Коренът n-ти от число x е неотрицателно число z, което, когато бъде повдигнато на степен n, става x. Определянето на корена е включено в списъка на основните аритметични операции, с които се запознаваме в детството.

Математическа нотация

„Коренът“ идва от латинската дума radix и днес думата „радикал“ се използва като синоним на този математически термин. От 13-ти век математиците са обозначавали операцията за корен с буквата r с хоризонтална черта над радикалния израз. През 16 век е въведено обозначението V, което постепенно измества знака r, но хоризонталната линия остава. Лесно се пише в печатница или пише на ръка, но в електронни публикациии програмирането се разпространи буквено обозначениекорен - sqrt. Ето как ще означаваме квадратни корени в тази статия.

Корен квадратен

Квадратният радикал на число x е число z, което, когато се умножи по себе си, става x. Например, ако умножим 2 по 2, получаваме 4. Две в този случай е корен квадратен от четири. Умножавайки 5 по 5, получаваме 25 и вече знаем стойността на израза sqrt(25). Можем да умножим и – 12 по –12, за да получим 144, а радикалът на 144 е както 12, така и –12. Очевидно квадратните корени могат да бъдат както положителни, така и отрицателни числа.

Особеният дуализъм на такива корени е важен за решаването квадратни уравнения, следователно, когато търсите отговори в такива проблеми, трябва да посочите и двата корена. При решаване алгебрични изразиИзползват се аритметични квадратни корени, тоест само техните положителни стойности.

Числата, чиито квадратни корени са цели числа, се наричат ​​перфектни квадрати. Има цяла последователност от такива числа, чието начало изглежда така:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256…

Квадратните корени на други числа са ирационални числа. Например sqrt(3) = 1.73205080757... и така нататък. Това число е безкрайно и непериодично, което създава някои трудности при изчисляването на такива радикали.

Училищният курс по математика гласи, че не можете да вземете квадратен корен от отрицателни числа. Както научаваме в университетски курс по математически анализ, това може и трябва да се направи - ето защо са необходими комплексни числа. Нашата програма обаче е предназначена да извлича реални стойностикорени, така че не изчислява радикали с четна степен от отрицателни числа.

Кубичен корен

Кубичният радикал на число x е число z, което, умножено по себе си три пъти, дава числото x. Например, ако умножим 2 × 2 × 2, получаваме 8. Следователно две е кубичен корен от осем. Умножете четворката сама по себе си три пъти и получете 4 × 4 × 4 = 64. Очевидно четворката е кубичен корен на числото 64. Има безкрайна последователност от числа, чиито кубични радикали са цели числа. Началото му изглежда така:

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744…

За други числа кубичните корени са ирационални числа. За разлика от квадратните радикали, кубичните корени, като всеки нечетен корен, могат да бъдат извлечени от отрицателни числа. Всичко е свързано с произведението на числата по-малко от нула. Минус за минус дава плюс - правило, познато от училище. И минус за плюс дава минус. Ако умножите отрицателни числа нечетен брой пъти, резултатът също ще бъде отрицателен, следователно извлечете нечетния радикал от отрицателно числонищо не ни притеснява.

Програмата калкулатор обаче работи по различен начин. По същество извличането на корен е повишаването му на обратна степен. Счита се, че коренът квадратен е повдигнат на степен 1/2, а коренът кубичен - на степен 1/3. Формулата за повдигане на степен 1/3 може да бъде пренаредена и изразена като 2/6. Резултатът е същият, но не можете да извлечете такъв корен от отрицателно число. По този начин нашият калкулатор изчислява аритметични корени само от положителни числа.

n-ти корен

Такъв богато украсен метод за изчисляване на радикали ви позволява да определите корени от всяка степен от всеки израз. Можете да вземете корен пети от число в куб или 19-ти радикал от число на 12-та степен. Всичко това е елегантно реализирано под формата на повдигане на степен съответно 3/5 или 12/19.

Нека разгледаме един пример

Диагонал на квадрат

Ирационалността на диагонала на квадрат е била известна на древните гърци. Те бяха изправени пред проблема за изчисляване на диагонала на плосък квадрат, тъй като дължината му винаги е пропорционална на корен от две. Формулата за определяне на дължината на диагонала се извлича от и в крайна сметка приема формата:

d = a × sqrt(2).

Нека определим квадратния радикал на две с помощта на нашия калкулатор. Нека въведем стойността 2 в клетката "Число (x)", а също и 2 в клетката "Степен (n)" В резултат на това получаваме израза sqrt (2) = 1,4142. По този начин, за груба оценка на диагонала на квадрат, е достатъчно да умножите страната му по 1,4142.

Заключение

Намирането на радикал е стандартна аритметична операция, без която научните или дизайнерските изчисления са незаменими. Разбира се, не е необходимо да определяме корени, за да решаваме ежедневни проблеми, но нашият онлайн калкулатор определено ще бъде полезен за ученици или студенти за проверка на домашните по алгебра или смятане.

Време е да го подредим методи за извличане на корени. Те се основават на свойствата на корените, по-специално на равенството, което е вярно за всяко неотрицателно число b.

По-долу ще разгледаме основните методи за извличане на корени един по един.

Нека започнем с най-простия случай - извличане на корени от естествени числа с помощта на таблица на квадратите, таблица на кубовете и т.н.

Ако таблици с квадрати, кубчета и др. Ако го нямате под ръка, логично е да използвате метода за извличане на корена, който включва разлагане на радикалното число на прости множители.

Струва си да се спомене специално какво е възможно за корени с нечетни показатели.

И накрая, нека разгледаме метод, който ни позволява да намираме последователно цифрите на коренната стойност.

Нека започваме.

Използване на таблица с квадрати, таблица с кубове и др.

В най-простите случаи таблиците с квадрати, кубчета и т.н. ви позволяват да извличате корени. Какви са тези таблици?

Таблицата с квадрати на цели числа от 0 до 99 включително (показана по-долу) се състои от две зони. Първата зона на таблицата е разположена на сив фон, като изберете определен ред и определена колона, ви позволява да съставите число от 0 до 99. Например, нека изберем ред от 8 десетици и колона от 3 единици, с това фиксирахме числото 83. Втората зона заема останалата част от масата. Всяка клетка се намира в пресечната точка на определен ред и определена колона и съдържа квадрат на съответното число от 0 до 99. В пресечната точка на избрания от нас ред от 8 десетици и колона 3 от единици има клетка с числото 6889, което е квадрат на числото 83.

Таблици с кубчета, таблици с четвърти степени на числа от 0 до 99 и т.н. са подобни на таблицата с квадрати, само че във втората зона съдържат кубчета, четвърти степени и т.н. съответните числа.

Таблици на квадрати, кубове, четвърти степени и др. ви позволяват да извличате квадратни корени, кубични корени, четвърти корени и т.н. съответно от числата в тези таблици. Нека обясним принципа на тяхното използване при извличане на корени.

Да кажем, че трябва да извлечем n-ти корен от числото a, докато числото a се съдържа в таблицата с n-ти степени. Използвайки тази таблица, намираме числото b такова, че a=b n. Тогава , следователно числото b ще бъде желаният корен от n-та степен.

Като пример нека покажем как да използваме кубична таблица за извличане на кубичен корен от 19 683. Намираме числото 19 683 в таблицата с кубчета, от което намираме, че това число е кубът на числото 27, следователно, .

Ясно е, че таблиците с n-ти степени са много удобни за извличане на корени. Те обаче често не са под ръка и компилирането им изисква известно време. Освен това често е необходимо да се извличат корени от числа, които не се съдържат в съответните таблици. В тези случаи трябва да прибягвате до други методи за извличане на корени.

Разлагане на радикално число на прости множители

Доста удобен начин за извличане на корена на естествено число (ако, разбира се, коренът е извлечен) е разлагането на радикалното число на прости множители. Неговата въпросът е в това: след това е доста лесно да го представите като степен с желания показател, което ви позволява да получите стойността на корена. Нека да изясним тази точка.

Нека бъде взет корен n-та от естествено число a и неговата стойност е равна на b. В този случай е вярно равенството a=b n. Числото b, като всяко естествено число, може да бъде представено като произведение на всички негови прости множители p 1 , p 2 , …, p m във формата p 1 ·p 2 ·…·p m и радикалното число a в този случай се представя като (p 1 ·p 2 ·…·p m) n . Тъй като разлагането на число на прости множители е уникално, разлагането на радикалното число a на прости множители ще има формата (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, което прави възможно изчисляването на стойността на корена като.

Обърнете внимание, че ако разлагането на прости множители на радикално число a не може да бъде представено във формата (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, тогава n-тият корен на такова число a не се извлича напълно.

Нека разберем това, когато решаваме примери.

Пример.

Вземете корен квадратен от 144.

Решение.

Ако погледнете таблицата с квадрати, дадена в предишния параграф, можете ясно да видите, че 144 = 12 2, от което става ясно, че квадратният корен от 144 е равен на 12.

Но в светлината на тази точка се интересуваме как се извлича коренът чрез разлагане на радикалното число 144 на прости множители. Нека да разгледаме това решение.

Да се ​​разложим 144 на прости множители:

Тоест 144=2·2·2·2·3·3. Въз основа на полученото разлагане могат да се извършат следните трансформации: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. следователно .

Използвайки свойствата на степента и свойствата на корените, решението може да се формулира малко по-различно: .

отговор:

За да консолидирате материала, разгледайте решенията на още два примера.

Пример.

Изчислете стойността на корена.

Решение.

Разлагането на прости множители на радикала на числото 243 има формата 243=3 5 . по този начин .

отговор:

Пример.

Коренната стойност цяло число ли е?

Решение.

За да отговорим на този въпрос, нека разложим радикалното число на прости множители и да видим дали може да бъде представено като куб от цяло число.

Имаме 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2. Полученото разширение не се представя като куб от цяло число, тъй като степента основен фактор 7 не е кратно на три. Следователно кубичният корен от 285 768 не може да бъде извлечен напълно.

отговор:

не

Извличане на корени от дробни числа

Време е да разберете как да извлечете корена от дробно число. Нека дробното радикално число бъде записано като p/q. Според свойството корен на частното е вярно следното равенство. От това равенство следва правило за извличане на корен от дроб: Коренът на дроб е равен на частното от корена на числителя, делено на корена на знаменателя.

Нека да разгледаме пример за извличане на корен от дроб.

Пример.

Какво е корен квадратен от обикновена дроб 25/169 .

Решение.

Използвайки таблицата с квадрати, намираме, че квадратният корен от числителя на първоначалната дроб е равен на 5, а квадратният корен от знаменателя е равен на 13. Тогава . Това завършва извличането на корена от обикновената дроб 25/169.

отговор:

Коренът на десетична дроб или смесено число се извлича след замяна на радикалните числа с обикновени дроби.

Пример.

Вземете кубичния корен от десетичната дроб 474,552.

Решение.

Нека си представим оригинала десетичен знаккато обикновена дроб: 474,552=474552/1000. Тогава . Остава да извлечем кубичните корени, които са в числителя и знаменателя на получената фракция. защото 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 =78 3 и 1 000 = 10 3, тогава и . Остава само да завършим изчисленията .

отговор:

.

Вземане на корен от отрицателно число

Струва си да се спрем на извличането на корени от отрицателни числа. Когато изучавахме корени, казахме, че когато коренният показател е нечетно число, тогава под знака за корен може да има отрицателно число. Дадохме на тези записи следното значение: за отрицателно число −a и нечетен показател на корена 2 n−1, . Това равенство дава правило за извличане на нечетни корени от отрицателни числа: за да извлечете корена на отрицателно число, трябва да вземете корена на противоположното положително число и да поставите знак минус пред резултата.

Нека да разгледаме примерното решение.

Пример.

Намерете стойността на корена.

Решение.

Нека трансформираме оригиналния израз, така че под знака за корен той да се появи положително число: . Сега смесено числозаменете го с обикновена дроб: . Прилагаме правилото за извличане на корен от обикновена дроб: . Остава да се изчислят корените в числителя и знаменателя на получената дроб: .

Ето кратко резюме на решението: .

отговор:

.

Побитово определяне на коренната стойност

IN общ случайпод корена има число, което с помощта на обсъдените по-горе техники не може да бъде представено като n-та степен на което и да е число. Но в този случай има нужда да се знае значението на даден корен, поне до определен знак. В този случай, за да извлечете корена, можете да използвате алгоритъм, който ви позволява последователно да получавате достатъчно количествостойности на цифрите на търсеното число.

Първата стъпка на този алгоритъм е да откриете кой е най-значимият бит от стойността на корена. За да направите това, числата 0, 10, 100, ... се повдигат последователно на степен n до момента, в който се получи число, надвишаващо радикалното число. Тогава числото, което повдигнахме на степен n на предишния етап, ще посочи съответната най-значима цифра.

Например, помислете за тази стъпка от алгоритъма при извличане корен квадратенот пет. Вземете числата 0, 10, 100, ... и ги повдигнете на квадрат, докато получим число, по-голямо от 5. Имаме 0 2 =0<5 , 10 2 =100>5, което означава, че най-значимата цифра ще бъде цифрата на единиците. Стойността на този бит, както и на по-ниските, ще бъдат намерени в следващите стъпки на алгоритъма за извличане на корен.

Всички следващи стъпки на алгоритъма са насочени към последователно изясняване на стойността на корена чрез намиране на стойностите на следващите битове на желаната стойност на корена, като се започне от най-високата и се премине към най-ниските. Например стойността на корена на първата стъпка се оказва 2, на втората – 2,2, на третата – 2,23 и така нататък 2,236067977…. Нека опишем как се намират стойностите на цифрите.

Цифрите се намират чрез търсене в възможните им стойности 0, 1, 2, ..., 9. В този случай n-тите степени на съответните числа се изчисляват паралелно и се сравняват с радикалното число. Ако на някакъв етап стойността на степента надвишава радикалното число, тогава стойността на цифрата, съответстваща на предишната стойност, се счита за намерена и се извършва преход към следващата стъпка на алгоритъма за извличане на корена; тогава стойността на тази цифра е 9.

Нека обясним тези точки, използвайки същия пример за извличане на корен квадратен от пет.

Първо намираме стойността на единицата. Ще преминем през стойностите 0, 1, 2, ..., 9, изчислявайки съответно 0 2, 1 2, ..., 9 2, докато получим стойност, по-голяма от радикалното число 5. Удобно е да представите всички тези изчисления под формата на таблица:

Така че стойността на цифрата на единиците е 2 (тъй като 2 2<5 , а 2 3 >5). Нека да преминем към намиране на стойността на десетото място. В този случай ще повдигнем на квадрат числата 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, сравнявайки получените стойности с радикалното число 5:

От 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5, тогава стойността на десетите е 2. Можете да продължите към намиране на стойността на стотните място:

Така намерено следваща стойносткорен от пет, то е равно на 2,23. И така можете да продължите да намирате стойности: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

За да консолидираме материала, ще анализираме извличането на корена с точност до стотни, използвайки разглеждания алгоритъм.

Първо определяме най-значимата цифра. За целта събираме на куб числата 0, 10, 100 и т.н. докато получим число, по-голямо от 2 151 186. Имаме 0 3 =0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186, така че най-значимата цифра е цифрата на десетиците.

Да определим стойността му.

От 103<2 151,186 , а 20 3 >2 151.186, тогава стойността на мястото на десетиците е 1. Да преминем към единици.

Така стойността на цифрата единици е 2. Да преминем към десети.

Тъй като дори 12,9 3 е по-малко от радикалното число 2 151,186, тогава стойността на десетите е 9. Остава да изпълним последната стъпка от алгоритъма, тя ще ни даде стойността на корена с необходимата точност.

На този етап стойността на корена се намира с точност до стотни: .

В заключение на тази статия бих искал да кажа, че има много други начини за извличане на корени. Но за повечето задачи тези, които проучихме по-горе, са достатъчни.

Референции.

• Макаричев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник за 8. клас. образователни институции.
• Колмогоров A.N., Абрамов A.M., Дудницин Ю.П. и др.. Алгебра и началото на анализа: Учебник за 10 - 11 клас на общообразователните институции.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (наръчник за постъпващите в технически училища).

Инженерен калкулатор онлайн

Щастливи сме да дадем на всички безплатен инженерен калкулатор. С негова помощ всеки ученик може бързо и най-важното лесно да извършва различни видове математически изчисления онлайн.

Прост и лесен за използване инженерен калкулатор с ненатрапчив и интуитивен интерфейс ще бъде наистина полезен за широк кръг потребители на Интернет. Сега, когато имате нужда от калкулатор, отидете на нашия уебсайт и използвайте безплатния инженерен калкулатор.

Инженерният калкулатор може да извършва както прости аритметични операции, така и доста сложни математически изчисления.

Web20calc е инженерен калкулатор, който има огромен брой функции, например как да изчислите всички елементарни функции. Калкулаторът също поддържа тригонометрични функции, матрици, логаритми и дори графики.

Несъмнено Web20calc ще представлява интерес за тази група хора, които в търсене на прости решения въвеждат в търсачките заявката: онлайн математически калкулатор. Безплатно уеб приложение ще ви помогне незабавно да изчислите резултата от някакъв математически израз, например изваждане, събиране, деление, извличане на корен, повдигане на степен и т.н.

В израза можете да използвате операциите степенуване, събиране, изваждане, умножение, деление, процент и константата PI. За сложни изчисления трябва да се добавят скоби.

Характеристики на инженерния калкулатор:

1. основни аритметични действия;
2. работа с числа в стандартна форма;
3. пресмятане на тригонометрични корени, функции, логаритми, степенуване;
4. статистически изчисления: събиране, средно аритметично или стандартно отклонение;
5. използване на клетки с памет и персонализирани функции на 2 променливи;
6. работа с ъгли в радиани и градуси.

Инженерният калкулатор позволява използването на различни математически функции:

Извличане на корени (квадратен, кубичен и n-ти корен);
ex (e на степен x), експоненциален;
тригонометрични функции: синус - sin, косинус - cos, тангенс - tan;
обратни тригонометрични функции: арксинус - sin-1, аркосинус - cos-1, арктангенс - tan-1;
хиперболични функции: синус - sinh, косинус - cosh, тангенс - tanh;
логаритми: двоичен логаритъм по основа две - log2x, десетичен логаритъм по основа десет - log, натурален логаритъм - ln.

Този инженерен калкулатор включва и количествен калкулатор с възможност за преобразуване на физически величини за различни измервателни системи - компютърни единици, разстояние, тегло, време и др. Използвайки тази функция, можете незабавно да конвертирате мили в километри, паундове в килограми, секунди в часове и т.н.

За да направите математически изчисления, първо въведете поредица от математически изрази в съответното поле, след това щракнете върху знака за равенство и вижте резултата. Можете да въвеждате стойности директно от клавиатурата (за това зоната на калкулатора трябва да е активна, следователно би било полезно да поставите курсора в полето за въвеждане). Освен всичко друго, данните могат да се въвеждат с помощта на бутоните на самия калкулатор.

За да изградите графики, трябва да напишете функцията в полето за въвеждане, както е посочено в полето с примери, или да използвате лентата с инструменти, специално предназначена за това (за да отидете до нея, щракнете върху бутона с иконата на графиката). За да преобразувате стойности, щракнете върху Единица за работа с матрици, щракнете върху Матрица.

Преди калкулаторите учениците и учителите са изчислявали квадратни корени на ръка. Има няколко начина за ръчно изчисляване на корен квадратен от число. Някои от тях предлагат само приблизително решение, други дават точен отговор.

стъпки

Разлагане на прости множители

Разделете радикалното число на множители, които са квадратни числа.В зависимост от радикалното число ще получите приблизителен или точен отговор. Квадратните числа са числа, от които може да бъде извлечен целият квадратен корен. Факторите са числа, които, когато се умножат, дават оригиналното число. Например множителите на числото 8 са 2 и 4, тъй като 2 x 4 = 8, числата 25, 36, 49 са квадратни числа, тъй като √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Квадратни множители са фактори, които са квадратни числа. Първо, опитайте се да разложите радикалното число на квадратни множители.

• Например, изчислете корен квадратен от 400 (на ръка). Първо опитайте да разложите 400 на квадратни множители. 400 е кратно на 100, т.е. дели се на 25 - това е квадратно число. Разделянето на 400 на 25 ви дава 16. Числото 16 също е квадратно число. По този начин 400 може да се разложи на квадратни множители на 25 и 16, тоест 25 x 16 = 400.
• Това може да се запише по следния начин: √400 = √(25 x 16).

1. Коренът квадратен от произведението на някои членове е равен на произведението от корените квадратни на всеки член, тоест √(a x b) = √a x √b.

   • Използвайте това правило, за да вземете корен квадратен от всеки квадратен фактор и да умножите резултатите, за да намерите отговора.
     • В нашия пример вземете корен от 25 и 16.
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16

2. 5 х 4 = 20

   • Ако радикалното число не се разделя на два квадратни фактора (а това се случва в повечето случаи), няма да можете да намерите точния отговор под формата на цяло число.
     • Но можете да опростите проблема, като разложите радикалното число на квадратен множител и обикновен множител (число, от което не може да се извади целият квадратен корен). След това ще вземете корен квадратен от квадратния множител и ще вземете корен от общия множител.
     • Например, изчислете корен квадратен от числото 147. Числото 147 не може да бъде разложено на два квадратни множителя, но може да бъде разложено на следните множители: 49 и 3. Решете задачата, както следва:
     • = 7√3

3. = √(49 x 3)= √49 x √3

   • Да се ​​върнем към нашия пример. Радикалното число е 3. Най-близките до него квадратни числа ще бъдат числата 1 (√1 = 1) и 4 (√4 = 2). Така стойността на √3 се намира между 1 и 2. Тъй като стойността на √3 вероятно е по-близо до 2, отколкото до 1, нашата оценка е: √3 = 1,7. Умножаваме тази стойност по числото в знака на корена: 7 x 1,7 = 11,9. Ако направите изчисленията с калкулатор, ще получите 12,13, което е доста близо до нашия отговор.
     • Този метод работи и с големи числа. Например, помислете за √35. Радикалното число е 35. Най-близките до него квадратни числа ще бъдат числата 25 (√25 = 5) и 36 (√36 = 6). Така стойността на √35 се намира между 5 и 6. Тъй като стойността на √35 е много по-близо до 6, отколкото до 5 (защото 35 е само с 1 по-малко от 36), можем да кажем, че √35 е малко по-малко от 6 Проверката на калкулатора ни дава отговор 5,92 - бяхме прави.

4. Друг начин е радикалното число да се разложи на прости множители.Простите множители са числа, които се делят само на 1 и на себе си. Напишете простите множители в редица и намерете двойки еднакви множители. Такива фактори могат да бъдат извадени от коренния знак.

   • Например, изчислете корен квадратен от 45. Разлагаме радикалното число на прости множители: 45 = 9 x 5 и 9 = 3 x 3. Така √45 = √(3 x 3 x 5). 3 може да се извади като знак за корен: √45 = 3√5. Сега можем да оценим √5.
   • Нека да разгледаме друг пример: √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Получихте три множителя по 2; вземете няколко от тях и ги преместете отвъд знака за корен.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Сега можете да оцените √2 и √11 и да намерите приблизителен отговор.

   Ръчно изчисляване на корен квадратен

   Използване на дълго деление

   1. Този метод включва процес, подобен на дългото деление и осигурява точен отговор.Първо начертайте вертикална линия, разделяща листа на две половини, а след това вдясно и малко под горния ръб на листа начертайте хоризонтална линия до вертикалната линия. Сега разделете радикалното число на двойки числа, като започнете с дробната част след десетичната запетая. И така, числото 79520789182.47897 е написано като "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".

      • Например, нека изчислим корен квадратен от числото 780,14. Начертайте две линии (както е показано на снимката) и напишете даденото число във формата „7 80, 14“ горе вляво. Нормално е първата цифра отляво да е несдвоена цифра. Ще напишете отговора (корена на това число) горе вдясно.

   2. За първата двойка числа (или едно число) отляво намерете най-голямото цяло число n, чийто квадрат е по-малък или равен на въпросната двойка числа (или едно число).

      • С други думи, намерете квадратното число, което е най-близо до, но по-малко от първата двойка числа (или едно число) отляво, и извадете квадратния корен от това квадратно число; ще получите числото n. Напишете n, което сте намерили, горе вдясно и напишете квадрата на n долу вдясно.< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. В нашия случай първото число отляво ще бъде 7. След това 4Извадете квадрата на числото n, което току-що намерихте, от първата двойка числа (или едно число) вляво.

      • Запишете резултата от изчислението под субтрахенда (квадрата на числото n).

   4. В нашия пример извадете 4 от 7 и получете 3.Запишете втората двойка числа и я запишете до стойността, получена в предишната стъпка.

      • След това удвоете числото горе вдясно и напишете резултата долу вдясно с добавяне на "_×_=".

   5. В нашия пример втората двойка числа е "80". Напишете "80" след 3. След това два пъти числото в горния десен ъгъл дава 4. Напишете "4_×_=" долу вдясно.

      • Попълнете празните полета вдясно.

   6. В нашия случай, ако поставим числото 8 вместо тирета, тогава 48 x 8 = 384, което е повече от 380. Следователно 8 е твърде голямо число, но 7 ще свърши работа. Напишете 7 вместо тирета и получете: 47 х 7 = 329. Напишете 7 горе вдясно – това е втората цифра в желания корен квадратен от числото 780,14.Извадете полученото число от текущото число вляво.

      • Запишете резултата от предишната стъпка под текущото число отляво, намерете разликата и я запишете под субтрахенда.

   7. В нашия пример извадете 329 от 380, което е равно на 51.Повторете стъпка 4.

      • Ако двойката числа, които се прехвърлят, е дробната част на оригиналното число, тогава поставете разделител (запетая) между целите и дробните части в необходимия корен квадратен горе вдясно. Отляво свалете следващата двойка числа. Удвоете числото горе вдясно и напишете резултата долу вдясно с добавянето на „_×_=".

   8. В нашия пример следващата двойка числа, която ще бъде премахната, ще бъде дробната част на числото 780.14, така че поставете разделителя на целите и дробните части в желания квадратен корен в горния десен ъгъл. Свалете 14 и го напишете долу вляво. Удвоеното число горе вдясно (27) е 54, така че напишете "54_×_=" долу вдясно.Повторете стъпки 5 и 6.

      • В нашия пример 549 x 9 = 4941, което е по-малко от текущото число вляво (5114). Напишете 9 горе вдясно и извадете резултата от умножението от текущото число вляво: 5114 - 4941 = 173.

   9. Ако трябва да намерите повече десетични знаци за квадратния корен, напишете няколко нули отляво на текущото число и повторете стъпки 4, 5 и 6. Повторете стъпките, докато получите точността на отговора (брой десетични знаци), която искате нужда.

   Разбиране на процеса

   За да овладеете този метод, представете си числото, чийто квадратен корен трябва да намерите, като площ на квадрат S. В този случай ще търсите дължината на страната L на такъв квадрат. Изчисляваме стойността на L така, че L² = S.

   Дайте буква за всяко число в отговора.Нека означим с A първата цифра в стойността на L (желания квадратен корен). B ще бъде втората цифра, C третата и така нататък.

   Посочете буква за всяка двойка първи цифри.Нека означим с S a първата двойка цифри в стойността на S, с S b втората двойка цифри и т.н.

   Разберете връзката между този метод и дългото деление.Точно както при операцията деление, където се интересуваме само от следващата цифра на числото, което делим всеки път, когато изчисляваме квадратен корен, работим с двойка цифри последователно (за да получим следващата една цифра в квадрата коренна стойност).

   1. Помислете за първата двойка цифри Sa на числото S (Sa = 7 в нашия пример) и намерете неговия корен квадратен.В този случай първата цифра A от желаната стойност на квадратния корен ще бъде цифра, чийто квадрат е по-малък или равен на S a (т.е. търсим A, така че неравенството A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Да кажем, че трябва да разделим 88962 на 7; тук първата стъпка ще бъде подобна: разглеждаме първата цифра на делимото число 88962 (8) и избираме най-голямото число, което, умножено по 7, дава стойност, по-малка или равна на 8. Тоест, търсим число d, за което е вярно неравенството: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. Мислено си представете квадрат, чиято площ трябва да изчислите.Търсите L, тоест дължината на страната на квадрат, чиято площ е равна на S. A, B, C са числата в числото L. Можете да го запишете по различен начин: 10A + B = L (за двуцифрено число) или 100A + 10B + C = L (за трицифрено число) и т.н.

      • Нека (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Не забравяйте, че 10A+B е число, в което цифрата B означава единици, а цифрата A означава десетици. Например, ако A=1 и B=2, тогава 10A+B е равно на числото 12. (10A+B)²е площта на целия квадрат, 100A²- площ на големия вътрешен квадрат, B²- площ на малкия вътрешен квадрат, 10A×B- площта на всеки от двата правоъгълника. Като съберете площите на описаните фигури, ще намерите площта на оригиналния квадрат.

Инструкции

За да увеличите число на степен 1/3, въведете числото, след това щракнете върху бутона за степенуване и въведете приблизителната стойност от 1/3 - 0,333. Тази точност е напълно достатъчна за повечето изчисления. Въпреки това, точността на изчисленията е много лесна за увеличаване - просто добавете толкова тройки, колкото ще се поберат на индикатора на калкулатора (например 0,3333333333333333). След това щракнете върху бутона "=".

За да изчислите третия корен с помощта на компютър, стартирайте програмата калкулатор на Windows. Процедурата за изчисляване на третия корен е напълно подобна на описаната по-горе. Единствената разлика е в дизайна на бутона за степенуване. На виртуалната клавиатура на калкулатора се обозначава като “x^y”.

Третият корен може да се изчисли и в MS Excel. За да направите това, въведете „=“ във всяка клетка и изберете иконата „вмъкване“ (fx). Изберете функцията “DEGREE” в появилия се прозорец и щракнете върху бутона “OK”. В прозореца, който се показва, въведете стойността на числото, за което искате да изчислите третия корен. В "Степен" въведете числото "1/3". Напишете числото 1/3 точно в тази форма - като обикновена. След това щракнете върху бутона „Ok“. Кубичният корен на даденото число ще се появи в клетката на таблицата, където е създадено.

Ако третият корен трябва да се изчислява постоянно, тогава леко подобрете описания по-горе метод. За числото, от което искате да извлечете корена, посочете не самото число, а клетка от таблица. След това просто въведете оригиналното число в тази клетка всеки път - неговият кубичен корен ще се появи в клетката с формулата.

Видео по темата

Моля, обърнете внимание

Заключение. Тази статия разглежда различни методи за изчисляване на стойности на кубичен корен. Оказа се, че стойностите на кубичния корен могат да бъдат намерени с помощта на метода на итерация, можете също да приближите кубичния корен, да повишите числото на степен 1/3, да потърсите стойностите на третия корен, като използвате Microsoft Office Ecxel, задаване на формули в клетки.

Полезни съвети

Корените от втора и трета степен се използват особено често и затова имат специални имена. Корен квадратен: В този случай експонентата обикновено се пропуска, а терминът "корен" без уточняване на степента най-често предполага корен квадратен. Практическо пресмятане на корени Алгоритъм за намиране на корен от n-та степен. Квадратните и кубичните корени обикновено се предоставят във всички калкулатори.

източници:

• трети корен
• Как да вземете корен квадратен на N-та степен в Excel

Операцията за намиране на корена трети степениобикновено се нарича извличане на „кубичния“ корен и се състои в намирането на реално число, чийто куб ще даде стойност, равна на радикалното число. Операцията за извличане на всеки аритметичен корен степени n е еквивалентно на операцията за повдигане на степен 1/n. Има няколко метода, които можете да използвате за практическо изчисляване на кубични корени.