|
Метод трапец
Основна статия:Метод трапец
Ако функцията на всеки от частичните сегменти се апроксимира от права линия, преминаваща през крайни стойности, тогава получаваме трапецовидния метод.
Площта на трапеца на всеки сегмент:
Приблизителна грешка за всеки сегмент:
 Където 
Пълна формула трапеции в случай на разделяне на целия интеграционен интервал на сегменти със същата дължина:
 Където
Грешка във формулата на трапец:
 Където 
Методът на Симпсън.
 Интегриране f (x) се заменя с полином на интерполация от втора степен P (x) - парабола, минаваща през три възли, например, както е показано на фигурата ((1) - функция, (2) - полином).
Помислете за две стъпки на интеграция ( з \u003d const \u003d x i + 1 - x i), т.е. три възела x 0, x 1, x 2, чрез който чертаем парабола, използвайки уравнението на Нютон:
Нека бъде z \u003d x - x 0,
тогава
Сега, използвайки получената връзка, изчисляваме интеграла през този интервал:
.
За еднаква мрежа и четен брой стъпки n Формулата на Симпсън има формата:
Тук  , и  при предположението за приемствеността на четвъртото производно на интегрираното.
[редактиране] Повишена точност
Апроксимацията на функция с един полином през целия интервал на интегриране, като правило, води до голяма грешка в оценката на стойността на интеграла.
За да се намали грешката, интеграционният сегмент се разделя на части и се използва числов метод за оценка на интеграла на всяка от тях.
Тъй като броят на дяловете клони към безкрайност, оценката на интеграла клони към истинската му стойност за аналитични функции за всеки числен метод.
Горните методи позволяват проста процедура за намаляване на стъпката наполовина, докато на всяка стъпка се изисква да се изчисляват стойностите на функцията само в новодобавените възли. Правилото Runge се използва за оценка на грешката в изчислението.
Приложение за правило Runge
редактиране] Оценка на точността на изчисляване на определен интеграл
Интегралът се изчислява, като се използва избраната формула (правоъгълници, трапеции, параболи на Симпсън) с броя на стъпките, равен на n, и след това с броя на стъпките, равен на 2n. Грешката при изчисляването на стойността на интеграла с броя на стъпките, равен на 2n, се определя от формулата на Runge:
, за формули за правоъгълник и трапец и за формулата на Симпсън.
По този начин интегралът се изчислява за последователни стойности на броя стъпки, където n 0 е началният брой стъпки. Процесът на изчисление завършва, когато условието е изпълнено за следващата стойност на N, където ε е определената точност.
Характеристики на поведението на грешката.
Изглежда, защо да анализираме различни методи интеграция, ако можем да постигнем висока прецизностчрез просто намаляване на стойността на стъпката на интеграция. Разгледайте обаче графиката на поведението на задната грешка Rрезултати от числени изчисления в зависимост от  и от номера н дялове на интервала (т.е. в стъпка. В раздел (1) грешката намалява поради намаляване в стъпка ч. Но в раздел (2) изчислителната грешка започва да доминира, натрупвайки се в резултат на множество аритметични операции По този начин за всеки метод има свой собствен R мин, което зависи от много фактори, но преди всичко от априорната стойност на грешката на метода R.
Прецизиране на формулата на Ромберг.
Методът на Ромберг се състои в последователно усъвършенстване на стойността на интеграла с многократно увеличение на броя на дяловете. Формулата на трапеци с еднаква стъпка може да се вземе като основа з.
Обозначаваме интеграла с броя на дяловете н \u003d 1 като  .
Намалявайки стъпката наполовина, получаваме  .
Ако последователно намалим стъпката с коефициент 2 n, получаваме рецидивираща връзка за изчислението.
Определен интеграл. Примери за решенияЗдравей отново. В този урок ще анализираме подробно такова прекрасно нещо като определен интеграл. Този път въведението ще бъде кратко. Всичко. Защото снежната буря е извън прозореца. За да научите как да решавате определени интеграли, трябва:
1) Да може намирам неопределени интеграли.
2) да може изчисли определен интеграл.
Както можете да видите, за да овладеете определен интеграл, трябва да сте напълно запознати с "обикновените" неопределени интеграли. Следователно, ако тепърва започвате да потапяте в интегрално смятане и чайникът изобщо не е кипнал, тогава е по-добре да започнете с урок Неопределен интеграл. Примери за решения.
IN общ изглед определеният интеграл е написан по следния начин:
Какво се е увеличило в сравнение с неопределения интеграл? Добавили сте граници на интеграция.
Долна граница на интеграция
Интеграция горна граница обозначени с буква като стандарт.
Сегментът се нарича сегмент на интеграция.
Преди да стигнем до практически примери, малък често задаван въпрос за определен интеграл.
Какво означава решаване на определен интеграл? Решаването на определен интеграл означава намиране на число.
Как да решим определен интеграл?С помощта на познатата от училище формула на Нютон-Лайбниц:
По-добре е да пренапишете формулата на отделен лист хартия, тя трябва да е пред очите ви през целия урок.
Стъпките за решаване на определен интеграл са както следва:
1) Първо, намираме антидеривативната функция (неопределен интеграл). Обърнете внимание, че константата в определения интеграл не се добавя... Обозначението е чисто техническо и вертикалната пръчка не носи никакво математическо значение, всъщност е просто поразителна. Защо се нуждаете от самия запис? Подготовка за прилагане на формулата на Нютон-Лайбниц.
2) Заменете стойността на горната граница в антидеривативната функция :.
3) Заместете долната гранична стойност в антидеривативната функция :.
4) Изчисляваме (без грешки!) Разликата, тоест намираме числото.
Съществува ли винаги определен интеграл? Не винаги.
Например интегралът не съществува, тъй като интервалът на интегриране не е включен в областта на дефиниция на интегранта (стойности под корен квадратен не може да бъде отрицателно). Ето по-малко очевиден пример :. Такъв интеграл също не съществува, тъй като допирателната не съществува в точките на отсечката. Впрочем кой още не го е прочел методически материал Графики и основни свойства на елементарните функции - време е да го направим сега. Ще бъде чудесно да помогнете през целия курс на висша математика.
За за да съществува определен интеграл изобщо, достатъчно е интегрирането да е непрекъснато на интервала на интегриране.
От горното следва първата важна препоръка: преди да продължите с решението на ВСЯКО определено интегрално, трябва да се уверите, че интегрираното е непрекъснато на интервала на интегриране... Когато бях студент, много пъти имах инцидент, когато дълго време се измъчвах да намеря труден примитив и когато най-накрая го намерих, озадачих още един въпрос: „какви глупости се случиха? В опростена версия ситуацията изглежда така:  ??? Не можете да замествате отрицателни числа под корена! Какво по дяволите ?! Първоначално невнимание.
Ако за решението (в тестова работа, на тест, изпит) Предлагат ви несъществуващ интеграл като, тогава трябва да отговорите, че интегралът не съществува и да обосновете защо.
Може ли определен интеграл да бъде равен на отрицателно число?
Мога. И отрицателно число. И нула. Може дори да се окаже безкрайност, но вече ще бъде неправилен интеграл, която е посветена на отделна лекция.
Може ли долната граница на интеграция да бъде по-голяма от горната граница на интеграция?Може би тази ситуация наистина се случва на практика.
- интегралът се изчислява лесно по формулата на Нютон-Лайбниц.
Без какво може висшата математика? Разбира се, без всякакви свойства. Следователно ще разгледаме някои свойства на определения интеграл.
В определен интеграл, горната и долната граници могат да бъдат разменени чрез промяна на знака: 
Например, в определен интеграл, преди интегрирането, е препоръчително да промените границите на интеграция в "обичайния" ред:
 - много по-удобно е да се интегрира в тази форма.
 - това важи не само за две, но и за произволен брой функции.
В определен интеграл може да се осъществи промяна на интеграционната променливаобаче в сравнение с неопределения интеграл това има свои специфики, за които ще говорим по-късно.
За определен интеграл, интегриране по формула на части:
Пример 1
Решение:
(1) Преместете константата извън интегралния знак.
(2) Интегрираме върху масата, използвайки най-популярната формула  ... Препоръчително е да отделите появената константа от и да я поставите извън скобите. Не е необходимо да правите това, но е желателно - защо ненужни изчисления?
 ... Първо заместваме в горната граница, след това - долната граница. Извършваме допълнителни изчисления и получаваме окончателния отговор.
Пример 2
Изчислете определения интеграл
Това е пример за самостоятелно решение, решение и отговор в края на урока.
Нека усложним малко задачата:
Пример 3
Изчислете определения интеграл
Решение:
(1) Използваме свойствата на линейност на определения интеграл.
(2) Интегрираме се над масата, докато изваждаме всички константи - те няма да участват в заместването на горната и долната граница.
(3) За всеки от трите термина прилагаме формулата на Нютон-Лайбниц:
СЛАБА ВРЪЗКА в определен интеграл е грешка в изчислението и често срещано объркване в знаците. Бъди внимателен! Специално внимание Фокусирам се върху третия мандат:  - първото място в хитовия парад на грешки поради невнимание, много често те пишат автоматично  (особено когато заместването на горната и долната граница се извършва устно и не е написано толкова подробно). Проучете отново внимателно горния пример.
Трябва да се отбележи, че разглежданият метод за решаване на определен интеграл не е единственият. С известен опит решението може да бъде значително намалено. Например аз самият съм свикнал да решавам такива интеграли като този:
Тук устно използвах правилата за линейност, интегрирах ги устно над масата. В крайна сметка получих само една скоба с лишени граници:  (за разлика от трите скоби в първия метод). И във „цялата“ антидеривативна функция първо замених 4, след това –2, като отново извърших всички действия в съзнанието си.
Какви са недостатъците на краткото решение? Всичко тук не е много добро от гледна точка на рационалността на изчисленията, но лично на мен не ми пука - общи фракции Разчитам на калкулатор.
В допълнение, има повишен риск от грешка в изчисленията, така че е по-добре манекен студент да използва първия метод, с "моето" решение знакът ще се загуби някъде.
но несъмнени предимства вторият начин е скоростта на разтвора, компактността на нотацията и фактът, че антидериватът е в една скоба.
Съвет: преди да използвате формулата на Нютон-Лайбниц, е полезно да проверите: дали самият антидериват е намерен правилно?
И така, по отношение на разглеждания пример: преди да замените горната и долната граница в антидеривативната функция, препоръчително е да проверите черновата и дали неопределеният интеграл е намерен правилно? Разграничаваме:
Получава се оригиналното интегриране, което означава, че неопределеният интеграл е намерен правилно. Сега можете да приложите формулата на Нютон-Лайбниц.
Такава проверка няма да е излишна, когато се изчислява някакъв определен интеграл.
Пример 4
Изчислете определения интеграл
Това е пример за вашето собствено решение. Опитайте се да го разрешите по кратък и подробен начин.
Променлива промяна в определен интеграл
Всички видове замествания са валидни за определен интеграл, както и за неопределен интеграл. По този начин, ако не сте много добри със заместителите, трябва внимателно да прочетете урока Метод на заместване в неопределен интеграл.
В този параграф няма нищо ужасно или трудно. Новостта се крие във въпроса как да променяте границите на интеграция при замяна.
В примерите ще се опитам да дам такива видове замествания, които все още не са намерени никъде на сайта.
Пример 5
Изчислете определения интеграл
Основният въпрос тук изобщо не е в определен интеграл, а в това как да извършите замяната правилно. Поглеждаме вътре интегрална таблица и се чудите как изглежда нашата функция за интегриране най-много? Очевидно е, че за дългия логаритъм:  ... Но има едно несъответствие, в табличния интеграл под корена, а в нашия - "х" в четвърта степен. Идеята за подмяна също следва от разсъжденията - би било хубаво по някакъв начин да превърнем четвъртата си степен в квадрат. Това е истинско.
Първо, ние подготвяме нашия интеграл за подмяна:
От горните съображения замяната съвсем естествено се предполага:
По този начин всичко ще се оправи в знаменателя :.
Разбираме в какво ще се превърне останалата част от интегранта, за това намираме диференциала:
В сравнение със заместването в неопределен интеграл, ние добавяме допълнителен етап.
Намиране на нови граници на интеграция.
Това е достатъчно просто. Ние разглеждаме нашата подмяна и старите граници на интеграция.
Първо, заместваме долната граница на интегриране в заместващия израз, т.е. нула:
След това заместваме горната граница на интегриране в заместващия израз, т.е. корен от три:
Свършен. И това е просто ...
Продължаваме решението.
(1) Според заместването напишете нов интеграл с нови граници на интеграция.
(2) Това е най-простият табличен интеграл, интегриран върху таблицата. По-добре е да оставите константата извън скобите (може да не правите това), така че да не пречи на по-нататъшните изчисления. Вдясно очертаваме линия, показваща новите граници на интеграция - това е подготовка за прилагането на формулата на Нютон-Лайбниц.
(3) Използваме формулата на Нютон-Лайбниц  .
Стремим се да запишем отговора максимално компактна форма, тук използвах свойствата на логаритмите.
Друга разлика от неопределения интеграл е, че след като сме извършили замяната, не са необходими обратни замени.
А сега няколко примера за независимо решение... Какви замествания да извършите - опитайте се сами да познаете.
Пример 6
Изчислете определения интеграл
Пример 7
Изчислете определения интеграл
Това са примери за ваше собствено решение. Решения и отговори в края на урока.
И в края на абзаца двойка важни точки, чийто анализ се появи благодарение на посетителите на сайта. Първият се отнася допустимост на замяна. В някои случаи това не може да се направи! Така че, Пример 6 изглежда е разрешен с универсално тригонометрично заместване обаче горната граница на интеграция ("Pi") не са включени в домейн от тази тангента и следователно това заместване е незаконно! По този начин, функцията "заместване" трябва да бъде непрекъсната във всичко точки от сегмента на интеграция.
В друг електронна поща влязъл следващ въпрос: "Необходимо ли е да се променят границите на интегриране, когато поставим функцията под диференциалния знак?" Отначало исках да „отхвърля глупостите“ и автоматично да отговарям „разбира се, че не“, но след това се замислих за причината за този въпрос и изведнъж установих, че информацията
липсва. Но това е, макар и очевидно, но много важно:
Ако поставим функцията под диференциалния знак, тогава няма нужда да променяме границите на интегриране! Защо? Защото в този случай няма действителен преход към нова променлива... Например:
И тук обобщаването е много по-удобно от академичната подмяна, последвано от „списък“ с нови ограничения за интеграция. По този начин, ако определеният интеграл не е много труден, тогава винаги се опитвайте да приведете функцията под знака на диференциала! Той е по-бърз, по-компактен и е обичайно - както ще видите десетки пъти!
Благодаря ви много за вашите писма!
Интегриране по части в определен интеграл
Тук има още по-малко новост. Всички изчисления на статията Интегриране по части в неопределен интеграл са напълно валидни за определен интеграл.
Освен това има само една подробност, във формулата за интегриране по части се добавят границите на интеграция:
Формулата на Нютон-Лайбниц трябва да се прилага тук два пъти: за продукта и след като вземем интеграла.
Например, отново взех типа интеграл, който никога не е виждан никъде на сайта. Примерът не е най-лесният, но много, много информативен.
Пример 8
Изчислете определения интеграл
Ние решаваме.
Интегрираме парче по парче:
За тези, които имат затруднения с интеграла, погледнете урока Интеграли от тригонометрични функции, там се анализира подробно.
(1) Пишем решението в съответствие с формулата за интегриране по части.
(2) За продукта използваме формулата на Нютон-Лайбниц. За останалия интеграл използваме свойствата на линейност, разделяйки го на два интеграла. Не се бъркайте в знаците!
(4) Прилагаме формулата на Нютон-Лайбниц за двете намерени антидеривати.
Честно казано, не харесвам формулата  и, ако е възможно, ... изобщо се справям без нея! Нека разгледаме второто решение, от моя гледна точка то е по-рационално.
Изчислете определения интеграл
В първата стъпка намирам неопределения интеграл:
Интегрираме парче по парче:
Намерена антидеривативна функция. В този случай няма смисъл да се добавя константа.
Какво е предимството на подобен поход? Не е необходимо да "влачите" границите на интеграция, наистина можете да бъдете измъчвани, като запишете малки икони на границите на интеграция десет пъти
Във втората стъпка проверявам (обикновено на чернова).
Освен това е логично. Ако открих антидеривативната функция неправилно, тогава също така ще реша неправилно определения интеграл. По-добре е да разберете веднага, ние разграничаваме отговора:
Получава се оригиналното интегриране, което означава, че антидеривативната функция е намерена правилно.
Третият етап е прилагането на формулата на Нютон-Лайбниц:
И тук има значителна полза! В "моето" решение има много по-малък риск от объркване при заместванията и изчисленията - формулата на Нютон-Лайбниц се прилага само веднъж. Ако чайникът решава подобен интеграл по формулата  (по първия начин), тогава той ще сгреши някъде.
Разглежданият алгоритъм на решение може да се приложи към всеки определен интеграл.
Уважаеми студент, отпечатайте и запазете
Какво да направя, ако е даден определен интеграл, който изглежда сложен или не е ясно веднага как да се реши?
1) Първо, намираме неопределения интеграл (антидеривативна функция). Ако на първия етап имаше сблъсък, безсмислено е да се люлее лодката с Нютон и Лайбниц. Има само един начин - да повишите нивото си на знания и умения за решаване неопределени интеграли.
2) Проверете намерената антидеривативна функция чрез диференциация. Ако бъде открит неправилно, третата стъпка ще бъде загуба на време.
3) Използваме формулата на Нютон-Лайбниц. Извършваме всички изчисления ИЗКЛЮЧИТЕЛНО ВНИМАТЕЛНО - тук е най-слабото звено на задачата.
И за лека закуска, неразделна част от независимо решение.
Пример 9
Изчислете определения интеграл
Решението и отговорът са някъде наблизо.
Следващият препоръчан урок по темата е - Как да изчисля площта на фигура, използвайки определен интеграл?
Интегрираме парче по парче:
Сигурни ли сте, че сте ги решили и сте получили такива отговори? ;-) И има порно на старата жена. |
Теорема... Ако функцията f (x) е интегрируем в сегмента [ а, б], където а< b
и за всички x ∈ важи неравенството
Използвайки неравенствата от теоремата, може да се изчисли определен интеграл, т.е. посочват границите, между които е затворена неговата стойност. Тези неравенства изразяват оценката на определен интеграл.
Теорема [Теорема за средната стойност]... Ако функцията f (x) е интегрируем в сегмента [ а, б] и за всички x ∈ важат неравенствата m ≤ f (x) ≤ Mтогава
където m ≤ μ ≤ M.
Коментирайте... В случая, когато функцията f (x) е непрекъснат на сегмента [ а, б], равенството от теоремата приема формата
където c ∈... Брой μ \u003d f (c)дефинирана от тази формула се нарича средно аритметично функция f (x) върху сегмента [ а, б]. Това равенство има следното геометрично значение: площ на извит трапец, ограничен от непрекъсната линия y \u003d f (x) (f (x) ≤ 0), е равно на площта на правоъгълник със същата основа и височина, равна на ординатата на някаква точка от тази права.
Съществуването на антидериват за непрекъсната функция
Първо, въвеждаме концепцията за интеграл с променлива горна граница.
Оставете функцията f (x) е интегрируем в сегмента [ а, б]. Тогава, каквото и да е числото х от [ а, б], функция f (x) е интегрируем в сегмента [ а, б]. Следователно на сегмента [ а, б] функцията е дефинирана
което се нарича интеграл с променлива горна граница.
Теорема... Ако интегрирането е непрекъснато на сегмента [ а, б], тогава производната на определен интеграл с променлива горна граница съществува и е равна на стойността на интегранта за тази граница, т.е.
Последствие... Определен интеграл с променлива горна граница е един от антидеривативите за непрекъснато интегриране. С други думи, за всяка непрекъсната функция на интервала има антидериват.
Забележка 1... Имайте предвид, че ако функцията f (x) е интегрируем в сегмента [ а, б], тогава интегралът с променлива горна граница е непрекъсната функция на горната граница на този сегмент. Всъщност от св. 2 и теоремата за средната стойност имаме
Забележка 2... Интеграл с променлива горна граница на интеграция се използва за дефиниране на много нови функции, например, 
... Тези функции не са елементарни; както вече беше отбелязано, антидеривативите на посочените интегранти не се изразяват по отношение на елементарни функции.
Основни правила за интеграция
Формула на Нютон-Лайбниц
Тъй като всеки две антидеривати f (x) се различават с константа, тогава съгласно предходната теорема може да се твърди, че всеки антидериват Φ (x) непрекъснато върху сегмента [ а, б] функции f (x) има формата
където ° С - някаква константа.
Поставяйки тази формула x \u003d a и x \u003d bизползвайки r. 1 определени интеграли, намираме
Тези равенства предполагат връзката
което се нарича по формулата на Нютон-Лайбниц.
По този начин ние доказахме следната теорема:
Теорема... Определеният интеграл от непрекъсната функция е равен на разликата между стойностите на който и да е от нейните антидеривати за горната и долната граница на интегриране.
Формулата на Нютон-Лайбниц може да бъде пренаписана като
Променлива промяна в определен интеграл
Теорема... Ако
- функция f (x) е непрекъснат на сегмента [ а, б];
- раздел [ а, б] е набор от стойности на функцията φ (t)дефиниран на сегмента α ≤ t ≤ β и има непрекъсната производна върху него;
- φ (α) \u003d a, φ (β) \u003d b
тогава формулата е валидна
Интегриране по формула на части
Теорема... Ако функционира u \u003d u (x), v \u003d v (x) имат непрекъснати производни на сегмента [ а, б], тогава е валидна следната формула
Приложена стойност теорема за средната стойност
е възможността за получаване качествена оценка стойности на определения интеграл, без да го изчисляваме. Ние формулираме
: ако функцията е непрекъсната на интервал, тогава в този интервал има точка, такава че 
.
Тази формула е напълно подходяща за груба оценка на интеграла на сложна или тромава функция. Единственото нещо, което прави формулата приблизително
, е необходимостта самоизбор
точки. Ако вземем най-простия начин - средата на интервала за интегриране (както се предлага в редица учебници), тогава грешката може да бъде доста значителна. За по-точен резултат препоръчвам
извършете изчислението в следната последователност:
Начертайте функция на интервал;
Начертайте горната граница на правоъгълника, така че изрязаните части на функционалната графика да са приблизително еднаква по площ
(точно така е показано на горната фигура - два извити триъгълника са почти еднакви);
Определете от снимката;
Използвайте теоремата за средната стойност.
Като пример, нека изчислим прост интеграл:
Точна стойност ;
За средата на интервала 
получаваме приблизителна стойност, т.е. явно неточен резултат;
След като изградихме графика с горната страна на правоъгълника в съответствие с препоръките, получаваме, откъдето приблизителната стойност. Съвсем задоволителен резултат, грешката е 0,75%.
Трапецовидна формула
Точността на изчисленията, използвайки теоремата за средната стойност, по същество зависи, както беше показано, от визуална цел
по точков график. Всъщност, избирайки в същия пример точките или, може да се получат други стойности на интеграла и грешката може да се увеличи. Субективните фактори, мащабът на графиката и качеството на рисунката оказват силно влияние върху резултата. то неприемливо
при отговорни изчисления, следователно средната теорема се прилага само за бързи качество
интегрални оценки.
В този раздел ще разгледаме един от най-популярните методи за приблизителна интеграция - трапецовидна формула
... Основната идея за изграждане на тази формула се основава на факта, че кривата може приблизително да бъде заменена с прекъсната линия, както е показано на фигурата.
Нека приемем, за определеност (и в съответствие с фигурата), че интервалът на интегриране е разделен на равен
(това не е задължително, но е много удобно) части. Дължината на всяка от тези части се изчислява по формулата и се нарича стъпка
... Абсцисата на точките на разделяне, ако е посочена, се определя по формулата, където. Ординатите могат лесно да бъдат изчислени от известните абсциси. По този начин,
Това е формулата за трапецовиден случай. Обърнете внимание, че първият член в скоби е полусумата от началната и крайната ординати, към която се добавят всички междинни ординати. За произволен номер дялове на интервала за интегриране обща трапецовидна формула
изглежда като: квадратурни формули : правоъгълници, Симпсън, Гаус и др. Те са изградени върху една и съща идея да представят извит трапец с елементарни области различни форми, следователно, след овладяване на трапецовидната формула, няма да е трудно да се разберат подобни формули. Много формули не са толкова прости като трапецовидната формула, но ви позволяват да получите резултат с висока точност с малък брой дялове.
С помощта на формулата за трапеции (или подобни) е възможно да се изчислят с необходимата на практика точност както „нетривиални“ интеграли, така и интеграли от сложни или тромави функции.
По-рано разгледахме определения интеграл като разликата в стойностите на антидеривата за интегранта. Предполагаше се, че интегрантът има антидериват на интервала на интегриране.
В случая, когато антидериватът се изразява чрез елементарни функции, можем да сме сигурни в неговото съществуване. Но ако няма такъв израз, тогава въпросът за съществуването на антидеривата остава отворен и ние не знаем дали съществува съответният определен интеграл.
Геометричните съображения предполагат, че въпреки че например за функцията y \u003d e ^ (- x ^ 2) е невъзможно да се изрази антидеривата по отношение на елементарни функции, интегралът \\ textstyle (\\ int \\ limit_ (a) ^ (b) e ^ (- x ^ 2) \\, dx) съществува и равна на площ фигура, ограничена от оста на абсцисата, графиката на функцията y \u003d e ^ (- x ^ 2) и прави линии x \u003d a, ~ x \u003d b (фиг. 6). Но с по-строг анализ се оказва, че самата концепция за площ трябва да бъде обоснована и поради това е невъзможно да се разчита на нея при решаване на проблемите за съществуването на антидериват и определен интеграл.
Нека докажем това всяка функция, която е непрекъсната на даден сегмент, има антидериват на този сегменти следователно за него има определен интеграл за този сегмент. За това се нуждаем от различен подход към концепцията за определен интеграл, който не се основава на предположението за съществуването на антидериват.
Нека първо инсталираме някои определени интегрални свойства, разбирана като разлика в стойностите на антидеривата.
Оценки на определени интеграли
Теорема 1. Нека функциите y \u003d f (x) са ограничени на интервал и m \u003d \\ min_ (x \\ in) f (x) и M \u003d \\ max_ (x \\ in) f (x), съответно, най-малката и най-висока стойност функция y \u003d f (x) включена и на този сегмент функцията y \u003d f (x) има антидериват. Тогава
m (b-a) \\ leqslant \\ int \\ limit_ (a) ^ (b) f (x) \\, dx \\ leqslant M (b-a).
Доказателства. Нека F (x) е един от антидеривативите за функцията y \u003d f (x) на сегмента. Тогава
\\ int \\ limit_ (a) ^ (b) f (x) \\, dx \u003d \\ Bigl. (F (x)) \\ Bigr | _ (a) ^ (b) \u003d F (b) -F (a).
По теорема на Лагранж F (b) -F (a) \u003d F "(c) (b-a)къде \\ int \\ limit_ (a) ^ (b) f (x) \\, dx \u003d f (c) (b-a).
По хипотеза, за всички стойности на x от сегмента, неравенството m \\ leqslant f (x) \\ leqslant M, така m \\ leqslant f (c) \\ leqslant M и следователно
m (b-a) \\ leqslant f (c) (b-a) \\ leqslant M (b-a), т.е. m (b-a) \\ leqslant \\ int \\ limit_ (a) ^ (b) f (x) \\, dx \\ leqslant M (b-a),
q.E.D.
Двойното неравенство (1) дава само много груба оценка за стойността на определен интеграл. Например на сегмент стойностите на функцията y \u003d x ^ 2 са между 1 и 25 и следователно неравенствата
4 \u003d 1 \\ cdot (5-1) \\ leqslant \\ int \\ limit_ (1) ^ (5) x ^ 2 \\, dx \\ leqslant 25 \\ cdot (5-1) \u003d 100.
За да получите по-точна оценка, разделете сегмента на няколко части с точки a \u003d x_0 и неравенството (1) се прилага към всяка част. Ако неравенството се отнася за сегмента, тогава
m_k \\ cdot \\ Delta x_k \\ leqslant \\ int \\ limit_ (x_k) ^ (x_ (k + 1)) f (x) \\, dx \\ leqslant M_k \\ cdot \\ Delta x_k \\,
където \\ Delta x_k означава разликата (x_ (k + 1) -x_k), т.е. дължината на сегмента. Записвайки тези неравенства за всички стойности на k от 0 до n-1 и ги добавяме, получаваме:
\\ sum_ (k \u003d 0) ^ (n-1) (m_k \\ cdot \\ Delta x_k) \\ leqslant \\ sum_ (k \u003d 0) ^ (n-1) \\ int \\ limit_ (x_k) ^ (x_ (k + 1 )) f (x) \\, dx \\ leqslant \\ sum_ (k \u003d 0) ^ (n-1) (M_k \\ cdot \\ Delta x_k),
Но чрез адитивното свойство на определен интеграл, сумата на интегралите по всички части на сегмент е равна на интеграла върху този сегмент, т.е.
\\ sum_ (k \u003d 0) ^ (n-1) \\ int \\ limit_ (x_k) ^ (x_ (k + 1)) f (x) \\, dx \u003d \\ int \\ limit_a) ^ (b) f (x) \\, dx \\,.
Следователно,
\\ sum_ (k \u003d 0) ^ (n-1) (m_k \\ cdot \\ Delta x_k) \\ leqslant \\ sum_ (k \u003d 0) ^ (n-1) \\ int \\ limit_ (a) ^ (b) f (x ) \\, dx \\ leqslant \\ sum_ (k \u003d 0) ^ (n-1) (M_k \\ cdot \\ Delta x_k)
Например, ако разделите сегмент на 10 равни части, всяка от които има дължина 0,4, тогава на частичен сегмент
важи неравенството
(1 + 0, \\! 4k) ^ 2 \\ leqslant x ^ 2 \\ leqslant \\ bigl (1 + 0, \\! 4 (k + 1) \\ bigr) ^ 2
Следователно имаме:
0, \\! 4 \\ sum_ (k \u003d 0) ^ (9) (1 + 0, \\! 4k) ^ 2 \\ leqslant \\ int \\ limit_ (1) ^ (5) x ^ 2 \\, dx \\ leqslant 0, \\! 4 \\ sum_ (k \u003d 0) ^ (9) \\ bigl (1 + 0, \\! 4 (k + 1) \\ bigr) ^ 2.
Изчислявайки, получаваме: 36, \\! 64 \\ leqslant \\ int \\ limit_ (1) ^ (5) x ^ 2 \\, dx \\ leqslant 46, \\! 24... Тази оценка е много по-точна от тази, получена по-рано. 4 \\ leqslant \\ int \\ limit_ (1) ^ (5) x ^ 2 \\, dx \\ leqslant100.
За да получите още по-точна оценка на интеграла, е необходимо сегментът да бъде разделен не на 10, а, да речем, на 100 или 1000 части и да се изчислят съответните суми. Разбира се, този интеграл е по-лесен за изчисляване с помощта на антидеривата:
\\ int \\ limit_ (1) ^ (5) x ^ 2 \\, dx \u003d \\ ляво. (\\ frac (x ^ 3) (3)) \\ дясно | _ (1) ^ (5) \u003d \\ frac (1) (3) (125-1) \u003d \\ frac (124) (3) \\,.
Но ако не знаем израза за антидеривата, тогава неравенствата (2) позволяват да се оцени стойността на интеграла отдолу и отгоре.
Определеният интеграл като разделително число
Числата m_k и M_k, включени в неравенството (2), могат да бъдат избрани произволно, стига неравенството m_k \\ leqslant f (x) \\ leqslant M_k... Най-точната оценка на интеграла за даден дял на сегмента ще бъде получена, ако вземем M_k като най-малката и m_k като най-голямата от всички възможни стойности. Това означава, че като m_k трябва да вземем точната долна граница на стойностите на функцията y \u003d f (x) на сегмент, а като M_k - точната горна граница на тези стойности на същия сегмент:
m_k \u003d \\ inf_ (x \\ in) f (x), \\ qquad M_k \u003d \\ sup_ (x \\ in) f (x).
Ако y \u003d f (x) е ограничена функция на интервал, то тя също е ограничена на всеки от интервалите и следователно за нея числата m_k и M_k, ~ 0 \\ leqslant k \\ leqslant n-1... При този избор на числа m_k и M_k, сумите \\ textstyle (\\ сума \\ граници_ (k \u003d 0) ^ (n-1) m_k \\ Delta x_k) и \\ textstyle (\\ сума \\ граници_ (k \u003d 0) ^ (n-1) M_k \\ Delta x_k) се наричат \u200b\u200bсъответно долната и горната интегрална сума на Дарбу за функцията y \u003d -f (x) за даден дял на P:
a \u003d x_0
сегмент. Ще обозначим тези суми, съответно s_ (fP) и S_ (fP) и ако функцията y \u003d f (x) е фиксирана, тогава просто s_P и S_P.
Неравенството (2) означава това ако функция y \u003d f (x), ограничена на сегмент, има антидериват на този сегмент, тогава определеният интеграл разделя числовите множества \\ (s_p \\) и \\ (S_P \\), състоящи се съответно от всички долни и горни Darboux суми за всички възможни дялове P на сегмента ... Най-общо казано, може да се случи числото, разделящо тези две групи, да не е уникално. Но по-долу ще видим, че той е уникален за най-важните класове функции (по-специално за непрекъснати функции).
Това ви позволява да въведете нова дефиниция за \\ textstyle (\\ int \\ limit_ (a) ^ (b) f (x) \\, dx), не се основава на концепцията за антидериват, а използва само суми от Дарбу.
Определение. Функция y \u003d f (x), ограничена на сегмент, се нарича интегрируема на този сегмент, ако има единично число, разделящо множествата от долни и горни суми на Дарбу, образувани за всички възможни дялове на сегмента. Ако функцията y \u003d f (x) е интегрируема в сегмент, тогава единственото число, разделящо тези множества, се нарича категоричен интеграл на тази функция върху сегмента и средството.
Определихме интеграла \\ textstyle (\\ int \\ limit_ (a) ^ (b) f (x) \\, dx) за случая, когато a b, след това поставяме
\\ int \\ limit_ (a) ^ (b) f (x) \\, dx \u003d - \\ int \\ limit_ (b) ^ (a) f (x) \\, dx \\,.
Това определение е естествено, тъй като когато се промени посоката на интервала на интегриране, всички разлики \\ Delta x_k \u003d x_ (k + 1) -x_k сменете знака и след това променете знаците и сумите на Дарбу и по този начин числото, което ги разделя, т.е. неразделна.
Тъй като за a \u003d b всички \\ Delta x_k изчезват, поставяме
\\ int \\ limit_ (b) ^ (a) f (x) \\, dx \u003d 0.
Получихме две дефиниции на понятието за определен интеграл: като разликата между стойностите на антидеривата и като разделителното число за сумите на Дарбу. Тези определения в най-важните случаи водят до същия резултат:
Теорема 2. Ако функцията y \u003d f (x) е ограничена върху сегмент и има антидеривата y \u003d F (x) върху него и има едно число, разделящо долната и горната сума на Дарбу, тогава това число е равно на F (b ) -F (а).
Доказателства. По-горе доказахме, че числото F (a) -F (b) разделя множествата \\ (s_P \\) и \\ (S_P \\). Тъй като разделящото число се определя по уникален начин чрез хипотеза, то съвпада с F (b) -F (a).
Отсега нататък ще използваме обозначението \\ textstyle (\\ int \\ limit_ (a) ^ (b) f (x) \\, dx) само за единствено число, разделящо множествата \\ (s_P \\) и \\ (S_P \\). От доказаната теорема следва, че в този случай няма противоречие с разбирането на тази нотация, което използвахме по-горе.
Свойства на долната и горната сума на Дарбу
За да има смисъл определението на интеграла, дадено по-рано, е необходимо да се докаже, че множеството горни суми от Дарбу наистина се намира вдясно от множеството от суми от долния Дарбу.
Лема 1. За всеки дял P, съответната долна сума на Darboux не надвишава горната сума на Darboux, s_P \\ leqslant S_P.
Доказателства. Помислете за дял P на сегмент:
a \u003d x_0 "
Очевидно за всяко k и за всеки избран дял P важи неравенството s_P \\ leqslant S_P. Следователно, m_k \\ cdot \\ Delta x_k \\ leqslant M_k \\ cdot \\ Delta x_k, и затова
s_P \u003d \\ sum_ (k \u003d 0) ^ (n-1) (m_k \\ cdot \\ Delta x_k) \\ leqslant \\ sum_ (k \u003d 0) ^ (n-1) (M_k \\ cdot \\ Delta x_k) \u003d S_P.
q.E.D. Неравенството (4) е валидно само за фиксиран дял P. Следователно все още не е възможно да се твърди, че долната сума на Darboux на един дял не може да надвишава горната сума на Darboux на друг дял. За да докажем това твърдение, ни е необходима следната лема:
Лема 2. Чрез добавяне на нова точка на разделяне долната сума на Дарбу не може да намалее, а горната сума не може да се увеличи.
Доказателства. Изберете някакъв дял P на сегмента и добавете нова точка на разделяне (x ^ (\\ ast)) към него. Нека обозначим новия дял P ^ (\\ ast). Разделът P ^ (\\ ast) е усъвършенстване на дяла P, т.е. всяка точка на дяла P е едновременно и точка на дяла P ^ (\\ ast).
Нека точката (x ^ (\\ ast)) да падне върху сегмента \\ двоеточие \\, x_k ... Помислете за два сегмента, образувани и
и означават съответните точни долни граници за стойностите на функцията с m_ (k) ^ (\\ ast) и m_ (k) ^ (\\ ast \\ ast), а точните горни граници с M_ (k) ^ ( \\ ast) и M_ (k) ^ (\\ ast \\ ast).
Към термина m_k (x_ (k + 1) -m_ (k)) оригиналната по-ниска сума на Darboux в новата по-ниска сума на Darboux съответства на два термина:
m_ (k) ^ (\\ ast) (x ^ (\\ ast) -x_k) + m_ (k) ^ (\\ ast \\ ast) (x_ (k + 1) -x ^ (\\ ast)).
При това m_k \\ leqslant m_ (k) ^ (\\ ast) и m_k \\ leqslant m_ (k) ^ (\\ ast \\ ast), тъй като m_k е точната долна граница за стойностите на функцията f (x) на целия интервал, а m_ (k) ^ (\\ ast) и m_ (k) ^ (\\ ast \\ ast) само на нейния части и
съответно.
Нека изчислим отдолу сумата на получените термини:
\\ начало (подравнено) m_ (k) ^ (\\ ast) \\ bigl (x ^ (\\ ast) -x_ (k) \\ bigr) + m_ (k) ^ (\\ ast \\ ast) \\ bigl (x_ (k + 1) -x ^ (\\ ast) \\ bigr) \\ geqslant & \\, \\, m_k \\ bigl (x ^ (\\ ast) -x_k) + m_k (x_ (k + 1) -x ^ (\\ ast) \\ bigr ) \u003d \\\\ & \u003d m_k \\ bigl (x ^ (\\ ast) -x_k + x_ (k + 1) -x ^ (\\ ast) \\ bigr) \u003d \\\\ & \u003d m_k \\ bigl (x_ (k + 1) -x_k \\ bigr). \\ край (подравнен)
Тъй като останалите условия както в старата, така и в новата по-ниска сума на Darboux останаха непроменени, долната сума на Darboux не намаля от добавянето на нова точка на разделяне, s_P \\ leqslant S_P.
Доказаното твърдение остава валидно при добавяне на произволен брой точки към дял P.
Твърдението за горната сума на Дарбу се доказва по подобен начин: S_ (P ^ (\\ ast)) \\ leqslant S_ (P).
Нека да преминем към сравнението на сумите от Дарбу за всякакви две дялове.
Лема 3. Никоя по-ниска сума на Дарбу не е по-голяма от която и да е горна сума на Дарбу (поне съответстваща на друг дял на сегмента).
Доказателства. Помислете за два произволни дяла P_1 и P_2 на сегмента и оформете третия дял P_3, състоящ се от всички точки на дяловете P_1 и P_2. По този начин дялът P_3 е усъвършенстване както на дяла P_1, така и на дяла P_2 (фиг. 7).
Обозначаваме съответно долната и горната сума на Darboux за тези дялове s_1, ~ S_1. ~ s_2, ~ S_2 и докажете, че s_1 \\ leqslant S_2.
Тъй като P_3 е усъвършенстване на дяла P_1, тогава s_1 \\ leqslant s_3. Освен това s_3 \\ leqslant S_3, тъй като сумите на s_3 и S_3 съответстват на един и същ дял. И накрая, S_3 \\ leqslant S_2, тъй като P_3 е усъвършенстване на дяла на P_2.
По този начин, s_1 \\ leqslant s_3 \\ leqslant S_3 \\ leqslant S_2, т.е. s_1 \\ leqslant S_2, както се изисква.
Лема 3 предполага това числовият набор X \u003d \\ (s_P \\) от долните суми на Darboux се намира вляво от множеството Y \u003d \\ (S_P \\) от горните суми на Darboux.
По силата на теоремата за съществуването на разделително число за две числови множества1 има поне едно число / разделящо множествата X и Y, т.е. такова, че за всеки дял на сегмента, има двойно неравенство:
s_P \u003d \\ sum_ (k \u003d 0) ^ (n-1) \\ bigl (m_k \\ cdot \\ Delta x_k \\ bigr) \\ leqslant I \\ leqslant \\ sum_ (k \u003d 0) ^ (n-1) \\ bigl (M_k \\ cdot \\ Delta x_k \\ bigr) \u003d S_P.
Ако този номер е уникален, тогава \\ textstyle (I \u003d \\ int \\ limit_ (a) ^ (b) f (x) \\, dx).
Нека дадем пример, показващ, че такова число I, най-общо казано, не е еднозначно определено. Спомнете си, че функцията на Дирихле е функцията y \u003d D (x) на сегмента, определен от равенствата:
D (x) \u003d \\ begin (случаи) 0, & \\ text (ако) ~~ x ~~ \\ text (е ирационално число); \\\\ 1, & \\ text (ако) ~~ x ~~ \\ text (е рационално число). \\ край (случаи)
Който и сегмент да вземем, върху него има както рационални, така и ирационални точки, т.е. и точки, където D (x) \u003d 0 и точки, където D (x) \u003d 1. Следователно за всеки дял на сегмента всички стойности на m_k са равни на нула и всички стойности на M_k са равни на едно. Но след това всички по-ниски суми от Дарбу \\ textstyle (\\ сума \\ граници_ (k \u003d 0) ^ (n-1) \\ bigl (m_k \\ cdot \\ Delta x_k \\ bigr)) са равни на нула и всички горни суми на Дарбу \\ textstyle (\\ сума \\ граници_ (k \u003d 0) ^ (n-1) \\ bigl (M_k \\ cdot \\ Delta x_k \\ bigr)) равно на едно,
