Една от най-важните науки, използването на които могат да се видят в такива дисциплини като химията, физиката и дори биологията е математиката. Изследването на тази наука ви позволява да развиете някои умствени качества, да се подобрите и способността да се концентрирате. Един от онези, които заслужават отделно внимание в курса "Математика" - добавяне и изваждане на фракции. Много студенти имат нейното проучване причинява трудности. Може би нашата статия ще помогне за по-добро разбиране на тази тема.

Как да изваждате фракциите, чиито знаменатели са едни и същи

Фракциите са същите номера, с които можете да произвеждате различни действия. Разликата им от цели числа лежи в присъствието на знаменателя. Ето защо при извършване на действия с фракции трябва да бъдат проучени някои от техните характеристики и правила. Най-простият случай е изваждането на обикновените фракции, чиито знаменатели са представени като един и същ номер. Извършвайте това действие, няма да бъде много трудно, ако знаете просто правило:

• За да се направи втората фракция от една фракция, е необходимо от числител на намалена фракция да се направи цифра на извадката фракция. Този номер е записан на числатора на разликата, а знаменателят е оставен същото: k / m - b / m \u003d (k-b) / m.

Примери за изваждане на фракции, чиито знаменатели са еднакви

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

От числатора на намалената фракция "7", ние приемаме числител на изваждащата се фракция "3", получаваме "4". Записваме този номер в номератора на отговора и в знаменателя поставяме същия брой като в знаменателите на първата и втората фракция - "19".

Картината по-долу показва още няколко подобни примера.

Помислете за по-сложен пример, където фракциите се изваждат със същите знаменатели:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

От цифроратора на намалената фракция "29", като се превърне в завой на всички следващи фракции - "3", "8", "2", "7". В резултат на това получаваме резултата "9", който се записва в номератора на отговор, а в знаменателя е записан на номера, който е в знаменателите на всички тези фракции, "47".

Добавяне на фракции, имащи същия знаменател

Добавянето и изваждането на обикновените фракции се извършват в същия принцип.

• За да се сгънат фракциите, съответните знаменатели са еднакви, е необходимо да се сгънат цифрите. Полученият номер е цифроратор на количеството, а знаменателят ще остане същото: k / m + b / m \u003d (k + b) / m.

Помислете как изглежда като пример:

1/4 + 2/4 = 3/4.

Към числатора на първата терминност - "1" - добавете числителя на втория мандат на фракцията - "2". Резултатът е "3" - пишете в числатора на сумата, а знаменателят напуска същото нещо, което присъства в измамите, "4".

Фракции с различни знаменатели и тяхното изваждане

Действие с фракции, които имат един и същ знаменател, вече сме разглеждали. Както можете да видите, знаете прости правила, решавате такива примери са доста лесни. Но какво, ако е необходимо да се направи действие с фракции, които имат различни знаменатели? Много ученици от средни училища идват на трудността пред примерите. Но тук, ако знаете принципа на решението, примерите вече няма да представят трудности за вас. Тук има и правило, без което решението на такива фракции е просто невъзможно.

За изваждане на фракции с различни знаменатели е необходимо да ги приведе в същия най-малък знаменател.



За това как да го направите, ще говорим повече.

Имот на Фрач

За да се донесат няколко фракции на същия знаменател, е необходимо да се използва основното свойство на фракцията в решаването: след разделяне или умножаване на числителя и знаменателя до същия номер, той оказва фракция, равна на това.

Така например, фракцията 2/3 може да има такива знаменатели като "6", "9", "12" и т.н., т.е. може да има появата на произволен брой "3". След цифровия и знаменател ще се размножим на "2", тя се оказва фракция 4/6. След числатора и знаменателя на оригиналната фракция ще се размножим на "3", получаваме 6/9 и ако произведете подобно действие с номер 4, получаваме 8/12. Едно равенство може да бъде написано по следния начин:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Как да донесе няколко фракции към същия знаменател

Помислете как да донесете няколко фракции на същия знаменател. Например, вземете фракциите, показани на снимката по-долу. Първо трябва да определите кой номер може да стане знаменател за всички. Да улеснят съществуващите знаменатели върху мултипликатори.

Знакчателят на фракцията 1/2 и фракцията 2/3 е невъзможно да се разложи. Гоновете 7/9 има два фактора 7/9 \u003d 7 / (3 х 3), знаменател на фракция 5/6 \u003d 5 / (2 х 3). Сега е необходимо да се определи какви множители ще бъдат най-малките за всички тези четири фракции. Тъй като в първата фракция в знаменателя има число "2", това означава, че трябва да присъства във всички знаменатели, има две войски в частта 7/9, това означава, че те също трябва да присъстват в знаменателя. Като се има предвид гореизложеното, ние определяме, че знаменателят се състои от три фактора: 3, 2, 3 и равни на 3 x 2 x 3 \u003d 18.



Помислете за първата фракция - 1/2. В своя знаменател има "2", но няма нито една фигура "3" и трябва да бъде две. За да направите това, ние умножаваме знаменателя на две три, но според фракционния имот, ние и числителят трябва да се размножават на първите три:
1/2 \u003d (1 х 3 х 3) / (2 х 3 х 3) \u003d 9/18.

По същия начин извършвате действие с останалите фракции.

• 2/3 - в знаменателя липсва една тройна и една двойка:
  2/3 \u003d (2 х 3 х 2) / (3 х 3 х 2) \u003d 12/18.
• 7/9 или 7 / (3 х 3) - в знаменателя няма достатъчно две:
  7/9 \u003d (7 х 2) / (9 х 2) \u003d 14/18.
• 5/6 или 5 / (2 х 3) - Тройката липсва в знаменателя:
  5/6 \u003d (5 х 3) / (6 х 3) \u003d 15/18.

Всички заедно изглежда така:



Как да извадите и сгънете фракциите с различни знаменатели

Както бе споменато по-горе, за да се направи добавяне или изваждане на фракции с различни знаменатели, те трябва да бъдат доведени до един знаменател и след това да използват правилата за изваждане на фракции със същия знаменател, който вече е бил казано.

Помислете за това с пример: 4/18 - 3/15.

Ние намираме множество номера 18 и 15:

• Числото 18 се състои от 3 x 2 x 3.
• Числото 15 се състои от 5 х 3.
• Общата многократна ще се състои от следните множители от 5 x 3 x 3 x 2 \u003d 90.

След намерението на знаменателя, е необходимо да се изчисли мултипликатът, който ще бъде отличен за всяка фракция, т.е. броя, за който ще е необходимо да се умножи не само знаменател, но и числителя. За това, номерът, който открихме (обща за многократно), разделяме на знаменателя на фракцията, който трябва да определи допълнителни фактори.

• 90, разделени на 15. Полученият номер "6" ще бъде мултипликатор за 3/15.
• 90. Полученият номер "5" ще бъде множител за 4/18.

Следващият етап от нашето решение е да донесете всяка фракция на знаменателя "90".

Как е направено, ние вече говорихме. Помислете как е написан в примера:

(4 х 5) / (18 х 5) - (3 х 6) / (15 х 6) \u003d 20/90 - 18/90 \u003d 2/90 \u003d 1/45.

Ако фракцията с малки числа, можете да определите общия знаменател, както в примера, показан на картинката по-долу.



По същия начин и с различни знаменатели.

Изваждане и получаване на цели части

Изваждане на фракции и тяхното допълнение, ние вече сме разбрали подробно. Но как да се приспадне, ако Фрач има цяла част? Отново използваме множество правила:

• Всички фракции имат цяла част, превеждат се в погрешно. Говорейки с прости думи, премахнете цялата част. За тази цел броят на цялата част се умножава по стрелец на фракцията, полученият продукт се добавя към числителя. Броят, който ще се случи, след като тези действия е грешен брояч. Знаменателят остава непроменен.
• Ако фракциите имат различни знаменатели, те трябва да ги водят в същото.
• Защитава или изважда със същите знаменатели.
• При получаване на неправилна фракция разпределя цялата част.



Има различен начин, с който можете да правите допълнение и изваждане на фракции с цели части. За тази цел се правят отделно действия с цяло числа и отделно действия с фракции и резултатите са написани заедно.



Примерът по-горе се състои от фракции, които имат един и същ знаменател. В случая, когато знаменателите са различни, те трябва да бъдат дадени на една и съща, и след това да извършват действия, както е показано от примера.

Изваждане на фракции от цяло число

Друг от разнообразието на действие с фракции е случаят, когато фракцията трябва да бъде отнета от пръв поглед, такава пример изглежда трудно да се реши. Въпреки това, всичко е съвсем просто тук. За да го решите, е необходимо да се преведе цяло число в фракцията и с такъв знаменател, който се предлага в извадката фракция. След това ние произвеждаме изваждане, подобно на изваждането със същите знаменатели. Това изглежда така:

7 - 4/9 \u003d (7 х 9) / 9 - 4/9 \u003d 53/9 - 4/9 \u003d 49/9.

Извеждането на фракции (степен 6), дадено в тази статия, е основата за решаване на по-сложни примери, които се разглеждат в следващите класове. Впоследствие знанията за тази тема се използват за решаване на изпълнени функции и т.н. Ето защо е много важно да се разбере и разберат действията с разглежданите по-горе фракции.

В този урок ще бъдат разгледани добавянето и изваждането на алгебрични фракции с различни знаменатели. Вече знаем как да сгъваме и изваждат обикновени фракции с различни знаменатели. За това фракциите трябва да бъдат доведени до общ знаменател. Оказва се, че алгебричните фракции се подчиняват на същите правила. В същото време вече знаем как да въведем алгебрични фракции към общия знаменател. Добавянето и изваждането на фракции с различни знаменатели е една от най-важните и сложни теми в хода на степен 8. В същото време тази тема ще се срещне в много теми на алгебрата, която ще учиш в бъдеще. В рамките на урока ще проучим правилата за добавяне и изваждане на алгебрични фракции с различни знаменатели и ще анализираме редица типични примери.

Разгледайте най-простия пример за обикновените фракции.

Пример 1.Сгънете фракциите :.

Решение:

Припомнете правилото за вграждане на намири. За да започнем, фракцията трябва да бъде доведена до общ знаменател. В ролята на общ знаменател за обикновените фракции стоят най-малката обща болка (NOC) доходни знаменатели.

Дефиниция

Най-малкото естествено число, което е разделено едновременно в цифри и.

За да се намери НОК, е необходимо да се разлагат знаменателите за прости фактори и след това да изберат всички прости фактори, включени в разлагането на двата знаменатели.

Шпакловка . Тогава в номера на НОК трябва да включват два двойки и две три :.

След намирането на общ знаменател, е необходимо всеки от фрите да намери допълнителен мултипликатор (в действителност, за да се разделят общия знаменател на знаменателя на съответната фракция).

След това всяка фракция се умножава по изборния фактор. Фракциите се получават със същите знаменатели, сгъват и изваждат, които научихме на последните уроци.

Получаваме: .

Отговор:.

Сега разглеждаме добавянето на алгебрични фракции с различни знаменатели. Първо, помислете за фракциите, чиито знаменатели са числа.

Пример 2.Сгънете фракциите :.

Решение:

Алгоритъмът на разтвора е абсолютно подобен на предишния пример. Лесно изберете общ знаменател на знаменател: и допълнителни грешки за всеки от тях.

.

Отговор:.

Така, формулират алгоритъм за добавяне и изваждане на алгебрични фракции с различни знаменатели:

1. Намерете най-малките общи знаменателни фракции.

2. Намерете допълнителни грешки за всяка от фракциите (споделяне на общ знаменател към знаменателя на тази фракция).

3. Начертайте номерата на съответните допълнителни грешки.

4. Сгънете или извадете фракция, използвайки правилата за добавяне и изваждане на фракции със същите знаменатели.

Сега разглеждаме пример с фракции, в знаменателя, на който има азбучни изрази.

Пример 3.Сгънете фракциите :.

Решение:

Тъй като азбучните изрази в двата знаменателя са еднакви, тогава трябва да намерите общ знаменател за числа. Окончателният общ знаменател ще разгледа :. Така решението на този пример има формата :.

Отговор:.

Пример 4.Извадни фракции :.

Решение:

Ако не успеете да "грабнете" по време на избора на общ знаменател (невъзможно е да се разграничи или да се използва формулите на съкратено умножение), след това като общ знаменател, трябва да вземете продукта на знаменателите на двете фракции.

Отговор:.

Като цяло, когато решават такива примери, най-трудната задача е да се намери общ знаменател.

Помислете за по-сложен пример.

Пример 5.Опростете :.

Решение:

Когато намирането на общ знаменател, първо трябва да се опитате да разграждате знаменателите на първоначалните фракции за мултипликатори (за да се опростят общия знаменател).

В такъв случай:

Тогава е лесно да се дефинира общ знаменател: .

Ние определяме допълнителни фактори и решаваме този пример:

Отговор:.

Сега закрепете правилата за добавяне и изваждане на фракции с различни знаменатели.

Пример 6.Опростете :.

Решение:

Отговор:.

Пример 7.Опростете :.

Решение:

.

Отговор:.

Помислете сега примерът, в който няма две, а три фракции (в края на краищата, правилата за добавяне и изваждане за повече фракции остават същите).

Пример 8.Опростете :.

Добавяне и изваждане на фракции със същите знаменатели
Добавяне и изваждане на фракции с различни знаменатели
Концепция за NOK.
Привеждане на фракции на един знаменател
Как да сгънете цяло число и фракция

1 добавяне и изваждане на фракции със същите знаменатели

За да сгънете фракциите със същите знаменатели, е необходимо да се сгъват техните цифри, а знаменателят остави същото, например:

За да извадите фракциите със същите знаменатели, е необходимо от числителя на първата фракция да се приспадне числителят на втората фракция и знаменателят напуска същото, например:

За да се сгънете смесените фракции, е необходимо отделно да добавите техните цели части и след това сгънете техните фракционни части и да запишете резултата смесена фракция,

Ако фракцията от частични части се оказа неправилна фракция, отделена от нея цялата част и я добавя към цялата част, например:

2 Добавяне и изваждане на фракции с различни знаменатели

За да сгънете или извадете фракции с различни знаменатели, първо трябва да ги доведете до един знаменател и след това да действате, както е посочено в началото на тази статия. Общият знаменател на няколко фракции е НОК (най-малкия общ). За числатора на всяка фракция има допълнителни фактори, като се разделят NOC към знаменателя на тази фракция. Ще разгледаме примера по-късно, след като го разберете какъв вид nok.

3 най-малкото общо множествено (NOK)

Най-малкото общо множествено множество от две номера (NOC) е най-малкото естествено число, което е разделено на двата от тези номера без остатък. Понякога NOK може да бъде избран перорално, но по-често, особено когато работи с голям брой, е необходимо да се намери в писмена форма NOC, като се използва следният алгоритъм:

За да намерите номера на няколко номера, трябва:

1. Разградете тези номера за прости фактори
2. Вземете най-голямото разлагане и напишете тези номера под формата на работа
3. Да се \u200b\u200bподчертае в други разширения на номера, който не е намерен в най-голямото разлагане (или има по-малко време в него) и ги добавете към работата.
4. Умножете всички числа в работата, това ще бъде NOC.

Например, ние откриваме NOC номера 28 и 21:

4 Обмен на фракции до един знаменател

Нека да се върнем към добавянето на фракции с различни знаменатели.

Когато даваме фракция на същия знаменател, равен на НОК на двата знаменатели, трябва да умножим броя на тези фракции допълнителни множители. Възможно е да ги намерите, разделяйки NOC към знаменателя на съответната фракция, например:

По този начин, за да донесете фракцията към един индикатор, трябва първо да намерите NOC (т.е. най-малкият брой, който е разделен на двата знаменатели) на знаменателите на тези фракции, след това поставете допълнителни недостатъци на детайлите на фракциите. Можете да ги намерите чрез разделяне на общия знаменател (NOC) към знаменателя на съответната фракция. След това трябва да умножите числителя на всяка фракция при допълнителен фактор, а знаменателят постави NOC.

5kak сгънато цяло число и фракция

За да сгънете цяло число и фракция, просто трябва да добавите този номер преди фракцията, например ще бъде смесена фракция.

Действия с фракции.

Внимание!
Тази тема има допълнителни
Материали в специален раздел 555.
За тези, които са силно "не много ..."
И за тези, които са "много ...")

Така че, това на фракциите, видовете фракции, трансформации - си спомнихме. Нека направим основния проблем.

Какво може да се направи с фракции? Да, всичко това и с обикновени номера. Пъти, приспадане, умножаване, разделение.

Всички тези действия с десетична Ние не се различават фракции от действия с цели числа. Всъщност те са добри, десетични. Единствената запетая, която дава правилното нещо.

Смесени номераКакто казах, вие сте неподходящи за повечето действия. Те все още трябва да бъдат прехвърлени на обикновени фракции.

Но действията с обикновени фракции Ще бъде Снипес. И много по-важно! Позволете ми да ви напомня: всички действия с частични изрази с клюна, синус, неизвестни и други и други благородници се различават от действието с обикновените фракции! Действията с обикновени фракции са в основата на цялата алгебра. Поради тази причина ще изглеждаме много подробности тук цялата тази аритметика.

Добавяне и изваждане на фракции.

Сгънете (отнемайте) Fraci със същите знаменатели може всеки (много надежда!). Е, напълно забравяйте ви, когато добавяте (изваждане), знаменателят не се променя. Цифрите се сгъват (приспаднат) и дават числител на резултатите. Тип:

Накратко, като цяло:

И ако има различни знаменатели? След това, използвайки основното свойство на фракцията (тук беше отбелязано!), Ние правим знаменателите същото! Например:

Тук трябва да направим 4/10 фракция 2/5. Изключителен, за да направим същите деноминатори. Отбелязвам, че само в случай, 2/5 и 4/10 е една и съща фракция! Само 2/5 сме неудобни, а 4/10 не е нищо.

Между другото, това е същността на решенията на всякакви задачи по математика. Когато сме неудобно Изрази същото, но вече удобно за решаване.

Друг пример:

Ситуацията е подобна. Тук сме от 16, правят 48. просто умножение от 3. всичко е ясно. Но тук хванахме нещо като:

Как да бъдеш?! От седемте девет е трудно да се направи! Но ние сме умни, знаем правилата! Трансформация всекифракция, така че знаменателите да станат същите. Това се нарича "Да даде общ знаменател":

В това как! Къде разбрах около 63? Много просто! 63 Това е число, което е разделено на 7 и 9 едновременно. Такъв номер винаги може да бъде получен чрез умножаване на знаменателите. Ако се умножим по 7, например, резултатът ще бъде да споделим точно 7!

Ако трябва да се откажете (извадете) няколко фракции, няма нужда да го правите по двойки, след стъпки. Трябва само да намерите знаменател, общ за всички фракции и да донесете всяка част от този единствен знаменател. Например:

И какъв генерален знаменател ще бъде? Можете, разбира се, умножете 2, 4, 8 и 16. Получаваме 1024. Кошмар. По-лесно е да се прецени, че числото 16 е перфектно разделено на 2 и 4 и 8. Следователно от тези числа е лесно да се получи 16. Това е номерът и ще бъде общ знаменател. 1/2 завой в 8/16, 3/4 през 12/16 и т.н.

Между другото, ако вземете 1024 за цялостния знаменател, той също ще работи, в крайна сметка всичко е мълчаливо. Само преди този край няма всички да получат, поради изчисленията ...

Само пример. Не е логаритъм, който ... трябва да се окаже 29/16.

Така че с добавка (изваждане) франьора, надявам се? Разбира се, е по-лесно да се работи в съкратената версия с допълнителни фактори. Но това удоволствие е достъпно за онези, които честно са работили в по-младите класове ... и не забравяха нищо.

И сега ще направим същите действия, но не и с фракции, но с фракционни изрази. Тук се намират нови гребла, да ...

Така че, трябва да сгънем две частични изрази:

Необходимо е да се направят общителите. И само с умножение! Така основното свойство на фракционирания характер. Затова не мога в първата фракция в знаменателя на ICSU да добави единица. (Но би било добре!). Но ако умножите знаменателите, изглеждате, всичко ще се слее! Така че записвате линията на фракцията, оставена на върха на празното място, след това добавете и пишем продукта на знаменателите отдолу, така че да не забравяме:

И, разбира се, нищо в дясната част не е редуване, не отваряйте скоби! И сега, гледайки общия знаменател на дясната част, ние разбираме: За да в първата фракция, знаменател X (x + 1) се оказва, числителят и знаменателят на тази фракция е да се умножи (X + 1). И във втората фракция - на x. Оказва се, че:

Забележка! Тук се появиха скоби! Това са богатите, за които мнозина идват. Разбира се, няма скоби и тяхното отсъствие. Скоби се появяват, защото се размножаваме всичко Числатор I. всичко Деноминатор! И не техните отделни парчета ...

В числата на дясната част, напишете сумата на числителите, всичко е в цифрови фракции, след това разкриват скобите в числа на дясната част, т.е. Алтернативайте всичко и дайте тези неща. Разкриват скоби в знаменателите, умножете нещо не е необходимо! Като цяло, в знаменателите (всеки) винаги е приятна работа! Получаваме:

Така получих отговора. Процесът изглежда дълъг и труден, но зависи от практиката. Изтеглете примерите, свикнете, всичко ще стане просто. Тези, които са усвоили фракциите в определеното време, всички тези операции са направени на машината!

И още една забележка. Много известни се изправят с фракции, но висят примери с цялостен Числа. Тип: 2 + 1/2 + 3/4 \u003d? Къде да закрепите две? Не е необходимо да се закрепите навсякъде, трябва да направите от двойката. Не е лесно, но много лесно! 2 \u003d 2/1. Като този. Всяко цяло число може да бъде записано под формата на фракция. В цифровия номер - самият номер, в знаменателя - един. 7 Това е 7/1, 3 е 3/1 и така нататък. С букви - същото. (a + c) \u003d (a + c) / 1, x \u003d x / 1 и т.н. И тогава работим с тези фракции за всички правила.

Е, чрез пристрастяване - изваждане на фракциите на знанието бяха освежаващи. Трансформации на фракции от един вид към другия - повторен. Можете да проверите. Остър малко?)

Изчисли:

Отговори (в разстройство):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Умножение / разделение на фракциите - в следващия урок. Има и задачи за всички действия с фракции.

Ако ви харесва този сайт ...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Той може да бъде достъпен в решаването на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Научете - с интерес!)

Можете да се запознаете с функции и деривати.