Аритметична прогресияиме на поредица от числа (условия на прогресия)

При което всеки следващ термин се различава от предходния с нов термин, който също се нарича разлика в стъпка или прогресия.

По този начин, като посочите стъпката на прогресията и нейния първи член, можете да намерите всеки от нейните елементи с помощта на формулата

Свойства аритметична прогресия

1) Всеки член на аритметична прогресия, започвайки от второто число, е средноаритметичното на предишния и следващия член на прогресията

Обратното също е вярно. Ако средноаритметичното на съседни нечетни (четни) членове на една прогресия е равно на члена, който стои между тях, тогава тази последователност от числа е аритметична прогресия. Използвайки това твърдение, е много лесно да проверите всяка последователност.

Освен това, чрез свойството на аритметичната прогресия, горната формула може да се обобщи до следното

Това е лесно да се провери, ако напишете условията отдясно на знака за равенство

Често се използва на практика за опростяване на изчисленията при проблеми.

2) Сумата от първите n члена на аритметична прогресия се изчислява с помощта на формулата

Запомнете добре формулата за сумата на аритметичната прогресия, тя е незаменима при изчисленията и доста често се среща в прости житейски ситуации.

3) Ако трябва да намерите не цялата сума, а част от редицата, започваща от нейния k-ти член, тогава следната формула за сумата ще ви бъде полезна

4) От практически интерес е намирането на сумата от n членове на аритметична прогресия, започваща от k-то число. За да направите това, използвайте формулата

Това завършва теоретичния материал и преминава към решаване на често срещани проблеми в практиката.

Пример 1. Намерете четиридесетия член на аритметичната прогресия 4;7;...

Решение:

Според състоянието, което имаме

Нека определим стъпката на прогресия

Използвайки добре позната формула, намираме четиридесетия член на прогресията

Пример 2.

Решение:

Аритметична прогресия се дава от третия и седмия член. Намерете първия член на прогресията и сбора от десет.

Нека запишем дадените елементи на прогресията с помощта на формулите

Изваждаме първото от второто уравнение, в резултат намираме стъпката на прогресията

Заместваме намерената стойност във всяко от уравненията, за да намерим първия член на аритметичната прогресия

Изчисляваме сумата от първите десет члена на прогресията

Без да използваме сложни изчисления, намерихме всички необходими количества.

Решение:

Пример 3. Една аритметична прогресия е дадена от знаменателя и един от неговите членове. Намерете първия член на прогресията, сбора от неговите 50 члена, започвайки от 50, и сбора от първите 100.

Нека запишем формулата за стотния елемент на прогресията

и намерете първия

Въз основа на първия намираме 50-ия член на прогресията

Намиране на сумата на частта от прогресията

и сумата от първите 100

Сумата на прогресията е 250.

Пример 4.

Намерете броя на членовете на аритметичната прогресия, ако:

Решение:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Нека напишем уравненията по отношение на първия член и стъпката на прогресията и да ги определим

Заместваме получените стойности във формулата на сумата, за да определим броя на членовете в сумата

Ние извършваме опростявания

и решаване на квадратното уравнение

От двете намерени стойности само числото 8 отговаря на условията на проблема. Така сумата от първите осем члена на прогресията е 111.

Пример 5.

Решете уравнението

1+3+5+...+x=307.

Решение: Това уравнение е сбор от аритметична прогресия. Нека напишем първия му член и намерим разликата в прогресията Ако за всяко естествено число п съответства на реално число a n , тогава казват, че се дава :

числова последователност 1 , числова последователност 2 , числова последователност 3 , . . . , а , . . . .

a n

И така, числовата последователност е функция на естествения аргумент. числова последователност 1 Номер наречен първия член на последователността числова последователност 2 — , номер вторият член на последователността числова последователност 3 — , номер трети съответства на реално число Номер и така нататък. Номер n-ти член последователности , и естествено число — п .

номера му а От два съседни члена а +1 И а +1 Номер член на последователността последващи съответства на реално число (спрямо съответства на реално число — ), А последващи а +1 ).

За да дефинирате последователност, трябва да посочите метод, който ви позволява да намерите член на последователността с произволен номер.

Често последователността се определя с помощта на n-ти член формули , тоест формула, която ви позволява да определите член на последователност по неговия номер.

например,

последователност от положителни нечетни числа може да бъде дадена чрез формулата

а= 2п- 1,

и последователността на редуване 1 И -1 - формула

bп = (-1)п +1 . ◄

Последователността може да се определи повтаряща се формула, това е формула, която изразява всеки член на последователността, започвайки с някои, през предходните (един или повече) членове.

например,

Ако числова последователност 1 = 1 , А а +1 = а + 5

числова последователност 1 = 1,

числова последователност 2 = числова последователност 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

числова последователност 3 = числова последователност 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

числова последователност 4 = числова последователност 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

числова последователност 5 = числова последователност 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Ако а 1= 1, а 2 = 1, а +2 = а + а +1 , тогава първите седем члена на числовата последователност се установяват, както следва:

а 1 = 1,

а 2 = 1,

а 3 = а 1 + а 2 = 1 + 1 = 2,

а 4 = а 2 + а 3 = 1 + 2 = 3,

а 5 = а 3 + а 4 = 2 + 3 = 5,

числова последователност 6 = числова последователност 4 + числова последователност 5 = 3 + 5 = 8,

числова последователност 7 = числова последователност 5 + числова последователност 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Последователностите могат да бъдат окончателен От два съседни члена безкраен .

Последователността се нарича крайна , ако има краен брой членове. Последователността се нарича безкраен , ако има безкрайно много членове.

например,

последователност от две цифри естествени числа:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

окончателен.

Последователност от прости числа:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

безкраен. ◄

Последователността се нарича нарастваща , ако всеки от неговите членове, започвайки от втория, е по-голям от предходния.

Последователността се нарича намаляващи , ако всеки от неговите членове, започвайки от втория, е по-малък от предходния.

например,

2, 4, 6, 8, . . . , 2, и естествено число, . . . — нарастваща последователност;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /п, . . . — намаляваща последователност. ◄

Нарича се последователност, чиито елементи не намаляват с увеличаване на броя или, обратно, не се увеличават монотонна последователност .

Монотонните последователности, по-специално, са нарастващи последователности и намаляващи последователности.

Аритметична прогресия

Аритметична прогресия е последователност, в която всеки член, започвайки от втория, е равен на предходния, към който се добавя същото число.

числова последователност 1 , числова последователност 2 , числова последователност 3 , . . . , а, . . .

е аритметична прогресия, ако за всяко естествено число Ако за всяко естествено число условието е изпълнено:

а +1 = а + d,

Къде d - определено число.

По този начин разликата между следващите и предходните членове на дадена аритметична прогресия е винаги постоянна:

а 2 - числова последователност 1 = а 3 - числова последователност 2 = . . . = а +1 - а = d.

И така, числовата последователност е функция на естествения аргумент. d Номер разлика в аритметичната прогресия.

За да се дефинира аритметична прогресия, достатъчно е да се посочи нейният първи член и разлика.

например,

Ако числова последователност 1 = 3, d = 4 , тогава намираме първите пет члена на последователността, както следва:

а 1 =3,

а 2 = а 1 + d = 3 + 4 = 7,

а 3 = а 2 + d= 7 + 4 = 11,

а 4 = а 3 + d= 11 + 4 = 15,

числова последователност 5 = числова последователност 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

За аритметична прогресия с първия член числова последователност 1 и разликата d нея Ако за всяко естествено число

а = а 1 + (, и естествено число- 1)d.

например,

намерете тридесетия член на аритметичната прогресия

1, 4, 7, 10, . . .

а 1 =1, d = 3,

а 30 = а 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = а 1 + (, и естествено число- 2)г,

а= а 1 + (, и естествено число- 1)г,

а +1 = числова последователност 1 + nd,

тогава очевидно

Всеки член на аритметична прогресия, започвайки от втория, е равен на средноаритметичното на предходния и следващите членове.

числата a, b и c са последователни членове на някаква аритметична прогресия тогава и само ако едно от тях е равно на средното аритметично на другите две.

например,

а = 2, и естествено число- 7 , е аритметична прогресия.

Нека използваме горното твърдение. Ние имаме:

а = 2, и естествено число- 7,

a n-1 = 2(п- 1) - 7 = 2, и естествено число- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2, и естествено число- 5.

следователно

◄

Забележете това Ако за всяко естествено число Членът на аритметичната прогресия може да бъде намерен не само чрез числова последователност 1 , но и всички предишни a k

а = a k + (, и естествено число- к)d.

например,

За числова последователност 5 може да се запише

а 5 = а 1 + 4d,

а 5 = а 2 + 3d,

а 5 = а 3 + 2d,

а 5 = а 4 + d. ◄

а = един н-к + kd,

а = a n+k - kd,

тогава очевидно

всеки член на аритметична прогресия, започвайки от втория, е равен на половината от сбора на членовете на тази аритметична прогресия, разположени на еднакво разстояние от нея.

В допълнение, за всяка аритметична прогресия е валидно следното равенство:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

например,

в аритметична прогресия

1) числова последователност 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (числова последователност 9 + числова последователност 11 )/2;

2) 28 = а 10 = а 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) а 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, защото

а 2 + а 12= 4 + 34 = 38,

5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ а,

първи Ако за всяко естествено число членове на аритметична прогресия е равен на произведението на половината от сумата на екстремните членове и броя на членовете:

От тук по-специално следва, че ако трябва да сумирате условията

a k, a k +1 , . . . , а,

тогава предишната формула запазва своята структура:

например,

в аритметична прогресия 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

С 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = С 10 - С 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Ако е дадена аритметична прогресия, тогава количествата числова последователност 1 , а, d, , и естествено числоИС Ако за всяко естествено число свързани с две формули:

Следователно, ако са дадени стойностите на три от тези величини, тогава съответните стойности на другите две величини се определят от тези формули, комбинирани в система от две уравнения с две неизвестни.

Аритметичната прогресия е монотонна последователност. В този случай:

• Ако d > 0 , след това се увеличава;
• Ако d < 0 , тогава намалява;
• Ако d = 0 , тогава последователността ще бъде неподвижна.

Геометрична прогресия

Геометрична прогресия е последователност, в която всеки член, започвайки от втория, е равен на предходния, умножен по същото число.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

е геометрична прогресия, ако за всяко естествено число Ако за всяко естествено число условието е изпълнено:

b n +1 = b n · р,

Къде р ≠ 0 - определено число.

Така съотношението на следващия член на дадена геометрична прогресия към предходния е постоянно число:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = р.

И така, числовата последователност е функция на естествения аргумент. р Номер знаменател на геометричната прогресия.

За да се определи геометрична прогресия, достатъчно е да се посочи нейният първи член и знаменател.

например,

Ако b 1 = 1, р = -3 , тогава намираме първите пет члена на последователността, както следва:

b 1 = 1,

б 2 = b 1 · р = 1 · (-3) = -3,

б 3 = б 2 · р= -3 · (-3) = 9,

b 4 = б 3 · р= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · р= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 и знаменател р нея Ако за всяко естествено число Терминът може да се намери с помощта на формулата:

b n = b 1 · qn -1 .

например,

намерете седмия член на геометричната прогресия 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, р = 2,

b 7 = b 1 · р 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = b 1 · qn,

тогава очевидно

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

всеки член на геометричната прогресия, започвайки от втория, е равен на средното геометрично (пропорционално) на предходния и следващите членове.

Тъй като обратното също е вярно, следва следното твърдение:

числата a, b и c са последователни членове на някаква геометрична прогресия тогава и само ако квадратът на едно от тях е равен на произведението на другите две, т.е. едно от числата е средно геометрично на другите две.

например,

Нека докажем, че последователността, дадена от формулата b n= -3 2 п , е геометрична прогресия. Нека използваме горното твърдение. Ние имаме:

b n= -3 2 п,

b n -1 = -3 2 п -1 ,

b n +1 = -3 2 п +1 .

следователно

b n 2 = (-3 2 п) 2 = (-3 2 п -1 ) · (-3 · 2 п +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

което доказва желаното твърдение. ◄

Забележете това Ако за всяко естествено число Членът на геометричната прогресия може да се намери не само чрез b 1 , но и всеки предишен член b k , за което е достатъчно да използвате формулата

b n = b k · qn - к.

например,

За b 5 може да се запише

б 5 = b 1 · р 4 ,

б 5 = б 2 · р 3,

б 5 = б 3 · р 2,

б 5 = b 4 · р. ◄

b n = b k · qn - к,

b n = b n - к · q k,

тогава очевидно

b n 2 = b n - к· b n + к

квадратът на всеки член на геометрична прогресия, започвайки от втория, е равен на произведението на членовете на тази прогресия, равноотдалечени от нея.

Освен това за всяка геометрична прогресия е вярно равенството:

b m· b n= b k· b l,

м+ , и естествено число= к+ л.

например,

в геометрична прогресия

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · р 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , защото

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

първи Ако за всяко естествено число членове на геометрична прогресия със знаменател р ≠ 0 изчислено по формулата:

И кога р = 1 - по формулата

S n= nb 1

Имайте предвид, че ако трябва да сумирате условията

b k, b k +1 , . . . , b n,

тогава се използва формулата:

например,

в геометрична прогресия 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

С 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = С 10 - С 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Ако е дадена геометрична прогресия, тогава количествата b 1 , b n, р, , и естествено числоИ S n свързани с две формули:

Следователно, ако са дадени стойностите на всеки три от тези количества, тогава съответните стойности на другите две количества се определят от тези формули, комбинирани в система от две уравнения с две неизвестни.

За геометрична прогресия с първия член b 1 и знаменател р се случва следното свойства на монотонност :

• прогресията се увеличава, ако е изпълнено едно от следните условия:

b 1 > 0 И р> 1;

b 1 < 0 И 0 < р< 1;

• Прогресията намалява, ако е изпълнено едно от следните условия:

b 1 > 0 И 0 < р< 1;

b 1 < 0 И р> 1.

Ако р< 0 , тогава геометричната прогресия се редува: нейните членове с нечетни числа имат същия знак като първия й член, а членовете с четни числа имат противоположен знак. Ясно е, че променливата геометрична прогресия не е монотонна.

Продукт на първия Ако за всяко естествено число членовете на геометрична прогресия могат да се изчислят по формулата:

P n= b 1 · б 2 · б 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) , и естествено число / 2 .

например,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Безкрайно намаляваща геометрична прогресия

Безкрайно намаляваща геометрична прогресия наречена безкрайна геометрична прогресия, чийто модул на знаменателя е по-малък 1 , т.е

|р| < 1 .

Имайте предвид, че една безкрайно намаляваща геометрична прогресия може да не е намаляваща последователност. Подходящ е за случая

1 < р< 0 .

При такъв знаменател последователността е променлива. например,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Сумата от безкрайно намаляваща геометрична прогресия назовете числото, към което сумата от първите се приближава неограничено Ако за всяко естествено число членове на прогресия с неограничено увеличение на броя Ако за всяко естествено число . Това число винаги е крайно и се изразява с формулата

например,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Връзка между аритметична и геометрична прогресия

Аритметичната и геометричната прогресия са тясно свързани. Нека разгледаме само два примера.

числова последователност 1 , числова последователност 2 , числова последователност 3 , . . . d , Това

б а 1 , б а 2 , б а 3 , . . . b d .

например,

1, 3, 5, . . . - аритметична прогресия с разлика 2 И

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - геометрична прогресия със знаменател 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - геометрична прогресия със знаменател р , Това

дневник a b 1, дневник a b 2, дневник a b 3, . . . - аритметична прогресия с разлика дневник aр .

например,

2, 12, 72, . . . - геометрична прогресия със знаменател 6 И

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - аритметична прогресия с разлика lg 6 . ◄

Преди да започнем да решаваме задачи с аритметична прогресия, нека разгледаме какво е числова последователност, тъй като е аритметична прогресия специален случайчислова последователност.

Числовата последователност е набор от числа, всеки елемент от който има свой собствен сериен номер. Елементите на това множество се наричат ​​членове на редицата. Серийният номер на елемент от последователност се обозначава с индекс:

Първият елемент от последователността;

Петият елемент от последователността;

- “n-тият” елемент от последователността, т.е. елемент "стоящ на опашка" под номер n.

Съществува връзка между стойността на елемент на последователност и неговия пореден номер. Следователно можем да разглеждаме редицата като функция, чийто аргумент е поредният номер на елемента от редицата. С други думи, можем да кажем това последователността е функция на естествения аргумент:

Последователността може да бъде зададена по три начина:

1 . Последователността може да бъде определена с помощта на таблица.В този случай ние просто задаваме стойността на всеки член на последователността.

Например, Някой реши да се заеме с лично управление на времето и като начало преброи колко време прекарва във VKontakte през седмицата. Записвайки времето в таблицата, той ще получи последователност, състояща се от седем елемента:

Първият ред на таблицата показва номера на деня от седмицата, вторият - времето в минути. Виждаме, че в понеделник някой е прекарал 125 минути във VKontakte, тоест в четвъртък - 248 минути, а в петък само 15.

2 . Последователността може да бъде определена с помощта на формулата за n-тия член.

В този случай зависимостта на стойността на елемент от последователност от неговия номер се изразява директно под формата на формула.

Например, ако , тогава

За да намерим стойността на елемент от последователност с дадено число, заместваме номера на елемента във формулата на n-тия член.

Правим същото, ако трябва да намерим стойността на функция, ако стойността на аргумента е известна. Заместваме стойността на аргумента в уравнението на функцията:

ако напр. , Това

Нека отбележа още веднъж, че в редица, за разлика от произволна числова функция, аргументът може да бъде само естествено число.

3 . Последователността може да бъде определена с помощта на формула, която изразява зависимостта на стойността на члена на последователността номер n от стойностите на предишните членове.

В този случай не е достатъчно да знаем само номера на члена на последователността, за да намерим стойността му. Трябва да посочим първия член или първите няколко члена на последователността. ,

Например, помислете за последователността Можем да намерим стойностите на членовете на последователносттаедин по един

, започвайки от третия: Тоест всеки път, за да намерим стойността на n-тия член от редицата, се връщаме към предишните два. Този метод за определяне на последователност се наричарецидивиращ , от латинската думаповтарящо се

- върни се.

Аритметична прогресия Сега можем да дефинираме аритметична прогресия. Аритметичната прогресия е прост специален случай на числова последователност.

е числова редица, всеки член на която, започвайки от втория, е равен на предишния, добавен към същото число. разлика в аритметичната прогресияНомерът се нарича

. Разликата на аритметичната прогресия може да бъде положителна, отрицателна или равна на нула.">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} Ако title="d>0.

нарастваща

Например, 2; 5; 8; 11;... Ако , тогава всеки член на аритметична прогресия е по-малък от предишния, а прогресията е.

намаляващи

Например, 2; -1; -4; -7;... Ако , тогава всички членове на прогресията са равни на едно и също число и прогресията е.

стационарен

Например 2;2;2;2;...

Основното свойство на аритметичната прогресия:

Нека погледнем снимката.

Виждаме това

, и в същото време

.

Събирайки тези две равенства, получаваме:

Нека разделим двете страни на равенството на 2:

И така, всеки член на аритметичната прогресия, започвайки от втория, е равен на средноаритметичното на двете съседни:

Виждаме това

, Това

Освен това, тъй като

, и следователно">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Всеки член на аритметична прогресия, започващ с title="k>l

Формула на тия член.

Виждаме, че членовете на аритметичната прогресия удовлетворяват следните отношения:

и накрая Имаме

формула на n-тия член.ВАЖНО!

Всеки член на аритметична прогресия може да бъде изразен чрез и. Познавайки първия член и разликата на аритметичната прогресия, можете да намерите всеки от неговите членове.

Сумата от n членове на аритметична прогресия.

В произволна аритметична прогресия сумите на равноотдалечените от крайните членове са равни една на друга:

Нека подредим условията на прогресията първо във възходящ ред на числата, а след това в низходящ ред:

Да добавим по двойки:

Сумата във всяка скоба е , броят на двойките е n.

Получаваме:

така че сумата от n членове на аритметична прогресия може да се намери с помощта на формулите:

Нека помислим решаване на задачи с аритметична прогресия.

1 . Последователността е дадена с формулата на n-тия член: . Докажете, че тази редица е аритметична прогресия.

Нека докажем, че разликата между два съседни члена на редицата е равна на едно и също число.

Установихме, че разликата между два съседни члена на редицата не зависи от техния брой и е константа. Следователно, по дефиниция, тази последователност е аритметична прогресия.

2 . При аритметична прогресия -31; -27;...

а) Намерете 31 членове на прогресията.

b) Определете дали числото 41 е включено в тази прогресия.

а)Виждаме това;

Нека запишем формулата за n-тия член за нашата прогресия.

Като цяло

В нашия случай , Ето защо

Или аритметиката е вид подредена числова последователност, чиито свойства се изучават училищен курсалгебра. Тази статия разглежда подробно въпроса как да се намери сумата на аритметична прогресия.

Що за прогресия е това?

Преди да преминете към въпроса (как да намерите сумата от аритметична прогресия), си струва да разберете за какво говорим.

Всяка последователност от реални числа, която се получава чрез добавяне (изваждане) на някаква стойност от всяко предишно число, се нарича алгебрична (аритметична) прогресия. Това определение, когато се преведе на математически език, приема формата:

Тук i е поредният номер на елемента от ред a i. По този начин, знаейки само едно начално число, можете лесно да възстановите цялата серия. Параметърът d във формулата се нарича прогресивна разлика.

Може лесно да се покаже, че за разглежданата редица от числа е валидно следното равенство:

a n = a 1 + d * (n - 1).

Тоест, за да намерите стойността на n-тия елемент по ред, трябва да добавите разликата d към първия елемент a 1 n-1 пъти.

Каква е сумата на аритметична прогресия: формула

Преди да дадете формулата за посочената сума, струва си да разгледате прост специален случай. Дадена е прогресия на естествените числа от 1 до 10, трябва да намерите тяхната сума. Тъй като има малко членове в прогресията (10), е възможно да се реши задачата директно, т.е. да се сумират всички елементи по ред.

S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

Едно нещо, което си струва да се обмисли интересно нещо: тъй като всеки член се различава от следващия с една и съща стойност d = 1, тогава сумирането по двойки на първия с десетия, втория с деветия и т.н. ще даде същия резултат. наистина:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Както можете да видите, има само 5 от тези суми, тоест точно два пъти по-малко от броя на елементите на серията. След това, като умножите броя на сумите (5) по резултата от всяка сума (11), ще стигнете до резултата, получен в първия пример.

Ако обобщим тези аргументи, можем да напишем следния израз:

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

Този израз показва, че изобщо не е необходимо да се сумират всички елементи подред, достатъчно е да се знае стойността на първия a 1 и последния a n, както и общ брой n условия.

Смята се, че Гаус е първият, който се е сетил за това равенство, когато е търсил решение на дадена задача. учител в училищезадача: сумирайте първите 100 цели числа.

Сума от елементи от m до n: формула

Формулата, дадена в предишния параграф, отговаря на въпроса как да се намери сумата от аритметична прогресия (първите елементи), но често при задачи е необходимо да се сумира поредица от числа в средата на прогресията. Как да стане това?

Най-лесният начин да отговорите на този въпрос е като разгледате следния пример: нека е необходимо да се намери сумата от членовете от m-то до n-то. За да решите задачата, трябва да представите дадения сегмент от m до n на прогресията под формата на нова числова серия. В това m-то представянетерминът a m ще бъде първият, а a n ще бъде номериран с n-(m-1). В този случай, прилагайки стандартната формула за сумата, ще се получи следният израз:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Пример за използване на формули

Знаейки как да намерите сумата на аритметичната прогресия, струва си да разгледате прост пример за използване на горните формули.

По-долу е дадена числова последователност, трябва да намерите сумата на нейните членове, започвайки от 5-то и завършвайки с 12-то:

Дадените числа показват, че разликата d е равна на 3. Използвайки израза за n-тия елемент, можете да намерите стойностите на 5-ия и 12-ия член на прогресията. Оказва се:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Познавайки стойностите на числата в краищата на разглежданата алгебрична прогресия, както и знаейки какви числа в серията заемат, можете да използвате формулата за сумата, получена в предишния параграф. Ще се окаже:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Струва си да се отбележи, че тази стойност може да се получи по различен начин: първо намерете сумата на първите 12 елемента, като използвате стандартната формула, след това изчислете сумата на първите 4 елемента, като използвате същата формула, след което извадете втората от първата сума.

И. В. Яковлев | Материали по математика | MathUs.ru

Аритметична прогресия

Аритметичната прогресия е специален типподпоследователност. Следователно, преди да дефинираме аритметична (и след това геометрична) прогресия, трябва да обсъдим накратко важна концепциячислова последователност.

Последователност

Представете си устройство, на екрана на което едно след друго се показват определени числа. Да кажем 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Този набор от числа е точно пример за последователност.

Определение. Числовата последователност е набор от числа, в който на всяко число може да бъде присвоено уникално число (т.е. свързано с едно естествено число)1. Числото n се нарича n-тият член на редицата.

И така, в горния пример първото число е 2, това е първият член на редицата, който може да бъде означен с a1; номер пет има номер 6 е петият член на редицата, който може да бъде означен с a5. изобщо n-ти членпоследователностите се означават с (или bn, cn и т.н.).

Много удобна ситуация е, когато n-тият член на редицата може да бъде определен с някаква формула. Например формулата an = 2n 3 определя последователността: 1; 1; 3; 5; 7; : : : Формулата an = (1)n определя последователността: 1; 1; 1; 1; : : :

Не всеки набор от числа е последователност. Следователно сегментът не е последователност; съдържа „твърде много“ числа за преномериране. Множеството R на всички реални числа също не е последователност. Тези факти се доказват в хода на математически анализ.

Аритметична прогресия: основни определения

Сега сме готови да дефинираме аритметична прогресия.

Определение. Аритметичната прогресия е последователност, в която всеки член (започвайки от втория) е равен на сбора от предходния член и някакво фиксирано число (наречено разлика на аритметичната прогресия).

Например последователност 2; 5; 8; 11; : : : е аритметична прогресия с първи член 2 и разлика 3. Последователност 7; 2; 3; 8; : : : е аритметична прогресия с първи член 7 и разлика 5. Последователност 3; 3; 3; : : : е аритметична прогресия с разлика равна на нула.

Еквивалентна дефиниция: последователност an се нарича аритметична прогресия, ако разликата an+1 an е постоянна стойност (независима от n).

Аритметичната прогресия се нарича нарастваща, ако нейната разлика е положителна, и намаляваща, ако нейната разлика е отрицателна.

1 Но ето едно по-кратко определение: последователност е функция, дефинирана върху множеството от естествени числа. Например, поредица от реални числа е функцията f: N ! Р.

По подразбиране последователностите се считат за безкрайни, т.е. съдържащи безкраен брой числа. Но никой не ни притеснява да разглеждаме крайни последователности; всъщност всеки краен набор от числа може да се нарече крайна последователност. Например, крайната последователност е 1; 2; 3; 4; 5 се състои от пет числа.

Формула за n-тия член на аритметична прогресия

Лесно е да се разбере, че една аритметична прогресия се определя изцяло от две числа: първият член и разликата. Следователно възниква въпросът: как, знаейки първия член и разликата, да намерим произволен член на аритметична прогресия?

Вземете необходимата формула n-тият член на аритметичната прогресия не е труден. Нека един

Задача 1. В аритметична прогресия 2; 5; 8; 11; : : : намерете формулата за n-тия член и изчислете стотния член.

Решение. Според формула (1) имаме:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Свойство и знак на аритметичната прогресия

Свойство на аритметичната прогресия. В аритметична прогресия за всяко

С други думи, всеки член на аритметична прогресия (започвайки от втория) е средноаритметичното на съседните членове.

което се изискваше.

По-общо казано, аритметичната прогресия an удовлетворява равенството

a n = a n k+ a n+k

за всяко n > 2 и всяко естествено k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Оказва се, че формула (2) служи не само като необходимо, но и като достатъчно условие редицата да бъде аритметична прогресия.

Знак за аритметична прогресия. Ако равенството (2) е в сила за всички n > 2, тогава последователността an е аритметична прогресия.

Доказателство. Нека пренапишем формула (2), както следва:

a na n 1= a n+1a n:

От това можем да видим, че разликата an+1 an не зависи от n, а това точно означава, че редицата an е аритметична прогресия.

Свойството и знакът на аритметичната прогресия могат да бъдат формулирани под формата на едно твърдение; За удобство ще направим това за три числа (това е ситуацията, която често се среща при проблеми).

Характеризиране на аритметична прогресия. Три числа a, b, c образуват аритметична прогресия тогава и само ако 2b = a + c.

Задача 2. (MSU, Стопански факултет, 2007 г.) Три числа 8x, 3 x2 и 4 в посочения ред образуват намаляваща аритметична прогресия. Намерете x и посочете разликата на тази прогресия.

Решение. По свойството на аритметичната прогресия имаме:

2(3 x2) = 8x 4, 2x2 + 8x 10 = 0, x2 + 4x 5 = 0, x = 1; x = 5:

Ако x = 1, тогава получаваме намаляваща прогресия от 8, 2, 4 с разлика от 6. Ако x = 5, тогава получаваме нарастваща прогресия от 40, 22, 4; този случай не е подходящ.

Отговор: x = 1, разликата е 6.

Сумата от първите n члена на аритметична прогресия

Легендата разказва, че един ден учителят казал на децата да намерят сбора на числата от 1 до 100 и седнал тихо да чете вестника. След няколко минути обаче едно момче каза, че е решило проблема. Това беше 9-годишният Карл Фридрих Гаус, по-късно един от най-великите математицив историята.

Идеята на малкия Гаус беше следната. Нека

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Нека запишем тази сума в обратен ред:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

и добавете тези две формули:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Всеки член в скобите е равен на 101 и има общо 100 такива члена

2S = 101 100 = 10100;

Използваме тази идея, за да изведем формулата за сумата

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

Полезна модификация на формула (3) се получава, ако заместим формулата на n-тия член an = a1 + (n 1)d в нея:

Задача 3. Намерете сбора на всички положителни трицифрени числа, делими на 13.

Решение. Трицифрените числа, кратни на 13, образуват аритметична прогресия, като първият член е 104, а разликата е 13; N-тият член на тази прогресия има формата:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

Нека разберем колко члена съдържа нашата прогресия. За да направим това, нека решим неравенството:

6 999; 91 + 13n 6 999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

И така, има 69 членове в нашата прогресия. Използвайки формула (4), намираме необходимото количество:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2