Математиката е каквохората контролират природата и себе си.

Съветският математик, академик А.Н. Колмогоров

Геометрична прогресия.

Наред със задачите върху аритметичните прогресии, задачите, свързани с понятието геометрична прогресия, също са често срещани при приемните изпити по математика. За да разрешите успешно такива задачи, трябва да знаете свойствата на геометричните прогресии и да имате добри умения да ги използвате.

Тази статия е посветена на представянето на основните свойства на геометричната прогресия. Тук са дадени и примери за решаване на типични проблеми., заимствани от задачите на приемните изпити по математика.

Нека първо да отбележим основните свойства на геометричната прогресия и да си припомним най-важните формули и твърдения, свързани с това понятие.

Определение.Числовата редица се нарича геометрична прогресия, ако всяко число, започвайки от второто, е равно на предишното, умножено по същото число. Числото се нарича знаменател на геометрична прогресия.

За геометричната прогресияформулите са валидни

, (1)

Където . Формула (1) се нарича формула на общия член на геометрична прогресия, а формула (2) представлява основното свойство на геометрична прогресия: всеки член на прогресията съвпада със средното геометрично на съседните му членове и .

Забележка, че именно поради това свойство въпросната прогресия се нарича „геометрична“.

Горните формули (1) и (2) са обобщени, както следва:

, (3)

За изчисляване на суматапърви членове на геометричната прогресиясе прилага формулата

Ако означим , тогава

Където . Тъй като , формула (6) е обобщение на формула (5).

В случай, когато и геометрична прогресиябезкрайно намалява. За изчисляване на суматана всички членове на безкрайно намаляваща геометрична прогресия се използва формулата

. (7)

Например , използвайки формула (7), можем да покажем, Какво

Където . Тези равенства се получават от формула (7) при условие, че , (първо равенство) и , (второ равенство).

Теорема.Ако, тогава

Доказателство. Ако, тогава

Теоремата е доказана.

Нека да преминем към разглеждане на примери за решаване на задачи по темата „Геометрична прогресия“.

Пример 1.Дадено е: , и . Намирам .

Решение.Ако приложим формула (5), тогава

Отговор: .

Пример 2.Нека бъде. Намирам .

Решение.Тъй като и , използваме формули (5), (6) и получаваме система от уравнения

Ако второто уравнение на системата (9) се раздели на първото, тогава или . От това следва, че . Нека разгледаме два случая.

1. Ако, тогава от първото уравнение на системата (9) имаме.

2. Ако , то .

Пример 3.Нека и . Намирам .

Решение.От формула (2) следва, че или . Тъй като , тогава или .

По условие. Въпреки това, следователно. Тъй като и тогава тук имаме система от уравнения

Ако второто уравнение на системата се раздели на първото, тогава или .

Тъй като уравнението има уникален подходящ корен. В този случай това следва от първото уравнение на системата.

Като вземем предвид формула (7), получаваме.

Отговор: .

Пример 4.Дадено: и . Намирам .

Решение.От тогава.

Тъй като , тогава или

Съгласно формула (2) имаме . В тази връзка от равенството (10) получаваме или .

Въпреки това, по условие, следователно.

Пример 5.Известно е, че. Намирам .

Решение. Според теоремата имаме две равенства

Тъй като , тогава или . Защото тогава.

Отговор: .

Пример 6.Дадено: и . Намирам .

Решение.Като вземем предвид формула (5), получаваме

От тогава. Тъй като , и , тогава .

Пример 7.Нека бъде. Намирам .

Решение.Според формула (1) можем да запишем

Следователно имаме или . Известно е, че и , следователно и .

Отговор: .

Пример 8.Намерете знаменателя на безкрайна намаляваща геометрична прогресия, ако

И .

Решение. От формула (7) следваИ . От тук и от условията на задачата получаваме система от уравнения

Ако първото уравнение на системата е повдигнато на квадрат, и след това разделете полученото уравнение на второто уравнение, тогава получаваме

Или .

Отговор: .

Пример 9.Намерете всички стойности, за които последователността , , е геометрична прогресия.

Решение.Нека и . Съгласно формула (2), която определя основното свойство на геометрична прогресия, можем да напишем или .

От тук получаваме квадратното уравнение, чиито корени саИ .

Да проверим: дали, след това и ; ако , тогава и .

В първия случай имамеи , а във втория – и .

Отговор: , .

Пример 10.Решете уравнението

, (11)

където и .

Решение. Лява странауравнение (11) е сумата от безкрайна намаляваща геометрична прогресия, в която и , предмет на: и .

От формула (7) следва, Какво . В тази връзка уравнение (11) приема форматаили . Подходящ корен квадратно уравнениее

Отговор: .

Пример 11.П последователност от положителни числаобразува аритметична прогресия, А – геометрична прогресия, какво общо има с . Намирам .

Решение.защото аритметична редица, Че (основното свойство на аритметичната прогресия). Тъй като, тогава или . Това предполага , че геометричната прогресия има формата. Според формула (2), тогава записваме това.

Тъй като и , тогава . В този случай изразътприема формата или . По условие, така че от ур.получаваме единствено решениеразглеждан проблем, т.е. .

Отговор: .

Пример 12.Изчислете сумата

. (12)

Решение. Нека умножим двете страни на равенството (12) по 5 и получаваме

Ако извадим (12) от получения израз, Че

или .

За да изчислим, заместваме стойностите във формула (7) и получаваме. От тогава.

Отговор: .

Дадените тук примери за решаване на задачи ще бъдат полезни на кандидатите при подготовката им за приемни изпити. За по-задълбочено изучаване на методите за решаване на проблеми, свързани с геометричната прогресия, може да се използва учебни помагалаот списъка с препоръчителна литература.

1. Колекция от задачи по математика за кандидати в колежи / Изд. M.I. Сканави. – М.: Мир и образование, 2013. – 608 с.

2. Супрун В.П. Математика за гимназисти: допълнителни раздели училищна програма. – М.: Lenand / URSS, 2014. – 216 с.

3. Медински М.М. Пълен курс елементарна математикав задачи и упражнения. Книга 2: Числови последователности и прогресии. – М.: Едитус, 2015. – 208 с.

Все още имате въпроси?

За да получите помощ от преподавател, регистрирайте се.

уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.

Нека разгледаме определена серия.

7 28 112 448 1792...

Абсолютно ясно е, че стойността на всеки от неговите елементи е точно четири пъти по-голяма от предишната. означава, тази серияе прогресия.

Геометричната прогресия е безкрайна последователност от числа. основна характеристикакоето е, че следващото число се получава от предишното чрез умножаване по някакво конкретно число. Това се изразява със следната формула.

a z +1 =a z ·q, където z е номерът на избрания елемент.

Съответно z ∈ N.

Периодът, в който се изучава геометрична прогресия в училище, е 9 клас. Примерите ще ви помогнат да разберете концепцията:

0.25 0.125 0.0625...

Въз основа на тази формула знаменателят на прогресията може да се намери, както следва:

Нито q, нито b z могат да бъдат нула. Освен това всеки от елементите на прогресията не трябва да е равен на нула.

Съответно, за да разберете следващото число в поредица, трябва да умножите последното по q.

За да зададете тази прогресия, трябва да посочите нейния първи елемент и знаменател. След това е възможно да се намери всеки от следващите членове и тяхната сума.

Разновидности

В зависимост от q и a 1 тази прогресия се разделя на няколко вида:

• Ако и a 1, и q са по-големи от едно, тогава такава последователност се увеличава с всяко едно следващ елементгеометрична прогресия. Пример за това е представен по-долу.

Пример: a 1 =3, q=2 - и двата параметъра са по-големи от единица.

Тогава числовата последователност може да бъде записана така:

3 6 12 24 48 ...

• Ако |q| е по-малко от едно, тоест умножението по него е еквивалентно на деление, тогава прогресия с подобни условия е намаляваща геометрична прогресия. Пример за това е представен по-долу.

Пример: a 1 =6, q=1/3 - a 1 е по-голямо от едно, q е по-малко.

Тогава числовата последователност може да бъде записана по следния начин:

6 2 2/3 ... - всеки елемент е 3 пъти по-голям от елемента след него.

• Променлив знак. Ако q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Пример: a 1 = -3, q = -2 - и двата параметъра са по-малки от нула.

Тогава числовата последователност може да бъде записана така:

3, 6, -12, 24,...

Формули

Има много формули за удобно използване на геометричните прогресии:

• Z-членна формула. Позволява ви да изчислите елемент под определено число, без да изчислявате предишни числа.

Пример:р = 3, а 1 = 4. Изисква се да се преброи четвъртият елемент от прогресията.

Решение:а 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Сумата от първите елементи, чийто брой е равен на z. Позволява ви да изчислите сумата от всички елементи на последователност доa zвключително.

Тъй като (1-р) е в знаменателя, тогава (1 - q)≠ 0, следователно q не е равно на 1.

Забележка: ако q=1, тогава прогресията ще бъде поредица от безкрайно повтарящи се числа.

Сума от геометрична прогресия, примери:а 1 = 2, р= -2. Изчислете S5.

Решение:С 5 = 22 - изчисление по формулата.

• Сума, ако |р| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Пример:а 1 = 2 , р= 0,5. Намерете сумата.

Решение:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Някои свойства:

• Характерно свойство. Ако е налице следното условие работи за всякаквиz, тогава дадената редица от числа е геометрична прогресия:

a z 2 = a z -1 · аz+1

• Също така, квадратът на което и да е число в геометрична прогресия се намира чрез добавяне на квадратите на всеки две други числа в дадена серия, ако те са на еднакво разстояние от този елемент.

a z 2 = a z - T 2 + a z + T 2 , КъдетоT- разстоянието между тези числа.

• Елементиразличават се по qведнъж.
• Логаритмите на елементите на една прогресия също образуват прогресия, но аритметична, тоест всеки от тях е по-голям от предходния с определено число.

Примери за някои класически задачи

За да разберете по-добре какво е геометрична прогресия, примерите с решения за клас 9 могат да помогнат.

• Условия:а 1 = 3, а 3 = 48. Намеретер.

Решение: всеки следващ елемент е по-голям от предишния вр веднъж.Необходимо е да се изразят някои елементи по отношение на други, като се използва знаменател.

следователноа 3 = р 2 · а 1

При заместванер= 4

• Условия:а 2 = 6, а 3 = 12. Изчислете S 6.

Решение:За да направите това, просто намерете q, първия елемент и го заменете във формулата.

а 3 = р· а 2 , следователно,р= 2

a 2 = q · 1,Ето защо a 1 = 3

S 6 = 189

• · а 1 = 10, р= -2. Намерете четвъртия елемент от прогресията.

Решение: за да направите това, достатъчно е да изразите четвъртия елемент през първия и през знаменателя.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Пример за приложение:

• Банков клиент направи депозит в размер на 10 000 рубли, при условията на който всяка година клиентът ще има 6% от тях, добавени към главницата. Колко пари ще има в сметката след 4 години?

Решение: Първоначалната сума е 10 хиляди рубли. Това означава, че една година след инвестицията в сметката ще има сума равна на 10 000 + 10 000 · 0,06 = 10000 1,06

Съответно сумата в сметката след още една година ще бъде изразена, както следва:

(10000 · 1,06) · 0,06 + 10000 · 1,06 = 1,06 · 1,06 · 10000

Тоест всяка година сумата се увеличава с 1,06 пъти. Това означава, че за да се намери сумата на средствата в сметката след 4 години, е достатъчно да се намери четвъртият елемент от прогресията, който се дава от първия елемент, равен на 10 хиляди, и знаменателят, равен на 1,06.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Примери за задачи, включващи пресмятане на суми:

Геометричната прогресия се използва в различни задачи. Пример за намиране на сумата може да бъде даден по следния начин:

а 1 = 4, р= 2, изчислиS 5.

Решение: всички данни, необходими за изчислението, са известни, просто трябва да ги замените във формулата.

С 5 = 124

• а 2 = 6, а 3 = 18. Изчислете сбора на първите шест елемента.

Решение:

В геом. прогресия, всеки следващ елемент е q пъти по-голям от предходния, тоест, за да изчислите сумата, трябва да знаете елементаа 1 и знаменателр.

а 2 · р = а 3

р = 3

По същия начин трябва да намеритеа 1 , знаейкиа 2 Ир.

а 1 · р = а 2

a 1 =2

С 6 = 728.

>>Математика: Геометрична прогресия

За удобство на читателя, този параграф е изграден точно по същия план, който следвахме в предишния параграф.

1. Основни понятия.

Определение.Числова редица, всички членове на която са различни от 0 и всеки член на която, започвайки от втория, се получава от предишния член чрез умножаването му по същото число, се нарича геометрична прогресия. В този случай числото 5 се нарича знаменател на геометрична прогресия.

По този начин, геометричната прогресия е числова последователност (b n), определена периодично от отношенията

Възможно ли е да се разгледа редица от числа и да се определи дали тя е геометрична прогресия? Мога. Ако сте убедени, че съотношението на който и да е член на редицата към предишния член е постоянно, тогава имате геометрична прогресия.
Пример 1.

1, 3, 9, 27, 81,... .
b 1 = 1, q = 3.

Пример 2.

Това е геометрична прогресия, която има
Пример 3.

Това е геометрична прогресия, която има
Пример 4.

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

Това е геометрична прогресия, в която b 1 - 8, q = 1.

Обърнете внимание, че тази последователност също е аритметична прогресия (вижте пример 3 от § 15).

Пример 5.

2,-2,2,-2,2,-2.....

Това е геометрична прогресия, в която b 1 = 2, q = -1.

Очевидно геометричната прогресия е нарастваща последователност, ако b 1 > 0, q > 1 (вижте пример 1), и намаляваща последователност, ако b 1 > 0, 0< q < 1 (см. пример 2).

За да се покаже, че последователността (b n) е геометрична прогресия, понякога е удобно следното обозначение:

Иконата замества израза „геометрична прогресия“.
Нека отбележим едно любопитно и в същото време доста очевидно свойство на геометричната прогресия:
Ако последователността е геометрична прогресия, тогава последователността от квадрати, т.е. е геометрична прогресия.
Във втората геометрична прогресия първият член е равен и равен на q 2.
Ако в геометрична прогресия изхвърлим всички членове след b n , получаваме крайна геометрична прогресия
В следващите параграфи на този раздел ще разгледаме най-важните свойства на геометричната прогресия.

2. Формула за n-ия член на геометрична прогресия.

Помислете за геометрична прогресия знаменател q. Ние имаме:

Не е трудно да се досетите, че за всяко число n равенството е вярно

Това е формулата за n-ия член на геометрична прогресия.

Коментирайте.

Ако сте прочели важната забележка от предишния абзац и сте я разбрали, опитайте се да докажете формула (1) с помощта на метода на математическата индукция, точно както беше направено за формулата за n-тия член на аритметична прогресия.

Нека пренапишем формулата за n-тия член на геометричната прогресия

и въвеждаме обозначението: Получаваме y = mq 2, или по-подробно,
Аргументът x се съдържа в експонентата, така че тази функция се нарича експоненциална функция. Това означава, че една геометрична прогресия може да се разглежда като експоненциална функция, дефинирана върху множеството N от естествени числа. На фиг. 96а е показана графиката на функцията Фиг. 966 - функционална графика И в двата случая имаме изолирани точки (с абсцисите x = 1, x = 2, x = 3 и т.н.), лежащи на определена крива (и двете фигури показват една и съща крива, само че са различно разположени и изобразени в различни мащаби). Тази крива се нарича експоненциална крива. Повече подробности за показателната функция и нейната графика ще разгледаме в курса по алгебра за 11. клас.

Да се ​​върнем към примери 1-5 от предишния параграф.

1) 1, 3, 9, 27, 81,... . Това е геометрична прогресия, за която b 1 = 1, q = 3. Нека създадем формулата за n-тия член
2) Това е геометрична прогресия, за която нека създадем формула за n-тия член

Това е геометрична прогресия, която има Нека създадем формулата за n-тия член
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . Това е геометрична прогресия, за която b 1 = 8, q = 1. Нека създадем формулата за n-тия член
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... Това е геометрична прогресия, в която b 1 = 2, q = -1. Нека създадем формулата за n-тия член

Пример 6.

Като се има предвид геометрична прогресия

Във всички случаи решението се базира на формулата на n-тия член на геометричната прогресия

а) Поставяйки n = 6 във формулата за n-тия член на геометричната прогресия, получаваме

б) Имаме

Тъй като 512 = 2 9, получаваме n - 1 = 9, n = 10.

г) Имаме

Пример 7.

Разликата между седмия и петия член на геометричната прогресия е 48, сборът на петия и шестия член на прогресията също е 48. Намерете дванадесетия член на тази прогресия.

Първи етап.Изготвяне на математически модел.

Условията на проблема могат да бъдат написани накратко, както следва:

Използвайки формулата за n-тия член на геометрична прогресия, получаваме:
Тогава второто условие на проблема (b 7 - b 5 = 48) може да бъде записано като

Третото условие на задачата (b 5 + b 6 = 48) може да бъде записано като

В резултат на това получаваме система от две уравнения с две променливи b 1 и q:

което в комбинация с условие 1), написано по-горе, представлява математически модел на проблема.

Втора фаза.

Работа с компилирания модел. Приравнявайки левите страни на двете уравнения на системата, получаваме:

(разделихме двете страни на уравнението с ненулевия израз b 1 q 4).

От уравнението q 2 - q - 2 = 0 намираме q 1 = 2, q 2 = -1. Замествайки стойността q = 2 във второто уравнение на системата, получаваме
Замествайки стойността q = -1 във второто уравнение на системата, получаваме b 1 1 0 = 48; това уравнение няма решения.

И така, b 1 =1, q = 2 - тази двойка е решението на компилираната система от уравнения.

Сега можем да напишем геометричната прогресия, за която ние говорим зав задачата: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .

Трети етап.

Отговор на проблемния въпрос. Трябва да изчислите b 12. Ние имаме

Отговор: b 12 = 2048.

3. Формула за сумата от членовете на крайна геометрична прогресия.

Нека е дадена крайна геометрична прогресия

Нека означим с S n сбора от неговите членове, т.е.

Нека изведем формула за намиране на това количество.

Да започнем с най-простия случай, когато q = 1. Тогава геометричната прогресия b 1,b 2, b 3,..., bn се състои от n числа, равни на b 1, т.е. прогресията изглежда като b 1, b 2, b 3, ..., b 4. Сумата от тези числа е nb 1.

Нека сега q = 1. За да намерим S n, прилагаме изкуствена техника: извършваме някои трансформации на израза S n q. Ние имаме:

Когато извършвахме трансформации, ние, първо, използвахме дефиницията на геометрична прогресия, според която (виж третия ред на разсъждение); второ, те добавяха и изваждаха, поради което смисълът на израза, разбира се, не се промени (вижте четвъртия ред на разсъждение); трето, използвахме формулата за n-тия член на геометрична прогресия:

От формула (1) намираме:

Това е формулата за сумата от n членове на геометрична прогресия (за случая, когато q = 1).

Пример 8.

Дадена е крайна геометрична прогресия

а) сумата от условията на прогресията; б) сумата от квадратите на неговите членове.

b) По-горе (виж стр. 132) вече отбелязахме, че ако всички членове на една геометрична прогресия са повдигнати на квадрат, тогава получаваме геометрична прогресия с първия член b 2 и знаменателя q 2. След това сумата от шестте члена на новата прогресия ще бъде изчислена от

Пример 9.

Намерете 8-ия член на геометричната прогресия, за който

Всъщност ние доказахме следната теорема.

Числовата последователност е геометрична прогресия тогава и само ако квадратът на всеки от нейните членове, с изключение на първата теорема (и последната, в случай на крайна последователност), е равен на произведението на предходния и следващите членове (a характерно свойство на геометрична прогресия).

Геометрична прогресияне по-малко важно в математиката в сравнение с аритметиката. Геометричната прогресия е поредица от числа b1, b2,..., b[n], чийто всеки следващ член се получава чрез умножаване на предходния по постоянно число. Това число, което също характеризира скоростта на растеж или намаляване на прогресията, се нарича знаменател на геометричната прогресияи означават

За пълна задачана геометрична прогресия, освен знаменателя, е необходимо да се знае или определи нейният първи член. За положителна стойностпрогресията на знаменателя е монотонна последователност и ако тази последователност от числа е монотонно намаляваща и ако е монотонно нарастваща. Случаят, когато знаменателят е равен на единица, не се разглежда на практика, тъй като имаме поредица от еднакви числа и тяхното сумиране не представлява практически интерес

Общ термин на геометричната прогресияизчислено по формулата

Сума от първите n членове на геометрична прогресияопределена по формулата

Нека разгледаме решенията на класически задачи с геометрична прогресия. Нека започнем с най-простите за разбиране.

Пример 1. Първият член на геометрична прогресия е 27, а знаменателят му е 1/3. Намерете първите шест члена на геометричната прогресия.

Решение: Нека запишем условието на задачата във формата

За изчисления използваме формулата за n-тия член на геометрична прогресия

Въз основа на него намираме неизвестните членове на прогресията

Както можете да видите, изчисляването на членовете на геометричната прогресия не е трудно. Самата прогресия ще изглежда така

Пример 2. Дадени са първите три члена на геометричната прогресия: 6; -12; 24. Намерете знаменателя и неговия седми член.

Решение: Изчисляваме знаменателя на геометричната прогресия въз основа на нейната дефиниция

Получихме променлива геометрична прогресия, чийто знаменател е равен на -2. Седмият член се изчислява по формулата

Това решава проблема.

Пример 3. Геометрична прогресия е дадена от два нейни члена . Намерете десетия член на прогресията.

Решение:

Нека напишем дадените стойности с помощта на формули

Според правилата трябва да се намери знаменателят и след това да се търси желаната стойност, но вече десети мандат имаме

Същата формула може да се получи въз основа на прости манипулации с входните данни. Разделете шестия член на поредицата с друг, като резултат получаваме

Ако получената стойност се умножи по шестия член, получаваме десетия

По този начин, за такива проблеми, използвайки прости трансформации към бърз начинможете да намерите правилното решение.

Пример 4. Геометричната прогресия е дадена с рекурентни формули

Намерете знаменателя на геометричната прогресия и сумата от първите шест члена.

Решение:

Нека запишем дадените данни под формата на система от уравнения

Изразете знаменателя, като разделите второто уравнение на първото

Нека намерим първия член на прогресията от първото уравнение

Нека изчислим следните пет члена, за да намерим сбора на геометричната прогресия

Инструкции

10, 30, 90, 270...

Трябва да намерите знаменателя на геометрична прогресия.
Решение:

Опция 1. Нека вземем произволен член от прогресията (например 90) и го разделим на предишния (30): 90/30=3.

Ако е известна сумата от няколко членове на геометрична прогресия или сумата от всички членове на намаляваща геометрична прогресия, тогава за да намерите знаменателя на прогресията, използвайте подходящите формули:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), където Sn е сумата от първите n члена на геометричната прогресия и
S = b1/(1-q), където S е сумата от безкрайно намаляваща геометрична прогресия (сумата от всички членове на прогресията със знаменател по-малък от единица).
Пример.

Първият член на намаляваща геометрична прогресия е равен на едно, а сборът от всички нейни членове е равен на две.

Необходимо е да се определи знаменателят на тази прогресия.
Решение:

Заместете данните от задачата във формулата. Ще се окаже:
2=1/(1-q), откъдето – q=1/2.

Прогресията е поредица от числа. В геометричната прогресия всеки следващ член се получава чрез умножаване на предишния по определено число q, наречено знаменател на прогресията.

Инструкции

Ако са известни два съседни геометрични члена b(n+1) и b(n), за да получите знаменателя, трябва да разделите числото с по-голямото на това, което го предхожда: q=b(n+1)/b (н). Това следва от определението за прогресия и нейния знаменател. Важно условиее неравенството на първия член и знаменателя на прогресията до нула, в противен случай се счита за неопределено.

По този начин се установяват следните връзки между членовете на прогресията: b2=b1 q, b3=b2 q, ... , b(n)=b(n-1) q. С помощта на формулата b(n)=b1 q^(n-1) може да се изчисли всеки член от геометричната прогресия, в който знаменателят q и членът b1 са известни. Също така, всяка от прогресиите е равна по модул на средната стойност на нейните съседни членове: |b(n)|=√, което е мястото, където прогресията получава своето .

Аналогът на геометричната прогресия е най-простият експоненциална функция y=a^x, където x е показател, a е определено число. В този случай знаменателят на прогресията съвпада с първия член и равно на числотоа. Стойността на функцията y може да се разбира като n-ти членпрогресия, ако се приеме, че аргументът x е естествено число n (брояч).

Друго важно свойство на геометричната прогресия, което даде геометрична прогресия