Както показва практиката, задачите върху свойствата и графиките на квадратична функция причиняват сериозни трудности. Това е доста странно, защото те изучават квадратичната функция в 8-ми клас, а след това през първата четвърт на 9-ти клас „измъчват“ свойствата на параболата и изграждат нейните графики за различни параметри.

Това се дължи на факта, че когато принуждават учениците да конструират параболи, те практически не отделят време за „четене“ на графиките, тоест не се упражняват да разбират информацията, получена от картината. Очевидно се предполага, че след като построи дузина графики, умният ученик сам ще открие и формулира връзката между коефициентите във формулата и външен видграфики. На практика това не работи. За подобно обобщение е необходим сериозен опит в математическите мини-изследвания, какъвто повечето деветокласници, разбира се, не притежават. Междувременно Държавният инспекторат предлага да се определят знаците на коефициентите с помощта на графика.

Ние няма да изискваме невъзможното от учениците и просто ще предложим един от алгоритмите за решаване на такива проблеми.

И така, функция на формата y = ax 2 + bx + cнаречена квадратична, нейната графика е парабола. Както подсказва името, основният термин е брадва 2. това е Ане трябва да е равна на нула, останалите коефициенти ( bИ с) може да е равно на нула.

Нека видим как знаците на нейните коефициенти влияят на външния вид на парабола.

Най-простата зависимост за коеф А. Повечето ученици уверено отговарят: „ако А> 0, тогава клоновете на параболата са насочени нагоре и ако А < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой А > 0.

y = 0,5x 2 - 3x + 1

В този случай А = 0,5

А сега за А < 0:

y = - 0,5x2 - 3x + 1

В този случай А = - 0,5

Влияние на коеф сОсвен това е доста лесно за следване. Нека си представим, че искаме да намерим стойността на функция в точка X= 0. Заместете нула във формулата:

г = а 0 2 + b 0 + c = c. Оказва се, че y = c. това е се ординатата на пресечната точка на параболата с оста y. Обикновено тази точка е лесна за намиране на графиката. И определете дали е над нулата или под. това е с> 0 или с < 0.

с > 0:

y = x 2 + 4x + 3

с < 0

y = x 2 + 4x - 3

Съответно, ако с= 0, тогава параболата задължително ще премине през началото:

y = x 2 + 4x

По-трудно с параметъра b. Точката, в която ще го намерим, зависи не само от bно и от А. Това е върхът на параболата. Неговата абциса (координата на оста X) се намира по формулата x in = - b/(2a). по този начин b = - 2ax in. Тоест, ние действаме по следния начин: намираме върха на параболата на графиката, определяме знака на нейната абциса, тоест гледаме вдясно от нулата ( x в> 0) или наляво ( x в < 0) она лежит.

Това обаче не е всичко. Трябва да обърнем внимание и на знака на коефициента А. Тоест погледнете накъде са насочени клоните на параболата. И едва след това, според формулата b = - 2ax inопредели знака b.

Да разгледаме един пример:

Клоните са насочени нагоре, което означава А> 0, параболата пресича оста припод нулата, т.е с < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x в> 0. И така b = - 2ax in = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: А > 0, b < 0, с < 0.

Извиква се функция от формата where квадратична функция.

Графика на квадратична функция – парабола.

Нека разгледаме случаите:

I СЛУЧАЙ, КЛАСИЧЕСКА ПАРАБОЛА

това е,

За да конструирате, попълнете таблицата, като замените стойностите x във формулата:

Маркирайте точките (0;0); (1;1); (-1;1) и т.н. на координатна равнина(колкото по-малка стъпка вземаме x стойностите (в този случай стъпка 1) и колкото повече x стойности вземаме, толкова по-гладка ще бъде кривата), получаваме парабола:

Лесно е да се види, че ако вземем случая , , , т.е. тогава получаваме парабола, която е симетрична спрямо оста (oh). Лесно е да проверите това, като попълните подобна таблица:

II СЛУЧАЙ, „а“ Е РАЗЛИЧНО ОТ ЕДИНИЦА

Какво ще стане, ако вземем , , ? Как ще се промени поведението на параболата? Със заглавие="Предадено от QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

На първата снимка (виж по-горе) ясно се вижда, че точките от таблицата за параболата (1;1), (-1;1) са трансформирани в точки (1;4), (1;-4), тоест при еднакви стойности ординатата на всяка точка се умножава по 4. Това ще се случи с всички ключови точки от оригиналната таблица. Разсъждаваме по подобен начин в случаите на снимки 2 и 3.

И когато параболата "стане по-широка" от параболата:

Нека обобщим:

1)Знакът на коефициента определя посоката на клоните. Със заглавие="Предадено от QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Абсолютна стойност коефициент (модул) е отговорен за "разширяването" и "компресията" на параболата. Колкото по-голямо е, толкова по-тясна е параболата; колкото по-малко е |a|, толкова по-широка е параболата.

III СЛУЧАЙ, ПОЯВЯВА СЕ “C”.

Сега нека въведем в играта (т.е. да разгледаме случая, когато), ще разгледаме параболи от формата . Не е трудно да се досетите (винаги можете да се обърнете към таблицата), че параболата ще се измества нагоре или надолу по оста в зависимост от знака:

IV СЛУЧАЙ, ПОЯВЯВА СЕ “b”.

Кога параболата ще се "откъсне" от оста и най-накрая ще "ходи" по цялата координатна равнина? Кога ще спре да е равно?

Ето, за да построим парабола, от която се нуждаем формула за изчисляване на върха: , .

Така че в този момент (както в точка (0;0) нова системакоординати) ще изградим парабола, която вече можем да направим. Ако се занимаваме със случая, тогава от върха поставяме един единичен сегмент надясно, един нагоре, - получената точка е наша (по същия начин стъпка наляво, стъпка нагоре е нашата точка); ако имаме работа, например, тогава от върха поставяме един единичен сегмент надясно, два - нагоре и т.н.

Например върхът на парабола:

Сега основното нещо, което трябва да разберем е, че в този връх ще изградим парабола според модела на парабола, защото в нашия случай.

При построяването на парабола след намиране на координатите на върха многоУдобно е да се вземат предвид следните точки:

1) парабола определено ще мине през точката . Наистина, замествайки x=0 във формулата, получаваме, че . Тоест ординатата на пресечната точка на параболата с оста (oy) е . В нашия пример (по-горе) параболата пресича ординатата в точка , тъй като .

2) ос на симетрия параболи е права линия, така че всички точки на параболата ще бъдат симетрични спрямо нея. В нашия пример веднага вземаме точката (0; -2) и я изграждаме симетрично спрямо оста на симетрия на параболата, получаваме точката (4; -2), през която ще премине параболата.

3) Приравнявайки се към , намираме точките на пресичане на параболата с оста (oh). За да направим това, решаваме уравнението. В зависимост от дискриминанта ще получим едно (, ), две ( title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . В предишния пример нашият корен на дискриминанта не е цяло число при конструирането, няма много смисъл да намираме корените, но ясно виждаме, че ще имаме две точки на пресичане с оста (ох) (от title="Предадено от QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Така че нека да го решим

Алгоритъм за построяване на парабола, ако е дадена във формата

1) определете посоката на клоните (a>0 – нагоре, a<0 – вниз)

2) намираме координатите на върха на параболата по формулата , .

3) ние намираме точката на пресичане на параболата с оста (oy), използвайки свободния термин, конструираме точка, симетрична на тази точка по отношение на оста на симетрия на параболата (трябва да се отбележи, че се случва, че е нерентабилно да се маркира тази точка, например, защото стойността е голяма... пропускаме тази точка...)

4) В намерената точка - върха на параболата (като в точката (0;0) на новата координатна система) построяваме парабола. If title="Изобразено от QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Намираме точките на пресичане на параболата с оста (oy) (ако все още не са "изплували") чрез решаване на уравнението

Пример 1

Пример 2

Бележка 1.Ако параболата първоначално ни бъде дадена във формата , където са някои числа (например ), тогава ще бъде още по-лесно да я конструираме, тъй като вече са ни дадени координатите на върха . защо

Да вземем квадратен тричлени изберете пълен квадрат в него: Вижте, имаме това , . Вие и аз преди това наричахме върха на парабола, тоест сега,.

Например,. Маркираме върха на параболата на равнината, разбираме, че клоните са насочени надолу, параболата е разширена (спрямо ). Тоест изпълняваме точки 1; 3; 4; 5 от алгоритъма за конструиране на парабола (виж по-горе).

Бележка 2.Ако параболата е дадена във форма, подобна на тази (т.е. представена като произведение на два линейни фактора), тогава веднага виждаме точките на пресичане на параболата с оста (ox). В случая – (0;0) и (4;0). За останалото действаме според алгоритъма, отваряйки скобите.

В часовете по математика в училище вече сте се запознали с най-простите свойства и графика на функция y = x 2. Нека разширим знанията си върху квадратична функция.

Задача 1.

Графика на функцията y = x 2. Мащаб: 1 = 2 см. Маркирайте точка на оста Oy Е(0; 1/4). С помощта на компас или хартиена лента измерете разстоянието от точката Едо някакъв момент Мпараболи. След това закачете лентата в точка M и я завъртете около тази точка, докато стане вертикална. Краят на лентата ще падне малко под оста x (фиг. 1). Маркирайте върху лентата колко далеч се простира отвъд оста x. Сега вземете друга точка на параболата и повторете измерването отново. Доколко ръбът на лентата е паднал под оста x?

Резултат:независимо коя точка от параболата y = x 2 вземете, разстоянието от тази точка до точката F(0; 1/4) ще бъде по-голямо от разстоянието от същата точка до абсцисната ос с винаги едно и също число - с 1/4.

Можем да го кажем по различен начин: разстоянието от всяка точка на параболата до точката (0; 1/4) е равно на разстоянието от същата точка на параболата до правата линия y = -1/4. Тази чудесна точка F(0; 1/4) се нарича фокуспараболи y = x 2 и права линия y = -1/4 – директоркатази парабола. Всяка парабола има директриса и фокус.

Интересни свойства на парабола:

1. Всяка точка от параболата е на еднакво разстояние от някаква точка, наречена фокус на параболата, и някаква права линия, наречена нейна директриса.

2. Ако завъртите парабола около оста на симетрия (например парабола y = x 2 около оста Oy), ще получите много интересна повърхност, наречена параболоид на въртене.

Повърхността на течността във въртящ се съд има формата на параболоид на въртене. Можете да видите тази повърхност, ако разбъркате енергично с лъжица в непълна чаша чай и след това извадете лъжицата.

3. Ако хвърлите камък в празнотата под определен ъгъл спрямо хоризонта, той ще лети в парабола (фиг. 2).

4. Ако пресечете повърхността на конус с равнина, успоредна на някоя от неговите образуващи, тогава напречното сечение ще доведе до парабола (фиг. 3).

5. Увеселителни паркове понякога имат забавно пътуване, наречено Paraboloid of Wonders. На всеки, който стои вътре във въртящия се параболоид, изглежда, че той стои на пода, докато останалите хора по някакъв чудотворен начин се държат за стените.

6. В рефлекторните телескопи се използват и параболични огледала: светлината на далечна звезда, идваща в паралелен лъч, падайки върху огледалото на телескопа, се събира във фокус.

7. Прожекторите обикновено имат огледало във формата на параболоид. Ако поставите източник на светлина във фокуса на параболоид, тогава лъчите, отразени от параболичното огледало, образуват паралелен лъч.

Графика на квадратична функция

В уроците по математика сте учили как да получите графики на функции от формата от графиката на функцията y = x 2:

1) y = брадва 2– разтягане на графиката y = x 2 по оста Oy в |a| пъти (с |a|< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, ориз. 4).

2) y = x 2 + n– изместване на графиката с n единици по оста Oy, като ако n > 0, то изместването е нагоре, а ако n< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).

3) y = (x + m) 2– изместване на графиката с m единици по оста Ox: ако m< 0, то вправо, а если m >0, след това наляво, (фиг. 5).

4) y = -x 2– симетрично изобразяване спрямо оста Ox на графиката y = x 2 .

Нека разгледаме по-отблизо изобразяването на функцията y = a(x – m) 2 + n.

Квадратна функция от формата y = ax 2 + bx + c винаги може да бъде намалена до формата

y = a(x – m) 2 + n, където m = -b/(2a), n = -(b 2 – 4ac)/(4a).

Нека го докажем.

наистина

y = ax 2 + bx + c = a(x 2 + (b/a) x + c/a) =

A(x 2 + 2x · (b/a) + b 2 /(4a 2) – b 2 /(4a 2) + c/a) =

A((x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a).

Нека въведем нови обозначения.

Нека m = -b/(2a), А n = -(b 2 – 4ac)/(4a),

тогава получаваме y = a(x – m) 2 + n или y – n = a(x – m) 2.

Нека направим още няколко замествания: нека y – n = Y, x – m = X (*).

Тогава получаваме функцията Y = aX 2, чиято графика е парабола.

Върхът на параболата е в началото. X = 0; Y = 0.

Замествайки координатите на върха в (*), получаваме координатите на върха на графиката y = a(x – m) 2 + n: x = m, y = n.

По този начин, за да начертаете квадратична функция, представена като

y = a(x – m) 2 + n

чрез трансформации можете да продължите по следния начин:

а)начертайте функцията y = x 2 ;

б)чрез паралелно преместване по оста Ox с m единици и по оста Oy с n единици - прехвърляне на върха на параболата от началото до точката с координати (m; n) (фиг. 6).

Записване на трансформации:

y = x 2 → y = (x – m) 2 → y = a(x – m) 2 → y = a(x – m) 2 + n.

Пример.

С помощта на трансформации постройте графика на функцията y = 2(x – 3) 2 в декартовата координатна система – 2.

Решение.

Верига от трансформации:

y = x 2 (1) → y = (x – 3) 2 (2) → y = 2(x – 3) 2 (3) → y = 2(x – 3) 2 – 2 (4) .

Графиката е показана в ориз. 7.

Можете сами да упражнявате графики на квадратични функции. Например, изградете графика на функцията y = 2(x + 3) 2 + 2 в една координатна система, като използвате трансформации. Ако имате въпроси или искате да получите съвет от учител, тогава имате възможност да проведете безплатен 25-минутен урок с онлайн учителслед регистрация. За по-нататъшна работаС вашия учител можете да изберете тарифния план, който ви подхожда.

Все още имате въпроси? Не знаете как да начертаете графика на квадратична функция?
За да получите помощ от преподавател, регистрирайте се.
Първият урок е безплатен!

уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.

Урок 15.
Влияние на коефициентитеа, б Ис към местоположението
графика на квадратична функция

Цели:продължи да развива способността да изобразява графика на квадратична функция и да изброява нейните свойства; идентифицирайте влиянието на коефициентите А, bИ свърху местоположението на графиката на квадратична функция.

Напредък на урока

I. Организационен момент.

II. Устна работа.

Определете графиката на коя функция е показана на фигурата:

при = X 2 – 2X – 1;

при = –2X 2 – 8X;

при = X 2 – 4X – 1;

при = 2X 2 + 8X + 7;

при = 2X 2 – 1.

б)

при = X 2 – 2X;

при = –X 2 + 4X + 1;

при = –X 2 – 4X + 1;

при = –X 2 + 4X – 1;

при = –X 2 + 2X – 1.

III. Формиране на умения и способности.

Упражнения:

1. № 127 (а).

Решение

Направо при = 6X + bдокосва парабола при = X 2 + 8, тоест има само една обща точка с него в случая, когато уравнение 6 X + b = X 2 + 8 ще има единственото решение.

Това уравнение е квадратно, нека намерим неговия дискриминант:

X 2 – 6X + 8 + b = 0;

г 1 = 9 – (8 – b) = 1 + b;

г 1 = 0, ако 1 + b= 0, т.е b= –1.

отговор: b= –1.

3. Идентифицирайте влиянието на коефициентите А, bИ свърху местоположението на графиката на функцията при = о 2 + bx + с.

Студентите имат достатъчно знания, за да изпълнят тази задача самостоятелно. Те трябва да бъдат поканени да запишат всички свои констатации в тетрадка, като подчертаят „основната“ роля на всеки от коефициентите.

1) Коефициент Авлияе върху посоката на клоновете на параболата: когато А> 0 – клоните са насочени нагоре, с А < 0 – вниз.

2) Коефициент bвлияе върху местоположението на върха на параболата. При b= 0 връх лежи на оста ох.

3) Коефициент споказва точката на пресичане на параболата с оста Операционен усилвател.

След това може да се даде пример, който да покаже какво може да се каже за коефициентите А, bИ сспоред графиката на функцията.

Значение сможе да се нарече точно: тъй като графиката пресича оста Операционен усилвателв точката (0; 1), тогава с = 1.

Коефициент Аможе да се сравни с нула: тъй като клоновете на параболата са насочени надолу, тогава А < 0.

Знак коефициент bможе да се разбере от формулата, която определя абсцисата на върха на парабола: Т= , тъй като А < 0 и Т= 1, тогава b> 0.

4. Определете графиката на коя функция е показана на фигурата, въз основа на стойността на коефициентите А, bИ с.

при = –X 2 + 2X;

при = X 2 + 2X + 2;

при = 2X 2 – 3X – 2;

при = X 2 – 2.

Решение

А, bИ с:

А> 0, тъй като клоновете на параболата са насочени нагоре;

b Операционен усилвател;

с= –2, тъй като параболата пресича ординатата в точка (0; –2).

при = 2X 2 – 3X – 2.

при = X 2 – 2X;

при = –2X 2 + X + 3;

при = –3X 2 – X – 1;

при = –2,7X 2 – 2X.

Решение

Съгласно показания график правим следните заключенияотносно коефициентите А, bИ с:

А < 0, так как ветви параболы направлены вниз;

b≠ 0, тъй като върхът на параболата не лежи на оста Операционен усилвател;

с= 0, тъй като параболата пресича оста Операционен усилвателв точка (0; 0).

Всички тези условия са изпълнени само от функцията при = –2,7X 2 – 2X.

5. Според графиката на функцията при = о 2 + bx + с А, bИ с:

а) б)

Решение

а) Следователно клоновете на параболата са насочени нагоре А > 0.

Параболата пресича ординатната ос в долната полуравнина, така че с < 0. Чтобы узнать знак коэффициента bНека използваме формулата, за да намерим абсцисата на върха на парабола: Т= . От графиката се вижда, че Т < 0, и мы определим, что А> 0. Следователно b> 0.

б) По същия начин определяме знаците на коефициентите А, bИ с:

А < 0, с > 0, b< 0.

Студентите, които са академично силни, могат да получат допълнителна възможност да попълнят № 247.

Решение

при = X 2 + px + р.

а) Според теоремата на Виета е известно, че ако X 1 и X 2 – корени на уравнението X 2 +
+ px + р= 0 (т.е. нулите на тази функция), тогава X 1 · X 2 = рИ X 1 + X 2 = –r. Разбираме това р= 3 4 = 12 и r = –(3 + 4) = –7.

б) Пресечната точка на параболата с оста Операционен усилвателще даде стойността на параметъра р, т.е р= 6. Ако графиката на функция пресича оста ОХв точка (2; 0), тогава числото 2 е коренът на уравнението X 2 + px + р= 0. Заместване на стойността X= 2 в това уравнение, получаваме това r = –5.

в) Тази квадратична функция достига минималната си стойност на върха на параболата, следователно , откъдето r= –12. По условие стойността на функцията при = X 2 – 12X + рв точката х= 6 е равно на 24. Заместване х= 6 и при= 24 V тази функция, намираме това р= 60.

IV. Тестова работа.

Вариант 1

1. Графика на функцията при = 2X 2 + 4X– 6 и намерете с помощта на графиката:

а) нули на функцията;

б) интервали, в които при> 0 и г < 0;

г) най-малката стойност на функцията;

д) обхватът на функцията.

2. Без графика на функцията при = –X 2 + 4X, намери:

а) нули на функцията;

в) диапазонът на функцията.

3. Според графиката на функцията при = о 2 + bx + сопределят знаците на коефициентите А, bИ с:

Вариант 2

1. Графика на функцията при = –X 2 + 2X+ 3 и намерете с помощта на графиката:

а) нули на функцията;

б) интервали, в които при> 0 и г < 0;

в) интервали на нарастващи и намаляващи функции;

G) най-висока стойностфункции;

д) обхватът на функцията.

2. Без графика на функцията при = 2X 2 + 8X, намери:

а) нули на функцията;

б) интервали на нарастваща и намаляваща функция;

в) диапазонът на функцията.

3. Според графиката на функцията при = о 2 + bx + сопределят знаците на коефициентите А, bИ с:

V. Обобщение на урока.

Често задавани въпроси:

– Опишете алгоритъма за построяване на квадратична функция.

– Избройте свойствата на функцията при = о 2 + bx + спри А> 0 и при А < 0.

– Как влияят коефициентите А, bИ свърху местоположението на графиката на квадратична функция?

домашна работа: № 127 (б), № 128, № 248.

ДОПЪЛНИТЕЛНО: №130.