Цел:

• Формиране на понятието примитивен.
• Подготовка за възприемане на интеграла.
• Формиране на компютърни умения.
• Възпитание на чувство за красота (способността да се види красотата в необичайното).

Математически анализ - набор от клонове на математиката, посветени на изучаването на функции и техните обобщения чрез методи на диференциално и интегрално смятане.

Досега изучавахме раздел от математическия анализ, наречен диференциално смятане, чиято същност е да се изследва функция в „малката“.

Тези. изследване на функцията в достатъчно малки околности на всяка точка на дефиниция. Една от операциите на диференциране е намирането на производната (диференциал) и прилагането й към изследването на функциите.

Също толкова важен е и обратният проблем. Ако поведението на една функция е известно в близост до всяка точка от нейната дефиниция, тогава как да възстановим функцията като цяло, т.е. в целия диапазон на неговото определение. Този проблем е обект на изследване на така нареченото интегрално смятане.

Интеграцията е действие, обратно на диференциацията. Или възстановяването на функцията f(x) от дадената производна f`(x). Латинската дума “integro” означава възстановяване.

Пример #1.

Нека (x)`=3x 2 .
Намерете f(x).

Решение:

Въз основа на правилото за диференциране е лесно да се познае, че f (x) \u003d x 3, защото (x 3)` \u003d 3x 2
Въпреки това е лесно да се види, че f(x) се намира двусмислено.
Като f(x) можем да вземем
f (x) \u003d x 3 +1
f (x) \u003d x 3 +2
f (x) \u003d x 3 -3 и т.н.

Тъй като производната на всеки от тях е 3x2. (Производната на константата е 0). Всички тези функции се различават една от друга с постоянен член. Ето защо общо решениепроблемите могат да бъдат записани като f(x)= x 3 +C, където C е всяко постоянно реално число.

Всяка от намерените функции f(x) се извиква ПЪРВИЧЕНза функцията F`(x) = 3x 2

Определение. Функцията F(x) се нарича първоизводна за функцията f(x) на даден интервал J, ако за всички x от този интервал F`(x) = f(x). Така че функцията F (x) \u003d x 3 е първоизводна за f (x) \u003d 3x 2 върху (- ∞ ; ∞).
Тъй като за всички x ~ R равенството е вярно: F`(x)=(x 3)`=3x 2

Както вече забелязахме, дадена функцияима безкраен набор от антипроизводни (вижте пример № 1).

Пример #2. Функцията F(x)=x е първоизводната за всички f(x)= 1/x на интервала (0; +), тъй като за всички x от този интервал равенството е в сила.
F`(x)=(x 1/2)`=1/2x -1/2=1/2x

Пример #3 Функцията F(x)=tg3x е първоизводната за f(x)=3/cos3x на интервала (-p/ 2; П/ 2),
защото F`(x)=(tg3x)`= 3/cos 2 3x

Пример #4 Функцията F(x)=3sin4x+1/x-2 е първоизводна за f(x)=12cos4x-1/x 2 на интервала (0;∞)
защото F`(x)=(3sin4x)+1/x-2)`= 4cos4x-1/x 2

Лекция 2

Тема: Първичен. Основно свойство на първоизводната функция.

Когато изучаваме първоизвода, ще разчитаме на следното твърдение. Признак за постоянство на функцията: Ако на интервала J производната Ψ(х) на функцията е равна на 0, то на този интервал функцията Ψ(х) е постоянна.

Това твърдение може да се демонстрира геометрично.

Известно е, че Ψ`(x)=tgα, γde α-ъгъл на наклона на допирателната към графиката на функцията Ψ(x) в точката с абсцисата x 0 . Ако Ψ`(υ)=0 във всяка точка от интервала J, тогава tgα=0 δ за всяка допирателна към графиката на функцията Ψ(x). Това означава, че допирателната към графиката на функцията във всяка точка е успоредна на оста x. Следователно на посочения интервал графиката на функцията Ψ(x) съвпада с отсечката y=C.

И така, функцията f(x)=c е постоянна в интервала J, ако f`(x)=0 в този интервал.

Наистина, за произволни x 1 и x 2 от интервала J, съгласно теоремата за средната стойност на функцията, можем да напишем:
f (x 2) - f (x 1) \u003d f` (c) (x 2 - x 1), тъй като f`(c)=0, тогава f(x 2)= f(x 1)

Теорема: (Основно свойство на първообразна функция)

Ако F(x) е една от първоизводните за функцията f(x) на интервала J, тогава множеството от всички първоизводни на тази функция има формата: F(x)+C, където C е всяко реално число.

Доказателство:

Нека F`(x) = f(x), тогава (F(x)+C)`= F`(x)+C`= f(x), за x − J.
Да предположим, че съществува Φ(x) - друга първоизводна за f (x) на интервала J, т.е. Φ`(x) = f(x),
тогава (Φ(х) - F(х))` = f (х) - f (х) = 0, за x Є J.
Това означава, че Φ(x) - F(x) е константа в интервала J.
Следователно Φ(x) - F(x) = C.
Откъдето Φ(x)= F(x)+C.
Това означава, че ако F (x) е първоизводната за функцията f (x) на интервала J, тогава наборът от всички първоизводни на тази функция има формата: F (x) + C, където C е всяко реално число.
Следователно всеки две първоизводни на дадена функция се различават една от друга с постоянен член.

Пример: Намерете множеството от първоизводни на функцията f (x) = cos x. Начертайте графиките на първите три.

Решение: Sin x - една от първоизводните за функцията f (x) = cos x
F(x) = Sin x + C е множеството от всички първоизводни.

F 1 (x) = Sin x-1
F 2 (x) = Sin x
F 3 (x) \u003d Sin x + 1

Геометрична илюстрация:Графиката на всяка антипроизводна F(x)+C може да бъде получена от графиката на антипроизводната F(x) с помощта на паралелна транслация r (0;c).

Пример: За функцията f (x) \u003d 2x намерете антипроизводната, чиято графика минава през t.M (1; 4)

Решение: F(х)=х 2 +С е множеството на всички първоизводни, F(1)=4 - според условието на задачата.
Следователно, 4 \u003d 1 2 +C
С = 3
F (x) \u003d x 2 +3

Примитивен.

Антидериватът е лесен за разбиране с пример.

Да вземем една функция y = x 3 . Както знаем от предишните раздели, производната на х 3 е 3 х 2:

(х 3)" = 3х 2 .

Следователно от функцията y = x 3 получаваме нова функция: при = 3х 2 .
Образно казано функцията при = х 3 произведена функция при = 3х 2 и е негов „родител“. В математиката няма дума „родител“, но има понятие, свързано с нея: антипроизводно.

Тоест: функция y = x 3 е първоизводната за функцията при = 3х 2 .

Дефиниция на антипроизводно:

В нашия пример ( х 3)" = 3х 2, следователно y = x 3 - антипроизводно за при = 3х 2 .

Интеграция.

Както знаете, процесът на намиране на производната по отношение на дадена функция се нарича диференциране. Обратната операция се нарича интегриране.

Обяснителен пример:

при = 3х 2+ грях х.

Решение :

Знаем, че противопроизводното за 3 х 2 е х 3 .

Антидериват за греха хе –cos х.

Добавяме две първоизводни и получаваме първоизводната за дадена функция:

y = x 3 + (-cos х),

y = x 3 - cos х.

Отговор :
за функция при = 3х 2+ грях х y = x 3 - cos х.

Обяснителен пример:

Нека намерим първоизводната за функцията при= 2 грях х.

Решение :

Обърнете внимание, че k = 2. Производното за sin хе –cos х.

Следователно, за функцията при= 2 грях хантипроизводното е функцията при= -2 cos х.
Коефициент 2 във функцията y \u003d 2 sin хсъответства на коефициента на първоизводната, от която е образувана тази функция.

Обяснителен пример:

Нека намерим първоизводната за функцията г= грях 2 х.

Решение :

Забелязваме това к= 2. Антидериват за грях хе –cos х.

Ние прилагаме нашата формула, когато намираме първоизводната за функцията г= cos2 х:

1
г= - (–cos 2 х),
2

защото 2 х
г = – ----
2

защото 2 х
Отговор: за функция г= грях 2 хантипроизводното е функцията г = – ----
2

(4)

Обяснителен пример.

Нека вземем функцията от предишния пример: г= грях 2 х.

За тази функция всички антипроизводни имат формата:

защото 2 х
г = – ---- + ° С.
2

Обяснение.

Да вземем първия ред. Той се чете така: ако функцията y = f( х) е 0, тогава неговата първоизводна е 1. Защо? Тъй като производната на единица е нула: 1" = 0.

Останалите редове се четат в същия ред.

Как да извлечете данни от таблица? Да вземем осми ред:

(-cos х)" = грях х

Пишем втората част със знака за производна, след това знака за равенство и производната.

Четем: антипроизводното за функцията sin хе функцията -cos х.

Или: функция -cos хе антипроизводното за функцията sin х.

Помислете за движението на точка по права линия. Оставете за време Tот началото на движението точката е изминала пътя s(t).След това моментната скорост v(t)равно на производната на функцията s(t),това е v(t) = s"(t).

На практика има обратна задача: за дадена скорост на движение на точка v(t)намери нейния път s(t), тоест да намерим такава функция s(t),чиято производна е v(t). функция s(t),такова, че s"(t) = v(t), се нарича първоизводна на функцията v(t).

Например ако v(t) = at, където ае дадено число, тогава функцията
s(t) = (при 2) / 2v(t),защото
s "(t) \u003d ((при 2) / 2) " \u003d при \u003d v (t).

функция F(x)се нарича антипроизводна функция f(x)на някакъв интервал, ако за всички хот този интервал F"(x) = f(x).

Например функцията F(x) = sin xе първоизводната на функцията f(x) = cos x,защото (sin x)" = cos x; функция F (x) \u003d x 4 / 4е първоизводната на функцията f(x) = x 3, защото (x 4 / 4)" \u003d x 3.

Нека разгледаме проблема.

Задача.

Докажете, че функциите x 3 /3, x 3 /3 + 1, x 3 /3 - 4 са първоизводни на същата функция f (x) \u003d x 2.

Решение.

1) Означаваме F 1 (x) \u003d x 3 / 3, след това F "1 (x) \u003d 3 ∙ (x 2 / 3) \u003d x 2 = f (x).

2) F 2 (x) \u003d x 3 / 3 + 1, F "2 (x) = (x 3 / 3 + 1)" \u003d (x 3 / 3) "+ (1)" \u003d x 2 \u003d f ( x).

3) F 3 (x) \u003d x 3 / 3 - 4, F "3 (x) \u003d (x 3 / 3 - 4)" = x 2 \u003d f (x).

Като цяло, всяка функция x 3 / 3 + C, където C е константа, е първоизводната на функцията x 2. Това следва от факта, че производната на константата е нула. Този пример показва, че за дадена функция нейната първоизводна не е еднозначно дефинирана.

Нека F 1 (x) и F 2 (x) са две първоизводни на една и съща функция f(x).

Тогава F 1 "(x) = f(x) и F" 2 (x) = f(x).

Производната на тяхната разлика g (x) \u003d F 1 (x) - F 2 (x) е равна на нула, тъй като g "(x) \u003d F" 1 (x) - F "2 (x) \u003d f (x) - f (x) = 0.

Ако g "(x) \u003d 0 на определен интервал, тогава допирателната към графиката на функцията y \u003d g (x) във всяка точка от този интервал е успоредна на оста Ox. Следователно графиката на функцията y \u003d g (x) е права линия, успоредна на оста Ox, т.е. g (x) \u003d C, където C е някаква константа От равенствата g (x) \u003d C, g (x) = F 1 (x) - F 2 (x) следва, че F 1 (x) \u003d F 2 (x) + C.

Така че, ако функцията F(x) е първоизводна на f(x) на някакъв интервал, тогава всички първоизводни на f(x) се записват като F(x) + С, където С е произволна константа.

Разгледайте графиките на всички първоизводни на дадена функция f(x). Ако F(x) е една от първоизводните на функцията f(x), тогава всяка първоизводна на тази функция се получава чрез добавяне към F(x) на някаква константа: F(x) + C. Графиките на функциите y = F(x) + C се получават от графиката y = F(x) чрез изместване по оста Oy. Избирайки C, може да се гарантира, че графиката на първоизводната минава през дадена точка.

Нека обърнем внимание на правилата за намиране на примитиви.

Припомнете си, че операцията за намиране на производната за дадена функция се извиква диференциация. Обратната операция за намиране на първоизводната за дадена функция се нарича интеграция(от латинската дума "Възстанови").

Таблица на антипроизводнитеза някои функции могат да бъдат компилирани с помощта на таблица с производни. Например, знаейки това (cos x)" = -sin x,получаваме (-cos x)" = sin x, откъдето следва, че всички антипроизводни функции грях хса записани във формата -cos x + C, където ОТ- постоянен.

Нека разгледаме някои стойности на антипроизводните.

1) функция: x p, p ≠ -1. Антипроизводно: (x p + 1) / (p + 1) + C.

2) функция: 1/x, x > 0.Антипроизводно: lnx + C.

3) функция: x p, p ≠ -1. Антипроизводно: (x p + 1) / (p + 1) + C.

4) функция: e x. Антипроизводно: e x + C.

5) функция: грях х. Антипроизводно: -cos x + C.

6) функция: (kx + b) p , p ≠ -1, k ≠ 0.Антипроизводно: (((kx + b) p+1) / k(p+1)) + C.

7) функция: 1/(kx + b), k ≠ 0. Антипроизводно: (1/k) ln (kx + b) + C.

8) функция: e kx + b , k ≠ 0. Антипроизводно: (1/k) e kx + b + C.

9) функция: sin (kx + b), k ≠ 0. Антипроизводно: (-1/k) cos (kx + b).

10) функция: cos (kx + b), k ≠ 0.Антипроизводно: (1/k) sin (kx + b).

Правила за интегриранеможе да се получи с помощта на правила за диференциране. Нека да разгледаме някои правила.

Позволявам F(x)и G(x)са първопроизводните, съответно, на функциите f(x)и g(x)на някакъв интервал. Тогава:

1) функция F(x) ± G(x)е първоизводната на функцията f(x) ± g(x);

2) функция aF(x)е първоизводната на функцията af(x).

сайт, с пълно или частично копиране на материала, връзката към източника е задължителна.

Решаването на интеграли е лесна задача, но само за елита. Тази статия е за тези, които искат да се научат да разбират интегралите, но знаят малко или нищо за тях. Интеграл... Защо е необходим? Как да го изчислим? Какво представляват определени и неопределени интеграли? Ако единственото използване на интеграла, което знаете, е да извадите нещо полезно от него труднодостъпни местатогава добре дошли! Научете как да решавате интеграли и защо не можете без това.

Ние изучаваме понятието "интеграл"

Интеграцията вече беше известна в Древен Египет. Разбира се, не в модерна форма, но все пак. Оттогава математиците са написали много книги по темата. Особено отличен Нютон и Лайбниц но същността на нещата не се е променила. Как да разберем интегралите от нулата? Няма начин! За да разберете тази тема, все пак ще ви трябват основни познания за основите на математическия анализ. Именно тази основна информация ще намерите в нашия блог.

Неопределен интеграл

Нека имаме някаква функция f(x) .

Неопределеният интеграл на функцията f(x) се нарича такава функция F(x) , чиято производна е равна на функцията f(x) .

С други думи, интегралът е обратна производна или антипроизводна. Между другото, за това как да прочетете в нашата статия.

Съществува първоизводна за всички непрекъснати функции. Също така към антипроизводното често се добавя постоянен знак, тъй като производните на функции, които се различават по константа, съвпадат. Процесът на намиране на интеграл се нарича интегриране.

Прост пример:

За да не изчислявате постоянно антипроизводните на елементарни функции, е удобно да ги обобщите в таблица и да използвате готови стойности:

Определен интеграл

Когато се занимаваме с концепцията за интеграл, имаме работа с безкрайно малки количества. Интегралът ще помогне да се изчисли площта на фигурата, масата на нехомогенно тяло, пътя, изминат по време на неравномерно движение, и много други. Трябва да се помни, че интегралът е сумата от безкрайно голям брой безкрайно малки членове.

Като пример, представете си графика на някаква функция. Как да намерим площта на фигура, ограничена от графика на функция?

С помощта на интеграл! Нека разделим криволинейния трапец, ограничен от координатните оси и графиката на функцията, на безкрайно малки сегменти. Така фигурата ще бъде разделена на тънки колони. Сумата от площите на колоните ще бъде площта на трапеца. Но не забравяйте, че такова изчисление ще даде приблизителен резултат. Въпреки това, колкото по-малки и по-тесни са сегментите, толкова по-точно ще бъде изчислението. Ако ги намалим до такава степен, че дължината клони към нула, тогава сумата от площите на сегментите ще клони към площта на фигурата. Това е определеният интеграл, който се записва по следния начин:

Точките a и b се наричат ​​граници на интегриране.

Бари Алибасов и групата "Интеграл"

Между другото! За нашите читатели вече има 10% отстъпка от

Правила за изчисляване на интеграли за манекени

Свойства на неопределения интеграл

Как да решим неопределен интеграл? Тук ще разгледаме свойствата на неопределения интеграл, които ще бъдат полезни при решаването на примери.

• Производната на интеграла е равна на интеграла:

• Константата може да бъде извадена от знака за интеграл:

• Интегралът от сбора е равен на сбора от интегралите. Също вярно за разликата:

Свойства на определения интеграл

• Линейност:

• Знакът на интеграла се променя, ако границите на интегриране са обърнати:

• При всякаквиточки а, bи с:

Вече разбрахме, че определеният интеграл е границата на сумата. Но как да получите конкретна стойност при решаване на пример? За това има формулата на Нютон-Лайбниц:

Примери за решаване на интеграли

По-долу разглеждаме няколко примера за намиране на неопределени интеграли. Каним ви самостоятелно да разберете тънкостите на решението и ако нещо не е ясно, задавайте въпроси в коментарите.

За затвърждаване на материала гледайте видео как се решават на практика интеграли. Не се отчайвайте, ако интегралът не бъде даден веднага. Попитайте и те ще ви кажат всичко, което знаят за изчисляването на интеграли. С наша помощ всеки троен или криволинеен интеграл върху затворена повърхност ще бъде по силите ви.

функция F(х ) Наречен примитивен за функция е(х) на даден интервал, ако за всички х от този интервал равенството

F"(х ) = f(х ) .

Например функцията F(x) = x 2 е(х ) = 2х , защото

F "(x) \u003d (x 2 )" = 2x = f(x). ◄

Основното свойство на антипроизводното

Ако F(x) е първоизводната за функцията f(x) на даден интервал, тогава функцията f(x) има безкрайно много противопроизводни и всички тези първоизводни могат да бъдат записани като F(x) + C, където ОТ е произволна константа.

Правила за изчисляване на първоизводни

1. Ако F(x) - оригинал за f(x) , а G(x) - оригинал за g(x) , тогава F(x) + G(x) - оригинал за f(x) + g(x) . С други думи, първоизводната на сбора е равна на сбора на първоизводните .
2. Ако F(x) - оригинал за f(x) , и к тогава е константа к · F(x) - оригинал за к · f(x) . С други думи, постоянният фактор може да бъде изваден от знака на производната .
3. Ако F(x) - оригинал за f(x) , и к,b- постоянен и k ≠ 0 , тогава 1 / к F(к x + b ) - оригинал за f(к x + b) .

Неопределен интеграл

Не определен интеграл от функция f(x) наречен израз F(x) + C, т.е. множеството от всички антипроизводни на дадената функция f(x) . Неопределеният интеграл се означава по следния начин:

∫ f(x) dx = F(x) + C ,

f(x)- Наречен интегрант ;

f(x) dx- Наречен интегрант ;

х - Наречен интеграционна променлива ;

F(x) е една от първоизводните на функцията f(x) ;

ОТ е произволна константа.

Например, ∫ 2 x dx =х 2 + ОТ , ∫ cosx dx =грях х + ОТ и така нататък. ◄

Думата "интеграл" идва от латинската дума цяло число , което означава "възстановен". Като се има предвид неопределеният интеграл на 2 х, някак си възстановяваме функцията х 2 , чиято производна е 2 х. Възстановяване на функция от нейната производна или, което е същото, намиране на неопределен интеграл по даден интегранд се нарича интеграция тази функция. Интегрирането е обратна операция на диференцирането.За да проверите дали интегрирането е правилно, е достатъчно да диференцирате резултата и да получите интегранта.

Основни свойства на неопределения интеграл

1. Производната на неопределения интеграл е равна на интегралната функция:

(∫ f(x) dx )" = f(x) .

2. Постоянният фактор на интегранта може да бъде изваден от интегралния знак:

∫ к · f(x) dx = к · ∫ f(x) dx .

3. Интегралът на сумата (разликата) на функциите е равен на сумата (разликата) на интегралите на тези функции:

∫ ( f(x) ± g(x ) ) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x ) dx .

4. Ако к,b- постоянен и k ≠ 0 , тогава

∫ е( к x + b) dx = 1 / к F(к x + b ) + C .

Таблица на първообразни и неопределени интеграли

Определен интеграл

Нека между тях [а; b] дадена непрекъсната функция y = f(x) , тогава определен интеграл от a до b функции f(x) се нарича нарастване на примитива F(x) тази функция, т.е

$$\int_(a)^(b)f(x)dx=F(x)|(_a^b) = ~~F(a)-F(b).$$

Числа аи bсе наричат ​​съответно нисък и Горна част интеграционни граници.

Основни правила за изчисляване на определен интеграл

1. \(\int_(a)^(a)f(x)dx=0\);

2. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=- \int_(b)^(a)f(x)dx\);

3. \(\int_(a)^(b)kf(x)dx=k\int_(a)^(b)f(x)dx,\) където к - постоянен;

4. \(\int_(a)^(b)(f(x) ± g(x))dx=\int_(a)^(b)f(x) dx±\int_(a)^(b) g(x) dx \);

5. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=\int_(a)^(c)f(x)dx+\int_(c)^(b)f(x)dx\);

6. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=2\int_(0)^(a)f(x)dx\), където f(x) е четна функция;

7. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=0\), където f(x) е странна функция.

Коментирайте . Във всички случаи се приема, че интегрантите са интегрируеми на числови интервали, чиито граници са границите на интегрирането.

Геометричен и физически смисъл на определения интеграл

геометричен смисъл определен интеграл	физически смисъл определен интеграл
Квадрат Скриволинеен трапец (фигура, ограничена от графика на непрекъснат положителен интервал [а; b] функции f(x) , ос вол и директно х=а , x=b ) се изчислява по формулата $$S=\int_(a)^(b)f(x)dx.$$	Пътека с, които материалната точка е преодоляла, движейки се праволинейно със скорост, която се изменя по закон v(t) , за интервал от време a ; b], след това площта на фигурата, ограничена от графиките на тези функции и прави линии х = а , x = b , се изчислява по формулата $$S=\int_(a)^(b)(f(x)-g(x))dx.$$
	Например. Изчислете площта на фигурата ограничени с линии y=x 2 и y= 2- х . Ще изобразим схематично графиките на тези функции и ще подчертаем фигурата, чиято площ трябва да се намери в различен цвят. За да намерим границите на интегриране, решаваме уравнението: х 2 = 2- х ; х 2 + х- 2 = 0 ; х 1 = -2, х 2 = 1 . $$S=\int_(-2)^(1)((2-x)-x^2)dx=$$
$$=\int_(-2)^(1)(2-x-x^2)dx=\left (2x-\frac(x^2)(2)-\frac(x^3)(2) \right )\bigm|(_(-2)^(~1))=4\frac(1)(2). $$ ◄

Обем на тялото на въртене

	Ако тялото се получава в резултат на въртене около оста вол криволинеен трапец, ограничен от графика на непрекъсната и неотрицателна върху интервала [а; b] функции y = f(x) и директно х = аи x = b , тогава се нарича тяло на революцията . Обемът на тялото на въртене се изчислява по формулата $$V=\pi\int_(a)^(b)f^2(x)dx.$$ Ако тялото на въртене се получава в резултат на въртене на фигура, ограничена отгоре и отдолу с функционални графики y = f(x) и y = g(x) , съответно тогава $$V=\pi\int_(a)^(b)(f^2(x)-g^2(x))dx.$$
	Например. Изчислете обема на конус с радиус r и височина ч . Нека поставим конуса в правоъгълна координатна система, така че неговата ос да съвпада с оста вол , а центърът на основата беше разположен в началото на координатите. Въртене на генератора ABопределя конус. Тъй като уравнението AB $$\frac(x)(h)+\frac(y)(r)=1,$$ $$y=r-\frac(rx)(h)$$
и за обема на конуса, който имаме $$V=\pi\int_(0)^(h)(r-\frac(rx)(h))^2dx=\pi r^2\int_(0)^(h)(1-\frac( x)(h))^2dx=-\pi r^2h\cdot \frac((1-\frac(x)(h))^3)(3)|(_0^h)=-\pi r^ 2h\left (0-\frac(1)(3) \right)=\frac(\pi r^2h)(3).$$ ◄