Входно ниво

Степен и неговите свойства. Изчерпателно ръководство (2019)

Защо са необходими дипломи? Къде ще ви трябват? Защо трябва да отделите време да ги изучавате?

Да научите всичко за дипломите, за какво служат, как да използвате знанията си в ежедневиетопрочетете тази статия.

И, разбира се, познаването на степени ще ви доближи до успеха преминаване на OGEили Единен държавен изпит и прием в университета на вашите мечти.

Да вървим... (Да вървим!)

Важна забележка! Ако видите gobbledygook вместо формули, изчистете кеша. За да направите това, натиснете CTRL+F5 (на Windows) или Cmd+R (на Mac).

НАЧАЛНО НИВО

Повдигането на степен е същото математическа операциякато събиране, изваждане, умножение или деление.

Сега ще обясня всичко на човешки език на много прости примери. Бъдете внимателни. Примерите са елементарни, но обясняват важни неща.

Да започнем с добавянето.

Тук няма какво да се обяснява. Вече знаете всичко: осем сме. Всеки има по две бутилки кола. Колко кола има? Точно така - 16 бутилки.

Сега умножение.

Същият пример с кола може да се напише по различен начин: . Математиците са хитри и мързеливи хора. Те първо забелязват някои модели и след това намират начин да ги „преброят“ по-бързо. В нашия случай те забелязаха, че всеки от осемте души имаше еднакъв брой бутилки кола и измислиха техника, наречена умножение. Съгласете се, счита се за по-лесно и по-бързо от.

Така че, за да броите по-бързо, по-лесно и без грешки, просто трябва да запомните таблица за умножение. Разбира се, можете да правите всичко по-бавно, по-трудно и с грешки! но...

Ето таблицата за умножение. Повторете.

И още един по-красив:

Какви други? хитри триковесметките са измислени от мързеливи математици? точно - повишаване на число на степен.

Повдигане на число на степен

Ако трябва да умножите число само по себе си пет пъти, тогава математиците казват, че трябва да повдигнете това число на пета степен. Например,. Математиците помнят, че две на пета степен е... И те решават такива проблеми в главите си - по-бързо, лесно и безгрешно.

Всичко, което трябва да направите е запомнете какво е маркирано с цвят в таблицата на степените на числата. Повярвайте ми, това ще направи живота ви много по-лесен.

Между другото, защо се нарича втора степен? квадратчисла, а третият - куб? Какво означава? Много добър въпрос. Сега ще имате както квадрати, така и кубчета.

Пример от реалния живот №1

Нека започнем с квадрата или втората степен на числото.

Представете си квадратен басейн с размери метър на метър. Басейнът е във вашата дача. Горещо е и много искам да плувам. Но... басейнът няма дъно! Трябва да покриете дъното на басейна с плочки. Колко плочки ви трябват? За да определите това, трябва да знаете долната площ на басейна.

Можете просто да изчислите, като посочите с пръст, че дъното на басейна се състои от кубчета метър по метър. Ако имате плочки метър на метър, ще ви трябват парчета. Лесно е... Но къде сте виждали такива плочки? Плочката най-вероятно ще бъде см на см и тогава ще бъдете измъчвани от „броене с пръст“. След това трябва да умножите. И така, от едната страна на дъното на басейна ще поставим плочки (парчета), а от другата също плочки. Умножете по и ще получите плочки ().

Забелязахте ли, че за да определим площта на дъното на басейна, умножихме едно и също число по себе си? Какво означава? Тъй като умножаваме едно и също число, можем да използваме техниката на „постепенно степенуване“. (Разбира се, когато имате само две числа, все още трябва да ги умножите или да ги повдигнете на степен. Но ако имате много от тях, тогава повишаването им на степен е много по-лесно и също така има по-малко грешки в изчисленията , За Единния държавен изпит това е много важно).
И така, тридесет на втора степен ще бъде (). Или можем да кажем, че тридесет на квадрат ще бъде. С други думи, втората степен на число винаги може да бъде представена като квадрат. И обратното, ако видите квадрат, той ВИНАГИ е втората степен на дадено число. Квадратът е изображение на втората степен на число.

Пример от реалния живот №2

Ето една задача за вас: пребройте колко квадратчета има на шахматната дъска, като използвате квадрата на числото... От едната страна на клетките и от другата също. За да изчислите техния брой, трябва да умножите осем по осем или... ако забележите, че шахматната дъска е квадрат със страна, тогава можете да квадратирате осем. Ще получите клетки. () И така?

Пример от реалния живот #3

Сега кубът или третата степен на число. Същият басейн. Но сега трябва да разберете колко вода ще трябва да се излее в този басейн. Трябва да изчислите обема. (Между другото, обемите и течностите се измерват в кубични метри. Неочаквано, нали?) Начертайте басейн: дъно с размери метър и дълбочина метър и се опитайте да преброите колко кубчета с размери метър на метър ще се поберат във вашия басейн.

Просто посочете пръста си и пребройте! Едно, две, три, четири...двадесет и две, двадесет и три...Колко получихте? Не сте изгубени? Трудно ли е да броите с пръст? това е! Вземете пример от математиците. Те са мързеливи и затова забелязаха, че за да изчислите обема на басейна, трябва да умножите неговата дължина, ширина и височина един по друг. В нашия случай обемът на басейна ще бъде равен на кубчета... По-лесно, нали?

Сега си представете колко мързеливи и хитри са математиците, ако опростят и това. Сведохме всичко до едно действие. Забелязаха, че дължината, ширината и височината са равни и че едно и също число се умножава по себе си... Какво означава това? Това означава, че можете да се възползвате от степента. И така, това, което някога сте преброили с пръста си, те правят с едно действие: три кубчета са равни. Написано е така: .

Всичко, което остава е помнете градусната таблица. Освен ако, разбира се, не сте мързеливи и хитри като математиците. Ако обичате да работите усилено и да правите грешки, можете да продължите да броите с пръст.

Е, за да ви убедим окончателно, че дипломите са измислени от отказали се и хитри хора, за да решават житейските си проблеми, а не да ви създават проблеми, ето още няколко примера от живота.

Пример от реалния живот #4

Имате милион рубли. В началото на всяка година, за всеки милион, който правите, правите още един милион. Тоест всеки милион, който имате, се удвоява в началото на всяка година. Колко пари ще имате след години? Ако сега седите и "броите с пръст", значи сте много трудолюбив човек и... глупав. Но най-вероятно ще дадете отговор след няколко секунди, защото сте умни! И така, първата година - две умножено по две... втората година - какво стана, още две, третата година... Стоп! Забелязахте, че числото се умножава по себе си пъти. Значи две на пета степен е милион! Сега си представете, че имате състезание и този, който може да брои най-бързо, ще получи тези милиони... Струва си да си припомним силата на числата, не мислите ли?

Пример от реалния живот #5

Имате милион. В началото на всяка година за всеки милион, който направите, печелите още два. Страхотно нали? Всеки милион се утроява. Колко пари ще имате след една година? Да преброим. Първата година - умножете по, след това резултатът с още един ... Вече е скучно, защото вече сте разбрали всичко: три се умножава по себе си пъти. Така че на четвърта степен е равно на милион. Просто трябва да помниш, че три на четвърта степен е или.

Сега знаете, че като повдигнете число на степен, ще улесните много живота си. Нека да разгледаме по-подробно какво можете да правите със степените и какво трябва да знаете за тях.

Термини и понятия... за да не се бъркаме

Така че, първо, нека дефинираме понятията. Смятате ли какво е степенен показател? Много е просто - това е числото, което е "на върха" на степента на числото. Не научно, но ясно и лесно за запомняне...

Е, в същото време какво такава основа за степен? Още по-просто - това е числото, което се намира отдолу, в основата.

Ето една рисунка за добра мярка.

Добре в общ изглед, с цел обобщаване и по-добро запомняне... Степен с основа “ ” и показател “ ” се чете като “на степен” и се записва по следния начин:

Степен на число с естествен показател

Вероятно вече се досещате: защото показателят е естествено число. Да, но какво е естествено число? Елементарно! Естествените числа са онези числа, които се използват при броене при изброяване на предмети: едно, две, три... Когато броим предмети, не казваме: „минус пет“, „минус шест“, „минус седем“. Ние също не казваме: „една трета“ или „нула цяло пет“. Това не са естествени числа. Какви числа мислите, че са това?

Числа като „минус пет“, „минус шест“, „минус седем“ се отнасят за цели числа.Като цяло целите числа включват всички естествени числа, числа, противоположни на естествените числа (т.е. взети със знак минус) и число. Нулата е лесна за разбиране - това е, когато няма нищо. Какво означават отрицателните („минус“) числа? Но те са измислени предимно за посочване на дългове: ако имате баланс на телефона си в рубли, това означава, че дължите на оператора рубли.

Всички дроби са рационални числа. Как са възникнали, според вас? Много просто. Преди няколко хиляди години нашите предци открили, че им липсват естествени числа за измерване на дължина, тегло, площ и т.н. И те измислиха рационални числа... Интересно, нали?

Има и ирационални числа. Какви са тези числа? Накратко безкрайно десетичен знак. Например, ако разделите обиколката на кръг на неговия диаметър, ще получите ирационално число.

Резюме:

Нека дефинираме концепцията за степен, чийто експонент е естествено число (т.е. цяло число и положително).

1. Всяко число на първа степен е равно на себе си:
2. Да повдигнете число на квадрат означава да го умножите по себе си:
3. Да кубирате число означава да го умножите само по себе си три пъти:

Определение.Увеличете числото до естествена степен- означава умножаване на число по себе си пъти:
.

Свойства на степените

Откъде са дошли тези имоти? Сега ще ти покажа.

Да видим: какво е това И ?

По дефиниция:

Колко множителя има общо?

Много е просто: добавихме множители към факторите и резултатът е множители.

Но по дефиниция това е степен на число с показател, тоест: , което трябваше да се докаже.

Пример: Опростете израза.

Решение:

Пример:Опростете израза.

Решение:Важно е да се отбележи, че в нашето правило Задължителнотрябва да има същите причини!
Следователно ние комбинираме мощностите с основата, но тя остава отделен фактор:

само за произведението на мощностите!

При никакви обстоятелства не можете да пишете това.

2. това е всичко та степен на число

Точно както при предишното свойство, нека се обърнем към определението за степен:

Оказва се, че изразът се умножава по себе си пъти, тоест според дефиницията това е степента на числото:

По същество това може да се нарече „изваждане на индикатора от скоби“. Но никога не можете да направите това напълно:

Да си припомним формулите за съкратено умножение: колко пъти искахме да напишем?

Но това в крайна сметка не е вярно.

Сила с отрицателна основа

До този момент сме обсъждали само какъв трябва да бъде показателят.

Но каква трябва да бъде основата?

В правомощията на естествен показателосновата може да бъде произволен брой. Всъщност можем да умножим всякакви числа едно по друго, независимо дали са положителни, отрицателни или четни.

Нека помислим кои знаци ("" или "") ще имат степени на положителни и отрицателни числа?

Например числото положително или отрицателно ли е? А? ? С първото всичко е ясно: без значение колко положителни числа умножаваме едно по друго, резултатът ще бъде положителен.

Но негативните са малко по-интересни. Спомняме си простото правило от 6 клас: „минус за минус дава плюс“. Тоест, или. Но ако умножим по, работи.

Определете сами какъв знак ще имат следните изрази:

успяхте ли

Ето и отговорите: В първите четири примера, надявам се, всичко е ясно? Просто разглеждаме основата и експонентата и прилагаме съответното правило.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

В пример 5) всичко също не е толкова страшно, колкото изглежда: в крайна сметка няма значение на какво е равна основата - степента е равна, което означава, че резултатът винаги ще бъде положителен.

Е, освен когато основата е нула. Основата не е равна, нали? Очевидно не, тъй като (защото).

Пример 6) вече не е толкова прост!

6 примера за практикуване

Анализ на решението 6 примера

Ако пренебрегнем осмата сила, какво виждаме тук? Да си припомним програмата за 7 клас. И така, помниш ли? Това е формулата за съкратено умножение, а именно разликата на квадратите! Получаваме:

Нека погледнем внимателно знаменателя. Изглежда много като един от факторите числител, но какво не е наред? Редът на термините е грешен. Ако бяха обърнати, правилото можеше да се приложи.

Но как да стане това? Оказва се, че е много лесно: четната степен на знаменателя ни помага тук.

По магически начин термините смениха местата си. Този „феномен“ се отнася за всеки израз в еднаква степен: можем лесно да променим знаците в скобите.

Но е важно да запомните: всички знаци се променят едновременно!

Да се ​​върнем към примера:

И отново формулата:

Цялнаричаме естествените числа, противоположните им (т.е. взети със знака " ") и числото.

цяло положително число , и не се различава от естественото, тогава всичко изглежда точно както в предишния раздел.

Сега нека да разгледаме новите случаи. Нека започнем с индикатор, равен на.

Всяко число на нулева степен е равно на едно:

Както винаги, нека се запитаме: защо това е така?

Нека разгледаме някаква степен с основа. Вземете например и умножете по:

И така, умножихме числото по и получихме същото нещо, каквото беше - . По какво число трябва да умножите, за да не се промени нищо? Точно така, на. Средства.

Можем да направим същото с произволно число:

Нека повторим правилото:

Всяко число на нулева степен е равно на едно.

Но има изключения от много правила. И тук също е там - това е число (като основа).

От една страна трябва да е равно на произволна степен - колкото и да умножаваш нулата по себе си, пак ще получиш нула, това е ясно. Но от друга страна, като всяко число на нулева степен, то трябва да е равно. Кое от това е вярно? Математиците решиха да не се намесват и отказаха да повдигнат нулата на нулева степен. Тоест сега не можем не само да разделим на нула, но и да го повдигнем на нулева степен.

Да продължим. Освен естествени числа и числа, целите числа включват и отрицателни числа. За да разберем какво е отрицателна степен, нека направим както миналия път: умножете някакво нормално число по същото в отрицателна степен:

От тук е лесно да изразите това, което търсите:

Сега нека разширим полученото правило до произволна степен:

И така, нека формулираме правило:

Число с отрицателна степен е реципрочната стойност на същото число с положителна степен. Но в същото време Базата не може да бъде нула:(защото не можете да разделите по).

Нека да обобщим:

I. Изразът не е дефиниран в случая. Ако, тогава.

II. Всяко число на нулева степен е равно на едно: .

III. Число, което не е равно на нула на отрицателна степен, е обратното на същото число на положителна степен: .

Задачи за самостоятелно решаване:

Е, както обикновено, примери за независими решения:

Анализ на проблемите за самостоятелно решение:

Знам, знам, цифрите са страшни, но на Единния държавен изпит трябва да сте готови за всичко! Решете тези примери или анализирайте техните решения, ако не сте успели да ги решите и ще се научите да се справяте лесно с тях на изпита!

Нека продължим да разширяваме диапазона от числа, „подходящи“ като показател.

Сега нека помислим рационални числа.Кои числа се наричат ​​рационални?

Отговор: всичко, което може да бъде представено като дроб, където и са цели числа и.

За да разбере какво е "дробна степен", разгледайте фракцията:

Нека повдигнем двете страни на уравнението на степен:

Сега нека си припомним правилото за "степен на степен":

Какво число трябва да се повдигне на степен, за да се получи?

Тази формулировка е дефиницията на корена на степен th.

Нека ви напомня: коренът на степен th на число () е число, което, когато е повдигнато на степен, е равно на.

Тоест, коренът на та степен е обратната операция на повдигане на степен: .

Оказва се, че. Очевидно това специален случайможе да се разшири: .

Сега добавяме числителя: какво е това? Отговорът е лесен за получаване с помощта на правилото мощност към степен:

Но може ли основата да бъде произволно число? В крайна сметка коренът не може да бъде извлечен от всички числа.

Нито един!

Нека си припомним правилото: всяко число, повдигнато на четна степен, е положително число. Тоест, невъзможно е да се извлекат четни корени от отрицателни числа!

Това означава, че такива числа не могат да бъдат повдигнати на дробна степен с четен знаменател, тоест изразът няма смисъл.

Какво ще кажете за израза?

Но тук възниква проблем.

Числото може да бъде представено под формата на други, редуцируеми дроби, например, или.

И се оказва, че съществува, но не съществува, но това са просто два различни записа на едно и също число.

Или друг пример: веднъж, след това можете да го запишете. Но ако запишем индикатора по различен начин, отново ще имаме проблеми: (тоест получихме съвсем различен резултат!).

За да избегнем подобни парадокси, смятаме само положителен основен показател с дробен показател.

Така че ако:

• — естествено число;
• - цяло число;

Примери:

Рационалните експоненти са много полезни за трансформиране на изрази с корени, например:

5 примера за практикуване

Анализ на 5 примера за обучение

Е, сега идва най-трудната част. Сега ще го разберем степен c ирационален показател .

Всички правила и свойства на степените тук са точно същите като за степен с рационален показател, с изключение

В края на краищата, по дефиниция ирационалните числа са числа, които не могат да бъдат представени като дроб, където и са цели числа (тоест всички ирационални числа са реални числа, с изключение на рационалните).

Когато изучаваме степени с естествени, цели и рационални показатели, всеки път създаваме определен „образ“, „аналогия“ или описание с по-познати термини.

Например, степен с естествен показател е число, умножено по себе си няколко пъти;

...число на нулева степен- това е, така да се каже, число, умножено по себе си веднъж, тоест те все още не са започнали да го умножават, което означава, че самото число дори още не се е появило - следователно резултатът е само определено „празно число“ , а именно число;

...отрицателна цяло число степен- сякаш нещо се е случило " обратен процес“, тоест числото не беше умножено само по себе си, а разделено.

Между другото, в науката често се използва степен със сложен показател, тоест показателят дори не е реално число.

Но в училище не мислим за такива трудности; вие ще имате възможност да разберете тези нови концепции в института.

КЪДЕТО СМЕ СИГУРНИ, ЩЕ ОТИДЕТЕ! (ако се научиш да решаваш такива примери :))

Например:

Решете сами:

Анализ на решенията:

1. Нека започнем с обичайното правило за повишаване на степен на степен:

Сега погледнете индикатора. Той не ти ли напомня за нищо? Нека си припомним формулата за съкратено умножение на разликата на квадратите:

в този случай

Оказва се, че:

отговор: .

2. Намаляваме дробите в експоненти до една и съща форма: или двата десетични, или двата обикновени. Получаваме например:

Отговор: 16

3. Нищо специално, използваме обичайните свойства на градусите:

НИВО ЗА НАПРЕДНАЛИ

Определяне на степен

Степента е израз на формата: , където:

• — степен база;
• - експонента.

Степен с натурален показател (n = 1, 2, 3,...)

Повишаването на число на естествена степен n означава умножаване на числото по себе си пъти:

Степен с цяло число (0, ±1, ±2,...)

Ако показателят е положително цяло числономер:

Строителство до нулева степен:

Изразът е неопределен, защото, от една страна, на произволна степен е това, а от друга страна, всяко число на та степен е това.

Ако показателят е отрицателно цяло числономер:

(защото не можете да разделите по).

Още веднъж за нули: изразът не е дефиниран в случая. Ако, тогава.

Примери:

Степен с рационален показател

• — естествено число;
• - цяло число;

Примери:

Свойства на степените

За да улесним решаването на проблемите, нека се опитаме да разберем: откъде идват тези свойства? Нека ги докажем.

Да видим: какво е и?

По дефиниция:

И така, от дясната страна на този израз получаваме следния продукт:

Но по дефиниция това е степен на число с показател, тоест:

Q.E.D.

Пример : Опростете израза.

Решение : .

Пример : Опростете израза.

Решение : Важно е да се отбележи, че в нашето правило Задължителнотрябва да има същите причини. Следователно ние комбинираме мощностите с основата, но тя остава отделен фактор:

Друга важна забележка: това правило - само за произведение на мощности!

При никакви обстоятелства не можете да пишете това.

Точно както при предишното свойство, нека се обърнем към определението за степен:

Нека прегрупираме тази работа по следния начин:

Оказва се, че изразът се умножава по себе си пъти, тоест според дефиницията това е степента на числото:

По същество това може да се нарече „изваждане на индикатора от скоби“. Но никога не можете да направите това напълно: !

Да си припомним формулите за съкратено умножение: колко пъти искахме да напишем? Но това в крайна сметка не е вярно.

Сила с отрицателна основа.

До този момент сме обсъждали само какво трябва да бъде индикаторстепени. Но каква трябва да бъде основата? В правомощията на естествено индикатор основата може да бъде произволен брой .

Наистина можем да умножим всякакви числа едно по друго, независимо дали са положителни, отрицателни или четни. Нека помислим кои знаци ("" или "") ще имат степени на положителни и отрицателни числа?

Например числото положително или отрицателно ли е? А? ?

С първото всичко е ясно: без значение колко положителни числа умножаваме едно по друго, резултатът ще бъде положителен.

Но негативните са малко по-интересни. Спомняме си простото правило от 6 клас: „минус за минус дава плюс“. Тоест, или. Но ако умножим по (), получаваме - .

И така до безкрайност: с всяко следващо умножение знакът ще се променя. Можем да формулираме следното прости правила:

1. дажестепен, - номер положителен.
2. Отрицателното число е повишено до странностепен, - номер отрицателен.
3. Положително число на каквато и да е степен е положително число.
4. Нула на произволна степен е равна на нула.

Определете сами какъв знак ще имат следните изрази:

успяхте ли Ето и отговорите:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

В първите четири примера, надявам се всичко е ясно? Просто разглеждаме основата и експонентата и прилагаме съответното правило.

В пример 5) всичко също не е толкова страшно, колкото изглежда: в крайна сметка няма значение на какво е равна основата - степента е равна, което означава, че резултатът винаги ще бъде положителен. Е, освен когато основата е нула. Основата не е равна, нали? Очевидно не, тъй като (защото).

Пример 6) вече не е толкова прост. Тук трябва да разберете кое е по-малко: или? Ако си спомним това, става ясно, че и следователно основата по-малко от нула. Тоест прилагаме правило 2: резултатът ще бъде отрицателен.

И отново използваме определението за степен:

Всичко е както обикновено - записваме определението на степените и ги разделяме един на друг, разделяме ги на двойки и получаваме:

Преди да разгледаме последното правило, нека решим няколко примера.

Пресметнете изразите:

Решения :

Ако пренебрегнем осмата сила, какво виждаме тук? Да си припомним програмата за 7 клас. И така, помниш ли? Това е формулата за съкратено умножение, а именно разликата на квадратите!

Получаваме:

Нека погледнем внимателно знаменателя. Изглежда много като един от факторите числител, но какво не е наред? Редът на термините е грешен. Ако бяха обърнати, можеше да се приложи правило 3. Но как? Оказва се, че е много лесно: четната степен на знаменателя ни помага тук.

Ако го умножите по, нищо не се променя, нали? Но сега се оказва така:

По магически начин термините смениха местата си. Този „феномен“ се отнася за всеки израз в еднаква степен: можем лесно да променим знаците в скобите. Но е важно да запомните: Всички знаци се променят едновременно!Не можете да го замените, като промените само един недостатък, който не ни харесва!

Да се ​​върнем към примера:

И отново формулата:

И така, последното правило:

Как ще го докажем? Разбира се, както обикновено: нека разширим концепцията за степен и да я опростим:

Е, сега нека отворим скобите. Колко букви има общо? пъти по множители - на какво ви напомня това? Това не е нищо повече от определение на операция умножение: Там имаше само множители. Тоест, това по дефиниция е степен на число с показател:

Пример:

Степен с ирационален показател

В допълнение към информацията за степените за средно ниво, ще анализираме степента с ирационален показател. Всички правила и свойства на степените тук са точно същите като за степен с рационален показател, с изключение - в края на краищата, по дефиниция ирационалните числа са числа, които не могат да бъдат представени като дроб, където и са цели числа (т.е. , ирационалните числа са всички реални числа, с изключение на рационалните числа).

Когато изучаваме степени с естествени, цели и рационални показатели, всеки път създаваме определен „образ“, „аналогия“ или описание с по-познати термини. Например, степен с естествен показател е число, умножено по себе си няколко пъти; число на нулева степен е, така да се каже, число, умножено по себе си пъти, тоест те все още не са започнали да го умножават, което означава, че самото число още не се е появило - следователно резултатът е само определен „празно число“, а именно число; степен с цяло число отрицателен експонент - сякаш е настъпил някакъв „обратен процес“, тоест числото не е умножено само по себе си, а разделено.

Изключително трудно е да си представим степен с ирационален показател (точно както е трудно да си представим 4-измерно пространство). Това е по-скоро чисто математически обект, който математиците са създали, за да разширят концепцията за степен към цялото пространство на числата.

Между другото, в науката често се използва степен със сложен показател, тоест показателят дори не е реално число. Но в училище не мислим за такива трудности; вие ще имате възможност да разберете тези нови концепции в института.

Какво правим, ако видим ирационален показател? Опитваме се да се отървем от него! :)

Например:

Решете сами:

Отговори:

1. Нека си припомним формулата за разликата на квадратите. Отговор: .
2. Привеждаме дробите до една и съща форма: или двете десетични, или и двете обикновени. Получаваме например: .
3. Нищо специално, използваме обичайните свойства на градусите:

ОБОБЩЕНИЕ НА РАЗДЕЛА И ОСНОВНИ ФОРМУЛИ

Степеннаречен израз от формата: , където:

Степен с цяло число

степен, чийто показател е естествено число (т.е. цяло число и положително).

Степен с рационален показател

степен, чийто показател е отрицателни и дробни числа.

Степен с ирационален показател

степен, чийто показател е безкрайна десетична дроб или корен.

Свойства на степените

Характеристики на степените.

• Отрицателното число е повишено до дажестепен, - номер положителен.
• Отрицателното число е повишено до странностепен, - номер отрицателен.
• Положително число на каквато и да е степен е положително число.
• Нула е равна на всяка степен.
• Всяко число на нулева степен е равно.

СЕГА ИМАТЕ ДУМАТА...

Как ви харесва статията? Напишете по-долу в коментарите дали ви е харесало или не.

Разкажете ни за вашия опит с използването на свойства на степени.

Може би имате въпроси. Или предложения.

Пишете в коментарите.

И успех на изпитите!

Информационен бум В биологията - колонии от микроби в петриево блюдо Зайци в Австралия Верижни реакции - в химията Във физиката - радиоактивен разпад, промяна атмосферно наляганес промяна на надморската височина, охлаждане на тялото. Във физиката - радиоактивен разпад, промяна на атмосферното налягане с промяна на надморската височина, охлаждане на тялото. Изпускането на адреналин в кръвта и неговото унищожаване Те също твърдят, че количеството информация се удвоява на всеки 10 години.

(3/5) -1 a 1 3 1/2 (4/9) 0 a *81 (1/2) -3 a -n 36 1/2* 8 1/ /3 2 -3,5

Израз 2 x 2 2 =4 2 5 = = =1/2 4 =1/16 2 4/3 = 32 4 = .5 = 1/2 3.5 =1/2 7= 1/(8 2)= 2/ 16 2)=

3=1, … 1; 1,7 1,73; 1.732;1.73205; 1, ;… последователността се увеличава 2 1 ; 2 1,7; 2 1,73 ;2 1,732 ; 2 1.73205; 2 1, ;… последователността нараства Bounded, което означава, че се сближава до една граница - стойността 2 3

Може да се определи π 0

10 10 18 Свойства на функцията y = a x n \ n a >10 10 10 10 10 title="Свойства на функцията y = a x n \ n a >10 21

Количеството информация се удвоява на всеки 10 години По оста Окс - според закона на аритметичната прогресия: 1,2,3,4…. По оста Oy - съгласно закона геометрична прогресия: 2 1.2 2.2 3.2 4 ... Графика на експоненциална функция, нарича се експонента (от латинското exponere - показвам се)

Степен с рационален показател, нейните свойства.

Израз a n дефинирани за всички a и n, с изключение на случая на a=0 за n≤0. Нека си припомним свойствата на такива мощности.

За произволни числа a, b и произволни цели числа m и n са валидни равенствата:

A m *a n =a m+n; a m:a n =a m-n (a≠0); (a m) n = a mn; (ab) n = a n *b n; (b≠0); a 1 =a; a 0 =1 (a≠0).

Обърнете внимание и на следното свойство:

Ако m>n, тогава a m >a n за a>1 и a m<а n при 0<а<1.

В този раздел ще обобщим концепцията за степените на число, давайки значение на изрази от тип 2 0.3 , 8 5/7 , 4 -1/2 и т.н. Естествено е да се даде определение по такъв начин, че степените с рационални показатели да имат същите свойства (или поне част от тях) като степени с цяло число. След това, по-специално, n-та степен на числототрябва да е равно на aм . Действително, ако имотът

(a p) q = a pq

тогава се изпълнява

Последното равенство означава (по дефиниция на n-тия корен), че числототрябва да е n-ти корен от aм.

Определение.

Степента на число a>0 с рационален показател r=, където m е цяло число и n е естествено число (n > 1), е числото

И така, по дефиниция

(1)

Степента на 0 е дефинирана само за положителни показатели; по дефиниция 0 r = 0 за всяко r>0.

Степен с ирационален показател.

Ирационално числомогат да бъдат представени във форматаграница на поредица от рационални числа: .

Нека . След това има степени с рационален показател. Може да се докаже, че последователността на тези степени е сходяща. Границата на тази последователност се нарича степен с основа и ирационален показател: .

Нека начертаем няколко точки върху графиката на функцията y = 2х като предварително сте изчислили стойността 2 с помощта на калкулаторх върху отсечката [—2; 3] със стъпка 1/4 (фиг. 1, а), а след това със стъпка 1/8 (фиг. 1, б), като продължаваме мислено същите конструкции със стъпки 1/16, 1/32, и т.н. виждаме, че получените точки могат да бъдат свързани с гладка крива, която естествено може да се счита за графика на някаква функция, дефинирана и нарастваща по цялата числова ос и приемаща стойностив рационални точки(фиг. 1, в). След като изградих достатъчно голям бройточки на графиката на функцията, можете да се уверите, че тази функция има подобни свойства (разликата е, че функциятанамалява на R).

Тези наблюдения предполагат, че числата 2 могат да бъдат определени по този начинα и за всяко ирационално α, че функциите, дадени с формулите y=2 x и ще бъде непрекъсната, а функцията y=2х увеличава, а функциятанамалява по цялата числова ос.

Нека опишем в общи линии как се определя числото a α за ирационално α за a>1. Искаме да гарантираме, че функцията y = aх се увеличаваше. Тогава за всяко рационално r 1 и r 2 така, че r 1<αтрябва да удовлетворява неравенствата a r 1<а α <а r 1 .

Избор на r стойности 1 и r 2 приближавайки x, може да се забележи, че съответните стойности на a r 1 и a r 2 ще се различава малко. Може да се докаже, че съществува и само едно число y, което е по-голямо от всички a r 1 за всички рационални r 1 и най-малко a r 2 за всички рационални r 2 . Това число y по дефиниция е a α .

Например, като използвате калкулатор, за да изчислите стойността 2 x в точки x n и x` n, където x n и x` n - десетични приближения на числаще открием, че колкото по-близо е x n и x`n k , толкова по-малко се различават 2-те x n и 2 x` n.

От тогава

и следователно,

По същия начин, като се имат предвид следните десетични приближенияспоред недостига и излишъка стигаме до отношенията

;

;

;

;

.

Значение изчислено на калкулатора е:

.

Числото a се определя по подобен начин α за 0<α<1. Кроме того полагают 1 α =1 за всякакви α и 0α =0 за α>0.

Експоненциална функция.

При а > 0, а = 1, дефинирана функция y = a х, различна от константата. Тази функция се нарича експоненциална функцияс основаа.

г= а хпри а> 1:

Графики на експоненциални функции с основа 0< а < 1 и а> 1 са показани на фигурата.

Основни свойства на експоненциалната функция г= а хна 0< а < 1:

• Областта на дефиниране на функция е цялата числова ос.
• Функционален диапазон - интервал (0; + ) .
• Функцията нараства строго монотонно върху цялата числова ос, т.е. ако х 1 < x 2, тогава a x 1 >a x 2 .
• При х= 0 стойността на функцията е 1.
• Ако х> 0, след това 0< а < 1 и ако х < 0, то a x > 1.
ДО общи свойстваекспоненциална функция като при 0< a < 1, так и при a > 1 включват:
• а х 1 а х 2 = а х 1 + х 2, за всички х 1 И х 2.
• а − x= ( а х) − 1 = 1 ахза всеки х.
• па х= а

Степен с рационален показател, нейните свойства.

Израз a n дефинирани за всички a и n, с изключение на случая на a=0 за n≤0. Нека си припомним свойствата на такива мощности.

За произволни числа a, b и произволни цели числа m и n са валидни равенствата:

A m *a n =a m+n; a m:a n =a m-n (a≠0); (a m) n = a mn; (ab) n = a n *b n; (b≠0); a 1 =a; a 0 =1 (a≠0).

Обърнете внимание и на следното свойство:

Ако m>n, тогава a m >a n за a>1 и a m<а n при 0<а<1.

В този раздел ще обобщим концепцията за степените на число, давайки значение на изрази от тип 2 0.3 , 8 5/7 , 4 -1/2 и т.н. Естествено е да се даде определение по такъв начин, че степените с рационални показатели да имат същите свойства (или поне част от тях) като степени с цяло число. След това, по-специално, n-та степен на числототрябва да е равно на aм . Действително, ако имотът

(a p) q = a pq

тогава се изпълнява

Последното равенство означава (по дефиниция на n-тия корен), че числототрябва да е n-ти корен от aм.

Определение.

Степента на число a>0 с рационален показател r=, където m е цяло число и n е естествено число (n > 1), е числото

И така, по дефиниция

(1)

Степента на 0 е дефинирана само за положителни показатели; по дефиниция 0 r = 0 за всяко r>0.

Степен с ирационален показател.

Ирационално числомогат да бъдат представени във форматаграница на поредица от рационални числа: .

Нека . След това има степени с рационален показател. Може да се докаже, че последователността на тези степени е сходяща. Границата на тази последователност се нарича степен с основа и ирационален показател: .

Нека начертаем няколко точки върху графиката на функцията y = 2х като предварително сте изчислили стойността 2 с помощта на калкулаторх върху отсечката [—2; 3] със стъпка 1/4 (фиг. 1, а), а след това със стъпка 1/8 (фиг. 1, б), като продължаваме мислено същите конструкции със стъпки 1/16, 1/32, и т.н. виждаме, че получените точки могат да бъдат свързани с гладка крива, която естествено може да се счита за графика на някаква функция, дефинирана и нарастваща по цялата числова ос и приемаща стойностив рационални точки(фиг. 1, в). След като построите достатъчно голям брой точки върху графиката на функцията, можете да се уверите, че тази функция има подобни свойства (разликата е, че функциятанамалява на R).

Тези наблюдения предполагат, че числата 2 могат да бъдат определени по този начинα и за всяко ирационално α, че функциите, дадени с формулите y=2 x и ще бъде непрекъсната, а функцията y=2х увеличава, а функциятанамалява по цялата числова ос.

Нека опишем в общи линии как се определя числото a α за ирационално α за a>1. Искаме да гарантираме, че функцията y = aх се увеличаваше. Тогава за всяко рационално r 1 и r 2 така, че r 1<αтрябва да удовлетворява неравенствата a r 1<а α <а r 1 .

Избор на r стойности 1 и r 2 приближавайки x, може да се забележи, че съответните стойности на a r 1 и a r 2 ще се различава малко. Може да се докаже, че съществува и само едно число y, което е по-голямо от всички a r 1 за всички рационални r 1 и най-малко a r 2 за всички рационални r 2 . Това число y по дефиниция е a α .

Например, като използвате калкулатор, за да изчислите стойността 2 x в точки x n и x` n, където x n и x` n - десетични приближения на числаще открием, че колкото по-близо е x n и x`n k , толкова по-малко се различават 2-те x n и 2 x` n.

От тогава

и следователно,

По същия начин, като се имат предвид следните десетични приближенияспоред недостига и излишъка стигаме до отношенията

;

;

;

;

.

Значение изчислено на калкулатора е:

.

Числото a се определя по подобен начин α за 0<α<1. Кроме того полагают 1 α =1 за всякакви α и 0α =0 за α>0.

Експоненциална функция.

При а > 0, а = 1, дефинирана функция y = a х, различна от константата. Тази функция се нарича експоненциална функцияс основаа.

г= а хпри а> 1:

Графики на експоненциални функции с основа 0< а < 1 и а> 1 са показани на фигурата.

Основни свойства на експоненциалната функция г= а хна 0< а < 1:

• Областта на дефиниране на функция е цялата числова ос.
• Функционален диапазон - интервал (0; + ) .
• Функцията нараства строго монотонно върху цялата числова ос, т.е. ако х 1 < x 2, тогава a x 1 >a x 2 .
• При х= 0 стойността на функцията е 1.
• Ако х> 0, след това 0< а < 1 и ако х < 0, то a x > 1.
Към общите свойства на експоненциалната функция като при 0< a < 1, так и при a > 1 включват:
• а х 1 а х 2 = а х 1 + х 2, за всички х 1 И х 2.
• а − x= ( а х) − 1 = 1 ахза всеки х.
• па х= а