го изградим точка по точка:

Това е моделът тук. Ако от върха се преместим надясно (по оста) с и нагоре (по оста) с, тогава ще стигнем до точката на параболата. По-нататък: ако от тази точка се придвижим надясно и нагоре, отново ще стигнем до точката на параболата. Следва: надясно и нагоре. Какво следва? Право и нагоре. И така нататък: преместете едно надясно и следващото нечетно число нагоре. След това правим същото с левия клон (в края на краищата параболата е симетрична, т.е. нейните клонове изглеждат еднакви):

Страхотно, това ще ви помогне да конструирате всяка парабола от връх с водещ коефициент равен на. Например научихме, че върхът на парабола е в точка. Конструирайте (сами, на хартия) тази парабола.

Построен?

Трябва да изглежда така:

Сега свързваме получените точки:

Това е.

Добре, добре, сега можем да изградим само параболи с?

Разбира се че не. Сега нека да разберем какво да правим с тях, ако.

Нека да разгледаме няколко типични случая.

Страхотно, научихте как да начертаете парабола, сега нека се упражняваме да използваме реални функции.

И така, начертайте графики на тези функции:

Отговори:

3. Отгоре: .

Спомняте ли си какво да правите, ако старши коефициентът е по-малък?

Гледаме знаменателя на дробта: равен е. И така, ще се движим така:

• надясно - нагоре
• надясно - нагоре
• надясно - нагоре

а също и вляво:

4. Отгоре: .

О, какво можем да направим по въпроса? Как да измерим клетки, ако върхът е някъде между линиите?..

И ще изневеряваме. Нека първо начертаем парабола и едва след това да преместим върха й в точка. Не, нека направим нещо още по-хитро: Да начертаем парабола и тогава преместете осите:- включено надолу, a - на точно:

Тази техника е много удобна в случай на всяка парабола, запомнете я.

Нека ви напомня, че можем да представим функцията в тази форма:

Например: .

Какво ни дава това?

Факт е, че числото, което се изважда от скобите () е абсцисата на върха на параболата, а терминът извън скобите () е ординатата на върха.

Това означава, че след като сте построили парабола, просто ще ви трябва преместете оста наляво и оста надолу.

Пример: Нека изградим графика на функция.

Нека изберем пълен квадрат:

Какъв номер приспаднатот в скоби? Това (а не как можете да решите без да мислите).

И така, нека изградим парабола:

Сега изместваме оста надолу, тоест нагоре:

А сега - наляво, тоест надясно:

Това е. Това е същото като преместване на парабола с нейния връх от началото до точка, само че правата ос е много по-лесна за преместване от извитата парабола.

Сега, както обикновено, аз:

И не забравяйте да изтриете старите оси с гумичка!

Аз съм като отговориЗа да проверя, ще ви напиша ординатите на върховете на тези параболи:

Всичко събра ли се?

Ако да, значи сте страхотни! Да знаеш как да боравиш с парабола е много важно и полезно, а тук установихме, че не е никак трудно.

ПОСТРОЯВАНЕ НА ГРАФИКА НА КВАДРАТИЧНА ФУНКЦИЯ. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНОТО

Квадратична функция - функция на формата, където и са произволни числа (коефициенти), - свободен термин.

Графиката на квадратична функция е парабола.

Върхът на параболата:
, т.е. Колкото по-голям е \displaystyle b , толкова повече наляво се премества върхът на параболата.
Заместваме го във функцията и получаваме:
, т.е. \displaystyle b е по-голям като абсолютна стойност, толкова по-висок ще бъде върхът на параболата

Свободният член е координатата на пресечната точка на параболата с ординатната ос.

Е, темата приключи. Щом четеш тези редове, значи си много готин.

Защото само 5% от хората са в състояние да овладеят нещо сами. И ако прочетете до края, значи сте в тези 5%!

Сега най-важното.

Разбрахте теорията по тази тема. И, повтарям, това... това е просто супер! Вие вече сте по-добри от огромното мнозинство от вашите връстници.

Проблемът е, че това може да не е достатъчно...

за какво?

За успешно полагане на Единния държавен изпит, за прием в колеж на бюджет и НАЙ-ВАЖНОТО – до живот.

Няма да те убеждавам в нищо, само едно ще кажа...

Хората, които са получили добро образование, печелят много повече от тези, които не са го получили. Това е статистика.

Но това не е основното.

Основното е, че са ПО-ЩАСТЛИВИ (има такива изследвания). Може би защото пред тях се отварят много повече възможности и животът става по-ярък? не знам...

Но помислете сами...

Какво е необходимо, за да сте сигурни, че сте по-добри от другите на Единния държавен изпит и в крайна сметка сте... по-щастливи?

СПЕЧЕЛЕТЕ СИ РЪКАТА КАТО РЕШАВАТЕ ЗАДАЧИ ПО ТАЗИ ТЕМА.

Няма да ви искат теория по време на изпита.

Ще ви трябва решавайте проблеми срещу времето.

И ако не сте ги решили (МНОГО!), определено ще направите глупава грешка някъде или просто няма да имате време.

Това е като в спорта - трябва да го повториш много пъти, за да спечелиш със сигурност.

Намерете колекцията, където пожелаете, задължително с решения, подробен анализ и решавайте, решавайте, решавайте!

Можете да използвате нашите задачи (по желание) и ние, разбира се, ги препоръчваме.

За да се справите по-добре с нашите задачи, трябва да помогнете да удължите живота на учебника YouClever, който четете в момента.

как? Има два варианта:

1. Отключете всички скрити задачи в тази статия -
2. Отключете достъп до всички скрити задачи във всичките 99 статии на учебника - Купете учебник - 499 рубли

Да, имаме 99 такива статии в нашия учебник и достъп за всички задачи и всички скрити текстовете могат да бъдат отворени веднага.

Осигурен е достъп до всички скрити задачи за ЦЕЛИЯ живот на сайта.

И в заключение...

Ако не харесвате нашите задачи, намерете други. Просто не спирайте до теорията.

„Разбрах“ и „Мога да реша“ са напълно различни умения. Трябват ви и двете.

Намерете проблеми и ги решете!