Оста е посоката. Следователно проекцията върху ос или върху насочена линия се счита за една и съща. Проекцията може да бъде алгебрична и геометрична. Геометрично проекцията на вектор върху ос се разбира като вектор и алгебрично число. Тоест се прилагат концепциите за векторна проекция върху ос и числена проекция на вектор върху ос.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ако имаме ос L и ненулев вектор A B →, тогава можем да изградим вектор A 1 B 1 ⇀, обозначаващ проекциите на неговите точки A 1 и B 1.

A 1 B → 1 ще бъде проекцията на вектора A B → върху L.

Определение 1

Проекцията на вектора върху оста наречен вектор, началото и края на който са проекцията на началото и края на даден вектор. n p L A B → → обичайно е да се обозначава проекцията на A B → върху L. За да се изгради проекция върху L, перпендикулярите към L се отпадат.

Пример 1

Пример за векторна проекция върху ос.

На координатна равнина Около x y е дадена точката M 1 (x 1, y 1). Необходимо е да се конструират проекции на O x и O y за изображението на радиус-вектора на точката M 1. Получаваме координатите на векторите (x 1, 0) и (0, y 1).

Ако въпросният за проекцията a → върху ненулева b → или проекцията a → върху посоката b →, тогава имаме предвид проекцията на a → върху оста, с която посоката b → съвпада. Проекцията на a → върху линията, определена от b →, има обозначение n p b → a → →. Известно е, че когато ъгълът е между a → и b →, можем да разгледаме n p b → a → → и b → кодирекция. В случая, когато ъгълът е тъп, n p b → a → → и b → противоположно насочени. В ситуацията на перпендикулярност a → и b →, а a → е нула, проекцията a → в посока b → е нулев вектор.

Числовата характеристика на векторната проекция върху оста е числената проекция на вектора върху определената ос.

Определение 2

Числена проекция на вектор върху ос е число, което е равно на произведението на дължината на даден вектор от косинуса на ъгъла между този вектор и вектора, който определя посоката на оста.

Числовата проекция A B → върху L се означава n p L A B → и a → върху b → - n p b → a →.

Въз основа на формулата получаваме npb → a → \u003d a → cos a →, b → ^, откъдето a → е дължината на вектора a →, a ⇀, b → ^ е ъгълът между векторите a → и b →.

Получаваме формулата за изчисляване на числената проекция: n p b → a → \u003d a → · cos a →, b → ^. Приложим е за известни дължини a → и b → и ъгъла между тях. Формулата е приложима за известни координати a → и b →, но има опростена форма.

Пример 2

Намерете числовата проекция a → на права линия в посока b → с дължина a → равна на 8 и ъгъл между тях от 60 градуса. По хипотеза имаме a ⇀ \u003d 8, a ⇀, b → ^ \u003d 60 °. Следователно заместваме числови стойности във формулата n p b ⇀ a → \u003d a → cos a →, b → ^ \u003d 8 cos 60 ° \u003d 8 1 2 \u003d 4.

Отговор: 4.

Като се има предвид, че cos (a →, b → ^) \u003d a ⇀, b → a → b →, имаме a →, b → като скаларно произведение на a → и b →. Следвайки формулата n p b → a → \u003d a → cos a ⇀, b → ^, можем да намерим числената проекция a →, насочена по вектора b → и да получим n p b → a → \u003d a →, b → b →. Формулата е еквивалентна на определението, посочено в началото на абзаца.

Определение 3

Числовата проекция на вектора a → върху оста, съвпадаща в посока с b →, е отношението на скаларното произведение на векторите a → и b → към дължината b →. Формулата n p b → a → \u003d a →, b → b → е приложима за намиране на числовата проекция на a → на права линия, съвпадаща в посока с b →, с известни координати a → и b →.

Пример 3

B → \u003d (- 3, 4) е дадено. Намерете числовата проекция a → \u003d (1, 7) върху L.

Решение

На координатната равнина npb → a → \u003d a →, b → b → има формата npb → a → \u003d a →, b → b → \u003d ax bx + ay bybx 2 + by 2, за a → \u003d (ax, ay ) и b → \u003d bx, от. За да намерите числовата проекция на вектора a → върху оста L, трябва: np L a → \u003d npb → a → \u003d a →, b → b → \u003d ax bx + ay bybx 2 + by 2 \u003d 1 (- 3 ) + 7 4 (- 3) 2 + 4 2 \u003d 5.

Отговор:5.

Пример 4

Намерете проекцията a → върху L, съвпадаща с посоката b →, където има a → \u003d - 2, 3, 1 и b → \u003d (3, - 2, 6). Дадено е триизмерно пространство.

Решение

Дадени a → \u003d a x, a y, a z и b → \u003d b x, b y, b z, изчисляваме скаларното произведение: a ⇀, b → \u003d a x b x + a y b y + a z b z. Дължината b → се намира по формулата b → \u003d b x 2 + b y 2 + b z 2. От това следва, че формулата за определяне на числената проекция a → ще бъде: n p b → a ⇀ \u003d a →, b → b → \u003d a x b x + a y b y + a z b z b x 2 + b y 2 + b z 2.

Заместете числови стойности: np L a → \u003d npb → a → \u003d (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 \u003d - 6 49 \u003d - 6 7 ...

Отговор: - 6 7.

Помислете за връзката между a → on L и проекционната дължина на a → on L. Начертайте оста L, като добавите a → и b → от точка към L, след което изчертаваме перпендикулярна линия от края a → до L и проекция към L. Има 5 варианта на изображението:

Първослучаят, когато a → \u003d npb → a → → означава a → \u003d npb → a → →, следователно npb → a → \u003d a → cos (a, → b → ^) \u003d a → cos 0 ° \u003d a → \u003d npb → a → →.

Второслучаят предполага прилагането на n p b → a → ⇀ \u003d a → cos a →, b →, следователно, n p b → a → \u003d a → cos (a →, b →) ^ \u003d n p b → a → →.

Третиятслучай обяснява, че за npb → a → → \u003d 0 → получаваме npb ⇀ a → \u003d a → cos (a →, b → ^) \u003d a → cos 90 ° \u003d 0, след това npb → a → → \u003d 0 и npb → a → \u003d 0 \u003d npb → a → →.

Четвъртослучай показва npb → a → → \u003d a → cos (180 ° - a →, b → ^) \u003d - a → cos (a →, b → ^), следва npb → a → \u003d a → cos (a →, b → ^) \u003d - npb → a → →.

Петослучай показва a → \u003d npb → a → →, което означава a → \u003d npb → a → →, следователно имаме npb → a → \u003d a → cos a →, b → ^ \u003d a → cos 180 ° \u003d - a → \u003d - npb → a →.

Определение 4

Числовата проекция на вектора a → върху оста L, която е насочена като b →, има следното значение:

• дължината на проекцията на вектора a → върху L при условие, че ъгълът между a → и b → е по-малък от 90 градуса или равен на 0: npb → a → \u003d npb → a → → с условието 0 ≤ (a → , b →) ^< 90 ° ;
• нула при условие на перпендикулярност a → и b →: n p b → a → \u003d 0, когато (a →, b → ^) \u003d 90 °;
• дължината на проекцията a → на L, умножена по -1, когато има тъп или разгънат ъгъл на вектори a → и b →: n p b → a → \u003d - n p b → a → → с условието 90 °< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

Пример 5

Като се има предвид дължината на проекцията на a → върху L, равна на 2. Намерете числовата проекция a → като приемем, че ъгълът е 5 π 6 радиана.

Решение

Условието показва, че този ъгъл е тъп: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

Отговор: - 2.

Пример 6

Дадена равнина O x y z с дължината на вектора a → равна на 6 3, b → (- 2, 1, 2) с ъгъл 30 градуса. Намерете координатите на проекцията a → на оста L.

Решение

Първо изчисляваме числената проекция на вектора a →: n p L a → \u003d n p b → a → \u003d a → cos (a →, b →) ^ \u003d 6 3 cos 30 ° \u003d 6 3 3 2 \u003d 9.

По условие ъгълът е остър, тогава числовата проекция a → \u003d дължината на проекцията на вектора a →: n p L a → \u003d n p L a → → \u003d 9. Този случай показва, че векторите n p L a → → и b → са еднопосочни, така че има число t, за което равенството е вярно: n p L a → → \u003d t b →. Следователно виждаме, че np L a → → \u003d tb →, което означава, че можем да намерим стойността на параметъра t: t \u003d np L a → → b → \u003d 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 \u003d 9 9 \u003d 3.

Тогава np L a → → \u003d 3 b → с координатите на проекцията на вектора a → на оста L са равни на b → \u003d (- 2, 1, 2), където е необходимо да се умножат стойностите с 3. Имаме np L a → → \u003d (- 6, 3, 6). Отговор: (- 6, 3, 6).

Необходимо е да се повтори предварително проучената информация за състоянието на вектори коллинеарност.

Ако забележите грешка в текста, моля, изберете я и натиснете Ctrl + Enter

Нека два вектора и да бъдат дадени в пространството. Отделете от произволна точка О вектори и. Ъгъл между векторите и се нарича най-малкият от ъглите. Обозначен .

Помислете за оста л и поставете единичен вектор върху него (т.е. вектор, чиято дължина е равна на единица).

Ъгъл между вектора и оста л разбирам ъгъла между векторите и.

Така че нека л - някаква ос и - вектор.

Нека означим с A 1 и Б 1 проекция на ос лсъответно точки A и Б.... Нека се престорим на това A 1 има координата x 1, и Б 1 - координира x 2 по оста л.

Тогава проекция вектори на ос л наречена разликата x 1 – x 2 между координатите на проекциите на края и началото на вектора върху тази ос.

Проекция на вектор върху оста л ще означава.

Ясно е, че ако ъгълът между вектора и оста л остър тогава x 2> x 1, и проекцията x 2 – x 1\u003e 0; ако този ъгъл е тъп, тогава x 2< x 1 и проекция x 2 – x 1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси лтогава x 2= x 1 и x 2– x 1=0.

По този начин, проекцията на вектора върху оста л Е дължината на сегмента A 1 B 1, взети с определен знак. Следователно проекцията на вектор върху ос е число или скалар.

Проекцията на един вектор върху друг се дефинира по подобен начин. В този случай се намират проекциите на краищата на дадения вектор върху линията, върху която лежи 2-рият вектор.

Нека разгледаме някои от основните прожекционни свойства.

ЛИНЕЙНО ЗАВИСИМИ И ЛИНЕЙНИ НЕЗАВИСИМИ ВЕКТОРНИ СИСТЕМИ

Нека разгледаме няколко вектора.

Линейна комбинация от тези вектори се нарича всеки вектор на формата, където са някои числа. Числата се наричат \u200b\u200bкоефициенти на линейната комбинация. Те също така казват, че в този случай тя се изразява линейно по отношение на тези вектори, т.е. получени от тях с помощта на линейни действия.

Например, ако са дадени три вектора, тогава векторите могат да се разглеждат като тяхна линейна комбинация:

Ако даден вектор е представен като линейна комбинация от някои вектори, те казват, че той разложен по тези вектори.

Извикват се векторите линейно зависимако има числа, не всички равни на нула, така че ... Ясно е, че дадените вектори ще бъдат линейно зависими, ако някой от тези вектори е линейно изразен по отношение на останалите.

В противен случай, т.е. когато съотношението се извършва само когато , тези вектори се наричат линейно независими.

Теорема 1. Всеки два вектора са линейно зависими тогава и само ако са колинеарни.

Доказателства:

Следващата теорема може да бъде доказана по подобен начин.

Теорема 2. Три вектора са линейно зависими тогава и само ако са съвместни.

Доказателства.

ОСНОВА

Основата се нарича набор от ненулеви линейно независими вектори. Ще бъдат обозначени елементите на основата.

В предишния раздел видяхме, че два неколинеарни вектора в равнината са линейно независими. Следователно, съгласно теорема 1, от предишния раздел, всеки два неколинеарни вектора на тази равнина са основа на равнина.

По същия начин, всеки три некопланарни вектора са линейно независими в пространството. Следователно три некопланарни вектора се наричат \u200b\u200bоснова в пространството.

Следното твърдение е вярно.

Теорема. Нека да се даде основа в пространството. Тогава всеки вектор може да бъде представен като линейна комбинация където х, у, z - някои числа. Това разлагане е уникално.

Доказателства.

По този начин, основата позволява да се свърже уникално всеки вектор с триплет от числа - коефициентите на разширяване на този вектор по отношение на базисните вектори:. Обратното също е вярно за всеки триплет от числа x, y, z използвайки основа, можете да съпоставите вектор, ако съставяте линейна комбинация .

Ако основата и , след това числата x, y, z са наречени координати вектори в дадената основа. Векторните координати означават.

ДЕКАРТАНСКА КООРДИНАТНА СИСТЕМА

Нека да бъде дадена точка в пространството О и три некопланарни вектора.

Декартова координатна система в пространството (на равнина) се нарича набор от точка и основа, т.е. набор от точка и три некопланарни вектора (2 неколинеарни вектора), излизащи от тази точка.

Точка О наречен произход; прави линии, преминаващи през начало в посока на базисните вектори, се наричат \u200b\u200bкоординатни оси - абсцисни, ординатни и приложни оси. Самолетите, преминаващи през координатните оси, се наричат \u200b\u200bкоординатни равнини.

Помислете за произволна точка в избраната координатна система М... Нека въведем концепцията за координати на точки М... Векторът, свързващ началото на точката М... Наречен радиус вектор точки М.

Вектор в избраната основа може да бъде свързан с три числа - неговите координати: .

Точкови координати на радиус на точка М... са наречени координати на точка М... в разглежданата координатна система. M (x, y, z)... Първата координата се нарича абсциса, втората е ордината, а третата е приложението.

Декарзовите координати в равнината се определят по подобен начин. Тук точката има само две координати - абсцисата и ординатата.

Лесно е да се види, че за дадена координатна система всяка точка има определени координати. От друга страна, за всяка тройка числа има една точка, която има тези числа като координати.

Ако векторите, взети за основа в избраната координатна система, имат единична дължина и са двойно перпендикулярни, тогава координатната система се нарича декартови правоъгълни.

Лесно е да се покаже това.

Косинусите на посоката на даден вектор напълно определят неговата посока, но не казват нищо за дължината му.

а по ос или някакъв друг вектор има концепции за неговата геометрична проекция и числена (или алгебрична) проекция. Резултатът от геометрична проекция ще бъде вектор, а резултатът от алгебрична проекция е неотрицателно реално число. Но преди да преминем към тези понятия, нека си припомним необходимата информация.

Предварителна информация

Основната концепция е концепцията за самия вектор. За да въведем дефиницията на геометричен вектор, нека си припомним какво представлява сегментът. Нека въведем следното определение.

Определение 1

Сегментът е част от права линия, която има две граници под формата на точки.

Един сегмент може да има 2 посоки. За да посочим посоката, ще наречем една от границите на сегмента негово начало, а другата граница - негов край. Посоката е посочена от началото до края на сегмента.

Определение 2

Вектор или насочен сегмент е сегмент, за който е известно коя от границите на сегмента се счита за начало и кой е неговият край.

Обозначение: Две букви: $ \\ overline (AB) $ - (където $ A $ е неговото начало и $ B $ е неговият край).

Една малка буква: $ \\ overline (a) $ (фиг. 1).

Нека да представим още няколко понятия, свързани с понятието вектор.

Определение 3

Два ненулеви вектора ще се наричат \u200b\u200bколинеарни, ако те лежат на една и съща права линия или на прави линии, успоредни една на друга (фиг. 2).

Определение 4

Два ненулеви вектора ще се наричат \u200b\u200bкодирекционни, ако отговарят на две условия:

1. Тези вектори са колинеарни.
2. Ако те сочат в една посока (фиг. 3).

Обозначение: $ \\ overline (a) \\ overline (b) $

Определение 5

Два ненулеви вектора ще бъдат наречени противоположно насочени, ако отговарят на две условия:

1. Тези вектори са колинеарни.
2. Ако са насочени в различни посоки (фиг. 4).

Обозначение: $ \\ overline (a) ↓ \\ overline (d) $

Определение 6

Дължината на вектора $ \\ overline (a) $ е дължината на сегмента $ a $.

Нотация: $ | \\ overline (a) | $

Нека се обърнем към дефиницията за равенството на два вектора

Определение 7

Два вектора ще бъдат наречени равни, ако отговарят на две условия:

1. Те са съвместно режисирани;
2. Дължините им са равни (фиг. 5).

Геометрична проекция

Както казахме по-рано, резултатът от геометричната проекция ще бъде вектор.

Определение 8

Геометричната проекция на вектора $ \\ overline (AB) $ върху ос е вектор, който се получава, както следва: Произходът на вектора $ A $ се проектира върху тази ос. Получаваме точката $ A "$ - началото на желания вектор. Крайната точка на вектора $ B $ се проектира върху тази ос. Получаваме точката $ B" $ - края на желания вектор. Векторът $ \\ overline (A "B") $ ще бъде желаният вектор.

Помислете за проблема:

Пример 1

Постройте геометрична проекция $ \\ overline (AB) $ върху оста $ l $, показана на фигура 6.

Начертайте от точката $ A $ перпендикуляр на оста $ l $, вземете точката $ A "$ върху нея. След това нарисувайте от точката $ B $ перпендикуляр на оста $ l $, вземете точката $ B" $ върху него (фиг. 7).

Проектирането на различни линии и повърхности в равнина ви позволява да изградите визуално представяне на обекти под формата на чертеж. Ще разгледаме правоъгълна проекция, при която проекционните лъчи са перпендикулярни на проекционната равнина. ПРОЕКЦИЯТА НА ВЕКТОРА В РАВНИНАТА разгледайте вектора \u003d (фиг. 3.22), затворен между перпендикулярите, пропуснат от началото и края му.

Фигура: 3.23. Векторна проекция на вектора върху оста.

Във векторната алгебра често е необходимо да се проектира вектор върху ОС, т.е. на права линия с определена ориентация. Този дизайн е лесен, ако векторът и оста L се намират в една и съща равнина (Фигура 3.23). Задачата обаче става по-трудна, когато това условие не е изпълнено. Нека да конструираме векторна проекция върху ос, когато векторът и оста не лежат в една и съща равнина (фиг. 3.24).

Фигура: 3.24. Проектиране на вектор към ос
общо взето.

Чрез краищата на вектора чертаем равнини, перпендикулярни на права линия L. В пресечната точка с тази права линия, тези равнини определят две точки А1 и В1 - вектор, който ще наречем векторна проекция на този вектор. Проблемът с намирането на векторната проекция може да бъде решен по-лесно, ако векторът се изведе в една и съща равнина с оста, което е възможно, тъй като свободните вектори се разглеждат във векторната алгебра.

Заедно с векторната проекция има и СКАЛАРНА ПРОЕКЦИЯ, която е равна на модула на векторната проекция, ако векторната проекция съвпада с ориентацията на оста L, и е равна на обратната стойност, ако векторната проекция и L оста имат противоположни ориентации. Скаларната проекция ще се обозначи с:

Векторните и скаларните проекции не винаги са строго разделени терминологично на практика. Обикновено се използва терминът "векторна проекция", което означава скаларна векторна проекция. При вземането на решение е необходимо ясно да се прави разлика между тези понятия. Следвайки установената традиция, ще използваме термините „векторна проекция“, предполагаща скаларна проекция, и „векторна проекция“ - в съответствие с установеното значение.

Нека докажем теорема, която позволява да се изчисли скаларната проекция на даден вектор.

ТЕОРЕМА 5. Проекцията на вектор върху оста L е равна на произведението на неговия модул от косинуса на ъгъла между вектора и оста, т.е.

(3.5)

Фигура: 3.25. Намиране на вектор и скалар
Векторни проекции по оста L
(и оста L е еднакво ориентирана).

ДОКАЗАТЕЛСТВА. Нека предварително изградим, за да намерим ъгъла GМежду вектора и оста L. За да направите това, конструирайте права MN, успоредна на оста L и преминаваща през точка O - началото на вектора (фиг. 3.25). Ъгълът ще бъде желаният ъгъл. Нека нарисуваме две равнини през точки A и O, перпендикулярни на оста L. Получаваме:

Тъй като оста L и линията MN са успоредни.

Нека отделим два случая на взаимно положение на вектора и оста L.

1. Нека векторната проекция и оста L да бъдат еднакво ориентирани (фиг. 3.25). Тогава съответната скаларна проекция .

2. Нека и L са ориентирани в различни посоки (фиг. 3.26).

Фигура: 3.26. Намиране на векторната и скаларна проекции на вектор върху оста L (и оста L е ориентирана в противоположни посоки).

По този начин и в двата случая твърдението на теоремата е вярно.

ТЕОРЕМА 6. Ако началото на вектора е намалено до някаква точка на оста L и тази ос е разположена в s равнината, векторът образува ъгъл с векторната проекция върху s равнината и ъгъл с векторната проекция върху оста L; освен това самите векторни проекции образуват ъгъл помежду си