Първо ниво

Геометрична прогресия. Изчерпателно ръководствос примери (2019)

Числова последователност

И така, нека седнем и да започнем да записваме някои числа. Например:

Можете да пишете всякакви числа и може да има колкото искате (в нашия случай ги има). Колкото и числа да пишем, винаги можем да кажем кое е първо, кое второ и така до последното, тоест можем да ги номерираме. Това е пример за числова последователност:

Числова последователносте набор от числа, на всяко от които може да бъде присвоен уникален номер.

Например за нашата последователност:

Присвоеният номер е специфичен само за един номер в поредицата. С други думи, в редицата няма три втори числа. Второто число (като числото th) винаги е едно и също.

Числото с числото се нарича n-ти член на редицата.

Обикновено наричаме цялата последователност с някаква буква (например,), и всеки член на тази последователност е една и съща буква с индекс, равен на номера на този член: .

В нашия случай:

Най-често срещаните видове прогресия са аритметична и геометрична. В тази тема ще говорим за втория вид - геометрична прогресия.

Защо е необходима геометричната прогресия и нейната история?

Още в древни времена италианският математик монах Леонардо от Пиза (по-известен като Фибоначи) се е занимавал с практическите нужди на търговията. Монахът беше изправен пред задачата да определи какъв е най-малкият брой тежести, които могат да се използват за претегляне на продукт? В своите трудове Фибоначи доказва, че такава система от тежести е оптимална: Това е една от първите ситуации, в които хората трябваше да се справят с геометрична прогресия, за която вероятно вече сте чували и имате поне обща концепция. След като разберете напълно темата, помислете защо такава система е оптимална?

В момента в житейската практика, геометрична прогресияТя се проявява при инвестиране на пари в банка, когато размерът на лихвата се изчислява върху сумата, натрупана по сметката за предходния период. С други думи, ако поставите пари на срочен депозит в спестовна банка, тогава след една година депозитът ще се увеличи с първоначалната сума, т.е. новата сума ще бъде равна на вноската, умножена по. След друга година тази сума ще се увеличи с, т.е. получената по това време сума отново ще бъде умножена по и т.н. Подобна ситуация е описана в задачи за изчисляване на т.нар сложна лихва- процентът се взема всеки път от сумата, която е в сметката, като се вземат предвид предишни лихви. Ще говорим за тези задачи малко по-късно.

Има много по-прости случаи, в които се прилага геометрична прогресия. Например разпространението на грип: един човек зарази друг човек, те от своя страна заразиха друг човек и по този начин втората вълна на заразата е човек, а той от своя страна зарази друг... и така нататък. .

Между другото, финансовата пирамида, същата МММ, е просто и сухо изчисление, основано на свойствата на геометричната прогресия. Интересно? Нека да го разберем.

Геометрична прогресия.

Да кажем, че имаме числова последователност:

Веднага ще отговорите, че е лесно и името на такава последователност е аритметична прогресияс разликата на своите членове. Какво ще кажете за това:

Ако извадите предишното от следващото число, ще видите, че всеки път получавате нова разлика (и така нататък), но последователността определено съществува и се забелязва лесно - всяко следващо число е в пъти по-голямо от предишното!

Този тип числова последователност се нарича геометрична прогресияи е обозначен.

Геометричната прогресия () е числова последователност, чийто първи член е различен от нула и всеки член, започвайки от втория, е равен на предишния, умножен по същото число. Това число се нарича знаменател на геометрична прогресия.

Ограниченията, че първият член ( ) не е равен и не са случайни. Да приемем, че няма такива и първият член все още е равен и q е равно на, хм.. нека бъде, тогава се оказва:

Съгласете се, че това вече не е прогресия.

Както разбирате, ще получим същите резултати, ако има число, различно от нула, a. В тези случаи просто няма да има прогресия, тъй като цялата редица от числа ще бъде или изцяло нула, или едно число, а всички останали ще бъдат нули.

Сега нека поговорим по-подробно за знаменателя на геометричната прогресия, тоест o.

Нека повторим: - това е числото колко пъти се променя всеки следващ член?геометрична прогресия.

Какво мислите, че може да бъде? Точно така, положително и отрицателно, но не нула (говорихме за това малко по-горе).

Да приемем, че нашето е положително. Нека в нашия случай, a. Каква е стойността на втория член и? Можете лесно да отговорите на това:

Това е вярно. Съответно, ако, тогава всички следващи членове на прогресията имат един и същ знак - те са положителни.

Ами ако е отрицателен? Например, a. Каква е стойността на втория член и?

Това е съвсем друга история

Опитайте се да преброите условията на тази прогресия. Колко получихте? Аз имам. Така ако, тогава знаците на членовете на геометричната прогресия се редуват. Тоест, ако видите прогресия с редуващи се знаци за нейните членове, тогава нейният знаменател е отрицателен. Това знание може да ви помогне да се тествате, когато решавате задачи по тази тема.

Сега нека се упражняваме малко: опитайте се да определите кои числови последователности са геометрична прогресия и кои са аритметична прогресия:

Схванах го? Нека сравним нашите отговори:

• Геометрична прогресия - 3, 6.
• Аритметична прогресия - 2, 4.
• Не е нито аритметична, нито геометрична прогресия - 1, 5, 7.

Нека се върнем към последната ни прогресия и се опитаме да намерим нейния член, точно както в аритметичната. Както може би се досещате, има два начина да го намерите.

Ние последователно умножаваме всеки член по.

И така, членът на описаната геометрична прогресия е равен на.

Както вече се досетихте, сега вие сами ще извлечете формула, която ще ви помогне да намерите всеки член на геометричната прогресия. Или вече сте го разработили за себе си, описвайки как да намерите члена стъпка по стъпка? Ако е така, тогава проверете правилността на вашите разсъждения.

Нека илюстрираме това с примера за намиране на тия член на тази прогресия:

С други думи:

Намерете сами стойността на члена на дадената геометрична прогресия.

Се случи? Нека сравним нашите отговори:

Моля, имайте предвид, че сте получили точно същото число като в предишния метод, когато последователно умножихме по всеки предишен член на геометричната прогресия.
Нека се опитаме да "обезличим" тази формула - да я представим в общ вид и да получим:

Изведената формула е вярна за всички стойности - както положителни, така и отрицателни. Проверете това сами, като изчислите членовете на геометричната прогресия със следните условия: , a.

броихте ли Нека сравним резултатите:

Съгласете се, че би било възможно да се намери член на прогресия по същия начин като член, но има възможност за неправилно изчисляване. И ако вече сме намерили члена на геометричната прогресия, тогава какво може да бъде по-просто от използването на „скъсената“ част от формулата.

Безкрайно намаляваща геометрична прогресия.

Съвсем наскоро говорихме за факта, че може да има и повече, и по-малко от нула, обаче, има специални стойности, за които се нарича геометричната прогресия безкрайно намаляваща.

Защо мислите, че е дадено това име?
Първо, нека напишем някаква геометрична прогресия, състояща се от членове.
Да кажем тогава:

Виждаме, че всеки следващ член е по-малък от предишния с коефициент, но ще има ли някакво число? Веднага ще отговорите - „не“. Затова е безкрайно намаляваща – намалява и намалява, но никога не става нула.

За да разберем ясно как изглежда това визуално, нека се опитаме да начертаем графика на нашата прогресия. И така, за нашия случай формулата приема следната форма:

На графиките, от които сме свикнали да начертаваме зависимостта, следователно:

Същността на израза не се е променила: в първия запис показахме зависимостта на стойността на член на геометрична прогресия от неговия пореден номер, а във втория запис просто взехме стойността на член на геометрична прогресия като , и обозначава поредния номер не като, а като. Всичко, което остава да се направи, е да се изгради графика.
Да видим какво имаш. Ето графиката, която измислих:

Виждаш ли? Функцията намалява, клони към нула, но никога не я пресича, така че е безкрайно намаляваща. Нека отбележим нашите точки на графиката и в същото време какво означава координатата и:

Опитайте се да изобразите схематично графика на геометрична прогресия, ако нейният първи член също е равен. Анализирайте каква е разликата с предишната ни графика?

успяхте ли Ето графиката, която измислих:

Сега, след като разбрахте напълно основите на темата за геометричната прогресия: знаете какво е това, знаете как да намерите нейния член и също така знаете какво е безкрайно намаляваща геометрична прогресия, нека преминем към нейното основно свойство.

Свойство на геометричната прогресия.

Спомняте ли си свойствата на членовете на аритметична прогресия? Да, да, как да намерите стойността на определен брой от прогресията, когато има предишни и последващи стойности на условията на тази прогресия. Помниш ли? Това:

Сега сме изправени пред абсолютно същия въпрос за членовете на геометричната прогресия. За да изведем такава формула, нека започнем да рисуваме и разсъждаваме. Ще видите, че е много лесно и ако забравите, можете да го извадите сами.

Нека вземем друга проста геометрична прогресия, в която знаем и. Как да намеря? С аритметичната прогресия е лесно и просто, но какво да кажем тук? Всъщност в геометрията също няма нищо сложно - просто трябва да запишете всяка стойност, дадена ни според формулата.

Може да попитате какво трябва да направим по въпроса сега? Да, много просто. Първо, нека изобразим тези формули на снимка и се опитаме да направим различни манипулации с тях, за да стигнем до стойността.

Нека се абстрахираме от числата, които ни се дават, нека се съсредоточим само върху тяхното изразяване чрез формулата. Трябва да намерим маркираната стойност оранжево, познавайки съседните членове. Нека се опитаме да произвеждаме с тях различни действия, в резултат на което можем да получим.

Допълнение.
Нека се опитаме да съберем два израза и ще получим:

От този израз, както виждате, не можем да го изразим по никакъв начин, затова ще опитаме друг вариант - изваждане.

Изваждане.

Както можете да видите, ние също не можем да изразим това, затова нека се опитаме да умножим тези изрази един по друг.

Умножение.

Сега погледнете внимателно какво имаме, като умножим членовете на дадената ни геометрична прогресия в сравнение с това, което трябва да се намери:

Познайте за какво говоря? Точно така, за да намерим трябва да вземем Корен квадратенот числата на геометричната прогресия, съседни на желаното, умножени едно по друго:

Ето. Вие сами сте извели свойството на геометричната прогресия. Опитайте се да напишете тази формула общ изглед. Се случи?

Забравихте условието? Помислете защо е важно, например, опитайте се да го изчислите сами. Какво ще стане в този случай? Точно така, пълни глупости, защото формулата изглежда така:

Съответно, не забравяйте това ограничение.

Сега нека изчислим на какво се равнява

Верен отговор - ! Ако не сте забравили втората възможна стойност по време на изчислението, значи сте страхотни и можете веднага да преминете към обучение, а ако сте забравили, прочетете какво се обсъжда по-долу и обърнете внимание защо е необходимо да запишете и двата корена в отговора.

Нека начертаем и двете си геометрични прогресии - едната със стойност, а другата със стойност и да проверим дали и двете имат право на съществуване:

За да се провери дали такава геометрична прогресия съществува или не, е необходимо да се види дали всички нейни дадени членове са еднакви? Изчислете q за първия и втория случай.

Вижте защо трябва да напишем два отговора? Защото знакът на търсения термин зависи от това дали е положителен или отрицателен! И тъй като не знаем какво е, трябва да напишем и двата отговора с плюс и минус.

Сега, след като сте усвоили основните точки и сте извели формулата за свойството на геометричната прогресия, намерете, знаейки и

Сравнете вашите отговори с правилните:

Какво мислите, ако ни бяха дадени не стойностите на членовете на геометричната прогресия, съседни на желаното число, а на равно разстояние от него. Например, трябва да намерим и даден и. Можем ли да използваме формулата, която сме извели в този случай? Опитайте се да потвърдите или опровергаете тази възможност по същия начин, като опишете от какво се състои всяка стойност, както сте направили, когато първоначално сте извели формулата, при.
Какво получи?

Сега погледнете внимателно отново.
и съответно:

От това можем да заключим, че формулата работи не само със съседнитес желаните членове на геометричната прогресия, но и с равноотдалечениот това, което членовете търсят.

Така нашата първоначална формула приема формата:

Тоест, ако в първия случай казахме това, сега казваме, че може да бъде равно на всяко естествено число, което е по-малко. Основното е, че е еднакво и за двете дадени числа.

Упражнявайте се върху конкретни примери, просто бъдете изключително внимателни!

1. , . Намирам.
2. , . Намирам.
3. , . Намирам.

Решихте ли? Надявам се, че сте били изключително внимателни и сте забелязали малка уловка.

Нека сравним резултатите.

В първите два случая ние спокойно прилагаме горната формула и получаваме следните стойности:

В третия случай, когато внимателно изследваме серийните номера на числата, които са ни дадени, разбираме, че те не са на равно разстояние от търсеното число: това е предишното число, но е премахнато на позиция, така че е не е възможно да се приложи формулата.

Как да го решим? Всъщност не е толкова трудно, колкото изглежда! Нека запишем от какво се състои всяко дадено ни число и числото, което търсим.

Така че имаме и. Да видим какво можем да направим с тях? Предлагам да разделите на. Получаваме:

Заменяме нашите данни във формулата:

Следващата стъпка, която можем да намерим - за това трябва да предприемем кубичен коренот полученото число.

Сега нека погледнем отново какво имаме. Имаме го, но трябва да го намерим, а то от своя страна е равно на:

Намерихме всички необходими данни за изчислението. Заместете във формулата:

Нашият отговор: .

Опитайте сами да разрешите друг подобен проблем:
Дадено: ,
Намирам:

Колко получихте? Аз имам - .

Както можете да видите, по същество имате нужда запомни само една формула- . Всички останали можете да изтеглите сами без никакви затруднения по всяко време. За да направите това, просто напишете най-простата геометрична прогресия на лист хартия и запишете на какво е равно всяко от нейните числа, съгласно описаната по-горе формула.

Сумата от членовете на геометрична прогресия.

Сега нека разгледаме формулите, които ни позволяват бързо да изчислим сумата от членовете на геометрична прогресия в даден интервал:

За да изведете формулата за сумата от членовете на крайна геометрична прогресия, умножете всички части на горното уравнение по. Получаваме:

Погледнете внимателно: какво е общото между последните две формули? Точно така, обикновени членове, например, и така нататък, с изключение на първия и последния член. Нека се опитаме да извадим 1-вото от 2-то уравнение. Какво получи?

Сега изразете члена на геометричната прогресия чрез формулата и заместете получения израз в нашата последна формула:

Групирайте израза. Трябва да получите:

Всичко, което остава да се направи, е да се изрази:

Съответно в този случай.

Какво ако? Коя формула работи тогава? Представете си геометрична прогресия при. Каква е тя? Поредица от еднакви числа е правилна, така че формулата ще изглежда така:

Има много легенди както за аритметичната, така и за геометричната прогресия. Една от тях е легендата за Сет, създателят на шаха.

Много хора знаят, че играта шах е измислена в Индия. Когато хиндуисткият крал я срещна, той беше възхитен от нейното остроумие и разнообразието от възможни позиции в нея. След като научил, че е изобретен от един от неговите поданици, кралят решил лично да го награди. Той извикал изобретателя при себе си и му наредил да поиска от него всичко, което поиска, като обещал да изпълни и най-изкусното желание.

Сета поискал време за размисъл и когато на следващия ден Сета се явил пред краля, той изненадал краля с безпрецедентната скромност на молбата си. Той поиска да даде житно зърно за първото поле на шахматната дъска, житно зърно за второто, житно зърно за третото, четвъртото и т.н.

Кралят беше ядосан и изгони Сет, като каза, че молбата на слугата е недостойна за щедростта на краля, но обеща, че слугата ще получи своите зърна за всички квадратчета на дъската.

И сега въпросът: използвайки формулата за сумата от членовете на геометрична прогресия, изчислете колко зърна трябва да получи Сет?

Да започнем да разсъждаваме. Тъй като според условието Сет е поискал житно зърно за първото поле на шахматната дъска, за второто, за третото, за четвъртото и т.н., тогава виждаме, че в проблема ние говорим заотносно геометричната прогресия. На какво се равнява в този случай?
вярно

Общо полета на шахматната дъска. Съответно,. Имаме всички данни, всичко, което остава, е да ги включим във формулата и да изчислим.

За да си представим поне приблизително „мащаба“ на дадено число, трансформираме, използвайки свойствата на степента:

Разбира се, ако искате, можете да вземете калкулатор и да изчислите какво число ще получите в крайна сметка, а ако не, ще трябва да повярвате на думата ми: крайната стойност на израза ще бъде.
Това е:

квинтилион квадрилион трилион милиард милиона хиляди.

Пфу) Ако искате да си представите огромността на това число, тогава преценете колко голям хамбар би бил необходим, за да побере цялото количество зърно.
Ако хамбарът е m висок и m широк, дължината му трябва да се простира с km, т.е. два пъти по-далеч от Земята до Слънцето.

Ако царят беше силен в математиката, той можеше да покани самия учен да преброи зърната, защото за да преброи един милион зърна, щеше да му трябва поне един ден неуморно броене, а като се има предвид, че е необходимо да се преброят квинтилиони, зърната ще трябва да се брои през целия му живот.

Сега нека решим проста задача, включваща сумата от членовете на геометрична прогресия.
Ученикът от 5А клас Вася се разболя от грип, но продължава да ходи на училище. Всеки ден Вася заразява двама души, които от своя страна заразяват още двама и т.н. В класа има само хора. След колко дни целият клас ще е болен от грип?

И така, първият член на геометричната прогресия е Вася, тоест човек. Членът на геометричната прогресия са двамата души, които е заразил в първия ден от пристигането си. обща сумачленове на прогресията е равен на броя на учениците в 5A. Съответно говорим за прогресия, при която:

Нека заместим нашите данни във формулата за сумата от членовете на геометрична прогресия:

Целият клас ще се разболее до дни. Не вярвате на формули и числа? Опитайте се сами да изобразите „заразата“ на учениците. Се случи? Вижте как изглежда при мен:

Пресметнете сами за колко дни ще се разболеят учениците от грип, ако всеки зарази по един човек, а в класа има само един човек.

Каква стойност получихте? Оказа се, че всички започват да се разболяват след ден.

Както можете да видите, такава задача и рисунката за нея приличат на пирамида, в която всяка следваща „носи“ нови хора. Но рано или късно идва момент, когато последният не може да привлече никого. В нашия случай, ако си представим, че класът е изолиран, човекът от затваря веригата (). По този начин, ако човек е участвал във финансова пирамида, в която са дадени пари, ако доведете двама други участници, тогава лицето (или общ случай) не биха довели никого и следователно биха загубили всичко, което са инвестирали в тази финансова измама.

Всичко, което беше казано по-горе, се отнася до намаляваща или нарастваща геометрична прогресия, но, както си спомняте, имаме специален тип - безкрайно намаляваща геометрична прогресия. Как да изчислим сбора на членовете му? И защо този тип прогресия има определени характеристики? Нека да го разберем заедно.

И така, първо, нека да погледнем отново този чертеж на безкрайно намаляваща геометрична прогресия от нашия пример:

Сега нека разгледаме формулата за сумата от геометрична прогресия, получена малко по-рано:
или

Към какво се стремим? Точно така, графиката показва, че клони към нула. Тоест при, ще бъде почти равно, съответно при изчисляване на израза ще получим почти. В тази връзка смятаме, че при изчисляване на сумата на безкрайно намаляваща геометрична прогресия тази скоба може да бъде пренебрегната, тъй като ще бъде равна.

- формулата е сумата от членовете на безкрайно намаляваща геометрична прогресия.

ВАЖНО!Използваме формулата за сумата от членове на безкрайно намаляваща геометрична прогресия само ако условието изрично посочва, че трябва да намерим сумата безкраенброй членове.

Ако е посочено конкретно число n, тогава използваме формулата за сумата от n членове, дори ако или.

Сега нека практикуваме.

1. Намерете сумата на първите членове на геометричната прогресия с и.
2. Намерете сумата от членовете на безкрайно намаляваща геометрична прогресия с и.

Надявам се, че сте били изключително внимателни. Нека сравним нашите отговори:

Вече знаете всичко за геометричната прогресия и е време да преминете от теория към практика. Най-честите задачи с геометрична прогресия, срещани на изпита, са задачи за изчисляване на сложна лихва. Това са тези, за които ще говорим.

Задачи за изчисляване на сложна лихва.

Сигурно сте чували за така наречената формула за сложна лихва. Разбирате ли какво означава? Ако не, нека го разберем, защото след като разберете самия процес, веднага ще разберете какво общо има геометричната прогресия с него.

Всички отиваме в банката и знаем, че има различни условияпо депозити: това е срокът, и допълнителна услуга, и лихва с две различни начининеговите изчисления – прости и сложни.

СЪС проста лихвавсичко е повече или по-малко ясно: лихвата се начислява веднъж в края на срока на депозита. Тоест, ако кажем, че депозираме 100 рубли за една година, те ще бъдат кредитирани едва в края на годината. Съответно до края на депозита ще получим рубли.

Сложна лихва- това е вариант, в който се среща капитализация на лихвата, т.е. добавянето им към сумата на депозита и последващо изчисляване на дохода не от първоначалната, а от натрупаната сума на депозита. Писането с главни букви не се случва постоянно, а с известна честота. По правило тези периоди са равни и най-често банките използват месец, тримесечие или година.

Да приемем, че депозираме същите рубли годишно, но с месечна капитализация на депозита. Какво правим?

Разбираш ли всичко тук? Ако не, нека го разберем стъпка по стъпка.

Донесохме рубли в банката. До края на месеца трябва да имаме сума в сметката си, състояща се от нашите рубли плюс лихвата върху тях, тоест:

Съгласен?

Можем да го извадим от скоби и тогава получаваме:

Съгласете се, тази формула вече е по-подобна на това, което написахме в началото. Всичко, което остава, е да разбера процентите

В изложението на проблема ни се казва за годишни ставки. Както знаете, ние не умножаваме по - превръщаме процентите в десетични знаци, това е:

нали Сега може да попитате откъде идва числото? Много просто!
Повтарям: изложението на проблема казва за ГОДИШЕНлихва, която се натрупва МЕСЕЧНО. Както знаете, съответно за година от месеци банката ще ни начисли част от годишната лихва на месец:

Разбра ли? Сега се опитайте да напишете как би изглеждала тази част от формулата, ако кажа, че лихвата се изчислява ежедневно.
успяхте ли Нека сравним резултатите:

Много добре! Нека се върнем към нашата задача: напишете колко ще бъде кредитирана в нашата сметка през втория месец, като се има предвид, че върху натрупаната сума на депозита се начислява лихва.
Ето какво получих:

Или с други думи:

Мисля, че вече сте забелязали закономерност и сте видели геометрична прогресия във всичко това. Напишете на какво ще се равнява неговият член или с други думи каква сума пари ще получим в края на месеца.
Направих? Да проверим!

Както можете да видите, ако вложите пари в банка за една година при проста лихва, ще получите рубли, а ако при сложна лихва, ще получите рубли. Ползата е малка, но това се случва само през годината, но за по-дълъг период капитализацията е много по-печеливша:

Нека разгледаме друг тип задачи, включващи сложна лихва. След това, което сте разбрали, ще ви е елементарно. И така, задачата:

Компанията Звезда започва да инвестира в индустрията през 2000 г. с капитал в долари. Всяка година от 2001 г. насам получава печалба, равна на капитала от предходната година. Каква печалба ще получи фирма Звезда в края на 2003 г., ако печалбите не бяха изтеглени от обращение?

Капитал на фирма Звезда през 2000г.
- капитал на фирма Звезда 2001г.
- капитал на фирма Звезда 2002г.
- капитал на фирма Звезда 2003г.

Или можем да напишем накратко:

За нашия случай:

2000, 2001, 2002 и 2003 г.

Съответно:
рубли
Моля, обърнете внимание, че в тази задача нямаме деление нито на, нито на, тъй като процентът е даден ГОДИШНО и се изчислява ГОДИШНО. Тоест, когато четете задача за сложна лихва, обърнете внимание какъв процент е даден и в какъв период се изчислява и едва след това преминете към изчисления.
Сега знаете всичко за геометричната прогресия.

обучение.

1. Намерете члена на геометричната прогресия, ако е известно, че и
2. Намерете сумата от първите членове на геометричната прогресия, ако е известно, че и
3. Компанията MDM Capital започва да инвестира в индустрията през 2003 г. с капитал в долари. Всяка година от 2004 г. насам получава печалба, равна на капитала от предходната година. Компанията MSK Cash Flows започна да инвестира в индустрията през 2005 г. в размер на $10 000, като започна да реализира печалба през 2006 г. в размер на. С колко долара е капиталът на едното дружество по-голям от капитала на другото в края на 2007 г., ако печалбата не е изтеглена от обръщение?

Отговори:

1. Тъй като формулировката на задачата не казва, че прогресията е безкрайна и се изисква да се намери сумата от определен брой нейни членове, изчислението се извършва по формулата:
2. 
   MDM Capital Company:

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
   - се увеличава със 100%, тоест 2 пъти.
   Съответно:
   рубли
   Компания MSK Cash Flows:

   2005, 2006, 2007.
   - се увеличава с, тоест с пъти.
   Съответно:
   рубли
   рубли

Нека да обобщим.

1) Геометрична прогресия ( ) е числова последователност, чийто първи член е различен от нула, а всеки член, започвайки от втория, е равен на предишния, умножен по същото число. Това число се нарича знаменател на геометрична прогресия.

2) Уравнението на членовете на геометричната прогресия е .

3) може да приема всякаква стойност освен и.

• ако, тогава всички следващи членове на прогресията имат един и същ знак - те са положителни;
• ако, тогава всички следващи условия на прогресията алтернативни знаци;
• когато - прогресията се нарича безкрайно намаляваща.

4) , с - свойство на геометрична прогресия (съседни членове)

или
, при (равноотдалечени термини)

Когато го намерите, не забравяйте това трябва да има два отговора.

Например,

5) Сумата от членовете на геометричната прогресия се изчислява по формулата:
или

Ако прогресията намалява безкрайно, тогава:
или

ВАЖНО!Използваме формулата за сумата от членове на безкрайно намаляваща геометрична прогресия само ако условието изрично посочва, че трябва да намерим сумата от безкраен брой членове.

6) Задачи, включващи сложна лихва, също се изчисляват с помощта на формулата за тия член на геометрична прогресия, при условие че пари в бройне са изтеглени от обращение:

ГЕОМЕТРИЧНА ПРОГРЕСИЯ. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНОТО

Геометрична прогресия( ) е числова редица, чийто първи член е различен от нула, а всеки член, започвайки от втория, е равен на предходния, умножен по същото число. Този номер се нарича знаменател на геометрична прогресия.

Знаменател на геометричната прогресияможе да приема всякаква стойност освен и.

• Ако, тогава всички следващи членове на прогресията имат един и същ знак - те са положителни;
• ако, тогава всички следващи членове на прогресията редуват знаци;
• когато - прогресията се нарича безкрайно намаляваща.

Уравнение на членовете на геометричната прогресия - .

Сума от членовете на геометрична прогресияизчислено по формулата:
или

Формулата за n-тия член на геометрична прогресия е много проста. И като смисъл, и като общ вид. Но има всякакви проблеми по формулата на n-ия член - от много примитивни до доста сериозни. И в процеса на нашето запознанство определено ще разгледаме и двете. Е, да се запознаем?)

И така, да започнем с това, всъщност формулан

Ето я:

b n = b 1 · qn -1

Формулата е просто формула, нищо свръхестествено. Изглежда дори по-просто и по-компактно от подобна формула за. Значението на формулата също е толкова просто, колкото плъстени ботуши.

Тази формула ви позволява да намерите ВСЕКИ член на геометрична прогресия ПО НЕГОВИЯ НОМЕР " н".

Както можете да видите, смисълът е пълна аналогия с аритметична прогресия. Ние знаем числото n - можем също да преброим члена под това число. Който си поискаме. Без многократно умножаване по "q" много, много пъти. Това е целият смисъл.)

Разбирам, че на това ниво на работа с прогресии, всички количества, включени във формулата, вече трябва да са ви ясни, но все пак считам за свой дълг да дешифрирам всяка една. За всеки случай.

И така, започваме:

b 1 – първичлен на геометричната прогресия;

р – ;

н– членски номер;

b n – n-ти (нта)член на геометрична прогресия.

Тази формула свързва четирите основни параметъра на всяка геометрична прогресия - bн, b 1 , рИ н. И всички проблеми с прогресията се въртят около тези четири ключови фигури.

„Как се премахва?“– Чувам любопитен въпрос... Елементарно! Виж!

Какво е равно на второчлен на прогресията? Няма проблем! Пишем директно:

b 2 = b 1 ·q

Ами третият член? Също така не е проблем! Умножаваме втория член още веднъж нар.

Като този:

B 3 = b 2 q

Нека сега си припомним, че вторият член от своя страна е равен на b 1 ·q и заместваме този израз в нашето равенство:

B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2

Получаваме:

б 3 = b 1 ·q 2

Сега нека прочетем нашия запис на руски: третичлен е равен на първия член, умножен по q in второстепени. Схващаш ли? Все още не? Добре, още една стъпка.

Какъв е четвъртият член? Все същото! Умножете предишен(т.е. трети член) на q:

B 4 = b 3 q = (b 1 q 2) q = b 1 q 2 q = b 1 q 3

Обща сума:

б 4 = b 1 ·q 3

И отново превеждаме на руски: четвърточлен е равен на първия член, умножен по q in третистепени.

И така нататък. Е, как е? Хванахте ли модела? да За всеки член с произволно число, броят на еднаквите множители q (т.е. степента на знаменателя) винаги ще бъде с един по-малко от броя на желания членн.

Следователно нашата формула ще бъде без изменения:

b n =b 1 · qn -1

Това е всичко.)

Е, нека решим проблемите, предполагам?)

Решаване на задачи с формулинчлен на геометрична прогресия.

Нека започнем, както обикновено, с директното прилагане на формулата. Ето един типичен проблем:

В геометричната прогресия е известно, че b 1 = 512 и р = -1/2. Намерете десетия член на прогресията.

Разбира се, този проблем може да бъде решен без никакви формули. Директно в смисъла на геометричната прогресия. Но трябва да загреем с формулата за n-тия член, нали? Тук загряваме.

Нашите данни за прилагане на формулата са както следва.

Първият член е известен. Това е 512.

b 1 = 512.

Известен е и знаменателят на прогресията: р = -1/2.

Всичко, което остава, е да разберем какъв е броят на членовете n. Няма проблем! Интересуваме ли се от десетия мандат? Така че заместваме десет вместо n в общата формула.

И внимателно изчислете аритметиката:

Отговор: -1

Както можете да видите, десетият член на прогресията се оказа минус. Нищо изненадващо: нашият знаменател на прогресията е -1/2, т.е. отрицателенномер. И това ни казва, че признаците на нашата прогресия се редуват, да.)

Тук всичко е просто. Ето подобна задача, но малко по-сложна откъм изчисления.

В геометричната прогресия е известно, че:

b 1 = 3

Намерете тринадесетия член на прогресията.

Всичко е същото, само че този път знаменателят на прогресията е ирационален. Корен от две. Е, това е добре. Формулата е универсално нещо, може да се справи с всякакви числа.

Ние работим директно по формулата:

Формулата, разбира се, проработи както трябва, но... тук някои хора се спъват. Какво да правя след това с рута? Как да повдигнем корен на дванадесета степен?

Как-как... Трябва да разберете, че всяка формула, разбира се, е нещо добро, но познанията по цялата предишна математика не се отменят! Как да изградим? Да, запомнете свойствата на градусите! Нека превърнем корена в дробна степени – по формулата за повдигане на степен на степен.

Като този:

Отговор: 192

И това е всичко.)

Каква е основната трудност при директното прилагане на формулата за n-тия член? да Основната трудност е работа с дипломи!А именно, степенуване отрицателни числа, дроби, корени и подобни структури. Така че тези, които имат проблеми с това, моля, повторете степените и техните свойства! Иначе ще забавите и тази тема, да...)

Сега нека разрешим типични проблеми с търсенето един от елементите на формулата, ако са дадени всички останали. За успешно решаване на такива проблеми рецептата е еднообразна и ужасно проста - напишете формулатан-ти член изобщо!Точно в тетрадката до условието. И тогава от условието разбираме какво ни е дадено и какво липсва. И изразяваме от формулата необходимата стойност. Всичко!

Например такъв безвреден проблем.

Петият член на геометрична прогресия със знаменател 3 е 567. Намерете първия член на тази прогресия.

Нищо сложно. Работим директно според заклинанието.

Нека напишем формулата за n-тия член!

b n = b 1 · qn -1

Какво ни е дадено? Първо се дава знаменателят на прогресията: р = 3.

Освен това ни е дадено пети член: b 5 = 567 .

Всичко? Не! Дадено ни е и номер n! Това е пет: n = 5.

Надявам се, че вече разбирате какво има в записа b 5 = 567 два параметъра са скрити наведнъж - това е самият пети член (567) и неговият номер (5). Вече говорих за това в подобен урок, но мисля, че си струва да го споменем и тук.)

Сега заместваме нашите данни във формулата:

567 = b 1 ·3 5-1

Правим аритметиката, опростяваме и получаваме нещо просто линейно уравнение:

81 b 1 = 567

Решаваме и получаваме:

b 1 = 7

Както можете да видите, няма проблеми с намирането на първия член. Но при търсене на знаменателя ри числа нМоже да има и изненади. И вие също трябва да сте подготвени за тях (изненади), да.)

Например този проблем:

Петият член на геометрична прогресия с положителен знаменател е 162, а първият член на тази прогресия е 2. Намерете знаменателя на прогресията.

Този път ни се дават първия и петия член и трябва да намерим знаменателя на прогресията. Ето ни.

Пишем формулатанти член!

b n = b 1 · qn -1

Първоначалните ни данни ще бъдат както следва:

b 5 = 162

b 1 = 2

н = 5

Липсваща стойност р. Няма проблем! Нека го намерим сега.) Заменяме всичко, което знаем във формулата.

Получаваме:

162 = 2р 5-1

2 р 4 = 162

р 4 = 81

Просто уравнение от четвърта степен. И сега - внимателно!На на този етапрешения, много ученици незабавно извличат с радост корена (от четвърта степен) и получават отговора р=3 .

Като този:

q4 = 81

р = 3

Но всъщност това е недовършен отговор. По-точно непълна. Защо? Въпросът е, че отговорът р = -3 също подходящо: (-3) 4 също ще бъде 81!

Това е така, защото уравнението на мощността x n = авинаги има два противоположни коренапри дорин . С плюс и минус:

И двете са подходящи.

Например, когато решавате (т.е. второградуса)

х 2 = 9

По някаква причина не сте изненадани от външния вид двекорени x=±3? Тук е същото. И с всяка друга дористепен (четвърта, шеста, десета и т.н.) ще бъде същата. Подробности в темата за

Ето защо правилно решениеще бъде така:

р 4 = 81

р= ±3

Добре, подредихме знаците. Кое е правилното - плюс или минус? Е, нека прочетем формулировката на проблема отново в търсене на Допълнителна информация. Разбира се, може да не съществува, но в този проблем такава информация на разположение.Нашето условие гласи в прав текст, че е дадена прогресия положителен знаменател.

Следователно отговорът е очевиден:

р = 3

Тук всичко е просто. Какво мислите, че би се случило, ако формулировката на проблема беше следната:

Петият член на геометрична прогресия е 162, а първият член на тази прогресия е 2. Намерете знаменателя на прогресията.

Каква е разликата? да В състояние Нищоне се споменава знакът на знаменателя. Нито пряко, нито косвено. И тук вече ще има проблем две решения!

р = 3 И р = -3

Да да! И с плюс, и с минус.) Математически този факт би означавал, че има две прогресии, които отговарят на условията на проблема. И всеки има свой знаменател. Просто за забавление, практикувайте и напишете първите пет термина от всеки.)

Сега нека се упражним да намираме номера на члена. Този проблем е най-трудният, да. Но и по-креативни.)

Като се има предвид геометрична прогресия:

3; 6; 12; 24; …

Кое число в тази прогресия е числото 768?

Първата стъпка е все същата: напишете формулатанти член!

b n = b 1 · qn -1

И сега, както обикновено, заместваме данните, които знаем, в него. Хм... не става! Къде е първият член, къде е знаменателят, къде е всичко останало?!

Къде, къде... Защо ни трябват очи? Плъскате мигли? Този път прогресията ни се дава директно във формата последователности.Можем ли да видим първия член? Виждаме! Това е тройка (b 1 = 3). Какво ще кажете за знаменателя? Все още не го виждаме, но е много лесно да го преброим. Ако, разбира се, разбирате...

Така че ние броим. Директно според значението на геометрична прогресия: вземаме всеки от нейните членове (с изключение на първия) и разделяме на предишния.

Поне така:

р = 24/12 = 2

Какво друго знаем? Ние също знаем някакъв член от тази прогресия, равен на 768. Под някакво число n:

b n = 768

Не знаем номера му, но нашата задача е точно да го намерим.) Така че търсим. Вече сме изтеглили всички необходими данни за заместване във формулата. Без да знаете за себе си.)

Тук заместваме:

768 = 3 2н -1

Нека направим елементарните - разделяме двете страни на три и пренаписваме уравнението в обичайната форма: неизвестното е отляво, известното е отдясно.

Получаваме:

2 н -1 = 256

Това е интересно уравнение. Трябва да намерим "n". Какво, необичайно? Да, не споря. Всъщност това е най-простото нещо. Нарича се така, защото неизвестното (в в такъв случайтози номер н) разходи в индикаторстепени.

На етапа на изучаване на геометрична прогресия (това е девети клас) не те учат как да решаваш експоненциални уравнения, да... Това е тема за гимназията. Но няма нищо страшно. Дори и да не знаете как се решават такива уравнения, нека се опитаме да намерим нашето н, водени от простата логика и здравия разум.

Нека започнем да говорим. Отляво имаме двойка до известна степен. Все още не знаем каква точно е тази степен, но това не е страшно. Но знаем със сигурност, че тази степен е равна на 256! Така че помним до каква степен две ни дава 256. Спомняте ли си? да IN осмостепени!

256 = 2 8

Ако не помните или имате проблеми с разпознаването на градусите, това също е добре: просто последователно квадрат две, куб, четвърта, пета и т.н. Изборът всъщност, но на това ниво ще работи доста добре.

По един или друг начин получаваме:

2 н -1 = 2 8

н-1 = 8

н = 9

Така че 768 е деветичлен на нашата прогресия. Това е всичко, проблемът е решен.)

Отговор: 9

Какво? Скучно е? Уморен от елементарни неща? Съгласен. И аз също. Да преминем към следващото ниво.)

По-сложни задачи.

Сега нека решим по-трудни задачи. Не точно супер готини, но такива, които изискват малко работа, за да стигнете до отговора.

Например този.

Намерете втория член на геометрична прогресия, ако четвъртият член е -24, а седмият член е 192.

Това е класика в жанра. Известни са два различни термина на прогресията, но трябва да се намери друг термин. Освен това всички членове НЕ са съседни. Което в началото е объркващо, да...

Както и в, за решаване на такива проблеми ще разгледаме два метода. Първият метод е универсален. Алгебрични. Работи безупречно с всякакви изходни данни. Ето откъде ще започнем.)

Ние описваме всеки член според формулата нти член!

Всичко е точно както при аритметична прогресия. Само този път работим с другобща формула. Това е всичко.) Но същността е същата: ние вземаме и един по единЗаместваме нашите първоначални данни във формулата за n-тия член. За всеки член - собствен.

За четвъртия член пишем:

b 4 = b 1 · р 3

-24 = b 1 · р 3

Яжте. Едно уравнение е готово.

За седмия член пишем:

b 7 = b 1 · р 6

192 = b 1 · р 6

Общо имаме две уравнения за същата прогресия .

Ние сглобяваме система от тях:

Въпреки заплашителния си вид, системата е доста проста. Най-очевидното решение е простото заместване. Ние изразяваме b 1 от горното уравнение и го заместете в долното:

След като се заровим малко с долното уравнение (намаляване на степените и разделяне на -24), получаваме:

р 3 = -8

Между другото, до същото уравнение може да се стигне по по-прост начин! Кое? Сега ще ви покажа още една тайна, но много красива, мощна и полезен начинрешения за такива системи. Такива системи, чиито уравнения включват само работи.Поне в едно. Наречен метод на разделянеедно уравнение към друго.

И така, имаме система пред нас:

И в двете уравнения отляво - работа, а отдясно е само число. Това е много добър знак.) Да вземем и... разделим, да речем, долното уравнение на горното! Какво означава, нека разделим едно уравнение на друго?Много просто. Да го вземем лява страна едно уравнение (долно) и разделямнея на лява странадруго уравнение (горно). Дясната страна е подобна: правилната странаедно уравнение разделямНа правилната странадруг.

Целият процес на разделяне изглежда така:

Сега, намалявайки всичко, което може да бъде намалено, получаваме:

р 3 = -8

Какво е доброто на този метод? Да, защото в процеса на такова разделение всичко лошо и неудобно може безопасно да се намали и да остане напълно безобидно уравнение! Ето защо е толкова важно да има само умножениев поне едно от уравненията на системата. Няма умножение - няма какво да се намалява, да...

Като цяло този метод (както много други нетривиални методи за решаване на системи) дори заслужава отделен урок. Определено ще го разгледам по-подробно. някой ден...

Въпреки това, няма значение как точно решавате системата, във всеки случай, сега трябва да решим полученото уравнение:

р 3 = -8

Няма проблем: извлечете кубичния корен и сте готови!

Моля, имайте предвид, че не е необходимо да поставяте плюс/минус тук, когато извличате. Имаме корен от нечетна (трета) степен. И отговорът също е същият, да.)

И така, знаменателят на прогресията е намерен. Минус две. Страхотен! Процесът продължава.)

За първия член (да речем от горното уравнение) получаваме:

Страхотен! Знаем първия член, знаем знаменателя. И сега имаме възможност да намерим всеки член на прогресията. Включително втория.)

За втория мандат всичко е съвсем просто:

b 2 = b 1 · р= 3·(-2) = -6

Отговор: -6

И така, разбихме алгебричния метод за решаване на проблема. Труден? Не съвсем, съгласен съм. Дълго и досадно? Да, определено. Но понякога можете значително да намалите количеството работа. За това има графичен метод.Добър стар и познат за нас.)

Да нарисуваме проблем!

да Точно. Отново изобразяваме нашата прогресия върху числовата ос. Не е необходимо да следвате линийка, не е необходимо да поддържате равни интервали между членовете (които, между другото, няма да са еднакви, тъй като прогресията е геометрична!), а просто схематичноНека начертаем нашата последователност.

Получих го така:

Сега погледнете снимката и я разберете. Колко идентични фактора "q" разделят четвъртоИ седмочленове? Точно така, три!

Затова имаме пълното право да напишем:

-24·р 3 = 192

От тук вече е лесно да намерите q:

р 3 = -8

р = -2

Това е страхотно, вече имаме знаменателя в джоба си. Сега нека погледнем отново картината: колко такива знаменатели седят между тях второИ четвърточленове? две! Следователно, за да запишем връзката между тези термини, ще повдигнем знаменателя на квадрат.

Така че ние пишем:

b 2 · р 2 = -24 , където b 2 = -24/ р 2

Заместваме намерения знаменател в израза за b 2, броим и получаваме:

Отговор: -6

Както можете да видите, всичко е много по-просто и по-бързо, отколкото чрез системата. Нещо повече, тук изобщо не трябваше да броим първия термин! Изобщо.)

Ето такъв прост и визуален начин-светлина. Но има и сериозен недостатък. Познахте ли? да Добър е само за много кратки части от прогресията. Тези, при които разстоянията между членовете, които ни интересуват, не са много големи. Но във всички останали случаи вече е трудно да се направи картина, да... Тогава решаваме проблема аналитично, чрез системата.) А системите са универсални неща. Те могат да се справят с всякакви числа.

Още едно епично предизвикателство:

Вторият член на геометричната прогресия е с 10 повече от първия, а третият е с 30 повече от втория. Намерете знаменателя на прогресията.

Какво, готино? Въобще не! Все същото. Отново превеждаме постановката на проблема в чиста алгебра.

1) Описваме всеки член според формулата нти член!

Втори член: b 2 = b 1 q

Трети член: b 3 = b 1 q 2

2) Записваме връзката между членовете от постановката на проблема.

Четем условието: "Вторият член на геометричната прогресия е с 10 по-голям от първия."Спрете, това е ценно!

Така че ние пишем:

b 2 = b 1 +10

И ние превеждаме тази фраза в чиста математика:

b 3 = b 2 +30

Имаме две уравнения. Нека ги комбинираме в система:

Системата изглежда проста. Но има твърде много различни индекси за буквите. Нека заместим втория и третия член техните изрази чрез първия член и знаменателя! Напразно ли ги рисувахме?

Получаваме:

Но такава система вече не е подарък, да... Как да се реши това? За съжаление няма универсално тайно заклинание за решаване на комплекс нелинейниВ математиката няма и не може да има системи. Фантастично е! Но първото нещо, което трябва да ви хрумне, когато се опитвате да счупите такъв твърд орех, е да разберете Но едно от уравненията на системата не се ли свежда до красива гледка, което позволява, например, лесно да се изрази една от променливите по отношение на друга?

Нека да го разберем. Първото уравнение на системата е очевидно по-просто от второто. Ще го измъчваме.) Не трябва ли да опитаме от първото уравнение нещоекспрес чрез нещо?Тъй като искаме да намерим знаменателя р, тогава би било най-изгодно за нас да изразим b 1 през р.

Така че нека се опитаме да направим тази процедура с първото уравнение, като използваме добрите стари:

b 1 q = b 1 +10

b 1 q – b 1 = 10

b 1 (q-1) = 10

Всичко! Така изразихме ненужнидайте ни променливата (b 1) чрез необходимо(q). Да, това не е най-простият израз, който имаме. Някаква дроб... Но нашата система е на прилично ниво, да.)

Типично. Ние знаем какво да правим.

Пишем ОДЗ (Задължително!) :

q ≠ 1

Умножаваме всичко по знаменателя (q-1) и анулираме всички дроби:

10 р 2 = 10 р + 30(р-1)

Разделяме всичко на десет, отваряме скобите и събираме всичко отляво:

р 2 – 4 р + 3 = 0

Решаваме резултата и получаваме два корена:

р 1 = 1

р 2 = 3

Има само един окончателен отговор: р = 3 .

Отговор: 3

Както можете да видите, пътят към решаването на повечето проблеми, включващи формулата на n-тия член на геометрична прогресия, винаги е един и същ: прочетете внимателноусловие на проблема и използвайки формулата на n-тия член превеждаме целия полезна информацияв чиста алгебра.

а именно:

1) Описваме всеки член, даден в задачата, поотделно по формулатанти член.

2) От условията на задачата превеждаме връзката между членовете в математическа форма. Съставяме уравнение или система от уравнения.

3) Решаваме полученото уравнение или система от уравнения, намираме неизвестните параметри на прогресията.

4) В случай на двусмислен отговор, внимателно прочетете изложението на проблема в търсене на допълнителна информация (ако има такава). Също така проверяваме получения отговор с условията на DL (ако има такива).

Сега нека изброим основните проблеми, които най-често водят до грешки в процеса на решаване на задачи с геометрична прогресия.

1. Елементарна аритметика. Действия с дроби и отрицателни числа.

2. Ако има проблеми с поне една от тези три точки, тогава неизбежно ще направите грешки в тази тема. За съжаление... Така че не бъдете мързеливи и повторете споменатото по-горе. И следвайте връзките - отидете. Понякога помага.)

Модифицирани и повтарящи се формули.

Сега нека разгледаме няколко типични изпитни проблема с по-малко познато представяне на състоянието. Да, да, познахте! Това модифициранИ рецидивиращ n-ти член формули. Вече сме срещали такива формули и сме работили върху аритметичната прогресия. Тук всичко е подобно. Същността е същата.

Например този проблем от OGE:

Геометричната прогресия се дава по формулата b n = 3 2 н . Намерете сбора на първия и четвъртия член.

Този път прогресията не е както обикновено за нас. Под формата на някаква формула. Какво от това? Тази формула е също формуланти член!Вие и аз знаем, че формулата за n-тия член може да бъде написана както в обща форма, използвайки букви, така и за специфична прогресия. СЪС специфиченпърви член и знаменател.

В нашия случай всъщност ни е дадена обща терминна формула за геометрична прогресия със следните параметри:

b 1 = 6

р = 2

Да проверим?) Нека запишем формулата за n-тия член в общ вид и да я заместим в b 1 И р. Получаваме:

b n = b 1 · qn -1

b n= 6 2н -1

Ние опростяваме, като използваме факторизация и свойства на степените, и получаваме:

b n= 6 2н -1 = 3·2·2н -1 = 3 2н -1+1 = 3 2н

Както виждате, всичко е честно. Но нашата цел не е да демонстрираме извеждането на конкретна формула. Това е така, едно лирично отклонение. Чисто за разбиране.) Целта ни е да решим задачата по формулата, която ни е дадена в условието. Разбирате ли?) Така че ние работим директно с модифицираната формула.

Отчитаме първия срок. Да заместим н=1 в общата формула:

b 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6

Като този. Между другото, няма да бъда мързелив и отново ще обърна внимание на типична грешка при изчисляването на първия термин. НЕ, гледайки формулата b n= 3 2н, веднага се втурват да пишат, че първият член е тройка! Това е груба грешка, да...)

Да продължим. Да заместим н=4 и пребройте четвъртия член:

b 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48

И накрая, изчисляваме необходимата сума:

b 1 + b 4 = 6+48 = 54

Отговор: 54

Друг проблем.

Геометричната прогресия се определя от условията:

b 1 = -7;

b n +1 = 3 b n

Намерете четвъртия член на прогресията.

Тук прогресията се дава чрез рекурентна формула. Ми добре.) Как се работи с тази формула – ние също знаем.

Така че действаме. Стъпка по стъпка.

1) Бройте две последователенчлен на прогресията.

Първият срок вече ни беше даден. Минус седем. Но следващият, втори член, може лесно да се изчисли с помощта на формулата за повторение. Ако разбирате принципа на действието му, разбира се.)

Така че броим втория член според добре познатото първо:

b 2 = 3 b 1 = 3·(-7) = -21

2) Изчислете знаменателя на прогресията

Няма проблем също. Направо, да се разделим второпишка на първи.

Получаваме:

р = -21/(-7) = 3

3) Напишете формулатанth член в обичайната форма и изчислете необходимия член.

И така, знаем първия член, както и знаменателя. Така че ние пишем:

b n= -7·3н -1

b 4 = -7·3 3 = -7·27 = -189

Отговор: -189

Както можете да видите, работата с такива формули за геометрична прогресия по същество не се различава от тази за аритметична прогресия. Важно е само да се разбере общата същност и значение на тези формули. Е, вие също трябва да разберете значението на геометричната прогресия, да.) И тогава няма да има глупави грешки.

Е, нека решим сами?)

Много основни задачи за загряване:

1. Дадена е геометрична прогресия, в която b 1 = 243, а р = -2/3. Намерете шестия член на прогресията.

2. Общият член на геометричната прогресия се дава с формулата b n = 5∙2 н +1 . Намерете номера на последния трицифрен член от тази прогресия.

3. Геометричната прогресия се дава от условията:

b 1 = -3;

b n +1 = 6 b n

Намерете петия член на прогресията.

Малко по-сложно:

4. Като се има предвид геометрична прогресия:

b 1 =2048; р =-0,5

На колко е равен шестият отрицателен член?

Какво изглежда супер трудно? Въобще не. Логиката и разбирането на смисъла на геометричната прогресия ще ви спасят. Е, формулата за n-тия член, разбира се.

5. Третият член на геометричната прогресия е -14, а осмият член е 112. Намерете знаменателя на прогресията.

6. Сборът на първия и втория член на геометричната прогресия е 75, а сборът на втория и третия член е 150. Намерете шестия член на прогресията.

Отговори (в безпорядък): 6; -3888; -1; 800; -32; 448.

Това е почти всичко. Всичко, което трябва да направим, е да се научим да броим сумата от първите n члена на геометрична прогресияда открий безкрайно намаляваща геометрична прогресияи неговата сума. Много интересно и необичайно нещо, между другото! Повече за това в следващите уроци.)

Ако за всяко естествено число н съответства на реално число a n , тогава казват, че се дава числова последователност :

а 1 , а 2 , а 3 , . . . , a n , . . . .

И така, числовата последователност е функция на естествения аргумент.

Номер а 1 Наречен първи член на редицата , номер а 2 — вторият член на последователността , номер а 3 — трети и така нататък. Номер a n Наречен n-ти членпоследователности , и естествено число н — номера му .

От два съседни члена a n И a n +1 член на последователността a n +1 Наречен последващи (към a n ), А a n — предишен (към a n +1 ).

За да дефинирате последователност, трябва да посочите метод, който ви позволява да намерите член на последователността с произволен номер.

Често последователността се определя с помощта на n-ти член формули , тоест формула, която ви позволява да определите член на последователност по неговия номер.

Например,

последователност от положителни нечетни числа може да бъде дадена чрез формулата

a n= 2н- 1,

и последователността на редуване 1 И -1 - формула

bн = (-1)н +1 . ◄

Последователността може да се определи повтаряща се формула, това е формула, която изразява всеки член на последователността, започвайки с някои, през предходните (един или повече) членове.

Например,

Ако а 1 = 1 , А a n +1 = a n + 5

а 1 = 1,

а 2 = а 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

а 3 = а 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

а 4 = а 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

а 5 = а 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Ако а 1= 1, а 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , тогава първите седем члена на числовата последователност се установяват, както следва:

а 1 = 1,

а 2 = 1,

а 3 = а 1 + а 2 = 1 + 1 = 2,

а 4 = а 2 + а 3 = 1 + 2 = 3,

а 5 = а 3 + а 4 = 2 + 3 = 5,

а 6 = а 4 + а 5 = 3 + 5 = 8,

а 7 = а 5 + а 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Последователностите могат да бъдат финал И безкраен .

Последователността се нарича крайна , ако има краен брой членове. Последователността се нарича безкраен , ако има безкрайно много членове.

Например,

поредица от двуцифрени естествени числа:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

финал.

Последователност от прости числа:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

безкраен. ◄

Последователността се нарича повишаване на , ако всеки от неговите членове, започвайки от втория, е по-голям от предходния.

Последователността се нарича намаляващи , ако всеки от неговите членове, започвайки от втория, е по-малък от предходния.

Например,

2, 4, 6, 8, . . . , 2н, . . . — нарастваща последователност;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /н, . . . — намаляваща последователност. ◄

Нарича се последователност, чиито елементи не намаляват с увеличаване на броя или, обратно, не се увеличават монотонна последователност .

Монотонните последователности, по-специално, са нарастващи последователности и намаляващи последователности.

Аритметична прогресия

Аритметична прогресия е последователност, в която всеки член, започвайки от втория, е равен на предходния, към който се добавя същото число.

а 1 , а 2 , а 3 , . . . , a n, . . .

е аритметична прогресия, ако има такава естествено число н условието е изпълнено:

a n +1 = a n + д,

Където д - определено число.

По този начин разликата между следващите и предходните членове на дадена аритметична прогресия е винаги постоянна:

а 2 - а 1 = а 3 - а 2 = . . . = a n +1 - a n = д.

Номер д Наречен разлика в аритметичната прогресия.

За да се дефинира аритметична прогресия, достатъчно е да се посочи нейният първи член и разлика.

Например,

Ако а 1 = 3, д = 4 , тогава намираме първите пет члена на последователността, както следва:

а 1 =3,

а 2 = а 1 + д = 3 + 4 = 7,

а 3 = а 2 + д= 7 + 4 = 11,

а 4 = а 3 + д= 11 + 4 = 15,

а 5 = а 4 + д= 15 + 4 = 19. ◄

За аритметична прогресия с първия член а 1 и разликата д нея н

a n = а 1 + (н- 1)д.

Например,

намерете тридесетия член на аритметичната прогресия

1, 4, 7, 10, . . .

а 1 =1, д = 3,

а 30 = а 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = а 1 + (н- 2)д,

a n= а 1 + (н- 1)д,

a n +1 = а 1 + nd,

тогава очевидно

Всеки член на аритметична прогресия, започвайки от втория, е равен на средноаритметичното на предходния и следващите членове.

числата a, b и c са последователни членове на някаква аритметична прогресия тогава и само ако едно от тях е равно на средното аритметично на другите две.

Например,

a n = 2н- 7 , е аритметична прогресия.

Нека използваме горното твърдение. Ние имаме:

a n = 2н- 7,

a n-1 = 2(н- 1) - 7 = 2н- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2н- 5.

следователно

◄

Забележи, че н Членът на аритметичната прогресия може да бъде намерен не само чрез а 1 , но и всички предишни a k

a n = a k + (н- к)д.

Например,

За а 5 може да се запише

а 5 = а 1 + 4д,

а 5 = а 2 + 3д,

а 5 = а 3 + 2д,

а 5 = а 4 + д. ◄

a n = а н-к + kd,

a n = a n+k - kd,

тогава очевидно

всеки член на аритметична прогресия, започвайки от втория, е равен на половината от сбора на еднакво разположените членове на тази аритметична прогресия.

В допълнение, за всяка аритметична прогресия е валидно следното равенство:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Например,

в аритметична прогресия

1) а 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (а 9 + а 11 )/2;

2) 28 = а 10 = а 3 + 7д= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) а 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, защото

а 2 + а 12= 4 + 34 = 38,

5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,

първи н членове на аритметична прогресия е равно на произведението на половината от сумата на екстремните членове и броя на членовете:

От тук по-специално следва, че ако трябва да сумирате условията

a k, a k +1 , . . . , a n,

тогава предишната формула запазва своята структура:

Например,

в аритметична прогресия 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

С 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = С 10 - С 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Ако е дадена аритметична прогресия, тогава количествата а 1 , a n, д, нИС н свързани с две формули:

Следователно, ако са дадени стойностите на три от тези величини, тогава съответните стойности на другите две величини се определят от тези формули, комбинирани в система от две уравнения с две неизвестни.

Аритметичната прогресия е монотонна последователност. при което:

• Ако д > 0 , след това се увеличава;
• Ако д < 0 , тогава намалява;
• Ако д = 0 , тогава последователността ще бъде неподвижна.

Геометрична прогресия

Геометрична прогресия е последователност, в която всеки член, започвайки от втория, е равен на предходния, умножен по същото число.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

е геометрична прогресия, ако за всяко естествено число н условието е изпълнено:

b n +1 = b n · р,

Където р ≠ 0 - определено число.

Така съотношението на следващия член на дадена геометрична прогресия към предходния е постоянно число:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = р.

Номер р Наречен знаменател на геометричната прогресия.

За да се определи геометрична прогресия, достатъчно е да се посочи нейният първи член и знаменател.

Например,

Ако b 1 = 1, р = -3 , тогава намираме първите пет члена на последователността, както следва:

b 1 = 1,

б 2 = b 1 · р = 1 · (-3) = -3,

б 3 = б 2 · р= -3 · (-3) = 9,

b 4 = б 3 · р= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · р= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 и знаменател р нея н Терминът може да се намери с помощта на формулата:

b n = b 1 · qn -1 .

Например,

намерете седмия член на геометричната прогресия 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, р = 2,

b 7 = b 1 · р 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = b 1 · qn,

тогава очевидно

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

всеки член на геометричната прогресия, започвайки от втория, е равен на средното геометрично (пропорционално) на предходния и следващите членове.

Тъй като обратното също е вярно, следва следното твърдение:

числата a, b и c са последователни членове на някаква геометрична прогресия тогава и само ако квадратът на едно от тях е равен на произведението на другите две, т.е. едно от числата е средно геометрично на другите две.

Например,

Нека докажем, че последователността, дадена от формулата b n= -3 2 н , е геометрична прогресия. Нека използваме горното твърдение. Ние имаме:

b n= -3 2 н,

b n -1 = -3 2 н -1 ,

b n +1 = -3 2 н +1 .

следователно

b n 2 = (-3 2 н) 2 = (-3 2 н -1 ) · (-3 · 2 н +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

което доказва желаното твърдение. ◄

Забележи, че н Членът на геометричната прогресия може да се намери не само чрез b 1 , но и всеки предишен член b k , за което е достатъчно да използвате формулата

b n = b k · qn - к.

Например,

За b 5 може да се запише

б 5 = b 1 · р 4 ,

б 5 = б 2 · р 3,

б 5 = б 3 · р 2,

б 5 = b 4 · р. ◄

b n = b k · qn - к,

b n = b n - к · q k,

тогава очевидно

b n 2 = b n - к· b n + к

квадратът на всеки член на геометрична прогресия, започвайки от втория, е равен на произведението на членовете на тази прогресия, равноотдалечени от нея.

Освен това за всяка геометрична прогресия е вярно равенството:

b m· b n= b k· b l,

м+ н= к+ л.

Например,

в геометрична прогресия

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · р 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , защото

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

първи н членове на геометрична прогресия със знаменател р ≠ 0 изчислено по формулата:

И когато р = 1 - по формулата

S n= nb 1

Имайте предвид, че ако трябва да сумирате условията

b k, b k +1 , . . . , b n,

тогава се използва формулата:

Например,

в геометрична прогресия 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

С 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = С 10 - С 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Ако е дадена геометрична прогресия, тогава количествата b 1 , b n, р, нИ S n свързани с две формули:

Следователно, ако са дадени стойностите на всеки три от тези количества, тогава съответните стойности на другите две количества се определят от тези формули, комбинирани в система от две уравнения с две неизвестни.

За геометрична прогресия с първия член b 1 и знаменател р се случва следното свойства на монотонност :

• прогресията се увеличава, ако е изпълнено едно от следните условия:

b 1 > 0 И р> 1;

b 1 < 0 И 0 < р< 1;

• Прогресията намалява, ако е изпълнено едно от следните условия:

b 1 > 0 И 0 < р< 1;

b 1 < 0 И р> 1.

Ако р< 0 , тогава геометричната прогресия се редува: нейните членове с нечетни числа имат същия знак като първия й член, а членовете с четни числа имат противоположен знак. Ясно е, че променливата геометрична прогресия не е монотонна.

Продукт на първия н членовете на геометрична прогресия могат да бъдат изчислени по формулата:

Пн= b 1 · б 2 · б 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) н / 2 .

Например,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Безкрайно намаляваща геометрична прогресия

Безкрайно намаляваща геометрична прогресия наречена безкрайна геометрична прогресия, чийто модул на знаменателя е по-малък 1 , това е

|р| < 1 .

Имайте предвид, че една безкрайно намаляваща геометрична прогресия може да не е намаляваща последователност. Подходящ е за случая

1 < р< 0 .

При такъв знаменател последователността е променлива. Например,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Сумата от безкрайно намаляваща геометрична прогресия назовете числото, към което сумата от първите се приближава неограничено н членове на прогресия с неограничено увеличение на броя н . Това число винаги е крайно и се изразява с формулата

Например,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Връзка между аритметична и геометрична прогресии

Аритметичната и геометричната прогресия са тясно свързани. Нека разгледаме само два примера.

а 1 , а 2 , а 3 , . . . д , Че

б а 1 , б а 2 , б а 3 , . . . b d .

Например,

1, 3, 5, . . . - аритметична прогресия с разлика 2 И

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - геометрична прогресия със знаменател 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - геометрична прогресия със знаменател р , Че

дневник a b 1, дневник a b 2, дневник a b 3, . . . - аритметична прогресия с разлика дневник ар .

Например,

2, 12, 72, . . . - геометрична прогресия със знаменател 6 И

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - аритметична прогресия с разлика lg 6 . ◄

Нека разгледаме определена серия.

7 28 112 448 1792...

Абсолютно ясно е, че стойността на всеки от неговите елементи е точно четири пъти по-голяма от предишната. означава, тази серияе прогресия.

Геометричната прогресия е безкрайна последователност от числа. основна характеристикакоето е, че следващото число се получава от предишното чрез умножаване по някакво конкретно число. Това се изразява със следната формула.

a z +1 =a z ·q, където z е номерът на избрания елемент.

Съответно z ∈ N.

Периодът, в който се изучава геометрична прогресия в училище, е 9 клас. Примерите ще ви помогнат да разберете концепцията:

0.25 0.125 0.0625...

Въз основа на тази формула знаменателят на прогресията може да се намери, както следва:

Нито q, нито b z могат да бъдат нула. Освен това всеки от елементите на прогресията не трябва да е равен на нула.

Съответно, за да разберете следващото число в поредица, трябва да умножите последното по q.

За да зададете тази прогресия, трябва да посочите нейния първи елемент и знаменател. След това е възможно да се намери всеки от следващите членове и тяхната сума.

Разновидности

В зависимост от q и a 1 тази прогресия се разделя на няколко вида:

• Ако и a 1, и q са по-големи от едно, тогава такава последователност нараства с всяко едно следващ елементгеометрична прогресия. Пример за това е представен по-долу.

Пример: a 1 =3, q=2 - и двата параметъра са по-големи от единица.

Тогава числовата последователност може да бъде написана така:

3 6 12 24 48 ...

• Ако |q| е по-малко от едно, тоест умножението по него е еквивалентно на деление, тогава прогресия с подобни условия е намаляваща геометрична прогресия. Пример за това е представен по-долу.

Пример: a 1 =6, q=1/3 - a 1 е по-голямо от едно, q е по-малко.

Тогава числовата последователност може да бъде записана по следния начин:

6 2 2/3 ... - всеки елемент е 3 пъти по-голям от елемента след него.

• Променлив знак. Ако q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Пример: a 1 = -3, q = -2 - и двата параметъра са по-малки от нула.

Тогава числовата последователност може да бъде написана така:

3, 6, -12, 24,...

Формули

Има много формули за удобно използване на геометричните прогресии:

• Z-членна формула. Позволява ви да изчислите елемент под определено число, без да изчислявате предишни числа.

Пример:р = 3, а 1 = 4. Изисква се да се преброи четвъртият елемент от прогресията.

Решение:а 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Сумата от първите елементи, чийто брой е равен на z. Позволява ви да изчислите сумата от всички елементи на последователност доa zвключително.

Тъй като (1-р) е в знаменателя, тогава (1 - q)≠ 0, следователно q не е равно на 1.

Забележка: ако q=1, тогава прогресията ще бъде поредица от безкрайно повтарящи се числа.

Сума от геометрична прогресия, примери:а 1 = 2, р= -2. Изчислете S5.

Решение:С 5 = 22 - изчисление по формулата.

• Сума, ако |р| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Пример:а 1 = 2 , р= 0,5. Намерете сумата.

Решение:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Някои свойства:

• Характерно свойство. Ако е налице следното условие работи за всякаквиz, тогава дадената редица от числа е геометрична прогресия:

a z 2 = a z -1 · аz+1

• Също така, квадратът на всяко число в геометрична прогресия се намира чрез добавяне на квадратите на всеки две други числа в дадена серия, ако те са на еднакво разстояние от този елемент.

a z 2 = a z - T 2 + a z + T 2 , КъдетоT- разстоянието между тези числа.

• Елементиразличават се по qведнъж.
• Логаритмите на елементите на една прогресия също образуват прогресия, но аритметична, тоест всеки от тях е по-голям от предходния с определено число.

Примери за някои класически задачи

За да разберете по-добре какво е геометрична прогресия, примерите с решения за 9 клас могат да помогнат.

• Условия:а 1 = 3, а 3 = 48. Намеретер.

Решение: всеки следващ елемент е по-голям от предишния вр веднъж.Необходимо е да се изразят някои елементи по отношение на други, като се използва знаменател.

следователноа 3 = р 2 · а 1

При заместванер= 4

• Условия:а 2 = 6, а 3 = 12. Изчислете S 6.

Решение:За да направите това, просто намерете q, първия елемент и го заменете във формулата.

а 3 = р· а 2 , следователно,р= 2

a 2 = q · 1,Ето защо a 1 = 3

S 6 = 189

• · а 1 = 10, р= -2. Намерете четвъртия елемент от прогресията.

Решение: за да направите това, достатъчно е да изразите четвъртия елемент през първия и през знаменателя.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Пример за приложение:

• Банков клиент направи депозит в размер на 10 000 рубли, при условията на който всяка година клиентът ще има 6% от тях, добавени към главницата. Колко пари ще има в сметката след 4 години?

Решение: Първоначалната сума е 10 хиляди рубли. Това означава, че една година след инвестицията в сметката ще има сума равна на 10 000 + 10 000 · 0,06 = 10000 1,06

Съответно сумата в сметката след още една година ще бъде изразена, както следва:

(10000 · 1,06) · 0,06 + 10000 · 1,06 = 1,06 · 1,06 · 10000

Тоест всяка година сумата се увеличава с 1,06 пъти. Това означава, че за да се намери сумата на средствата в сметката след 4 години, е достатъчно да се намери четвъртият елемент от прогресията, който се дава от първия елемент, равен на 10 хиляди, и знаменателят, равен на 1,06.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Примери за задачи за изчисляване на суми:

Геометричната прогресия се използва в различни задачи. Пример за намиране на сумата може да бъде даден по следния начин:

а 1 = 4, р= 2, изчислиS 5.

Решение: всички данни, необходими за изчислението, са известни, просто трябва да ги замените във формулата.

С 5 = 124

• а 2 = 6, а 3 = 18. Изчислете сбора на първите шест елемента.

Решение:

В геом. прогресия, всеки следващ елемент е q пъти по-голям от предходния, тоест, за да изчислите сумата, трябва да знаете елементаа 1 и знаменателр.

а 2 · р = а 3

р = 3

По същия начин трябва да намеритеа 1 , знаейкиа 2 Ир.

а 1 · р = а 2

a 1 =2

С 6 = 728.

Геометрична прогресияне по-малко важно в математиката в сравнение с аритметиката. Геометричната прогресия е поредица от числа b1, b2,..., b[n], чийто всеки следващ член се получава чрез умножаване на предходния по постоянно число. Това число, което също характеризира скоростта на растеж или намаляване на прогресията, се нарича знаменател на геометричната прогресияи означават

За да се определи напълно една геометрична прогресия, освен знаменателя, е необходимо да се знае или определи нейният първи член. При положителна стойност на знаменателя прогресията е монотонна редица и ако тази редица от числа е монотонно намаляваща и ако е монотонно нарастваща. Случаят, когато знаменателят е равен на единица, не се разглежда на практика, тъй като имаме поредица от еднакви числа и тяхното сумиране не представлява практически интерес

Общ термин на геометричната прогресияизчислено по формулата

Сума от първите n членове на геометрична прогресияопределена по формулата

Нека разгледаме решенията на класически задачи с геометрична прогресия. Нека започнем с най-простите за разбиране.

Пример 1. Първият член на геометрична прогресия е 27, а знаменателят му е 1/3. Намерете първите шест членове на геометричната прогресия.

Решение: Нека запишем условието на задачата във формата

За изчисления използваме формулата за n-тия член на геометрична прогресия

Въз основа на него намираме неизвестните членове на прогресията

Както можете да видите, изчисляването на членовете на геометричната прогресия не е трудно. Самата прогресия ще изглежда така

Пример 2. Дадени са първите три члена на геометричната прогресия: 6; -12; 24. Намерете знаменателя и неговия седми член.

Решение: Изчисляваме знаменателя на геометричната прогресия въз основа на нейната дефиниция

Получихме променлива геометрична прогресия, чийто знаменател е равен на -2. Седмият член се изчислява по формулата

Това решава проблема.

Пример 3. Геометрична прогресия е дадена от два нейни члена . Намерете десетия член на прогресията.

Решение:

Нека напишем дадените стойности с помощта на формули

Според правилата ще трябва да намерим знаменателя и след това да търсим желаната стойност, но за десетия член имаме

Същата формула може да се получи въз основа на прости манипулации с входните данни. Разделете шестия член на поредицата с друг и в резултат получаваме

Ако получената стойност се умножи по шестия член, получаваме десетия

По този начин за такива проблеми, използвайки прости трансформации по бърз начин, можете да намерите правилното решение.

Пример 4. Геометричната прогресия е дадена с рекурентни формули

Намерете знаменателя на геометричната прогресия и сумата от първите шест члена.

Решение:

Нека запишем дадените данни под формата на система от уравнения

Изразете знаменателя, като разделите второто уравнение на първото

Нека намерим първия член на прогресията от първото уравнение

Нека изчислим следните пет члена, за да намерим сбора на геометричната прогресия