Дробните изрази са трудни за разбиране от детето. Повечето хора имат затруднения с. Когато изучава темата „събиране на дроби с цели числа“, детето изпада в ступор, затруднява се да реши проблема. В много примери, преди да се извърши действие, трябва да се извършат поредица от изчисления. Например преобразувайте дроби или преобразувайте неправилна дроб в правилна дроб.

Нека го обясним ясно на детето. Нека вземем три ябълки, две от които ще бъдат цели, а третата нарежете на 4 части. Отделете един резен от нарязаната ябълка, а останалите три поставете до два цели плода. Получаваме ¼ ябълка от едната страна и 2 ¾ от другата. Ако ги комбинираме, получаваме три ябълки. Нека се опитаме да намалим 2 ¾ ябълки с ¼, тоест да премахнем още един резен, получаваме 2 2/4 ябълки.

Нека разгледаме по-подробно операциите с дроби, които съдържат цели числа:

Първо, нека си припомним правилото за изчисление за дробни изрази с общ знаменател:

На пръв поглед всичко е лесно и просто. Но това се отнася само за изрази, които не изискват преобразуване.

Как да намерим стойността на израз, където знаменателите са различни

В някои задачи трябва да намерите значението на израз, в който знаменателите са различни. Да разгледаме конкретен случай:
3 2/7+6 1/3

Нека намерим стойността на този израз, за ​​това намираме за две дроби общ знаменател.

За числата 7 и 3 това е 21. Оставяме целите части същите и довеждаме дробните до 21, за това умножаваме първата дроб по 3, втората по 7, получаваме:
6/21+7/21, не забравяйте, че цели части не могат да бъдат конвертирани. В резултат на това получаваме две дроби с еднакъв знаменател и изчисляваме тяхната сума:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
Ами ако резултатът от събирането е неправилна дроб, която вече има цяла част:
2 1/3+3 2/3
IN в такъв случайСъбираме целите части и дробните части, получаваме:
5 3/3, както знаете, 3/3 е едно, което означава 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6

Намирането на сумата е ясно, нека да разгледаме изваждането:

От всичко казано следва правилото за операции със смесени числа:

• Ако трябва да извадите цяло число от дробен израз, не е необходимо да представяте второто число като дроб; достатъчно е да извършите операцията само върху целите части.

Нека се опитаме сами да изчислим значението на изразите:

Нека разгледаме по-отблизо примера под буквата „m“:

4 5/11-2 8/11, числителят на първата дроб е по-малък от втората. За да направим това, вземаме назаем едно цяло число от първата дроб, получаваме,
3 5/11+11/11=3 цяло 16/11, извадете втората от първата дроб:
3 16/11-2 8/11=1 цяло 8/11

• Бъдете внимателни, когато изпълнявате задачата, не забравяйте да преобразувате неправилните дроби в смесени дроби, като подчертавате цялата част. За да направите това, трябва да разделите стойността на числителя на стойността на знаменателя, тогава това, което се случва, заема мястото на цялата част, остатъкът ще бъде числителят, например:

19/4=4 ¾, нека проверим: 4*4+3=19, знаменателят 4 остава непроменен.

Обобщете:

Преди да започнете задача, свързана с дроби, е необходимо да анализирате какъв вид израз е, какви трансформации трябва да се направят върху дробта, за да бъде решението правилно. Потърсете по-рационално решение. Не тръгвайте по трудния път. Планирайте всички действия, решете първи чернова, след което го прехвърлете в училищния си бележник.

За да избегнете объркване при решаването на дробни изрази, трябва да следвате правилото за последователност. Решете всичко внимателно, без да бързате.

Този урок ще обхване събиране и изваждане. алгебрични дробис различни знаменатели. Вече знаем как да събираме и изваждаме обикновени дроби с различни знаменатели. За да направите това, дробите трябва да бъдат приведени до общ знаменател. Оказва се, че алгебричните дроби следват същите правила. В същото време вече знаем как да сведем алгебрични дроби до общ знаменател. Събирането и изваждането на дроби с различни знаменатели е една от най-важните и трудни теми в курса за 8. клас. Освен това тази тема ще се появи в много теми от курса по алгебра, който ще изучавате в бъдеще. Като част от урока ще изучаваме правилата за добавяне и изваждане на алгебрични дроби с различни знаменатели, а също така ще анализираме цяла серия типични примери.

Нека разгледаме най-простия пример за обикновени дроби.

Пример 1.Добавете дроби: .

Решение:

Нека си припомним правилото за събиране на дроби. За да започнете, дробите трябва да бъдат приведени до общ знаменател. Общият знаменател за обикновените дроби е най-малко общо кратно(LCM) на оригиналните знаменатели.

Определение

Най-малко естествено число, което се дели едновременно на числата и .

За да се намери LCM е необходимо да се разложат знаменателите на основни фактории след това изберете всички прости множители, които са включени в разширението на двата знаменателя.

; . Тогава LCM на числата трябва да включва две двойки и две тройки: .

След като намерите общия знаменател, трябва да намерите допълнителен множител за всяка дроб (всъщност разделете общия знаменател на знаменателя на съответната дроб).

След това всяка фракция се умножава по получения допълнителен фактор. Получаваме дроби с същите знаменатели, събиране и изваждане, които научихме в предишните уроци.

Получаваме: .

Отговор:.

Нека сега разгледаме събирането на алгебрични дроби с различни знаменатели. Първо, нека да разгледаме дроби, чиито знаменатели са числа.

Пример 2.Добавете дроби: .

Решение:

Алгоритъмът за решение е абсолютно подобен на предишния пример. Лесно е да се намери общият знаменател на тези дроби: и допълнителни множители за всяка от тях.

.

Отговор:.

И така, нека формулираме алгоритъм за събиране и изваждане на алгебрични дроби с различни знаменатели:

1. Намерете най-малкия общ знаменател на дробите.

2. Намерете допълнителни множители за всяка от дробите (като разделите общия знаменател на знаменателя на дадената дроб).

3. Умножете числителите по съответните допълнителни множители.

4. Събирайте или изваждайте дроби, като използвате правилата за събиране и изваждане на дроби с еднакви знаменатели.

Нека сега разгледаме пример с дроби, чийто знаменател съдържа буквални изрази.

Пример 3.Добавете дроби: .

Решение:

Тъй като буквените изрази в двата знаменателя са еднакви, трябва да намерите общ знаменател за числата. Крайният общ знаменател ще изглежда така: . Така че решението този примерима формата:.

Отговор:.

Пример 4.Извадете дроби: .

Решение:

Ако не можете да „измамите“, когато избирате общ знаменател (не можете да го разделите на множители или да използвате съкратени формули за умножение), тогава трябва да вземете произведението на знаменателите на двете дроби като общ знаменател.

Отговор:.

Като цяло, когато решавате подобни примери, най-трудната задача е намирането на общия знаменател.

Нека да разгледаме по-сложен пример.

Пример 5.Опростете: .

Решение:

Когато намирате общ знаменател, първо трябва да се опитате да разложите знаменателите на оригиналните дроби (за да опростите общия знаменател).

В този конкретен случай:

Тогава е лесно да се определи общият знаменател: .

Определяме допълнителни фактори и решаваме този пример:

Отговор:.

Сега нека установим правилата за събиране и изваждане на дроби с различни знаменатели.

Пример 6.Опростете: .

Решение:

Отговор:.

Пример 7.Опростете: .

Решение:

.

Отговор:.

Нека сега разгледаме пример, в който се добавят не две, а три дроби (в края на краищата правилата за събиране и изваждане за Повече ▼дробите остават същите).

Пример 8.Опростете: .

Обикновените дробни числа за първи път се срещат с учениците в 5-ти клас и ги придружават през целия им живот, тъй като в ежедневието често е необходимо да се разглежда или използва обект не като цяло, а на отделни части. Започнете да изучавате тази тема - споделя. Акциите са равни части, на които е разделен този или онзи обект. В края на краищата, не винаги е възможно да се изрази, например, дължината или цената на даден продукт като цяло число, трябва да се вземат предвид части или части от някаква мярка. Образувана от глагола „разделяне“ - разделяне на части и имаща арабски корени, самата дума „фракция“ възниква на руски език през 8 век.

Дробните изрази отдавна се смятат за най-трудния дял от математиката. През 17 век, когато се появяват първите учебници по математика, те се наричат ​​„счупени числа“, което е много трудно за разбиране от хората.

Модерна визияпрости дробни остатъци, чиито части са разделени с хоризонтална линия, са били насърчавани за първи път от Фибоначи - Леонардо от Пиза. Неговите творби са датирани от 1202 г. Но целта на тази статия е просто и ясно да обясни на читателя как се умножават смесени дроби с различни знаменатели.

Умножение на дроби с различни знаменатели

Първоначално си струва да се определи видове дроби:

• правилно;
• неправилно;
• смесен.

След това трябва да запомните как се умножават дробни числа с еднакви знаменатели. Самото правило на този процес не е трудно да се формулира независимо: резултатът от умножаването на прости дроби с еднакви знаменатели е дробен израз, чийто числител е произведението на числителите, а знаменателят е произведението на знаменателите на тези дроби. . Тоест всъщност новият знаменател е квадрат на един от първоначално съществуващите.

При умножаване прости дроби с различни знаменателиза два или повече фактора правилото не се променя:

а/b * ° С/д = а*в / b*d.

Единствената разлика е, че полученото число под дробната линия ще бъде произведението на различни числа и, естествено, квадрат на едно числено изражениеневъзможно е да го назовем.

Струва си да разгледаме умножението на дроби с различни знаменатели, като използваме примери:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Примерите използват методи за намаляване на дробни изрази. Можете да намалите само числата на числителя с числата на знаменателя; съседните множители над или под дробната линия не могат да бъдат намалени.

Заедно с простите дробни числа, има концепция за смесени дроби. Смесеното число се състои от цяло число и дробна част, т.е. това е сумата от тези числа:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Как работи умножението?

Дадени са няколко примера за разглеждане.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

Примерът използва умножение на число по обикновена дробна част, правилото за това действие може да се запише като:

а* б/° С = а*б /° С.

Всъщност такъв продукт е сумата от еднакви дробни остатъци и броят на членовете показва това естествено число. Специален случай:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Има друго решение за умножаване на число с дробен остатък. Просто трябва да разделите знаменателя на това число:

д* д/f = д/е: г.

Тази техника е полезна за използване, когато знаменателят е разделен на естествено число без остатък или, както се казва, на цяло число.

Преобразувайте смесени числа в неправилни дроби и получете продукта по описания по-горе начин:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Този пример включва метода на представяне смесена фракциянеправилно, може да се представи и като обща формула:

а b° С = а*б+ c / c, където знаменателят на новата дроб се формира чрез умножаване на цялата част със знаменателя и добавянето му с числителя на първоначалния дробен остатък, а знаменателят остава същият.

Този процес работи и в обратна страна. За да разделите цялата част и дробния остатък, трябва да разделите числителя на неправилна дроб на нейния знаменател с помощта на „ъгъл“.

Умножение неправилни дроби произведени по общоприет начин. Когато пишете под една дробна линия, трябва да намалите дробите, ако е необходимо, за да намалите числата с помощта на този метод и да улесните изчисляването на резултата.

В интернет има много помощници за решаване дори на сложни математически задачи различни вариациипрограми. Достатъчно количествотакива услуги предлагат своята помощ при броене на умножение на дроби с различни числав знаменатели – т. нар. онлайн калкулатори за пресмятане на дроби. Те могат не само да умножават, но и да извършват всички други прости аритметични операции с обикновени дроби и смесени числа. Лесно е да работите с него; попълнете съответните полета на страницата на сайта и изберете знака математическа операцияи щракнете върху „изчисли“. Програмата изчислява автоматично.

Темата за аритметичните действия с дроби е актуална за цялото обучение на учениците от средните и средните класове. В гимназията вече не разглеждат най-простите видове, но цели дробни изрази, но знанията за правилата за трансформация и изчисления, получени по-рано, се прилагат в оригиналния им вид. Добре усвоените основни знания дават пълна увереност в успешно решениеповечето сложни задачи.

В заключение има смисъл да цитираме думите на Лев Николаевич Толстой, който пише: „Човекът е част. Не е във властта на човек да увеличи своя числител - своите заслуги - но всеки може да намали своя знаменател - своето мнение за себе си, и с това намаляване да се доближи до своето съвършенство.

Този урок ще обхване събирането и изваждането на алгебрични дроби с еднакви знаменатели. Вече знаем как да събираме и изваждаме обикновени дроби с еднакви знаменатели. Оказва се, че алгебричните дроби следват същите правила. Да се ​​научите да работите с дроби с еднакви знаменатели е един от крайъгълните камъни на обучението как да работите с алгебрични дроби. По-специално, разбирането на тази тема ще улесни овладяването на повече трудна тема- събиране и изваждане на дроби с различни знаменатели. Като част от урока ще изучаваме правилата за добавяне и изваждане на алгебрични дроби с подобни знаменатели, а също така ще анализираме редица типични примери

Правило за събиране и изваждане на алгебрични дроби с еднакви знаменатели

Sfor-mu-li-ru-em pra-vi-lo slo-zhe-niya (you-chi-ta-niya) al-geb-ra-i-che-skih фракции от един към вас -mi know-me-na-te-la-mi (това съвпада с аналогичното правило за обикновени shot-beats): Това е за добавяне или изчисляване на ал-геб-ра-и-че-ски дроби с едно към вас know-me-on-the-la-mi необходимо -ho-di-mo-компилира съответна ал-геб-ра-и-че-сума от числа и знакът-ме-на-тел оставя без никакви.

Разбираме това правило както за примера на обикновените равенства, така и за примера на хитовете на ал-геб-ра-и-че.

Примери за прилагане на правилото за обикновени дроби

Пример 1. Съберете дроби: .

Решение

Нека добавим броя на дробите и оставим знака същия. След това разлагаме числото и го подписваме на прости множества и комбинации. Нека го вземем: .

Забележка: стандартна грешка, която се допуска при решаване на подобни типове примери, за -klu-cha-et-sya в следното възможно решение: . Това е груба грешка, тъй като знакът остава същият, какъвто беше в оригиналните дроби.

Пример 2. Съберете дроби: .

Решение

Този по нищо не се различава от предишния: .

Примери за прилагане на правилото за алгебрични дроби

От обикновените дро-битове преминаваме към ал-геб-ра-и-че-ским.

Пример 3. Съберете дроби: .

Решение: както вече беше споменато по-горе, съставът на ал-геб-ра-и-че-фракциите по никакъв начин не се различава от думата, същата като обикновените битки. Следователно методът на решение е същият: .

Пример 4. Вие сте дробта: .

Решение

You-chi-ta-nie на al-geb-ra-i-che-skih фракции от добавянето само от факта, че в броя pi-sy-va-et-sya разликата в броя на използваните фракции. Ето защо .

Пример 5. Вие сте дроб: .

Решение: .

Пример 6. Опростете: .

Решение: .

Примери за прилагане на правилото, последвано от намаление

Във фракция, която има същото значение в резултат на съставяне или изчисление, комбинациите са възможни nia. Освен това не трябва да забравяте за ODZ на ал-геб-ра-и-че-ски фракции.

Пример 7. Опростете: .

Решение: .

При което . Като цяло, ако ODZ на първоначалните фракции съвпада с ODZ на общата сума, тогава тя може да бъде пропусната (в края на краищата, фракцията, която е в отговора, също няма да съществува със съответните значителни промени). Но ако ODZ на използваните дроби и отговорът не съвпадат, тогава трябва да се посочи ODZ.

Пример 8. Опростете: .

Решение: . В същото време y (ODZ на първоначалните дроби не съвпада с ODZ на резултата).

Събиране и изваждане на дроби с различни знаменатели

За да добавите и прочетете ал-геб-ра-и-че-фракции с различни ноу-ме-на-ла-ми, ние правим ана-ло -гию с обикновени-вен-ни дроби и го прехвърляме в ал-геб -ра-и-че-дробни.

Нека да разгледаме най-простия пример за обикновени дроби.

Пример 1.Добавете дроби: .

Решение:

Нека си припомним правилата за събиране на дроби. За да започнете с фракция, е необходимо да я доведете до общ знак. В ролята на общ знак за обикновени дроби, вие действате най-малко общо кратно(NOK) начални знаци.

Определение

Най-малкото число, което е разделено едновременно на числа и.

За да намерите NOC, трябва да разделите знанието на прости набори и след това да изберете всичко, което има много, което е включено в разделението на двата знака.

; . Тогава LCM на числата трябва да включва две двойки и две тройки: .

След намирането на общото знание е необходимо всяка от фракциите да намери пълен жител на множествеността (всъщност, всъщност, да излее общия знак върху знака на съответната дроб).

След това всяка дроб се умножава по полупълен коефициент. Нека вземем няколко дроби от същите, които познавате, да ги съберем и да ги прочетем - изучавани в предишните уроци.

Хайде да ядем: .

Отговор:.

Нека сега да разгледаме състава на ал-геб-ра-и-че-фракции с различни знаци. Сега нека да разгледаме дробите и да видим дали има някакви числа.

Събиране и изваждане на алгебрични дроби с различни знаменатели

Пример 2.Добавете дроби: .

Решение:

Al-go-ритъм на решението ab-so-lyut-но ana-lo-gi-chen към предишния пример. Лесно е да вземете общия знак на дадените дроби: и допълнителни множители за всеки от тях.

.

Отговор:.

И така, нека се оформим al-go-ритъм на добавяне и изчисляване на al-geb-ra-i-che-skih дроби с различни знаци:

1. Намерете най-малкия общ знак на дробта.

2. Намерете допълнителни множители за всяка от дробите (наистина общият знак на знака е даден -та дроб).

3. До-много числа на съответните до-пълни кратности.

4. Добавете или изчислете дроби, като използвате събиранията отдясно на второстепенни и пресмятате дроби със същите знания -me-na-te-la-mi.

Сега нека разгледаме пример с дроби, в чийто знак има букви ти -ния.

Този урок ще обхване събирането и изваждането на алгебрични дроби с различни знаменатели. Вече знаем как да събираме и изваждаме обикновени дроби с различни знаменатели. За да направите това, дробите трябва да бъдат приведени до общ знаменател. Оказва се, че алгебричните дроби следват същите правила. В същото време вече знаем как да сведем алгебрични дроби до общ знаменател. Събирането и изваждането на дроби с различни знаменатели е една от най-важните и трудни теми в курса за 8. клас. Освен това тази тема ще се появи в много теми от курса по алгебра, който ще изучавате в бъдеще. Като част от урока ще изучаваме правилата за добавяне и изваждане на алгебрични дроби с различни знаменатели, а също така ще анализираме редица типични примери.

Нека да разгледаме най-простия пример за обикновени дроби.

Пример 1.Добавете дроби: .

Решение:

Нека си припомним правилото за събиране на дроби. За да започнете, дробите трябва да бъдат приведени до общ знаменател. Общият знаменател за обикновените дроби е най-малко общо кратно(LCM) на оригиналните знаменатели.

Определение

Най-малкото естествено число, което се дели както на числата, така и на .

За да намерите LCM, трябва да разложите знаменателите на прости множители и след това да изберете всички прости множители, които са включени в разширението на двата знаменателя.

; . Тогава LCM на числата трябва да включва две двойки и две тройки: .

След като намерите общия знаменател, трябва да намерите допълнителен множител за всяка дроб (всъщност разделете общия знаменател на знаменателя на съответната дроб).

След това всяка фракция се умножава по получения допълнителен фактор. Получаваме дроби с еднакви знаменатели, които научихме да събираме и изваждаме в предишните уроци.

Получаваме: .

Отговор:.

Нека сега разгледаме събирането на алгебрични дроби с различни знаменатели. Първо, нека да разгледаме дроби, чиито знаменатели са числа.

Пример 2.Добавете дроби: .

Решение:

Алгоритъмът за решение е абсолютно подобен на предишния пример. Лесно е да се намери общият знаменател на тези дроби: и допълнителни множители за всяка от тях.

.

Отговор:.

И така, нека формулираме алгоритъм за събиране и изваждане на алгебрични дроби с различни знаменатели:

1. Намерете най-малкия общ знаменател на дробите.

2. Намерете допълнителни множители за всяка от дробите (като разделите общия знаменател на знаменателя на дадената дроб).

3. Умножете числителите по съответните допълнителни множители.

4. Събирайте или изваждайте дроби, като използвате правилата за събиране и изваждане на дроби с еднакви знаменатели.

Нека сега разгледаме пример с дроби, чийто знаменател съдържа буквени изрази.

Пример 3.Добавете дроби: .

Решение:

Тъй като буквените изрази в двата знаменателя са еднакви, трябва да намерите общ знаменател за числата. Крайният общ знаменател ще изглежда така: . Така решението на този пример изглежда така:.

Отговор:.

Пример 4.Извадете дроби: .

Решение:

Ако не можете да „измамите“, когато избирате общ знаменател (не можете да го разделите на множители или да използвате съкратени формули за умножение), тогава трябва да вземете произведението на знаменателите на двете дроби като общ знаменател.

Отговор:.

По принцип при решаването на подобни примери най-трудната задача е намирането на общ знаменател.

Нека да разгледаме по-сложен пример.

Пример 5.Опростете: .

Решение:

Когато намирате общ знаменател, първо трябва да се опитате да разложите знаменателите на оригиналните дроби (за да опростите общия знаменател).

В този конкретен случай:

Тогава е лесно да се определи общият знаменател: .

Определяме допълнителни фактори и решаваме този пример:

Отговор:.

Сега нека установим правилата за събиране и изваждане на дроби с различни знаменатели.

Пример 6.Опростете: .

Решение:

Отговор:.

Пример 7.Опростете: .

Решение:

.

Отговор:.

Нека сега разгледаме пример, в който се добавят не две, а три дроби (в края на краищата правилата за събиране и изваждане за по-голям брой дроби остават същите).

Пример 8.Опростете: .