|
The методически материал е за справка и обхваща широк кръг от теми. Статията предоставя преглед на графиките на основните елементарни функции и разглежда най-важния въпрос - как да изградим графика правилно и БЪРЗО... В хода на изучаването на висша математика, без да се знаят графиките на основните елементарни функции, ще бъде трудно, затова е много важно да запомните как изглеждат графиките на парабола, хипербола, синус, косинус и др., За да запомните някои стойности на функциите. Ще говорим и за някои от свойствата на основните функции. Не претендирам за пълнота и научна солидност на материалите, акцентът ще бъде поставен преди всичко върху практиката - онези неща, с които човек трябва да се изправя буквално на всяка стъпка, във всяка тема на висшата математика... Графики за манекени? Можете да кажете така.
По популярно търсене от читателите щракване на съдържанието:
Освен това по темата има свръхкратък синопсис
- овладейте 16 вида диаграми, като разгледате ШЕСТ страници!
Сериозно, шест, дори бях изненадан. Този синопсис съдържа подобрена графика и е достъпен срещу символична такса, може да се види демо версия. Удобно е да отпечатате файла, така че графиките да са винаги под ръка. Благодаря за подкрепата на проекта!
И веднага започваме:
Как да начертая правилно координатните оси?
На практика тестовете почти винаги се съставят от учениците в отделни тетрадки, подредени в клетка. Защо се нуждаете от карирани линии? В крайна сметка работата по принцип може да се извърши на листове А4. А клетката е необходима само за висококачествен и точен дизайн на чертежи.
Всяко чертане на графика на функция започва с координатни оси.
Чертежите са 2D и 3D.
Помислете първо за двуизмерния случай декартова правоъгълна координатна система:
1) Теглене координатни оси... Оста се извиква абсциса
а оста е ордината
... Винаги се опитваме да ги нарисуваме спретнато и не криво... Стрелките също не трябва да наподобяват брадата на Папа Карло.
2) Подписваме осите с главни букви "X" и "Y". Не забравяйте да подпишете осите.
3) Задайте скалата по осите: нарисувайте нула и две единици... Когато изпълнявате чертеж, най-удобният и често срещан мащаб е: 1 единица \u003d 2 клетки (рисунка вляво) - ако е възможно, придържайте се към него. От време на време обаче се случва чертежът да не се побира на листа на тетрадката - тогава намаляваме мащаба: 1 единица \u003d 1 клетка (чертеж вдясно). Рядко, но се случва, че мащабът на чертежа трябва да бъде намален (или увеличен) още повече
НЕ ТРЯБВА да "драскате от картечница" ... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, .... За координатна равнина - не паметник на Декарт, а студент - не гълъб. Слагаме нула и две единици по осите... Понякога вместо единици, е удобно да „маркирате“ други стойности, например „две“ върху абсцисата и „три“ върху ординатата - и тази система (0, 2 и 3) също ще зададе уникално координатната мрежа.
По-добре е да изчислите прогнозните размери на чертежа ПРЕДИ да бъде изграден чертежът.... Така например, ако задачата изисква да нарисувате триъгълник с върховете ,,, тогава е напълно ясно, че популярният мащаб от 1 единица \u003d 2 клетки няма да работи. Защо? Нека да разгледаме въпроса - тук трябва да измерите петнадесет сантиметра надолу и очевидно чертежът няма да се побере (или едва се побира) на лист от тетрадка. Затова веднага избираме по-малък мащаб 1 единица \u003d 1 клетка.
Между другото, около сантиметри и клетки на тетрадка. Вярно ли е, че 30 тетрадни клетки съдържат 15 сантиметра? Измерете в тетрадка за лихва 15 сантиметра с линийка. В СССР може би това беше вярно ... Интересно е да се отбележи, че ако измерите тези сантиметри хоризонтално и вертикално, резултатите (в клетки) ще бъдат различни! Строго погледнато, съвременните тетрадки не са карирани, а правоъгълни. Може би това ще изглежда глупост, но рисуването, например, кръг с компас в такива оформления е много неудобно. За да бъда честен, в такива моменти започвате да мислите за коректността на другаря Сталин, който беше изпратен в лагери за хакерска работа в производството, да не говорим за вътрешната автомобилна индустрия, падащи самолети или експлодиращи електроцентрали.
Говорейки за качество или кратка препоръка за канцеларски материали. Днес повечето от тетрадките в продажба, да не кажа лоши думи, пълни с хомосексуалност. Поради причината да се намокрят и то не само от гел химикалки, но и от химикалки! Спестяват на хартия. За регистрация контролни работи Препоръчвам да използвате преносимите компютри на Архангелск PPM (18 листа, клетка) или "Pyaterochka", въпреки че е по-скъпо. Препоръчително е да изберете гелова писалка, дори и най-евтиният китайски гелен прът е много по-добър от химикалката, която или размазва, или разкъсва хартията. Единственият "конкурентен" химикалка в паметта ми е "Ерих Краузе". Тя пише ясно, красиво и стабилно - или с пълно стъбло, или с почти празно.
Освен това: Виждането на правоъгълна координатна система през очите на аналитичната геометрия е описано в статията Линейна (не) зависимост на векторите. Векторна основа, подробна информация за координатни тримесечия можете да намерите във втория параграф на урока Линейни неравенства.
3D калъф
Тук е почти същото.
1) Изчертаваме координатните оси. Стандартно: ос се прилага
- насочени нагоре, ос - насочена надясно, ос - наляво и надолу строго под ъгъл от 45 градуса.
2) Подписваме осите.
3) Задайте скалата по осите. Скала на оста - наполовина по-голяма от останалите оси... Също така забележете, че в чертежа вдясно съм използвал нестандартна „засечка“ по оста (тази възможност вече беше спомената по-горе)... От моя гледна точка това е по-точно, по-бързо и по-приятно от естетическа гледна точка - няма нужда да се търси средата на клетката под микроскоп и да се „извайва“ единицата точно до началото.
Когато правите 3D рисуване, отново - дайте приоритет на мащаба
1 единица \u003d 2 клетки (чертеж вляво).
За какво са всички тези правила? Правилата трябва да се нарушават. Какво ще правя сега. Факт е, че следващите чертежи на статията ще бъдат направени от мен в Excel, а координатните оси ще изглеждат неправилни от гледна точка правилен дизайн... Бих могъл да нарисувам всички графики на ръка, но рисуването им всъщност е ужасно, тъй като Excel ще ги нарисува много по-точно.
Графики и основни свойства на елементарните функции
Линейната функция се дава от уравнението. Графиката на линейните функции е прав... За да се изгради права линия, е достатъчно да се знаят две точки.
Пример 1
Начертайте функцията. Нека намерим две точки. Изгодно е да изберете нула като една от точките.
Ако, тогава
Вземаме друга точка, например 1.
Ако, тогава
При попълване на задачите координатите на точките обикновено се таблират:
А самите стойности се изчисляват устно или на чернова, калкулатор.
Намерени са две точки, нека изпълним чертежа:
Когато съставяме чертеж, винаги подписваме графики.
Няма да е излишно да си припомним специалните случаи на линейна функция:
Забележете как съм подредил подписите, подписите не трябва да допускат несъответствия при изучаване на чертежа... В този случай беше изключително нежелателно да се поставя подпис близо до точката на пресичане на линиите или в долния десен ъгъл между графиките.
1) Линейна функция на формата () се нарича пряка пропорционалност. Например, . Графиката с пряка пропорционалност винаги преминава през началото. По този начин конструкцията на права линия е опростена - достатъчно е да се намери само една точка.
2) Уравнението на формата задава права линия, успоредна на оста, по-специално самата ос се задава от уравнението. Графиката на функциите се изгражда незабавно, без да се намират точки. Тоест, записът трябва да се разбира по следния начин: „играта винаги е равна на –4, за всяка стойност на x“.
3) Уравнението на формата задава права линия, успоредна на оста, по-специално самата ос се задава от уравнението. Графиката на функциите също се изгражда незабавно. Нотацията трябва да се разбира по следния начин: "x винаги е, за всяка стойност на y, равна на 1".
Някои ще попитат, ами защо да си спомням 6 клас?! Така е, може би така, само през годините практика, срещнах дузина студенти, които бяха объркани от задачата да изградят графика като или.
Изчертаването на права линия е най-честата стъпка при рисуването.
Правата линия се обсъжда подробно в хода на аналитичната геометрия и тези, които желаят, могат да се обърнат към статията Уравнение на права линия на равнина.
Квадратична, кубична функционална графика, полиномиална графика
Парабола. График квадратична функция  () е парабола. Помислете за известния случай:
Нека си припомним някои от свойствата на функцията.
И така, решението на нашето уравнение: - точно в този момент се намира върхът на параболата. Защо това е така, можете да научите от теоретичната статия за производната и урока за екстремумите на функция. Междувременно изчисляваме съответната стойност на "игра":
Така че върхът е в точката
Сега намираме други точки, докато нагло използваме симетрията на параболата. Трябва да се отбележи, че функцията  – не е дори, но въпреки това симетрията на параболата не е отменена.
В какъв ред да се намерят останалите точки, мисля, че ще стане ясно от финалната маса:
Този конструктивен алгоритъм може образно да се нарече "совалка" или принципа "напред-назад" при Анфиса Чехова.
Нека изпълним чертежа:
Още един полезен знак идва на ум от разгледаните графики:
За квадратна функция  () следното е вярно:
Ако, тогава клоните на параболата са насочени нагоре.
Ако, тогава клоните на параболата са насочени надолу.
По-задълбочени познания за кривата могат да бъдат получени в урока по хипербола и парабола.
Кубична парабола се дава от функция. Ето една рисунка, позната от училище:
Ние изброяваме основните свойства на функцията
Графика на функциите
Той представлява един от клоновете на параболата. Нека изпълним чертежа:
Основните свойства на функцията:
В този случай оста е вертикална асимптота
за графиката на хиперболата при.
ЩЕ Е ГОЛЯМА грешка, ако пренебрегнете допускането на пресичане на графиката с асимптотата, когато съставяте чертежа.
Също така едностранчивите граници ни казват, че хиперболата не се ограничава отгоре и не се ограничава отдолу.
Нека разгледаме функцията в безкрайност: тоест, ако започнем да се движим по оста наляво (или надясно) до безкрайност, тогава „игрите“ ще бъдат безкрайно близо се приближава до нула и съответно клоновете на хиперболата безкрайно близо приближете се към оста.
Така че оста е хоризонтална асимптота
за графиката на функцията, ако "x" има тенденция към плюс или минус безкрайност.
Функцията е страннои следователно хиперболата е симетрична по отношение на произхода. Този факт е очевиден от чертежа, освен това лесно се проверява аналитично:  .
Графиката на функция от формата () представлява два клона на хиперболата.
Ако, тогава хиперболата се намира в първата и третата координатна четвърт (вижте снимката по-горе).
Ако, тогава хиперболата се намира във втората и четвъртата координатна четвърт.
Посочената редовност на местоживеенето на хиперболата е лесна за анализ от гледна точка на геометричните трансформации на графиките.
Пример 3
Постройте десния клон на хиперболата
Използваме метода за изграждане на точка по точка, докато е изгодно да изберем стойностите, така че да бъде разделена изцяло:
Нека изпълним чертежа:
Няма да е трудно да се конструира левият клон на хиперболата, тук странната функция просто ще помогне. Грубо казано, в таблицата за изграждане на точка по точка, добавете мислено минус към всяко число, поставете съответните точки и нарисувайте втори клон.
Подробна геометрична информация за разглежданата линия може да се намери в статията Хипербола и Парабола.
Графика на експоненциална функция
В този раздел веднага ще разгледам експоненциалната функция, тъй като при задачите на висшата математика в 95% от случаите се появява експоненциалната.
Нека ви напомня, че - това е ирационално число: това ще се изисква при изграждане на график, който всъщност ще изградя без церемония. Три точки вероятно са достатъчни:
Нека оставим графиката на функциите засега, повече за това по-късно.
Основните свойства на функцията:
По принцип функционалните графики изглеждат еднакво и т.н.
Трябва да кажа, че вторият случай е по-рядко срещан на практика, но се среща, така че сметнах за необходимо да го включа в тази статия.
Графика на логаритмичната функция
Да разгледаме функция с естествен логаритъм.
Нека изпълним чертеж по точка:
Ако сте забравили какво е логаритъм, моля, обърнете се към учебниците си в училище.
Основните свойства на функцията:
Домейн: 
Обхват на стойностите :.
Функцията не е ограничена отгоре:  , макар и бавно, но клонът на логаритъма се изкачва до безкрайност.
Нека разгледаме поведението на функцията в близост до нула вдясно:  ... Така че оста е вертикална асимптота
за графиката на функцията с "x", клоняща към нула вдясно.
Наложително е да знаете и запомните типичната стойност на логаритъма: .
По принцип графиката на логаритъма в основата изглежда еднакво: ,, (десетичен логаритъм към основа 10) и т.н. Освен това, колкото по-голяма е основата, толкова по-плоска ще бъде графиката.
Няма да разглеждаме случая, по някаква причина не помня последния път, когато изградих графика с такава основа. И изглежда, че логаритъмът е много рядък гост в проблемите на висшата математика.
В заключение на параграфа ще кажа за още един факт: Експоненциална функция и логаритмична функцияИма две взаимно обратни функции... Ако погледнете отблизо логаритъмната графика, можете да видите, че това е една и съща степен, просто се намира малко по-различно.
Графики на тригонометрични функции
Как започва тригонометричното мъчение в училище? Правилно. От синус
Нека начертаем функцията
Тази линия се нарича синусоида.
Нека ви напомня, че „пи“ е ирационално число :, а при тригонометрията заслепява в очите.
Основните свойства на функцията:
Тази функция е периодичен с точка. Какво означава? Нека да разгледаме сегмента. Вляво и вдясно от него, точно същото парче от графиката се повтаря безкрайно.
Домейн:, тоест за всяка стойност на "x" има синусова стойност.
Обхват на стойностите :. Функцията е ограничен:, тоест всички "геймъри" седят строго в сегмента.
Това не се случва: или по-точно се случва, но тези уравнения нямат решение. |
Парабола. Графиката на квадратна функция () е парабола. Помислете за каноничния случай:
Нека си припомним някои от свойствата на функцията.
Обхватът е всяко реално число (всяка стойност "x"). Какво означава? Коятото и точка на оста да изберем - за всеки "х" има точка на парабола. Математически се пише така :. Областта на дефиниция на която и да е функция е обозначена със или като стандарт. Буквата обозначава набор от реални числа или, по-просто, „произволен х“ (когато работата е съставена в тетрадка, те пишат не къдрава буква, а получер R).
Обхватът на стойностите е съвкупността от всички стойности, които променливата "игра" може да приеме. В този случай: - множеството от всички положителни стойностивключително нула. Обхватът на стойностите обикновено се обозначава с или.
Функцията е дори. Ако функцията е четна, тогава нейната графика е симетрична спрямо оста. Това е много полезно свойство, което значително опростява графика, както скоро ще видим. Аналитично, паритетът на функция се изразява чрез условие. Как да проверя дали някоя функция за паритет? Вместо това трябва да се замени в уравнението. В случай на парабола, проверката изглежда така: така че функцията е четна.
Функция не се ограничава отгоре... Аналитично свойството се записва, както следва :. Между другото, ето пример за геометричното значение на границата на дадена функция: ако вървим по оста (вляво или вдясно) до безкрайност, тогава клоновете на параболата (стойности „игра“) ще отидат нагоре до „плюс безкрайност“ за неопределено време.
Кога изследване на границите на функциите желателно е да се разбере геометричното значение на границата.
Неслучайно описах свойствата на функцията толкова подробно, всички горепосочени неща е полезно да се знаят и запомнят при начертаване на графики на функции, както и при изучаване на графики на функции.
Пример 2
Функция на парцела 
.
В този пример ще разгледаме важен технически проблем: Как бързо да изградим парабола? При практически упражнения необходимостта от рисуване на парабола възниква много често, по-специално при изчисляване площ на фигурата с помощта определен интеграл
... Затова е препоръчително да се научите как да изпълнявате чертежа бързо, с минимална загуба на време. Предлагам следния конструктивен алгоритъм.
Първо, намираме върха на параболата. За целта вземаме първата производна и я приравняваме на нула:
Ако производни са лоши, трябва да прочетете урока Как да намеря производната?
И така, решението на нашето уравнение: - точно в този момент се намира върхът на параболата. Изчисляваме съответната стойност "игра":
Така че върхът е в точката
Сега намираме други точки, докато нагло използваме симетрията на параболата. Трябва да се отбележи, че функцията – не е дори, но въпреки това симетрията на параболата не е отменена.
В какъв ред да се намерят останалите точки, мисля, че ще стане ясно от финалната маса:
Този конструктивен алгоритъм може образно да се нарече „совалка“. Може би не всички разбират същността на совалката, тогава, за сравнение, ви напомням за добре познатото телевизионно предаване „туди-сюди с Анфиса Чехова“.
Нека изпълним чертежа:
Още един полезен знак идва на ум от разгледаните графики:
За квадратна функция () важи следното:
Ако, тогава клоните на параболата са насочени нагоре.
Ако, тогава клоните на параболата са насочени надолу.
Кубична парабола
Кубична парабола се дава от функция. Ето една рисунка, позната от училище:
Ние изброяваме основните свойства на функцията
Обхватът е всяко реално число :.
Обхватът е всяко реално число :.
Функцията е странно. Ако функцията е нечетна, тогава нейната графика е симетрична по отношение на произхода. Аналитично, странността на дадена функция се изразява чрез условието 
... Нека проверим за кубична функция, за това заместваме „минус х“ вместо „х“:
, така че функцията е нечетна.
Функция не се ограничава... На езика на ограниченията на функциите това може да бъде написано по следния начин :,
Също така е по-ефективно да се изгради кубична парабола, като се използва алгоритъмът на совалката на Анфиса Чехова:
Със сигурност сте забелязали къде се проявява и странната функция. Ако открихме това 
, тогава при изчисляването вече не е необходимо да броим нищо, ние автоматично записваме това. Тази функция е валидна за всяка нечетна функция.
Сега нека поговорим малко за полиномиални графики.
Графика на всеки полином от трета степен 
() основно има следната форма:
В този пример коефициентът е най-високата степен, така че графиката е обърната. Графиките на полиноми от 5-та, 7-ма, 9-та и други нечетни степени имат по същество същата форма. Колкото по-висока е степента, толкова по-междинни се "огъват".
Полиномите от 4-та, 6-та и други четни степени имат по същество графика на следното:
Тези знания са полезни при разглеждане на функционални графики.
Графика на функциите
Нека изпълним чертежа:
Основните свойства на функцията:
Домейн:.
Обхват на стойностите :.
Тоест графиката на функцията е изцяло в първата координатна четвърт.
Функция не се ограничава отгоре... Или използване на лимит: 
При конструирането на най-простите графики с корени е подходящ и методът на нанасяне на точки по точка, докато е изгодно да се избират такива стойности "x", така че коренът да бъде извлечен изцяло:
Всъщност бих искал например да анализирам повече примери с корени, но те са много по-рядко срещани. Фокусирам се върху по-често срещани случаи и, както показва практиката, изглежда, че нещо трябва да се изгражда много по-често. Ако има нужда да разберете как изглеждат графики с различни корени, тогава препоръчвам да разгледате училищен учебник или математически справочник.
Графика на хипербола
Отново си припомняме тривиалната „училищна“ хипербола.
Нека изпълним чертежа:
Основните свойства на функцията:
Домейн:.
Обхват на стойностите :.
Вписването означава: "всяко реално число, с изключение на нула"
В даден момент функцията претърпява безкрайно прекъсване. Или използвайки едностраннограници:,. Нека поговорим малко за едностранните граници. Вписването означава, че ние безкрайно близо приближаващ се до нулата по оста наляво... Как се държи графиката в този случай? Спуска се до минус безкрайност, безкрайно близо приближавайки се към оста. Този факт е записан от лимита. По същия начин обозначението означава, че ние безкрайно близо приближаващ се до нулата по оста на дясно... В този случай клонът на хиперболата се увеличава с плюс безкрайност, безкрайно близо приближавайки се към оста. Или накратко :.
мил
където С други думи, кубична функция се дава от полином от трета степен.
Аналитични свойства
Приложение
Кубичната парабола понякога се използва за изчисляване на преходната крива в транспорта, тъй като нейното изчисляване е много по-лесно от начертаването на клотоид.
Вижте също
Напишете отзив за "Кубична функция"
Бележки
Литература
- Л. С. Понтрягин, // "Квант", 1984, No3.
- И. Н. Бронщайн, К. А. Семендяев, „Наръчник по математика“, издателство „Наука“, М. 1967, с. 84
Откъс, характеризиращ кубична функция
- Е, за каквото и да е ...
По това време Петя, на когото никой не обърна внимание, се качи при баща си и целият зачервен, счупен, ту с груб, ту с тънък глас, каза:
- Ами сега, татко, ще кажа решително - и мама също, както искаш - решително ще кажа, че ще ме пуснеш военна службазащото не мога ... това е всичко ...
Графинята вдигна очи с ужас към небето, вдигна ръце и гневно се обърна към съпруга си.
- Така че се съгласих! - тя каза.
Но графът веднага се съвзе от вълнението си.
"Е, добре", каза той. - Ето още войн! Оставете глупости: трябва да учите.
- Това не са глупости, татко. Оболенски Федя е по-млад от мен и също върви, и най-важното е, че все още не мога да науча нищо сега, когато ... - Петя спря, изчерви се до пот и каза същото: - когато отечеството е в опасност.
- Пълно, пълно, глупости ...
- Защо ти сам каза, че ще пожертваме всичко.
- Петя, казвам ти, млъкни - извика графът, поглеждайки назад към жена си, която, пребледняла, погледна с неподвижни очи по-малкия си син.
- И ти казвам. Така че Пьотър Кирилович ще каже ...
- Казвам ви - глупости, млякото още не е пресъхнало, но иска да отиде на военна служба! Е, добре, казвам ви, - и графът, като взе вестниците със себе си, вероятно за да ги прочете отново в кабинета си, преди да си почине, напусна стаята.
- Пьотър Кирилович, ами, хайде да си пушим ...
Пиер беше объркан и нерешителен. Необичайно ярките и живи очи на Наташа, непрекъснато, повече от нежно обръщащи се към него, го доведоха в това състояние.
- Не, мисля да се прибера ...
- Как у дома, но ти искаше вечер с нас ... И тогава те рядко започнаха да бъдат. И този мой ... - каза графът добродушно, сочейки към Наташа, - само с теб тя беше весела ...
- Да, забравих ... Определено трябва да се прибера ... Бизнес ... - каза набързо Пиер.
"Е, сбогом", каза графът, излизайки изцяло от стаята.
- Защо си тръгваш? Защо си тъжен? Защо? .. - попита Пиер Наташа, предизвикателно гледайки в очите му.
"Защото те обичам! - искаше да каже, но не го каза, изчерви се до сълзи и изпусна очи.
- Защото е по-добре да те посещавам по-рядко ... Защото ... не, просто имам какво да правя.
- От това, което? не, кажи ми - започна Наташа решително и изведнъж млъкна. И двамата се спогледаха със страх и смущение. Той се опита да се ухили, но не можа: усмивката му изразяваше страдание и той мълчаливо целуна ръката й и си тръгна.
Пиер реши да не посещава отново Ростовите със себе си. Петя, след като получи категоричен отказ, отиде в стаята си и там, като се затвори от всички, горчиво заплака. Правеха всичко така, сякаш нищо не бяха забелязали, когато той дойде на чай, мълчалив и мрачен, с изцапани със сълзи очи.
Императорът пристигна на следващия ден. Няколко домакинства на Ростов поискаха да отидат да видят Царя. Същата сутрин Петя се облече дълго, среса косата си и подреди яките си като тези на големите. Той се намръщи пред огледалото, направи жестове, сви рамене и накрая, без да каже на никого, сложи шапката си и напусна къщата от задната веранда, опитвайки се да не бъде забелязан. Петя реши да отиде направо до мястото, където беше суверенът, и директно да обясни на някакъв шамбелан (на Петя му се струваше, че суверенът винаги е бил заобиколен от камергери), че той, граф Ростов, въпреки младостта си, иска да служи на отечеството, че младостта не може да бъде пречка за преданост и че е готов ... Петя, докато се готвеше, подготви много прекрасни думи, които щеше да каже на шамбелана.
Парабола. Графиката на квадратна функция () е парабола. Помислете за каноничния случай:
Нека си припомним някои от свойствата на функцията.
Обхватът е всяко реално число (всяка стойност "x"). Какво означава? Коятото и точка на оста да изберем - за всеки "х" има точка на парабола. Математически се пише така :. Областта на дефиниция на която и да е функция е обозначена със или като стандарт. Буквата обозначава набор от реални числа или, по-просто, „произволен х“ (когато работата е съставена в тетрадка, те пишат не къдрава буква, а получер R).
Обхватът на стойностите е съвкупността от всички стойности, които променливата "игра" може да приеме. В този случай: - множеството от всички положителни стойности, включително нула. Обхватът на стойностите обикновено се обозначава с или.
Функцията е дори. Ако функцията е четна, тогава нейната графика е симетрична спрямо оста. Това е много полезно свойство, което значително опростява начертаването, както скоро ще видим. Аналитично, паритетът на функция се изразява чрез условие. Как да проверим дали някоя функция за паритет? Вместо това трябва да се замени в уравнението. В случай на парабола, проверката изглежда така: така че функцията е четна.
Функция не се ограничава отгоре... Аналитично свойството се записва, както следва :. Между другото, ето пример за геометричното значение на границата на дадена функция: ако вървим по оста (вляво или вдясно) до безкрайност, тогава клоновете на параболата (стойности „игра“) ще отидат нагоре до „плюс безкрайност“ за неопределено време.
Кога изследване на границите на функциите желателно е да се разбере геометричното значение на границата.
Неслучайно описах свойствата на функцията толкова подробно, всички горепосочени неща е полезно да се знаят и запомнят при начертаване на графики на функции, както и при изучаване на графики на функции.
Пример 2
Функция на парцела 
.
В този пример ще разгледаме важен технически проблем: Как бързо да изградим парабола? При практическите задачи необходимостта от рисуване на парабола възниква много често, по-специално при изчисляване на площта на фигура с помощта на определен интеграл. Затова е препоръчително да се научите как да изпълнявате чертежа бързо, с минимална загуба на време. Предлагам следния конструктивен алгоритъм.
Първо, намираме върха на параболата. За целта вземаме първата производна и я приравняваме на нула:
Ако производни са лоши, трябва да прочетете урока Как да намеря производната?
И така, решението на нашето уравнение: - точно в този момент се намира върхът на параболата. Изчисляваме съответната стойност "игра":
Така че върхът е в точката
Сега намираме други точки, докато нагло използваме симетрията на параболата. Трябва да се отбележи, че функцията – не е дори, но въпреки това симетрията на параболата не е отменена.
В какъв ред да се намерят останалите точки, мисля, че ще стане ясно от финалната маса:
Този конструктивен алгоритъм може образно да се нарече „совалка“. Може би не всички разбират същността на совалката, тогава, за сравнение, ви напомням за добре познатото телевизионно предаване „туди-сюди с Анфиса Чехова“.
Нека изпълним чертежа:
Още един полезен знак идва на ум от разгледаните графики:
За квадратна функция () важи следното:
Ако, тогава клоните на параболата са насочени нагоре.
Ако, тогава клоните на параболата са насочени надолу.
Кубична парабола
Кубична парабола се дава от функция. Ето една рисунка, позната от училище:
Ние изброяваме основните свойства на функцията
Обхватът е всяко реално число :.
Обхватът е всяко реално число :.
Функцията е странно. Ако функцията е нечетна, тогава нейната графика е симетрична по отношение на произхода. Аналитично, странността на дадена функция се изразява чрез условието 
... Нека проверим за кубична функция, за това заместваме „минус х“ вместо „х“:
, така че функцията е нечетна.
Функция не се ограничава... На езика на ограниченията на функциите това може да бъде написано по следния начин :,
Също така е по-ефективно да се изгради кубична парабола, като се използва алгоритъмът на совалката на Анфиса Чехова:
Със сигурност сте забелязали къде се проявява и странната функция. Ако открихме това 
, тогава при изчисляването вече не е необходимо да броим нищо, ние автоматично записваме това. Тази функция е валидна за всяка нечетна функция.
Сега нека поговорим малко за полиномиални графики.
Графика на всеки полином от трета степен 
() основно има следната форма:
В този пример коефициентът е най-високата степен, така че графиката е обърната. Графиките на полиноми от 5-та, 7-ма, 9-та и други нечетни степени имат по същество същата форма. Колкото по-висока е степента, толкова по-междинни се "огъват".
Полиномите от 4-та, 6-та и други четни степени имат по същество графика на следното:
Тези знания са полезни при разглеждане на функционални графики.
Графика на функциите
Нека изпълним чертежа:
Основните свойства на функцията:
Домейн:.
Обхват на стойностите :.
Тоест графиката на функцията е изцяло в първата координатна четвърт.
Функция не се ограничава отгоре... Или използване на лимит: 
При конструирането на най-простите графики с корени е подходящ и методът на нанасяне на точки по точка, докато е изгодно да се избират такива стойности "x", така че коренът да бъде извлечен изцяло:
Функцията y \u003d x ^ 2 се нарича квадратна функция. Графиката на квадратна функция е парабола. Обща форма парабола е показана на фигурата по-долу.
Квадратична функция
Фиг. 1. Общ изглед на параболата
Както можете да видите от графиката, тя е симетрична спрямо оста Oy. Оста Oy се нарича оста на симетрия на параболата. Това означава, че ако нарисувате права линия, успоредна на оста Ox над тази ос. След това ще пресече параболата в две точки. Разстоянието от тези точки до оста Oy ще бъде същото.
Оста на симетрия разделя графика на парабола на две части. Тези части се наричат \u200b\u200bклонове на параболата. А точката на параболата, която лежи на оста на симетрия, се нарича връх на параболата. Тоест, оста на симетрия преминава през върха на параболата. Координатите на тази точка (0; 0).
Основни свойства на квадратна функция
1. За x \u003d 0, y \u003d 0 и y\u003e 0 за x0
2. Минимална стойност квадратичната функция достига до своя връх. Ymin при x \u003d 0; Трябва също да се отбележи, че максимална стойност функцията не съществува.
3. Функцията намалява на интервала (-∞; 0] и се увеличава на интервала)
