Входно ниво

Квадратни уравнения. Изчерпателно ръководство (2019)

В термина " квадратно уравнение„Ключовата дума е „квадрат“. Това означава, че уравнението задължително трябва да съдържа променлива (същото x) на квадрат и не трябва да има x на трета (или по-голяма) степен.

Решението на много уравнения се свежда до решаване на квадратични уравнения.

Нека се научим да определяме, че това е квадратично уравнение, а не друго уравнение.

Пример 1.

Нека се отървем от знаменателя и да умножим всеки срок на уравнението чрез

Нека преместим всичко на лявата странаи организирайте условията в низходящ ред на правомощията на x

Сега можем да кажем с увереност, че това уравнение е квадратично!

Пример 2.

Умножете лявата и дясната страна по:

Това уравнение, въпреки че първоначално е било в него, не е квадратично!

Пример 3.

Нека умножим всичко по:

Страшно? Четвъртата и втората степен ... Ако направим заместител, ще видим, че имаме просто квадратично уравнение:

Пример 4.

Изглежда, че е там, но нека разгледаме по -отблизо. Нека преместим всичко отляво:

Вижте, това е намалено - и сега това е просто линейно уравнение!

Сега се опитайте да определите сами кое от следните уравнения са квадратични и кои не:

Примери:

Отговори:

1. квадрат;
2. квадрат;
3. не е квадратна;
4. не е квадратна;
5. не е квадратна;
6. квадрат;
7. не е квадратна;
8. квадрат.

Математиците конвенционално разделят всички квадратични уравнения на следните видове:

• Пълни квадратни уравнения- Уравнения, в които коефициентите и, както и свободният срок С, не са равни на нула (както в примера). В допълнение, сред пълните квадратични уравнения има дадено- Това са уравнения, в които коефициентът (уравнението от пример едно е не само пълно, но и намалено!)

• Непълни квадратни уравнения- Уравнения, в които коефициентът и или свободният срок c са равни на нула:

  Те са непълни, защото им липсва някакъв елемент. Но уравнението винаги трябва да съдържа X квадрат !!! В противен случай това вече няма да е квадратично уравнение, а някакво друго уравнение.

Защо са измислили такова разделение? Изглежда, че има X квадрат и добре. Това разделение се определя от методите на разтвора. Нека разгледаме всеки от тях по-подробно.

Решаване на непълни квадратни уравнения

Първо, нека се съсредоточим върху решаването на непълни квадратични уравнения - те са много по -прости!

Има видове непълни квадратични уравнения:

1. , в това уравнение коефициентът е равен.
2. , в това уравнение свободният член е равен на.
3. , в това уравнение коефициентът и свободният термин са равни.

1. i. Защото знаем как да извличаме корен квадратен, тогава нека изразим от това уравнение

Изразът може да бъде или отрицателен, или положителен. Числото на квадрат не може да бъде отрицателно, защото при умножаване на две отрицателни или две положителни числа резултатът винаги ще бъде положително число, така че: ако, тогава уравнението няма решения.

И ако, тогава получаваме два корена. Няма нужда да запомняте тези формули. Основното е, че трябва да знаете и винаги да помните, че не може да бъде по -малко.

Нека се опитаме да решим някои примери.

Пример 5:

Решете уравнението

Сега всичко, което остава, е да извлечете корена от лявата и дясната страна. В крайна сметка помните ли как се извличат корени?

отговор:

Никога не забравяйте за корените с отрицателен знак!!!

Пример 6:

Решете уравнението

отговор:

Пример 7:

Решете уравнението

о! Квадратът на число не може да бъде отрицателен, което означава, че уравнението

без корени!

За такива уравнения, които нямат корени, математиците излязоха със специална икона - (празен комплект). И отговорът може да бъде написан така:

отговор:

По този начин това квадратно уравнение има два корена. Тук няма ограничения, тъй като ние не извлекли корена.
Пример 8:

Решете уравнението

Нека извадим общия множител извън скобите:

по този начин

Това уравнение има два корена.

отговор:

Най -простият тип непълни квадратични уравнения (въпреки че всички те са прости, нали?). Очевидно това уравнение винаги има само един корен:

Тук ще се откажем от примерите.

Решаване на пълни квадратни уравнения

Напомняме ви, че цялостно квадратично уравнение е уравнение на уравнението на формата, където

Решаването на пълни квадратични уравнения е малко по -трудно (само малко) от тях.

Помнете Всяко квадратично уравнение може да бъде решено с помощта на дискриминант! Дори непълна.

Другите методи ще ви помогнат да го направите по-бързо, но ако имате проблеми с квадратни уравнения, първо овладейте решението с помощта на дискриминанта.

1. Решаване на квадратични уравнения с помощта на дискриминант.

Решаването на квадратни уравнения с помощта на този метод е много просто;

Ако, тогава уравнението има корен. специално вниманиенаправи крачка. Дискриминант () ни казва броя на корените на уравнението.

• Ако тогава формулата в стъпката ще бъде намалена до. Така уравнението ще има само корен.
• Ако тогава няма да можем да извлечем корена на дискриминанта на стъпката. Това показва, че уравнението няма корени.

Да се ​​върнем към нашите уравнения и да разгледаме някои примери.

Пример 9:

Решете уравнението

Стъпка 1прескачаме.

Стъпка 2.

Намираме дискриминанта:

Това означава, че уравнението има два корена.

Стъпка 3.

отговор:

Пример 10:

Решете уравнението

Уравнението е представено в стандартна форма, така че Стъпка 1прескачаме.

Стъпка 2.

Намираме дискриминанта:

Това означава, че уравнението има един корен.

отговор:

Пример 11:

Решете уравнението

Уравнението е представено в стандартна форма, така че Стъпка 1прескачаме.

Стъпка 2.

Намираме дискриминанта:

Това означава, че няма да можем да извлечем корена на дискриминанта. Няма корени на уравнението.

Сега знаем как правилно да запишем такива отговори.

отговор:без корени

2. Решаване на квадратични уравнения с помощта на теоремата на Виета.

Ако си спомняте, има вид уравнение, което се нарича намалено (когато коефициентът a е равен на):

Такива уравнения са много лесни за решаване с помощта на теоремата на Виета:

Сума от корени даденоКвадратното уравнение е равно, а продуктът на корените е равен.

Пример 12:

Решете уравнението

Това уравнение може да бъде решено с помощта на теоремата на Виета, защото .

Сумата от корените на уравнението е равна, т.е. получаваме първото уравнение:

И произведението е равно на:

Нека съставим и решим системата:

• И. Сумата е равна на;
• И. Сумата е равна на;
• И. Сумата е равна.

и са решението на системата:

отговор: ; .

Пример 13:

Решете уравнението

отговор:

Пример 14:

Решете уравнението

Дадено е уравнението, което означава:

отговор:

КВАДРАТНИ УРАВНЕНИЯ. СРЕДНО НИВО

Какво е квадратно уравнение?

С други думи, квадратичното уравнение е уравнение на формата, където - неизвестното, - някои числа и.

Числото се нарича най-високото или първи коефициентквадратно уравнение, - втори коефициент, А - безплатен член.

защо Защото ако уравнението веднага стане линейно, защото Загуба.

В този случай и може да бъде равно на нула. В този стол уравнението се нарича непълно. Ако всички условия са налице, тоест уравнението е завършено.

Решения на различни видове квадратични уравнения

Методи за решаване на непълни квадратични уравнения:

Първо, нека разгледаме методите за решаване на непълни квадратични уравнения - те са по -прости.

Можем да разграничим следните видове уравнения:

I., в това уравнение коефициентът и свободният термин са равни.

II. , в това уравнение коефициентът е равен.

III. , в това уравнение свободният член е равен на.

Сега нека разгледаме решението на всеки от тези подтипове.

Очевидно това уравнение винаги има само един корен:

Числото на квадрат не може да бъде отрицателно, защото когато умножите две отрицателни или две положителни числа, резултатът винаги ще бъде положително число. Ето защо:

ако, тогава уравнението няма решения;

ако имаме два корена

Няма нужда да запомняте тези формули. Основното нещо, което трябва да запомните, е, че не може да бъде по -малко.

Примери:

Решения:

отговор:

Никога не забравяйте за корените с отрицателен знак!

Квадратът на число не може да бъде отрицателен, което означава, че уравнението

без корени.

За да запишем накратко, че проблемът няма решения, използваме иконата на празния комплект.

отговор:

И така, това уравнение има два корена: и.

отговор:

Нека извадим общия множител извън скобите:

Продуктът е равен на нула, ако поне един от факторите е равен на нула. Това означава, че уравнението има решение, когато:

И така, това квадратно уравнение има два корена: и.

Пример:

Решете уравнението.

Решение:

Нека да отчитаме лявата страна на уравнението и да намерим корените:

отговор:

Методи за решаване на пълни квадратични уравнения:

1. Дискриминант

Решаването на квадратични уравнения по този начин е лесно, основното е да запомните последователността на действията и няколко формули. Не забравяйте, че всяко квадратично уравнение може да бъде решено с помощта на дискриминант! Дори непълна.

Забелязахте ли корена от дискриминанта във формулата за корени? Но дискриминантът може да бъде отрицателен. какво да правя Трябва да обърнем специално внимание на стъпка 2. Дискриминантът ни казва броя на корените на уравнението.

• Ако, тогава уравнението има корени:
• Ако тогава уравнението има едни и същи корени и всъщност един корен:

  Такива корени се наричат ​​двойни корени.

• Ако тогава коренът на дискриминанта не се извлича. Това показва, че уравнението няма корени.

Защо е възможно различни количествакорени? Нека се обърнем към геометричното значение на квадратичното уравнение. Графиката на функцията е парабола:

В специален случай, който е квадратично уравнение ,. Това означава, че корените на квадратично уравнение са точките на пресичане с оста на абсциса (ос). Параболата не може изобщо да не се пресича оста или може да я пресича в една (когато върхът на параболата лежи на оста) или две точки.

В допълнение, коефициентът е отговорен за посоката на клоните на параболата. Ако тогава клоните на параболата са насочени нагоре и ако, тогава надолу.

Примери:

Решения:

отговор:

Отговор: .

отговор:

Това означава, че няма решения.

Отговор: .

2. Теорема на Виета

Много е лесно да използвате теоремата на Vieta: просто трябва да изберете двойка числа, чийто продукт е равен на свободния член на уравнението, а сборът е равен на втория коефициент, взет с обратен знак.

Важно е да запомните, че теоремата на Виета може да се прилага само в редуцирани квадратни уравнения ().

Нека да разгледаме няколко примера:

Пример #1:

Решете уравнението.

Решение:

Това уравнение може да бъде решено с помощта на теоремата на Виета, защото . Други коефициенти: ; .

Сумата от корените на уравнението е:

И произведението е равно на:

Нека изберем двойки числа, чийто продукт е равен и проверяваме дали тяхната сума е равна:

• И. Сумата е равна на;
• И. Сумата е равна на;
• И. Сумата е равна.

и са решението на системата:

Така и са корените на нашето уравнение.

Отговор: ; .

Пример #2:

Решение:

Нека изберем двойки числа, които дават на продукта, и след това проверете дали тяхната сума е равна:

и: дават общо.

и: дават общо. За да получите, е достатъчно просто да промените знаците на предполагаемите корени: и в края на краищата продуктът.

отговор:

Пример #3:

Решение:

Свободният срок на уравнението е отрицателен и следователно продуктът на корените е отрицателно число. Това е възможно само ако един от корените е отрицателен, а другият е положителен. Следователно сумата от корените е равна на разлики в техните модули.

Нека изберем такива двойки числа, които дават в продукта, и разликата от които е равна на:

и: разликата им е равна - не се вписва;

и: - неподходящи;

и: - неподходящи;

и: - подходящи. Остава само да се помни, че един от корените е отрицателен. Тъй като тяхната сума трябва да е равна, коренът с по -малък модул трябва да е отрицателен :. Ние проверяваме:

отговор:

Пример #4:

Решете уравнението.

Решение:

Дадено е уравнението, което означава:

Свободният термин е отрицателен и следователно продуктът на корените е отрицателен. И това е възможно само когато единият корен на уравнението е отрицателен, а другият е положителен.

Нека изберем двойки числа, чийто продукт е равен, и след това да определим кои корени трябва да имат отрицателен знак:

Очевидно е, че само корените и са подходящи за първото условие:

отговор:

Пример #5:

Решете уравнението.

Решение:

Дадено е уравнението, което означава:

Сумата на корените е отрицателна, което означава, че поне един от корените е отрицателен. Но тъй като техният продукт е положителен, това означава, че и двете корени имат знак минус.

Нека изберем двойки числа, чийто продукт е равен на:

Очевидно корените са числата и.

отговор:

Съгласен съм, много е удобно да измисляте корени устно, вместо да броим този гаден дискриминант. Опитайте се да използвате теоремата на Vieta възможно най-често.

Но теоремата на Виета е необходима, за да се улесни и ускори намирането на корените. За да се възползвате от използването му, трябва да доведете действията към автоматичността. И за това решете още пет примера. Но не изневерявайте: не можете да използвате дискриминант! Само теоремата на Виета:

Решения на задачи за самостоятелна работа:

Задача 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Според теоремата на Виета:

Както обикновено, започваме селекцията с парчето:

Не е подходящ, защото количеството;

: количеството е точно това, от което се нуждаете.

Отговор: ; .

Задача 2.

И отново нашата любима теорема на Виета: сумата трябва да е равна и продуктът трябва да е равен.

Но тъй като трябва да не е, но ние променяме знаците на корените: и (общо).

Отговор: ; .

Задача 3.

Хм... Къде е това?

Трябва да преместите всички условия в една част:

Сборът от корените е равен на произведението.

Добре, спри! Уравнението не е дадено. Но теоремата на Виета е приложима само в дадените уравнения. Така че първо трябва да дадете уравнение. Ако не можете да водите, откажете се от тази идея и решете по друг начин (например чрез дискриминант). Позволете ми да ви напомня, че да дадете квадратично уравнение означава да направите равен на водещия коефициент:

страхотно Тогава сумата от корените е равна на и продукта.

Тук е толкова лесно, колкото да избирате круши за обстрел: в края на краищата, това е отлично число (съжалявам за тавтологията).

Отговор: ; .

Задача 4.

Безплатният член е отрицателен. Какво е особеното на това? И факт е, че корените ще имат различни признаци. И сега, по време на селекцията, ние проверяваме не сумата от корените, а разликата в техните модули: тази разлика е равна, а продукт.

И така, корените са равни на и, но един от тях е минус. Теоремата на Виета ни казва, че сумата от корените е равна на втория коефициент с противоположния знак, т.е. Това означава, че по -малкият корен ще има минус: и оттогава.

Отговор: ; .

Задача 5.

Какво трябва да направите първо? Точно така, дайте уравнението:

Отново: Избираме факторите на числото и тяхната разлика трябва да е равна на:

Корените са равни на и, но един от тях е минус. кои? Тяхната сума трябва да бъде равна, което означава, че минусът ще има по -голям корен.

Отговор: ; .

Нека да обобщя:

1. Теоремата на Виета се използва само в дадени квадратични уравнения.
2. Използвайки теоремата на Виета, можете да намерите корените по избор, устно.
3. Ако уравнението не е дадено или не е намерена подходяща двойка фактори на свободния член, тогава няма цели корени и трябва да го решите по друг начин (например чрез дискриминант).

3. Метод за избор на пълен квадрат

Ако всички членове, съдържащи неизвестното, са представени под формата на членове от съкратени формули за умножение - квадрат на сбора или разликата - тогава след замяна на променливите уравнението може да бъде представено под формата на непълно квадратно уравнение от типа.

Например:

Пример 1:

Решете уравнението: .

Решение:

отговор:

Пример 2:

Решете уравнението: .

Решение:

отговор:

IN общ изгледтрансформацията ще изглежда така:

Следва: .

Нищо не ти напомня? Това е нещо дискриминационно! Точно така получихме дискриминантната формула.

КВАДРАТНИ УРАВНЕНИЯ. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНОТО

Квадратно уравнение- Това е уравнение на формата, където - неизвестното, - коефициентите на квадратичното уравнение, - свободният термин.

Пълно квадратно уравнение- Уравнение, в което коефициентите не са равни на нула.

Редуцирано квадратно уравнение- Уравнение, в което коефициентът, тоест :.

Непълно квадратно уравнение- Уравнение, в което коефициентът и или свободният срок c са равни на нула:

• ако коефициентът, уравнението изглежда така: ,
• Ако има свободен термин, уравнението има формата :,
• ако и, уравнението изглежда така: .

1. Алгоритъм за решаване на непълни квадратични уравнения

1.1. Непълно квадратично уравнение на формата, където::

1) Нека изразим неизвестното: ,

2) Проверете знака на израза:

• ако, тогава уравнението няма решения,
• ако, тогава уравнението има два корена.

1.2. Непълно квадратично уравнение на формата, където::

1) Нека извадим общия фактор от скобите:,

2) Продуктът е равен на нула, ако поне един от факторите е равен на нула. Следователно уравнението има два корена:

1.3. Непълно квадратично уравнение на формата, където:

Това уравнение винаги има само един корен: .

2. Алгоритъм за решаване на пълни квадратични уравнения на формата, където

2.1. Решение с помощта на дискриминант

1) Нека приведем уравнението в стандартна форма: ,

2) Нека изчислим дискриминатора, използвайки формулата:, което показва броя на корените на уравнението:

3) Намерете корените на уравнението:

• Ако тогава уравнението има корени, които се намират по формулата:
• Ако тогава уравнението има корен, който се намира по формулата:
• ако, тогава уравнението няма корени.

2.2. Решение с помощта на теоремата на Виета

Сумата от корените на намаленото квадратично уравнение (уравнение на формата, където) е равна, а продуктът на корените е равен, т.е. , А.

2.3. Решение по метода за избор на пълен квадрат

2.5 Формула на Vieta за полиноми (уравнения) по-високи степени

Формулите, получени от Viète за квадратични уравнения, са верни и за полиноми от по -високи степени.

Нека полиномът

P(x) = a 0 x n + a 1 x n -1 + … +a n

Има n различни корена x 1, x 2..., x n.

В този случай тя има факторизация на формата:

a 0 x n + a 1 x n-1 +… + a n = a 0 (x-x 1) (x-x 2)… (x-x n)

Нека разделим и двете страни на това равенство с 0 ≠ 0 и да отворим скобите в първата част. Получаваме равенството:

x n + () x n -1 +… + () = x n -(x 1 + x 2 +… + x n) x n -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 +… + x n -1 x n) x n - 2 + … + (-1) n x 1 x 2 … x n

Но две полиноми са идентично равни, ако и само ако коефициентите на едни и същи сили са равни. От това следва, че равенството

x 1 + x 2 + … + x n = -

x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n =

x 1 x 2 ... x n = (-1) n

Например за полиноми от трета степен

a 0 x³ + a 1 x² + a 2 x + a 3

Имаме идентичности

x 1 + x 2 + x 3 = -

x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =

x 1 x 2 x 3 = -

Що се отнася до квадратните уравнения, тази формула се нарича формули на Виета. Левите части на тези формули са симетрични полиноми от корените x 1, x 2 ..., x n на това уравнение, а десните страни са изразени чрез коефициента на полинома.

2.6 Уравнения, редуцируеми до квадратично (биквадратично)

Уравненията от четвъртата степен са намалени до квадратични уравнения:

AX 4 + bx 2 + C = 0,

наречен биквадратичен и a ≠ 0.

Достатъчно е да поставите x 2 = y в това уравнение, следователно,

ay² + by + C = 0

Нека намерим корените на полученото квадратично уравнение

y 1,2 =

За незабавно да намерите корените x 1, x 2, x 3, x 4, заменете y с x и вземете

x² =

x 1,2,3,4 = .

Ако уравнението на четвърта степен има x 1, то също има корен x 2 = -x 1,

Ако има x 3, тогава x 4 = - x 3. Сумата от корените на такова уравнение е нула.

2x 4 - 9x² + 4 = 0

Нека заместим уравнението във формулата за корените на биквадратичните уравнения:

x 1,2,3,4 = ,

знаейки, че x 1 = -x 2 и x 3 = -x 4, тогава:

х 3,4 =

Отговор: x 1,2 = ±2; х 1,2 =

2.7 Изследване на биквадратни уравнения

Нека вземем биквадратното уравнение

AX 4 + bx 2 + C = 0,

където a, b, c са реални числа и a > 0. Като въведем спомагателното неизвестно y = x², разглеждаме корените на това уравнение и въвеждаме резултатите в таблицата (виж Приложение № 1)

2.8 Кардано формула

Ако използваме съвременна символика, производното на формулата на Cardano може да изглежда така:

x =

Тази формула определя корените общо уравнениетрета степен:

ax 3 + 3bx 2 + 3cx + d = 0.

Тази формула е много тромава и сложна (съдържа няколко сложни радикали). Няма да се прилага винаги, защото... много трудно за попълване.

F ¢ (XO) = 0,> 0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка . Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) ...

Избройте или изберете най-интересните места от 2-3 текста. По този начин разгледахме общите разпоредби за създаване и провеждане на избираеми курсове, които ще бъдат взети предвид при разработването на избираем курс по алгебра за 9 клас „Квадратни уравнения и неравенства с параметър“. Глава II. Методология за провеждане на избирателния курс „Квадратични уравнения и неравенства с параметър“ 1.1. генерал...

Решения от числени изчислителни методи. За да се определят корените на дадено уравнение, не се изисква познаване на теориите на групите на Абел, Галоа, Ли и др. и използването на специална математическа терминология: пръстени, полета, идеали, изоморфизми и др. За да решите алгебрично уравнение от n-та степен, имате нужда само от способността да решавате квадратни уравнения и да извличате корени от комплексно число. Корените могат да се определят от...

С единици за измерване на физическите количества в системата MathCAD? 11. Опишете подробно текста, графичните и математическите блокове. Лекция №2. Задачи на линейната алгебра и решаване на диференциални уравнения в средата на MathCAD При задачите на линейната алгебра почти винаги има нужда от извършване на различни операции с матрици. Панелът на оператора с матрици се намира на математическия панел. ...

Формулиране и доказателство за теоремата на Виета за квадратични уравнения. Обратната теорема на Виета. Теорема на Виета за кубични уравнения и уравнения на произволен ред.

Квадратни уравнения

Теорема на Виета

Нека и обозначават корените на намаленото квадратично уравнение
(1) .
Тогава сумата от корените е равна на коефициента, взета с противоположния знак. Продуктът на корените е равен на свободния срок:
;
.

Бележка за множество корени

Ако дискриминантът на уравнението (1) е нула, тогава това уравнение има един корен. Но за да се избегнат тромави формулировки, е общоприето, че в този случай уравнение (1) има две множество или равни корени:
.

Доказателство едно

Нека намерим корените на уравнение (1). За да направите това, приложете формулата за корените на квадратично уравнение:
;
;
.

Намерете сбора на корените:
.

За да намерите продукта, приложете формулата:
.
Тогава

.

Теоремата е доказана.

Доказателство две

Ако числата са корените на квадратичното уравнение (1), тогава
.
Отваряне на скобите.

.
Така уравнение (1) ще приеме формата:
.
Сравнявайки с (1), намираме:
;
.

Теоремата е доказана.

Обратната теорема на Виета

Нека има произволни числа. Тогава и са корените на квадратното уравнение
,
Къде
(2) ;
(3) .

Доказателство на обратната теорема на Виета

Разгледайте квадратното уравнение
(1) .
Трябва да докажем, че ако и тогава и са корените на уравнението (1).

Нека заместим (2) и (3) в (1):
.
Ние групираме термините от лявата страна на уравнението:
;
;
(4) .

Нека заместим в (4):
;
.

Нека заместим в (4):
;
.
Уравнението е в сила. Тоест числото е коренът на уравнение (1).

Теоремата е доказана.

Теоремата на Виета за цялостно квадратично уравнение

Сега разгледайте пълното квадратно уравнение
(5) ,
където , и са някои числа. Освен това.

Нека разделим уравнение (5) на:
.
Тоест, получихме даденото уравнение
,
Къде ; .

Тогава теоремата на Виета за цялостно квадратично уравнение има следната форма.

Оставете и обозначавате корените на цялото квадратично уравнение
.
Тогава сумата и продуктът на корените се определят от формулите:
;
.

Теорема на Виета за кубично уравнение

По подобен начин можем да установим връзки между корените на кубично уравнение. Помислете за кубичното уравнение
(6) ,
където , , , са някои числа. Освен това.
Нека разделим това уравнение на:
(7) ,
Къде , , .
Нека, са корените на уравнение (7) (и уравнение (6)). Тогава

.

Сравнявайки с уравнение (7), намираме:
;
;
.

Теорема на Виета за уравнение от n-та степен

По същия начин можете да намерите връзки между корените ,, ..., за уравнение от N -та степен
.

Теоремата на Виета за уравнение от N -та степен има следната форма:
;
;
;

.

За да получим тези формули, пишем уравнението, както следва:
.
Тогава ние приравняваме коефициентите за ,,, ... и сравняваме свободния термин.

Използвана литература:
И.Н. Бронщайн, К.А. Semendyaev, Наръчник по математика за инженери и студенти, „LAN“, 2009.
CM. Николски, М.К. Potapov et al., Algebra: Учебник за 8 клас в общите образователни институции, Москва, образование, 2006.

В математиката има специални техники, с които много квадратични уравнения могат да бъдат решени много бързо и без никакви дискриминанти. Освен това, с правилното обучение, мнозина започват да решават квадратични уравнения орално, буквално „от пръв поглед“.

За съжаление, в съвременния курс на училищната математика подобни технологии почти не се изучават. Но трябва да знаете! И днес ще разгледаме една от тези техники - теоремата на Виета. Първо, нека въведем нова дефиниция.

Квадратично уравнение на формата x 2 + bx + c = 0 се нарича намалено. Моля, обърнете внимание, че коефициентът за x 2 е 1. Няма други ограничения за коефициентите.

1. x 2 + 7x + 12 = 0 е намалено квадратично уравнение;
2. x 2 − 5x + 6 = 0 - също намалено;
3. 2x 2 - 6x + 8 = 0 - но това изобщо не се дава, тъй като коефициентът на x 2 е равен на 2.

Разбира се, всяко квадратично уравнение на формата AX 2 + BX + C = 0 може да бъде намалено - просто разделете всички коефициенти на числото a. Винаги можем да направим това, тъй като дефиницията на квадратично уравнение предполага, че A ≠ 0.

Вярно е, че тези трансформации не винаги ще бъдат полезни за намиране на корени. По -долу ще се уверим, че това трябва да стане само когато в крайното уравнение, дадено от квадрата, всички коефициенти са цяло число. Засега нека разгледаме най-простите примери:

Задача. Преобразувайте квадратичното уравнение в намаленото уравнение:

1. 3x 2 − 12x + 18 = 0;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0;
3. 1,5x 2 + 7,5x + 3 = 0;
4. 2x 2 + 7x − 11 = 0.

Нека разделим всяко уравнение на коефициента на променливата x 2. Получаваме:

1. 3x 2 − 12x + 18 = 0 ⇒ x 2 − 4x + 6 = 0 - разделено всичко на 3;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 - делено на −4;
3. 1,5x 2 + 7,5x + 3 = 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 = 0 - разделено на 1,5, всички коефициенти стават цели числа;
4. 2x 2 + 7x − 11 = 0 ⇒ x 2 + 3,5x − 5,5 = 0 - делено на 2. В този случай се появиха дробни коефициенти.

Както можете да видите, горните квадратни уравнения могат да имат цели числа, дори ако оригиналното уравнение съдържа дроби.

Сега нека формулираме основната теорема, за която всъщност беше въведена концепцията за намалено квадратно уравнение:

Теорема на Виета. Разгледайте редуцираното квадратно уравнение под формата x 2 + bx + c = 0. Да предположим, че това уравнение има реални корени x 1 и x 2. В този случай са верни следните твърдения:

1. x 1 + x 2 = −b. С други думи, сумата от корените на даденото квадратно уравнение е равна на коефициента на променливата x, взета с обратен знак;
2. x 1 x 2 = c . Произведението от корените на квадратно уравнение е равно на свободния коефициент.

Примери. За простота ще разгледаме само горните квадратни уравнения, които не изискват допълнителни трансформации:

1. x 2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = − (−9) = 9; x 1 x 2 = 20; корени: x 1 = 4; х 2 = 5;
2. x 2 + 2x − 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −2; x 1 x 2 = −15; корени: x 1 = 3; x 2 = −5;
3. x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = 4; корени: x 1 = −1; x 2 = −4.

Теоремата на Виета ни дава допълнителна информация за корените на квадратно уравнение. На пръв поглед това може да изглежда трудно, но дори и с минимално обучение ще се научите да „виждате“ корените и буквално да ги отгатвате за секунди.

Задача. Решете квадратното уравнение:

1. x 2 − 9x + 14 = 0;
2. x 2 − 12x + 27 = 0;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0;
4. −7x 2 + 77x − 210 = 0.

Нека се опитаме да напишем коефициентите с помощта на теоремата на Vieta и да „познаем“ корените:

1. x 2 − 9x + 14 = 0 е съкратено квадратно уравнение.
   По теоремата на Виета имаме: x 1 + x 2 = −(−9) = 9; x 1 · x 2 = 14. Лесно се вижда, че корените са числата 2 и 7;
2. x 2 − 12x + 27 = 0 - също намалено.
   По теоремата на Виета: x 1 + x 2 = −(−12) = 12; x 1 x 2 = 27. Следователно корените: 3 и 9;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0 - това уравнение не е редуцирано. Но сега ще коригираме това, като разделим двете страни на уравнението на коефициента a = 3. Получаваме: x 2 + 11x + 10 = 0.
   Решаваме с помощта на теоремата на Vieta: x 1 + x 2 = −11; x 1 x 2 = 10 ⇒ корени: −10 и −1;
4. −7x 2 + 77x − 210 = 0 - отново коефициентът за x 2 не е равен на 1, т.е. уравнението не е дадено. Разделяме всичко на числото a = −7. Получаваме: x 2 − 11x + 30 = 0.
   По теоремата на Виета: x 1 + x 2 = −(−11) = 11; x 1 x 2 = 30; От тези уравнения е лесно да се отгатнат корените: 5 и 6.

От горните разсъждения става ясно как теоремата на Виета опростява решението на квадратни уравнения. Без сложни изчисления, без аритметични корени или дроби. И дори не се нуждаехме от дискриминант (вижте урока „Решаване на квадратни уравнения“).

Разбира се, във всички наши разсъждения ние изхождахме от две важни предположения, които, най-общо казано, не винаги се срещат в реални проблеми:

1. Квадратното уравнение се редуцира, т.е. коефициентът за x 2 е 1;
2. Уравнението има два различни корена. От алгебрична гледна точка в този случай дискриминантът е D > 0 - всъщност първоначално приемаме, че това неравенство е вярно.

Въпреки това, в типичните математически задачи тези условия са изпълнени. Ако изчислението доведе до „лошо“ квадратно уравнение (коефициентът на x 2 е различен от 1), това може лесно да се коригира - вижте примерите в самото начало на урока. Обикновено мълча за корените: какъв проблем е това, който няма отговор? Разбира се, че ще има корени.

по този начин обща схемарешаването на квадратни уравнения с помощта на теоремата на Vieta изглежда така:

1. Сведете квадратното уравнение до даденото, ако това не е направено в постановката на задачата;
2. Ако коефициентите в горното квадратно уравнение са дробни, решаваме с помощта на дискриминанта. Можете дори да се върнете към оригиналното уравнение, за да работите с повече „удобни“ числа;
3. В случай на цели коефициенти, ние решаваме уравнението, използвайки теоремата на Vieta;
4. Ако не можете да познаете корените в рамките на няколко секунди, забравете за теоремата на Виета и решете с помощта на дискриминанта.

Задача. Решете уравнението: 5x 2 − 35x + 50 = 0.

И така, имаме пред нас уравнение, което не е редуцирано, защото коефициент a = 5. Разделяме всичко на 5, получаваме: x 2 − 7x + 10 = 0.

Всички коефициенти на квадратното уравнение са цели числа - нека се опитаме да го решим с помощта на теоремата на Виета. Имаме: x 1 + x 2 = −(−7) = 7; x 1 x 2 = 10.V в този случайкорените са лесни за отгатване - те са 2 и 5. Няма нужда да броите с помощта на дискриминанта.

Задача. Решете уравнението: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0.

Нека да погледнем: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 - това уравнение не е намалено, нека разделим двете страни на коефициента a = −5. Получаваме: x 2 − 1,6x + 0,48 = 0 - уравнение с дробни коефициенти.

По-добре е да се върнете към първоначалното уравнение и да преброите през дискриминанта: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 ⇒ D = 8 2 − 4 · (−5) · (−2,4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1,2; х 2 = 0,4.

Задача. Решете уравнението: 2x 2 + 10x − 600 = 0.

Първо, нека разделим всичко на коефициента a = 2. Получаваме уравнението x 2 + 5x − 300 = 0.

Това е редуцираното уравнение, според теоремата на Виета имаме: x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = −300. Трудно е да се познаят корените на квадратното уравнение в този случай - лично аз бях сериозно закъсал при решаването на тази задача.

Ще трябва да търсите корени чрез дискриминанта: D = 5 2 − 4 · 1 · (−300) = 1225 = 35 2 . Ако не си спомняте корена на дискриминанта, просто ще отбележа, че 1225: 25 = 49. Следователно, 1225 = 25 49 = 5 2 7 2 = 35 2.

Сега, когато коренът на дискриминанта е известен, решаването на уравнението не е трудно. Получаваме: x 1 = 15; x 2 = −20.

Теоремата на Vieta (по-точно теоремата, обратна на теоремата на Vieta) ви позволява да намалите времето за решаване на квадратни уравнения. Просто трябва да знаете как да го използвате. Как да се научим да решаваме квадратни уравнения с помощта на теоремата на Vieta? Не е трудно, ако се замислите малко.

Сега ще говорим само за решаването на редуцираното квадратно уравнение с помощта на теоремата на Виета. Редуцираното квадратно уравнение е уравнение, в което a, тоест коефициентът на x², е равен на единица. Също така е възможно да се решават квадратни уравнения, които не са дадени с помощта на теоремата на Виета, но поне един от корените не е цяло число. Те са по-трудни за отгатване.

Обратната теорема на теоремата на Виета гласи: ако числата x1 и x2 са такива, че

тогава x1 и x2 са корените на квадратното уравнение

При решаване на квадратно уравнение с помощта на теоремата на Виета са възможни само 4 варианта. Ако си спомняте реда на разсъждение, можете да се научите да намирате цели корени много бързо.

I. Ако q е положително число,

това означава, че корените x1 и x2 са числа с един и същи знак (тъй като само умножаването на числа с еднакви знаци дава положително число).

I.a. Ако -p е положително число, (съответно, стр<0), то оба корня x1 и x2 — положителни числа(тъй като добавихме числа от същия знак и получихме положително число).

I.b. Ако -p е отрицателно число, (съответно p>0), тогава и двата корена са отрицателни числа (събрахме числа с един и същ знак и получихме отрицателно число).

II. Ако q е отрицателно число,

това означава, че корените x1 и x2 имат различни знаци (при умножаване на числа отрицателно число се получава само когато знаците на факторите са различни). В този случай x1+x2 вече не е сбор, а разлика (все пак при събиране на числа с различни знациизваждаме по-малкото от по-голямото). Следователно x1+x2 показва колко се различават корените x1 и x2, тоест колко един корен е по-голям от другия (по абсолютна стойност).

II.а. Ако -p е положително число, (тоест, стр<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.б. Ако -p е отрицателно число, (p>0), тогава по-големият (по модул) корен е отрицателно число.

Нека разгледаме решаването на квадратни уравнения с помощта на теоремата на Виета, използвайки примери.

Решете даденото квадратно уравнение, като използвате теоремата на Виета:

Тук q=12>0, така че корените x1 и x2 са числа с един и същи знак. Тяхната сума е -p=7>0, така че и двата корена са положителни числа. Избираме цели числа, чието произведение е равно на 12. Това са 1 и 12, 2 и 6, 3 и 4. Сборът е 7 за двойката 3 и 4. Това означава, че 3 и 4 са корените на уравнението.

IN в този пример q=16>0, което означава, че корените x1 и x2 са числа с еднакъв знак. Сборът им е -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Тук q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, тогава по-голямото число е положително. Така че корените са 5 и -3.

q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.