Информационен бум В биологията - колонии от микроби в петриево блюдо Зайци в Австралия Верижни реакции - в химията Във физиката - радиоактивен разпад, промяна атмосферно наляганес промяна на надморската височина, охлаждане на тялото. Във физиката - радиоактивен разпад, промяна на атмосферното налягане с промяна на надморската височина, охлаждане на тялото. Изпускането на адреналин в кръвта и неговото унищожаване Те също твърдят, че количеството информация се удвоява на всеки 10 години.

(3/5) -1 a 1 3 1/2 (4/9) 0 a *81 (1/2) -3 a -n 36 1/2* 8 1/ /3 2 -3,5

Израз 2 x 2 2 =4 2 5 = = =1/2 4 =1/16 2 4/3 = 32 4 = .5 = 1/2 3.5 =1/2 7= 1/(8 2)= 2/ 16 2)=

3=1, … 1; 1,7 1,73; 1.732;1.73205; 1, ;… последователността се увеличава 2 1 ; 2 1,7; 2 1,73 ;2 1,732 ; 2 1.73205; 2 1, ;… последователността нараства Bounded, което означава, че се сближава до една граница - стойността 2 3

Може да се определи π 0

10 10 18 Свойства на функцията y = a x n \ n a >10 10 10 10 10 title="Свойства на функцията y = a x n \ n a >10 21

Количеството информация се удвоява на всеки 10 години По оста Ох - според закона на аритметичната прогресия: 1,2,3,4…. По оста Oy - съгласно закона геометрична прогресия: 2 1.2 2.2 3.2 4 ... Графика на експоненциална функция, нарича се експонента (от латинското exponere - показвам се)

В тази статия ще разберем какво е то степен на. Тук ще дадем дефиниции на степента на число, като същевременно ще разгледаме подробно всички възможни показатели, като започнем от естествения показател и завършим с ирационалния. В материала ще намерите много примери за степени, покриващи всички тънкости, които възникват.

Навигация в страницата.

Степен с естествен показател, квадрат на число, куб на число

Да започнем с. Гледайки напред, нека кажем, че дефиницията на степента на число a с естествен показател n е дадена за a, което ще наречем степен основа, и n, които ще наречем експонент. Също така отбелязваме, че степен с естествен показател се определя чрез произведение, така че за да разберете материала по-долу, трябва да имате разбиране за умножаване на числа.

Определение.

Степен на число с естествен показател nе израз на формата a n, чиято стойност е равна на произведението от n фактора, всеки от които е равен на a, т.е.
По-специално, степента на число a с показател 1 е самото число a, тоест a 1 =a.

Струва си да споменем веднага за правилата за четене на степени. Универсалният начин за четене на нотацията a n е: „a на степен n“. В някои случаи са приемливи и следните опции: „a на n-та степен“ и „n-та степен на a“. Например, нека вземем степен 8 12, това е „осем на степен дванадесет“, или „осем на дванадесета степен“, или „дванадесета степен на осем“.

Втората степен на числото, както и третата степен на числото имат свои имена. Втората степен на число се нарича квадрат на числото, например, 7 2 се чете като „седем на квадрат“ или „квадрат на числото седем“. Третата степен на число се нарича кубични числа, например, 5 3 може да се чете като „пет кубчета“ или можете да кажете „куб на числото 5“.

Време е да донесете примери за степени с естествен показател. Нека започнем със степен 5 7, тук 5 е основата на степента, а 7 е степента. Нека дадем друг пример: 4,32 е основата, а естественото число 9 е показателят (4,32) 9 .

Моля, обърнете внимание, че в последния пример основата на степента 4.32 е написана в скоби: за да избегнем несъответствия, ще поставим в скоби всички основи на степента, които са различни от естествените числа. Като пример даваме следните степени с естествени показатели , основите им не са естествени числа, затова се записват в скоби. Е, за пълна яснота, в този момент ще покажем разликата, съдържаща се в записите под формата (−2) 3 и −2 3. Изразът (−2) 3 е степен на −2 с естествен показател 3, а изразът −2 3 (може да бъде записан като −(2 3) ) съответства на числото, стойността на степента 2 3 .

Обърнете внимание, че има нотация за степента на число a с показател n във формата a^n. Освен това, ако n е многозначно естествено число, тогава показателят се взема в скоби. Например, 4^9 е друга нотация за степента на 4 9 . И ето още няколко примера за записване на степени с помощта на символа “^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . В това, което следва, ние ще използваме основно запис на степен на формата a n.

Един от проблемите, обратни на повдигането на степен с естествен показател, е проблемът за намиране на основата на степента от известна стойност на степента и известен показател. Тази задача води до.

Известно е, че мнозина рационални числасе състои от цели и дробни числа, всяко дробно числомогат да бъдат представени като положителни или отрицателни обикновена дроб. Ние дефинирахме степента с целочислен показател в предишния параграф, следователно, за да завършим дефиницията на степента с рационален показател, трябва да придадете значение на степента на числото a с дробен показател m/n, където m е цяло число, а n е естествено число. Хайде да го направим.

Нека разгледаме степен с дробен показател от формата . За да остане валидно свойството мощност към степен, равенството трябва да е спазено . Ако вземем предвид полученото равенство и начина, по който сме определили , тогава е логично да го приемем, при условие че при дадени m, n и a изразът има смисъл.

Лесно се проверява, че за всички свойства на степен с цял показател са валидни (това беше направено в раздела свойства на степен с рационален показател).

Горното разсъждение ни позволява да направим следното заключение: ако са дадени m, n и a, изразът има смисъл, тогава степента на a с дробен показател m/n се нарича n-ти корен от a на степен m.

Това твърдение ни доближава до дефиницията на степен с дробен показател. Всичко, което остава, е да опишем при какви m, n и a изразът има смисъл. В зависимост от ограниченията, наложени на m, n и a, има два основни подхода.

Най-лесният начин е да наложите ограничение на a, като вземете a≥0 за положително m и a>0 за отрицателно m (тъй като за m≤0 степента 0 на m не е дефинирана). Тогава получаваме следната дефиниция на степен с дробен показател.

Определение.

Степен на положително число a с дробен показател m/n, където m е цяло число и n е естествено число, се нарича n-ти корен на числото a на степен m, т.е.

Дробната степен на нула също се определя с единственото предупреждение, че индикаторът трябва да е положителен.

Определение.

Степен нула с дробен положителен показател m/n, където m е положително цяло число и n е естествено число, се дефинира като .
Когато степента не е определена, тоест степента на числото нула с дробен отрицателен показател няма смисъл.

Трябва да се отбележи, че при тази дефиниция на степен с дробен показател има едно предупреждение: за някои отрицателни a и някои m и n изразът има смисъл и ние отхвърлихме тези случаи, като въведохме условието a≥0. Например, записите имат смисъл или , и дефиницията, дадена по-горе, ни принуждава да кажем, че степените с дробен показател на формата нямат смисъл, тъй като основата не трябва да е отрицателна.

Друг подход за определяне на степен с дробен показател m/n е отделно разглеждане на четните и нечетните показатели на корена. Този подход изисква допълнително условие: степента на числото a, чийто показател е , се счита за степен на числото a, чийто показател е съответната несъкратима дроб (ще обясним важността на това условие по-долу ). Тоест, ако m/n е несъкратима дроб, тогава за всяко естествено число k степента първо се заменя с .

За четно n и положително m, изразът има смисъл за всяко неотрицателно a (четен корен от отрицателно число няма смисъл за отрицателно m, числото a все още трябва да е различно от нула (в противен случай ще има деление). с нула). И за нечетно n и положително m числото a може да бъде всяко (коренът на нечетна степен е дефиниран за всяко реално число), а за отрицателно m числото a трябва да е различно от нула (така че да няма деление на нула).

Горното разсъждение ни води до тази дефиниция на степен с дробен показател.

Определение.

Нека m/n е несъкратима дроб, m е цяло число и n е естествено число. За всяка редуцируема дроб степента се заменя с . Степента на число с несъкратим дробен показател m/n е за



Нека обясним защо степен с редуцируем дробен показател първо се заменя със степен с нередуцируем показател. Ако просто дефинираме степента като и не направим уговорка относно несводимостта на дробта m/n, тогава ще се сблъскаме със ситуации, подобни на следното: тъй като 6/10 = 3/5, тогава равенството трябва да се запази , Но , А .

След като се определи силата на едно число, е логично да се говори за степенни свойства. В тази статия ще дадем основните свойства на степента на число, като същевременно ще се докоснем до всички възможни степени. Тук ще предоставим доказателства за всички свойства на степените и ще покажем как тези свойства се използват при решаване на примери.

Навигация в страницата.

Свойства на степените с естествен показател

По дефиниция на степен с естествен показател, степента a n е произведението на n множителя, всеки от които е равен на a. Въз основа на това определение, а също и с помощта свойства на умножението на реални числа, можем да получим и обосновем следното свойства на степен с естествен показател:

1. основното свойство на степента a m ·a n =a m+n, нейното обобщение;
2. свойство на частни степени с еднакви основи a m:a n =a m−n ;
3. свойство мощност на продукта (a·b) n =a n ·b n, неговото разширение;
4. свойство на частно в естествена степен(a:b) n =a n:b n;
5. повдигане на степен на степен (a m) n =a m·n, нейното обобщение (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;
6. сравнение на степен с нула:
   • ако a>0, тогава a n>0 за всяко естествено число n;
   • ако a=0, тогава a n =0;
   • ако<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 ако a<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
7. ако a и b са положителни числа и a
8. ако m и n са естествени числа, така че m>n, тогава при 0 0 неравенството a m >a n е вярно.

Нека веднага да отбележим, че всички написани равенства са идентиченпри посочените условия, дясната и лявата им част могат да се сменят. Например основното свойство на дробта a m ·a n =a m+n с опростяване на изразичесто се използва под формата a m+n =a m ·a n .

Сега нека разгледаме подробно всеки от тях.

Нека започнем със свойството на произведението на две степени с еднакви основи, което се нарича основното свойство на степента: за всяко реално число a и всякакви естествени числа m и n е вярно равенството a m ·a n =a m+n.

Нека докажем основното свойство на степента. По дефиницията на степен с естествен показател, произведението на степени с еднакви основи от формата a m · a n може да бъде записано като произведение. Поради свойствата на умножението, полученият израз може да бъде записан като , и този продукт е степен на числото a с естествен показател m+n, тоест a m+n. Това завършва доказателството.

Нека дадем пример, потвърждаващ основното свойство на степента. Нека вземем степени с еднакви основи 2 и естествени степени 2 и 3, като използваме основното свойство на степените, можем да запишем равенството 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5. Нека проверим неговата валидност, като изчислим стойностите на изразите 2 2 · 2 3 и 2 5 . Извършвайки степенуване, имаме 2 2 ·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32и 2 5 =2·2·2·2·2=32, тъй като се получават равни стойности, то равенството 2 2 ·2 3 =2 5 е правилно и то потвърждава основното свойство на степента.

Основното свойство на степента, базирано на свойствата на умножението, може да се обобщи до произведението на три или повече степени с еднакви основи и естествени показатели. Така че за всяко число k от естествените числа n 1, n 2, …, n k е вярно следното равенство: a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

Например, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

Можем да преминем към следващото свойство на степените с естествен показател – свойство на частни степени с еднакви бази: за всяко ненулево реално число a и произволни естествени числа m и n, отговарящи на условието m>n, е вярно равенството a m:a n =a m−n.

Преди да представим доказателството за това свойство, нека обсъдим значението на допълнителните условия във формулировката. Условието a≠0 е необходимо, за да избегнем деленето на нула, тъй като 0 n =0, а когато се запознахме с деленето, се съгласихме, че не можем да делим на нула. Условието m>n е въведено, за да не излизаме извън естествените степени. Наистина, за m>n показателят a m−n е естествено число, в противен случай ще бъде или нула (което се случва за m−n), или отрицателно число (което се случва за m

Доказателство. Основното свойство на дробта ни позволява да напишем равенството a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m. От полученото равенство a m−n ·a n =a m и следва, че a m−n е частно от степените a m и a n . Това доказва свойството на частните степени с еднакви бази.

Да дадем пример. Да вземем две степени с еднакви основи π и естествени показатели 5 и 2, равенството π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 отговаря на разглежданото свойство на степента.

Сега нека помислим свойство мощност на продукта: естествената степен n на произведението на произволни две реални числа a и b е равна на произведението на степените a n и b n, тоест (a·b) n =a n ·b n.

Наистина, по дефиницията на степен с естествен показател имаме . Въз основа на свойствата на умножението, последният продукт може да бъде пренаписан като , което е равно на a n · b n .

Ето един пример: .

Това свойство се простира до степента на произведението на три или повече фактора. Тоест, свойството естествена степен n на произведението от k фактора се записва като (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n.

За по-голяма яснота ще покажем това свойство с пример. За произведението на три множителя на степен 7 имаме .

Следното свойство е свойство на частно в натура: частното на реалните числа a и b, b≠0 към естествената степен n е равно на частното на степените a n и b n, тоест (a:b) n =a n:b n.

Доказателството може да се извърши с помощта на предишното свойство. Така (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, а от равенството (a:b) n ·b n =a n следва, че (a:b) n е частното от a n делено на b n .

Нека напишем това свойство, използвайки конкретни числа като пример: .

Сега нека го озвучим свойство за повдигане на степен на степен: за всяко реално число a и всякакви естествени числа m и n степента на a m на степен n е равна на степента на числото a с показател m·n, тоест (a m) n =a m·n.

Например (5 2) 3 =5 2·3 =5 6.

Доказателството за свойството степен към степен е следната верига от равенства: .

Разглежданото свойство може да бъде разширено до степен до степен до степен и т.н. Например, за всякакви естествени числа p, q, r и s, равенството . За по-голяма яснота ето пример с конкретни числа: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Остава да се спрем на свойствата на сравняване на степени с естествен показател.

Нека започнем с доказване на свойството за сравняване на нула и степен с естествен показател.

Първо, нека докажем, че a n >0 за всяко a>0.

Произведението на две положителни числа е положително число, както следва от определението за умножение. Този факт и свойствата на умножението предполагат, че резултатът от умножаването на произволен брой положителни числа също ще бъде положително число. А степента на число a с естествен показател n по дефиниция е произведението на n множителя, всеки от които е равен на a. Тези аргументи ни позволяват да твърдим, че за всяка положителна основа a степента a n е положително число. Поради доказаното свойство 3 5 >0, (0.00201) 2 >0 и .

Съвсем очевидно е, че за всяко естествено число n с a=0 степента на a n е нула. Наистина, 0 n =0·0·…·0=0 . Например 0 3 =0 и 0 762 =0.

Нека преминем към отрицателните основи на степен.

Нека започнем със случая, когато показателят е четно число, нека го обозначим като 2·m, където m е естествено число. Тогава . За всяко от произведенията на формата a·a е равно на произведението на модулите на числата a и a, което означава, че е положително число. Следователно продуктът също ще бъде положителен и степен a 2·m. Нека дадем примери: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 и .

И накрая, когато основата a е отрицателно число и показателят е нечетно число 2 m−1, тогава . Всички продукти a·a са положителни числа, произведението на тези положителни числа също е положително и неговото умножение по оставащото отрицателно число a води до отрицателно число. Поради това свойство (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

Нека да преминем към свойството за сравняване на степени с еднакви естествени показатели, което има следната формулировка: от две степени с еднакви естествени показатели n е по-малко от тази, чиято основа е по-малка, а по-голяма е тази, чиято основа е по-голяма . Нека го докажем.

Неравенство a n свойства на неравенстватадоказуемо неравенство от формата a n също е вярно .

Остава да докажем и последното от изброените свойства на степените с естествен показател. Нека го формулираме. От две степени с естествени показатели и еднакви положителни основи, по-малки от единица, тази, чийто показател е по-малък, е по-голяма; и от две степени с естествен показател и еднакви основи, по-големи от единица, тази, чийто степен е по-голяма, е по-голяма. Нека преминем към доказателството на това свойство.

Нека докажем, че за m>n и 0 0 поради първоначалното условие m>n, което означава, че при 0

Остава да се докаже и втората част от имота. Нека докажем, че за m>n и a>1 a m >a n е вярно. Разликата a m −a n след изваждане на n извън скобите приема формата a n ·(a m−n −1) . Това произведение е положително, тъй като за a>1 степента a n е положително число, а разликата a m−n −1 е положително число, тъй като m−n>0 поради началното условие, а за a>1 степента a m−n е по-голямо от едно. Следователно, a m −a n >0 и a m >a n, което трябваше да бъде доказано. Това свойство се илюстрира от неравенството 3 7 >3 2.

Свойства на степени с цели показатели

Тъй като положителните цели числа са естествени числа, тогава всички свойства на степени с цели положителни показатели съвпадат точно със свойствата на степени с естествени показатели, изброени и доказани в предходния параграф.

Дефинирахме степен с цяло число отрицателен показател, както и степен с нулев показател, по такъв начин, че всички свойства на степени с естествени показатели, изразени чрез равенства, останаха валидни. Следователно, всички тези свойства са валидни както за нулев показател, така и за отрицателен показател, докато, разбира се, основите на степените са различни от нула.

И така, за всички реални и ненулеви числа a и b, както и за всички цели числа m и n, е вярно следното: свойства на степени с цели показатели:

1. a m · a n = a m+n ;
2. a m:a n =a m−n ;
3. (a·b) n = a n · b n;
4. (a:b) n =a n:b n ;
5. (a m) n = a m·n;
6. ако n е положително цяло число, a и b са положителни числа и a b−n ;
7. ако m и n са цели числа и m>n, тогава при 0 1 е в сила неравенството a m >a n.

Когато a=0, степените a m и a n имат смисъл само когато и m, и n са цели положителни числа, тоест естествени числа. Така току-що записаните свойства са валидни и за случаите, когато a=0 и числата m и n са цели положителни числа.

Доказването на всяко от тези свойства не е трудно, достатъчно е да се използват дефинициите на степени с естествени и цели числа, както и свойствата на операциите с реални числа. Като пример, нека докажем, че свойството степен към степен е валидно както за положителни цели, така и за неположителни цели числа. За да направите това, трябва да покажете, че ако p е нула или естествено число и q е нула или естествено число, тогава равенствата (a p) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) ·q, (a p ) −q =a p·(−q) и (a −p) −q =a (−p)·(−q). Хайде да го направим.

За положителни p и q, равенството (a p) q =a p·q беше доказано в предишния параграф. Ако p=0, тогава имаме (a 0) q =1 q =1 и a 0·q =a 0 =1, откъдето (a 0) q =a 0·q. По същия начин, ако q=0, тогава (a p) 0 =1 и a p·0 =a 0 =1, откъдето (a p) 0 =a p·0. Ако и двете p=0 и q=0, тогава (a 0) 0 =1 0 =1 и a 0·0 =a 0 =1, откъдето (a 0) 0 =a 0·0.

Сега доказваме, че (a −p) q =a (−p)·q . Тогава по дефиниция на степен с отрицателен цяло число . По свойството частни на степени имаме . Тъй като 1 p =1·1·…·1=1 и , тогава . Последният израз по дефиниция е степен от формата a −(p·q), която поради правилата за умножение може да бъде записана като a (−p)·q.

По същия начин .

И .

Използвайки същия принцип, можете да докажете всички други свойства на степен с цяло число, записани под формата на равенства.

В предпоследното от записаните свойства си струва да се спрем на доказателството на неравенството a −n >b −n, което е валидно за всяко отрицателно цяло число −n и всяко положително a и b, за които е изпълнено условието a . Тъй като по условие а 0 . Произведението a n · b n също е положително като произведението на положителните числа a n и b n . Тогава получената дроб е положителна като частно на положителните числа b n −a n и a n ·b n . Следователно, откъде a −n >b −n , което трябваше да се докаже.

Последното свойство на степени с цели показатели се доказва по същия начин като подобно свойство на степени с естествени показатели.

Свойства на степени с рационални показатели

Дефинирахме степен с дробен показател, като разширихме свойствата на степен с целочислен показател към него. С други думи, степени с дробни показатели имат същите свойства като степени с цели числа. а именно:

Доказателството за свойствата на степени с дробен показател се основава на дефиницията на степен с дробен показател и върху свойствата на степен с цяло число. Нека предоставим доказателства.

По дефиниция на степен с дробен показател и , тогава . Свойствата на аритметичния корен ни позволяват да напишем следните равенства. Освен това, използвайки свойството на степен с цяло число, получаваме , от което, по дефиницията на степен с дробен показател, имаме , а показателят за получената степен може да се трансформира по следния начин: . Това завършва доказателството.

Второто свойство на степените с дробни показатели се доказва по абсолютно подобен начин:

Останалите равенства се доказват с помощта на подобни принципи:

Да преминем към доказване на следващото свойство. Нека докажем, че за всяко положително a и b , a b p . Нека запишем рационалното число p като m/n, където m е цяло число, а n е естествено число. Условия стр<0 и p>0 в този случай условията m<0 и m>0 съответно. За m>0 и a

По същия начин за m<0 имеем a m >b m , от където, т.е. и a p >b p .

Остава да докажем последното от изброените свойства. Нека докажем, че за рационални числа p и q, p>q при 0 0 – неравенство a p >a q . Винаги можем да сведем рационалните числа p и q до общ знаменател, дори ако получим обикновени дроби и , където m 1 и m 2 са цели числа, а n е естествено число. В този случай условието p>q ще съответства на условието m 1 >m 2, което следва от. След това, чрез свойството за сравняване на степени с еднакви основи и естествени показатели при 0 1 – неравенство a m 1 >a m 2 . Тези неравенства в свойствата на корените могат да бъдат пренаписани съответно като И . А дефиницията на степен с рационален показател ни позволява да преминем към неравенствата и съответно. Оттук правим крайния извод: за p>q и 0 0 – неравенство a p >a q .

Свойства на степени с ирационални показатели

От начина, по който е дефинирана степен с ирационален показател, можем да заключим, че тя има всички свойства на степени с рационален показател. Така че за всяко a>0, b>0 и ирационални числа p и q е вярно следното свойства на степени с ирационални показатели:

1. a p ·a q =a p+q ;
2. a p:a q =a p−q ;
3. (a·b) p =a p ·b p ;
4. (a:b) p =a p:b p ;
5. (a p) q = a p·q;
6. за всякакви положителни числа a и b, a 0 неравенството a p b p ;
7. за ирационални числа p и q, p>q при 0 0 – неравенство a p >a q .

От това можем да заключим, че степени с всякакви реални показатели p и q за a>0 имат същите свойства.

Библиография.

• Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Учебник по математика за 5 клас. образователни институции.
• Макаричев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник за 7. клас. образователни институции.
• Макаричев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник за 8. клас. образователни институции.
• Макаричев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник за 9. клас. образователни институции.
• Колмогоров A.N., Абрамов A.M., Дудницин Ю.П. и др.. Алгебра и началото на анализа: Учебник за 10 - 11 клас на общообразователните институции.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (наръчник за постъпващите в технически училища).

Степен с рационален показател, нейните свойства.

Израз a n дефинирани за всички a и n, с изключение на случая на a=0 за n≤0. Нека си припомним свойствата на такива мощности.

За произволни числа a, b и произволни цели числа m и n са валидни равенствата:

A m *a n =a m+n ; a m:a n =a m-n (a≠0); (a m) n = a mn; (ab) n = a n *b n ; (b≠0); a 1 =a; a 0 =1 (a≠0).

Обърнете внимание и на следното свойство:

Ако m>n, тогава a m >a n за a>1 и a m<а n при 0<а<1.

В този раздел ще обобщим концепцията за степените на число, давайки значение на изрази от тип 2 0.3 , 8 5/7 , 4 -1/2 и т.н. Естествено е да се даде определение по такъв начин, че степените с рационален показател имат същите свойства (или поне част от тях) като степени с цяло число. След това, по-специално, n-та степен на числототрябва да е равно на aм . Действително, ако имотът

(a p) q = a pq

тогава се изпълнява

Последното равенство означава (по дефиниция на n-тия корен), че числототрябва да е n-ти корен от aм.

Определение.

Степента на число a>0 с рационален показател r=, където m е цяло число и n е естествено число (n > 1), е числото

И така, по дефиниция

(1)

Степента на 0 е дефинирана само за положителни показатели; по дефиниция 0 r = 0 за всяко r>0.

Степен c ирационален показател.

Ирационално числомогат да бъдат представени във форматаграница на поредица от рационални числа: .

Позволявам . След това има степени с рационален показател. Може да се докаже, че последователността на тези степени е сходяща. Границата на тази последователност се нарича степен с основа и ирационален показател: .

Нека фиксираме положително число a и го присвоим на всяко число. Така получаваме числовата функция f(x) = aх , определени върху множеството Q от рационални числа и притежаващи изброените по-горе свойства. Когато a=1 функция f(x) = aх е постоянен, тъй като 1х =1 за всяко рационално x.

Нека начертаем няколко точки върху графиката на функцията y = 2х като предварително сте изчислили стойността 2 с помощта на калкулаторх върху отсечката [—2; 3] със стъпка 1/4 (фиг. 1, а), а след това със стъпка 1/8 (фиг. 1, б), като продължаваме мислено същите конструкции със стъпки 1/16, 1/32, и т.н. виждаме, че получените точки могат да бъдат свързани с гладка крива, която естествено може да се счита за графика на някаква функция, дефинирана и нарастваща по цялата числова линия и приемаща стойностив рационални точки(фиг. 1, в). След като изградих достатъчно голямо числоточки на графиката на функцията, можете да се уверите, че тази функция има подобни свойства (разликата е, че функциятанамалява на R).

Тези наблюдения предполагат, че числата 2 могат да бъдат определени по този начинα и за всяко ирационално α, че функциите, дадени с формулите y=2 x и ще бъде непрекъсната, а функцията y=2х увеличава, а функциятанамалява по цялата числова ос.

Нека опишем в общи линии как се определя числото a α за ирационално α за a>1. Искаме да гарантираме, че функцията y = aх се увеличаваше. Тогава за всяко рационално r 1 и r 2 така, че r 1<αтрябва да удовлетворява неравенствата a r 1<а α <а r 1 .

Избор на r стойности 1 и r 2 приближавайки x, може да се забележи, че съответните стойности на a r 1 и a r 2 ще се различава малко. Може да се докаже, че съществува и само едно число y, което е по-голямо от всички a r 1 за всички рационални r 1 и най-малко a r 2 за всички рационални r 2 . Това число y по дефиниция е a α .

Например, като използвате калкулатор, за да изчислите стойността 2 x в точки x n и x` n, където x n и x` n - десетични приближения на числаще открием, че колкото по-близо е x n и x`n k , толкова по-малко се различават 2-те x n и 2 x` n.

От тогава

и следователно,

По същия начин, като се имат предвид следните десетични приближенияспоред недостига и излишъка стигаме до отношенията

;

;

;

;

.

Смисъл изчислено на калкулатора е:

.

Числото a се определя по подобен начин α за 0<α<1. Кроме того полагают 1 α =1 за всякакви α и 0α =0 за α>0.

Експоненциална функция.

При а > 0, а = 1, дефинирана функция y = a х, различна от константата. Тази функция се нарича експоненциална функцияс основаа.

г= а хпри а> 1:

Графики на експоненциални функции с основа 0< а < 1 и а> 1 са показани на фигурата.

Основни свойства на експоненциалната функция г= а хна 0< а < 1:

• Областта на дефиниране на функция е цялата числова ос.
• Функционален диапазон - интервал (0; + ) .
• Функцията нараства строго монотонно върху цялата числова ос, т.е. ако х 1 < x 2, тогава a x 1 >a x 2 .
• При х= 0 стойността на функцията е 1.
• Ако х> 0, след това 0< а < 1 и ако х < 0, то a x > 1.
ДА СЕ общи свойстваекспоненциална функция като при 0< a < 1, так и при a > 1 включват:
• а х 1 а х 2 = а х 1 + х 2, за всички х 1 И х 2.
• а − x= ( а х) − 1 = 1 ахза всеки х.
• на х= а