Намаляването на дроби е необходимо, за да се намали фракцията до по-проста форма, например в отговора, получен в резултат на решаване на израз.

Съкращаване на дроби, определение и формула.

Какво е намаляване на дроби? Какво означава да намалиш дроб?

определение:
Намаляване на дроби- това е разделянето на числителя и знаменателя на дроб на едно и също нещо положително числоне е равно на нула и едно. В резултат на съкращаването се получава дроб с по-малък числител и знаменател, равна на предходната дроб съгл.

Формула за намаляване на дробиосновни свойства на рационалните числа.

\(\frac(p \times n)(q \times n)=\frac(p)(q)\)

Да разгледаме един пример:
Намалете дробта \(\frac(9)(15)\)

Решение:
Можем да разширим дробта на основни фактории намаляване на общите фактори.

\(\frac(9)(15)=\frac(3 \times 3)(5 \times 3)=\frac(3)(5) \times \color(red) (\frac(3)(3) )=\frac(3)(5) \times 1=\frac(3)(5)\)

Отговор: след редукция получихме дробта \(\frac(3)(5)\). Според основното свойство на рационалните числа началната и получената дроби са равни.

\(\frac(9)(15)=\frac(3)(5)\)

Как да намалим дробите? Редуциране на дроб до несъкратимата й форма.

За да получим в резултат несъкратима дроб, имаме нужда намерете най-големия общ делител(КИМАНЕ)за числителя и знаменателя на дробта.

Има няколко начина за намиране на НОД; в примера ще използваме разлагането на числата на прости множители.

Вземете несъкратимата дроб \(\frac(48)(136)\).

Решение:
Нека намерим НОД(48, 136). Нека напишем числата 48 и 136 на прости множители.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
НОД(48, 136)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(48)(136)=\frac(\color(red) (2 \times 2 \times 2) \times 2 \times 3)(\color(red) (2 \times 2 \times 2) \times 17)=\frac(\color(red) (6) \times 2 \times 3)(\color(red) (6) \times 17)=\frac(2 \times 3)(17)=\ frac(6)(17)\)

Правилото за редуциране на дроб до несъкратим вид.

1. Трябва да намерите най-големия общ делител на числителя и знаменателя.
2. Трябва да разделите числителя и знаменателя на най-големия общ делител, за да получите несъкратима дроб.

Пример:
Намалете дробта \(\frac(152)(168)\).

Решение:
Нека намерим НОД(152, 168). Нека напишем числата 152 и 168 на прости множители.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
НОД(152, 168)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(152)(168)=\frac(\color(red) (6) \times 19)(\color(red) (6) \times 21)=\frac(19)(21)\)

Отговор: \(\frac(19)(21)\) е несъкратима дроб.

Намаляване на неправилните дроби.

Как да намалим неправилна дроб?
Правилата за съкращаване на дроби са еднакви за правилните и неправилните дроби.

Да разгледаме един пример:
Намалете неправилната дроб \(\frac(44)(32)\).

Решение:
Нека напишем числителя и знаменателя на прости множители. И тогава ще намалим общите фактори.

\(\frac(44)(32)=\frac(\color(red) (2 \times 2 ) \times 11)(\color(red) (2 \times 2 ) \times 2 \times 2 \times 2 )=\frac(11)(2 \times 2 \times 2)=\frac(11)(8)\)

Намаляване на смесени фракции.

Смесените дроби следват същите правила като обикновените дроби. Единствената разлика е, че можем не докосвайте цялата част, а намалете частичната частили Преобразувайте смесена дроб в неправилна дроб, съкратете я и я преобразувайте обратно в правилна дроб.

Да разгледаме един пример:
Съкратете смесената дроб \(2\frac(30)(45)\).

Решение:
Нека го решим по два начина:
Първи начин:
Нека напишем дробната част на прости множители, но няма да засягаме цялата част.

\(2\frac(30)(45)=2\frac(2 \times \color(red) (5 \times 3))(3 \times \color(red) (5 \times 3))=2\ frac(2)(3)\)

Втори начин:
Нека първо да го преобразуваме в неправилна дроб и след това да го напишем на прости множители и да го намалим. Нека преобразуваме получената неправилна дроб в правилна дроб.

\(2\frac(30)(45)=\frac(45 \times 2 + 30)(45)=\frac(120)(45)=\frac(2 \times \color(red) (5 \times 3) \times 2 \times 2)(3 \times \color(red) (3 \times 5))=\frac(2 \times 2 \times 2)(3)=\frac(8)(3)= 2\frac(2)(3)\)

Свързани въпроси:
Можете ли да намалите дроби, когато събирате или изваждате?
Отговор: не, първо трябва да добавите или извадите дроби според правилата и едва след това да ги намалите. Да разгледаме един пример:

Изчислете израза \(\frac(50+20-10)(20)\) .

Решение:
Те често правят грешката да намаляват едни и същи числа в числителя и знаменателя, в нашия случай числото 20, но те не могат да бъдат намалени, докато не завършите събирането и изваждането.

\(\frac(50+\color(red) (20)-10)(\color(red) (20))=\frac(60)(20)=\frac(3 \times 20)(20)= \frac(3)(1)=3\)

С какви числа можете да намалите една дроб?
Отговор: Можете да намалите дроб чрез най-големия общ множител или общия делител на числителя и знаменателя. Например фракцията \(\frac(100)(150)\).

Нека напишем числата 100 и 150 на прости множители.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
Най-големият общ делител ще бъде числото gcd(100, 150)= 2⋅5⋅5=50

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(3 \times 50)=\frac(2)(3)\)

Получихме несъкратимата дроб \(\frac(2)(3)\).

Но не е необходимо винаги да се дели на НОД; не винаги е необходима несъкратима дроб; Например, числата 100 и 150 имат общ делител 2. Нека намалим дробта \(\frac(100)(150)\) с 2.

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(2 \times 75)=\frac(50)(75)\)

Получихме съкратимата дроб \(\frac(50)(75)\).

Какви фракции могат да бъдат намалени?
Отговор: Можете да съкратите дроби, в които числителят и знаменателят имат общ делител. Например фракцията \(\frac(4)(8)\). Числото 4 и 8 имат число, на което и двете се делят - числото 2. Следователно такава дроб може да бъде намалена с числото 2.

Пример:
Сравнете двете дроби \(\frac(2)(3)\) и \(\frac(8)(12)\).

Тези две дроби са равни. Нека разгледаме по-отблизо дробта \(\frac(8)(12)\):

\(\frac(8)(12)=\frac(2 \times 4)(3 \times 4)=\frac(2)(3) \times \frac(4)(4)=\frac(2) (3) \пъти 1=\frac(2)(3)\)

От тук получаваме \(\frac(8)(12)=\frac(2)(3)\)

Две дроби са равни тогава и само ако едната от тях е получена чрез намаляване на другата дроб с общия множител на числителя и знаменателя.

Пример:
Ако е възможно, намалете следните дроби: a) \(\frac(90)(65)\) b) \(\frac(27)(63)\) c) \(\frac(17)(100)\) г) \(\frac(100)(250)\)

Решение:
a) \(\frac(90)(65)=\frac(2 \times \color(red) (5) \times 3 \times 3)(\color(red) (5) \times 13)=\frac (2 \пъти 3 \пъти 3)(13)=\frac(18)(13)\)
b) \(\frac(27)(63)=\frac(\color(red) (3 \times 3) \times 3)(\color(red) (3 \times 3) \times 7)=\frac (3)(7)\)
в) \(\frac(17)(100)\) несъкратима дроб
d) \(\frac(100)(250)=\frac(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \times 2)(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \ по 5)=\frac(2)(5)\)

Без да знаете как да намалите дроб и да имате постоянни умения за решаване подобни примериМного е трудно да се изучава алгебра в училище. Колкото по-напред отивате, толкова повече пречи на основните ви знания за редуциране на дроби. нова информация. Първо се появяват степени, след това фактори, които по-късно стават полиноми.

Как можете да избегнете объркване тук? Внимателно затвърдете уменията в предишни теми и постепенно се подгответе за знания как да намалите дроб, което става все по-сложно от година на година.

Основни познания

Без тях няма да можете да се справите със задачи от всяко ниво. За да разберете, трябва да разберете две прости моменти. Първо: можете само да намалите факторите. Този нюанс се оказва много важен, когато в числителя или знаменателя се появяват полиноми. След това трябва ясно да разграничите къде е множителят и къде събираемият.

Втората точка казва, че всяко число може да бъде представено под формата на фактори. Освен това резултатът от намаляването е дроб, чийто числител и знаменател вече не могат да бъдат намалени.

Правила за съкращаване на обикновени дроби

Първо трябва да проверите дали числителят се дели на знаменателя или обратното. Тогава точно този брой трябва да бъде намален. Това е най-простият вариант.

Второто е анализът външен видчисла. Ако и двете завършват с една или повече нули, те могат да бъдат съкратени с 10, 100 или хиляда. Тук можете да видите дали числата са четни. Ако да, тогава можете спокойно да го намалите на две.

Третото правило за намаляване на дроб е разлагането на числителя и знаменателя на прости множители. По това време трябва активно да използвате всичките си знания за признаците за делимост на числата. След това разлагане остава само да се намерят всички повтарящи се, да се умножат и да се намалят с полученото число.

Ами ако има алгебричен израз в дроб?

Тук се появяват първите трудности. Защото тук се появяват термини, които могат да бъдат идентични с фактори. Много искам да ги намаля, но не мога. Преди да можете да намалите алгебрична дроб, тя трябва да бъде преобразувана така, че да има множители.

За да направите това, ще трябва да изпълните няколко стъпки. Може да се наложи да преминете през всички тях или може би първият ще предостави подходящ вариант.

Проверете дали числителят и знаменателят или някой израз в тях се различават по знак. В този случай просто трябва да поставите минус едно извън скоби. Това създава равни фактори, които могат да бъдат намалени.

Вижте дали е възможно да премахнете общия множител от полинома извън скоби. Може би това ще доведе до скоба, която също може да бъде съкратена, или ще бъде премахнат моном.

Опитайте се да групирате мономите, за да добавите общ множител към тях. След това може да се окаже, че ще има фактори, които могат да бъдат намалени, или отново ще се повтори поставянето в скоби на общи елементи.

Опитайте се да разгледате писмено формулите за съкратено умножение. С тяхна помощ можете лесно да преобразувате полиноми в множители.

Последователност от действия с дроби със степени

За да разберете лесно въпроса как да намалите дроб със степени, трябва да запомните твърдо основните операции с тях. Първият от тях е свързан с умножението на правомощията. В този случай, ако основите са еднакви, индикаторите трябва да се добавят.

Второто е разделението. Отново, за тези, които имат същите причини, индикаторите ще трябва да бъдат извадени. Освен това трябва да извадите от числото, което е в дивидента, а не обратното.

Третото е степенуването. При това положение показателите се умножават.

Успешното редуциране също ще изисква способността да се редуцират правомощията до равни бази. Тоест, да видим, че четири е две на квадрат. Или 27 - кубът от три. Защото намаляването на 9 на квадрат и 3 на куб е трудно. Но ако трансформираме първия израз като (3 2) 2, тогава редукцията ще бъде успешна.

Онлайн калкулатор изпълнява намаляване на алгебрични дробив съответствие с правилото за съкращаване на дроби: замяна на оригиналната дроб с равна дроб, но с по-малък числител и знаменател, т.е. Едновременно деление на числителя и знаменателя на дроб на техния общ най-голям общ множител (НОД). Калкулаторът също така показва подробно решение, което ще ви помогне да разберете последователността на намаляването.

дадени:

Решение:

Извършва редукция на дроби

проверка на възможността за извършване на редукция на алгебрична дроб

1) Определяне на най-големия общ делител (НОД) на числителя и знаменателя на дроб

определяне на най-големия общ делител (НОД) на числителя и знаменателя на алгебрична дроб

2) Намаляване на числителя и знаменателя на дроб

намаляване на числителя и знаменателя на алгебрична дроб

3) Избиране на цялата част от дроб

отделяне на цялата част от алгебрична дроб

4) Преобразуване на алгебрична дроб в десетична дроб

превръщане на алгебрична дроб в десетичен знак

Помощ за изработка на сайт на проекта

Уважаеми посетители на сайта.
Ако не сте успели да намерите това, което търсите, не забравяйте да напишете за това в коментарите, какво липсва в момента на сайта. Това ще ни помогне да разберем в каква посока трябва да продължим, а други посетители скоро ще могат да получат необходимия материал.
Ако сайтът се оказа полезен за вас, дарете сайта на проекта само 2 ₽и ще знаем, че се движим в правилната посока.

Благодаря ви, че се отбихте!

I. Процедура за намаляване на алгебрична дроб с помощта на онлайн калкулатор:

1. За да намалите алгебрична дроб, въведете стойностите на числителя и знаменателя на дробта в съответните полета. Ако фракцията е смесена, попълнете и полето, съответстващо на цялата част от фракцията. Ако дробта е проста, оставете полето за цялата част празно.
2. За да посочите отрицателна дроб, поставете знак минус върху цялата част на дробта.
3. В зависимост от зададената алгебрична дроб автоматично се изпълнява следната последователност от действия:

• определяне на най-големия общ делител (НОД) на числителя и знаменателя на дроб;
• намаляване на числителя и знаменателя на дроб с gcd;
• подчертаване на цялата част от дроб, ако числителят на крайната дроб е по-голям от знаменателя.
• преобразуване на крайната алгебрична дроб в десетична дробзакръглено до най-близката стотна.

II. За справка:

Дробта е число, състоящо се от една или повече части (дроби) на единица. Обикновена дроб(проста дроб) се записва като две числа (числителя на дробта и знаменателя на дробта), разделени от хоризонтална черта (дробна лента), указваща знака за деление. Числителят на дроб е числото над дробната черта. Числителят показва колко акции са взети от цялото. Знаменателят на дроб е числото под дробната черта. Знаменателят показва на колко равни части е разделено цялото. Простата дроб е дроб, която няма цяла част. Простата дроб може да бъде правилна или неправилна. правилна дроб - дроб, чийто числител е по-малко от знаменателя, така че правилната дроб винаги е по-малка от единица. Пример за правилни дроби: 8/7, 11/19, 16/17. Неправилна дроб е дроб, в която числителят е по-голям или равен на знаменателя, така че неправилната дроб винаги е по-голяма или равна на едно. Пример за неправилни дроби: 7/6, 8/7, 13/13. смесена дроб е число, което съдържа цяло число и правилна дроб и обозначава сумата от това цяло число и правилната дроб. Всяка смесена дроб може да се преобразува в неправилна дроб. Пример за смесени дроби: 1¼, 2½, 4¾.

III. Забележка:

1. Маркиран блок с изходни данни жълто , блокът от междинни изчисления е маркиран в синьо, блокът за решение е маркиран в зелено.
2. За събиране, изваждане, умножение и деление на обикновени или смесени дроби използвайте онлайн калкулатора за дроби с подробни решения.

Последният път направихме план, следвайки който можете да научите как бързо да намалявате дроби. Сега нека помислим конкретни примеринамаляване на дроби.

Примери.

Да проверим дали по-голямото число се дели на по-малкото (числител на знаменател или знаменател на числител)? Да, и в трите от тези примери по-голямото число е разделено на по-малкото число. Така намаляваме всяка дроб с по-малкото от числата (с числителя или със знаменателя). Ние имаме:

Да проверим дали по-голямото число се дели на по-малкото? Не, не се споделя.

След това преминаваме към проверка на следващата точка: записът както на числителя, така и на знаменателя завършва ли с една, две или повече нули? В първия пример числителят и знаменателят завършват на нула, във втория пример - две нули, а в третия - три нули. Това означава, че намаляваме първата дроб с 10, втората със 100 и третата с 1000:

Имаме несъкратими дроби.

По-голямо число не може да се дели на по-малко, а числата не завършват с нули.

Сега нека проверим дали числителят и знаменателят са в една и съща колона в таблицата за умножение? И 36, и 81 се делят на 9, 28 и 63 се делят на 7, а 32 и 40 се делят на 8 (делят се и на 4, но ако има избор, винаги ще намалим с по-голямо). Така стигаме до отговорите:

Всички получени числа са несъкратими дроби.

По-голямо число не може да се дели на по-малко число. Но записът както на числителя, така и на знаменателя завършва на нула. И така, намаляваме дроба с 10:

Тази фракция все още може да бъде намалена. Проверяваме таблицата за умножение: и 48, и 72 се делят на 8. Намаляваме дроба с 8:

Можем също да намалим получената дроб с 3:

Тази дроб е несъкратима.

По-голямото число не се дели на по-малкото число. Числителят и знаменателят завършват на нула. Това означава, че намаляваме дробта с 10.

Проверяваме получените числа в числителя и знаменателя за и. Тъй като сумата от цифрите на 27 и 531 се дели на 3 и 9, тази дроб може да бъде намалена с 3 или 9. Избираме по-голямата и намаляваме с 9. Полученият резултат е несъкратима дроб.

На пръв поглед алгебричните дроби изглеждат много сложни и неподготвен ученик може да си помисли, че нищо не може да се направи с тях. Натрупването на променливи, числа и дори степени предизвиква страх. Същите правила обаче се използват за намаляване на обикновени дроби (като 15/25) и алгебрични дроби.

стъпки

Намаляване на дроби

Разгледайте дейностите с прости дроби. Операциите с обикновени и алгебрични дроби са подобни. Например, нека вземем дробта 15/35. За да опростите тази дроб, трябва намерете общ делител. И двете числа се делят на пет, така че можем да изолираме 5 в числителя и знаменателя:

Сега ти можеш намаляване на общите фактори, тоест задраскайте 5 в числителя и знаменателя. В резултат на това получаваме опростената дроб 3/7 . IN алгебрични изразиобщите фактори се разпределят по същия начин, както при обикновените. В предишния пример успяхме лесно да изолираме 5 от 15 - същият принцип се прилага за по-сложни изрази като 15x – 5. Нека намерим общия множител. IN в такъв случайтова ще бъде 5, тъй като и двата члена (15x и -5) се делят на 5. Както преди, изолирайте общия множител и го преместете наляво.

15x – 5 = 5 * (3x – 1)

За да проверите дали всичко е правилно, просто умножете израза в скоби по 5 - резултатът ще бъде същите числа като в началото. Сложните членове могат да бъдат изолирани по същия начин като простите. За алгебричните дроби важат същите принципи, както и за обикновените. Това е най-лесният начин за намаляване на дроб. Разгледайте следната фракция:

Имайте предвид, че както числителят (отгоре), така и знаменателят (отдолу) съдържат член (x+2), така че той може да бъде намален по същия начин като общия множител 5 в дробта 15/35:

В резултат на това получаваме опростен израз: (x-3)/(x+10)

Редуциране на алгебрични дроби

Намерете общия множител в числителя, тоест в горната част на дробта. Когато редуцирате алгебрична дроб, първата стъпка е да опростите двете страни. Започнете с числителя и се опитайте да го включите във възможно най-много фактори. Разгледайте в този раздел следната фракция:

Нека започнем с числителя: 9x – 3. За 9x и -3 общият множител е числото 3. Нека извадим 3 от скобите, както се прави с обикновените числа: 3 * (3x-1). Резултатът от тази трансформация е следната дроб:

Намерете общия множител в числителя. Нека продължим с примера по-горе и запишем знаменателя: 15x+6. Както преди, нека намерим на какво число се делят двете части. И в този случай общият множител е 3, така че можем да запишем: 3 * (5x +2). Нека пренапишем дробта в следния вид:

Съкратете същите срокове. На тази стъпка можете да опростите дробта. Съкратете същите членове в числителя и знаменателя. В нашия пример това число е 3.

Определете, че частта има най-простата форма. Една дроб е напълно опростена, когато в числителя и знаменателя не са останали общи множители. Имайте предвид, че не можете да отмените термини, които се появяват в скоби - в примера по-горе няма начин да изолирате x от 3x и 5x, тъй като пълните термини са (3x -1) и (5x + 2). По този начин дробта не може да бъде опростена допълнително и крайният отговор е следният:

Упражнявайте се да намалявате дроби сами. По най-добрия начиннаучете метода е независимо решениезадачи. Верните отговори са дадени под примерите.

Отговор:(x=13)

Отговор:(2x-1)/5

Специални движения

Изкарай го отрицателен знакизвън фракцията. Да предположим, че ви е дадена следната дроб:

Обърнете внимание, че (x-4) и (4-x) са "почти" идентични, но не могат да бъдат намалени веднага, защото са "обърнати". Въпреки това (x - 4) може да се запише като -1 * (4 - x), точно както (4 + 2x) може да се запише като 2 * (2 + x). Това се нарича „обръщане на знака“.

Сега можете да намалите идентични термини (4-x):

И така, получаваме окончателния отговор: -3/5 . Научете се да разпознавате разликата между квадратите. Разлика на квадратите е, когато квадратът на едно число се извади от квадрата на друго число, както в израза (a 2 - b 2). Разликата на пълните квадрати винаги може да се разложи на две части - сбор и разлика на съответните квадратни корени. Тогава изразът ще приеме следната форма:

A 2 - b 2 = (a+b)(a-b)

Тази техника е много полезна при намиране на общи термини в алгебрични дроби.

• Проверете дали сте разложили правилно този или онзи израз. За да направите това, умножете факторите - резултатът трябва да бъде същия израз.
• За да опростите напълно дроб, винаги изолирайте най-големите множители.