В една от предишните статии вече споменахме силата на числото. Днес ще се опитаме да се ориентираме в процеса на намиране на значението му. Научно казано, ще разберем как да повдигнем на степен правилно. Ще разберем как се извършва този процес и в същото време ще се докоснем до всички възможни показатели: естествени, ирационални, рационални, цели числа.

Така че, нека да разгледаме по-отблизо решенията на примерите и да разберем какво означава това:

1. Дефиниция на понятието.
2. Издигане до отрицателно изкуство.
3. Индикатор за цяло число.
4. Повишаване на число до ирационална степен.

Ето дефиниция, която точно отразява значението: „Степененето е определението на стойността на степен на число.“

Съответно повишаването на числото а в чл. r и процесът на намиране на стойността на степента a с експонента r са идентични понятия. Например, ако задачата е да се изчисли стойността на степента (0,6)6″, тогава тя може да бъде опростена до израза „Повишете числото 0,6 на степен 6“.

След това можете да продължите директно към правилата за изграждане.

Повдигане на отрицателна степен

За по-голяма яснота трябва да обърнете внимание на следната верига от изрази:

110=0,1=1* 10 минус 1 супена лъжица,

1100=0,01=1*10 в минус 2 градуса,

11000=0,0001=1*10 в минус 3 ст.,

110000=0,00001=1*10 до минус 4 градуса.

Благодарение на тези примери можете ясно да видите способността за незабавно изчисляване на 10 на произволна минус степен. За тази цел е достатъчно просто да преместите десетичния компонент:

• 10 на -1 степен - пред единица има 1 нула;
• в -3 - три нули преди единица;
• в -9 има 9 нули и така нататък.

Също така е лесно да се разбере от тази диаграма колко ще бъде 10 минус 5 супени лъжици. -

1100000=0,000001=(1*10)-5.

Как да повдигнем число на естествена степен

Спомняйки си определението, вземаме предвид, че естественото число а в чл. n е равно на произведението на n фактора, всеки от които е равен на a. Нека илюстрираме: (a*a*…a)n, където n е броят на числата, които се умножават. Съответно, за да се повиши a до n, е необходимо да се изчисли произведението от следната форма: a*a*…a делено на n пъти.

От това става очевидно, че повдигане до естествени ул. разчита на способността за извършване на умножение(този материал е разгледан в раздела за умножаване на реални числа). Нека да разгледаме проблема:

Повишете -2 до 4-ти st.

Имаме работа с естествен индикатор. Съответно ходът на решението ще бъде следният: (-2) в чл. 4 = (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Сега всичко, което остава, е да умножим целите числа: (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Получаваме 16.

Отговор на проблема:

(-2) в чл. 4=16.

Пример:

Изчислете стойността: три цяло две седми на квадрат.

Този примерсе равнява на следния продукт: три запетая две седми, умножено по три запетая две седми. Припомняйки си как се умножават смесени числа, завършваме конструкцията:

• 3 точка 2 седмини, умножени по себе си;
• е равно на 23 седми, умножено по 23 седми;
• е равно на 529 четиридесет и девети;
• намаляваме и получаваме 10 тридесет и девет четиридесет и девети.

Отговор: 10 39/49

Що се отнася до въпроса за повишаване на ирационален показател, трябва да се отбележи, че изчисленията започват да се извършват след приключване на предварителното закръгляване на основата на степента до всяка цифра, която би позволила получаването на стойността с дадена точност. Например, трябва да повдигнем на квадрат числото P (pi).

Започваме със закръгляване на P до стотни и получаваме:

P на квадрат = (3,14)2 = 9,8596. Въпреки това, ако намалим P до десет хилядни, получаваме P = 3,14159. Тогава повдигането на квадрат дава напълно различно число: 9,8695877281.

Тук трябва да се отбележи, че в много задачи не е необходимо да се повдигат ирационални числа на степени. По правило отговорът се въвежда или под формата на действителната степен, например корен от 6 на степен 3, или, ако изразът позволява, се извършва неговата трансформация: корен от 5 до 7 степени = 125 корен от 5.

Как да повдигнем число на цяла степен

Тази алгебрична манипулация е подходяща вземете предвид за следните случаи:

• за цели числа;
• за нулев индикатор;
• за степен на положително цяло число.

Тъй като почти всички положителни цели числа съвпадат с масата на естествените числа, задаването на степен положително цяло число е същият процес като задаването в чл. естествено. Описахме този процес в предишния параграф.

Сега нека поговорим за изчисляването на st. нула. Вече разбрахме по-горе, че нулевата степен на числото a може да се определи за всяко ненулево a (реално), докато a в чл. 0 ще е равно на 1.

Съответно, повишаването на всяко реално число до нула st. ще даде един.

Например 10 в st. 0=1, (-3,65)0=1 и 0 в st. 0 не може да се определи.

За да завършим повдигането до цяло число, остава да вземем решение за опциите за отрицателни цели числа. Спомняме си, че чл. от a с цяло число -z ще се дефинира като дроб. Знаменателят на дробта е st. с положително цяло число, чиято стойност вече се научихме да намираме. Сега остава само да разгледаме пример за конструкция.

Пример:

Изчислете стойността на числото 2 в куб с цяло отрицателно число.

Процес на решение:

Според дефиницията на степен с отрицателен показател означаваме: две минус 3 степени. е равно на едно към две на трета степен.

Знаменателят се изчислява просто: две на куб;

3 = 2*2*2=8.

Отговор: две на минус 3-ти ст. = една осма.

В този материал ще разгледаме какво е степен на число. В допълнение към основните дефиниции ще формулираме какво представляват степени с естествени, цели, рационални и ирационални показатели. Както винаги, всички концепции ще бъдат илюстрирани с примерни задачи.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Първо, нека формулираме основната дефиниция на степен с естествен показател. За да направим това, трябва да запомним основните правила за умножение. Предварително да уточним, че за база засега ще вземем реално число (означава се с буквата a), а за показател - естествено число (означава се с буквата n).

Определение 1

Степента на число a с естествен показател n е произведението на n-тия брой множители, всеки от които е равен на числото a. Степента се записва така: a n, а под формата на формула неговият състав може да бъде представен по следния начин:

Например, ако показателят е 1 и основата е a, тогава първата степен на a се записва като а 1. Като се има предвид, че a е стойността на фактора и 1 е броят на факторите, можем да заключим, че a 1 = a.

Като цяло можем да кажем, че степента е удобна форма за запис на голям брой равни множители. И така, запис на формуляра 8 8 8 8може да се съкрати до 8 4 . По почти същия начин произведението ни помага да избегнем записването голямо числочленове (8 + 8 + 8 + 8 = 8 4) ; Вече обсъдихме това в статията, посветена на умножението на естествени числа.

Как да разчетем правилно записа на степента? Общоприетата опция е „а на степен n“. Или можете да кажете „n-та степен на a“ или „антова степен“. Ако, да речем, в примера срещнахме записа 8 12 , можем да прочетем "8 на 12-та степен", "8 на степен 12" или "12-та степен на 8".

Втората и третата степен на числата имат свои собствени утвърдени имена: квадрат и куб. Ако видим втората степен, например числото 7 (7 2), тогава можем да кажем „7 на квадрат“ или „квадрат на числото 7“. По същия начин третата степен се чете така: 5 3 - това е „кубът на числото 5“ или „5 в куб“. Можете обаче да използвате и стандартната формулировка „на втора/трета степен“; това няма да е грешка.

Пример 1

Нека да разгледаме пример за степен с естествен показател: for 5 7 пет ще бъде основата, а седем ще бъде степента.

Основата не трябва да е цяло число: за степента (4 , 32) 9 основата ще бъде дробта 4, 32, а показателят ще бъде девет. Обърнете внимание на скобите: тази нотация се прави за всички степени, чиито основи се различават от естествените числа.

Например: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3.

За какво са скобите? Те помагат да се избегнат грешки в изчисленията. Да кажем, че имаме два записа: (− 2) 3 И − 2 3 . Първото означава отрицателно числоминус две, повдигнато на степен с натурален показател три; второто е числото, съответстващо на противоположната стойност на степента 2 3 .

Понякога в книгите можете да намерите малко по-различен правопис на силата на числото - a^n(където a е основата, а n е степента). Тоест 4^9 е същото като 4 9 . Ако n е многоцифрено число, то се поставя в скоби. Например 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . Но ние ще използваме нотацията a nкато по-често срещано.

Лесно е да се познае как да се изчисли стойността на експонента с естествена степен от нейната дефиниция: просто трябва да умножите n-ти пъти. Писахме повече за това в друга статия.

Концепцията за степен е обратното на друга математическа концепция - корен на число. Ако знаем стойността на степента и експонентата, можем да изчислим нейната основа. Градусът има някои специфични свойства, полезни за решаване на проблеми, които разгледахме в отделен материал.

Експонентите могат да включват не само естествени числа, но и всякакви цели числа като цяло, включително отрицателни и нули, тъй като те също принадлежат към набора от цели числа.

Определение 2

Степента на число с положително цяло число може да бъде представена като формула: .

В този случай n е всяко положително цяло число.

Нека разберем понятието нулева степен. За да направим това, използваме подход, който взема предвид свойството частно за степени с равни бази. Формулира се така:

Определение 3

Равенство a m: a n = a m − nще бъде вярно при следните условия: m и n са естествени числа, m< n , a ≠ 0 .

Последното условие е важно, защото избягва деленето на нула. Ако стойностите на m и n са равни, тогава получаваме следния резултат: a n: a n = a n − n = a 0

Но в същото време a n: a n = 1 е частно равни числа a nи а. Оказва се, че нулевата степен на всяко ненулево число е равна на единица.

Такова доказателство обаче не се прилага за нула на нулева степен. За да направим това, имаме нужда от друго свойство на степените - свойството на произведения на степени с равни бази. Изглежда така: a m · a n = a m + n .

Ако n е равно на 0, тогава a m · a 0 = a m(това равенство също ни доказва това а 0 = 1). Но ако и също е равно на нула, нашето равенство приема формата 0 m · 0 0 = 0 m, ще е вярно за всяка естествена стойност на n и няма значение на каква точно е равна стойността на степента 0 0 , тоест може да бъде равно на всяко число и това няма да повлияе на точността на равенството. Следователно, нотация на формата 0 0 няма свое специално значение и ние няма да му го приписваме.

Ако желаете, това е лесно да се провери а 0 = 1се сближава със свойството степен (a m) n = a m nпри условие че основата на степента не е нула. По този начин степента на всяко ненулево число с показател нула е едно.

Пример 2

Нека да разгледаме пример с конкретни числа: И така, 5 0 - мерна единица, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 , и стойността 0 0 недефиниран.

След нулевата степен просто трябва да разберем какво е отрицателна степен. За да направим това, се нуждаем от същото свойство на произведението на степени с равни основи, което вече използвахме по-горе: a m · a n = a m + n.

Нека въведем условието: m = − n, тогава a не трябва да е равно на нула. Следва, че a − n · a n = a − n + n = a 0 = 1. Оказва се, че a n и a−nимаме взаимно реципрочни числа.

В резултат на това a на отрицателна цяла степен не е нищо повече от дроб 1 a n.

Тази формулировка потвърждава, че за степен с цяло число отрицателен показател са валидни всички същите свойства, които притежава степен с естествен показател (при условие, че основата не е равна на нула).

Пример 3

Степен a с отрицателен цяло число n може да бъде представена като дроб 1 a n . По този начин, a - n = 1 a n предмет на a ≠ 0и n е всяко естествено число.

Нека илюстрираме нашата идея с конкретни примери:

Пример 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

В последната част на параграфа ще се опитаме да изобразим всичко, което е казано ясно в една формула:

Определение 4

Степента на число с естествен показател z е: a z = a z, e с l и z - цяло положително число 1, z = 0 и a ≠ 0, (за z = 0 и a = 0 резултатът е 0 0, стойностите на израза 0 0 не са дефинирани) 1 a z, ако и z е отрицателно цяло число и a ≠ 0 (ако z е отрицателно цяло число и a = 0 получавате 0 z, egoz стойността е неопределена)

Какво представляват степени с рационален показател?

Разгледахме случаите, когато експонентата съдържа цяло число. Въпреки това можете да повдигнете число на степен, дори когато неговият показател съдържа дробно число. Това се нарича степен c рационален показател. В този раздел ще докажем, че тя има същите свойства като другите степени.

Какво представляват рационалните числа? Разнообразието им включва както цели, така и дробни числа, докато дробните числа могат да бъдат представени като обикновени дроби (както положителни, така и отрицателни). Нека формулираме дефиницията на степента на число a с дробен показател m / n, където n е естествено число, а m е цяло число.

Имаме някаква степен с дробен показател a m n. За да се запази свойството сила за захранване, равенството a m n n = a m n · n = a m трябва да е вярно.

Като се има предвид дефиницията на n-тия корен и че a m n n = a m, можем да приемем условието a m n = a m n, ако a m n има смисъл за дадените стойности на m, n и a.

Горните свойства на степен с цяло число ще бъдат верни при условието a m n = a m n.

Основният извод от нашите разсъждения е следният: степента на определено число a с дробен показател m / n е n-ти корен на числото a на степен m. Това е вярно, ако за дадени стойности на m, n и a изразът a m n остава смислен.

1. Можем да ограничим стойността на основата на степента: нека вземем a, което за положителни стойности на m ще бъде по-голямо или равно на 0, а за отрицателни стойности - строго по-малко (тъй като за m ≤ 0 получаваме 0 м, но такава степен не е дефинирана). В този случай дефиницията на степен с дробен показател ще изглежда така:

Степен с дробен показател m/n за някои положително число a е корен n-ти от a, повдигнат на степен m. Това може да се изрази като формула:

За степен с нулева основа тази разпоредба също е подходяща, но само ако нейният показател е положително число.

Степен с основа нула и дробен положителен показател m/n може да се изрази като

0 m n = 0 m n = 0, при условие че m е положително цяло число и n е естествено число.

За отрицателно съотношение m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Нека отбележим една точка. Тъй като въведохме условието a да е по-голямо или равно на нула, в крайна сметка отхвърлихме някои случаи.

Изразът a m n понякога все още има смисъл за някои отрицателни стойности на a и някои m. По този начин правилните записи са (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4, в които основата е отрицателна.

2. Вторият подход е да се разгледа отделно коренът a m n с четни и нечетни показатели. Тогава ще трябва да въведем още едно условие: степента a, в степента на която има съкратима обикновена дроб, се счита за степен a, в степента на която има съответната несъкратима дроб. По-късно ще обясним защо имаме нужда от това условие и защо е толкова важно. По този начин, ако имаме запис a m · k n · k, тогава можем да го намалим до a m n и да опростим изчисленията.

Ако n е нечетно число и стойността на m е положителна и a е всяко неотрицателно число, тогава a m n има смисъл. Условието a да е неотрицателно е необходимо, тъй като корен от четна степен не може да бъде извлечен от отрицателно число. Ако стойността на m е положителна, тогава a може да бъде както отрицателна, така и нула, защото Нечетният корен може да бъде взет от всяко реално число.

Нека комбинираме всички горни определения в един запис:

Тук m/n означава несъкратима дроб, m е всяко цяло число, а n е всяко естествено число.

Определение 5

За всяка обикновена съкратима дроб m · k n · k степента може да бъде заменена с a m n .

Степента на число a с несъкратим дробен показател m / n – може да се изрази като a m n в следните случаи: - за всяко реално a, цяло число положителни стойности m и нечетни естествени стойности n. Пример: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.

За всяко ненулево реално a, отрицателни цели числа на m и нечетни стойности на n, например 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7

За всяко неотрицателно a, цяло положително число m и дори n, например, 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18.

За всяко положително a, цяло отрицателно число m и дори n, например, 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3, .

При други стойности степента с дробен показател не се определя. Примери за такива степени: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

Сега нека обясним важността на обсъденото по-горе условие: защо да заменяме дроб с редуцируем показател с дроб с нередуцируем показател. Ако не бяхме направили това, щяхме да имаме следните ситуации, да речем, 6/10 = 3/5. Тогава трябва да е вярно (- 1) 6 10 = - 1 3 5 , но - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 и (- 1) 3 5 = (- 1 ) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

Определението за степен с дробен показател, което представихме първо, е по-удобно за използване на практика от второто, така че ще продължим да го използваме.

Определение 6

Така степента на положително число a с дробен показател m/n се определя като 0 m n = 0 m n = 0. В случай на отрицателен азаписът a m n няма смисъл. Степен нула за положителни дробни показатели м/нсе дефинира като 0 m n = 0 m n = 0 , за отрицателни дробни показатели ние не определяме степента на нула.

В заключение отбелязваме, че всеки дробен индикатор може да бъде записан във формата смесено число, и във формата десетичен знак: 5 1 , 7 , 3 2 5 - 2 3 7 .

Когато изчислявате, е по-добре да замените експонентата с обикновена дроб и след това да използвате определението за експонента с дробна степен. За горните примери получаваме:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Какво представляват степени с ирационален и реален показател?

Какво представляват реалните числа? Техният набор включва както рационални, така и ирационални числа. Следователно, за да разберем какво е степен с реален показател, трябва да дефинираме степени с рационален и ирационален показател. Вече споменахме рационалните по-горе. Нека се занимаваме с ирационалните показатели стъпка по стъпка.

Пример 5

Да приемем, че имаме ирационално число a и последователност от неговите десетични приближения a 0 , a 1 , a 2 , . . . . Например, нека вземем стойността a = 1,67175331. . . , Тогава

a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a 2 = 1, 671, . . . , a 0 = 1,67, a 1 = 1,6717, a 2 = 1,671753, . . .

Можем да свържем последователности от приближения с последователност от степени a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . . Ако си спомним какво казахме по-рано за повишаване на числата до рационални степени, тогава можем сами да изчислим стойностите на тези степени.

Да вземем за пример а = 3, тогава a a 0 = 3 1, 67, a a 1 = 3 1, 6717, a a 2 = 3 1, 671753, . . . и т.н.

Последователността от степени може да се сведе до число, което ще бъде стойността на степента с основа а и ирационален показател а. В резултат: степен с ирационален показател от формата 3 1, 67175331. . може да се сведе до числото 6, 27.

Определение 7

Степента на положително число a с ирационален показател a се записва като a a . Стойността му е границата на редицата a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . , където a 0 , a 1 , a 2 , . . . са последователни десетични приближения на ирационалното число a. Степен с нулева основа може също да бъде дефинирана за положителни ирационални показатели, като 0 a = 0 Така че, 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0. Но това не може да се направи за отрицателни, тъй като например стойността 0 - 5, 0 - 2 π не е дефинирана. Една единица, повдигната на която и да е ирационална степен, остава единица, например, и 1 2, 1 5 в 2 и 1 - 5 ще бъде равно на 1.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Една от основните характеристики в алгебрата и в цялата математика е степента. Разбира се, в 21 век всички изчисления могат да се правят на онлайн калкулатор, но е по-добре за развитието на мозъка да се научите как да го правите сами.

В тази статия ще разгледаме най-важните въпроси относно това определение. А именно, нека разберем какво е това като цяло и какви са основните му функции, какви свойства има в математиката.

Нека да разгледаме примери как изглежда изчислението и какви са основните формули. Нека да разгледаме основните типове количества и как те се различават от другите функции.

Нека разберем как да решаваме различни проблеми, използвайки това количество. Ще покажем с примери как да повдигнем на нулева степен, ирационално, отрицателно и т.н.

Онлайн калкулатор за степенуване

Какво е степен на число

Какво означава изразът „повишаване на число на степен“?

Степента n на число е произведение на множители с големина a n пъти подред.

Математически изглежда така:

a n = a * a * a * …a n .

Например:

• 2 3 = 2 на трета степен. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 към стъпка. две = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 за стъпка. четири = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10 5 = 10 в 5 стъпки. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100 000;
• 10 4 = 10 в 4 стъпки. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

По-долу има таблица с квадратчета и кубчета от 1 до 10.

Таблица на градусите от 1 до 10

По-долу са резултатите от повишаване на естествените числа до положителни степени - „от 1 до 100“.

Свойства на степените

Какво е характерно за такава математическа функция? Нека да разгледаме основните свойства.

Учените са установили следното признаци, характерни за всички степени:

• a n * a m = (a) (n+m) ;
• a n: a m = (a) (n-m) ;
• (a b) m = (a) (b*m) .

Нека проверим с примери:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. От друга страна, 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.

По същия начин: 2 3: 2 2 = 8 / 4 =2. В противен случай 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. Ами ако е различно? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Както можете да видите, правилата работят.

Но какво ще кажете за със събиране и изваждане? Просто е. Първо се извършва степенуване, а след това събиране и изваждане.

Нека да разгледаме примери:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 – 3 2 = 25 – 9 = 16. Моля, обърнете внимание: правилото няма да е в сила, ако първо извадите: (5 – 3) 2 = 2 2 = 4.

Но в този случай първо трябва да изчислите добавянето, тъй като в скоби има действия: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Как да произвеждаме изчисления в повече трудни случаи ? Редът е същият:

• ако има скоби, трябва да започнете с тях;
• след това степенуване;
• след това изпълнява операциите умножение и деление;
• след събиране, изваждане.

Има специфични свойства, които не са характерни за всички степени:

1. Коренът n-ти от число a на степен m ще бъде записан като: a m / n.
2. При повдигане на дроб на степен: както числителят, така и знаменателят му са обект на тази процедура.
3. При изграждане на произведение различни числана степен, изразът ще съответства на произведението на тези числа на дадена степен. Това е: (a * b) n = a n * b n.
4. Когато повдигате число на отрицателна степен, трябва да разделите 1 на число от същия век, но със знак „+“.
5. Ако знаменателят на дроб е на отрицателна степен, тогава този израз ще бъде равен на произведението на числителя и знаменателя на положителна степен.
6. Произволно число на степен 0 = 1 и на степен. 1 = към себе си.

Тези правила са важни в някои случаи; ще ги разгледаме по-подробно по-долу.

Степен с отрицателен показател

Какво да правим с минус градус, т.е. когато индикаторът е отрицателен?

Въз основа на свойства 4 и 5(виж точката по-горе), Оказва се:

A (- n) = 1 / A n, 5 (-2) = 1 / 5 2 = 1 / 25.

И обратно:

1 / A (- n) = A n, 1 / 2 (-3) = 2 3 = 8.

Ами ако е дроб?

(A / B) (- n) = (B / A) n, (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.

Степен с натурален показател

Разбира се като степен с показатели, равни на цели числа.

Неща, които трябва да запомните:

A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1...и т.н.

A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3...и т.н.

Освен това, ако (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2...тогава резултатът ще бъде със знак "+". Ако отрицателно число се повдигне на нечетна степен, тогава обратното.

За тях са характерни и общи свойства, както и всички специфични характеристики, описани по-горе.

Дробна степен

Този тип може да бъде написан като схема: A m / n. Прочетете като: корен n-ти от числото A на степен m.

Можете да правите каквото искате с дробен индикатор: да го намалите, да го разделите на части, да го повишите на друга степен и т.н.

Степен с ирационален показател

Нека α е ирационално число и A ˃ 0.

За да разберете същността на степента с такъв показател, Нека разгледаме различни възможни случаи:

• A = 1. Резултатът ще бъде равен на 1. Тъй като има аксиома - 1 във всички степени е равно на единица;

А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 – рационални числа;

• 0˂А˂1.

В този случай е обратното: A r 2 ˂ A α ˂ A r 1 при същите условия като във втория параграф.

Например показателят е числото π.Това е рационално.

r 1 – в този случай е равно на 3;

r 2 – ще бъде равно на 4.

Тогава за A = 1, 1 π = 1.

A = 2, след това 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4, 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, след това (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Такива степени се характеризират с всички математически операциии специфични свойства, описани по-горе.

Заключение

Нека обобщим - за какво са необходими тези количества, какви са предимствата на подобни функции? Разбира се, на първо място, те опростяват живота на математиците и програмистите при решаване на примери, тъй като им позволяват да минимизират изчисленията, да съкратят алгоритмите, да систематизират данни и много други.

Къде другаде могат да бъдат полезни тези знания? По всяко работна специалност: медицина, фармакология, стоматология, строителство, технологии, инженеринг, дизайн и др.

Формули за степенизползвани в процеса на редуциране и опростяване на сложни изрази, при решаване на уравнения и неравенства.

Номер ° Се н-та степен на число аКога:

Операции със степени.

1. Чрез умножаване на градуси с една и съща основа се добавят техните показатели:

a m·a n = a m + n .

2. При деление на степени с една и съща основа се изваждат техните показатели:

3. Степента на произведението на 2 или повече фактора е равна на произведението на степените на тези фактори:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Степента на дроб е равна на отношението на степените на делителя и делителя:

(a/b) n = a n /b n.

5. Повишаване на степен на степен, показателите се умножават:

(a m) n = a m n.

Всяка формула по-горе е вярна в посоките отляво надясно и обратно.

Например. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Операции с корени.

1. Коренът на произведението на няколко фактора е равен на произведението на корените на тези фактори:

2. Коренът на съотношението е равен на съотношението на дивидента и делителя на корените:

3. Когато повдигате корен на степен, достатъчно е да повдигнете радикалното число на тази степен:

4. Ако увеличите степента на корена в нведнъж и в същото време се вграждат в нстепента th е радикално число, тогава стойността на корена няма да се промени:

5. Ако намалите степента на корена в низвлечете корена едновременно н-та степен на радикално число, тогава стойността на корена няма да се промени:

Степен с отрицателен показател.Степента на определено число с неположителен (цял) показател се определя като единица, разделена на степента на същото число с показател, равен на абсолютна стойностнеположителен индикатор:

Формула a m:a n =a m - nможе да се използва не само за м> н, но и с м< н.

Например. а4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

За формулиране a m:a n =a m - nстана справедливо, когато m=n, изисква се наличие на нулева степен.

Диплома с нулев индекс.Степента на всяко число, което не е равно на нула с нулев показател е равна на едно.

Например. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Степен с дробен показател.Да се ​​вдигне реално число Адо степен м/н, трябва да извлечете корена нта степен на м-та степен на това число А.

Продължавайки разговора за силата на числото, логично е да разберем как да намерим стойността на мощността. Този процес се нарича степенуване. В тази статия ще проучим как се извършва степенуването, като същевременно ще се докоснем до всички възможни степени - естествени, цели, рационални и ирационални. И според традицията ще разгледаме подробно решения на примери за повишаване на числата на различни степени.

Навигация в страницата.

Какво означава "степенуване"?

Нека започнем, като обясним какво се нарича степенуване. Ето съответното определение.

Определение.

степенуване- това е намиране на стойността на степента на число.

По този начин намирането на стойността на степента на число a с показател r и повишаването на числото a на степен r е едно и също нещо. Например, ако задачата е „изчислете стойността на степен (0,5) 5“, тогава тя може да бъде преформулирана по следния начин: „Повишете числото 0,5 на степен 5“.

Сега можете да преминете директно към правилата, по които се извършва степенуването.

Повишаване на число на естествена степен

На практика равенството, основано на, обикновено се прилага във формата . Тоест, при повдигане на число a на дробна степен m/n, първо се взема корен n-та от числото a, след което полученият резултат се повдига на цяла степен m.

Нека да разгледаме решенията на примери за повдигане на дробна степен.

Пример.

Изчислете стойността на степента.

Решение.

Ще покажем две решения.

Първи начин. По дефиниция на степен с дробен показател. Изчисляваме стойността на степента под знака за корен и след това извличаме кубичен корен: .

Втори начин. По дефиницията на степен с дробен показател и въз основа на свойствата на корените са верни следните равенства: . Сега извличаме корена , накрая го повдигаме на цяло число .

Очевидно получените резултати от повишаването на дробна степен съвпадат.

Отговор:

Обърнете внимание, че дробен показател може да се запише като десетична дроб или смесено число, в тези случаи трябва да се замени със съответната обикновена дроб и след това да се повдигне на степен.

Пример.

Изчислете (44.89) 2.5.

Решение.

Нека напишем степента във формата обикновена дроб(ако е необходимо, вижте статията): . Сега извършваме повдигането до дробна степен:

Отговор:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Трябва също да се каже, че повишаването на числата до рационални степени е доста трудоемък процес(особено когато числителят и знаменателят на дробния показател съдържат достатъчно големи числа), което обикновено се извършва с помощта на компютърна технология.

За да завършим тази точка, нека се спрем на повишаването на числото нула на дробна степен. Дадохме следното значение на дробната степен на нула на формата: когато имаме , а при нула на степен m/n не е определено. Така че, нула до дробна положителна степен е нула, например, . А нулата в дробна отрицателна степен няма смисъл, например изразите 0 -4,3 нямат смисъл.

Издигане до ирационална степен

Понякога става необходимо да се намери стойността на степента на число с ирационален показател. В този случай за практически цели обикновено е достатъчно да се получи стойността на градуса с точност до определен знак. Нека веднага да отбележим, че на практика тази стойност се изчислява с помощта на електронни компютри, тъй като ръчното й повишаване до ирационална мощност изисква голям брой тромави изчисления. Но все пак ще опишем в общи линии същността на действията.

За да се получи приблизителна стойност на степента на число a с ирационален показател, се взема някакво десетично приближение на степента и се изчислява стойността на степента. Тази стойност е приблизителна стойност на степента на числото a с ирационален показател. Колкото по-точно десетично приближение на дадено число се вземе първоначално, толкова по-точна стойност на степента ще се получи накрая.

Като пример, нека изчислим приблизителната стойност на степента на 2 1,174367... . Нека вземем следното десетично приближение ирационален показател: . Сега повдигаме 2 до рационалната степен 1,17 (описахме същността на този процес в предишния параграф), получаваме 2 1,17 ≈2,250116. По този начин, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Ако вземем по-точно десетично приближение на ирационалния показател, например, получаваме по-точна стойност на оригиналния показател: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Библиография.

• Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Учебник по математика за 5 клас. образователни институции.
• Макаричев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник за 7. клас. образователни институции.
• Макаричев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник за 8. клас. образователни институции.
• Макаричев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник за 9. клас. образователни институции.
• Колмогоров A.N., Абрамов A.M., Дудницин Ю.П. и др.. Алгебра и началото на анализа: Учебник за 10 - 11 клас на общообразователните институции.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (наръчник за постъпващите в технически училища).