В този урок ще разгледаме преобразуването на фракциите в общ знаменател и ще решим проблеми по тази тема. Нека дадем определение на понятието общ знаменател и допълнителен фактор, припомнете взаимно прости числа... Нека дефинираме концепцията за най-малко общия знаменател (LCD) и решим редица проблеми, за да я намерим.

Тема: Добавяне и изваждане на дроби с различни знаменатели

Урок: Преобразуване на дроби в общ знаменател

Повторение. Основното свойство на фракцията.

Ако числителят и знаменателят на дроб се умножават или делят по един и същ естествено число, получавате еднаква дроб.

Например числителят и знаменателят на дроб може да се раздели на 2. Получаваме дроб. Тази операция се нарича намаляване на фракцията. Можете също да извършите обратната трансформация, като умножите числителя и знаменателя на фракцията по 2. В този случай те казват, че сме намалили фракцията до нов знаменател. Числото 2 се нарича допълващ фактор.

Изход.Фракция може да бъде намалена до произволен знаменател, кратен на знаменателя на дадена дроб. За да се приведе дроб към нов знаменател, неговият числител и знаменател се умножават по допълнителен коефициент.

1. Доведете фракцията до знаменателя 35.

35 е кратно на 7, тоест 35 се дели на 7 без остатък. Това означава, че тази трансформация е възможна. Нека намерим допълнителен фактор. За да направите това, разделете 35 на 7. Получаваме 5. Умножаваме числителя и знаменателя на първоначалната дроби по 5.

2. Доведете дробта до знаменателя 18.

Нека намерим допълнителен фактор. За целта разделете новия знаменател на оригиналния. Получаваме 3. Умножете числителя и знаменателя на тази фракция по 3.

3. Доведете дробта до знаменателя 60.

Разделянето на 60 на 15 ни дава допълнителен коефициент. То е 4. Умножете числителя и знаменателя по 4.

4. Доведете дробта до знаменателя 24

В прости случаи редукцията до нов знаменател се извършва в ума. Прието е да се посочи допълнителен множител извън скобата точно вдясно и над оригиналната дроб.

Фракцията може да бъде намалена до знаменател 15, а фракцията може да бъде намалена до знаменател 15. Фракциите също имат общ знаменател 15.

Общият знаменател на фракциите може да бъде всеки общ кратен на техните знаменатели. За простота, фракциите водят до най-ниския общ знаменател. Той е равен на най-малкото общо кратно на знаменателите на тези дроби.

Пример. Намалете до най-ниския общ знаменател на фракцията и.

Първо намерете най-малкото общо кратно на знаменателите на тези дроби. Това число е 12. Нека намерим допълнителен коефициент за първата и за втората фракция. За да направите това, разделете 12 на 4 и 6. Три е допълнителен фактор за първата фракция, а две за втората. Нека доведем дробните части до знаменателя 12.

Докарахме фракциите до общ знаменател, тоест намерихме дроби, равни на тях, които имат един и същ знаменател.

Правило. За да приведете дробовете до най-ниския общ знаменател, трябва

Първо, намерете най-малкото общо кратно на знаменателите на тези дроби, това ще бъде най-малкият им общ знаменател;

Второ, разделете най-ниския общ знаменател на знаменателите на дадените дроби, тоест намерете допълнителен коефициент за всяка дроб.

Трето, умножете числителя и знаменателя на всяка фракция по допълнителния му коефициент.

а) Намалете фракцията и до общ знаменател.

Най-ниският общ знаменател е 12. Допълнителният коефициент за първата дроб е 4, а за втората - 3. Доведете дробта до знаменателя 24.

б) Намалете фракцията и до общ знаменател.

Най-ниският общ знаменател е 45. Разделянето на 45 на 9 на 15 дава съответно 5 и 3. Доведете дроби до знаменателя 45.

в) Намалете фракцията и до общ знаменател.

Общият знаменател е 24. Допълнителни фактори, съответно, са 2 и 3.

Понякога може да бъде трудно устно да се намери най-ниското общо кратно за знаменателите на тези дроби. Тогава общият знаменател и допълнителните фактори се намират чрез разширяване в главни фактори.

Доведете фракцията и до общ знаменател.

Нека разделим числата 60 и 168 на прости множители. Нека напишем разлагането на 60 и добавим липсващите фактори 2 и 7 от второто разлагане. Умножете 60 по 14, за да получите общ знаменател 840. Допълнителният коефициент за първата фракция е 14. Допълнителният коефициент за втората фракция е 5. Намалете фракциите до общ знаменател 840.

Списък на литературата

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С. и други Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Математика 6 клас. - Гимназия, 2006.

3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. Зад страниците на учебник по математика. - Просвещение, 1989.

4. Рурукин А.Н., Чайковски И.В. Задания за курса по математика 5-6 клас. - ZSH MEPhI, 2011.

5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковски К.Г. Математика 5-6. Наръчник за ученици от 6 клас на заочното училище MEPhI. - ZSH MEPhI, 2011.

6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О. и др. Математика: Учебник-събеседник за 5-6 клас от средното училище. Библиотека на учителя по математика. - Просвещение, 1989.

Можете да изтеглите книгите, изброени в раздел 1.2. от този урок.

Домашна работа

Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др. Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012. (вж. връзка 1.2)

Домашна работа: # 297, # 298, # 300.

Други задания: # 270, # 290

В този урок ще разгледаме намаляването на фракциите до общ знаменател и ще решим проблеми по тази тема. Нека дадем определение на понятието за общ знаменател и допълнителен фактор, не забравяйте за съвместните числа. Нека дефинираме концепцията за най-малко общия знаменател (LCD) и решим редица проблеми, за да я намерим.

Тема: Събиране и изваждане на дроби с различни знаменатели

Урок: Преобразуване на дроби в общ знаменател

Повторение. Основното свойство на фракцията.

Ако числителят и знаменателят на дроб са умножени или разделени от едно и също естествено число, тогава ще получите еднаква дроб.

Например числителят и знаменателят на дроб може да се раздели на 2. Получаваме дроб. Тази операция се нарича намаляване на фракцията. Можете също да извършите обратната трансформация, като умножите числителя и знаменателя на фракцията по 2. В този случай те казват, че сме намалили фракцията до нов знаменател. Числото 2 се нарича допълващ фактор.

Изход.Фракция може да бъде намалена до произволен знаменател, кратен на знаменателя на дадена дроб. За да се приведе дроб към нов знаменател, неговият числител и знаменател се умножават по допълнителен коефициент.

1. Доведете фракцията до знаменателя 35.

35 е кратно на 7, тоест 35 се дели на 7 без остатък. Това означава, че тази трансформация е възможна. Нека намерим допълнителен фактор. За да направите това, разделете 35 на 7. Получаваме 5. Умножаваме числителя и знаменателя на първоначалната дроби по 5.

2. Доведете дробта до знаменателя 18.

Нека намерим допълнителен фактор. За целта разделете новия знаменател на оригиналния. Получаваме 3. Умножете числителя и знаменателя на тази фракция по 3.

3. Доведете дробта до знаменателя 60.

Разделянето на 60 на 15 ни дава допълнителен коефициент. То е 4. Умножете числителя и знаменателя по 4.

4. Доведете дробта до знаменателя 24

В прости случаи редукцията до нов знаменател се извършва в ума. Прието е да се посочи допълнителен множител извън скобата точно вдясно и над оригиналната дроб.

Фракцията може да бъде намалена до знаменател 15, а фракцията може да бъде намалена до знаменател 15. Фракциите също имат общ знаменател 15.

Общият знаменател на фракциите може да бъде всеки общ кратен на техните знаменатели. За простота, фракциите водят до най-ниския общ знаменател. Той е равен на най-малкото общо кратно на знаменателите на тези дроби.

Пример. Намалете до най-ниския общ знаменател на фракцията и.

Първо намерете най-малкото общо кратно на знаменателите на тези дроби. Това число е 12. Нека намерим допълнителен коефициент за първата и за втората фракция. За да направите това, разделете 12 на 4 и 6. Три е допълнителен фактор за първата фракция, а две за втората. Нека доведем дробните части до знаменателя 12.

Докарахме фракциите до общ знаменател, тоест намерихме дроби, равни на тях, които имат един и същ знаменател.

Правило. За да приведете дробовете до най-ниския общ знаменател, трябва

Първо, намерете най-малкото общо кратно на знаменателите на тези дроби, това ще бъде най-малкият им общ знаменател;

Второ, разделете най-ниския общ знаменател на знаменателите на дадените дроби, тоест намерете допълнителен коефициент за всяка дроб.

Трето, умножете числителя и знаменателя на всяка фракция по допълнителния му коефициент.

а) Намалете фракцията и до общ знаменател.

Най-ниският общ знаменател е 12. Допълнителният коефициент за първата дроб е 4, а за втората - 3. Доведете дробта до знаменателя 24.

б) Намалете фракцията и до общ знаменател.

Най-ниският общ знаменател е 45. Разделянето на 45 на 9 на 15 дава съответно 5 и 3. Доведете дроби до знаменателя 45.

в) Намалете фракцията и до общ знаменател.

Общият знаменател е 24. Допълнителни фактори, съответно, са 2 и 3.

Понякога може да бъде трудно устно да се намери най-ниското общо кратно за знаменателите на тези дроби. Тогава общият знаменател и допълнителните фактори се намират с помощта на прости фактори.

Доведете фракцията и до общ знаменател.

Нека разделим числата 60 и 168 на прости множители. Нека напишем разлагането на 60 и добавим липсващите фактори 2 и 7 от второто разлагане. Умножете 60 по 14, за да получите общ знаменател 840. Допълнителният коефициент за първата фракция е 14. Допълнителният коефициент за втората фракция е 5. Намалете фракциите до общ знаменател 840.

Списък на литературата

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С. и други Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Математика 6 клас. - Гимназия, 2006.

3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. Зад страниците на учебник по математика. - Просвещение, 1989.

4. Рурукин А.Н., Чайковски И.В. Задания за курса по математика 5-6 клас. - ZSH MEPhI, 2011.

5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковски К.Г. Математика 5-6. Наръчник за ученици от 6 клас на заочното училище MEPhI. - ZSH MEPhI, 2011.

6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О. и др. Математика: Учебник-събеседник за 5-6 клас от средното училище. Библиотека на учителя по математика. - Просвещение, 1989.

Можете да изтеглите книгите, изброени в раздел 1.2. от този урок.

Домашна работа

Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др. Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012. (вж. връзка 1.2)

Домашна работа: # 297, # 298, # 300.

Други задания: # 270, # 290

Материалът в тази статия обяснява, как да намеря най-ниския общ знаменател и как да доведем фракциите до общ знаменател... Първо се дават определенията на общия знаменател на фракциите и най-ниския общ знаменател и се показва как да се намери общия знаменател на дроби. По-долу е правило за намаляване на фракциите до общ знаменател и са разгледани примери за прилагане на това правило. В заключение се анализират примери за привеждане на три или повече дроби до общ знаменател.

Навигация по страници.

Какво се нарича намаляване на общия знаменател на фракциите?

Сега можем да кажем какво е намаляването на фракциите до общ знаменател. Общ знаменател на дроби Дали умножението на числителите и знаменателите на тези дроби с такива допълнителни фактори, че резултатът е дроби с еднакви знаменатели.

Общ знаменател, определение, примери

Сега е време да определим общия знаменател на фракциите.

С други думи, общият знаменател на набор от обикновени дроби е всяко естествено число, което се дели на всички знаменатели на тези дроби.

От горното определение следва, че даден набор от дроби има безкрайно много общи знаменатели, тъй като има безкрайно много общи кратни на всички знаменатели на първоначалния набор от дроби.

Определянето на общия знаменател на дроби ви позволява да намерите общите знаменатели на дадени дроби. Нека например да бъдат дадени дроби 1/4 и 5/6, знаменателите им са съответно 4 и 6. Положителните общи кратни на 4 и 6 са 12, 24, 36, 48, ... Всяко от тези числа е общият знаменател на 1/4 и 5/6.

За да консолидирате материала, помислете за решението на следния пример.

Пример.

Могат ли дроби 2/3, 23/6 и 7/12 да бъдат намалени до общ знаменател 150?

Решение.

За да отговорим на поставения въпрос, трябва да разберем дали числото 150 е общо кратно на знаменателите 3, 6 и 12. За да направите това, проверете дали 150 се дели равномерно на всяко от тези числа (ако е необходимо, вижте правилата и примерите за разделяне на естествени числа, както и правила и примери за разделяне на естествени числа с остатък): 150: 3 \u003d 50, 150 : 6 \u003d 25, 150: 12 \u003d 12 (почивка 6).

Така, 150 не се дели равномерно на 12, така че 150 не е общо кратно на 3, 6 и 12. Следователно числото 150 не може да бъде общият знаменател на първоначалните дроби.

Отговор:

Не можеш.

Най-ниският общ знаменател, как да го намеря?

В множеството числа, които са общите знаменатели на тези дроби, има най-малкото естествено число, което се нарича най-ниският общ знаменател. Нека формулираме дефиницията на най-малкия общ знаменател на тези дроби.

Определение.

Най-малко общ знаменател Е най-малкият общ знаменател на тези дроби.

Остава да разберем как да намерим най-малко общия делител.

Тъй като това е най-малко положителният общ знаменател на даден набор от числа, LCM на знаменателите на тези дроби е най-ниският общ знаменател на тези дроби.

По този начин намирането на най-ниския общ знаменател на дроби се свежда до знаменателите на тези дроби. Нека да разгледаме примерното решение.

Пример.

Намерете най-ниския общ знаменател на дроби 3/10 и 277/28.

Решение.

Знаменателите на тези дроби са 10 и 28. Желаният най-нисък общ знаменател се намира като LCM от 10 и 28. В нашия случай е лесно: тъй като 10 \u003d 2 5 и 28 \u003d 2 2 7, тогава LCM (15, 28) \u003d 2 2 5 7 \u003d 140.

Отговор:

140 .

Как да приведем дроби до общ знаменател? Правило, примери, решения

Обикновено общи фракции водят до най-ниския общ знаменател. Сега ще запишем правило, което обяснява как да приведем дроби до най-ниския общ знаменател.

Правилото за намаляване на дроби до най-ниския общ знаменател се състои от три стъпки:

• Първо намерете най-ниския общ знаменател на фракциите.
• Второ, за всяка дроб се изчислява допълнителен коефициент, за който най-ниският общ знаменател се разделя на знаменателя на всяка дроб.
• Трето, числителят и знаменателят на всяка фракция се умножават по допълнителния му коефициент.

Нека приложим посоченото правило към решението на следващия пример.

Пример.

Доведете дробите 5/14 и 7/18 до най-ниския общ знаменател.

Решение.

Нека изпълним всички стъпки на алгоритъма за намаляване на фракциите до най-ниския общ знаменател.

Първо намерете най-ниския общ знаменател, който е най-ниското общо кратно на 14 и 18. Тъй като 14 \u003d 2 7 и 18 \u003d 2 3 3, тогава LCM (14, 18) \u003d 2 3 3 7 \u003d 126.

Сега изчисляваме допълнителните коефициенти, с които дроби 5/14 и 7/18 ще бъдат намалени до знаменател 126. За фракцията 5/14 допълнителният множител е 126: 14 \u003d 9, а за фракцията 7/18 допълнителният множител е 126: 18 \u003d 7.

Остава да се умножат числителите и знаменателите на дроби 5/14 и 7/18 по допълнителни множители съответно 9 и 7. Имаме и .

И така, привеждането на дроби 5/14 и 7/18 до най-ниския общ знаменател е завършено. Резултатът е фракции 45/126 и 49/126.

Първоначално исках да включа методите с общи знаменатели в абзаца Добавяне и изваждане на дроби. Но имаше толкова много информация и нейното значение е толкова голямо (в края на краищата общите знаменатели не са само за числови дроби), че е по-добре този въпрос да се проучи отделно.

И така, да кажем, че имаме две дроби с различни знаменатели. И искаме да направим знаменателите еднакви. На помощ идва основното свойство на фракция, което, припомняме, звучи така:

Дробът няма да се промени, ако числителят и знаменателят му се умножат по един и същ ненулев номер.

По този начин, ако изберете правилните фактори, знаменателите на фракциите ще се изравнят - този процес се нарича намаляване на общия знаменател. А необходимите числа, „изравняващи“ знаменателите, се наричат \u200b\u200bдопълнителни фактори.

Защо изобщо трябва да привеждате дроби до общ знаменател? Ето само няколко причини:

1. Събиране и изваждане на дроби с различни знаменатели. Няма друг начин за извършване на тази операция;
2. Сравнение на фракциите. Понякога преобразуването в общ знаменател значително улеснява тази задача;
3. Решаване на проблеми за дялове и проценти. Процентите всъщност са често срещани изрази, които съдържат дроби.

Има много начини за намиране на числа, които, умножени по, правят знаменателите на дроби равни. Ще разгледаме само три от тях - с цел увеличаване на сложността и в известен смисъл ефективността.

Кръстосано умножение

Най-простият и надежден начинкоето гарантирано ще изравнява знаменателите. Ще продължим напред: умножаваме първата дроб по знаменателя на втората дроб, а втората - по знаменателя на първата. В резултат знаменателите на двете фракции ще станат равни на произведението на оригиналните знаменатели. Погледни:

Разгледайте знаменателите на съседни дроби като допълнителни фактори. Получаваме:

Да, толкова е просто. Ако тепърва започвате да изучавате дроби, по-добре е да работите с този конкретен метод - по този начин ще се застраховате срещу много грешки и гарантирано ще получите резултата.

Единственият недостатък на този метод е, че трябва да броите много, тъй като знаменателите се умножават „направо“ и резултатът може да бъде много голям. Това е цената, която трябва да платите за надеждност.

Метод с общи делители

Тази техника помага за значително намаляване на изчисленията, но, за съжаление, тя рядко се използва. Методът е както следва:

1. Преди да продължите напред (т.е. метода на кръстосване), разгледайте знаменателите. Може би един от тях (този, който е по-голям) е разделен на другия.
2. Числото, получено в резултат на такова разделяне, ще бъде допълнителен фактор за фракцията с по-нисък знаменател.
3. В този случай дроб с голям знаменател изобщо не трябва да се умножава по нищо - това е икономията. В същото време вероятността от грешка е рязко намалена.

Задача. Намерете стойностите на изразите:

Обърнете внимание, че 84: 21 \u003d 4; 72: 12 \u003d 6. Тъй като и в двата случая единият знаменател се дели на другия без остатък, ние прилагаме метода на общите фактори. Ние имаме:

Обърнете внимание, че втората дроб никога не е била умножена по нищо. Всъщност сме намалили размера на изчисленията наполовина!

Между другото, не взех дробно в този пример случайно. Ако се интересувате, опитайте да ги преброите кръстосано. След намаляване отговорите ще бъдат същите, но ще има много повече работа.

Това е силата на метода общи делители, но отново може да се приложи само в случая, когато единият от знаменателите е разделен на другия без остатък. Което е достатъчно рядко.

Най-малко често срещан множествен метод

Когато довеждаме дроби до общ знаменател, ние по същество се опитваме да намерим число, което се дели на всеки от знаменателите. След това довеждаме знаменателите на двете фракции до това число.

Има много такива числа и най-малкият от тях не е задължително да се равнява на директния произведение на знаменателите на първоначалните фракции, както се предполага в метода "кръстосан кръст".

Например за знаменателите 8 и 12 числото 24 е добре, тъй като 24: 8 \u003d 3; 24: 12 \u003d 2. Това число е много по-малко от продукта 8 12 \u003d 96.

Най-малкото число, който е разделен на всеки от знаменателите, се нарича тяхното най-малко общо кратно (LCM).

Нотация: най-малкото общо кратно на a и b се обозначава с LCM (a; b). Например LCM (16; 24) \u003d 48; LCM (8; 12) \u003d 24.

Ако можете да намерите такова число, общият размер на изчисленията ще бъде минимален. Разгледайте примери:

Задача. Намерете стойностите на изразите:

Обърнете внимание, че 234 \u003d 117 · 2; 351 \u003d 117 3. Фактори 2 и 3 са относително прости (нямат общи делители освен 1), а фактор 117 е често срещан. Следователно LCM (234; 351) \u003d 117 2 3 \u003d 702.

По подобен начин 15 \u003d 5 · 3; 20 \u003d 5 4. Факторите 3 и 4 са относително прости и фактор 5 е често срещан. Следователно LCM (15; 20) \u003d 5 3 4 \u003d 60.

Сега пренасяме дроби до общи знаменатели:

Обърнете внимание колко полезно е било факторирането на оригиналните знаменатели:

1. След като открихме едни и същи фактори, веднага стигнахме до най-малкото честотно множество, което най-общо казано е нетривиален проблем;
2. От полученото разширение можете да разберете кои фактори „липсват“ за всяка от фракциите. Например 234 3 \u003d 702, следователно за първата фракция допълнителният коефициент е 3.

За да прецените как колосалните печалби дава най-рядко срещаният многократен метод, опитайте да изчислите същите примери, използвайки метода на кръстосано кръстосване. Без калкулатор, разбира се. Мисля, че след този коментар ще бъде излишен.

Не мислете, че в реалните примери няма да има такива сложни дроби. Те се срещат през цялото време и горните задачи не са ограничението!

Единственият проблем е как да намерим точно този NOC. Понякога всичко се намира за няколко секунди, буквално „на око“, но като цяло това е сложна изчислителна задача, която изисква отделно разглеждане. Тук няма да се докосваме до това.