Експоненциална функция. Цели на урока: Да разгледаме степен с ирационален показател; Въведете дефиницията на експоненциална функция. Формулирайте основните. Степен на числото: определения, означения, примери

Раздели на сайта

Избор на редактора:

В тази статия ще разберем какво е то степен на число. Тук ще дадем дефиниции на степента на число, като същевременно ще разгледаме подробно всички възможни показатели, като започнем от естествения показател и завършим с ирационалния. В материала ще намерите много примери за степени, покриващи всички тънкости, които възникват.

Навигация в страницата.

Степен с естествен показател, квадрат на число, куб на число

Да започнем с. Гледайки напред, нека кажем, че дефиницията на степента на число a с естествен показател n е дадена за a, което ще наречем степен основа, и n, които ще наречем експонент. Също така отбелязваме, че степен с естествен показател се определя чрез произведение, така че за да разберете материала по-долу, трябва да имате разбиране за умножаване на числа.

Определение.

Степен на число с естествен показател nе израз на формата a n, чиято стойност е равна на произведението от n фактора, всеки от които е равен на a, т.е.
По-специално, степента на число a с показател 1 е самото число a, тоест a 1 =a.

Струва си да споменем веднага за правилата за четене на степени. Универсалният начин за четене на нотацията a n е: „a на степен n“. В някои случаи са приемливи и следните опции: „a на n-та степен“ и „n-та степен на a“. Например, нека вземем степен 8 12, това е „осем на степен дванадесет“, или „осем на дванадесета степен“, или „дванадесета степен на осем“.

Втората степен на числото, както и третата степен на числото имат свои имена. Втората степен на число се нарича квадрат на числото, например, 7 2 се чете като „седем на квадрат“ или „квадрат на числото седем“. Третата степен на число се нарича кубични числа, например, 5 3 може да се чете като „пет кубчета“ или можете да кажете „куб на числото 5“.

Време е да донесете примери за степени с естествен показател. Нека започнем със степен 5 7, тук 5 е основата на степента, а 7 е степента. Нека дадем друг пример: 4,32 е основата, а естественото число 9 е показателят (4,32) 9 .

Моля, обърнете внимание, че в последния пример основата на степента 4.32 е написана в скоби: за да избегнем несъответствия, ще поставим в скоби всички основи на степента, които са различни от естествените числа. Като пример даваме следните степени с естествени показатели , основите им не са естествени числа, затова се записват в скоби. Е, за пълна яснота, в този момент ще покажем разликата, съдържаща се в записите под формата (−2) 3 и −2 3. Изразът (−2) 3 е степен на −2 с естествен показател 3, а изразът −2 3 (може да бъде записан като −(2 3) ) съответства на числото, стойността на степента 2 3 .

Обърнете внимание, че има нотация за степента на число a с показател n във формата a^n. Освен това, ако n е многозначно естествено число, тогава показателят се взема в скоби. Например, 4^9 е друга нотация за степента на 4 9 . И ето още няколко примера за записване на степени с помощта на символа “^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . В това, което следва, ние ще използваме основно запис на степен на формата a n.

Един от проблемите, обратни на повдигането на степен с естествен показател, е проблемът за намиране на основата на степента от известна стойност на степента и известен показател. Тази задача води до.

Известно е, че мнозина рационални числасе състои от цели и дробни числа, всяко дробно числомогат да бъдат представени като положителни или отрицателни обикновена дроб. Ние дефинирахме степента с целочислен показател в предишния параграф, следователно, за да завършим дефиницията на степента с рационален показател, трябва да придадете значение на степента на числото a с дробен показател m/n, където m е цяло число, а n е естествено число. Нека направим това.

Нека разгледаме степен с дробен показател от формата . За да остане валидно свойството мощност към степен, равенството трябва да е спазено . Ако вземем предвид полученото равенство и как сме определили , тогава е логично да го приемем при условие, че за дадени m, n и a изразът има смисъл.

Лесно се проверява, че за всички свойства на степен с цяло число са валидни (това беше направено в раздела свойства на степен с рационален показател).

Горното разсъждение ни позволява да направим следното заключение: ако са дадени m, n и a, изразът има смисъл, тогава степента на a с дробен показател m/n се нарича n-ти корен от a на степен m.

Това твърдение ни доближава до дефиницията на степен с дробен показател. Всичко, което остава, е да се опише при какви m, n и a изразът има смисъл. В зависимост от ограниченията, наложени на m, n и a, има два основни подхода.

Най-лесният начин е да наложите ограничение на a, като вземете a≥0 за положително m и a>0 за отрицателно m (тъй като за m≤0 степента 0 на m не е дефинирана). Тогава получаваме следната дефиниция на степен с дробен показател.

Определение.

Степен на положително число a с дробен показател m/n, където m е цяло число и n е естествено число, се нарича n-ти корен от числото a на степен m, т.е.

Дробната степен на нула също се определя с единственото предупреждение, че индикаторът трябва да е положителен.

Определение.

Степен нула с дробен положителен показател m/n, където m е положително цяло число и n е естествено число, се дефинира като .
Когато степента не е определена, тоест степента на числото нула с дробен отрицателен показател няма смисъл.

Трябва да се отбележи, че при тази дефиниция на степен с дробен показател има едно предупреждение: за някои отрицателни a и някои m и n изразът има смисъл и ние отхвърлихме тези случаи, като въведохме условието a≥0. Например, записите имат смисъл или , и дефиницията, дадена по-горе, ни принуждава да кажем, че степените с дробен показател на формата нямат смисъл, тъй като основата не трябва да е отрицателна.

Друг подход за определяне на степен с дробен показател m/n е отделно разглеждане на четните и нечетните показатели на корена. Този подход изисква допълнително условие: степента на числото a, чийто показател е , се счита за степен на числото a, чийто показател е съответната несъкратима дроб (ще обясним важността на това условие по-долу ). Тоест, ако m/n е несъкратима дроб, тогава за всяко естествено число k степента първо се заменя с .

За четно n и положително m, изразът има смисъл за всяко неотрицателно a (четен корен от отрицателно число няма смисъл за отрицателно m, числото a все още трябва да е различно от нула (в противен случай ще има деление). с нула). И за нечетно n и положително m числото a може да бъде всяко (коренът на нечетна степен е дефиниран за всяко реално число), а за отрицателно m числото a трябва да е различно от нула (така че да няма деление на нула).

Горното разсъждение ни води до тази дефиниция на степен с дробен показател.

Определение.

Нека m/n е несъкратима дроб, m е цяло число и n е естествено число. За всяка съкратима дроб степента се заменя с . Степента на число с несъкратим дробен показател m/n е за

Нека обясним защо степен с редуцируем дробен показател първо се заменя със степен с нередуцируем показател. Ако просто дефинираме степента като и не направим уговорка относно несводимостта на дробта m/n, тогава ще се сблъскаме със ситуации, подобни на следното: тъй като 6/10 = 3/5, тогава равенството трябва да се запази , Но , А .

След като се определи степента на едно число, е логично да се говори за степенни свойства. В тази статия ще дадем основните свойства на степента на число, като същевременно ще се докоснем до всички възможни степени. Тук ще предоставим доказателства за всички свойства на степените и ще покажем как тези свойства се използват при решаване на примери.

Навигация в страницата.

Свойства на степените с естествен показател

По дефиниция на степен с естествен показател, степента a n е произведението на n множителя, всеки от които е равен на a. Въз основа на това определение, а също и с помощта свойства на умножението на реални числа, можем да получим и обосновем следното свойства на степен с естествен показател:

основното свойство на степента a m ·a n =a m+n, нейното обобщение;
свойство на частни степени с еднакви основи a m:a n =a m−n ;
свойство мощност на продукта (a·b) n =a n ·b n, неговото разширение;
свойство на частното спрямо естествената степен (a:b) n =a n:b n ;
повдигане на степен на степен (a m) n =a m·n, нейното обобщение (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;
сравнение на степен с нула:
- ако a>0, тогава a n>0 за всяко естествено число n;
- ако a=0, тогава a n =0;
- ако а<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 ако a<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
ако a и b са положителни числа и a
ако m и n са естествени числа, така че m>n, тогава при 0 0 неравенството a m >a n е вярно.

Нека веднага да отбележим, че всички написани равенства са идентиченпри посочените условия, дясната и лявата им част могат да се сменят. Например основното свойство на дробта a m ·a n =a m+n с опростяване на изразичесто се използва под формата a m+n =a m ·a n .

Сега нека разгледаме подробно всеки от тях.

Нека започнем със свойството на произведението на две степени с еднакви основи, което се нарича основното свойство на степента: за всяко реално число a и всякакви естествени числа m и n е вярно равенството a m ·a n =a m+n.

Нека докажем основното свойство на степента. По дефиницията на степен с естествен показател, произведението на степени с еднакви основи от формата a m · a n може да бъде записано като произведение. Поради свойствата на умножението, полученият израз може да бъде записан като , и този продукт е степен на числото a с естествен показател m+n, тоест a m+n. Това завършва доказателството.

Нека дадем пример, потвърждаващ основното свойство на степента. Нека вземем степени с еднакви основи 2 и естествени степени 2 и 3, като използваме основното свойство на степените, можем да запишем равенството 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5. Нека проверим неговата валидност, като изчислим стойностите на изразите 2 2 · 2 3 и 2 5 . Извършвайки степенуване, имаме 2 2 ·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32и 2 5 =2·2·2·2·2=32, тъй като се получават равни стойности, то равенството 2 2 ·2 3 =2 5 е правилно и то потвърждава основното свойство на степента.

Основното свойство на степента, базирано на свойствата на умножението, може да се обобщи до произведението на три или повече степени с еднакви основи и естествени показатели. Така че за всяко число k от естествените числа n 1, n 2, …, n k е вярно следното равенство: a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

например, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

Можем да преминем към следващото свойство на степените с естествен показател – свойство на частни степени с еднакви бази: за всяко ненулево реално число a и произволни естествени числа m и n, отговарящи на условието m>n, е вярно равенството a m:a n =a m−n.

Преди да представим доказателството за това свойство, нека обсъдим значението на допълнителните условия във формулировката. Условието a≠0 е необходимо, за да избегнем деленето на нула, тъй като 0 n =0, а когато се запознахме с деленето, се съгласихме, че не можем да делим на нула. Условието m>n е въведено, за да не излизаме извън естествените степени. Наистина, за m>n показателят a m−n е естествено число, в противен случай ще бъде или нула (което се случва за m−n), или отрицателно число (което се случва за m
Доказателство. Основното свойство на дробта ни позволява да напишем равенството a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m. От полученото равенство a m−n ·a n =a m и следва, че a m−n е частно от степените a m и a n . Това доказва свойството на частните степени с еднакви бази.

Да дадем пример. Да вземем две степени с еднакви основи π и естествени показатели 5 и 2, равенството π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 отговаря на разглежданото свойство на степента.

Сега нека помислим свойство мощност на продукта: естествената степен n на произведението на произволни две реални числа a и b е равна на произведението на степените a n и b n, тоест (a·b) n =a n ·b n.

Наистина, по дефиницията на степен с естествен показател имаме . Въз основа на свойствата на умножението, последният продукт може да бъде пренаписан като , което е равно на a n · b n .

Ето един пример: .

Това свойство се простира до степента на произведението на три или повече фактора. Това означава, че свойството естествена степен n на произведението от k множители се записва като (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n.

За по-голяма яснота ще покажем това свойство с пример. За произведението на три множителя на степен 7 имаме .

Следното свойство е свойство на частно в натура: частното на реалните числа a и b, b≠0 към естествената степен n е равно на частното на степените a n и b n, тоест (a:b) n =a n:b n.

Доказателството може да се извърши с помощта на предишното свойство. И така (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, а от равенството (a:b) n ·b n =a n следва, че (a:b) n е частното от a n делено на b n .

Нека напишем това свойство, използвайки конкретни числа като пример: .

Сега нека го озвучим свойство за повдигане на степен на степен: за всяко реално число a и всякакви естествени числа m и n степента на a m на степен n е равна на степента на числото a с показател m·n, тоест (a m) n =a m·n.

Например (5 2) 3 =5 2·3 =5 6.

Доказателството за свойството степен към степен е следната верига от равенства: .

Разглежданото свойство може да бъде разширено до степен до степен до степен и т.н. Например, за всякакви естествени числа p, q, r и s, равенството . За по-голяма яснота ето пример с конкретни числа: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Остава да се спрем на свойствата на сравняване на степени с естествен показател.

Нека започнем с доказване на свойството за сравняване на нула и степен с естествен показател.

Първо, нека докажем, че a n >0 за всяко a>0.

Произведението на две положителни числа е положително число, както следва от определението за умножение. Този факт и свойствата на умножението предполагат, че резултатът от умножаването на произволен брой положителни числа също ще бъде положително число. А степента на число a с естествен показател n по дефиниция е произведението на n множителя, всеки от които е равен на a. Тези аргументи ни позволяват да твърдим, че за всяка положителна основа a степента a n е положително число. Поради доказаното свойство 3 5 >0, (0.00201) 2 >0 и .

Съвсем очевидно е, че за всяко естествено число n с a=0 степента на a n е нула. Наистина, 0 n =0·0·…·0=0 . Например 0 3 =0 и 0 762 =0.

Нека преминем към отрицателните основи на степен.

Нека започнем със случая, когато показателят е четно число, нека го обозначим като 2·m, където m е естествено число. Тогава . За всяко от произведенията на формата a·a е равно на произведението на модулите на числата a и a, което означава, че е положително число. Следователно продуктът също ще бъде положителен и степен a 2·m. Нека дадем примери: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 и .

И накрая, когато основата a е отрицателно число и показателят е нечетно число 2 m−1, тогава . Всички продукти a·a са положителни числа, произведението на тези положителни числа също е положително и умножението му по останалите отрицателно число a води до отрицателно число. Поради това свойство (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

Нека да преминем към свойството за сравняване на степени с еднакви естествени показатели, което има следната формулировка: от две степени с еднакви естествени показатели n е по-малко от тази, чиято основа е по-малка, а по-голяма е тази, чиято основа е по-голяма . Нека го докажем.

Неравенство a n свойства на неравенстватадоказуемо неравенство от формата a n също е вярно .

Остава да докажем и последното от изброените свойства на степените с естествен показател. Нека го формулираме. От две степени с естествени показатели и еднакви положителни основи, по-малки от единица, тази, чийто показател е по-малък, е по-голяма; и от две степени с естествен показател и еднакви основи, по-големи от единица, тази, чийто степен е по-голяма, е по-голяма. Нека преминем към доказателството на това свойство.

Нека докажем, че за m>n и 0 0 поради първоначалното условие m>n, което означава, че при 0
Остава да се докаже и втората част от имота. Нека докажем, че за m>n и a>1 a m >a n е вярно. Разликата a m −a n след изваждане на n извън скобите приема формата a n ·(a m−n −1) . Това произведение е положително, тъй като за a>1 степента a n е положително число, а разликата a m−n −1 е положително число, тъй като m−n>0 поради началното условие, а за a>1 степента a m−n е по-голямо от едно. Следователно a m −a n >0 и a m >a n , което трябваше да се докаже. Това свойство се илюстрира от неравенството 3 7 >3 2.

Свойства на степени с цели показатели
Тъй като положителните цели числа са естествени числа, тогава всички свойства на степени с цели положителни показатели съвпадат точно със свойствата на степени с естествени показатели, изброени и доказани в предходния параграф.

Дефинирахме степен с цяло число отрицателен показател, както и степен с нулев показател, по такъв начин, че всички свойства на степени с естествени показатели, изразени чрез равенства, останаха валидни. Следователно, всички тези свойства са валидни както за нулев показател, така и за отрицателен показател, докато, разбира се, основите на степените са различни от нула.

И така, за всички реални и ненулеви числа a и b, както и за всички цели числа m и n, е вярно следното: свойства на степени с цели показатели:

a m · a n = a m+n ;

a m:a n =a m−n ;

(a·b) n = a n · b n ;

(a:b) n =a n:b n;

(a m) n = a m·n;

ако n е положително цяло число, a и b са положителни числа и a b−n ;

ако m и n са цели числа и m>n, тогава при 0 1 е в сила неравенството a m >a n.

Когато a=0, степените a m и a n имат смисъл само когато и m, и n са цели положителни числа, тоест естествени числа. Така току-що записаните свойства са валидни и за случаите, когато a=0 и числата m и n са цели положителни числа.

Доказването на всяко от тези свойства не е трудно, достатъчно е да се използват дефинициите на степени с естествени и цели числа, както и свойствата на операциите с реални числа. Като пример, нека докажем, че свойството мощност за захранване е валидно както за положителни цели, така и за неположителни цели числа. За да направите това, трябва да покажете, че ако p е нула или естествено число и q е нула или естествено число, тогава равенствата (a p) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) ·q, (a p ) −q =a p·(−q) и (a −p) −q =a (−p)·(−q). Нека направим това.

За положителни p и q, равенството (a p) q =a p·q беше доказано в предишния параграф. Ако p=0, тогава имаме (a 0) q =1 q =1 и a 0·q =a 0 =1, откъдето (a 0) q =a 0·q. По същия начин, ако q=0, тогава (a p) 0 =1 и a p·0 =a 0 =1, откъдето (a p) 0 =a p·0. Ако и двете p=0 и q=0, тогава (a 0) 0 =1 0 =1 и a 0·0 =a 0 =1, откъдето (a 0) 0 =a 0·0.

Сега доказваме, че (a −p) q =a (−p)·q . Тогава по дефиниция на степен с отрицателен цяло число . По свойството частни на степени имаме . Тъй като 1 p =1·1·…·1=1 и , тогава . Последният израз по дефиниция е степен от формата a −(p·q), която поради правилата за умножение може да бъде записана като a (−p)·q.

По същия начин .

И .

Използвайки същия принцип, можете да докажете всички други свойства на степен с цяло число, записани под формата на равенства.

В предпоследното от записаните свойства си струва да се спрем на доказателството на неравенството a −n >b −n, което е валидно за всяко отрицателно цяло число −n и всяко положително a и b, за които е изпълнено условието a . Тъй като по условие а 0 . Произведението a n · b n също е положително като произведението на положителните числа a n и b n . Тогава получената дроб е положителна като частно на положителните числа b n −a n и a n ·b n . Следователно, откъде a −n >b −n , което трябваше да се докаже.

Последното свойство на степени с цели показатели се доказва по същия начин като подобно свойство на степени с естествени показатели.

Свойства на степени с рационални показатели

Дефинирахме степен с дробен показател, като разширихме свойствата на степен с целочислен показател към него. С други думи, степените с дробни показатели имат същите свойства като степени с цели числа. а именно:

Доказателството за свойствата на степени с дробен показател се основава на дефиницията на степен с дробен показател и върху свойствата на степен с цяло число. Нека предоставим доказателства.

По дефиниция на степен с дробен показател и , тогава . Свойствата на аритметичния корен ни позволяват да напишем следните равенства. Освен това, използвайки свойството на степен с цяло число, получаваме , от което, по дефиницията на степен с дробен показател, имаме , а показателят за получената степен може да се трансформира по следния начин: . Това завършва доказателството.

Второто свойство на степените с дробни показатели се доказва по абсолютно подобен начин:

Останалите равенства се доказват с помощта на подобни принципи:

Да преминем към доказване на следващото свойство. Нека докажем, че за всяко положително a и b, a b p . Нека запишем рационалното число p като m/n, където m е цяло число, а n е естествено число. Условия стр<0 и p>0 в този случай условията m<0 и m>0 съответно. За m>0 и a
По същия начин за m<0 имеем a m >b m , от където, т.е. и a p >b p .

Остава да докажем последното от изброените свойства. Нека докажем, че за рационални числа p и q, p>q при 0 0 – неравенство a p >a q . Винаги можем да сведем рационалните числа p и q до общ знаменател, дори ако получим обикновени дроби и , където m 1 и m 2 са цели числа, а n е естествено число. В този случай условието p>q ще съответства на условието m 1 >m 2, което следва от. След това, чрез свойството за сравняване на степени с еднакви основи и естествени показатели при 0 1 – неравенство a m 1 >a m 2 . Тези неравенства в свойствата на корените могат да бъдат пренаписани съответно като И . А дефиницията на степен с рационален показател ни позволява да преминем към неравенствата и съответно. Оттук правим крайния извод: за p>q и 0 0 – неравенство a p >a q .

Свойства на степени с ирационални показатели

От начина, по който се дефинира степен с ирационален показател, можем да заключим, че тя има всички свойства на степени с рационален показател. Така че за всяко a>0, b>0 и ирационални числа p и q е вярно следното свойства на степени с ирационални показатели:

a p ·a q =a p+q ;

a p:a q =a p−q ;

(a·b) p =a p ·b p ;

(a:b) p =a p:b p ;

(a p) q = a p·q;

за всякакви положителни числа a и b, a 0 неравенството a p b p ;

за ирационални числа p и q, p>q при 0 0 – неравенство a p >a q .

От това можем да заключим, че степени с всякакви реални показатели p и q за a>0 имат същите свойства.

Референции.

Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Учебник по математика за 5 клас. образователни институции.

Макаричев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник за 7. клас. образователни институции.

Макаричев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник за 8. клас. образователни институции.

Макаричев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник за 9. клас. образователни институции.

Колмогоров A.N., Абрамов A.M., Дудницин Ю.П. и др.. Алгебра и началото на анализа: Учебник за 10 - 11 клас на общообразователните институции.

Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (наръчник за постъпващите в техникуми).

ЧАСТ II. ГЛАВА 6
ПОРЕДИЦИ ОТ ЧИСЛА

Понятието степен с ирационален показател

Нека a е някакво положително число и a е ирационално число.
Какво значение трябва да се придаде на израза а*?
За да направим презентацията по-ясна, ще я проведем на частно
пример. А именно, нека поставим a - 2 и a = 1, 624121121112. . . .
Тук a е безкрайна десетична дроб, съставена по следния начин
закон: започвайки от четвъртия знак след десетичната запетая, за изображение a
Използват се само числа 1 и 2, а броят на числата е 1,
написано в ред преди числото 2, като през цялото време се увеличава с
един. Дробта a е непериодична, тъй като в противен случай броят на цифрите е 1,
записани подред в неговия образ ще бъдат ограничени.
Следователно a е ирационално число.
И така, какво значение трябва да се даде на израза
21,v2Ш1Ш1Ш11Ш11Ш. . . r
За да отговорим на този въпрос, нека създадем последователност от стойности
и с недостиг и излишък с точност до (0,1)*. получаваме
1,6; 1,62; 1,624; 1,6241; …, (1)
1,7; 1,63; 1,625; 1,6242; . . . (2)
Нека създадем съответните последователности от степени на числото 2:
2M. 2M*; 21*624; 21’62*1; ..., (3)
21D. 21"63; 2*»62Wu 21.6Sh; . (4)
Последователност (3) се увеличава с нарастването на последователността
(1) (теорема 2 § 6).
Последователност (4) намалява, защото последователността намалява
(2).
Всеки член на редицата (3) е по-малък от всеки член на редицата
(4) и по този начин последователността (3) е ограничена
отгоре, а последователност (4) е ограничена отдолу.
Въз основа на теоремата за монотонната ограничена последователност
всяка от последователностите (3) и (4) има ограничение. Ако

384 Понятието за степен с ирационален показател . .

сега се оказва, че разликата между последователности (4) и (3) се сближава
до нула, тогава ще следва, че и двете от тези последователности,
имат общ лимит.
Разлика на първите членове на последователности (3) и (4)
21-7 - 21'* = 2|, в (20*1 - 1)< 4 (У 2 - 1).
Разлика на втория член
21’63 - 21,62 = 21,62 (2°’01 - 1)< 4 (l0 j/2f - 1) и т. д.
Разлика на n-ти членове
0,0000. ..0 1
2>.««…(2 " - 1)< 4 (l0“/ 2 - 1).
Въз основа на теорема 3 § 6
lim 10″ / 2 = 1.
И така, последователностите (3) и (4) имат обща граница. това
границата е единственото реално число, което е по-голямо
всички членове на редицата (3) и по-малко от всички членове на редицата
(4), препоръчително е да се счита за точната стойност на 2*.
От казаното следва, че като цяло е препоръчително да се приеме
следното определение:
Определение. Ако a^> 1, тогава степента на a с ирационален
показателят a е реално число
което е по-голямо от всички степени на това число, чиито показатели са
рационални приближения a с недостатък и по-малко от всички степени
това число, чиито показатели са рационални приближения и с
излишък.
Ако a<^ 1, то степенью числа а с иррациональным показателем а
е реалното число, което е по-голямо от всички степени
това число, чиито показатели са рационални приближения и
с излишък и по-малко от всички степени на това число, чиито показатели
- рационални приближения a с недостатък.
.Ако a- 1, тогава неговата степен с ирационален показател a
е 1.
Използвайки понятието граница, това определение може да бъде формулирано
Така че:
Степен на положително число с ирационален показател
и границата, към която клони последователността, се извиква
рационални степени на това число, при условие че последователността
показателите на тези степени клонят към a, т.е.
аа = lim аЧ
б — *
13 Д, К. Фатшеев, И. С. Сомински

В този материал ще разгледаме какво е степен на число. В допълнение към основните дефиниции ще формулираме какво представляват степени с естествени, цели, рационални и ирационални показатели. Както винаги, всички концепции ще бъдат илюстрирани с примерни задачи.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Първо, нека формулираме основната дефиниция на степен с естествен показател. За да направим това, трябва да запомним основните правила за умножение. Предварително да уточним, че за база засега ще вземем реално число (означава се с буквата a), а за индикатор - естествено число (означава се с буквата n).
Определение 1
Степента на число a с естествен показател n е произведението на n-тия брой множители, всеки от които е равен на числото a. Степента се записва така: a n, а под формата на формула неговият състав може да бъде представен по следния начин:

Например, ако показателят е 1 и основата е a, тогава първата степен на a се записва като а 1. Като се има предвид, че a е стойността на фактора и 1 е броят на факторите, можем да заключим, че a 1 = a.

Като цяло можем да кажем, че степента е удобна форма за запис на голям брой равни множители. И така, запис на формуляра 8 8 8 8може да се съкрати до 8 4 . По почти същия начин продуктът ни помага да избегнем писането на голям брой термини (8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 4); Вече обсъдихме това в статията, посветена на умножението на естествени числа.

Как да разчетем правилно записа на степента? Общоприетата опция е „а на степен n“. Или можете да кажете „n-та степен на a“ или „антова степен“. Ако, да речем, в примера срещнахме записа 8 12 , можем да прочетем "8 на 12-та степен", "8 на степен 12" или "12-та степен на 8".

Втората и третата степен на числата имат свои собствени утвърдени имена: квадрат и куб. Ако видим втората степен, например числото 7 (7 2), тогава можем да кажем „7 на квадрат“ или „квадрат на числото 7“. По същия начин третата степен се чете така: 5 3 - това е „кубът на числото 5“ или „5 в куб“. Можете обаче да използвате и стандартната формулировка „на втора/трета степен“; това няма да е грешка.
Пример 1
Нека да разгледаме пример за степен с естествен показател: for 5 7 пет ще бъде основата, а седем ще бъде степента.

Основата не трябва да е цяло число: за степента (4 , 32) 9 Основата ще бъде дробта 4, 32, а показателят ще бъде девет. Обърнете внимание на скобите: тази нотация се прави за всички степени, чиито основи се различават от естествените числа.

Например: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3.

За какво са скобите? Те помагат да се избегнат грешки в изчисленията. Да кажем, че имаме два записа: (− 2) 3 И − 2 3 . Първото от тях означава отрицателно число минус две, повдигнато на степен с естествен показател три; второто е числото, съответстващо на противоположната стойност на степента 2 3 .

Понякога в книгите можете да намерите малко по-различен правопис на силата на числото - a^n(където a е основата, а n е показателят). Тоест, 4^9 е същото като 4 9 . Ако n е многоцифрено число, то се поставя в скоби. Например 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . Но ние ще използваме нотацията a nкато по-често срещано.

Лесно е да познаете как да изчислите стойността на експонента с естествена степен от нейната дефиниция: просто трябва да умножите n-ти пъти. Писахме повече за това в друга статия.

Концепцията за степен е обратното на друга математическа концепция - корен на число. Ако знаем стойността на степента и експонентата, можем да изчислим нейната основа. Градусът има някои специфични свойства, полезни за решаване на проблеми, които разгледахме в отделен материал.

Експонентите могат да включват не само естествени числа, но и всякакви цели числа като цяло, включително отрицателни и нули, тъй като те също принадлежат към набора от цели числа.
Определение 2
Степента на число с положително цяло число може да бъде представена като формула: .

В този случай n е всяко положително цяло число.

Нека разберем понятието нулева степен. За да направим това, ние използваме подход, който взема предвид свойството частно за степени с равни основи. Формулира се така:
Определение 3
Равенство a m: a n = a m − nще бъде вярно при следните условия: m и n са естествени числа, m< n , a ≠ 0 .

Последното условие е важно, защото избягва деленето на нула. Ако стойностите на m и n са равни, тогава получаваме следния резултат: a n: a n = a n − n = a 0

Но в същото време a n: a n = 1 е частното на равни числа a nи а. Оказва се, че нулевата степен на всяко ненулево число е равна на единица.

Такова доказателство обаче не се прилага за нула на нулева степен. За да направим това, имаме нужда от друго свойство на степените - свойството на произведения на степени с равни бази. Изглежда така: a m · a n = a m + n .

Ако n е равно на 0, тогава a m · a 0 = a m(това равенство също ни доказва това а 0 = 1). Но ако и също е равно на нула, нашето равенство приема формата 0 m · 0 0 = 0 m, ще е вярно за всяка естествена стойност на n и няма значение на каква точно е равна стойността на степента 0 0 , тоест може да бъде равно на всяко число и това няма да повлияе на точността на равенството. Следователно, нотация на формата 0 0 няма свое специално значение и ние няма да му го приписваме.

Ако желаете, това е лесно да се провери а 0 = 1се сближава със свойството степен (a m) n = a m nпри условие че основата на степента не е нула. По този начин степента на всяко ненулево число с показател нула е едно.
Пример 2
Нека да разгледаме пример с конкретни числа: И така, 5 0 - единица, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 , и стойността 0 0 не е дефиниран.

След нулевата степен просто трябва да разберем какво е отрицателна степен. За да направим това, се нуждаем от същото свойство на произведението на степени с равни основи, което вече използвахме по-горе: a m · a n = a m + n.

Нека въведем условието: m = − n, тогава a не трябва да е равно на нула. От това следва, че a − n · a n = a − n + n = a 0 = 1. Оказва се, че a n и a−nимаме взаимно реципрочни числа.

В резултат на това a на отрицателна цяла степен не е нищо повече от дроб 1 a n.

Тази формулировка потвърждава, че за степен с цяло число отрицателен показател са валидни всички същите свойства, които притежава степен с естествен показател (при условие, че основата не е равна на нула).
Пример 3
Степен a с отрицателен цяло число n може да бъде представена като дроб 1 a n . По този начин, a - n = 1 a n предмет на a ≠ 0и n е всяко естествено число.

Нека илюстрираме нашата идея с конкретни примери:
Пример 4
3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

В последната част на параграфа ще се опитаме да изобразим всичко, което е казано ясно в една формула:
Определение 4
Степента на число с естествен показател z е: a z = a z, e с l и z - цяло положително число 1, z = 0 и a ≠ 0, (за z = 0 и a = 0 резултатът е 0 0, стойностите на израза 0 0 не са дефинирани) 1 a z, ако и z е отрицателно цяло число и a ≠ 0 (ако z е отрицателно цяло число и a = 0 получавате 0 z, egoz стойността е неопределена)

Какво представляват степени с рационален показател?

Разгледахме случаите, когато експонентата съдържа цяло число. Въпреки това можете да повдигнете число на степен, дори когато неговият показател съдържа дробно число. Това се нарича степен с рационален показател. В този раздел ще докажем, че тя има същите свойства като другите степени.

Какво представляват рационалните числа? Техният набор включва както цели, така и дробни числа, а дробните числа могат да бъдат представени като обикновени дроби (както положителни, така и отрицателни). Нека формулираме дефиницията на степента на число a с дробен показател m / n, където n е естествено число, а m е цяло число.

Имаме някаква степен с дробен показател a m n. За да се запази свойството сила за захранване, равенството a m n n = a m n · n = a m трябва да е вярно.

Като се има предвид дефиницията на n-тия корен и че a m n n = a m, можем да приемем условието a m n = a m n, ако a m n има смисъл за дадените стойности на m, n и a.

Горните свойства на степен с цяло число ще бъдат верни при условието a m n = a m n.

Основният извод от нашите разсъждения е следният: степента на определено число a с дробен показател m / n е n-тият корен на числото a на степен m. Това е вярно, ако за дадени стойности на m, n и a изразът a m n остава смислен.

1. Можем да ограничим стойността на основата на степента: нека вземем a, което за положителни стойности на m ще бъде по-голямо или равно на 0, а за отрицателни стойности - строго по-малко (тъй като за m ≤ 0 получаваме 0 м, но такава степен не е дефинирана). В този случай дефиницията на степен с дробен показател ще изглежда така:

Степен с дробен показател m/n за някакво положително число a е корен n-ти от a, повдигнат на степен m. Това може да се изрази като формула:

За степен с нулева основа тази разпоредба също е подходяща, но само ако нейният показател е положително число.

Степен с основа нула и дробен положителен показател m/n може да се изрази като

0 m n = 0 m n = 0, при условие че m е положително цяло число и n е естествено число.

За отрицателно съотношение m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Нека отбележим една точка. Тъй като въведохме условието a да е по-голямо или равно на нула, в крайна сметка отхвърлихме някои случаи.

Изразът a m n понякога все още има смисъл за някои отрицателни стойности на a и някои m. По този начин правилните записи са (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4, в които основата е отрицателна.

2. Вторият подход е да се разгледа отделно коренът a m n с четни и нечетни показатели. След това ще трябва да въведем още едно условие: степента a, в степента на която има съкратима обикновена дроб, се счита за степен a, в степента на която има съответната несъкратима дроб. По-късно ще обясним защо имаме нужда от това условие и защо е толкова важно. Така, ако имаме запис a m · k n · k, тогава можем да го намалим до a m n и да опростим изчисленията.

Ако n е нечетно число и стойността на m е положителна и a е всяко неотрицателно число, тогава a m n има смисъл. Условието a да е неотрицателно е необходимо, тъй като корен от четна степен не може да бъде извлечен от отрицателно число. Ако стойността на m е положителна, тогава a може да бъде както отрицателна, така и нула, защото Нечетният корен може да бъде взет от всяко реално число.

Нека комбинираме всички горни определения в един запис:

Тук m/n означава несъкратима дроб, m е всяко цяло число, а n е всяко естествено число.
Определение 5
За всяка обикновена съкратима дроб m · k n · k степента може да бъде заменена с a m n .

Степента на число a с нередуцируем дробен показател m / n – може да се изрази като a m n в следните случаи: - за всяко реално a, цели положителни стойности m и нечетни естествени стойности n. Пример: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.

За всяко ненулево реално a, отрицателни цели числа на m и нечетни стойности на n, например 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7

За всяко неотрицателно a, цяло положително число m и дори n, например, 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18.

За всяко положително a, цяло отрицателно число m и дори n, например, 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3, .

При други стойности степента с дробен показател не се определя. Примери за такива степени: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

Сега нека обясним важността на обсъденото по-горе условие: защо да заменяме дроб с редуцируем показател с дроб с нередуцируем показател. Ако не бяхме направили това, щяхме да имаме следните ситуации, да речем, 6/10 = 3/5. Тогава трябва да е вярно (- 1) 6 10 = - 1 3 5 , но - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 и (- 1) 3 5 = (- 1 ) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

Определението за степен с дробен показател, което представихме първо, е по-удобно за използване на практика от второто, така че ще продължим да го използваме.
Определение 6
Така степента на положително число a с дробен показател m/n се определя като 0 m n = 0 m n = 0. В случай на отрицателен азаписът a m n няма смисъл. Степен нула за положителни дробни показатели м/нсе дефинира като 0 m n = 0 m n = 0 , за отрицателни дробни показатели ние не определяме степента на нула.

В заключение отбелязваме, че можете да напишете всеки дробен индикатор както като смесено число, така и като десетична дроб: 5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7.

Когато изчислявате, е по-добре да замените експонентата с обикновена дроб и след това да използвате определението за експонента с дробна степен. За горните примери получаваме:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Какво представляват степени с ирационален и реален показател?

Какво представляват реалните числа? Техният набор включва както рационални, така и ирационални числа. Следователно, за да разберем какво е степен с реален показател, трябва да дефинираме степени с рационален и ирационален показател. Вече споменахме рационалните по-горе. Нека се занимаваме с ирационалните показатели стъпка по стъпка.
Пример 5
Да приемем, че имаме ирационално число a и последователност от неговите десетични приближения a 0 , a 1 , a 2 , . . . . Например, нека вземем стойността a = 1,67175331. . . , Тогава

a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a 2 = 1, 671, . . . , a 0 = 1,67, a 1 = 1,6717, a 2 = 1,671753, . . .

Можем да свържем последователността от приближения с последователността от степени a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . . Ако си спомним какво казахме по-рано за повишаване на числата до рационални степени, тогава можем сами да изчислим стойностите на тези степени.

Да вземем за пример а = 3, тогава a a 0 = 3 1, 67, a a 1 = 3 1, 6717, a a 2 = 3 1, 671753, . . . и т.н.

Последователността от степени може да се сведе до число, което ще бъде стойността на степента с основа а и ирационален показател а. В резултат: степен с ирационален показател от формата 3 1, 67175331. . може да се сведе до числото 6, 27.
Определение 7
Степента на положително число a с ирационален показател a се записва като a a . Стойността му е границата на редицата a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . , където a 0 , a 1 , a 2 , . . . са последователни десетични приближения на ирационалното число a. Степен с нулева основа може също да бъде дефинирана за положителни ирационални показатели, като 0 a = 0 Така че, 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0. Но това не може да се направи за отрицателни, тъй като например стойността 0 - 5, 0 - 2 π не е дефинирана. Една единица, повдигната на която и да е ирационална степен, остава единица, например, и 1 2, 1 5 в 2 и 1 - 5 ще бъде равно на 1.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Степен с рационален показател, нейните свойства.
Израз a n дефинирани за всички a и n, с изключение на случая на a=0 за n≤0. Нека си припомним свойствата на такива мощности.

За произволни числа a, b и произволни цели числа m и n са валидни равенствата:
A m *a n =a m+n; a m:a n =a m-n (a≠0); (a m) n = a mn; (ab) n = a n *b n; (b≠0); a 1 =a; a 0 =1 (a≠0).

Обърнете внимание и на следното свойство:

Ако m>n, тогава a m >a n за a>1 и a m<а n при 0<а<1.

В този раздел ще обобщим концепцията за степените на число, давайки значение на изрази от тип 2 0.3 , 8 5/7 , 4 -1/2 и т.н. Естествено е да се даде определение по такъв начин, че степените с рационални показатели да имат същите свойства (или поне част от тях) като степени с цяло число. След това, по-специално, n-та степен на числототрябва да е равно на aм . Действително, ако имотът
(a p) q = a pq

тогава се изпълнява

Последното равенство означава (по дефиниция на n-тия корен), че числототрябва да е n-ти корен от aм.

Определение.

Степента на число a>0 с рационален показател r=, където m е цяло число и n е естествено число (n > 1), е числото

И така, по дефиниция
(1)

Степента на 0 е дефинирана само за положителни показатели; по дефиниция 0 r = 0 за всяко r>0.
Степен с ирационален показател.
Ирационално числомогат да бъдат представени във форматаграница на поредица от рационални числа: .
Нека . След това има степени с рационален показател. Може да се докаже, че последователността на тези степени е сходяща. Границата на тази последователност се нарича степен с основа и ирационален показател: .
Нека фиксираме положително число a и го присвоим на всяко число. Така получаваме числовата функция f(x) = aх , определени върху множеството Q от рационални числа и притежаващи изброените по-горе свойства. Когато a=1 функция f(x) = aх е постоянен, тъй като 1х =1 за всяко рационално x.

Нека начертаем няколко точки върху графиката на функцията y = 2х като предварително сте изчислили стойността 2 с помощта на калкулаторх върху отсечката [—2; 3] със стъпка 1/4 (фиг. 1, а), а след това със стъпка 1/8 (фиг. 1, б), като продължаваме мислено същите конструкции със стъпки 1/16, 1/32, и т.н. виждаме, че получените точки могат да бъдат свързани с гладка крива, която естествено може да се счита за графика на някаква функция, дефинирана и нарастваща по цялата числова ос и приемаща стойностив рационални точки(фиг. 1, в). След като изградих достатъчно голям бройточки на графиката на функцията, можете да се уверите, че тази функция има подобни свойства (разликата е, че функциятанамалява на R).

Тези наблюдения предполагат, че числата 2 могат да бъдат определени по този начинα и за всяко ирационално α, че функциите, дадени с формулите y=2 x и ще бъде непрекъсната, а функцията y=2х увеличава, а функциятанамалява по цялата числова ос.

Нека опишем в общи линии как се определя числото a α за ирационално α за a>1. Искаме да гарантираме, че функцията y = aх се увеличаваше. Тогава за всяко рационално r 1 и r 2 така, че r 1<αтрябва да удовлетворява неравенствата a r 1<а α <а r 1 .

Избор на r стойности 1 и r 2 приближавайки x, може да се забележи, че съответните стойности на a r 1 и a r 2 ще се различава малко. Може да се докаже, че съществува и само едно число y, което е по-голямо от всички a r 1 за всички рационални r 1 и най-малко a r 2 за всички рационални r 2 . Това число y по дефиниция е a α .

Например, като използвате калкулатор, за да изчислите стойността 2 x в точки x n и x` n, където x n и x` n - десетични приближения на числаще открием, че колкото по-близо е x n и x`n k , толкова по-малко се различават 2-те x n и 2 x` n.

От тогава

и следователно,

По същия начин, като се вземат предвид следните десетични приближенияспоред недостига и излишъка стигаме до отношенията
;

;

;

;

.

Значение изчислено на калкулатора е:
.

Числото a се определя по подобен начин α за 0<α<1. Кроме того полагают 1 α =1 за всякакви α и 0α =0 за α>0.
Експоненциална функция.

При а > 0, а = 1, дефинирана функция y = a х, различна от константата. Тази функция се нарича експоненциална функцияс основаа.

г=а хпри а> 1:

Графики на експоненциални функции с основа 0< а < 1 и а> 1 са показани на фигурата.

Основни свойства на експоненциалната функция г=а хна 0< а < 1:
Областта на дефиниране на функция е цялата числова ос.

Функционален диапазон - интервал (0; + ) .

Функцията нараства строго монотонно върху цялата числова ос, т.е. ако х 1 < x 2, тогава a x 1 >a x 2 .

При х= 0 стойността на функцията е 1.

Ако х> 0, след това 0< а < 1 и ако х < 0, то a x > 1.
ДО общи свойстваекспоненциална функция като при 0< a < 1, так и при a > 1 включват:
а х 1 а х 2 = а х 1 + х 2, за всички х 1 И х 2.

а − x= ( а х) − 1 = 1 ахза всеки х.

па х= а

Прочетете:

Защо мечтаете за буря на морските вълни? Отчитане на разчети с бюджета Чийзкейкове от извара на тиган - класически рецепти за пухкави чийзкейкове Чийзкейкове от 500 г извара Салата Черна перла със сини сливи Салата Черна перла със сини сливи Рецепти за лечо с доматено пюре

Прочетете: