Уравнение на допирателната към графиката на функция

П. Романов, Т. Романова,
Магнитогорск,
Челябинска област

Уравнение на допирателната към графиката на функция

Статията е публикувана с подкрепата на Хотелски комплекс ИТАКА+. Когато останете в града на корабостроителите Северодвинск, няма да срещнете проблема с намирането на временно жилище. , на уебсайта хотелски комплекс“ITHAKA+” http://itakaplus.ru можете лесно и бързо да наемете апартамент в града, за всеки период от време, с ежедневно плащане.

включено модерен етапразвитие на образованието, една от основните му задачи е формирането на творчески мислеща личност. Способността за творчество при учениците може да се развие само ако те систематично се занимават с основите на изследователската дейност. Основата на учениците да използват своите творчески сили, способности и таланти са формираните пълноценни знания и умения. В тази връзка проблемът за формиране на система от основни знания и умения за всяка тема от училищния курс по математика е не малко важен. В същото време пълноценните умения трябва да бъдат дидактическа цел не на отделни задачи, а на внимателно обмислена система от тях. В самата в широк смисълСистемата се разбира като набор от взаимосвързани взаимодействащи елементи с цялост и стабилна структура.

Нека разгледаме техника за обучение на учениците как да напишат уравнение за допирателна към графиката на функция. По същество всички проблеми за намиране на уравнението на допирателната се свеждат до необходимостта да се изберат от набор (пакет, семейство) линии тези, които отговарят на определено изискване - те са допирателни към графиката на определена функция. В този случай наборът от редове, от които се извършва изборът, може да бъде определен по два начина:

а) точка, лежаща на равнината xOy (централен молив от прави);
б) ъглов коефициент (успореден лъч от прави линии).

В тази връзка, когато изучавахме темата „Допирателна към графиката на функция“, за да изолираме елементите на системата, идентифицирахме два вида проблеми:

1) задачи за допирателна, зададена от точката, през която минава;
2) задачи за допирателна, зададена от нейния наклон.

Обучението за решаване на допирателни задачи се проведе по алгоритъма, предложен от A.G. Мордкович. Основната му разлика от вече известните е, че абсцисата на допирателната точка се обозначава с буквата a (вместо x0), поради което уравнението на допирателната има формата

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(сравнете с y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0)). Тази методическа техника, според нас, позволява на учениците бързо и лесно да разберат къде са записани координатите на текущата точка общото уравнение на допирателната и къде са допирните точки.

Алгоритъм за съставяне на уравнението на допирателната към графиката на функцията y = f(x)

1. Означете абсцисата на допирателната точка с буквата a.
2. Намерете f(a).
3. Намерете f "(x) и f "(a).
4. Заместете намерените числа a, f(a), f "(a) в общо уравнениедопирателна y = f(a) = f "(a)(x – a).

Този алгоритъм може да бъде съставен въз основа на независимото идентифициране на операциите от учениците и последователността на тяхното изпълнение.

Практиката показва, че последователното решаване на всеки от ключовите проблеми с помощта на алгоритъм ви позволява да развиете умения за писане на уравнението на допирателната към графиката на функция на етапи, а стъпките на алгоритъма служат като отправни точки за действия . Този подход съответства на теорията за постепенното формиране на умствените действия, разработена от П.Я. Галперин и Н.Ф. Тализина.

В първия тип задачи бяха идентифицирани две ключови задачи:

• допирателната минава през точка, лежаща на кривата (задача 1);
• допирателната минава през точка, която не лежи на кривата (задача 2).

Задача 1. Напишете уравнение за допирателната към графиката на функцията в точка M(3; – 2).

Решение. Точка M(3; – 2) е допирателна точка, тъй като

1. a = 3 – абсцисата на допирателната точка.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 – 4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – уравнение на допирателната.

Задача 2. Напишете уравненията на всички допирателни към графиката на функцията y = – x 2 – 4x + 2, минаващи през точката M(– 3; 6).

Решение. Точка M(– 3; 6) не е допирателна точка, тъй като f(– 3) 6 (фиг. 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f "(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – уравнение на допирателната.

Допирателната минава през точката M(– 3; 6), следователно нейните координати удовлетворяват уравнението на допирателната.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0^ a 1 = – 4, a 2 = – 2.

Ако a = – 4, тогава уравнението на допирателната е y = 4x + 18.

Ако a = – 2, тогава уравнението на допирателната има формата y = 6.

Във втория тип основните задачи ще бъдат следните:

• допирателната е успоредна на права (задача 3);
• допирателната минава под определен ъгъл спрямо дадената права (задача 4).

Задача 3. Напишете уравненията на всички допирателни към графиката на функцията y = x 3 – 3x 2 + 3, успоредна на правата y = 9x + 1.

Решение.

1. a – абсцисата на допирателната точка.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 – 6a.

Но, от друга страна, f "(a) = 9 (условие за паралелност). Това означава, че трябва да решим уравнението 3a 2 – 6a = 9. Корените му са a = – 1, a = 3 (фиг. 3 ).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 – уравнение на допирателната;

1) а = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x – 3);

y = 9x – 24 – уравнение на допирателната.

Задача 4. Напишете уравнението на допирателната към графиката на функцията y = 0,5x 2 – 3x + 1, минаваща под ъгъл 45° спрямо правата y = 0 (фиг. 4).

Решение. От условието f "(a) = tan 45° намираме a: a – 3 = 1^a = 4.

1. a = 4 – абсцисата на допирателната точка.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1 (x – 4).

y = x – 7 – уравнение на допирателната.

Лесно е да се покаже, че решаването на всеки друг проблем се свежда до решаването на един или повече ключови проблеми. Разгледайте следните два проблема като пример.

1. Напишете уравненията на допирателните към параболата y = 2x 2 – 5x – 2, ако допирателните се пресичат под прав ъгъл и едната от тях докосва параболата в точката с абциса 3 (фиг. 5).

Решение. Тъй като е дадена абсцисата на точката на допиране, първата част от решението се свежда до ключова задача 1.

1. a = 3 – абсцисата на точката на допиране на една от страните прав ъгъл.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x – 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – уравнение на първата допирателна.

Нека a – ъгъл на наклон на първата допирателна. Тъй като допирателните са перпендикулярни, тогава е ъгълът на наклон на втората допирателна. От уравнението y = 7x – 20 на първата допирателна имаме tg a = 7. Да намерим

Това означава, че наклонът на втората допирателна е равен на .

По-нататъшното решение се свежда до ключова задача 3.

Тогава нека B(c; f(c)) е точката на допиране на втората права

1. – абсцисата на втората точка на допир.
2.
3.
4.
– уравнение на втората допирателна.

Забележка. Ъгловият коефициент на тангентата може да се намери по-лесно, ако учениците знаят отношението на коефициентите на перпендикулярните прави k 1 k 2 = – 1.

2. Напишете уравненията на всички общи допирателни към графиките на функциите

Решение. Задачата се свежда до намиране на абсцисата на допирателните точки на общи допирателни, тоест решаване на ключова задача 1 в общ вид, съставяне на система от уравнения и след това нейното решаване (фиг. 6).

1. Нека a е абсцисата на допирателната точка, лежаща върху графиката на функцията y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .

1. Нека c е абсцисата на допирателната точка върху графиката на функцията
2.
3. f "(c) = c.
4.

Тъй като допирателните са общи, тогава

Така че y = x + 1 и y = – 3x – 3 са общи тангенти.

Основната цел на разглежданите задачи е да подготвят учениците самостоятелно да разпознават вида на ключовия проблем при решаване на повече сложни задачи, изискващи определени изследователски умения (способност за анализ, сравнение, обобщаване, представяне на хипотеза и др.). Такива задачи включват всяка задача, в която ключовата задача е включена като компонент. Нека разгледаме като пример задачата (обратна на задача 1) за намиране на функция от семейството на нейните допирателни.

3. За какво b и c правите y = x и y = – 2x са допирателни към графиката на функцията y = x 2 + bx + c?

Решение.

Нека t е абсцисата на точката на допиране на правата линия y = x с параболата y = x 2 + bx + c; p е абсцисата на точката на допиране на правата y = – 2x с параболата y = x 2 + bx + c. Тогава уравнението на допирателната y = x ще приеме формата y = (2t + b)x + c – t 2 , а уравнението на допирателната y = – 2x ще приеме формата y = (2p + b)x + c – p 2 .

Нека съставим и решим система от уравнения

отговор:

Проблеми за самостоятелно решаване

1. Напишете уравненията на допирателните, начертани към графиката на функцията y = 2x 2 – 4x + 3 в точките на пресичане на графиката с правата y = x + 3.

Отговор: y = – 4x + 3, y = 6x – 9,5.

2. За какви стойности на a допирателната, начертана към графиката на функцията y = x 2 – ax в точката на графиката с абсцисата x 0 = 1, минава през точката M(2; 3)?

Отговор: a = 0,5.

3. За какви стойности на p правата линия y = px – 5 докосва кривата y = 3x 2 – 4x – 2?

Отговор: p 1 = – 10, p 2 = 2.

4. Намерете всички общи точки на графиката на функцията y = 3x – x 3 и допирателната, прекарана към тази графика през точката P(0; 16).

Отговор: A(2; – 2), B(– 4; 52).

5. Намерете най-късото разстояние между параболата y = x 2 + 6x + 10 и правата линия

отговор:

6. На кривата y = x 2 – x + 1 намерете точката, в която допирателната към графиката е успоредна на правата y – 3x + 1 = 0.

Отговор: M(2; 3).

7. Напишете уравнението на допирателната към графиката на функцията y = x 2 + 2x – | 4x |, която го докосва в две точки. Направете рисунка.

Отговор: y = 2x – 4.

8. Докажете, че правата y = 2x – 1 не пресича кривата y = x 4 + 3x 2 + 2x. Намерете разстоянието между най-близките им точки.

отговор:

9. На параболата y = x 2 са взети две точки с абсцисите x 1 = 1, x 2 = 3. През тези точки се прекарва секанс. В коя точка на параболата допирателната към нея ще бъде успоредна на секущата? Напишете уравненията на секанса и тангенса.

Отговор: y = 4x – 3 – секущо уравнение; y = 4x – 4 – уравнение на допирателната.

10. Намерете ъгъл q между допирателните към графиката на функцията y = x 3 – 4x 2 + 3x + 1, начертана в точките с абсцисите 0 и 1.

Отговор: q = 45°.

11. В кои точки допирателната към графиката на функцията сключва с оста Ox ъгъл 135°?

Отговор: A(0; – 1), B(4; 3).

12. В точка A(1; 8) към кривата начертана е допирателна. Намерете дължината на допирателната отсечка между координатните оси.

отговор:

13. Напишете уравнението на всички общи допирателни към графиките на функциите y = x 2 – x + 1 и y = 2x 2 – x + 0,5.

Отговор: y = – 3x и y = x.

14. Намерете разстоянието между допирателните към графиката на функцията, успоредна на оста x.

отговор:

15. Определете под какви ъгли параболата y = x 2 + 2x – 8 пресича оста x.

Отговор: q 1 = арктан 6, q 2 = арктан (– 6).

16. Функционална графика намерете всички точки, допирателната във всяка от които към тази графика пресича положителните полуоси на координатите, отрязвайки равни сегменти от тях.

Отговор: A(– 3; 11).

17. Правата y = 2x + 7 и параболата y = x 2 – 1 се пресичат в точки M и N. Намерете пресечната точка K на правите, допирателни към параболата в точки M и N.

Отговор: K(1; – 9).

18. За какви стойности на b правата y = 9x + b е допирателна към графиката на функцията y = x 3 – 3x + 15?

Отговор: – 1; 31.

19. За какви стойности на k правата y = kx – 10 има само една обща точка с графиката на функцията y = 2x 2 + 3x – 2? За намерените стойности на k определете координатите на точката.

Отговор: k 1 = – 5, A(– 2; 0); k 2 = 11, B(2; 12).

20. При какви стойности на b допирателната, начертана към графиката на функцията y = bx 3 – 2x 2 – 4 в точката с абсцисата x 0 = 2, минава през точката M(1; 8)?

Отговор: b = – 3.

21. Парабола с връх на оста Ox докосва правата, минаваща през точки A(1; 2) и B(2; 4) в точка B. Намерете уравнението на параболата.

отговор:

22. При каква стойност на коефициента k параболата y = x 2 + kx + 1 докосва оста Ox?

Отговор: k = d 2.

23. Намерете ъглите между правата линия y = x + 2 и кривата y = 2x 2 + 4x – 3.

29. Намерете разстоянието между допирателните към графиката на функцията и образуващите с положителна посока на оста Ox под ъгъл 45°.

отговор:

30. Намерете геометричното място на върховете на всички параболи от вида y = x 2 + ax + b, допирателни към правата y = 4x – 1.

Отговор: права линия y = 4x + 3.

Литература

1. Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина М.В. Алгебра и начало на анализа: 3600 задачи за ученици и постъпващи в университети. – М., Дропла, 1999.
2. Мордкович А. Семинар 4 за млади учители. Тема: Производни приложения. – М., “Математика”, № 21/94.
3. Формиране на знания и умения, основани на теорията за постепенното усвояване на умствените действия.

/ Ед. П.Я. Галперина, Н.Ф. Тализина. – М., Московски държавен университет, 1968.На съвременния етап от развитието на образованието една от основните му задачи е формирането на творчески мислеща личност. Способността за творчество при учениците може да се развие само ако те систематично се занимават с основите на изследователската дейност. Основата на учениците да използват своите творчески сили, способности и таланти са формирани пълноценни знания и умения. В тази връзка, проблемът за формиране на система от основни знания и умения за всяка тема

училищен курс

математиката не е от малко значение. В същото време пълноценните умения трябва да бъдат дидактическа цел не на отделни задачи, а на внимателно обмислена система от тях. В най-широк смисъл системата се разбира като набор от взаимосвързани взаимодействащи елементи с цялост и стабилна структура.
б) ъглов коефициент (успореден лъч от прави линии).

В тази връзка, когато изучавахме темата „Допирателна към графиката на функция“, за да изолираме елементите на системата, идентифицирахме два вида проблеми:

1) задачи за допирателна, зададена от точката, през която минава;
2) задачи за допирателна, зададена от нейния наклон.

Обучението за решаване на допирателни задачи се проведе по алгоритъма, предложен от A.G. Мордкович. Основната му разлика от вече известните е, че абсцисата на допирателната точка се обозначава с буквата a (вместо x0), поради което уравнението на допирателната има формата

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(сравнете с y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0)). Тази методическа техника, според нас, позволява на учениците бързо и лесно да разберат къде са записани координатите на текущата точка общото уравнение на допирателната и къде са допирните точки.

Алгоритъм за съставяне на уравнението на допирателната към графиката на функцията y = f(x)

1. Означете абсцисата на допирателната точка с буквата a.
2. Намерете f(a).
3. Намерете f "(x) и f "(a).
4. Заместете намерените числа a, f(a), f "(a) в общото уравнение на допирателната y = f(a) = f "(a)(x – a).

Този алгоритъм може да бъде съставен въз основа на независимото идентифициране на операциите от учениците и последователността на тяхното изпълнение.

Практиката показва, че последователното решаване на всеки от ключовите проблеми с помощта на алгоритъм ви позволява да развиете умения за писане на уравнението на допирателната към графиката на функция на етапи, а стъпките на алгоритъма служат като отправни точки за действия . Този подход съответства на теорията за постепенното формиране на умствените действия, разработена от П.Я. Галперин и Н.Ф. Тализина.

В първия тип задачи бяха идентифицирани две ключови задачи:

• допирателната минава през точка, лежаща на кривата (задача 1);
• допирателната минава през точка, която не лежи на кривата (задача 2).

Задача 1. Напишете уравнение за допирателната към графиката на функцията в точка M(3; – 2).

Решение. Точка M(3; – 2) е допирателна точка, тъй като

1. a = 3 – абсцисата на допирателната точка.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 – 4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – уравнение на допирателната.

Задача 2. Напишете уравненията на всички допирателни към графиката на функцията y = – x 2 – 4x + 2, минаващи през точката M(– 3; 6).

Решение. Точка M(– 3; 6) не е допирателна точка, тъй като f(– 3) 6 (фиг. 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f "(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – уравнение на допирателната.

Допирателната минава през точката M(– 3; 6), следователно нейните координати удовлетворяват уравнението на допирателната.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0 ^ a 1 = – 4, a 2 = – 2.

Ако a = – 4, тогава уравнението на допирателната е y = 4x + 18.

Ако a = – 2, тогава уравнението на допирателната има формата y = 6.

Във втория тип основните задачи ще бъдат следните:

• допирателната е успоредна на права (задача 3);
• допирателната минава под определен ъгъл спрямо дадената права (задача 4).

Задача 3. Напишете уравненията на всички допирателни към графиката на функцията y = x 3 – 3x 2 + 3, успоредна на правата y = 9x + 1.

1. a – абсцисата на допирателната точка.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 – 6a.

Но, от друга страна, f "(a) = 9 (условие за паралелност). Това означава, че трябва да решим уравнението 3a 2 – 6a = 9. Корените му са a = – 1, a = 3 (фиг. 3 ).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 – уравнение на допирателната;

1) а = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x – 3);

y = 9x – 24 – уравнение на допирателната.

Задача 4. Напишете уравнението на допирателната към графиката на функцията y = 0,5x 2 – 3x + 1, минаваща под ъгъл 45° спрямо правата y = 0 (фиг. 4).

Решение. От условието f "(a) = tan 45° намираме a: a – 3 = 1 ^ a = 4.

1. a = 4 – абсцисата на допирателната точка.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1 (x – 4).

y = x – 7 – уравнение на допирателната.

Лесно е да се покаже, че решението на всеки друг проблем се свежда до решаването на един или повече ключови проблеми. Разгледайте следните два проблема като пример.

1. Напишете уравненията на допирателните към параболата y = 2x 2 – 5x – 2, ако допирателните се пресичат под прав ъгъл и едната от тях докосва параболата в точката с абциса 3 (фиг. 5).

Решение. Тъй като е дадена абсцисата на допирателната точка, първата част от решението се свежда до ключова задача 1.

1. a = 3 – абсцисата на допирателната точка на една от страните на правия ъгъл.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x – 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – уравнение на първата допирателна.

Нека a е ъгълът на наклона на първата допирателна. Тъй като допирателните са перпендикулярни, тогава е ъгълът на наклон на втората допирателна. От уравнението y = 7x – 20 на първата допирателна имаме tg a = 7. Нека намерим

Това означава, че наклонът на втората допирателна е равен на .

По-нататъшното решение се свежда до ключова задача 3.

Тогава нека B(c; f(c)) е точката на допиране на втората права

1. – абсцисата на втората точка на допир.
2.
3.
4.
– уравнение на втората допирателна.

Забележка. Ъгловият коефициент на тангентата може да се намери по-лесно, ако учениците знаят отношението на коефициентите на перпендикулярните прави k 1 k 2 = – 1.

2. Напишете уравненията на всички общи допирателни към графиките на функциите

Решение. Задачата се свежда до намиране на абсцисата на допирателните точки на общи допирателни, тоест решаване на ключова задача 1 в общ вид, съставяне на система от уравнения и след това нейното решаване (фиг. 6).

1. Нека a е абсцисата на допирателната точка, лежаща върху графиката на функцията y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .

1. Нека c е абсцисата на допирателната точка върху графиката на функцията
2.
3. f "(c) = c.
4.

Тъй като допирателните са общи, тогава

Така че y = x + 1 и y = – 3x – 3 са общи тангенти.

Основната цел на разглежданите задачи е да подготвят учениците самостоятелно да разпознават вида на ключовия проблем при решаване на по-сложни проблеми, изискващи определени изследователски умения (способност за анализ, сравнение, обобщение, излагане на хипотеза и др.). Такива задачи включват всяка задача, в която ключовата задача е включена като компонент. Нека разгледаме като пример задачата (обратна на задача 1) за намиране на функция от семейството на нейните допирателни.

3. За какво b и c правите y = x и y = – 2x са допирателни към графиката на функцията y = x 2 + bx + c?

Нека t е абсцисата на точката на допиране на правата линия y = x с параболата y = x 2 + bx + c; p е абсцисата на точката на допиране на правата y = – 2x с параболата y = x 2 + bx + c. Тогава уравнението на допирателната y = x ще приеме формата y = (2t + b)x + c – t 2 , а уравнението на допирателната y = – 2x ще приеме формата y = (2p + b)x + c – p 2 .

Нека съставим и решим система от уравнения

отговор:

Статията предоставя подробно обяснение на дефинициите, геометричното значение на производната с графични символи. Уравнението на допирателна ще бъде разгледано с примери, ще бъдат намерени уравненията на допирателна към криви от 2-ри ред.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Определение 1

Ъгълът на наклона на правата линия y = k x + b се нарича ъгъл α, който се измерва от положителната посока на оста x към правата линия y = k x + b в положителната посока.

На фигурата посоката x е обозначена със зелена стрелка и зелена дъга, а ъгълът на наклона с червена дъга. Синята линия се отнася за правата линия.

Определение 2

Наклонът на правата линия y = k x + b се нарича числов коефициент k.

Ъгловият коефициент е равен на тангенса на правата линия, с други думи k = t g α.

• Ъгълът на наклона на права линия е равен на 0 само ако е успоредна на x и наклонът е равен на нула, тъй като тангенсът на нулата е равен на 0. Това означава, че формата на уравнението ще бъде y = b.
• Ако ъгълът на наклона на правата линия y = k x + b е остър, тогава условията 0 са изпълнени< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положително число, тъй като стойността на тангенса удовлетворява условието t g α > 0 и има увеличение на графиката.
• Ако α = π 2, тогава местоположението на правата е перпендикулярно на x. Равенството се определя от x = c, като стойността c е реално число.
• Ако ъгълът на наклона на правата линия y = k x + b е тъп, тогава той съответства на условията π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

Секансът е права, която минава през 2 точки на функцията f (x). С други думи, секансът е права линия, която се прекарва през произволни две точки от графиката на дадена функция.

Фигурата показва, че A B е секанс, а f (x) е черна крива, α е червена дъга, показваща ъгъла на наклон на секанса.

Когато ъгловият коефициент на права линия е равен на тангенса на ъгъла на наклона, ясно е, че тангенса на правоъгълен триъгълник A B C може да се намери чрез съотношението на срещуположната страна към съседната.

Определение 4

Получаваме формула за намиране на секанс от формата:

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A, където абсцисите на точки A и B са стойностите x A, x B и f (x A), f (x B) са функциите на стойностите в тези точки.

Очевидно ъгловият коефициент на секанса се определя с помощта на равенството k = f (x B) - f (x A) x B - x A или k = f (x A) - f (x B) x A - x B и уравнението трябва да бъде написано като y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) или
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

Секансът разделя графиката визуално на 3 части: вляво от точка A, от A до B, вдясно от B. Фигурата по-долу показва, че има три секанса, които се считат за съвпадащи, т.е. те са зададени с помощта на подобно уравнение.

По дефиниция е ясно, че права линия и нейният секанс в в този случаймач.

Секансът може да пресича графиката на дадена функция многократно. Ако има уравнение от вида y = 0 за секанс, тогава броят на точките на пресичане със синусоидата е безкраен.

Определение 5

Допирателна към графиката на функцията f (x) в точка x 0 ; f (x 0) е права линия, минаваща през дадена точка x 0; f (x 0), с наличието на сегмент, който има много x стойности, близки до x 0.

Пример 1

Нека разгледаме по-отблизо примера по-долу. Тогава е ясно, че правата, определена от функцията y = x + 1, се счита за допирателна към y = 2 x в точката с координати (1; 2). За по-голяма яснота е необходимо да се разгледат графики със стойности, близки до (1; 2). Функцията y = 2 x е показана в черно, синята линия е допирателната, а червената точка е пресечната точка.

Очевидно y = 2 x се слива с правата y = x + 1.

За да определим допирателната, трябва да разгледаме поведението на допирателната A B, когато точка B се приближава безкрайно до точка A. За по-голяма яснота представяме чертеж.

Секущата A B, обозначена със синята линия, клони към позицията на самата допирателна, а ъгълът на наклон на секущата α ще започне да клони към ъгъла на наклон на самата допирателна α x.

Определение 6

Допирателната към графиката на функцията y = f (x) в точка A се счита за гранична позиция на секанса A B, когато B клони към A, т.е. B → A.

Сега нека преминем към разглеждане на геометричния смисъл на производната на функция в точка.

Нека преминем към разглеждане на секанса A B за функцията f (x), където A и B с координати x 0, f (x 0) и x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x), а ∆ x е се обозначава като нарастване на аргумента. Сега функцията ще приеме формата ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . За по-голяма яснота нека дадем пример за чертеж.

Нека разгледаме полученото правоъгълен триъгълник A B C. Използваме определението за тангенс за решаване, т.е. получаваме връзката ∆ y ∆ x = t g α . От определението за допирателна следва, че lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . Съгласно правилото за производната в точка имаме, че производната f (x) в точката x 0 се нарича граница на съотношението на увеличението на функцията към увеличението на аргумента, където ∆ x → 0 , тогава го означаваме като f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .

От това следва, че f " (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, където k x е означено като наклон на допирателната.

Тоест, откриваме, че f '(x) може да съществува в точка x 0 и подобно на допирателната към дадена графика на функцията в точката на допиране, равна на x 0, f 0 (x 0), където стойността на наклонът на тангентата в точката е равен на производната в точка x 0 . Тогава получаваме, че k x = f " (x 0) .

Геометричният смисъл на производната на функция в точка е, че е дадено понятието за съществуването на допирателна към графиката в същата точка.

За да напишете уравнението на която и да е права линия в равнина, е необходимо да имате ъглов коефициент с точката, през която тя минава. Неговото обозначение се приема като x 0 при пресичане.

Уравнението на допирателната към графиката на функцията y = f (x) в точката x 0, f 0 (x 0) приема формата y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0).

Има се предвид това крайна стойностпроизводна f "(x 0) можете да определите позицията на допирателната, тоест вертикално при условието lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞ и lim x → x 0 - 0 f " (x) = ∞ или изобщо отсъствие за условие lim x → x 0 + 0 f " (x) ≠ lim x → x 0 - 0 f " (x) .

Местоположението на допирателната зависи от стойността на нейния ъглов коефициент k x = f "(x 0). Когато е успоредна на оста o x, получаваме, че k k = 0, когато е успоредна на o y - k x = ∞, и формата на допирателното уравнение x = x 0 нараства с k x > 0, намалява с k x< 0 .

Пример 2

Съставете уравнение за допирателната към графиката на функцията y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 в точката с координати (1; 3) и определете ъгъла на наклона.

Решение

По условие имаме, че функцията е дефинирана за всички реални числа. Откриваме, че точката с координати, зададени от условието, (1; 3) е точка на допиране, тогава x 0 = - 1, f (x 0) = - 3.

Необходимо е да се намери производната в точката със стойност - 1. Разбираме това

y " = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = e x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y " (x 0) = y " (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

Стойността на f' (x) в точката на допирателна е наклонът на тангентата, който е равен на тангенса на наклона.

Тогава k x = t g α x = y " (x 0) = 3 3

От това следва, че α x = a r c t g 3 3 = π 6

отговор:уравнението на допирателната приема формата

y = f " (x 0) x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

За по-голяма яснота даваме пример в графична илюстрация.

Черният цвят се използва за графиката на оригиналната функция, синьо– изображение на допирателна, червена точка – точка на допиране. Фигурата вдясно показва увеличен изглед.

Пример 3

Установете съществуването на допирателна към графиката на дадена функция
y = 3 · x - 1 5 + 1 в точката с координати (1 ; 1) . Напишете уравнение и определете ъгъла на наклона.

Решение

По условие имаме, че домейнът на дефиниция на дадена функция се счита за набор от всички реални числа.

Нека да преминем към намирането на производната

y " = 3 x - 1 5 + 1 " = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

Ако x 0 = 1, тогава f' (x) е недефинирано, но границите са записани като lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ и lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ , което означава, че съществуваща вертикална допирателна в точка (1; 1).

отговор:уравнението ще приеме формата x = 1, където ъгълът на наклон ще бъде равен на π 2.

За по-голяма яснота нека го изобразим графично.

Пример 4

Намерете точките върху графиката на функцията y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2, където

1. Няма допирателна;
2. Допирателната е успоредна на x;
3. Допирателната е успоредна на правата y = 8 5 x + 4.

Решение

Необходимо е да се обърне внимание на обхвата на дефиницията. По условие имаме, че функцията е дефинирана върху множеството от всички реални числа. Разширяваме модула и решаваме системата с интервали x ∈ - ∞ ; 2 и [-2; + ∞). Разбираме това

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

Необходимо е да се разграничи функцията. Ние имаме това

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 ", x ∈ - ∞; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

Когато x = − 2, тогава производната не съществува, тъй като едностранните граници не са равни в тази точка:

lim x → - 2 - 0 y " (x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y " (x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Изчисляваме стойността на функцията в точката x = - 2, където получаваме това

1. y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2, тоест допирателната в точката ( - 2; - 2) няма да съществува.
2. Допирателната е успоредна на x, когато наклонът е нула. Тогава k x = t g α x = f "(x 0). Това означава, че е необходимо да се намерят стойностите на такъв x, когато производната на функцията го превръща в нула. Тоест стойностите на f ' (x) ще бъдат точките на допиране, където допирателната е успоредна на x.

Когато x ∈ - ∞ ; - 2, тогава - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 и за x ∈ (- 2; + ∞) получаваме 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0.

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞

Изчислете стойностите на съответните функции

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Следователно - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3 се считат за търсените точки от графиката на функцията.

Нека помислим графично изображениерешения.

Черната линия е графиката на функцията, червените точки са точките на допир.

1. Когато линиите са успоредни, ъгловите коефициенти са равни. След това е необходимо да се търсят точки на графиката на функцията, където наклонът ще бъде равен на стойността 8 5. За да направите това, трябва да решите уравнение под формата y "(x) = 8 5. Тогава, ако x ∈ - ∞; - 2, получаваме, че - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5 и ако x ∈ ( - 2 ; + ∞), тогава 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5.

Първото уравнение няма корени, тъй като дискриминантът по-малко от нула. Нека запишем това

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

Тогава друго уравнение има два реални корена

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞

Нека да преминем към намирането на стойностите на функцията. Разбираме това

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Точки със стойности - 1; 4 15, 5; 8 3 са точките, в които допирателните са успоредни на правата y = 8 5 x + 4.

отговор:черна линия – графика на функцията, червена линия – графика на y = 8 5 x + 4, синя линия – допирателни в точки - 1; 4 15, 5; 8 3.

Може да има безкраен брой допирателни за дадени функции.

Пример 5

Напишете уравненията на всички налични тангенси на функцията y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3, които са разположени перпендикулярно на правата линия y = - 2 x + 1 2.

Решение

За да се състави уравнението на допирателната, е необходимо да се намерят коефициентът и координатите на допирателната точка въз основа на условието за перпендикулярност на линиите. Дефиницията е следната: произведението на ъгловите коефициенти, които са перпендикулярни на прави линии, е равно на - 1, тоест записано като k x · k ⊥ = - 1. От условието имаме, че ъгловият коефициент е разположен перпендикулярно на правата и е равен на k ⊥ = - 2, тогава k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2.

Сега трябва да намерите координатите на допирните точки. Трябва да намерите x и след това неговата стойност за дадена функция. Обърнете внимание, че от геометричния смисъл на производната в точката
x 0 получаваме, че k x = y "(x 0). От това равенство намираме стойностите на x за точките на контакт.

Разбираме това

y " (x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

това тригонометрично уравнениеще се използва за изчисляване на ординатите на допирателните точки.

3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk или 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk или 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk или x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z е набор от цели числа.

Намерени са x допирни точки. Сега трябва да преминете към търсене на стойностите на y:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 или y 0 = 3 - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 или y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 или y 0 = - 4 5 + 1 3

От това получаваме, че 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 са точките на допир.

отговор:необходимите уравнения ще бъдат записани като

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

За визуално представяне разгледайте функция и допирателна върху координатна права.

Фигурата показва, че функцията се намира на интервала [ - 10 ; 10 ], където черната линия е графиката на функцията, сините линии са допирателни, които са разположени перпендикулярно на дадената права от вида y = - 2 x + 1 2. Червените точки са допирни точки.

Каноничните уравнения на криви от 2-ри ред не са еднозначни функции. Тангентните уравнения за тях се съставят по известни схеми.

Допирателна към окръжност

За определяне на окръжност с център в точка x c e n t e r ; y c e n t e r и радиус R, приложете формулата x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 .

Това равенство може да се запише като обединение на две функции:

y = R 2 - x - x център 2 + y център y = - R 2 - x - x център 2 + y център

Първата функция се намира отгоре, а втората отдолу, както е показано на фигурата.

Да се ​​състави уравнение на окръжност в точка x 0; y 0 , който се намира в горния или долния полукръг, трябва да намерите уравнението на графиката на функция от вида y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r или y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r в посочената точка.

Когато в точки x c e n t e r ; y център + R и x център; y c e n t e r - R допирателните могат да бъдат дадени чрез уравненията y = y c e n t e r + R и y = y c e n t e r - R , и в точки x c e n t e r + R ; y c e n t e r и
x c e n t e r - R; y c e n t e r ще бъде успореден на o y, тогава получаваме уравнения от вида x = x c e n t e r + R и x = x c e n t e r - R .

Допирателна към елипса

Когато елипсата има център в x c e n t e r ; y c e n t e r с полуоси a и b, то може да се уточни с помощта на уравнението x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1.

Елипса и кръг могат да бъдат обозначени чрез комбиниране на две функции, а именно горната и долната полуелипса. Тогава разбираме това

y = b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

Ако допирателните са разположени във върховете на елипсата, тогава те са успоредни спрямо x или около y. По-долу, за по-голяма яснота, разгледайте фигурата.

Пример 6

Напишете уравнението на допирателната към елипсата x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 в точки със стойности на x, равни на x = 2.

Решение

Необходимо е да се намерят допирателните точки, които съответстват на стойността x = 2. Заместваме в съществуващото уравнение на елипсата и намираме това

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

След това 2; 5 3 2 + 5 и 2; - 5 3 2 + 5 са ​​допирателните точки, които принадлежат на горната и долната полуелипсата.

Нека да преминем към намирането и решаването на уравнението на елипсата по отношение на y. Разбираме това

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Очевидно горната полуелипса е определена с помощта на функция от формата y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2, а долната полуелипса y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2.

Нека приложим стандартен алгоритъм, за да създадем уравнение за допирателна към графиката на функция в точка. Нека запишем, че уравнението за първата допирателна в точка 2; 5 3 2 + 5 ще изглежда така

y " = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Откриваме, че уравнението на втората допирателна със стойност в точката
2 ; - 5 3 2 + 5 приема формата

y " = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Графично тангентите се означават, както следва:

Допирателна към хипербола

Когато хипербола има център в x c e n t e r ; y c e n t e r и върхове x c e n t e r + α ; y c e n t e r и x c e n t e r - α; y c e n t e r се изпълнява неравенството x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1, ако с върхове x c e n t e r ; y център + b и x център; y c e n t e r - b , тогава се определя с помощта на неравенството x-x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 .

Една хипербола може да бъде представена като две комбинирани функции на формата

y = b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r или y = b a · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x център) 2 + a 2 + y център

В първия случай имаме, че допирателните са успоредни на y, а във втория са успоредни на x.

От това следва, че за да се намери уравнението на допирателната към хипербола, е необходимо да се установи на коя функция принадлежи точката на допирателна. За да се определи това, е необходимо да се замени в уравненията и да се провери за идентичност.

Пример 7

Напишете уравнение за допирателната към хиперболата x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 в точка 7; - 3 3 - 3 .

Решение

Необходимо е да се трансформира записът на решението за намиране на хипербола с помощта на 2 функции. Разбираме това

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 и y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

Необходимо е да се установи към коя функция принадлежи дадена точка с координати 7; - 3 3 - 3 .

Очевидно за проверка на първата функция е необходимо y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, тогава точката не принадлежи на графиката, тъй като равенството не важи.

За втората функция имаме, че y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, което означава, че точката принадлежи на дадената графика. От тук трябва да намерите склона.

Разбираме това

y " = - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y " (x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

отговор:уравнението на допирателната може да бъде представено като

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

Ясно е изобразено така:

Тангента на парабола

За да създадете уравнение за допирателната към параболата y = a x 2 + b x + c в точката x 0, y (x 0), трябва да използвате стандартен алгоритъм, след което уравнението ще приеме формата y = y "(x 0) x - x 0 + y ( x 0). Такава допирателна при върха е успоредна на x.

Трябва да дефинирате параболата x = a y 2 + b y + c като обединение на две функции. Следователно трябва да решим уравнението за y. Разбираме това

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

Графично изобразен като:

За да разберете дали точка x 0, y (x 0) принадлежи на функция, продължете внимателно според стандартния алгоритъм. Такава допирателна ще бъде успоредна на o y спрямо параболата.

Пример 8

Напишете уравнението на допирателната към графиката x - 2 y 2 - 5 y + 3, когато имаме ъгъл на допирателната от 150 °.

Решение

Започваме решението, като представяме параболата като две функции. Разбираме това

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 х - 4

Стойността на наклона е равна на стойността на производната в точка x 0 на тази функция и е равна на тангенса на ъгъла на наклон.

Получаваме:

k x = y "(x 0) = t g α x = t g 150 ° = - 1 3

От тук определяме стойността на x за точките на контакт.

Първата функция ще бъде написана като

y " = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Очевидно няма реални корени, тъй като получихме отрицателна стойност. Заключаваме, че за такава функция няма тангенс с ъгъл 150°.

Втората функция ще бъде написана като

y " = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Имаме, че допирните точки са 23 4 ; - 5 + 3 4 .

отговор:уравнението на допирателната приема формата

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Нека го изобразим графично по следния начин:

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Тангентата е права линия , която докосва графиката на функцията в една точка и всички точки на която са на най-малко разстояние от графиката на функцията. Следователно допирателната преминава допирателна към графиката на функцията под определен ъгъл и няколко допирателни под различни ъгли не могат да преминат през точката на допирателна. Допирателните уравнения и нормалните уравнения към графиката на функция се конструират с помощта на производната.

Уравнението на допирателната се извлича от уравнението на линията .

Нека изведем уравнението на допирателната, а след това и уравнението на нормалата към графиката на функцията.

г = kx + b .

В нея к- ъглов коефициент.

От тук получаваме следния запис:

г - г 0 = к(х - х 0 ) .

Производна стойност f "(х 0 ) функции г = f(х) в точката х0 равен на наклона к= tg φ допирателна към графиката на функция, начертана през точка М0 (х 0 , г 0 ) , Къде г0 = f(х 0 ) . Това е геометричен смисъл на производната .

Така можем да заменим кна f "(х 0 ) и вземете следното уравнение на допирателната към графиката на функция :

г - г 0 = f "(х 0 )(х - х 0 ) .

При задачи, включващи съставяне на уравнението на допирателната към графиката на функция (а ние ще преминем към тях скоро), се изисква уравнението, получено от горната формула, да се редуцира до уравнение на права линия в общ вид. За да направите това, трябва да прехвърлите всички букви и цифри на лявата странауравнение и оставете нула от дясната страна.

Сега за нормалното уравнение. нормално - това е права линия, минаваща през точката на допир до графиката на функцията, перпендикулярна на допирателната. Нормално уравнение :

(х - х 0 ) + f "(х 0 )(г - г 0 ) = 0

За да загреете, трябва сами да решите първия пример и след това да разгледате решението. Има всички основания да се надяваме, че тази задача няма да бъде „студен душ“ за нашите читатели.

Пример 0.Създайте уравнение на допирателната и нормално уравнение за графиката на функция в точка М (1, 1) .

Пример 1.Напишете уравнение на допирателната и нормално уравнение за графиката на функция , ако абсцисата е допирателна .

Нека намерим производната на функцията:

Сега имаме всичко, което трябва да бъде заменено в записа, даден в теоретичната помощ, за да получим уравнението на допирателната. получаваме

В този пример имахме късмет: наклонът се оказа нула, така че отделно намаляваме уравнението до общ видне беше необходимо. Сега можем да създадем нормалното уравнение:

На фигурата по-долу: графика на функция в цвят бордо, тангенс зелено, оранжево нормално.

Следващият пример също не е сложен: функцията, както и в предишния, също е полином, но наклонът няма да бъде равен на нула, така че ще бъде добавена още една стъпка - привеждане на уравнението в общ вид.

Пример 2.

Решение. Нека намерим ординатата на допирателната точка:

Нека намерим производната на функцията:

.

Нека намерим стойността на производната в точката на допирателна, тоест наклона на допирателната:

Заместваме всички получени данни в „празна формула“ и получаваме уравнението на допирателната:

Привеждаме уравнението в общия му вид (събираме всички букви и цифри, различни от нула, от лявата страна и оставяме нула отдясно):

Съставяме нормалното уравнение:

Пример 3.Напишете уравнението на допирателната и уравнението на нормалата към графиката на функцията, ако абсцисата е точката на допиране.

Решение. Нека намерим ординатата на допирателната точка:

Нека намерим производната на функцията:

.

Нека намерим стойността на производната в точката на допирателна, тоест наклона на допирателната:

.

Намираме уравнението на допирателната:

Преди да приведете уравнението в общия му вид, трябва малко да го „срешете“: умножете член по член по 4. Правим това и привеждаме уравнението в общия му вид:

Съставяме нормалното уравнение:

Пример 4.Напишете уравнението на допирателната и уравнението на нормалата към графиката на функцията, ако абсцисата е точката на допиране.

Решение. Нека намерим ординатата на допирателната точка:

.

Нека намерим производната на функцията:

Нека намерим стойността на производната в точката на допирателна, тоест наклона на допирателната:

.

Получаваме уравнението на допирателната:

Привеждаме уравнението в неговия общ вид:

Съставяме нормалното уравнение:

Често срещана грешка при писане на допирателни и нормални уравнения е да не забележите, че дадената в примера функция е сложна и да изчислите нейната производна като производна на проста функция. Следните примери вече са от сложни функции(съответният урок ще се отвори в нов прозорец).

Пример 5.Напишете уравнението на допирателната и уравнението на нормалата към графиката на функцията, ако абсцисата е точката на допиране.

Решение. Нека намерим ординатата на допирателната точка:

внимание! Тази функция- сложен, тъй като допирателният аргумент (2 х) сама по себе си е функция. Следователно, ние намираме производната на функция като производна на сложна функция.

Пример 1.Дадена функция f(х) = 3х 2 + 4х– 5. Да напишем уравнението на допирателната към графиката на функцията f(х) в точката на графиката с абсцисата х 0 = 1.

Решение.Производна на функция f(х) съществува за всяко x Р . Да я намерим:

= (3х 2 + 4х– 5)′ = 6 х + 4.

Тогава f(х 0) = f(1) = 2; (х 0) = = 10. Уравнението на допирателната има формата:

г = (х 0) (х – х 0) + f(х 0),

г = 10(х – 1) + 2,

г = 10х – 8.

отговор. г = 10х – 8.

Пример 2.Дадена функция f(х) = х 3 – 3х 2 + 2х+ 5. Да напишем уравнението на допирателната към графиката на функцията f(х), успоредна на правата г = 2х – 11.

Решение.Производна на функция f(х) съществува за всяко x Р . Да я намерим:

= (х 3 – 3х 2 + 2х+ 5)′ = 3 х 2 – 6х + 2.

Тъй като допирателната към графиката на функцията f(х) в точката на абсцисата х 0 е успореден на правата г = 2х– 11, то неговият наклон е равен на 2, т.е. х 0) = 2. Нека намерим тази абциса от условието, че 3 х– 6х 0 + 2 = 2. Това равенство е валидно само когато х 0 = 0 и при х 0 = 2. Тъй като и в двата случая f(х 0) = 5, след това направо г = 2х + bдокосва графиката на функцията или в точка (0; 5), или в точка (2; 5).

В първия случай численото равенство 5 = 2×0 + е вярно b, където b= 5, а във втория случай е вярно численото равенство 5 = 2×2 + b, където b = 1.

Така че има две допирателни г = 2х+ 5 и г = 2х+ 1 към графиката на функцията f(х), успоредна на правата г = 2х – 11.

отговор. г = 2х + 5, г = 2х + 1.

Пример 3.Дадена функция f(х) = х 2 – 6х+ 7. Да напишем уравнението на допирателната към графиката на функцията f(х), преминаваща през точката А (2; –5).

Решение.защото f(2) –5, след това точка Ане принадлежи към графиката на функцията f(х). Нека х 0 - абсцисата на допирателната точка.

Производна на функция f(х) съществува за всяко x Р . Да я намерим:

= (х 2 – 6х+ 1)′ = 2 х – 6.

Тогава f(х 0) = х– 6х 0 + 7; (х 0) = 2х 0 – 6. Уравнението на допирателната има формата:

г = (2х 0 – 6)(х – х 0) + х– 6х+ 7,

г = (2х 0 – 6)х– х+ 7.

Тъй като точката Апринадлежи на тангентата, то численото равенство е вярно

–5 = (2х 0 – 6)×2– х+ 7,

където х 0 = 0 или х 0 = 4. Това означава, че през точката Аможете да начертаете две допирателни към графиката на функцията f(х).

Ако х 0 = 0, тогава уравнението на допирателната има формата г = –6х+ 7. Ако х 0 = 4, тогава уравнението на допирателната има формата г = 2х – 9.

отговор. г = –6х + 7, г = 2х – 9.

Пример 4.Дадени функции f(х) = х 2 – 2х+ 2 и ж(х) = –х 2 – 3. Нека напишем уравнението на общата допирателна към графиките на тези функции.

Решение.Нека х 1 - абсцисата на точката на допиране на желаната линия с графиката на функцията f(х), А х 2 - абсцисата на точката на допиране на същата линия с графиката на функцията ж(х).

Производна на функция f(х) съществува за всяко x Р . Да я намерим:

= (х 2 – 2х+ 2)′ = 2 х – 2.

Тогава f(х 1) = х– 2х 1 + 2; (х 1) = 2х 1 – 2. Уравнението на допирателната има вида:

г = (2х 1 – 2)(х – х 1) + х– 2х 1 + 2,

г = (2х 1 – 2)х – х+ 2. (1)

Нека намерим производната на функцията ж(х):

= (–х 2 – 3)′ = –2 х.