Ако за всяко естествено число н съответства на реално число a n , тогава казват, че се дава числова последователност :

а 1 , а 2 , а 3 , . . . , a n , . . . .

И така, числовата последователност е функция на естествения аргумент.

Номер а 1 Наречен първия член на последователността , номер а 2 — вторият член на последователността , номер а 3 — трети и така нататък. Номер a n Наречен n-ти членпоследователности , и естествено число н — номера му .

От два съседни члена a n И a n +1 член на последователността a n +1 Наречен последващи (към a n ), А a n — предишен (към a n +1 ).

За да дефинирате последователност, трябва да посочите метод, който ви позволява да намерите член на последователността с произволен номер.

Често последователността се определя с помощта на n-ти член формули , тоест формула, която ви позволява да определите член на последователност по неговия номер.

Например,

последователност от положителни нечетни числа може да бъде дадена чрез формулата

a n= 2н- 1,

и последователността на редуване 1 И -1 - формула

bн = (-1)н +1 . ◄

Последователността може да се определи повтаряща се формула, това е формула, която изразява който и да е член на последователността, започвайки с някои, през предишните (един или повече) членове.

Например,

Ако а 1 = 1 , А a n +1 = a n + 5

а 1 = 1,

а 2 = а 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

а 3 = а 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

а 4 = а 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

а 5 = а 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Ако а 1= 1, а 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , тогава първите седем члена на числовата последователност се установяват, както следва:

а 1 = 1,

а 2 = 1,

а 3 = а 1 + а 2 = 1 + 1 = 2,

а 4 = а 2 + а 3 = 1 + 2 = 3,

а 5 = а 3 + а 4 = 2 + 3 = 5,

а 6 = а 4 + а 5 = 3 + 5 = 8,

а 7 = а 5 + а 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Последователностите могат да бъдат финал И безкраен .

Последователността се нарича крайна , ако има краен брой членове. Последователността се нарича безкраен , ако има безкрайно много членове.

Например,

поредица от двуцифрени естествени числа:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

финал.

Последователност от прости числа:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

безкраен. ◄

Последователността се нарича повишаване на , ако всеки от неговите членове, започвайки от втория, е по-голям от предходния.

Последователността се нарича намаляващи , ако всеки от неговите членове, започвайки от втория, е по-малък от предходния.

Например,

2, 4, 6, 8, . . . , 2н, . . . — нарастваща последователност;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /н, . . . — намаляваща последователност. ◄

Нарича се последователност, чиито елементи не намаляват с увеличаване на броя или, обратно, не се увеличават монотонна последователност .

Монотонните последователности, по-специално, са нарастващи последователности и намаляващи последователности.

Аритметична прогресия

Аритметична прогресия е последователност, в която всеки член, започвайки от втория, е равен на предходния, към който се добавя същото число.

а 1 , а 2 , а 3 , . . . , a n, . . .

е аритметична прогресия, ако има такава естествено число н условието е изпълнено:

a n +1 = a n + д,

Където д - определено число.

По този начин разликата между последващите и предишните термини на дадено аритметична прогресиявинаги постоянен:

а 2 - а 1 = а 3 - а 2 = . . . = a n +1 - a n = д.

Номер д Наречен разлика в аритметичната прогресия.

За да се дефинира аритметична прогресия, достатъчно е да се посочи нейният първи член и разлика.

Например,

Ако а 1 = 3, д = 4 , тогава намираме първите пет члена на редицата, както следва:

а 1 =3,

а 2 = а 1 + д = 3 + 4 = 7,

а 3 = а 2 + д= 7 + 4 = 11,

а 4 = а 3 + д= 11 + 4 = 15,

а 5 = а 4 + д= 15 + 4 = 19. ◄

За аритметична прогресия с първия член а 1 и разликата д нея н

a n = а 1 + (н- 1)д.

Например,

намерете тридесетия член на аритметичната прогресия

1, 4, 7, 10, . . .

а 1 =1, д = 3,

а 30 = а 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = а 1 + (н- 2)д,

a n= а 1 + (н- 1)д,

a n +1 = а 1 + nd,

тогава очевидно

Всеки член на аритметична прогресия, започвайки от втория, е равен на средноаритметичното на предходния и следващите членове.

числата a, b и c са последователни членове на някаква аритметична прогресия тогава и само ако едно от тях е равно на средното аритметично на другите две.

Например,

a n = 2н- 7 , е аритметична прогресия.

Нека използваме горното твърдение. Ние имаме:

a n = 2н- 7,

a n-1 = 2(н- 1) - 7 = 2н- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2н- 5.

следователно

◄

Забележи, че н Членът на аритметичната прогресия може да бъде намерен не само чрез а 1 , но и всички предишни a k

a n = a k + (н- к)д.

Например,

За а 5 може да се запише

а 5 = а 1 + 4д,

а 5 = а 2 + 3д,

а 5 = а 3 + 2д,

а 5 = а 4 + д. ◄

a n = а н-к + kd,

a n = a n+k - kd,

тогава очевидно

всеки член на аритметична прогресия, започвайки от втория, е равен на половината от сбора на еднакво разположените членове на тази аритметична прогресия.

В допълнение, за всяка аритметична прогресия е валидно следното равенство:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Например,

в аритметична прогресия

1) а 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (а 9 + а 11 )/2;

2) 28 = а 10 = а 3 + 7д= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) а 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, защото

а 2 + а 12= 4 + 34 = 38,

5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,

първи н членове на аритметична прогресия е равен на произведението на половината от сумата на екстремните членове и броя на членовете:

От тук по-специално следва, че ако трябва да сумирате условията

a k, a k +1 , . . . , a n,

тогава предишната формула запазва своята структура:

Например,

в аритметична прогресия 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

С 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = С 10 - С 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Ако е дадена аритметична прогресия, тогава количествата а 1 , a n, д, нИС н свързани с две формули:

Следователно, ако са дадени стойностите на три от тези величини, тогава съответните стойности на другите две величини се определят от тези формули, комбинирани в система от две уравнения с две неизвестни.

Аритметичната прогресия е монотонна последователност. при което:

• Ако д > 0 , след това се увеличава;
• Ако д < 0 , тогава намалява;
• Ако д = 0 , тогава последователността ще бъде неподвижна.

Геометрична прогресия

Геометрична прогресия е последователност, в която всеки член, започвайки от втория, е равен на предходния, умножен по същото число.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

е геометрична прогресия, ако за всяко естествено число н условието е изпълнено:

b n +1 = b n · р,

Където р ≠ 0 - определено число.

Така съотношението на следващия член на дадена геометрична прогресия към предходния е постоянно число:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = р.

Номер р Наречен знаменател на геометричната прогресия.

За да се определи геометрична прогресия, достатъчно е да се посочи нейният първи член и знаменател.

Например,

Ако b 1 = 1, р = -3 , тогава намираме първите пет члена на редицата, както следва:

b 1 = 1,

б 2 = b 1 · р = 1 · (-3) = -3,

б 3 = б 2 · р= -3 · (-3) = 9,

b 4 = б 3 · р= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · р= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 и знаменател р нея н Терминът може да се намери с помощта на формулата:

b n = b 1 · qn -1 .

Например,

намерете седмия член на геометричната прогресия 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, р = 2,

b 7 = b 1 · р 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = b 1 · qn,

тогава очевидно

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

всеки член на геометричната прогресия, започвайки от втория, е равен на средното геометрично (пропорционално) на предходния и следващите членове.

Тъй като обратното също е вярно, следва следното твърдение:

числата a, b и c са последователни членове на някаква геометрична прогресия тогава и само ако квадратът на едно от тях е равен на произведението на другите две, т.е. едно от числата е средно геометрично на другите две.

Например,

Нека докажем, че последователността, дадена от формулата b n= -3 2 н , е геометрична прогресия. Нека използваме горното твърдение. Ние имаме:

b n= -3 2 н,

b n -1 = -3 2 н -1 ,

b n +1 = -3 2 н +1 .

следователно

b n 2 = (-3 2 н) 2 = (-3 2 н -1 ) · (-3 · 2 н +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

което доказва желаното твърдение. ◄

Забележи, че н Членът на геометричната прогресия може да се намери не само чрез b 1 , но и всеки предишен член b k , за което е достатъчно да използвате формулата

b n = b k · qn - к.

Например,

За b 5 може да се запише

б 5 = b 1 · р 4 ,

б 5 = б 2 · р 3,

б 5 = б 3 · р 2,

б 5 = b 4 · р. ◄

b n = b k · qn - к,

b n = b n - к · q k,

тогава очевидно

b n 2 = b n - к· b n + к

квадратът на всеки член на геометрична прогресия, започвайки от втория, е равен на произведението на членовете на тази прогресия, равноотдалечени от нея.

Освен това за всяка геометрична прогресия е вярно равенството:

b m· b n= b k· b l,

м+ н= к+ л.

Например,

в геометрична прогресия

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · р 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , защото

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

първи н членове на геометрична прогресия със знаменател р ≠ 0 изчислено по формулата:

И когато р = 1 - по формулата

S n= nb 1

Имайте предвид, че ако трябва да сумирате условията

b k, b k +1 , . . . , b n,

тогава се използва формулата:

Например,

в геометрична прогресия 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

С 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = С 10 - С 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Ако е дадена геометрична прогресия, тогава количествата b 1 , b n, р, нИ S n свързани с две формули:

Следователно, ако са дадени стойностите на всеки три от тези количества, тогава съответните стойности на другите две количества се определят от тези формули, комбинирани в система от две уравнения с две неизвестни.

За геометрична прогресия с първия член b 1 и знаменател р се случва следното свойства на монотонност :

• прогресията се увеличава, ако е изпълнено едно от следните условия:

b 1 > 0 И р> 1;

b 1 < 0 И 0 < р< 1;

• Прогресията намалява, ако е изпълнено едно от следните условия:

b 1 > 0 И 0 < р< 1;

b 1 < 0 И р> 1.

Ако р< 0 , тогава геометричната прогресия се редува: нейните членове с нечетни числа имат същия знак като първия й член, а членовете с четни числа имат противоположен знак. Ясно е, че променливата геометрична прогресия не е монотонна.

Продукт на първия н членовете на геометрична прогресия могат да се изчислят по формулата:

Пн= b 1 · б 2 · б 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) н / 2 .

Например,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Безкрайно намаляваща геометрична прогресия

Безкрайно намаляваща геометрична прогресия наречена безкрайна геометрична прогресия, чийто модул на знаменателя е по-малък 1 , това е

|р| < 1 .

Имайте предвид, че една безкрайно намаляваща геометрична прогресия може да не е намаляваща последователност. Подходящ е за случая

1 < р< 0 .

При такъв знаменател последователността е променлива. Например,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Сумата от безкрайно намаляваща геометрична прогресия назовете числото, към което сумата от първите се приближава неограничено н членове на прогресия с неограничено увеличение на броя н . Това число винаги е крайно и се изразява с формулата

Например,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Връзка между аритметична и геометрична прогресии

Аритметичната и геометричната прогресия са тясно свързани. Нека да разгледаме само два примера.

а 1 , а 2 , а 3 , . . . д , Че

б а 1 , б а 2 , б а 3 , . . . b d .

Например,

1, 3, 5, . . . - аритметична прогресия с разлика 2 И

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - геометрична прогресия със знаменател 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - геометрична прогресия със знаменател р , Че

дневник a b 1, дневник a b 2, дневник a b 3, . . . - аритметична прогресия с разлика дневник ар .

Например,

2, 12, 72, . . . - геометрична прогресия със знаменател 6 И

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - аритметична прогресия с разлика lg 6 . ◄

Математиката е каквохората контролират природата и себе си.

Съветският математик, академик А.Н. Колмогоров

Геометрична прогресия.

Наред със задачите върху аритметичните прогресии, задачите, свързани с понятието геометрична прогресия, също са често срещани при приемните изпити по математика. За да разрешите успешно такива задачи, трябва да знаете свойствата на геометричните прогресии и да имате добри умения за използването им.

Тази статия е посветена на представянето на основните свойства на геометричната прогресия. Тук са дадени и примери за решаване на типични проблеми., заимствани от задачите на приемните изпити по математика.

Нека първо да отбележим основните свойства на геометричната прогресия и да си припомним най-важните формули и твърдения, свързани с това понятие.

Определение.Числовата редица се нарича геометрична прогресия, ако всяко число, започвайки от второто, е равно на предишното, умножено по същото число. Числото се нарича знаменател на геометрична прогресия.

За геометричната прогресияформулите са валидни

, (1)

Където . Формула (1) се нарича формула на общия член на геометрична прогресия, а формула (2) представлява основното свойство на геометрична прогресия: всеки член на прогресията съвпада със средното геометрично на съседните му членове и .

Забележка, че именно поради това свойство въпросната прогресия се нарича „геометрична“.

Горните формули (1) и (2) са обобщени, както следва:

, (3)

За изчисляване на суматапърви членове на геометрична прогресиясе прилага формулата

Ако означим , тогава

Където . Тъй като , формула (6) е обобщение на формула (5).

В случай, когато и геометрична прогресиябезкрайно намалява. За изчисляване на суматана всички членове на безкрайно намаляваща геометрична прогресия се използва формулата

. (7)

Например , използвайки формула (7), можем да покажем, Какво

Където . Тези равенства се получават от формула (7) при условие, че , (първо равенство) и , (второ равенство).

Теорема.Ако , тогава

Доказателство. Ако , тогава

Теоремата е доказана.

Нека да преминем към разглеждане на примери за решаване на задачи по темата „Геометрична прогресия“.

Пример 1.Дадено е: , и . Намирам .

Решение.Ако приложим формула (5), тогава

Отговор: .

Пример 2.Нека бъде. Намирам .

Решение.Тъй като и , използваме формули (5), (6) и получаваме система от уравнения

Ако второто уравнение на системата (9) се раздели на първото, тогава или . От това следва, че . Нека разгледаме два случая.

1. Ако, тогава от първото уравнение на системата (9) имаме.

2. Ако , то .

Пример 3.Нека и . Намирам .

Решение.От формула (2) следва, че или . Тъй като , тогава или .

По условие. Въпреки това, следователно. Тъй като и тогава тук имаме система от уравнения

Ако второто уравнение на системата се раздели на първото, тогава или .

Тъй като уравнението има уникален подходящ корен. В този случай това следва от първото уравнение на системата.

Като вземем предвид формула (7), получаваме.

Отговор: .

Пример 4.Дадено: и . Намирам .

Решение.От тогава.

Тъй като , тогава или

Съгласно формула (2) имаме . В тази връзка от равенството (10) получаваме или .

Въпреки това, по условие, следователно.

Пример 5.Известно е, че. Намирам .

Решение. Според теоремата имаме две равенства

Тъй като , тогава или . Защото тогава.

Отговор: .

Пример 6.Дадено: и . Намирам .

Решение.Като вземем предвид формула (5), получаваме

От тогава. Тъй като , и , тогава .

Пример 7.Нека бъде. Намирам .

Решение.Според формула (1) можем да запишем

Следователно имаме или . Известно е, че и , следователно и .

Отговор: .

Пример 8.Намерете знаменателя на безкрайна намаляваща геометрична прогресия, ако

И .

Решение. От формула (7) следваИ . От тук и от условията на задачата получаваме система от уравнения

Ако първото уравнение на системата е повдигнато на квадрат, и след това разделете полученото уравнение на второто уравнение, тогава получаваме

Или .

Отговор: .

Пример 9.Намерете всички стойности, за които последователността , , е геометрична прогресия.

Решение.Нека и . Съгласно формула (2), която определя основното свойство на геометрична прогресия, можем да напишем или .

От тук получаваме квадратното уравнение, чиито корени саИ .

Да проверим: дали, тогава и ; ако , тогава и .

В първия случай имамеи , а във втория – и .

Отговор: , .

Пример 10.Решете уравнението

, (11)

където и .

Решение. Лявата страна на уравнение (11) е сумата от безкрайна намаляваща геометрична прогресия, в която и , предмет на: и .

От формула (7) следва, Какво . В тази връзка уравнение (11) приема форматаили . Подходящ корен квадратно уравнениее

Отговор: .

Пример 11.П последователност от положителни числаобразува аритметична прогресия, А – геометрична прогресия, какво общо има с . Намирам .

Решение.защото аритметична редица, Че (основното свойство на аритметичната прогресия). Тъй като, тогава или . Това предполага , че геометричната прогресия има формата. Според формула (2), тогава записваме това.

Тъй като и , тогава . В този случай изразътприема формата или . По условие, така че от ур.получаваме единствено решениеразглеждан проблем, т.е. .

Отговор: .

Пример 12.Изчислете сумата

. (12)

Решение. Умножете двете страни на равенството (12) по 5 и получете

Ако извадим (12) от получения израз, Че

или .

За да изчислим, заместваме стойностите във формула (7) и получаваме. От тогава.

Отговор: .

Дадените тук примери за решаване на задачи ще бъдат полезни на кандидатите при подготовката им за приемни изпити. За по-задълбочено изучаване на методите за решаване на проблеми, свързани с геометричната прогресия, може да се използва учебни помагалаот списъка с препоръчителна литература.

1. Колекция от задачи по математика за кандидати в колежи / Изд. M.I. Сканави. – М.: Мир и образование, 2013. – 608 с.

2. Супрун В.П. Математика за гимназисти: допълнителни раздели училищна програма. – М.: Lenand / URSS, 2014. – 216 с.

3. Медински М.М. Пълен курс елементарна математикав задачи и упражнения. Книга 2: Числови последователности и прогресии. – М.: Едитус, 2015. – 208 с.

Все още имате въпроси?

За да получите помощ от преподавател, регистрирайте се.

уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.

вече в Древен Египетпознаваше не само аритметиката, но и геометричната прогресия. Ето например една задача от папируса на Ринд: „Седем лица имат седем котки; Всяка котка изяжда седем мишки, всяка мишка изяжда седем класа царевица и от всеки клас ечемик могат да растат седем мери ечемик. Колко големи са числата в тази серия и тяхната сума?

Ориз. 1. Задача на древноегипетската геометрична прогресия

Тази задача е била повтаряна много пъти с различни вариации сред други народи по друго време. Например, в писмена през 13 век. „Книгата на абака“ от Леонардо от Пиза (Фибоначи) има проблем, в който се появяват 7 стари жени на път за Рим (очевидно поклонници), всяка от които има 7 мулета, всяко от които има 7 чанти, всяка от които съдържа 7 хляба, всеки от които има 7 ножа, всеки от които има 7 ножници. Проблемът пита колко обекта има.

Сумата от първите n члена на геометричната прогресия S n = b 1 (q n – 1) / (q – 1) . Тази формула може да бъде доказана например по следния начин: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1.

Добавете числото b 1 q n към S n и получете:

От тук S n (q – 1) = b 1 (q n – 1) и получаваме необходимата формула.

Вече върху една от глинените плочки на Древен Вавилон, датираща от 6 век. пр.н.е д., съдържа сумата 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 – 1. Вярно е, че както в редица други случаи, ние не знаем как този факт е бил известен на вавилонците .

Бързото нарастване на геометричната прогресия в редица култури, по-специално в индийската, многократно се използва като визуален символ на необятността на Вселената. В известната легенда за появата на шаха владетелят дава възможност на изобретателя му сам да избере наградата и пита за броя на пшеничните зърна, които ще се получат, ако едно се постави на първото поле на шахматната дъска, две на второто, четири на третото, осем на четвъртото и т.н., всеки път, когато числото се удвоява. Владика мислеше така ние говорим за, най-много около няколко торби, но той сгреши. Лесно е да се види, че за всичките 64 квадрата на шахматната дъска изобретателят би трябвало да получи (2 64 - 1) зърна, което се изразява като 20-цифрено число; дори и цялата повърхност на Земята да бъде засята, ще са необходими поне 8 години, за да се събере необходимото количество зърна. Тази легенда понякога се тълкува като посочваща практически неограничените възможности, скрити в играта на шах.

Лесно се вижда, че това число наистина е 20-цифрено:

2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1,6∙10 19 (по-точно изчисление дава 1,84∙10 19). Но се чудя дали можете да разберете с коя цифра завършва това число?

Геометричната прогресия може да бъде нарастваща, ако знаменателят е по-голям от 1, или намаляваща, ако е по-малък от едно. В последния случай числото q n за достатъчно голямо n може да стане произволно малко. Докато нарастващата геометрична прогресия се увеличава неочаквано бързо, намаляващата геометрична прогресия намалява също толкова бързо.

Колкото по-голямо е n, толкова по-слабо числото q n се различава от нула и колкото по-близо е сумата от n члена на геометричната прогресия S n = b 1 (1 – q n) / (1 – q) до числото S = b 1 / ( 1 – р). (Например Ф. Виет разсъждава по този начин). Числото S се нарича сбор от безкрайно намаляваща геометрична прогресия. Въпреки това, в продължение на много векове въпросът какъв е смисълът от сумирането на ЦЯЛАТА геометрична прогресия, с нейния безкраен брой членове, не беше достатъчно ясен за математиците.

Намаляваща геометрична прогресия може да се види например в апориите на Зенон „Половин деление“ и „Ахил и костенурката“. В първия случай е ясно показано, че целият път (приемайки дължина 1) е сбор от безкраен брой сегменти 1/2, 1/4, 1/8 и т.н. Това, разбира се, е случаят от гледната точка на идеите за крайна сума безкрайна геометрична прогресия. И все пак - как е възможно това?

В апорията за Ахил ситуацията е малко по-сложна, защото тук знаменателят на прогресията не е 1/2, а някакво друго число. Нека например Ахил тича със скорост v, костенурката се движи със скорост u, а началното разстояние между тях е l. Ахил ще измине това разстояние за време l/v, а през това време костенурката ще измине разстояние lu/v. Когато Ахил пробяга този сегмент, разстоянието между него и костенурката ще стане равно на l (u /v) 2 и т.н. Оказва се, че настигането на костенурката означава намиране на сумата от безкрайно намаляваща геометрична прогресия с първия член l и знаменателят u /v. Тази сума - отсечката, която Ахил в крайна сметка ще пробяга до мястото на срещата с костенурката - е равна на l / (1 – u /v) = lv / (v – u). Но отново, как трябва да се тълкува този резултат и защо изобщо има смисъл? за дълго времене беше много ясно.

Архимед използва сумата от геометрична прогресия, за да определи площта на сегмент от парабола. Нека този сегмент от параболата е ограничен от хордата AB и нека допирателната в точка D на параболата е успоредна на AB. Нека C е средата на AB, E е средата на AC, F е средата на CB. Нека начертаем прави, успоредни на DC през точки A, E, F, B; Нека допирателната, начертана в точка D, пресича тези прави в точки K, L, M, N. Нека начертаем и сегменти AD и DB. Нека правата EL пресича правата AD в точка G и параболата в точка H; правата FM пресича правата DB в точка Q и параболата в точка R. Според общата теория на коничните сечения DC е диаметърът на парабола (т.е. сегмент, успореден на нейната ос); тя и допирателната в точка D могат да служат като координатни оси x и y, в които уравнението на параболата се записва като y 2 = 2px (x е разстоянието от D до всяка точка с даден диаметър, y е дължината на сегмент, успореден на дадена допирателна от тази точка на диаметъра до някаква точка на самата парабола).

По силата на уравнението на параболата DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH, DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA и тъй като DK = 2DL, тогава KA = 4LH. Тъй като KA = 2LG, LH = HG. Площта на сегмента ADB на парабола е равна на площта на триъгълника ΔADB и площите на сегментите AHD и DRB взети заедно. От своя страна, площта на сегмента AHD е равна на площта на триъгълника AHD и останалите сегменти AH и HD, с всеки от които можете да извършите една и съща операция - разделяне на триъгълник (Δ) и двата останали сегмента () и т.н.:

Площта на триъгълника ΔAHD е равна на половината от площта на триъгълника ΔALD (те имат обща основа AD, а височините се различават 2 пъти), което от своя страна е равно на половината от площта на ​​триъгълника ΔAKD и следователно половината от площта на триъгълника ΔACD. Така площта на триъгълника ΔAHD е равна на една четвърт от площта на триъгълника ΔACD. По същия начин площта на триъгълника ΔDRB е равна на една четвърт от площта на триъгълника ΔDFB. И така, площите на триъгълниците ΔAHD и ΔDRB, взети заедно, са равни на една четвърт от площта на триъгълника ΔADB. Повтарянето на тази операция, когато се прилага към сегменти AH, HD, DR и RB, ще избере триъгълници от тях, чиято площ, взети заедно, ще бъде 4 пъти по-малка от площта на триъгълниците ΔAHD и ΔDRB, взети заедно, и следователно 16 пъти по-малко от площта на триъгълника ΔADB. И така нататък:

Така Архимед доказва, че „всеки сегмент, съдържащ се между права линия и парабола, съставлява четири трети от триъгълник с еднаква основа и еднаква височина“.

Геометричната прогресия, заедно с аритметиката, е важен числов ред, който се изучава училищен курсалгебра в 9 клас. В тази статия ще разгледаме знаменателя на геометрична прогресия и как стойността му влияе върху свойствата му.

Дефиниция на геометрична прогресия

Първо, нека дадем определението на тази числова серия. Геометричната прогресия е поредица от рационални числа, която се формира чрез последователно умножаване на първия й елемент по постоянно число, наречено знаменател.

Например числата в редицата 3, 6, 12, 24, ... са геометрична прогресия, защото ако умножите 3 (първия елемент) по 2, получавате 6. Ако умножите 6 по 2, получавате 12 и така нататък.

Членовете на разглежданата редица обикновено се означават със символа ai, където i е цяло число, указващо номера на елемента в серията.

Горната дефиниция на прогресията може да бъде написана на математически език, както следва: an = bn-1 * a1, където b е знаменателят. Лесно е да проверите тази формула: ако n = 1, тогава b1-1 = 1 и получаваме a1 = a1. Ако n = 2, тогава an = b * a1 и отново стигаме до дефиницията на въпросната редица от числа. Подобни разсъждения могат да бъдат продължени за големи стойностин.

Знаменател на геометричната прогресия

Числото b напълно определя какъв характер ще има цялата редица от числа. Знаменателят b може да бъде положителен, отрицателен или по-голям или по-малък от едно. Всички горепосочени опции водят до различни последователности:

• b > 1. Има нарастваща серия от рационални числа. Например 1, 2, 4, 8, ... Ако елемент a1 е отрицателен, тогава цялата последователност ще се увеличи само по абсолютна стойност, но ще намалее в зависимост от знака на числата.
• b = 1. Често този случай не се нарича прогресия, тъй като има обикновена поредица от еднакви рационални числа. Например -4, -4, -4.

Формула за количество

Преди да разгледаме специфични задачиИзползвайки знаменателя на разглеждания тип прогресия, трябва да се даде важна формула за сумата от нейните първи n елемента. Формулата изглежда така: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Можете сами да получите този израз, ако разгледате рекурсивната последователност от членове на прогресията. Също така имайте предвид, че в горната формула е достатъчно да знаете само първия елемент и знаменателя, за да намерите сумата произволен бройчленове.

Безкрайно намаляваща последователност

По-горе беше дадено обяснение какво представлява. Сега, знаейки формулата за Sn, нека я приложим към тази редица от числа. Тъй като всяко число, чийто модул не надвишава 1, клони към нула, когато се повиши до големи степени, т.е. b∞ => 0, ако -1

Тъй като разликата (1 - b) винаги ще бъде положителна, независимо от стойността на знаменателя, знакът на сумата на безкрайно намаляваща геометрична прогресия S∞ се определя еднозначно от знака на нейния първи елемент a1.

Сега нека разгледаме няколко задачи, в които ще покажем как да приложим придобитите знания върху конкретни числа.

Задача № 1. Изчисляване на неизвестни елементи на прогресия и сбор

При дадена геометрична прогресия знаменателят на прогресията е 2, а нейният първи елемент е 3. На какво ще бъдат равни нейните 7-ми и 10-ти член и на каква е сумата от седемте й начални елемента?

Условието на задачата е съвсем просто и включва директното използване на горните формули. И така, за да изчислим номер на елемент n, използваме израза an = bn-1 * a1. За 7-ия елемент имаме: a7 = b6 * a1, като заместваме известните данни, получаваме: a7 = 26 * 3 = 192. Правим същото за 10-ия член: a10 = 29 * 3 = 1536.

Нека използваме добре познатата формула за сумата и да определим тази стойност за първите 7 елемента от редицата. Имаме: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Задача № 2. Определяне на сумата от произволни елементи на прогресия

Нека -2 е равно на знаменателя на геометричната прогресия bn-1 * 4, където n е цяло число. Необходимо е да се определи сумата от 5-ти до 10-ти елемент от тази серия включително.

Поставеният проблем не може да бъде решен директно с помощта на известни формули. Може да се реши по 2 начина различни методи. За пълнота на представяне на темата представяме и двете.

Метод 1. Идеята е проста: трябва да изчислите двете съответстващи суми на първите членове и след това да извадите другата от едната. Изчисляваме по-малката сума: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Сега изчисляваме по-голямата сума: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Обърнете внимание, че в последния израз бяха сумирани само 4 члена, тъй като 5-ият вече е включен в сумата, която трябва да се изчисли според условията на проблема. Накрая вземаме разликата: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

Метод 2. Преди да заместите числата и да броите, можете да получите формула за сумата между m и n члена на въпросната серия. Правим точно същото като в метод 1, само че първо работим със символното представяне на сумата. Имаме: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Можете да замените известни числа в получения израз и да изчислите крайния резултат: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Задача № 3. Какво е знаменателят?

Нека a1 = 2, намерете знаменателя на геометричната прогресия, при условие че нейният безкраен сбор е 3, а е известно, че това е намаляваща редица от числа.

Въз основа на условията на проблема не е трудно да се познае коя формула трябва да се използва за решаването му. Разбира се, за безкрайно намаляващата сума на прогресията. Имаме: S∞ = a1 / (1 - b). Откъдето изразяваме знаменателя: b = 1 - a1 / S∞. Остава да заменим известните стойности и да получим необходимото число: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 или -0,333(3). Можем да проверим качествено този резултат, ако помним, че за този тип последователност модулът b не трябва да надхвърля 1. Както може да се види, |-1 / 3|

Задача № 4. Възстановяване на редица от числа

Нека са дадени 2 елемента от числова серия, например 5-ият е равен на 30, а 10-ият е равен на 60. Необходимо е да се възстанови цялата серия от тези данни, като се знае, че тя отговаря на свойствата на геометрична прогресия.

За да решите задачата, първо трябва да запишете съответния израз за всеки известен член. Имаме: a5 = b4 * a1 и a10 = b9 * a1. Сега разделете втория израз на първия, получаваме: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Оттук определяме знаменателя, като вземаме корен пети от съотношението на членовете, известни от постановката на проблема, b = 1,148698. Заместваме полученото число в един от изразите за известния елемент, получаваме: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.

Така намерихме знаменателя на прогресията bn и геометричната прогресия bn-1 * 17.2304966 = an, където b = 1.148698.

Къде се използват геометричните прогресии?

Ако нямаше практическо приложение на тази редица от числа, тогава нейното изследване би се свело до чисто теоретичен интерес. Но такова приложение съществува.

По-долу са 3-те най-известни примера:

• Парадоксът на Зенон, в който пъргавият Ахил не може да настигне бавната костенурка, е разрешен с помощта на концепцията за безкрайно намаляваща последователност от числа.
• Ако поставите пшенични зърна на всяко поле на шахматната дъска, така че на 1-во поле да поставите 1 зърно, на 2-ро - 2, на 3-то - 3 и т.н., тогава за да запълните всички полета на дъската, ще ви трябва 18446744073709551615 зърна!
• В играта "Ханойската кула", за да преместите дискове от една пръчка на друга, е необходимо да извършите 2n - 1 операции, тоест техният брой нараства експоненциално с броя на използваните дискове n.

Формулата за n-тия член на геометрична прогресия е много проста. И като смисъл, и като общ вид. Но във формулата на n-ия член има всякакви проблеми - от много примитивни до доста сериозни. И в процеса на нашето запознанство определено ще разгледаме и двете. Е, да се запознаем?)

И така, да започнем с това, всъщност формулан

Ето я:

b n = b 1 · qn -1

Формулата е просто формула, нищо свръхестествено. Изглежда дори по-просто и по-компактно от подобна формула за. Значението на формулата също е толкова просто, колкото плъстени ботуши.

Тази формула ви позволява да намерите ВСЕКИ член на геометрична прогресия ПО НЕГОВИЯ НОМЕР " н".

Както можете да видите, смисълът е пълна аналогия с аритметична прогресия. Знаем числото n - можем също да преброим члена под това число. Който си поискаме. Без многократно умножаване по "q" много, много пъти. Това е целият смисъл.)

Разбирам, че на това ниво на работа с прогресии, всички количества, включени във формулата, вече трябва да са ви ясни, но все пак считам за свой дълг да дешифрирам всяка една. За всеки случай.

И така, започваме:

b 1 – първичлен на геометричната прогресия;

р – ;

н– членски номер;

b n – n-ти (нта)член на геометрична прогресия.

Тази формула свързва четирите основни параметъра на всяка геометрична прогресия - bн, b 1 , рИ н. И всички проблеми с прогресията се въртят около тези четири ключови фигури.

„Как се премахва?“– Чувам любопитен въпрос... Елементарно! Виж!

Какво е равно на второчлен на прогресията? Няма проблем! Пишем директно:

b 2 = b 1 ·q

Ами третият член? Също така не е проблем! Умножаваме втория член още веднъж нар.

Като този:

B 3 = b 2 q

Нека сега си припомним, че вторият член от своя страна е равен на b 1 ·q и заместваме този израз в нашето равенство:

B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2

Получаваме:

б 3 = b 1 ·q 2

Сега нека прочетем нашия запис на руски: третичлен е равен на първия член, умножен по q in второстепени. Схващаш ли? Все още не? Добре, още една стъпка.

Какъв е четвъртият член? Все същото! Умножете предишен(т.е. трети член) на q:

B 4 = b 3 q = (b 1 q 2) q = b 1 q 2 q = b 1 q 3

Обща сума:

б 4 = b 1 ·q 3

И отново превеждаме на руски: четвърточлен е равен на първия член, умножен по q in третистепени.

И така нататък. Е, как е? Хванахте ли модела? да За всеки член с произволно число, броят на еднаквите множители q (т.е. степента на знаменателя) винаги ще бъде с един по-малко от броя на желания членн.

Следователно нашата формула ще бъде без опции:

b n =b 1 · qn -1

Това е всичко.)

Е, нека решим проблемите, предполагам?)

Решаване на задачи с формулинчлен на геометрична прогресия.

Нека започнем, както обикновено, с директното прилагане на формулата. Ето един типичен проблем:

В геометричната прогресия е известно, че b 1 = 512 и р = -1/2. Намерете десетия член на прогресията.

Разбира се, този проблем може да бъде решен без никакви формули. Директно в смисъла на геометричната прогресия. Но трябва да загреем с формулата на n-тия член, нали? Тук загряваме.

Нашите данни за прилагане на формулата са както следва.

Първият член е известен. Това е 512.

b 1 = 512.

Известен е и знаменателят на прогресията: р = -1/2.

Всичко, което остава, е да разберем какъв е броят на членовете n. Няма проблем! Интересуваме ли се от десетия мандат? Така че заместваме десет вместо n в общата формула.

И внимателно изчислете аритметиката:

Отговор: -1

Както можете да видите, десетият член на прогресията се оказа минус. Нищо изненадващо: нашият знаменател на прогресията е -1/2, т.е. отрицателенномер. И това ни казва, че признаците на нашата прогресия се редуват, да.)

Тук всичко е просто. Ето подобна задача, но малко по-сложна откъм изчисления.

В геометричната прогресия е известно, че:

b 1 = 3

Намерете тринадесетия член на прогресията.

Всичко е същото, само че този път знаменателят на прогресията е ирационален. Корен от две. Е, това е добре. Формулата е универсално нещо, може да се справи с всякакви числа.

Ние работим директно по формулата:

Формулата, разбира се, проработи както трябва, но... тук някои хора се спъват. Какво да правя след това с рута? Как да повдигнем корен на дванадесета степен?

Как-как... Трябва да разберете, че всяка формула, разбира се, е нещо добро, но познанията по цялата предишна математика не се отменят! Как да изградим? Да, запомнете свойствата на градусите! Нека превърнем корена в дробна степени – по формулата за повдигане на степен на степен.

Като този:

Отговор: 192

И това е всичко.)

Каква е основната трудност при директното прилагане на формулата за n-тия член? да Основната трудност е работа с дипломи!А именно, степенуване отрицателни числа, дроби, корени и подобни структури. Така че тези, които имат проблеми с това, моля, повторете степените и техните свойства! Иначе ще забавите и тази тема, да...)

Сега нека разрешим типични проблеми с търсенето един от елементите на формулата, ако са дадени всички останали. За успешно решаване на такива проблеми рецептата е еднообразна и ужасно проста - напишете формулатанти член в общ изглед! Точно в тетрадката до условието. И тогава от условието разбираме какво ни е дадено и какво липсва. И изразяваме от формулата необходимата стойност. Всичко!

Например такъв безвреден проблем.

Петият член на геометрична прогресия със знаменател 3 е 567. Намерете първия член на тази прогресия.

Нищо сложно. Работим директно според заклинанието.

Нека напишем формулата за n-тия член!

b n = b 1 · qn -1

Какво ни е дадено? Първо се дава знаменателят на прогресията: р = 3.

Освен това ни е дадено пети член: b 5 = 567 .

Всичко? Не! Даден ни е и номер n! Това е пет: n = 5.

Надявам се, че вече разбирате какво има в записа b 5 = 567 два параметъра са скрити наведнъж - това е самият пети член (567) и неговият номер (5). Вече говорих за това в подобен урок, но мисля, че си струва да го споменем и тук.)

Сега заместваме нашите данни във формулата:

567 = b 1 ·3 5-1

Правим аритметиката, опростяваме и получаваме нещо просто линейно уравнение:

81 b 1 = 567

Решаваме и получаваме:

b 1 = 7

Както можете да видите, няма проблеми с намирането на първия член. Но при търсене на знаменателя ри числа нМоже да има и изненади. И вие също трябва да сте подготвени за тях (изненади), да.)

Например този проблем:

Петият член на геометрична прогресия с положителен знаменател е 162, а първият член на тази прогресия е 2. Намерете знаменателя на прогресията.

Този път ни се дават първия и петия член и трябва да намерим знаменателя на прогресията. Ето ни.

Пишем формулатанти член!

b n = b 1 · qn -1

Първоначалните ни данни ще бъдат както следва:

b 5 = 162

b 1 = 2

н = 5

Липсваща стойност р. Няма проблем! Нека го намерим сега.) Заменяме всичко, което знаем във формулата.

Получаваме:

162 = 2р 5-1

2 р 4 = 162

р 4 = 81

Просто уравнение от четвърта степен. И сега - внимателно!На на този етапрешения, много ученици незабавно извличат с радост корена (от четвърта степен) и получават отговора р=3 .

Като този:

q4 = 81

р = 3

Но всъщност това е недовършен отговор. По-точно непълна. Защо? Въпросът е, че отговорът р = -3 също подходящо: (-3) 4 също ще бъде 81!

Това е така, защото уравнението на мощността x n = авинаги има два противоположни коренапри дорин . С плюс и минус:

И двете са подходящи.

Например, когато решавате (т. второградуса)

х 2 = 9

По някаква причина не сте изненадани от външния вид двекорени x=±3? Тук е същото. И с всяка друга дористепен (четвърта, шеста, десета и т.н.) ще бъде същата. Подробности в темата за

Ето защо правилно решениеще бъде така:

р 4 = 81

р= ±3

Добре, подредихме знаците. Кое е правилното - плюс или минус? Е, нека прочетем формулировката на проблема отново в търсене на Допълнителна информация. Разбира се, може да не съществува, но в този проблем такава информация на разположение.Нашето условие гласи в прав текст, че е дадена прогресия положителен знаменател.

Следователно отговорът е очевиден:

р = 3

Тук всичко е просто. Какво мислите, че би се случило, ако формулировката на проблема беше следната:

Петият член на геометрична прогресия е 162, а първият член на тази прогресия е 2. Намерете знаменателя на прогресията.

Каква е разликата? да В състояние Нищоне се споменава знакът на знаменателя. Нито пряко, нито косвено. И тук вече ще има проблем две решения!

р = 3 И р = -3

Да да! И с плюс, и с минус.) Математически този факт би означавал, че има две прогресии, които отговарят на условията на проблема. И всеки има свой знаменател. Просто за забавление, практикувайте и напишете първите пет термина от всеки.)

Сега нека се упражним да намираме номера на члена. Този проблем е най-трудният, да. Но и по-креативни.)

Като се има предвид геометрична прогресия:

3; 6; 12; 24; …

Кое число в тази прогресия е числото 768?

Първата стъпка е все същата: напишете формулатанти член!

b n = b 1 · qn -1

И сега, както обикновено, заместваме данните, които знаем, в него. Хм... не става! Къде е първият член, къде е знаменателят, къде е всичко останало?!

Къде, къде... Защо ни трябват очи? Плъскате мигли? Този път прогресията ни се дава директно във формата последователности.Можем ли да видим първия член? Виждаме! Това е тройка (b 1 = 3). Какво ще кажете за знаменателя? Все още не го виждаме, но е много лесно да го преброим. Ако, разбира се, разбирате...

Така че ние броим. Директно според значението на геометрична прогресия: вземаме всеки от нейните членове (с изключение на първия) и разделяме на предишния.

Поне така:

р = 24/12 = 2

Какво друго знаем? Знаем също някакъв член от тази прогресия, равен на 768. Под някакво число n:

b n = 768

Ние не знаем номера му, но нашата задача е точно да го намерим.) Така че търсим. Вече сме изтеглили всички необходими данни за заместване във формулата. Без да знаете за себе си.)

Тук заместваме:

768 = 3 2н -1

Нека направим елементарните - разделяме двете страни на три и пренаписваме уравнението в обичайната форма: неизвестното е отляво, известното е отдясно.

Получаваме:

2 н -1 = 256

Това е интересно уравнение. Трябва да намерим "n". Какво, необичайно? Да, не споря. Всъщност това е най-простото нещо. Нарича се така, защото неизвестното (в в такъв случайтози номер н) разходи в индикаторстепени.

На етапа на изучаване на геометрична прогресия (това е девети клас) не те учат как да решаваш експоненциални уравнения, да... Това е тема за гимназията. Но няма нищо страшно. Дори и да не знаете как се решават такива уравнения, нека се опитаме да намерим нашето н, водени от простата логика и здравия разум.

Да започнем да говорим. Отляво имаме двойка до известна степен. Все още не знаем каква точно е тази степен, но това не е страшно. Но знаем със сигурност, че тази степен е равна на 256! Така че помним до каква степен две ни дава 256. Спомняте ли си? да IN осмостепени!

256 = 2 8

Ако не помните или имате проблеми с разпознаването на градусите, това също е добре: просто последователно квадрат две, куб, четвърта, пета и т.н. Изборът всъщност, но на това ниво ще работи доста добре.

По един или друг начин получаваме:

2 н -1 = 2 8

н-1 = 8

н = 9

Така че 768 е деветичлен на нашата прогресия. Това е всичко, проблемът е решен.)

Отговор: 9

Какво? Скучно е? Уморен от елементарни неща? Съгласен. И аз също. Да преминем към следващото ниво.)

По-сложни задачи.

Сега нека решим по-трудни задачи. Не точно супер готини, но такива, които изискват малко работа, за да стигнете до отговора.

Например този.

Намерете втория член на геометрична прогресия, ако четвъртият член е -24, а седмият член е 192.

Това е класика в жанра. Известни са два различни термина на прогресията, но трябва да се намери друг термин. Освен това всички членове НЕ са съседни. Което в началото е объркващо, да...

Както и в, за решаване на такива проблеми ще разгледаме два метода. Първият метод е универсален. Алгебрични. Работи безупречно с всякакви изходни данни. Ето откъде ще започнем.)

Ние описваме всеки член според формулата нти член!

Всичко е точно както при аритметична прогресия. Само този път работим с другобща формула. Това е всичко.) Но същността е същата: ние вземаме и един по единЗаместваме нашите първоначални данни във формулата за n-тия член. За всеки член - собствен.

За четвъртия член пишем:

b 4 = b 1 · р 3

-24 = b 1 · р 3

Яжте. Едно уравнение е готово.

За седмия член пишем:

b 7 = b 1 · р 6

192 = b 1 · р 6

Общо имаме две уравнения за същата прогресия .

Ние сглобяваме система от тях:

Въпреки заплашителния си вид, системата е доста проста. Най-очевидното решение е простото заместване. Ние изразяваме b 1 от горното уравнение и го заместете в долното:

След като се заровим малко с долното уравнение (намаляване на степените и разделяне на -24), получаваме:

р 3 = -8

Между другото, до същото уравнение може да се стигне по по-прост начин! Кое? Сега ще ви покажа още една тайна, но много красива, мощна и полезен начинрешения за такива системи. Такива системи, чиито уравнения включват само работи.Поне в едно. Наречен метод на разделянеедно уравнение към друго.

И така, имаме система пред нас:

И в двете уравнения вляво - работа, а отдясно е само число. Това е много добър знак.) Да вземем и... разделим, да речем, долното уравнение на горното! Какво означава, нека разделим едно уравнение на друго?Много просто. Да вземем лява страна едно уравнение (долно) и разделямнея на лява странадруго уравнение (горно). Дясната страна е подобна: правилната странаедно уравнение разделямНа правилната странадруг.

Целият процес на разделяне изглежда така:

Сега, намалявайки всичко, което може да бъде намалено, получаваме:

р 3 = -8

Какво е доброто на този метод? Да, защото в процеса на такова разделение всичко лошо и неудобно може безопасно да се намали и да остане напълно безобидно уравнение! Ето защо е толкова важно да има само умножениев поне едно от уравненията на системата. Няма умножение - няма какво да се намалява, да...

Като цяло този метод (както много други нетривиални методи за решаване на системи) дори заслужава отделен урок. Определено ще го разгледам по-подробно. някой ден...

Въпреки това, няма значение как точно решавате системата, във всеки случай, сега трябва да решим полученото уравнение:

р 3 = -8

Няма проблем: извлечете кубичния корен и сте готови!

Моля, имайте предвид, че не е необходимо да поставяте плюс/минус тук, когато извличате. Нашият корен е от нечетна (трета) степен. И отговорът също е същият, да.)

И така, знаменателят на прогресията е намерен. Минус две. Страхотен! Процесът продължава.)

За първия член (да речем от горното уравнение) получаваме:

Страхотен! Знаем първия член, знаем знаменателя. И сега имаме възможност да намерим всеки член на прогресията. Включително втория.)

За втория мандат всичко е съвсем просто:

b 2 = b 1 · р= 3·(-2) = -6

Отговор: -6

И така, разбихме алгебричния метод за решаване на проблема. Труден? Не съвсем, съгласен съм. Дълго и досадно? Да, определено. Но понякога можете значително да намалите количеството работа. За това има графичен метод.Добър стар и познат за нас.)

Да нарисуваме проблем!

да Точно. Отново изобразяваме нашата прогресия върху числовата ос. Не е необходимо да следвате линийка, не е необходимо да поддържате равни интервали между членовете (които, между другото, няма да са еднакви, тъй като прогресията е геометрична!), а просто схематичноНека начертаем нашата последователност.

Получих го така:

Сега погледнете снимката и я разберете. Колко идентични фактора "q" разделят четвъртоИ седмочленове? Точно така, три!

Затова имаме пълното право да напишем:

-24·р 3 = 192

От тук вече е лесно да намерите q:

р 3 = -8

р = -2

Това е страхотно, вече имаме знаменателя в джоба си. Сега нека погледнем отново картината: колко такива знаменатели се намират между тях второИ четвърточленове? две! Следователно, за да запишем връзката между тези термини, ще конструираме знаменателя на квадрат.

Така че ние пишем:

b 2 · р 2 = -24 , където b 2 = -24/ р 2

Заместваме намерения знаменател в израза за b 2, броим и получаваме:

Отговор: -6

Както можете да видите, всичко е много по-просто и по-бързо, отколкото чрез системата. Нещо повече, тук изобщо не трябваше да броим първия термин! Изобщо.)

Ето такъв прост и визуален начин-светлина. Но има и сериозен недостатък. Познахте ли? да Добър е само за много кратки части от прогресията. Тези, при които разстоянията между членовете, които ни интересуват, не са много големи. Но във всички останали случаи вече е трудно да се направи картина, да... Тогава решаваме проблема аналитично, чрез системата.) А системите са универсални неща. Те могат да се справят с всякакви числа.

Още едно епично предизвикателство:

Вторият член на геометричната прогресия е с 10 повече от първия, а третият е с 30 повече от втория. Намерете знаменателя на прогресията.

Какво, готино? Въобще не! Все същото. Отново превеждаме постановката на проблема в чиста алгебра.

1) Описваме всеки член според формулата нти член!

Втори член: b 2 = b 1 q

Трети член: b 3 = b 1 q 2

2) Записваме връзката между членовете от постановката на проблема.

Четем условието: "Вторият член на геометричната прогресия е с 10 по-голям от първия."Спрете, това е ценно!

Така че ние пишем:

b 2 = b 1 +10

И ние превеждаме тази фраза в чиста математика:

b 3 = b 2 +30

Имаме две уравнения. Нека ги комбинираме в система:

Системата изглежда проста. Но има твърде много различни индекси за буквите. Нека заместим втория и третия член техните изрази чрез първия член и знаменателя! Напразно ли ги рисувахме?

Получаваме:

Но такава система вече не е подарък, да... Как да се реши това? За съжаление, няма универсално тайно заклинание за решаване на комплекс нелинейниВ математиката няма и не може да има системи. Фантастично е! Но първото нещо, което трябва да ви хрумне, когато се опитвате да счупите такъв твърд орех, е да разберете Но едно от уравненията на системата не се ли свежда до красива гледка, което позволява, например, лесно да се изрази една от променливите по отношение на друга?

Нека да го разберем. Първото уравнение на системата е очевидно по-просто от второто. Ще го измъчваме.) Не трябва ли да опитаме от първото уравнение нещоекспрес чрез нещо?Тъй като искаме да намерим знаменателя р, тогава би било най-изгодно за нас да изразим b 1 през р.

Така че нека се опитаме да направим тази процедура с първото уравнение, като използваме добрите стари:

b 1 q = b 1 +10

b 1 q – b 1 = 10

b 1 (q-1) = 10

Всичко! Така изразихме ненужнидайте ни променливата (b 1) чрез необходимо(р). Да, това не е най-простият израз, който имаме. Някаква дроб... Но нашата система е на прилично ниво, да.)

Типично. Ние знаем какво да правим.

Пишем ОДЗ (Задължително!) :

q ≠ 1

Умножаваме всичко по знаменателя (q-1) и анулираме всички дроби:

10 р 2 = 10 р + 30(р-1)

Разделяме всичко на десет, отваряме скобите и събираме всичко отляво:

р 2 – 4 р + 3 = 0

Решаваме резултата и получаваме два корена:

р 1 = 1

р 2 = 3

Има само един окончателен отговор: р = 3 .

Отговор: 3

Както можете да видите, пътят към решаването на повечето проблеми, включващи формулата на n-тия член на геометрична прогресия, винаги е един и същ: прочетете внимателноусловие на проблема и използвайки формулата на n-тия член превеждаме целия полезна информацияв чиста алгебра.

а именно:

1) Описваме всеки член, даден в задачата, поотделно по формулатанти член.

2) От условията на задачата превеждаме връзката между членовете в математическа форма. Съставяме уравнение или система от уравнения.

3) Решаваме полученото уравнение или система от уравнения, намираме неизвестните параметри на прогресията.

4) В случай на двусмислен отговор, внимателно прочетете условията на задачата в търсене на допълнителна информация (ако има такава). Също така проверяваме получения отговор с условията на DL (ако има такива).

Сега нека изброим основните проблеми, които най-често водят до грешки в процеса на решаване на задачи с геометрична прогресия.

1. Елементарна аритметика. Действия с дроби и отрицателни числа.

2. Ако има проблеми с поне една от тези три точки, тогава неизбежно ще направите грешки в тази тема. За съжаление... Така че не бъдете мързеливи и повторете споменатото по-горе. И следвайте връзките - отидете. Понякога помага.)

Модифицирани и повтарящи се формули.

Сега нека разгледаме няколко типични изпитни проблема с по-малко познато представяне на състоянието. Да, да, познахте! Това модифициранИ рецидивиращ n-ти член формули. Вече сме срещали такива формули и сме работили върху аритметичната прогресия. Тук всичко е подобно. Същността е същата.

Например този проблем от OGE:

Геометричната прогресия се дава по формулата b n = 3 2 н . Намерете сбора на първия и четвъртия член.

Този път прогресията не е както обикновено за нас. Под формата на някаква формула. Какво от това? Тази формула е също формуланти член!Вие и аз знаем, че формулата за n-тия член може да бъде написана както в обща форма, използвайки букви, така и за специфична прогресия. СЪС специфиченпърви член и знаменател.

В нашия случай всъщност ни е дадена обща терминна формула за геометрична прогресия със следните параметри:

b 1 = 6

р = 2

Да проверим ли?) Нека запишем формулата за n-тия член в общ вид и да я заместим в b 1 И р. Получаваме:

b n = b 1 · qn -1

b n= 6 2н -1

Ние опростяваме, като използваме факторизация и свойства на степените, и получаваме:

b n= 6 2н -1 = 3·2·2н -1 = 3 2н -1+1 = 3 2н

Както виждате, всичко е честно. Но нашата цел не е да демонстрираме извеждането на конкретна формула. Това е така, едно лирично отклонение. Чисто за разбиране.) Целта ни е да решим задачата по формулата, която ни е дадена в условието. Разбирате ли?) Така че ние работим директно с модифицираната формула.

Отчитаме първия срок. Да заместим н=1 в общата формула:

b 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6

Като този. Между другото, няма да бъда мързелив и отново ще обърна внимание на типична грешка при изчисляването на първия термин. НЕ, гледайки формулата b n= 3 2н, веднага се втурват да пишат, че първият член е тройка! Това е груба грешка, да...)

Да продължим. Да заместим н=4 и пребройте четвъртия член:

b 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48

И накрая, изчисляваме необходимата сума:

b 1 + b 4 = 6+48 = 54

Отговор: 54

Друг проблем.

Геометричната прогресия се определя от условията:

b 1 = -7;

b n +1 = 3 b n

Намерете четвъртия член на прогресията.

Тук прогресията се дава чрез рекурентна формула. Ми добре.) Как се работи с тази формула – ние също знаем.

Така че действаме. Стъпка по стъпка.

1) Бройте две последователенчлен на прогресията.

Първият срок вече ни беше даден. Минус седем. Но следващият, втори член може лесно да се изчисли с помощта на формулата за повторение. Ако разбирате принципа на действието му, разбира се.)

Така че броим втория член според добре познатото първо:

b 2 = 3 b 1 = 3·(-7) = -21

2) Изчислете знаменателя на прогресията

Няма проблем също. Направо, да се разделим второпишка на първи.

Получаваме:

р = -21/(-7) = 3

3) Напишете формулатанth член в обичайната форма и изчислете необходимия член.

И така, знаем първия член и знаменателя също. Така че ние пишем:

b n= -7·3н -1

b 4 = -7·3 3 = -7·27 = -189

Отговор: -189

Както можете да видите, работата с такива формули за геометрична прогресия по същество не се различава от тази за аритметична прогресия. Важно е само да се разбере общата същност и значение на тези формули. Е, вие също трябва да разберете значението на геометричната прогресия, да.) И тогава няма да има глупави грешки.

Е, нека решим сами?)

Много основни задачи за загряване:

1. Дадена е геометрична прогресия, в която b 1 = 243, а р = -2/3. Намерете шестия член на прогресията.

2. Общият член на геометричната прогресия се дава с формулата b n = 5∙2 н +1 . Намерете номера на последния трицифрен член от тази прогресия.

3. Геометричната прогресия се дава от условията:

b 1 = -3;

b n +1 = 6 b n

Намерете петия член на прогресията.

Малко по-сложно:

4. Като се има предвид геометрична прогресия:

b 1 =2048; р =-0,5

На колко е равен шестият отрицателен член?

Какво изглежда супер трудно? Въобще не. Логиката и разбирането на смисъла на геометричната прогресия ще ви спасят. Е, формулата за n-тия член, разбира се.

5. Третият член на геометричната прогресия е -14, а осмият член е 112. Намерете знаменателя на прогресията.

6. Сборът на първия и втория член на геометричната прогресия е 75, а сборът на втория и третия член е 150. Намерете шестия член на прогресията.

Отговори (в безпорядък): 6; -3888; -1; 800; -32; 448.

Това е почти всичко. Всичко, което трябва да направим, е да се научим да броим сумата от първите n члена на геометрична прогресияда открий безкрайно намаляваща геометрична прогресияи неговата сума. Много интересно и необичайно нещо, между другото! Повече за това в следващите уроци.)