Как да конвертирате фракции в общ знаменател

Ако общи фракции същите знаменатели, тогава те казват, че тези дроби се довеждат до общ знаменател.

Пример 1

Например фракциите $ \\ frac (3) (18) $ и $ \\ frac (20) (18) $ имат един и същ знаменател. Твърди се, че имат общ знаменател 18 долара. Дроби $ \\ frac (1) (29) $, $ \\ frac (7) (29) $ и $ \\ frac (100) (29) $ също имат същия знаменател. Твърди се, че имат общ знаменател 29 долара.

Ако фракциите имат различни знаменатели, тогава те могат да бъдат намалени до общ знаменател. За да направите това, трябва да умножите техните числители и знаменатели по определени допълнителни фактори.

Пример 2

Как да намалим две фракции $ \\ frac (6) (11) $ и $ \\ frac (2) (7) $ до общ знаменател.

Решение.

Умножаваме фракциите $ \\ frac (6) (11) $ и $ \\ frac (2) (7) $ съответно с допълнителни фактори $ 7 $ и $ 11 $ и ги довеждаме до общ знаменател $ 77 $:

$ \\ frac (6 \\ cdot 7) (11 \\ cdot 7) \u003d \\ frac (42) (77) $

$ \\ frac (2 \\ cdot 11) (7 \\ cdot 11) \u003d \\ frac (22) (77) $

По този начин, намаляване на дроби до общ знаменател е умножението на числителя и знаменателя на тези дроби с допълнителни фактори, които в резултат ви позволяват да получавате дроби със същите знаменатели.

Общ знаменател

Определение 1

Извиква се всяко положително общо кратно на всички знаменатели на някакъв набор от дроби общ знаменател.

С други думи, общият знаменател на дадените дроби е произволен естествено число, които могат да бъдат разделени на всички знаменатели на дадените дроби.

Определението предполага безкраен набор от общи знаменатели за даден набор от дроби.

Пример 3

Намерете общите знаменатели на дроби $ \\ frac (3) (7) $ и $ \\ frac (2) (13) $.

Решение.

Тези фракции имат знаменатели съответно 7 и 13 долара. Положителните общи кратни на $ 2 $ и $ 5 $ са $ 91, 182, 273, $ 364 и т.н.

Всяко от тези числа може да се използва като общ знаменател на дроби $ \\ frac (3) (7) $ и $ \\ frac (2) (13) $.

Пример 4

Определете дали фракциите $ \\ frac (1) (2) $, $ \\ frac (16) (7) $ и $ \\ frac (11) (9) $ могат да бъдат намалени до общ знаменател $ 252 $.

Решение.

За да определите как да приведете фракцията до общия знаменател от $ 252 $, трябва да проверите дали числото $ 252 $ е общо кратно на знаменателите на $ 2, $ 7 и $ 9 $. За целта разделете числото $ 252 $ на всеки от знаменателите:

$ \\ frac (252) (2) \u003d 126, $ $ \\ frac (252) (7) \u003d 36 $, $ \\ frac (252) (9) \u003d 28 $.

Числото $ 252 $ се дели на всички знаменатели, т.е. е често кратно на $ 2, $ 7 и $ 9 $. Следователно дадените дроби $ \\ frac (1) (2) $, $ \\ frac (16) (7) $ и $ \\ frac (11) (9) $ могат да бъдат намалени до общ знаменател от $ 252 $.

Отговор: можете.

Най-малко общ знаменател

Определение 2

Сред всички общи знаменатели на дадените дроби може да се разграничи най-малкото естествено число, което се нарича най-нисък общ знаменател.

Защото LCM - най-малкият положителен общ делител на даден набор от числа, тогава LCM на знаменателите на дадените дроби е най-ниският общ знаменател на тези дроби.

Следователно, за да намерите най-ниския общ знаменател на дроби, трябва да намерите LCM на знаменателите на тези дроби.

Пример 5

Дадени са фракциите $ \\ frac (4) (15) $ и $ \\ frac (37) (18) $. Намерете техния най-нисък общ знаменател.

Решение.

Знаменателите на тези дроби са $ 15 и $ 18. Намерете най-малко общия знаменател като LCM на числата $ 15 $ и $ 18 $. За това използваме разлагането на числата в главни фактори:

$ 15 \u003d 3 \\ cdot 5 $, $ 18 \u003d 2 \\ cdot 3 \\ cdot 3 $

$ LCM (15, 18) \u003d 2 \\ cdot 3 \\ cdot 3 \\ cdot 5 \u003d 90 $.

Отговор: $ 90 $.

Правилото за намаляване на дроби до най-ниския общ знаменател

Най-често при решаване на задачи по алгебра, геометрия, физика и др. обичайно е обикновените дроби да се свеждат до най-ниския общ знаменател, а не до някакъв общ знаменател.

Алгоритъм:

1. Намерете най-ниския общ знаменател, като използвате LCM на знаменателите на дадените дроби.
2. 2. Изчислете допълнителен коефициент за дадените дроби. За целта намереният най-нисък общ знаменател трябва да бъде разделен на знаменателя на всяка фракция. Полученото число ще бъде допълнителен фактор на тази дроб.
3. Умножете числителя и знаменателя на всяка фракция по допълнителния намерен коефициент.

Пример 6

Намерете най-малко общия знаменател на фракциите $ \\ frac (4) (16) $ и $ \\ frac (3) (22) $ и намалете и двете фракции до него.

Решение.

Нека използваме алгоритъма за намаляване на дроби до най-ниския общ знаменател.

Изчислете най-малкото често кратно на $ 16 $ и $ 22 $:

Нека разделим знаменателите на прости фактори: $ 16 \u003d 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 $, $ 22 \u003d 2 \\ cdot 11 $.

$ LCM (16, 22) \u003d 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 11 \u003d 176 $.

Нека изчислим допълнителни коефициенти за всяка фракция:

$ 176 \\ div 16 \u003d 11 $ - за дроба $ \\ frac (4) (16) $;

$ 176 \\ div 22 \u003d 8 $ - за дроба $ \\ frac (3) (22) $.

Умножете числителите и знаменателите на фракциите $ \\ frac (4) (16) $ и $ \\ frac (3) (22) $ съответно с допълнителни коефициенти $ 11 $ и $ 8 $. Получаваме:

$ \\ frac (4) (16) \u003d \\ frac (4 \\ cdot 11) (16 \\ cdot 11) \u003d \\ frac (44) (176) $

$ \\ frac (3) (22) \u003d \\ frac (3 \\ cdot 8) (22 \\ cdot 8) \u003d \\ frac (24) (176) $

И двете фракции са доведени до най-ниския общ знаменател от $ 176 $.

Отговор: $ \\ frac (4) (16) \u003d \\ frac (44) (176) $, $ \\ frac (3) (22) \u003d \\ frac (24) (176) $.

Понякога, за да намерите най-ниския общ знаменател, трябва да извършите поредица от времеемки изчисления, които може да не оправдаят целта за решаване на проблема. В този случай можете да използвате най-много лесен начин - редуциране на фракциите до общ знаменател, който е произведение на знаменателите на тези фракции.

За да приведете дроби до най-ниския общ знаменател, трябва: 1) да намерите най-малкото общо кратно на знаменателите на тези дроби, това ще бъде най-ниският общ знаменател. 2) намерете допълнителен коефициент за всяка от фракциите, за който новият знаменател е разделен на знаменателя на всяка фракция. 3) умножете числителя и знаменателя на всяка фракция по нейния допълнителен коефициент.

Примери. Намалете следните дроби до най-ниския общ знаменател.

Намерете най-малкото общо кратно на знаменателите: LCM (5; 4) \u003d 20, тъй като 20 е най-малкото число, което се дели и на 5, и на 4. Намерете за 1-ва дроб допълнителен коефициент 4 (20 : 5 \u003d 4). За 2-ра фракция допълнителният коефициент е 5 (20 : 4 \u003d 5). Умножаваме числителя и знаменателя на 1-ва фракция по 4, а числителя и знаменателя на 2-ра фракция по 5. Довеждаме тези дроби до най-ниския общ знаменател ( 20 ).

Най-ниският общ знаменател на тези дроби е 8, тъй като 8 се дели на 4 и само по себе си. Няма да има допълнителен коефициент към 1-ва фракция (или можем да кажем, че е равна на единица), към 2-ра фракция, допълнителният фактор е 2 (8 : 4 \u003d 2). Умножаваме числителя и знаменателя на 2-ра фракция по 2. Довели сме тези дроби до най-ниския общ знаменател ( 8 ).

Тези фракции не са несъкратими.

Намалете първата фракция с 4, а втората фракция с 2. ( вижте примери за намаляване на обикновените дроби: Карта на сайта → 5.4.2. Примери за намаляване на обикновените фракции). Намерете LCM (16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5 \u003d 80. Допълнителният коефициент за 1-ва фракция е 5 (80 : 16 \u003d 5). Допълнителният коефициент за 2-ра фракция е 4 (80 : 20 \u003d 4). Умножаваме числителя и знаменателя на 1-ва фракция по 5, а числителя и знаменателя на 2-ра фракция по 4. Намалихме тези дроби до най-ниския общ знаменател ( 80 ).

Намерете най-ниския общ знаменател на NOZ (5 ; 6 и 15) \u003d LCM (5 ; 6 и 15) \u003d 30. Допълнителният коефициент към 1-ва фракция е 6 (30 : 5 \u003d 6), допълнителният коефициент към 2-ра фракция е 5 (30 : 6 \u003d 5), допълнителният коефициент към 3-та фракция е 2 (30 : 15 \u003d 2). Умножаваме числителя и знаменателя на 1-ва фракция по 6, числителя и знаменателя на 2-ра фракция по 5, числителя и знаменателя на 3-та фракция по 2. Намалихме тези дроби до най-ниския общ знаменател ( 30 ).

Страница 1 от 1 1

В този урок ще разгледаме намаляването на фракциите до общ знаменател и ще решим проблеми по тази тема. Нека дадем определение на понятието общ знаменател и допълнителен фактор, припомнете взаимно прости числа... Нека дефинираме концепцията за най-малко общия знаменател (LCD) и решим редица проблеми, за да я намерим.

Тема: Събиране и изваждане на дроби с различни знаменатели

Урок: Преобразуване на дроби в общ знаменател

Повторение. Основното свойство на фракцията.

Ако числителят и знаменателят на дроб са умножени или разделени от едно и също естествено число, тогава ще получите еднаква дроб.

Например числителят и знаменателят на дроб може да се раздели на 2. Получаваме дроб. Тази операция се нарича намаляване на фракцията. Можете също да извършите обратната трансформация, като умножите числителя и знаменателя на фракцията по 2. В този случай те казват, че сме намалили фракцията до нов знаменател. Числото 2 се нарича допълващ фактор.

Изход.Фракция може да бъде намалена до произволен знаменател, кратен на знаменателя на дадена дроб. За да се приведе дроб към нов знаменател, неговият числител и знаменател се умножават по допълнителен коефициент.

1. Доведете фракцията до знаменателя 35.

35 е кратно на 7, тоест 35 се дели на 7 без остатък. Това означава, че тази трансформация е възможна. Нека намерим допълнителен фактор. За да направите това, разделете 35 на 7. Получаваме 5. Умножаваме числителя и знаменателя на първоначалната дроби по 5.

2. Доведете дробта до знаменателя 18.

Нека намерим допълнителен фактор. За целта разделете новия знаменател на оригиналния. Получаваме 3. Умножете числителя и знаменателя на тази фракция по 3.

3. Доведете дробта до знаменателя 60.

Разделянето на 60 на 15 ни дава допълнителен коефициент. То е 4. Умножете числителя и знаменателя по 4.

4. Доведете дробта до знаменателя 24

В прости случаи редукцията до нов знаменател се извършва в ума. Прието е да се посочи допълнителен множител извън скобата точно вдясно и над оригиналната дроб.

Фракцията може да бъде намалена до знаменател 15, а фракцията може да бъде намалена до знаменател 15. Фракциите също имат общ знаменател 15.

Общият знаменател на фракциите може да бъде всеки общ кратен на техните знаменатели. За по-голяма простота фракциите водят до най-ниския общ знаменател. Той е равен на най-малкото общо кратно на знаменателите на тези дроби.

Пример. Намалете до най-ниския общ знаменател на фракцията и.

Първо намерете най-малкото общо кратно на знаменателите на тези дроби. Това число е 12. Нека намерим допълнителен коефициент за първата и за втората фракция. За целта разделете 12 на 4 и 6. Три е допълнителен фактор за първата фракция, а две за втората. Нека намалим дроби до знаменател 12.

Докарахме фракциите до общ знаменател, тоест намерихме дроби, равни на тях, които имат един и същ знаменател.

Правило. За да приведете дробовете до най-ниския общ знаменател, трябва

Първо, намерете най-малкото общо кратно на знаменателите на тези дроби, това ще бъде най-малкият им общ знаменател;

Второ, разделете най-ниския общ знаменател на знаменателите на дадените дроби, тоест намерете допълнителен коефициент за всяка дроб.

Трето, умножете числителя и знаменателя на всяка фракция по допълнителния му коефициент.

а) Намалете фракцията и до общ знаменател.

Най-ниският общ знаменател е 12. Допълнителният коефициент за първата дроб е 4, а за втората - 3. Доведете дробта до знаменателя 24.

б) Намалете фракцията и до общ знаменател.

Най-ниският общ знаменател е 45. Разделянето на 45 на 9 на 15 дава съответно 5 и 3. Доведете дроби до знаменателя 45.

в) Намалете фракцията и до общ знаменател.

Общият знаменател е 24. Допълнителни фактори, съответно, са 2 и 3.

Понякога може да бъде трудно устно да се намери най-ниското общо кратно за знаменателите на тези дроби. Тогава общият знаменател и допълнителните фактори се намират с помощта на прости факторизации.

Доведете фракцията и до общ знаменател.

Нека разделим числата 60 и 168 на прости множители. Нека напишем разлагането на 60 и добавим липсващите фактори 2 и 7 от второто разлагане. Умножете 60 по 14, за да получите общ знаменател 840. Допълнителният коефициент за първата фракция е 14. Допълнителният коефициент за втората фракция е 5. Намалете фракциите до общ знаменател 840.

Списък на литературата

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С. и други Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Математика 6 клас. - Гимназия, 2006.

3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. Зад страниците на учебник по математика. - Просвещение, 1989.

4. Рурукин А.Н., Чайковски И.В. Задания за курса по математика 5-6 клас. - ZSH MEPhI, 2011.

5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковски К.Г. Математика 5-6. Наръчник за ученици от 6 клас на заочното училище MEPhI. - ZSH MEPhI, 2011.

6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О. и др. Математика: Учебник-събеседник за 5-6 клас от средното училище. Библиотека на учителя по математика. - Просвещение, 1989.

Можете да изтеглите книгите, изброени в раздел 1.2. от този урок.

Домашна работа

Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др. Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012. (вж. връзка 1.2)

Домашна работа: # 297, # 298, # 300.

Други задания: # 270, # 290

В този урок ще разгледаме намаляването на фракциите до общ знаменател и ще решим проблеми по тази тема. Нека дадем определение на понятието за общ знаменател и допълнителен фактор, не забравяйте за съвместните числа. Нека дефинираме концепцията за най-малко общия знаменател (LCD) и решим редица проблеми, за да я намерим.

Тема: Събиране и изваждане на дроби с различни знаменатели

Урок: Преобразуване на дроби в общ знаменател

Повторение. Основното свойство на фракцията.

Ако числителят и знаменателят на дроб са умножени или разделени от едно и също естествено число, тогава ще получите еднаква дроб.

Например числителят и знаменателят на дроб може да се раздели на 2. Получаваме дроб. Тази операция се нарича намаляване на фракцията. Можете също да извършите обратната трансформация, като умножите числителя и знаменателя на фракцията по 2. В този случай те казват, че сме намалили фракцията до нов знаменател. Числото 2 се нарича допълващ фактор.

Изход.Фракция може да бъде намалена до произволен знаменател, кратен на знаменателя на дадена дроб. За да се приведе дроб към нов знаменател, неговият числител и знаменател се умножават по допълнителен коефициент.

1. Доведете фракцията до знаменателя 35.

35 е кратно на 7, тоест 35 се дели на 7 без остатък. Това означава, че тази трансформация е възможна. Нека намерим допълнителен фактор. За да направите това, разделете 35 на 7. Получаваме 5. Умножаваме числителя и знаменателя на първоначалната дроби по 5.

2. Доведете дробта до знаменателя 18.

Нека намерим допълнителен фактор. За целта разделете новия знаменател на оригиналния. Получаваме 3. Умножете числителя и знаменателя на тази фракция по 3.

3. Доведете дробта до знаменателя 60.

Разделянето на 60 на 15 ни дава допълнителен коефициент. То е 4. Умножете числителя и знаменателя по 4.

4. Доведете дробта до знаменателя 24

В прости случаи редукцията до нов знаменател се извършва в ума. Прието е да се посочи допълнителен множител извън скобата точно вдясно и над оригиналната дроб.

Фракцията може да бъде намалена до знаменател 15, а фракцията може да бъде намалена до знаменател 15. Фракциите също имат общ знаменател 15.

Общият знаменател на фракциите може да бъде всеки общ кратен на техните знаменатели. За по-голяма простота фракциите водят до най-ниския общ знаменател. Той е равен на най-малкото общо кратно на знаменателите на тези дроби.

Пример. Намалете до най-ниския общ знаменател на фракцията и.

Първо намерете най-малкото общо кратно на знаменателите на тези дроби. Това число е 12. Нека намерим допълнителен коефициент за първата и за втората фракция. За целта разделете 12 на 4 и 6. Три е допълнителен фактор за първата фракция, а две за втората. Нека намалим дроби до знаменател 12.

Докарахме фракциите до общ знаменател, тоест намерихме дроби, равни на тях, които имат един и същ знаменател.

Правило. За да приведете дробовете до най-ниския общ знаменател, трябва

Първо, намерете най-малкото общо кратно на знаменателите на тези дроби, това ще бъде най-малкият им общ знаменател;

Второ, разделете най-ниския общ знаменател на знаменателите на дадените дроби, тоест намерете допълнителен коефициент за всяка дроб.

Трето, умножете числителя и знаменателя на всяка фракция по допълнителния му коефициент.

а) Намалете фракцията и до общ знаменател.

Най-ниският общ знаменател е 12. Допълнителният коефициент за първата дроб е 4, а за втората - 3. Доведете дробта до знаменателя 24.

б) Намалете фракцията и до общ знаменател.

Най-ниският общ знаменател е 45. Разделянето на 45 на 9 на 15 дава съответно 5 и 3. Доведете дроби до знаменателя 45.

в) Намалете фракцията и до общ знаменател.

Общият знаменател е 24. Допълнителни фактори, съответно, са 2 и 3.

Понякога може да бъде трудно устно да се намери най-ниското общо кратно за знаменателите на тези дроби. Тогава общият знаменател и допълнителните фактори се намират с помощта на прости факторизации.

Доведете фракцията и до общ знаменател.

Нека разделим числата 60 и 168 на прости множители. Нека напишем разлагането на 60 и добавим липсващите фактори 2 и 7 от второто разлагане. Умножете 60 по 14, за да получите общ знаменател 840. Допълнителният коефициент за първата фракция е 14. Допълнителният коефициент за втората фракция е 5. Намалете фракциите до общ знаменател 840.

Списък на литературата

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С. и други Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Математика 6 клас. - Гимназия, 2006.

3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. Зад страниците на учебник по математика. - Просвещение, 1989.

4. Рурукин А.Н., Чайковски И.В. Задания за курса по математика 5-6 клас. - ZSH MEPhI, 2011.

5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковски К.Г. Математика 5-6. Наръчник за ученици от 6 клас на заочното училище MEPhI. - ZSH MEPhI, 2011.

6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О. и др. Математика: Учебник-събеседник за 5-6 клас от средното училище. Библиотека на учителя по математика. - Просвещение, 1989.

Можете да изтеглите книгите, изброени в раздел 1.2. от този урок.

Домашна работа

Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др. Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012. (вж. връзка 1.2)

Домашна работа: # 297, # 298, # 300.

Други задания: # 270, # 290