обикновени дробни числаза първи път те срещат ученици в 5 клас и ги придружават през целия им живот, тъй като в ежедневието често се изисква да се разглежда или използва обект не изцяло, а на отделни парчета. Началото на изучаването на тази тема е акциите. Акциите са равни части, на които е разделен този или онзи предмет. В крайна сметка, не винаги е възможно да се изрази например дължината или цената на дадена стока като цяло число, трябва да се вземат предвид части или части от някаква мярка. Образувана от глагола "разделя" - разделяне на части и имаща арабски корени, през VIII век самата дума "дроб" възниква на руски език.

Дробните изрази отдавна се считат за най-трудната област на математиката. През 17 век, когато се появяват първите учебници по математика, те се наричат ​​„счупени числа“, което е много трудно за показване в разбирането на хората.

Модерен външен видпрости дробни остатъци, части от които са разделени с хоризонтална линия, за първи път са популяризирани от Фибоначи - Леонардо от Пиза. Неговите творби са датирани през 1202 г. Но целта на тази статия е просто и ясно да обясни на читателя как става умножението. смесени фракциис различни знаменатели.

Умножение на дроби с различни знаменатели

Първоначално си струва да се определи разновидности на фракции:

• правилно;
• погрешно;
• смесени.

След това трябва да запомните как се умножава дробни числа с същите знаменатели... Самото правило на този процес е лесно да се формулира независимо: резултатът от умножението прости дробисъс същите знаменатели е дробен израз, чийто числител е произведение на числителите, а знаменателят е произведение на знаменателите на тези дроби. Тоест всъщност новият знаменател е квадратът на един от съществуващите.

При умножаване прости дроби с различни знаменателиза два или повече фактора правилото не се променя:

а /б * ° С /д = a * c / б * г.

Единствената разлика е, че полученото число под дробната линия ще бъде произведението на различни числа и, естествено, квадратът на едно числов изразневъзможно е да го назовем.

Струва си да разгледаме умножението на дроби с различни знаменатели с примери:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Примерите използват начини за намаляване на дробни изрази. Можете да отмените само числата на числителя с числата на знаменателя; съседни фактори над или под дробната линия не могат да бъдат отменени.

Наред с простите дробни числа съществува концепцията за смесени дроби. Смесено число се състои от цяло число и дробна част, тоест това е сумата от тези числа:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Как работи умножението?

Предлагат се няколко примера за разглеждане.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

Примерът използва умножението на число по обикновена дробна част, можете да запишете правилото за това действие по формулата:

а * б/° С = a * b /° С.

Всъщност такъв продукт е сумата от същите дробни остатъци, а броят на термините показва това естествено число. Специален случай:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Има и друг вариант за решаване на умножението на число с дробен остатък. Просто трябва да разделите знаменателя на това число:

д * д/е = д/е: г.

Полезно е да се използва тази техника, когато знаменателят е разделен на естествено число без остатък или, както се казва, напълно.

Преобразувайте смесени числа в неправилни дроби и получете продукта по описания по-горе начин:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Този пример включва начин за представяне на смесена фракция в неправилна, може да бъде представен и под формата на обща формула:

а б° С = a * b + c / c, където знаменателят на новата дроб се образува чрез умножение на цялата част със знаменателя и добавянето му към числителя на първоначалния дробен остатък, а знаменателят остава същият.

Този процес работи в обратна страна... За да изберете цялата част и дробната част, трябва да разделите числителя грешна дробна знаменателя му "ъгъл".

Умножение на неправилни дробипроизведени по конвенционален начин. Когато записът минава под една дробна линия, при необходимост е необходимо да се намалят дробите, за да се намалят числата по този метод и е по-лесно да се изчисли резултатът.

В интернет има много помощници за решаване дори на сложни математически задачи различни вариациипрограми. Достатъчно количествотакива услуги предлагат своята помощ при броене на умножение на дроби с различни числав знаменатели - така наречените онлайн калкулатори за изчисляване на дроби. Те са в състояние не само да умножават, но и да извършват всички други прости аритметични операции с обикновени дроби и смесени числа. Не е трудно да се работи с него, съответните полета се попълват на страницата на сайта, знакът е избран математическо действиеи се натиска "изчислете". Програмата изчислява автоматично.

Темата за аритметичните операции с дробни числа е актуална в цялото обучение на средните и старшите ученици. В гимназията те вече не се считат за най-простите типове, но целочислени дробни изрази, но знанията за правилата за преобразуване и изчисления, получени по-рано, се прилагат в оригиналния си вид. Добре овладените основни знания дават пълна увереност в добро решениеповечето трудни задачи.

В заключение има смисъл да цитираме думите на Лев Николаевич Толстой, който пише: „Човекът е дроб. Не е във властта на човека да увеличи своя числител - своето достойнство, но всеки може да намали своя знаменател - мнението си за себе си и чрез това намаляване може да се доближи до своето съвършенство."

Сега, когато се научихме как да събираме и умножаваме отделни дроби, можем да разгледаме повече сложни структури... Например, какво ще стане, ако една и съща задача съдържа събиране, изваждане и умножение на дроби?

На първо място, трябва да преведете всички дроби в неправилни. След това последователно извършваме необходимите действия - в същия ред, както при обикновените числа. а именно:

1. Първо се извършва възлагането в степен - отървете се от всички изрази, съдържащи индикатори;
2. След това - деление и умножение;
3. Последната стъпка е събиране и изваждане.

Разбира се, ако в израза има скоби, редът на действията се променя - всичко в скобите трябва да се преброи първо. И не забравяйте за неправилните дроби: трябва да изберете цялата част само когато всички други действия вече са завършени.

Нека преведем всички дроби от първия израз в неправилни и след това изпълним следните действия:

Сега нека намерим стойността на втория израз. Тук дроби с цяла частне, но има скоби, така че първо правим събиране и едва след това деление. Забележете, че 14 = 7 2. Тогава:

И накрая, разгледайте третия пример. Тук има скоби и степен - по-добре е да ги преброите отделно. Като се има предвид, че 9 = 3 3, имаме:

Обърнете внимание на последния пример. За да повдигнете дроб на степен, трябва отделно да повишите числителя на тази степен и отделно - знаменателя.

Можете да решите по различен начин. Ако си спомним дефиницията на степента, проблемът ще бъде сведен до обичайното умножение на дроби:

Многоетажни фракции

Досега разглеждахме само "чисти" дроби, когато числителят и знаменателят са обикновени числа... Това е напълно в съответствие с определението за числова дроб, дадено в първия урок.

Но какво ще стане, ако в числителя или знаменателя се постави по-сложен обект? Например друга числова дроб? Такива конструкции се срещат доста често, особено при работа с дълги изрази. Ето няколко примера:

Има само едно правило за работа с многоетажни фракции: трябва незабавно да се отървете от тях. Премахването на "допълнителни" етажи е доста просто, ако си спомняте, че дробната лента означава стандартната операция на разделяне. Следователно всяка дроб може да бъде пренаписана, както следва:

Използвайки този факт и спазвайки реда на действията, можем лесно да намалим всяка многостепенна дроб до обикновена. Разгледайте примери:

Задача. Преобразувайте многоетажни дроби в обикновени:

Във всеки случай пренаписваме главната дроб, като заменяме разделителната линия със знак за деление. Също така не забравяйте, че всяко цяло число може да бъде представено като дроб със знаменател 1. Тоест, 12 = 12/1; 3 = 3/1. Получаваме:

В последния пример дробите бяха отменени преди окончателното умножение.

Спецификата на работата с многостепенни фракции

Има една тънкост в многоетажните дроби, която винаги трябва да се помни, в противен случай можете да получите грешен отговор, дори ако всички изчисления са били правилни. Погледни:

1. Числителят съдържа едно число 7, а знаменателят съдържа дроб 12/5;
2. Числителят съдържа дроб 7/12, а знаменателят е единственото число 5.

И така, за един запис имаме два напълно различни интерпретации... Ако преброите, отговорите също ще бъдат различни:

За да четете записа винаги недвусмислено, използвайте просто правило: разделителната линия на основната фракция трябва да е по-дълга от вложената линия. Желателно е - няколко пъти.

Ако следвате това правило, горните дроби трябва да бъдат написани, както следва:

Да, може да е грозно и да заема твърде много място. Но ще преброите правилно. И накрая, няколко примера, където наистина възникват многоетажни фракции:

Задача. Намерете стойностите на изразите:

И така, работим с първия пример. Нека преобразуваме всички дроби в неправилни и след това извършваме операции за събиране и деление:

Нека направим същото с втория пример. Нека преведем всички дроби в неправилни и изпълним необходимите операции. За да не уморя читателя, ще пропусна някои от очевидните изчисления. Ние имаме:

Поради факта, че в числителя и знаменателя на главните дроби има суми, правилото за запис на многоетажни дроби се спазва автоматично. Също така, в последния пример умишлено оставихме 46/1 в дробна форма, за да направим деление.

Също така имайте предвид, че и в двата примера дробната лента всъщност замества скобите: първо намерихме сумата и едва след това - частното.

Някои биха възразили, че преходът към неправилни дроби във втория пример е очевидно излишен. Може би е така. Но с това се застраховаме от грешки, защото следващия път примерът може да се окаже много по-сложен. Изберете за себе си кое е по-важно: бързина или надеждност.

Рано или късно всички деца в училище започват да учат дроби: тяхното събиране, деление, умножение и всички възможни действия, които могат да се извършват само с дроби. За да осигурят подходяща помощ на детето, самите родители не трябва да забравят как целите са разделени на дроби, в противен случай няма да можете да му помогнете с нищо, а само ще го объркате. Ако трябва да запомните това действие, но не можете да съберете цялата информация в главата си в едно правило, тогава тази статия ще ви помогне: ще научите как да разделите число на дроб и ще видите ясни примери.

Как да разделим число на дроб

Напишете своя пример върху чернова, за да можете да си правите бележки и маркировки. Не забравяйте, че между клетките се записва цяло число, точно в тяхното пресичане, и дробни числа - всяко в собствената си клетка.

• V насамтрябва да обърнете дроба с главата надолу, тоест да напишете знаменателя в числителя и числителя в знаменателя.
• Знакът за деление трябва да се промени на умножение.
• Сега просто трябва да извършите умножението според вече научените правила: числителят се умножава по цяло число, а знаменателят не се докосва.

Разбира се, в резултат на такова действие ще получите много голям бройв числителя. Невъзможно е да оставите дроба в това състояние - учителят просто няма да приеме този отговор. Намалете дроба, като разделите числителя на знаменателя. Цялото число, което ще се получи в резултат, запишете вляво от дроба в средата на клетките, а остатъкът ще бъде новият числител. Знаменателят остава непроменен.

Този алгоритъм е доста прост, дори за дете. След като го завърши пет до шест пъти, детето ще запомни реда на действието и ще може да го приложи към всякакви дроби.

Как да разделим число на десетичен знак

Има и други видове дроби - десетични. Разделянето на тях става по съвсем различен алгоритъм. Ако попаднете на такъв пример, следвайте инструкциите:

• Първо, обърнете двете числа в десетични знаци... Лесно е да направите това: вашият делител вече е представен като дроб и вие разделяте делимото естествено число със запетая, като получавате десетична дроб. Тоест, ако дивидентът е 5, получавате 5.0. Трябва да разделите числото с толкова цифри, колкото струва след запетаята и делителя.
• След това трябва да направите и двете десетични дроби естествени числа. В началото може да ви се стори малко объркващо, но това е най-много бърз начинразделение, което ще ви отнеме секунди след няколко тренировки. Дробът 5.0 става числото 50, дробът 6.23 става 623.
• Разделям. Ако числата се окажат големи или ще се случи деление с остатък, изпълнете го в колона. Така че ще видите ясно всички действия. този пример... Не е необходимо да поставяте запетая нарочно, тъй като тя самата ще се появи при дълго деление.

Този тип деление първоначално изглежда твърде объркващо, тъй като трябва да превърнете делителя и делителя във дроб, а след това отново в естествени числа. Но след кратка тренировка веднага ще започнете да виждате онези числа, които просто трябва да разделите едно на друго.

Не забравяйте, че способността за правилно разделяне на дроби и цели числа от тях може да ви бъде полезна повече от веднъж в живота, следователно детето трябва да знае тези правила и прости принципи в идеалния случай, така че в по-големите класове те да не се превърнат в спънка поради които детето не може да решава по-сложни задачи.

Всички действия могат да се извършват с дроби, включително деление. Тази статия показва разделението обикновени дроби... Ще бъдат дадени определения, ще бъдат разгледани примери. Нека разгледаме по-отблизо разделянето на дроби на естествени числа и обратно. Ще бъде разгледано разделянето на обикновена дроб на смесено число.

Деление на обикновени дроби

Делението е обратното на умножението. При разделяне неизвестният фактор е на известна работаи друг фактор, при който даденото му значение се запазва с обикновени дроби.

Ако трябва да разделите обикновена дроб a b на c d, тогава за да определите такова число, трябва да умножите по делителя c d, това ще завърши с дивидента a b. Вземете число и го напишете a b d c, където d c е обратното на c d число. Равенствата могат да бъдат записани с помощта на свойствата на умножението, а именно: a b d c c d = a b d c c d = a b 1 = a b, където изразът a b d c е частното от деленето на a b на c d.

От това получаваме и формулираме правилото за разделяне на обикновени дроби:

Определение 1

За да разделите обикновена дроб a b на c d, трябва да умножите дивидента по реципрочната стойност на делителя.

Нека запишем правилото като израз: a b: c d = a b d c

Правилата за деление се свеждат до умножение. За да се придържате към него, трябва да сте добре запознати с извършването на умножение на обикновени дроби.

Нека да преминем към разглеждането на разделянето на обикновени дроби.

Пример 1

Разделете 9 7 на 5 3. Запишете резултата като дроб.

Решение

Числото 5 3 е обратното на 3 5. Трябва да се използва правилото за разделяне на обикновени дроби. Записваме този израз, както следва: 9 7: 5 3 = 9 7 3 5 = 9 3 7 5 = 27 35.

Отговор: 9 7: 5 3 = 27 35 .

При намаляване на дроби трябва да се избере цялата част, ако числителят е по-голям от знаменателя.

Пример 2

Разделете 8 15: 24 65. Запишете отговора като дроб.

Решение

За да решите, трябва да преминете от деление към умножение. Нека го запишем в следния вид: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

Необходимо е да се направи намаление и това се прави по следния начин: 8 65 15 24 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

Изберете цялата част и вземете 13 9 = 1 4 9.

Отговор: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .

Деление на извънредна дроб на естествено число

Използваме правилото за разделяне на дроб на естествено число: за да разделите a b на естествено число n, трябва само да умножите знаменателя по n. От тук получаваме израза: a b: n = a b · n.

Правилото за деление е следствие от правилото за умножение. Следователно представянето на естествено число като дроб ще даде равенство от този тип: a b: n = a b: n 1 = a b · 1 n = a b · n.

Помислете за това деление на дроб на число.

Пример 3

Разделете дроба 16 45 на числото 12.

Решение

Нека приложим правилото за деление на дроб на число. Получаваме израз от вида 16 45: 12 = 16 45 12.

Да намалим фракцията. Получаваме 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 3 5 = 4 135.

Отговор: 16 45: 12 = 4 135 .

Деление на естествено число на обикновена дроб

Правилото за разделяне е подобно Оправилото за разделяне на естествено число на обикновена дроб: за да се раздели естествено число n на обикновено число a b, е необходимо числото n да се умножи по обратното на дроба a b.

Въз основа на правилото имаме n: a b = n b a и благодарение на правилото за умножение на естествено число по обикновена дроб, получаваме нашия израз във формата n: a b = n b a. Необходимо е да се разгледа това разделение чрез пример.

Пример 4

Разделете 25 на 15 28.

Решение

Трябва да преминем от деление към умножение. Пишем под формата на израз 25: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15. Намалете дроба, за да получите резултата като дроб 46 2 3.

Отговор: 25: 15 28 = 46 2 3 .

Деление на обикновена дроб на смесено число

Когато разделяте обикновена дроб на смесено число, можете лесно да разделите обикновени дроби. Необходимо е смесеното число да се преведе в неправилна дроб.

Пример 5

Разделете 35 16 на 3 1 8.

Решение

Тъй като 3 1 8 е смесено число, представете го като неправилна дроб. Тогава получаваме 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8. Сега нека разделим дробите. Получаваме 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10

Отговор: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .

Делението на смесено число се извършва по същия начин, както при обикновените числа.

Ако забележите грешка в текста, моля, изберете я и натиснете Ctrl + Enter