Когато изучавате темата за числови, буквени изрази и изрази с променливи, трябва да обърнете внимание на концепцията стойност на израза. В тази статия ще отговорим на въпроса каква е стойността на числов израз и какво се нарича стойност на буквален израз и израз с променливи за избрани стойности на променлива. За да изясним тези определения, даваме примери.

Навигация в страницата.

Каква е стойността на числов израз?

Запознаването с числови изрази започва почти от първите уроци по математика в училище. Почти веднага се въвежда понятието „стойност на числов израз“. Отнася се за изрази, съставени от числа, свързани със знаци за аритметични операции (+, −, ·, :). Нека дадем съответното определение.

Определение.

Стойност на числов израз– това е числото, което се получава след извършване на всички действия в оригинала числено.

Например, разгледайте числовия израз 1+2. След завършване получаваме числото 3, което е стойността на числовия израз 1+2.

Често във фразата „значението на числов израз“ се пропуска думата „числов“ и се казва просто „значението на израза“, тъй като все още е ясно какво значение се обсъжда на израза.

Горната дефиниция на значението на израз се отнася и за числови изрази с повече от сложен типкоито се изучават в гимназията. Тук трябва да се отбележи, че може да срещнете числови изрази, чиито стойности не могат да бъдат посочени. Това е така, защото в някои изрази не е възможно да се изпълнят записаните действия. Ето защо например не можем да посочим стойността на израза 3:(2−2) . Такива числови изрази се наричат изрази, които нямат смисъл.

Често в практиката интерес представлява не толкова числовият израз, колкото неговият смисъл. Тоест възниква задачата да се определи значението на даден израз. В този случай те обикновено казват, че трябва да намерите стойността на израза. Тази статия обсъжда подробно процеса на намиране на стойността на числови изрази различни видове, и много примери с подробни описаниярешения.

Значение на буквални и променливи изрази

В допълнение към числовите изрази се изучават буквални изрази, тоест изрази, в които заедно с числа присъстват една или повече букви. Буквите в буквален израз могат да представляват различни числа и ако буквите се заменят с тези числа, буквалният израз се превръща в числов израз.

Определение.

Числата, които заместват буквите в буквален израз, се наричат значенията на тези букви, а стойността на получения числен израз се извиква стойността на буквален израз за дадени буквени стойности.

И така, за буквалните изрази се говори не само за значението на буквалния израз, а за значението на буквалния израз при дадените (дадени, посочени и т.н.) стойности на буквите.

Нека дадем пример. Нека вземем буквалния израз 2·a+b. Нека стойностите на буквите a и b са дадени, например a=1 и b=6. Заменяйки буквите в оригиналния израз с техните стойности, получаваме числов израз под формата 2·1+6, чиято стойност е 8. Така числото 8 е стойността на буквалния израз 2·a+b за дадените стойности на буквите a=1 и b=6. Ако бяха дадени други буквени стойности, тогава ще получим стойността на буквения израз за тези буквени стойности. Например при a=5 и b=1 имаме стойност 2·5+1=11.

В гимназията, когато се изучава алгебра, е разрешено да се вземат букви в буквени изрази различни значения, такива букви се наричат ​​променливи, а буквените изрази се наричат ​​изрази с променливи. За тези изрази се въвежда концепцията за стойността на израз с променливи за избрани стойности на променливите. Нека да разберем какво е то.

Определение.

Стойността на израз с променливи за избраните стойности на променливае стойността на числов израз, който се получава след заместване на избраните стойности на променлива в оригиналния израз.

Нека обясним дадената дефиниция с пример. Да разгледаме израз с променливи x и y във формата 3·x·y+y. Нека вземем x=2 и y=4, заместваме тези стойности на променливата в оригиналния израз и получаваме числения израз 3·2·4+4. Нека изчислим стойността на този израз: 3·2·4+4=24+4=28. Намерената стойност 28 е стойността на оригиналния израз с променливите 3·x·y+y за избраните стойности на променливите x=2 и y=4.

Ако изберете други стойности на променлива, например x=5 и y=0, тогава тези избрани стойности на променлива ще съответстват на стойността на израза на променливата, равна на 3·5·0+0=0.

Може да се отбележи, че понякога различни избрани стойности на променливи могат да доведат до равни стойности на израза. Например за x=9 и y=1 стойността на израза 3 x y+y е 28 (тъй като 3 9 1+1=27+1=28) и по-горе показахме, че същата стойност е израз с променливи има при x=2 и y=4.

Променливите стойности могат да бъдат избрани от съответните им диапазони на приемливи стойности. В противен случай, когато замествате стойностите на тези променливи в оригиналния израз, ще получите числов израз, който няма смисъл. Например, ако изберете x=0 и замените тази стойност в израза 1/x, ще получите числовия израз 1/0, което няма смисъл, тъй като делението на нула не е дефинирано.

Остава само да добавим, че има изрази с променливи, чиито стойности не зависят от стойностите на включените в тях променливи. Например, стойността на израз с променлива x от формата 2+x−x не зависи от стойността на тази променлива, тя е равна на 2 за всяка избрана стойност на променливата x от диапазона на нейните допустими стойности , която в в такъв случайе множеството от всички реални числа.

Библиография.

• Математика: учебник за 5 клас. общо образование институции / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. - 21 изд., изтрито. - М.: Мнемозина, 2007. - 280 с.: ил. ISBN 5-346-00699-0.
• Алгебра:учебник за 7 клас. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; редактиран от С. А. Теляковски. - 17-то изд. - М.: Образование, 2008. - 240 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Алгебра:учебник за 8 клас. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; редактиран от С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М.: Образование, 2008. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Числени и алгебрични изрази. Преобразуване на изрази.

Какво е израз в математиката? Защо се нуждаем от преобразувания на изрази?

Въпросът, както се казва, е интересен... Факт е, че тези понятия са в основата на цялата математика. Цялата математика се състои от изрази и техните трансформации. Не е много ясно? Нека обясня.

Да кажем, че имате зъл пример пред вас. Много голям и много сложен. Да кажем, че сте добри по математика и не се страхувате от нищо! Можете ли да дадете отговор веднага?

Ще трябва решитози пример. Последователно, стъпка по стъпка, този пример опростявам. По определени правила, разбира се. Тези. направи преобразуване на изрази. Колкото по-успешно извършвате тези трансформации, толкова по-силен сте в математиката. Ако не знаете как да направите правилните трансформации, няма да можете да ги направите в математиката. Нищо...

За да избегнете такова неудобно бъдеще (или настояще...), не е зле да разберете тази тема.)

Първо, нека разберем какво е израз в математиката. Какво стана числов изрази какво е алгебричен израз.

Какво е израз в математиката?

Изразяване в математиката- това е много широко понятие. Почти всичко, с което се занимаваме в математиката, е набор от математически изрази. Всякакви примери, формули, дроби, уравнения и така нататък - всичко се състои от математически изрази.

3+2 е математически израз. c 2 - d 2- това също е математически израз. Както здравата дроб, така и дори едно число са математически изрази. Например уравнението е:

5x + 2 = 12

се състои от два математически израза, свързани със знак за равенство. Едното изражение е отляво, другото отдясно.

IN общ изгледтермин " математически израз"се използва, най-често, за да избегнете тананикане. Ще ви попитат какво е обикновена дроб например? И как да отговорите?!

Първи отговор: „Това е... мммммм... такова нещо... в което... Мога ли да напиша дроб по-добре? Кое искаш?"

Втори отговор: " Обикновена дроб- това е (весело и радостно!) математически израз , който се състои от числител и знаменател!"

Вторият вариант ще бъде някак по-впечатляващ, нали?)

Това е целта на фразата " математически израз "много добре. И правилно, и солидно. Но за практическо приложениетрябва да сте добре запознати специфични видове изрази в математиката .

Конкретният тип е друг въпрос. Това Това е съвсем друга работа!Всеки вид математически израз има моятанабор от правила и техники, които трябва да се използват при вземане на решение. За работа с дроби - един комплект. За работа с тригонометрични изрази - вторият. За работа с логаритми - третият. И така нататък. Някъде тези правила съвпадат, някъде рязко се различават. Но не се плашете от тези страшни думи. Ще овладеем логаритми, тригонометрия и други мистериозни неща в съответните раздели.

Тук ще усвоим (или - повторете, зависи кой...) два основни вида математически изрази. Числени изрази и алгебрични изрази.

Числови изрази.

Какво стана числов израз? Това е много проста концепция. Самото име подсказва, че това е израз с числа. Така е. Математически израз, съставен от числа, скоби и аритметични символи, се нарича числов израз.

7-3 е числов израз.

(8+3,2) 5,4 също е числов израз.

И това чудовище:

също числов израз, да...

Обикновено число, дроб, всеки пример за изчисление без X и други букви - всичко това са числови изрази.

Основен знак числовиизрази - в него няма букви. Нито един. Само числа и математически символи (ако е необходимо). Просто е, нали?

И какво можете да направите с числови изрази? Числовите изрази обикновено могат да бъдат преброени. За да направите това, се случва да отворите скобите, да промените знаците, да съкратите, да размените термини - т.е. направи преобразувания на изрази. Но повече за това по-долу.

Тук ще се занимаем с такъв забавен случай, когато с числен израз не е нужно да правите нищо.Е, съвсем нищо! Тази приятна операция - да не правя нищо)- се изпълнява, когато изразът няма смисъл.

Кога един числов израз няма смисъл?

Ясно е, че ако видим някаква абракадабра пред нас, като

тогава няма да направим нищо. Защото не е ясно какво да се прави по въпроса. Глупости някакви. Може би пребройте плюсовете...

Но има външно доста прилични изрази. Например това:

(2+3) : (16 - 2 8)

Въпреки това, този израз също няма смисъл! По простата причина, че във вторите скоби - ако броиш - получаваш нула. Но не можете да разделите на нула! Това е забранена операция в математиката. Следователно не е необходимо да правите нищо и с този израз. За всяка задача с такъв израз отговорът винаги ще бъде един и същ: „Изразът няма смисъл!

За да дам такъв отговор, разбира се, трябваше да изчисля какво ще бъде в скоби. И понякога има много неща в скоби... Е, нищо не можете да направите по въпроса.

В математиката няма толкова много забранени операции. В тази тема има само един. Деление на нула. Допълнителни ограничения, възникващи при корени и логаритми, се обсъждат в съответните теми.

И така, идея какво е това числов израз- има. Концепция числовият израз няма смисъл- осъзнах. Да продължим.

Алгебрични изрази.

Ако в числов израз се появят букви, този израз става... Изразът става... Да! Става алгебричен израз. Например:

5а 2; 3x-2y; 3(z-2); 3.4m/n; x 2 +4x-4; (a+b) 2; ...

Такива изрази също се наричат буквални изрази.Или изрази с променливи.На практика е същото. Изразяване 5а +в, например - както буквален, така и алгебричен, и израз с променливи.

Концепция алгебричен израз -по-широко от числово. То включваи всички числови изрази. Тези. числовият израз също е алгебричен израз, само без букви. Всяка херинга е риба, но не всяка риба е херинга...)

Защо азбучен- Ясно е. Е, след като има букви... Фраза израз с променливиОсвен това не е много озадачаващо. Ако разбирате, че цифрите са скрити под буквите. Под букви могат да се крият всякакви цифри... И 5, и -18, и каквото искате. Тоест едно писмо може да бъде замениНа различни числа. Затова се наричат ​​буквите променливи.

В израза у+5, Например, при - променливо количество. Или просто казват " променлива", без думата "магнитуд". За разлика от пет, което е постоянна стойност. Или просто - постоянен.

Срок алгебричен изразозначава, че за да работите с този израз, трябва да използвате закони и правила алгебра. Ако аритметикатогава работи с конкретни числа алгебра- с всички числа наведнъж. Прост пример за пояснение.

В аритметика можем да напишем това

Но ако напишем такова равенство чрез алгебрични изрази:

a + b = b + a

ще решим веднага всичковъпроси. За всички числаудар. За всичко безкрайно. Защото под буквите АИ bподразбира се всичкочисла. И не само числата, но дори и други математически изрази. Ето как работи алгебрата.

Кога един алгебричен израз няма смисъл?

Всичко за числовия израз е ясно. Там не можете да делите на нула. А с букви може ли да разберем на какво делим?!

Да вземем за пример този израз с променливи:

2: (А - 5)

Има ли смисъл? Кой знае? А- всяко число...

Всякакви, всякакви... Но има едно значение А, за които този израз точноняма смисъл! И какво е това число? да Това е 5! Ако променливата Азаменете (казват "заместване") с числото 5, в скоби получавате нула. Които не могат да бъдат разделени. Така се оказва, че нашият израз няма смисъл, Ако а = 5. Но за други стойности Аима ли смисъл? Можете ли да замените други числа?

Със сигурност. В такива случаи те просто казват, че изразът

2: (А - 5)

има смисъл за всякакви ценности А, с изключение на a = 5 .

Целият набор от числа, които Могазаместване в даден израз се нарича диапазон от приемливи стойноститози израз.

Както можете да видите, няма нищо сложно. Нека да разгледаме израза с променливи и да разберем: при каква стойност на променливата се получава забранената операция (деление на нула)?

И тогава не забравяйте да погледнете въпроса на задачата. Какво питат?

няма смисъл, нашият забранен смисъл ще бъде отговорът.

Ако попитате при каква стойност на променлива изразът има значението(почувствайте разликата!), отговорът ще бъде всички останали числаосвен това, което е забранено.

Защо се нуждаем от значението на израза? Има го, няма го... Каква е разликата?! Въпросът е, че тази концепция става много важна в гимназията. Изключително важно! Това е основата за такива солидни концепции като областта на приемливите стойности или областта на функцията. Без това изобщо няма да можете да решавате сериозни уравнения или неравенства. Като този.

Преобразуване на изрази. Трансформации на идентичността.

Запознахме се с числови и алгебрични изрази. Разбрахме какво означава фразата „изразът няма смисъл“. Сега трябва да разберем какво е то преобразуване на изрази.Отговорът е прост, до безобразие.) Това е всяко действие с израз. Това е всичко. Вие правите тези трансформации от първи клас.

Нека вземем готиния числов израз 3+5. Как може да се преобразува? Да, много просто! Изчисли:

Това изчисление ще бъде трансформацията на израза. Можете да напишете същия израз по различен начин:

Тук не броихме абсолютно нищо. Просто записах израза в различна форма.Това също ще бъде трансформация на израза. Можете да го напишете така:

И това също е трансформация на израз. Можете да направите толкова трансформации, колкото искате.

Всякаквидействие върху изразяването всякаквизаписването му в друга форма се нарича трансформиране на израза. И това е всичко. Всичко е много просто. Но тук има едно нещо много важно правило.Толкова важно, че спокойно може да се нарече основно правилоцялата математика. Нарушаването на това правило неизбежноводи до грешки. Влизаме ли в него?)

Да кажем, че трансформираме изражението си случайно, така:

Преобразуване? Със сигурност. Написахме израза в различна форма, какво не е наред тук?

Не е така.) Въпросът е, че трансформациите "наслуки"изобщо не се интересуват от математика.) Цялата математика е изградена върху трансформации, в които външен вид, но същността на израза не се променя.Три плюс пет може да се напише във всякаква форма, но трябва да е осем.

трансформации, изрази, които не променят същносттаса наречени идентичен.

Точно трансформации на идентичносттаи ни позволяват стъпка по стъпка да трансформираме сложен пример в прост израз, като същевременно поддържаме същността на примера.Ако направим грешка във веригата от трансформации, направим НЕ идентична трансформация, тогава ние ще решим другпример. С други отговори, които не са свързани с правилните.)

Това е основното правило за решаване на всякакви задачи: запазване на идентичността на трансформациите.

Дадох пример с числовия израз 3+5 за яснота. IN алгебрични изразиИдентични трансформации се дават чрез формули и правила. Да кажем, че в алгебрата има формула:

a(b+c) = ab + ac

Това означава, че във всеки пример можем вместо израза a(b+c)не се колебайте да напишете израз ab+ac. И обратно. Това идентична трансформация.Математиката ни дава избор между тези два израза. И коя да пиша - от конкретен примерЗависи.

Друг пример. Едно от най-важните и необходими трансформации е основното свойство на дроб. Повече подробности можете да видите на линка, но тук само ще ви припомня правилото: Ако числителят и знаменателят на дроб се умножат (разделят) на едно и също число или израз, който не е равен на нула, дробта няма да се промени.Ето пример за трансформации на идентичност, използващи това свойство:

Както вероятно се досещате, тази верига може да бъде продължена безкрайно...) Много важно свойство. Именно това ви позволява да превърнете всякакви примерни чудовища в бели и пухкави.)

Има много формули, дефиниращи идентични трансформации. Но най-важните са доста разумен брой. Една от основните трансформации е факторизацията. Използва се във всякаква математика – от начална до напреднала. Да започнем с него. В следващия урок.)

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Да учим - с интерес!)

Можете да се запознаете с функции и производни.