В тази статия ще проучим противоположни числа. Тук ще отговорим на въпроса кои числа се наричат ​​противоположни, ще покажем как се обозначава противоположното на дадено число и ще дадем примери. Ще изброим и основните резултати, характерни за противоположните числа.

Навигация в страницата.

Определяне на противоположни числа

Това ще ни помогне да добием представа за противоположните числа.

Нека отбележим някаква точка M на координатната права, различна от началото. Можем да стигнем до точка М чрез последователно отлагане на единична отсечка, както и нейната десета, стотна и т.н., от началото по посока на точка М. Ако нанесем същия брой единични сегменти и дяловете му в обратна посока, тогава ще стигнем до друга точка, означена с буквата N. Нека дадем пример, за да илюстрираме нашите действия (вижте фигурата по-долу). За да стигнем до точка M на координатната права, ние отделихме два единични сегмента и 4 сегмента, съставляващи една десета от единицата, в отрицателна посока. Сега нека поставим два единични сегмента и 4 сегмента, съставляващи една десета от единицата, в положителна посока. Това ще ни даде точка N.

Почти сме готови да разберем дефиницията на противоположните числа; остава само да обсъдим няколко нюанса.

Знаем, че всяка точка от координатната права съответства на едно реално число, следователно и точка M, и точка N съответстват на някои реални числа. Така че числата, съответстващи на точки M и N, се наричат ​​противоположни.

Отделно е необходимо да се каже за точка О - произхода. Точка O съответства на числото 0. Числото нула се счита за противоположно на себе си.

Сега можем да гласуваме определяне на противоположни числа.

Определение.

Две числа се наричат ​​противоположни, ако точките на координатната линия, съответстващи на тези числа, могат да бъдат достигнати чрез отлагане на същия брой единични сегменти от началото в противоположни посоки, както и части от единичен сегмент, числото 0 е противоположно на себе си.

Запис на противоположни числа и примери

Време е да влезете символи на противоположни числа.

За да посочите обратното на дадено число, използвайте знака минус, който се изписва пред даденото число. Тоест, числото, противоположно на числото a, се записва като −a. Например противоположното число 0,24 е −0,24, а противоположното число −25 е −(−25).

Да дадем примери за противоположни числа. Двойката числа 17 и −17 (или −17 и 17) е пример за противоположни цели числа. Числата и са противоположни рационални числа. Други примери за противоположни рационални числа са двойките числа 5,126 и −5,126. както и 0,(1201) и −0,(1201) . Остава да дадем няколко примера за обратното

Предмет

Тип урок

• изучаване и първично усвояване на нов материал

Цели на урока

Научете дефинициите на положителни, отрицателни и противоположни числа.

Намиране на противоположни числа при решаване на задачи, при решаване на уравнения

Развитие - развива вниманието, постоянството, постоянството, логическото мислене, математическата реч на учениците.

Образователни - чрез урока култивирайте внимателно отношение един към друг, внушавайте способността да слушате другарите, взаимопомощта и независимостта.

Цели на урока

Разберете какво представляват противоположните числа

Научете се да използвате тази концепция, когато решавате проблеми

Проверете уменията на учениците за решаване на проблеми.

План на урока

1. Въведение.

2. Теоретична част

3. Практическа част.

4. Домашна работа.

5. Интересни факти

Въведение

Разгледайте снимките и опишете с една дума какво е различното в тях.

Снимките показват противоположности.

- това са две числа, равни в абсолютна стойност, но имайки различни знаци, напр. 5 и -5.

Теоретична част

Първо, нека си спомним какво представлява отрицателни числа. Виж видео:

Точките с координати 5 и -5 са еднакво отдалечени от точка O и са разположени от противоположните й страни. За да стигнете от точка O до тези точки, трябва да изминете същите разстояния, но в противоположни посоки. Извикват се числата 5 и -5 противоположни числа: 5 е обратното на -5, а -5 е обратното на 5.

Извикват се две числа, които се различават едно от друго само по знаци противоположни числа.

Например противоположните числа биха били 35 и -35, тъй като числото 35 = +35, което означава, че числата 35 и -35 се различават само по знаци. Противоположните числа също ще бъдат 0,8 и -0,8, ¾ и -¾.

Свойства на противоположните числа

1). За всяко число има само едно срещуположно число.

2). Числото 0 е обратното на себе си.

3). Противоположното число на a се обозначава с -a. Ако a = -7,8, тогава -a = 7,8; ако a = 8,3, тогава -a = -8,3; ако a = 0, тогава -a = 0.

4). Нотацията "-(-15)" означава обратното число на -15. Тъй като обратното на -15 е 15, тогава -(-15) = 15. Като цяло -(-a) = a.

Естествените числа, техните противоположности и нула се наричат цели числа.

Противоположно число n" по отношение на числото n е число, което, когато се добави към n, дава нула.

n + n" = 0

Това равенство може да се пренапише по следния начин:

n + n" − n = 0 − nили n" = − n

По този начин, противоположни числаимат еднакви модули, но противоположни знаци.

Съответно, противоположното число на n се обозначава с − n. Когато едно число е положително, противоположното му число ще бъде отрицателно и обратно.

1. Дайте примери за противоположни числа.

2. Начертайте ги на координатна линия.

3. Назовете числото срещу -3,6; 7; 0; 8/9; -1/2

Практическа част

Пример

1) Маркирайте на координатната линия точки A(2), B(-2), C(+4), D(-3), E(-5.2), F(5.2), G(-6) , H( 7). 2) Сред тези точки намерете и посочете тези, които са симетрични спрямо точката O(0). Какво можете да кажете за координатите? симетрични точки?

Точки, симетрични по отношение на точка O(0): A(2) и B(-2), E(- 5.2) и F(5.2)

Координати на симетрични точкиса числа, които се различават само по знак. Такива номера се наричат противоположност.

Маркирайте точките A(-3), B(+6), C(+4.2), D(+3), E(-4.2), F(-6) на координатната права Какво можете да кажете за тези числа ??

От числата 15; 2,5; – 2,5; - 18; 0; 45; – 45 изберете: а) естествени числа; б) цели числа; в) отрицателни числа; г) положителни числа; г) срещуположни числа.

1) Запишете числото срещу числото a.

2) Посочете числото срещу числото a, ако:

а=5, а=-3, а=0, а=-2/5;

A = 6, -a = - 2, -a = 3,4.

1) Запомнете какво означава записът: - (- a).

2) Поставете число вместо *, за да получите правилното равенство: а) - (- 5) = *; б) 3 = – *.

Домашна работа

1). Попълнете таблицата:

2). Намерете: а) -m,

ако m = -8,

ако m = -16

ако -k = 27

ако -k = -35

ако c = 41

ако c = -3,6

3). Колко двойки противоположни числа се намират между числата -7,2 и 3,6. Маркирайте върху координатната линия.

4). Разберете името на изключителния френски учен:

Знаете ли къде в Ежедневиетосрещаме ли положителни и отрицателни числа?

Списък на използваните източници

1. Математическа енциклопедия (в 5 тома). - М.: Съветска енциклопедия, 2002. - Т. 1.
2. „Най-новият справочник за ученици” „КЪЩА XXI век” 2008 г.
3. Обобщение на урока по темата " Противоположни числа" Автор: Петрова V.P., учител по математика (5-9 клас), Киев
4. Н.Я.Виленкин, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд, В. И. Жохов, Математика за 6 клас, Учебник за гимназия

§ 1 Понятието положително число

В този урок ще научите кои числа се наричат ​​противоположни, как да намерите противоположното число, а също и какви са целите числа и рационални числа.

Да започнем с практическа работа. На координатната права маркирайте точки A(2) и B(-2). Те са симетрични и центърът на симетрия на тези точки е началото на координатите O(0), тъй като разстоянието OA=OB.

Виждаме, че координатите на точки, симетрични спрямо началото, са числа, които се различават само по знак. Такива числа се наричат ​​противоположни.

Има и друго определение за противоположни числа. Какви са абсолютните стойности на числата 2 и -2? Равно на 2. Следователно противоположните числа са числа, които имат еднакви модули, но се различават по знак.

За да посочите обратното на дадено число, използвайте знака минус, който се изписва пред даденото число. Тоест противоположното число на a се записва като −a. Например числото 0,24 е срещу числото −0,24, числото -25 е противоположното число −(−25), но числото -25 на координатната права е срещу 25, което означава -(-25) = 25. От това следва, че -(-a) = a и a = -(-a).

§ 2 Свойства на противоположните числа

Нека подчертаем някои свойства на противоположните числа.

Обратното на положително число е отрицателно, а противоположното на отрицателно число е положително. Това е разбираемо, тъй като точките на координатната линия, съответстващи на противоположни числа, са разположени от противоположните страни на произхода.

Ако числото a е противоположно на числото b, то b е противоположно на a - това следва от свойството за симетрия на точките на координатната права.

Нека се обърнем към координатната линия. Колко точки могат да бъдат отбелязани на координатна права, които са симетрични на дадената спрямо началото? Само един. Това означава, че за всяко число има само едно противоположно число.

Само едно число е противоположно на себе си - това е числото 0, тъй като 0 = -0 (следователно не е обичайно да се пише -0).

Числа с обща чертаформират набор (или група), като всеки набор има свое име.

Нека си припомним, че числата, които използваме при броене, се наричат ​​естествени числа; те образуват множеството от естествени числа.

За всяко естествено число можете да намерите противоположното му число. Естествените числа, техните противоположности и числото 0 се наричат ​​цели числа.

Може да бъде положителен или отрицателен дробни числа. Всички цели числа и всички дроби се наричат ​​рационални числа. Те също така казват, че заедно те образуват набор от рационални числа.

Нека подчертаем още две групи числа. Да вземем координатна права. Ако премахнем частта от линията, на която са разположени отрицателните числа, остава лъч с положителни числа и референтна точка 0. Останалите числа се наричат ​​неотрицателни, тоест числа, които са по-големи или равни на 0. Следователно всички неположителни числа са отрицателни числа и числото 0, тоест числа, които са по-малки или равни на 0.

Днес научихме какво представляват противоположни, цели, рационални, неотрицателни, неположителни числа и се научихме да намираме противоположното число на дадено.

Списък на използваната литература:

1. Математика 6. клас: планове на уроци към учебника на И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович //автор-съставител Л.А. Топилина. Мнемозина 2009
2. Математика. 6. клас: учебник за уч образователни институции. И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович - М.: Мнемозина, 2013.
3. Математика. 6 клас: учебник за ученици от общообразователните институции. /Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. – М.: Мнемозина, 2013.
4. Наръчник по математика - http://lyudmilanik.com.ua
5. Ръководство за студенти към гимназия http://shkolo.ru

Определение на противоположни числа

Определение на противоположни числа:

Две числа се наричат ​​противоположни, ако се различават само по знаци.

Примери за противоположни числа

Примери за противоположни числа.

1 -1;
2 -2;
99 -99;
-12 12;
-45 45

От тук е ясно как да намерите обратното на дадено число: просто сменете знака на числото.

Числото, противоположно на 3, е числото минус три.

Пример. Числата са противоположни на данните.

Дадени са: числата 1; 5; 8; 9.

Намерете противоположните числа на данните.

За да решите тази задача, просто сменете знаците на дадените числа:

Нека направим таблица с противоположни числа:

Обратното на нулата

Обратното на нулата е самото число нула.

Така че числото, противоположно на 0, е 0.

Противоположни цели числа

Противоположните цели числа се различават само по знак.

Примери за противоположни цели числа.

10 -10
20 -20
125 -125

Двойка противоположни числа

Когато говорят за противоположни числа, те винаги имат предвид двойка противоположни числа.

Едно число е противоположно на друго число. И всяко число има само едно противоположно число.

Числа, противоположни на естествените числа

Обратното на естествените числа са отрицателните цели числа.

Нека направим таблица на противоположните числа за първите пет естествени числа:

Сума от противоположни числа

Сборът на противоположните числа е нула. В крайна сметка противоположните числа се различават само по знак.

В тази статия ще се опитаме да разберем какво представляват противоположните числа. Ще обясним какво представляват те като цяло, ще покажем какви конкретни обозначения се използват за тях и ще разгледаме няколко примера. В последната част на материала ще изброим основните свойства на противоположните числа.

За да обясним самата концепция за противоположностите, първо трябва да изобразим координатна линия. Нека вземем точка М върху него (но не в самото начало на обратното броене). Неговото разстояние до нула ще бъде равно на определен брой единични сегменти, които от своя страна могат да бъдат разделени на десети и стотни. Ако измерим същото разстояние от началото в посока, обратна на тази, в която се намира M, тогава можем да стигнем до друга подобна точка. Нека го наречем N. Например от M до нула е разстоянието от 2,4 единични сегмента, а от N до нула е същото. Разгледайте снимката:

Нека си припомним, че всяка точка от координатна права може да бъде свързана само с едно реално число. В този случай нашите точки M и N съответстват на определени числа, които се наричат ​​противоположни. Всяко число има противоположно число, освен нула. Тъй като това е началото на обратното броене, то се счита за обратното на себе си.

Нека запишем дефиницията на противоположните числа:

Определение 1

Отсрещанаричат ​​се числа, които съответстват на такива точки на координатната линия, до които ще стигнем, ако маркираме същото разстояние от началото в различни посоки (положителни и отрицателни). Нулата е в началото и е противоположна на себе си.

Как се обозначават противоположните числа?

В този раздел ще въведем основни означения за такива числа. Ако имаме определено число и трябва да запишем обратното на него, тогава използваме минус за това.

Пример 1

Да кажем, че нашето число е а, следователно неговата противоположност е а (минус а). Точно по същия начин за 0,26 обратното е - 0,26, а за 145 ще бъде - 145. Ако самото оригинално число е отрицателно, например - 9, тогава записваме обратното като – (- 9).

Какви други примери за противоположни числа можете да дадете? Нека вземем целите числа: 12 и - 12. Противоположните рационални числа са 3 2 11 и - 3 2 11, както и 8, 128 и − 8, 128, 0, (18901) и − 0, (18901) и т.н. Ирационалните числа също могат да бъдат противоположни, напр. ценностите числови изрази 2 + 1 и - 2 + 1.

Противоположните ирационални числа също ще бъдат e и - e.

Основни свойства на противоположните числа

Такива числа имат определени свойства. По-долу ще дадем техен списък с обяснения.

Определение 2

1. Ако първоначалното число е положително, то обратното му ще бъде отрицателно.

Това твърдение е очевидно и следва от графиката по-горе: такива числа са разположени от противоположните страни на референтната линия. Ако сте забравили понятията за положителни и отрицателни числа, вижте материала, който публикувахме по-рано.

Друго много важно твърдение може да бъде изведено от това правило. IN под формата на писмонотацията му изглежда така: за всяко положително a ще бъде вярно − (− a) = a . Нека покажем с пример защо това е важно.

Да вземем числото 5. Използвайки координатната линия, можете да видите, че противоположното число е 5 и обратно. Използвайки обозначението, което посочихме по-горе, записваме числото срещу - 5 като – (- 5) . Оказва се, че – (- 5) = 5. Оттук и заключението: противоположните числа се различават едно от друго само по наличието на знак минус.

2. Следното свойство обикновено се нарича свойство на симетрия. Може да се извлече и от самата дефиниция на противоположните числа. Звучи така:

Определение 3

Ако някое число a е противоположно на b, то b е противоположно на a.

Очевидно това твърдение не се нуждае от допълнителни доказателства.

3. Третото свойство на противоположните числа гласи:

Определение 4

Всяко реално число има само едно противоположно число.

Това твърдение следва от факта, че точките на координатната линия не могат да съответстват на много числа едновременно.

Определение 5

4. Модулите на противоположните числа са равни.

Това следва от дефиницията на модула. Логично е точките на линия, съответстващи на всякакви противоположни числа, да са на същото разстояние от референтната точка.

Определение 6

5. Ако съберем противоположни числа, получаваме 0.

Буквално това твърдение изглежда като + (− a) = 0.

Пример 2

Ето примери за такива изчисления:

890 + (- 890) = 0 - 45 + 45 = 0 7 + (- 7) = 0

Както можете да видите, това правило работи за всички числа - цели, рационални, ирационални и т.н.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter