Фракционните изрази са трудни за разбиране от детето. Повечето имат проблеми, свързани с. При изучаване на темата „добавяне на дроби с цели числа“ детето изпада в ступор, затруднявайки решаването на задачата. В много примери трябва да се извършат редица изчисления, преди да се извърши действие. Например, конвертирайте фракции или конвертирате неправилна дроб в правилна.

Нека обясним на детето ясно. Да вземем три ябълки, две от които ще са цели, а третата ще нарежем на 4 части. Отделете едната филийка от нарязаната ябълка, а останалите три поставете до два цели плода. Получаваме ¼ ябълки от едната страна и 2 ¾ от другата. Ако ги комбинираме, получаваме цели три ябълки. Нека се опитаме да намалим 2 ¾ ябълки с ¼, т.е. да премахнем още едно парче, получаваме 2 2/4 ябълки.

Нека разгледаме по-отблизо действията с дроби, съдържащи цели числа:

Като начало нека си припомним правилото за изчисление за дробни изрази с общ знаменател:

На пръв поглед всичко е лесно и просто. Но това се отнася само за изрази, които не изискват преобразуване.

Как да намерим значението на израз, където знаменателите са различни

В някои задачи е необходимо да се намери значението на израз, където знаменателите са различни. Нека разгледаме конкретен случай:
3 2/7+6 1/3

Намираме стойността на този израз, за \u200b\u200bтова намираме за две фракции общ знаменател.

За числата 7 и 3 - това е 21. Оставяме едни и същи цели части, а дробните части се намаляват до 21, за това умножаваме първата дроб по 3, втората по 7, получаваме:
6/21 + 7/21, не забравяйте, че цели части не могат да бъдат преобразувани. В резултат на това получаваме две дроби с един знаменател и изчисляваме тяхната сума:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
Какво ще стане, ако добавянето доведе до неправилна дроб, която вече има цяла част:
2 1/3+3 2/3
IN в такъв случай добавете цели части и частични части, получаваме:
5 3/3, както знаете, 3/3 е единица, така че 2 1/3 + 3 2/3 \u003d 5 3/3 \u003d 5 + 1 \u003d 6

С намирането на сумата всичко е ясно, нека анализираме изваждането:

От всичко казано правилото за действие върху смесени числакоето звучи така:

• Ако трябва да извадите цяло число от дробния израз, не е необходимо да представяте второто число като дроб, достатъчно е да извършите действие само върху цели числа.

Нека се опитаме да изчислим стойността на изразите сами:

Нека разгледаме по-отблизо примера под буквата "m":

4 5 / 11-2 8/11, числителят на първата дроб е по-малък от втората. За да направим това, вземаме едно цяло число от първата дроб, получаваме,
3 5/11 + 11/11 \u003d 3 цели 16/11, извадете втората от първата дроб:
3 16 / 11-2 8/11 \u003d 1 цяло 8/11

• Бъдете внимателни, когато изпълнявате задачата, не забравяйте да преобразувате неподходящите фракции в смесени, като подчертаете цялата част. За да направите това, е необходимо да разделите стойността на числителя на стойността на знаменателя, тогава случилото се заменя мястото на цялата част, а останалата част ще бъде числителят, например:

19/4 \u003d 4 ¾, проверете: 4 * 4 + 3 \u003d 19, в знаменателя 4 остава непроменен.

Резюме:

Преди да се пристъпи към задачата, свързана с фракциите, е необходимо да се анализира какъв вид израз е, какви трансформации трябва да се извършат върху фракцията, за да бъде решението правилно. Потърсете по-рационално решение. Не тръгвайте по трудни пътеки. Планирайте всички действия, решете първо в чернова версия, след това прехвърлете в учебната си тетрадка.

За да избегнете объркване при решаване на дробни изрази, трябва да следвате правилото за последователност. Решете всичко внимателно, без да бързате.

Този урок ще обхваща събирането и изваждането. алгебрични дроби от различни знаменатели... Вече знаем как да събираме и изваждаме общи дроби с различни знаменатели. За да направите това, дроби трябва да бъдат намалени до общ знаменател. Оказва се, че алгебричните дроби се подчиняват на същите правила. Освен това вече знаем как да приведем алгебрични дроби до общ знаменател. Събирането и изваждането на дроби с различни знаменатели е една от най-важните и трудни теми в курса на 8 клас. При това тази тема ще се появи в много от темите на курса по алгебра, които ще изучавате в бъдеще. Като част от урока ще изучим правилата за събиране и изваждане на алгебрични дроби с различни знаменатели, както и ще анализираме цяла поредица типични примери.

Обмисли най-простият пример за общи фракции.

Пример 1.Добавете фракции :.

Решение:

Нека си припомним правилото за добавяне на дроби. Първо, дроби трябва да бъдат доведени до общ знаменател. Общият знаменател за обикновените дроби е най-малко общо кратно (LCM) първоначални знаменатели.

Определение

Най-малко естествено число, което се дели едновременно на числа и.

За да се намери LCM, е необходимо да се разширят знаменателите в основни фактории след това изберете всички основни фактори, които са включени в разширяването на двата знаменателя.

; ... Тогава LCM на числата трябва да включва две двойки и две тройки :.

След като намерите общия знаменател, трябва да намерите допълнителен коефициент за всяка от фракциите (всъщност разделете общия знаменател на знаменателя на съответната дроб).

След това всяка фракция се умножава по получения допълнителен коефициент. Дроби с същите знаменатели, събираме и изваждаме, което научихме в предишните уроци.

Получаваме: .

Отговор:.

Помислете сега за добавяне на алгебрични дроби с различни знаменатели. Първо, помислете за дроби, чиито знаменатели са числа.

Пример 2.Добавете фракции :.

Решение:

Алгоритъмът на решението е абсолютно подобен на предишния пример. Лесно е да се намери общ знаменател за тези дроби: и допълнителни фактори за всяка от тях.

.

Отговор:.

И така, нека формулираме алгоритъм за събиране и изваждане на алгебрични дроби с различни знаменатели:

1. Намерете най-ниския общ знаменател на дроби.

2. Намерете допълнителни фактори за всяка от фракциите (чрез разделяне на общия знаменател на знаменателя на тази дроб).

3. Умножете числителите по съответните допълнителни множители.

4. Добавете или извадете дроби, като използвате правилата за добавяне и изваждане на дроби със същия знаменател.

Нека сега разгледаме пример с дроби, в знаменателя на които има буквени изрази.

Пример 3.Добавете фракции :.

Решение:

Тъй като буквалните изрази и в двата знаменателя са еднакви, трябва да намерите общ знаменател за числата. Крайният общ знаменател ще бъде :. По този начин решението за този пример е:

Отговор:.

Пример 4.Извадете дроби :.

Решение:

Ако не можете да „мамите“ при избора на общ знаменател (не можете да го разчитате на множители или да използвате съкратените формули за умножение), тогава трябва да вземете произведението на знаменателите на двете фракции като общ знаменател.

Отговор:.

Като цяло, когато се решава подобни примери, най-трудната задача е да се намери общ знаменател.

Нека разгледаме по-сложен пример.

Пример 5.Опростете :.

Решение:

Когато намирате общ знаменател, първо трябва да се опитате да изчислите знаменателите на оригиналните дроби (за да опростите общия знаменател).

В този конкретен случай:

Тогава е лесно да се определи общият знаменател: .

Определете допълнителни фактори и решете този пример:

Отговор:.

Сега нека поправим правилата за добавяне и изваждане на дроби с различни знаменатели.

Пример 6.Опростете :.

Решение:

Отговор:.

Пример 7.Опростете :.

Решение:

.

Отговор:.

Нека сега разгледаме пример, в който се добавят не две, а три дроби (в крайна сметка правилата за събиране и изваждане за повече ▼ фракциите остават същите).

Пример 8.Опростете :.

Обикновените дробни числа се срещат за първи път с ученици в 5 клас и ги придружават през целия им живот, тъй като в ежедневието често се изисква да се разглежда или използва някакъв предмет не изцяло, а на отделни парчета. Началото на изучаването на тази тема е споделянето. Акциите са равни части, на които е разделен този или онзи предмет. В края на краищата не винаги е възможно да се изрази например дължината или цената на дадена стока като цяло число, трябва да се вземат предвид части или части от някаква мярка. Образувано от глагола "разделяне" - да се разделя на части и имащо арабски корени, през VIII век самата дума "фракция" възниква на руски език.

Дробните изрази отдавна се считат за най-трудната област на математиката. През 17 век, когато се появяват първите учебници по математика, те се наричат \u200b\u200b„счупени числа“, което е много трудно да се покаже в разбирането на хората.

Модерен външен вид прости частични остатъци, части от които са разделени с хоризонтална линия, бяха представени за първи път от Фибоначи - Леонардо от Пиза. Неговите творби са датирани през 1202г. Но целта на тази статия е просто и ясно да обясни на читателя как се умножава смесените фракции с различни знаменатели.

Умножение на дроби с различни знаменатели

Първоначално си струва да се определи разновидности на фракциите:

• правилно;
• погрешно;
• смесени.

След това трябва да запомните как се умножават дробни числа със същите знаменатели. Правилото на самия процес не е трудно да се формулира независимо: резултатът от умножаването на прости дроби с едни и същи знаменатели е дробен израз, чиито числител е произведение на числителите, а знаменателят е произведение на знаменателите на тези фракции. Тоест всъщност новият знаменател е квадратът на един от съществуващите.

При умножаване прости дроби с различни знаменатели за два или повече фактора правилото не се променя:

а /б * ° С /д = a * c / b * d.

Единствената разлика е, че полученото число под дробната линия ще бъде произведение на различни числа и, естествено, квадрат на единица числов израз невъзможно е да го назовем.

Струва си да разгледаме умножението на дроби с различни знаменатели с примери:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Примерите използват методи за намаляване на дробни изрази. Можете да отмените само номерата на числителя с номерата на знаменателя, съседните фактори над или под дробната линия не могат да бъдат отменени.

Заедно с прости дробни числа, съществува концепцията за смесени фракции. Смесеното число се състои от цяло число и дробна част, тоест това е сумата от тези числа:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Как работи умножението?

Няколко примера са предложени за разглеждане.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

Примерът използва умножението на число по обикновена дробна част, можете да запишете правилото за това действие по формулата:

а * б /° С = a * b /° С.

Всъщност такъв продукт е сбор от същите дробни остатъци и броят на членовете показва това естествено число. Специален случай:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Има и друго решение за умножаване на число по дробен остатък. Просто трябва да разделите знаменателя на това число:

д * д /е = д /f: d.

Полезно е да се използва тази техника, когато знаменателят е разделен на естествено число без остатък или, както се казва, напълно.

Преобразувайте смесени числа в неподходящи дроби и вземете продукта по описания по-рано начин:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Този пример включва метода на представяне смесена фракция неправилно, може да се представи и като обща формула:

а б° С = a * b + c / c, където знаменателят на новата фракция се формира чрез умножаване на целочислената част с знаменателя и добавянето му към числителя на оригиналния дробен остатък, а знаменателят остава същият.

Този процес работи в задната страна... За да изберете цялата част и дробния остатък, трябва да разделите числителя на неправилната фракция с нейния знаменател „ъгъл“.

Умножение на неправилни дроби произведени по конвенционален начин. Когато записът преминава под една дробна линия, ако е необходимо, трябва да намалите фракциите, за да намалите числата по този метод и да изчислите резултата по-лесно.

В интернет има много помощници за решаване на дори сложни математически задачи в различни вариации програми. Достатъчно количество такива услуги предлагат своята помощ при преброяване на умножението на дроби с различни числа в знаменатели - така наречените онлайн калкулатори за изчисляване на дроби. Те са в състояние не само да умножават, но и да изпълняват всички останали прости аритметични операции с обикновени дроби и смесени числа. Не е трудно да се работи с него, съответните полета се попълват на страницата на сайта, избира се знакът на математическото действие и се натиска „изчисли“. Програмата изчислява автоматично.

Темата за аритметичните операции с дробни числа е актуална по време на обучението на средни и старши ученици. В гимназията те вече не се считат за най-простите видове, но целочислени дробни изрази, но познанията за правилата за преобразуване и изчисления, получени по-рано, се прилагат в първоначалния си вид. Добре усвоените основни знания дават пълна увереност в добро решение най-трудните задачи.

В заключение има смисъл да се цитират думите на Лев Николаевич Толстой, който пише: „Човекът е фракция. Не е в силата на човека да увеличи своя числител - достойнството му, но всеки може да намали знаменателя си - мнението си за себе си и чрез това намаление той може да се доближи до съвършенството си. "

Този урок ще обхване добавянето и изваждането на алгебрични дроби със същите знаменатели. Вече знаем как да събираме и изваждаме общи дроби със същия знаменател. Оказва се, че алгебричните дроби се подчиняват на същите правила. Способността да се работи с дроби с един и същ знаменател е един от крайъгълните камъни в обучението как да се работи с алгебрични дроби. По-специално, разбирането на тази тема ще улесни овладяването на повече трудна тема - събиране и изваждане на дроби с различни знаменатели. Като част от урока ще изучим правилата за събиране и изваждане на алгебрични дроби със същите знаменатели, както и ще анализираме редица типични примери.

Правилото за събиране и изваждане на алгебрични дроби със същия знаменател

Форма-му-ли-ру-ем дясно-ви-ло на фолиацията (vy-chi-ta-nia) на al-geb-ra-i-che-dro-bei с odi-na-co-vy -mi zn-me-na-te-la-mi (това е sov-pa-da-em с ana-lo-gich-ny right-vi-lom за обикновения-ven-dro-bey): Това е за наслояване или vy -chi-ta-niya al-geb-ra-i-che-dro-bey с one-to-you-know-me-on-te-la-mi need -ho-di-mo so-to-keep с-the-vet-yu-al-geb-ra-i-che-sum of num-li-te-lei и zn-me-na-tel оставят без me-not-niy.

Ще вземем това дясно-ха-ло и на примера на обичайната вена-бей и на примера на ал-геб-ра-и-че-дро-хит.

Примери за прилагане на правилото за обикновени дроби

Пример 1. За да добавите дроб :.

Решение

Добавяме числото-ли-те-дали тегли-бие и знакът-на-тел ще остане същият. След това разделяме числото и знаменателя на прости кратни и така-кра-тим. By-lo-chim: .

Забележка: стандартна грешка, която допускам при вземане на решение като допълнителен вид примери, за -klyu-cha-it-Xia по следния начин-с-решение: ... Това е груба грешка, тъй като знанието-na-tel остава същото, каквото е било в оригиналните тегления.

Пример 2. За да добавите дроб :.

Решение

Dan-naya za-da-cha не се различава от предишния :.

Примери за прилагане на правилото за алгебрични дроби

От често-но-вен-дро-бийт пе-ре-диом до ал-геб-ра-и-че-ским.

Пример 3. За да добавите дроб :.

Решение: както вече беше казано по-горе, наслояването на ал-геб-ра-и-че-дро-бей по нищо не се различава от думата same-niya-but-ven-nyh draw-beat. Следователно методът на решение е същият :.

Пример 4. Вие сте честта на фракцията :.

Решение

Ти-чи-та-ти ал-геб-ра-и-че-дро-бей от-дали-ча-ит-от думата само с тези, които са пи-си-ва-ем-ся разликата в броя -li-te-lei на първоначалното изтегляне-bei. Следователно .

Пример 5. Вие сте честта на фракцията :.

Решение:.

Пример 6. За опростяване :.

Решение:.

Примери за прилагане на правилото, последвано от намаляване

Във фракцията, кой-че-рай-ло-ча-е-ся в ре-зул-та-тези думи или ти-чи-та-ния, е възможно да съ-красива ния. Освен това не трябва да забравяте за ODZ на ал-геб-ра-и-че-дро-бей.

Пример 7. За опростяване :.

Решение:.

При това. По принцип, ако ODZ на първоначалното изтегляне-бие cov-pa-yes с ODZ ито-вой, тогава той може да бъде пропуснат (в края на краищата, фракцията, от лъча, naya в ot-ve-ones, също ще не съществуват с co-ot-otv-yu-zn-th-no-ya-n-re-men). Но ако ODZ на първоначалното изтегляне и отговорът не се покрива, тогава ODZ трябва да посочи нуждата-хо-ди-мо.

Пример 8. Опростете :.

Решение:. В този случай y (ODZ на първоначалното изтегляне не бива съвпадащо с ODZ re-zul-ta-ta).

Събиране и изваждане на общи дроби с различни знаменатели

Да се \u200b\u200bсгъва, за да диша и да чете фракции ал-геб-ра-и-че-с различни знаци-ме-на-те-ла-ми, про-ве-дем ана-ло-гю с обичайно-но-вен -mi-dro-by-mi и pe-re-not-sem на ал-geb-ra-i-ти фракции.

Ras-smot-rim е най-простият пример за често срещани ритми.

Пример 1.Фракции на живо на живо :.

Решение:

Запомнете десния ха-ло на думата draw-beat. За фракцията na-cha-la е необходимо-ho-di-mo да се стигне до общия zn-me-na-te-lyu. В ролята на обичайно познаване на обикновения ven-dro-beat, you-stu-pa-et най-малко общо кратно (NOC) на първоначалните знаци-me-na-te-lei.

Определение-де-ле-ний

Най-малките вратове на числото th-ral-nye, което-роя де-свети-Xia еднократно-но-мъже-но-номерирани и.

За да намерите NOC, трябва да разделите знанието-на-те-дали на прости набори и след това да изберете всички продукти, които са много, кои-ръж са включени в разликата между двата знака-на-те- леи.

; ... Тогава LCM на числата трябва да включва две двойки и две тройки :.

След намирането на общо знание-me-na-te-la, е необходимо всеки от бей-бейовете да намери до половин ni-tel-ny обитател (fact-ti-che-ski, при разделяне на общ знаменател в знаменател с-the-vet-stvu-yu-si-tel).

Тогава всяка фракция хитро се превръща в мултипликатор от половин ямка до половина пълен. Фракции на рентгено-ча-и-ксия с един-на-да-знаеш-ме-на-те-ла-ми, поставени във вата и вие-прочетете някои, на които сме - изучете в миналите уроци .

By-lo-cha-eat: .

Отговор:.

Помислете сега за слоя al-geb-ra-i-che-dro-bey с различни zn-me-na-te-la-mi. Sna-cha-la ras-smot-rim фракции, know-me-na-te-if k-that-ryh are-la-yut-sya number-la-mi.

Събиране и изваждане на алгебрични дроби с различни знаменатели

Пример 2.Фракции на живо на живо :.

Решение:

Ал-го-ритъм на решението ab-so-lut-no ana-lo-gi-chen before-do-shu-mu-me-ru. Лесно е да се получи общ знаменател на тези ритми-ритми: и до половин комплект за всеки от тях.

.

Отговор:.

И така, за-му-ли-ру-ем ал-го-ритъм на наслояването и ти-чи-та-ния на ал-геб-ра-и-че-дро-бей с различни-знаем-ме-на-те-ла-ми:

1. Намерете най-малкия общ знаменател, равен-хит.

2. Намерете до половина-ni-tel-nye набори за всеки от draw-bei (в de-liv общия знаменател за знаменателя дан фракция).

3. Do-many-live номер-дали-те-дали при съвместен отговор на ветеринар-у-о-о-о-о-т-н-т-н-т-т-л.

4. Лежи на живо или ти почиташ фракцията, използвай дясната-vi-la-mi на думите и you-chi-ta-nia draw-beat със същото знание -me-na-te-la-mi.

Ras-smot-rim сега е пример с dro-by-mi, в знака-me-on-te-le to-that-ryh come-to-be-vene-to-be -niya.

Този урок ще обхване добавянето и изваждането на алгебрични дроби с различни знаменатели. Вече знаем как да събираме и изваждаме общи дроби с различни знаменатели. За да направите това, дроби трябва да бъдат намалени до общ знаменател. Оказва се, че алгебричните дроби се подчиняват на същите правила. Освен това вече знаем как да приведем алгебрични дроби до общ знаменател. Събирането и изваждането на дроби с различни знаменатели е една от най-важните и трудни теми в курса на 8 клас. Освен това тази тема ще се намери в много теми от курса по алгебра, които ще изучавате в бъдеще. Като част от урока ще изучим правилата за събиране и изваждане на алгебрични дроби с различни знаменатели, както и ще анализираме редица типични примери.

Нека разгледаме най-простия пример за обикновени дроби.

Пример 1.Добавете фракции :.

Решение:

Нека си припомним правилото за добавяне на дроби. Първо, дроби трябва да бъдат доведени до общ знаменател. Общият знаменател за обикновените дроби е най-малко общо кратно (LCM) първоначални знаменатели.

Определение

Най-малкото естествено число, което едновременно се дели на числа и.

За да се намери LCM, е необходимо да разширите знаменателите в прости множители и след това да изберете всички прости множители, които са включени в разширяването на двата знаменателя.

; ... Тогава LCM на числата трябва да включва две двойки и две тройки :.

След като намерите общия знаменател, трябва да намерите допълнителен коефициент за всяка от фракциите (всъщност разделете общия знаменател на знаменателя на съответната дроб).

След това всяка фракция се умножава по получения допълнителен коефициент. Получават се дроби със същите знаменатели, които се научихме да добавяме и изваждаме в предишните уроци.

Получаваме: .

Отговор:.

Помислете сега за добавяне на алгебрични дроби с различни знаменатели. Първо, помислете за дроби, чиито знаменатели са числа.

Пример 2.Добавете фракции :.

Решение:

Алгоритъмът на решението е абсолютно подобен на предишния пример. Лесно е да се намери общ знаменател за тези дроби: и допълнителни фактори за всяка от тях.

.

Отговор:.

И така, нека формулираме алгоритъм за събиране и изваждане на алгебрични дроби с различни знаменатели:

1. Намерете най-ниския общ знаменател на дроби.

2. Намерете допълнителни фактори за всяка от фракциите (чрез разделяне на общия знаменател на знаменателя на тази дроб).

3. Умножете числителите по съответните допълнителни множители.

4. Добавете или извадете дроби, като използвате правилата за добавяне и изваждане на дроби със същия знаменател.

Помислете сега за пример с дроби с буквални изрази в знаменателя.

Пример 3.Добавете фракции :.

Решение:

Тъй като буквалните изрази и в двата знаменателя са еднакви, трябва да намерите общ знаменател за числата. Крайният общ знаменател ще бъде :. По този начин решението за този пример е:

Отговор:.

Пример 4.Извадете дроби :.

Решение:

Ако не можете да „мамите“ при избора на общ знаменател (не можете да го разчитате на множители или да използвате съкратените формули за умножение), тогава трябва да вземете произведението на знаменателите на двете фракции като общ знаменател.

Отговор:.

По принцип при решаването на подобни примери най-трудната задача е да се намери общ знаменател.

Нека разгледаме по-сложен пример.

Пример 5.Опростете :.

Решение:

Когато намирате общ знаменател, първо трябва да се опитате да изчислите знаменателите на оригиналните дроби (за да опростите общия знаменател).

В този конкретен случай:

Тогава е лесно да се определи общият знаменател: .

Определете допълнителни фактори и решете този пример:

Отговор:.

Сега нека поправим правилата за добавяне и изваждане на дроби с различни знаменатели.

Пример 6.Опростете :.

Решение:

Отговор:.

Пример 7.Опростете :.

Решение:

.

Отговор:.

Нека сега разгледаме пример, в който се добавят не две, а три дроби (в крайна сметка правилата за събиране и изваждане за повече дроби остават същите).

Пример 8.Опростете :.