„Събиране на числа с различни знаци» — Учебник по математика 6 клас (Виленкин)

Кратко описание:

В този раздел ще научите правилата за събиране на числа с различни знаци: тоест ще се научите да събирате отрицателни и положителни числа.
Вече знаете как да ги добавите към координатна линия, но във всеки пример няма да нарисувате права линия и да броите с нея? Следователно трябва да се научите как да сгъвате без него.
Нека се опитаме с вас да добавим отрицателно число към положително число, например осем добавете минус шест: 8+(-6). Вече знаете, че добавянето на отрицателно число намалява първоначалното число с отрицателна стойност. Това означава, че осем трябва да се намали с шест, тоест шест трябва да се извадят от осем: 8-6 = 2, което дава две. В този пример всичко изглежда ясно; изваждаме шест от осем.
И ако вземем този пример: добавете положително число към отрицателно число. Например минус осем добавете шест: -8+6. Същността остава същата: положително числонамаляваме с отрицателна стойност, получаваме шест изваждане осем е минус две: -8+6=-2.
Както забелязахте, както в първия, така и във втория пример с числа се извършва действието изваждане. защо Защото имат различни знаци (плюс и минус). За да избегнете грешки при добавяне на числа с различни знаци, трябва да изпълните следния алгоритъм:
1. намерете модулите на числата;
2. извадете по-малкия модул от по-големия модул;
3. Пред получения резултат се поставя знак за число с голяма абсолютна стойност (обикновено се поставя само знак минус, а знак плюс не се поставя).
Ако съберете числа с различни знаци, следвайки този алгоритъм, тогава ще имате много по-малък шанс да направите грешка.

В този материал ще ви кажем как правилно да добавите отрицателно и положително число. Първо ще дадем основното правило за такова събиране, а след това ще покажем как се прилага при решаване на задачи.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Основно правило за събиране на положителни и отрицателни числа

По-рано казахме, че положително число може да се счита за доход, а отрицателно число може да се счита за загуба. За да разберете размера на приходите и разходите, трябва да разгледате модулите на тези числа. Ако в крайна сметка се окаже, че разходите ни превишават приходите, то след взаимното им отчитане ще останем длъжници, а ако обратното, тогава ще останем на плюс. Ако разходите са равни на приходите, тогава ще имаме нулев баланс.

Използвайки горните разсъждения, можем да изведем основното правило за събиране на числа с различни знаци.

Определение 1

За да добавите положително число с отрицателно число, трябва да намерите техните абсолютни стойности и да извършите сравнение. Ако стойностите са равни, тогава имаме два члена, които са противоположни числа и тяхната сума ще бъде нула. Ако не са равни, тогава трябва да вземем предвид, че резултатът ще има същия знак като по-голямото число.

По този начин добавянето в в този случайсе свежда до изваждане на по-малко число от по-голямо число. Резултатът от това действие може да бъде различен: можем да получим положително или отрицателно число. Нулев резултатсъщо е възможно.

Това правило важи за цели, рационални и реални числа.

Задачи, включващи добавяне на положително число към отрицателно число

Нека да разгледаме как да приложим правилото, описано по-горе, на практика. Нека първо вземем прост пример.

Пример 1

Пресметнете сбора 2 + (- 5) .

Решение

Нека следваме стъпките, които научихме досега. Нека първо намерим модулите на оригиналните числа, които ще бъдат равни на 2 и 5. По-големият модул е ​​5, така че помним минуса. След това изваждаме по-малкия от по-големия модул и получаваме: 5 − 2 = 3.

отговор: (− 5) + 2 = − 3 .

Ако условията на проблема съдържат рационални числа с различни знаци, които не са цели числа, тогава за удобство на изчисленията трябва да ги представите под формата на десетична или обикновени дроби. Нека вземем този проблем и го разрешим.

Пример 2

Пресметнете колко е 2 1 8 + (- 1 , 25).

Решение

Първо, нека преведем смесено числов обикновена дроб. Ако не си спомняте как да направите това, прочетете отново съответната статия.

Ще представим и десетичната дроб като обикновена дроб: - 1, 25 = - 125 100 = - 5 4.

След това можете да преминете към изчисляване на модулите и изчисляване на резултата. Нека намерим модулите: те ще бъдат равни съответно на 17 8 и 5 4. Намаляваме получените дроби до общ знаменатели получаваме 17 8 и 10 8.

Следващата стъпка е да сравните дроби. Тъй като числителят на първата дроб е по-голям, тогава 17 8 > 10 8. Ако имаме по-голям член със знак плюс, тогава трябва да помним, че резултатът ще бъде положителен.

17 8 - 10 8 = 17 - 10 8 = 7 8

Вече отбелязахме по-рано, че нашият резултат ще има знак плюс: + 7 8 . Тъй като не е необходимо да пишем плюс, ще се справим без него, когато пишем отговора.

Нека запишем цялото решение:

2 1 8 + - 1 , 25 = 17 8 + - 5 4 = 17 8 + - 10 8 = 17 8 - 10 8 = 7 8

отговор: 2 1 8 + - 1 , 25 = 7 8 .

Пример 3

Намерете на какво е равен сборът от 14 и – 14.

Решение

Имаме два еднакви члена с различни знаци. Това означава, че тези числа са противоположни едно на друго, следователно тяхната сума ще бъде равна на 0.

отговор: 14 + - 14 = 0

В края на статията ще добавим, че резултатът от добавянето реален отрицателни числас положителни често е по-добре да пишете във формуляра числено изражениес корени, степени или логаритми, а не под формата на безкрайност десетичен знак. И така, ако съберем числата n и - 3, тогава отговорът ще бъде n - 3. Не винаги е необходимо да се изчислява крайният резултат и можете да се справите с приблизителни изчисления. Ще напишем за това по-подробно в статията за основните операции с реални числа.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

В този урок ще научим какво е отрицателно число и кои числа се наричат ​​противоположни. Ще научим също как да събираме отрицателни и положителни числа (числа с различни знаци) и ще разгледаме няколко примера за събиране на числа с различни знаци.

Погледнете тази предавка (вижте фиг. 1).

ориз. 1. Часовник

Това не е стрелка, която директно показва часа, а не циферблат (виж фиг. 2). Но без тази част часовникът не работи.

ориз. 2. Зъбно колело вътре в часовника

Какво означава буквата Y? Нищо освен звука Y. Но без него много думи няма да „работят“. Например думата "мишка". Същото важи и за отрицателните числа: те не показват никакво количество, но без тях механизмът за изчисление би бил много по-труден.

Знаем, че събирането и изваждането са еквивалентни операции и могат да се извършват във всякакъв ред. В директен ред можем да изчислим: , но не можем да започнем с изваждане, тъй като все още не сме се съгласили какво .

Ясно е, че увеличаването на числото с и след това намаляването с означава в крайна сметка намаляване с три. Защо да не обозначим този обект и да броим така: добавянето означава изваждане. Тогава.

Числото може да означава например ябълка. Новото число не представлява никакво реално количество. Сама по себе си тя не означава нищо подобно на буквата Y. Това е просто нов инструментза опростяване на изчисленията.

Нека назовем нови числа отрицателен. Сега можем да извадим по-голямото число от по-малкото число. Технически, все още трябва да извадите по-малкото число от по-голямото число, но поставете знак минус в отговора си: .

Нека да разгледаме друг пример: . Можете да извършвате всички действия подред: .

Въпреки това е по-лесно да извадите третото число от първото число и след това да добавите второто число:

Отрицателните числа могат да бъдат дефинирани по друг начин.

За всяко естествено число, например , въвеждаме ново число, което означаваме , и определяме, че то има следното свойство: сборът от числото и е равен на : .

Числото ще наричаме отрицателно, а числата и – противоположно. Така получихме безкраен брой нови числа, например:

Обратното на числото;

Обратното на числото;

Обратното на числото;

Обратното на числото;

Извадете по-голямото число от по-малкото: . Нека добавим към този израз: . Имаме нула. Въпреки това, според свойството: числото, което добавя нула към пет, се обозначава с минус пет: . Следователно изразът може да се означи като .

Всяко положително число има число близнак, което се различава само по това, че е предшествано от знак минус. Такива числа се наричат противоположност(виж Фиг. 3).

ориз. 3. Примери противоположни числа

Свойства на противоположните числа

1. Сборът на противоположните числа е нула: .

2. Ако извадите положително число от нула, резултатът ще бъде обратното отрицателно число: .

1. И двете числа могат да бъдат положителни и вече знаем как да ги събираме: .

2. И двете числа могат да бъдат отрицателни.

Вече разгледахме събирането на числа като тези в предишния урок, но нека се уверим, че разбираме какво да правим с тях. Например: .

За да намерите тази сума, добавете противоположните положителни числа и поставете знак минус.

3. Едното число може да е положително, а другото отрицателно.

Ако ни е удобно, можем да заменим събирането на отрицателно число с изваждането на положително: .

Друг пример:. Отново записваме сумата като разлика. Можете да извадите по-голямо число от по-малко число, като извадите по-малко число от по-голямо, но със знак минус.

Можем да разменим условията: .

Друг подобен пример:.

Във всички случаи резултатът е изваждане.

За да формулираме накратко тези правила, нека си припомним още един термин. Противоположните числа, разбира се, не са равни едно на друго. Но би било странно да не забележим какво е общото между тях. Нарекохме това общо модулно число. Модулът на противоположните числа е еднакъв: за положително число той е равен на самото число, а за отрицателно число е равен на противоположното, положително. Например: , .

За да съберете две отрицателни числа, трябва да съберете техните модули и да поставите знак минус:

За да съберете отрицателно и положително число, трябва да извадите по-малкия модул от по-големия модул и да поставите знака на числото с по-големия модул:

И двете числа са отрицателни, следователно добавяме техните модули и поставяме знак минус:

Две числа с различни знаци, следователно от модула на числото (по-големия модул) изваждаме модула на числото и поставяме знак минус (знака на числото с по-голям модул):

Две числа с различни знаци, следователно от модула на числото (по-големия модул) изваждаме модула на числото и поставяме знак минус (знака на числото с по-голям модул): .

Две числа с различни знаци, следователно от модула на числото (по-големия модул) изваждаме модула на числото и поставяме знак плюс (знака на числото с по-голям модул): .

Положителните и отрицателните числа исторически са имали различни роли.

Първо въведохме естествени числа за броене на обекти:

След това въведохме други положителни числа - дроби, за броене на нецели количества, части: .

Отрицателните числа се появяват като инструмент за опростяване на изчисленията. Не беше като да има количества в живота, които не можехме да преброим, и измислихме отрицателни числа.

Тоест, отрицателните числа не произлизат от реалния свят. Те просто се оказаха толкова удобни, че на някои места намериха приложение в живота. Например, често чуваме за отрицателни температури. Никога обаче не срещаме отрицателен брой ябълки. каква е разликата

Разликата е, че в живота отрицателните количества се използват само за сравнение, но не и за количества. Ако хотелът има сутерен и там е монтиран асансьор, тогава, за да се запази обичайното номериране на редовните етажи, може да се появи минус първи етаж. Този първи минус означава само един етаж под нивото на земята (виж фиг. 1).

ориз. 4. Минус първи и минус втори етаж

Отрицателната температура е отрицателна само в сравнение с нулата, която е избрана от автора на скалата Андерс Целзий. Има други скали и там същата температура може вече да не е отрицателна.

В същото време разбираме, че е невъзможно да промените началната точка, така че да няма пет ябълки, а шест. Така в живота положителните числа се използват за определяне на количества (ябълки, торта).

Използваме ги и вместо имена. Всеки телефон може да има собствено име, но броят на имената е ограничен и няма номера. Ето защо ние използваме телефонни номера. Също така за поръчка (век след век).

Отрицателните числа в живота се използват в последния смисъл (минус първия етаж под нулата и първите етажи)

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. М.: Мнемозина, 2012.
2. Мерзляк А.Г., Полонски В.В., Якир М.С. Математика 6 клас. "Гимназия", 2006 г.
3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. Зад страниците на учебник по математика. М.: Образование, 1989.
4. Рурукин А.Н., Чайковски И.В. Задачи за курса по математика за 5-6 клас. М.: ЗШ МИФИ, 2011.
5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковски К.Г. Математика 5-6. Ръководство за ученици от 6 клас в задочната школа на МИФИ. М.: ЗШ МИФИ, 2011.
6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-събеседник за 5-6 клас гимназия. М.: Образование, Библиотека на учителя по математика, 1989.

1. Math-prosto.ru ().
2. Youtube().
3. School-assistant.ru ().
4. Allforchildren.ru ().

домашна работа

>>Математика: Събиране на числа с различни знаци

33. Събиране на числа с различни знаци

Ако температурата на въздуха беше равна на 9 ° C и след това се промени на - 6 ° C (т.е. намаля с 6 ° C), тогава тя стана равна на 9 + (- 6) градуса (фиг. 83).

За да съберете числата 9 и - 6 с помощта на , трябва да преместите точка A (9) наляво с 6 единични сегмента (фиг. 84). Получаваме точка Б (3).

Това означава 9+(- 6) = 3. Числото 3 има същия знак като термина 9 и неговото модулравно на разликата между модулите на членовете 9 и -6.

Наистина, |3| =3 и |9| - |- 6| = = 9 - 6 = 3.

Ако същата температура на въздуха от 9 °C се промени с -12 °C (т.е. намаля с 12 °C), тогава тя стана равна на 9 + (-12) градуса (фиг. 85). Добавяйки числата 9 и -12 с помощта на координатната линия (фиг. 86), получаваме 9 + (-12) = -3. Числото -3 има същия знак като члена -12, а неговият модул е ​​равен на разликата между модулите на членовете -12 и 9.

Наистина, | - 3| = 3 и | -12| - | -9| =12 - 9 = 3.

За да съберете две числа с различни знаци, трябва:

1) извадете по-малкия от по-големия модул на условията;

2) поставете пред полученото число знака на термина, чийто модул е ​​по-голям.

Обикновено първо се определя и записва знакът на сумата и след това се намира разликата в модулите.

Например:

1) 6,1+(- 4,2)= +(6,1 - 4,2)= 1,9,
или по-кратко 6.1+(- 4.2) = 6.1 - 4.2 = 1.9;

Когато събирате положителни и отрицателни числа, можете да използвате микро калкулатор. За да въведете отрицателно число в микрокалкулатор, трябва да въведете модула на това число, след което да натиснете клавиша за промяна на знака |/-/|. Например, за да въведете числото -56.81, трябва да натиснете последователно клавишите: | 5 |, | 6 |, | ¦ |, | 8 |, | 1 |, |/-/|. Операциите с числа с произволен знак се извършват на микрокалкулатор по същия начин, както с положителни числа.

Например сумата -6,1 + 3,8 се изчислява с помощта на програма

? Числата a и b имат различни знаци. Какъв знак ще има сумата от тези числа, ако по-големият модул е ​​отрицателен?

ако по-малкият модул е ​​отрицателен?

ако по-големият модул е ​​положително число?

ако по-малкият модул е ​​положително число?

Формулирайте правило за събиране на числа с различни знаци. Как да въведете отрицателно число в микрокалкулатор?

ДО 1045. Числото 6 беше променено на -10. От коя страна на началото се намира полученото число? На какво разстояние от началото се намира? На какво е равно сума 6 и -10?

1046. Числото 10 беше променено на -6. От коя страна на началото се намира полученото число? На какво разстояние от началото се намира? Какъв е сборът от 10 и -6?

1047. Числото -10 е променено на 3. От коя страна на началото се намира полученото число? На какво разстояние от началото се намира? Каква е сумата от -10 и 3?

1048. Числото -10 беше променено на 15. От коя страна на началото се намира полученото число? На какво разстояние от началото се намира? Каква е сумата от -10 и 15?

1049. През първата половина на деня температурата се променя с - 4 °C, а през втората половина - с + 12 °C. С колко градуса се е променила температурата през деня?

1050. Извършете събиране:

1051. Добавете:

а) на сбора от -6 и -12 числото 20;
б) към числото 2,6 сборът е -1,8 и 5,2;
в) към сумата -10 и -1,3 сумата от 5 и 8,7;
г) към сбора от 11 и -6,5 сборът от -3,2 и -6.

1052. Кое число е 8; 7.1; -7,1; -7; -0,5 е коренът уравнения- 6 + x = -13,1?

1053. Познайте корена на уравнението и проверете:

а) x + (-3) = -11; в) m + (-12) = 2;
б) - 5 + y=15; г) 3 + n = -10.

1054. Намерете значението на израза:

1055. Следвайте стъпките с микрокалкулатор:

а) - 3,2579 + (-12,308); г) -3,8564+ (-0,8397) +7,84;
б) 7,8547+ (- 9,239); д) -0,083 + (-6,378) + 3,9834;
в) -0,00154 + 0,0837; д) -0,0085+ 0,00354+ (- 0,00921).

П 1056. Намерете стойността на сумата:

1057. Намерете значението на израза:

1058. Колко цели числа се намират между числата:

а) 0 и 24; б) -12 и -3; в) -20 и 7?

1059. Представете си числото -10 като сбор от два отрицателни члена, така че:

а) двата члена са цели числа;
б) двата члена бяха десетични дроби;
в) един от термините беше обикновен обикновен дроб.

1060. Какво е разстоянието (в единични сегменти) между точките на координатната права с координати:

а) 0 и а; б) -а и а; в) -а и 0; г) а и -Za?

М 1061. Радиусите на географските паралели на земната повърхност, върху които са разположени градовете Атина и Москва, са съответно равни на 5040 km и 3580 km (фиг. 87). Колко по-къс е паралелът на Москва от паралела на Атина?

1062. Напишете уравнение за решаване на задачата: „Поле с площ 2,4 хектара беше разделено на две секции. Намерете квадратвсеки сайт, ако е известно, че един от сайтовете:

а) с 0,8 хектара повече от друг;
б) 0,2 хектара по-малко от друг;
в) 3 пъти повече от друг;
г) 1,5 пъти по-малко от друг;
д) представлява друго;
д) е 0,2 от другия;
ж) съставлява 60% от другото;
з) е 140% от другия.“

1063. Решете задачата:

1) През първия ден пътниците са изминали 240 км, през втория ден 140 км, през третия ден са изминали 3 пъти повече от втория, а през четвъртия ден са почивали. Колко километра са изминали на петия ден, ако за 5 дни са изминавали средно по 230 км на ден?

2) Месечният доход на бащата е 280 рубли. Стипендията на дъщеря ми е 4 пъти по-малка. Колко печели майка на месец, ако в семейството има 4 души, най-малкият син е ученик и всеки получава средно 135 рубли?

1064. Следвайте тези стъпки:

1) (2,35 + 4,65) 5,3:(40-2,9);

2) (7,63-5,13) 0,4:(3,17 + 6,83).

1066. Представете всяко от числата като сбор от два равни члена:

1067. Намерете стойността на a + b, ако:

а) a= -1,6, b = 3,2; b) a=- 2,6, b = 1,9; V)

1068. На един етаж от жилищна сграда имаше 8 апартамента. 2 апартамента са с жилищна площ от 22,8 м2, 3 апартамента - 16,2 м2, 2 апартамента - 34 м2. Каква жилищна площ има осмият апартамент, ако на този етаж всеки апартамент има средно 24,7 m2 жилищна площ?

1069. Товарният влак се състои от 42 вагона. Имаше 1,2 пъти повече покрити коли, отколкото платформи, а броят на резервоарите беше равен на броя на платформите. Колко вагона от всеки тип имаше във влака?

1070. Открийте значението на израза

Н.Я.Виленкин, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд, В. И. Жохов, Математика за 6 клас, Учебник за гимназия

Планиране по математика, учебници и книги онлайн, курсове и задачи по математика за 6 клас изтегляне

Събиране на отрицателни числа.

Сумата от отрицателните числа е отрицателно число. Модулът на сбора е равен на сбора от модулите на членовете.

Нека да разберем защо сумата от отрицателните числа също ще бъде отрицателно число. За това ще ни помогне координатната линия, върху която ще съберем числата -3 и -5. Нека отбележим точка на координатната права, съответстваща на числото -3.

Към числото -3 трябва да добавим числото -5. Къде отиваме от точката, съответстваща на числото -3? Така е, ляво! За 5 единични сегмента. Маркираме точка и записваме съответстващото й число. Това число е -8.

Така че, когато добавяме отрицателни числа с помощта на координатната права, ние винаги сме вляво от началото, следователно е ясно, че резултатът от добавянето на отрицателни числа също е отрицателно число.

Забележка.Добавихме числата -3 и -5, т.е. намери стойността на израза -3+(-5). Обикновено, когато добавят рационални числа, те просто записват тези числа с техните знаци, сякаш изброяват всички числа, които трябва да бъдат добавени. Такъв запис се нарича алгебрична сума. Приложете (в нашия пример) записа: -3-5=-8.

Пример.Намерете сумата на отрицателните числа: -23-42-54. (Съгласни ли сте, че този запис е по-кратък и по-удобен като този: -23+(-42)+(-54))?

Нека решимПо правилото за събиране на отрицателни числа: събираме модулите на членовете: 23+42+54=119. Резултатът ще има знак минус.

Обикновено го пишат така: -23-42-54=-119.

Събиране на числа с различни знаци.

Сумата от две числа с различни знаци има знака на член с голяма абсолютна стойност. За да намерите модула на сбор, трябва да извадите по-малкия модул от по-големия модул..

Нека извършим събирането на числа с различни знаци с помощта на координатна линия.

1) -4+6. Трябва да добавите числото 6 към числото -4. Нека отбележим числото -4 с точка на координатната линия. Числото 6 е положително, което означава, че от точката с координата -4 трябва да отидем надясно с 6 единични отсечки. Оказахме се вдясно от референтната точка (от нула) с 2 единични сегмента.

Резултатът от сбора на числата -4 и 6 е положителното число 2:

- 4+6=2. Как можахте да получите номер 2? Извадете 4 от 6, т.е. извадете по-малкия от по-големия модул. Резултатът има същия знак като члена с голям модул.

2) Нека изчислим: -7+3 с помощта на координатната права. Маркирайте точката, съответстваща на числото -7. Отиваме надясно за 3 единични отсечки и получаваме точка с координата -4. Ние бяхме и оставаме вляво от началото: отговорът е отрицателно число.

— 7+3=-4. Можем да получим този резултат по следния начин: от по-големия модул извадихме по-малкия, т.е. 7-3=4. В резултат на това поставяме знака на члена с по-големия модул: |-7|>|3|.

Примери.Изчислете: а) -4+5-9+2-6-3; б) -10-20+15-25.