Когато изучавате темата, числовите, буквалните и променливите изрази трябва да обърнат внимание на концепцията стойност на израза... В тази статия ще отговорим на въпроса каква е стойността на числовия израз и какво се нарича стойност на буквален израз и израз с променливи за избраните стойности на променливите. Ето няколко примера за изясняване на тези определения.

Навигация по страници.

Каква е стойността на числовия израз?

Запознаването с числови изрази започва почти от първите уроци по математика в училище. Понятието "стойност на числов израз" беше въведено почти веднага. Посочва се като изрази, съставени от числа, свързани с аритметични знаци (+, -, ·, :). Нека дадем подходяща дефиниция.

Определение.

Стойността на числов израз Е числото, което се получава след извършване на всички действия в оригинала числов израз.

Например, помислете за числовия израз 1 + 2. След завършване получаваме числото 3, то е стойността на числовия израз 1 + 2.

Често във фразата „стойността на числовия израз“ думата „числова“ се пропуска и те просто казват „стойността на израза“, тъй като все още е ясно за какво значение е въпросният израз.

Горната дефиниция на значението на даден израз се отнася за числови изрази повече от сложен вид, които се изучават в гимназията. Тук трябва да се отбележи, че можете да попаднете на числови изрази, чиито стойности не могат да бъдат посочени. Това се дължи на факта, че в някои изрази е невъзможно да се извършат записаните действия. Следователно, следователно, не можем да посочим стойността на израза 3: (2-2). Извикват се числови изрази като този изрази, които нямат смисъл.

Често на практика лихвата е не толкова числов израз, колкото неговата стойност. Тоест, задачата е да се определи значението на този израз. В този случай те обикновено казват, че трябва да намерите стойността на израза. В тази статия е подробно описан процесът на намиране на стойността на числовите изрази. от различни видове, и разгледа много примери с подробни описания решения.

Значение на буквалния израз и израз с променливи

В допълнение към числовите изрази се изучават и буквални изрази, тоест изрази, в записа на които, заедно с цифрите, присъстват една или повече букви. Буквите в азбучен израз могат да представляват различни цифри и ако буквите се заменят с тези числа, буквалният израз става цифров.

Определение.

Извикват се числата, които заместват буквите в буквален израз значенията на тези букви, и се извиква стойността на числовия израз, получен в този случай стойността на буквалния израз, като се имат предвид стойностите на буквите.

Така че, за буквалните изрази се говори не просто за значението на буквалния израз, а за значението на буквалния израз с дадените (дадени, посочени и т.н.) стойности на буквите.

Нека дадем пример. Да вземем буквалния израз 2 · a + b. Нека да бъдат дадени стойностите на буквите a и b, например a \u003d 1 и b \u003d 6. Заменяйки буквите в оригиналния израз с техните стойности, получаваме числов израз на формата 2 1 + 6, стойността му е 8. По този начин числото 8 е стойността на буквалния израз 2 a + b за дадените стойности на буквите a \u003d 1 и b \u003d 6. Ако бяха дадени други значения на буквите, тогава щяхме да получим значението на буквения израз за тези буквени значения. Например за a \u003d 5 и b \u003d 1 имаме стойността 2 5 + 1 \u003d 11.

В гимназията, когато се изучава алгебра, е позволено да се вземат букви в буквални изрази различни значения, такива букви се наричат \u200b\u200bпроменливи, а буквалните изрази се наричат \u200b\u200bизрази с променливи. За тези изрази се въвежда концепцията за стойността на израз с променливи за избраните стойности на променливите. Нека да разберем какво е това.

Определение.

Стойността на израз с променливи с избраните стойности на променливите е стойността на числов израз, който се получава след заместване на избраните стойности на променливи в оригиналния израз.

Нека обясним това определение с пример. Помислете за израз с променливи x и y от формата 3 x y + y. Вземете x \u003d 2 и y \u003d 4, заменете тези стойности на променливите в оригиналния израз, получаваме числовия израз 3 · 2 · 4 + 4. Нека изчислим стойността на този израз: 3 · 2 · 4 + 4 \u003d 24 + 4 \u003d 28. Намерената стойност 28 е стойността на оригиналния израз с променливи 3 x y + y за избраните стойности на променливите x \u003d 2 и y \u003d 4.

Ако изберете други стойности на променливите, например x \u003d 5 и y \u003d 0, тогава тези избрани стойности на променливите ще съответстват на стойността на израза с променливи, равни на 3 · 5 · 0 + 0 \u003d 0.

Може да се отбележи, че понякога за различни избрани стойности на променливи могат да се получат равни стойности на израза. Например за x \u003d 9 и y \u003d 1 стойността на израза 3 x y + y е 28 (тъй като 3 9 1 + 1 \u003d 27 + 1 \u003d 28) и по-горе показахме, че същата стойност е израз с променливи има за x \u003d 2 и y \u003d 4.

Променливите стойности могат да бъдат избрани от съответните диапазони на валидни стойности... В противен случай заместването на стойностите на тези променливи в оригиналния израз ще доведе до числов израз, който няма смисъл. Например, ако изберете x \u003d 0 и замените тази стойност в израза 1 / x, тогава ще получите числов израз 1/0, което няма смисъл, тъй като делението на нула не е дефинирано.

Остава само да добавим, че има изрази с променливи, чиито стойности не зависят от стойностите на променливите, включени в тях. Например стойността на израз с променлива x от формата 2 + x - x не зависи от стойността на тази променлива, тя е равна на 2 за всяка избрана стойност на променливата x от обхвата на допустимите й стойности , което в случая е множеството от всички реални числа.

Списък на литературата.

• Математика: учебник. за 5 cl. общо образование. институции / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбург. - 21-во издание, Изтрито. - М.: Мнемозина, 2007. - 280 с.: Ил. ISBN 5-346-00699-0.
• Алгебра: проучване. за 7 cl. общо образование. институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковски. - 17-то изд. - М .: Образование, 2008. - 240 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Алгебра: проучване. за 8 cl. общо образование. институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М .: Образование, 2008. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Числови и алгебрични изрази. Преобразуване на изрази.

Какво е израз в математиката? Защо се нуждаете от преобразуване на изрази?

Въпросът, както се казва, е интересен ... Факт е, че тези понятия са в основата на цялата математика. Цялата математика се състои от изрази и техните трансформации. Не е много ясно? Нека обясня.

Да кажем, че имате зъл пример пред себе си. Много голям и много сложен. Да кажем, че сте силни в математиката и не се страхувате от нищо! Можете ли да дадете отговор веднага?

Ще трябва решаване този пример. Последователно, стъпка по стъпка, този пример опростявам... Според определени правила, разбира се. Тези. направи преобразуване на изрази... Колко си успешен с тези трансформации е колко силен си в математиката. Ако не знаете как да правите правилни трансформации, по математика не можете да го направите нищо...

За да избегнете такова неудобно бъдеще (или настояще ...), не боли да разберете тази тема.)

Първо, нека да разберем какво е израз в математиката... Какво числов израз и какво е алгебричен израз.

Какво е израз в математиката?

Израз в математиката е много широко понятие. Почти всичко, с което се занимаваме по математика, е колекция от математически изрази. Всякакви примери, формули, дроби, уравнения и така нататък - всичко това се състои математически изрази.

3 + 2 е математически израз. s 2 - d 2 е и математически израз. И голяма дроб, и дори едно число - всичко това са математически изрази. Уравнението например е по следния начин:

5x + 2 \u003d 12

се състои от два математически израза, свързани с знак за равенство. Единият израз е вляво, а другият вдясно.

IN общ изглед термин " математически израз"Използва се, най-често, за да не муу. Те ще ви попитат какво е обикновена фракция например? И как да отговорите?!

Първият отговор е: „Това ... хммм ... такова нещо ... в което ... Мога ли да напиша дроб по-добре? Коя за вас? "

Вторият отговор е: " Честа фракция - това (весело и радостно!) математически израз , който се състои от числител и знаменател! "

Вторият вариант по някакъв начин ще бъде по-впечатляващ, нали?)

За тази цел фразата " математически израз "е много добро. И правилно, и твърдо. Но за практическо приложение трябва да си добър в специфични видове изрази в математиката .

Конкретният вид е друг въпрос. то съвсем друг въпрос! Всеки вид математически израз има вашият набор от правила и техники, които трябва да се използват при решаване. За работа с фракции - един комплект. За работа с тригонометрични изрази - втората. За работа с логаритми - третият. И т.н. Някъде тези правила съвпадат, някъде те рязко се различават. Но не се плашете от тези ужасни думи. Ще овладеем логаритми, тригонометрия и други загадъчни неща в съответните раздели.

Тук ще овладеем (или - ще повторим, както всеки ...) два основни типа математически изрази. Числови изрази и алгебрични изрази.

Числови изрази.

Какво числов израз? Това е много проста концепция. Самото име подсказва, че това е израз с цифри. Така е. Математически израз, съставен от числа, скоби и аритметични знаци, се нарича цифров израз.

7-3 е цифров израз.

(8 + 3.2) 5.4 също е числов израз.

И това чудовище:

също цифров израз, да ...

Обикновено число, дроб, всеки пример за изчисление без х и други букви - всичко това са числови изрази.

Основната характеристика числови изрази - в него без букви... Нито един. Само цифри и икони по математика (ако е необходимо). Това е просто, нали?

И какво можете да направите с числови изрази? Обикновено могат да се четат числови изрази. За да направите това, се случва, трябва да отворите скоби, да промените знаците, да намалите, да смените местата на термините - т.е. направи преобразувания на изрази... Но повече за това по-долу.

Тук ще се справим с такъв смешен случай, когато е с числов израз нищо за правене.Е, изобщо нищо! Тази приятна операция - нищо за правене) - изпълнява се, когато изразът няма смисъл.

Кога цифровият израз е безсмислен?

Ясно е, ако видим пред себе си някакъв тарикат, като

тогава няма да направим нищо. Тъй като не е ясно какво да правя с това. Някакви глупости. Освен ако не преброите броя на знаците плюс ...

Но има външно съвсем прилични изрази. Например това:

(2 + 3): (16 - 2 8)

Този израз обаче също е няма смисъл! По простата причина, че във вторите скоби - ако броите - се оказва нула. И не можете да разделите на нула! Това е забранена операция по математика. Следователно не е нужно да правите нищо и с този израз. За всяка задача с такъв израз отговорът винаги ще бъде един и същ: „Изразът няма смисъл!“

За да дам такъв отговор, разбира се, трябваше да изчисля какво ще има в скобите. И понякога в скоби толкова фантазия ... Е, нищо не можете да направите.

В математиката няма толкова много забранени операции. В тази тема има само едно. Деление на нула. Допълнителни забрани, произтичащи от корени и логаритми, са обсъдени в свързаните теми.

И така, идея за това какво е числов израз - има. Концепция числовият израз няма смисъл - осъзнах. Да вървим по-нататък.

Алгебрични изрази.

Ако в цифров израз се появят букви, този израз става ... Изразът става ... Да! Става алгебричен израз... Например:

5а 2; 3x-2y; 3 (z-2); 3,4 m / n; х 2 + 4х-4; (a + b) 2; ...

Такива изрази също се наричат буквени изрази. Или изрази с променливи. Те са практически едно и също нещо. Израз 5а + в, например - както буквален, така и алгебричен, и израз с променливи.

Концепция алгебричен израз - по-широко от числово. То включва и всички числови изрази. Тези. числовият израз също е алгебричен израз, само без букви. Всяка херинга е риба, но не всяка риба е херинга ...)

Защо писмо - разбираемо. Е, тъй като има букви ... Фраза израз на променлива също не много озадачаващо. Ако разбирате, че цифрите се крият под буквите. Всякакви цифри могат да бъдат скрити под буквите ... И 5, и -18, и каквото и да било. Т.е. писмото може да бъде замени На различни числа... Следователно буквите се наричат променливи.

В израза y + 5, напр. в - променлива... Или просто казват " променлива ", без думата "величина". За разлика от петте, което е постоянна стойност. Или просто - постоянна.

Срок алгебричен израз означава, че трябва да използвате закони и разпоредби, за да работите с този израз алгебри... Ако аритметика работи с конкретни числа, тогава алгебра - с всички номера наведнъж. Един прост пример за пояснение.

В аритметика можем да го напишем

Но ако напишем такова равенство чрез алгебрични изрази:

a + b \u003d b + a

ще решим веднага всичко въпроси. За всички числа удар. За безкрайно количество. Защото под буквите и и б подразбира се всичко числа. И не само числа, но дори и други математически изрази. Ето как работи алгебрата.

Кога алгебричният израз няма смисъл?

Всичко е ясно за числовия израз. Там не можете да разделите на нула. И с писма, как можете да разберете на какво се разделяме?!

Вземете този израз на променлива като пример:

2: (и - 5)

Има ли смисъл? Кой знае? и - произволен номер ...

Всичко каквото и да било ... Но има едно значение икъдето този израз точно няма смисъл! И какво е това число? Да! Това е 5! Ако променливата и замени (да речем - "заместител") за числото 5, в скоби ще се получи нула. Които не могат да бъдат разделени. Така се оказва, че нашият израз няма смисъл, ако a \u003d 5... Но с други значения и има ли смисъл? Мога ли да заменя други числа?

Разбира се. Просто в такива случаи те казват, че изразът

2: (и - 5)

има смисъл за всяка стойност и, с изключение на a \u003d 5 .

Целият набор от числа, които мога заместител в даден израз се нарича диапазон от валидни стойности този израз.

Както можете да видите, няма нищо сложно. Разглеждаме израз с променливи, но мислим: при каква стойност на променливата се оказва забранената операция (разделяне на нула)?

И тогава не забравяйте да разгледате въпроса за задачата. Какво питат те?

няма смисъл, нашето забранено значение ще бъде отговорът.

Ако се попита каква стойност на променлива изразът има значението (усетете разликата!), отговорът е всички останали числас изключение на забраненото.

Защо се нуждаем от значението на израза? Ето го, той не е ... Каква е разликата ?! Факт е, че тази концепция става много важна в гимназията. Изключително важно! Това е основата за солидни концепции като диапазон от стойности или домейн на функция. Без него изобщо няма да можете да решите сериозни уравнения или неравенства. Като този.

Преобразуване на изрази. Идентични трансформации.

Запознахме се с числови и алгебрични изрази. Разбрахме какво означава фразата „изразът няма смисъл“. Сега трябва да разберем какво е трансформация на изрази. Отговорът е позорно прост.) Това е всяко действие с израз. И това е всичко. Направихте тези трансформации от първия клас.

Да вземем хладното числово изражение 3 + 5. Как може да се преобразува? Това е много просто! Изчисли:

Това изчисление ще бъде преобразуването на израза. Можете да напишете един и същ израз по различен начин:

Тук изобщо не сме броили нищо. Просто записах израза в различна форма. Това също ще бъде трансформацията на израза. Може да се напише така:

И това също е преобразуване на израз. Можете да правите толкова трансформации, колкото искате.

Всякакви действие върху изразяването, всякакви записването му в друга форма се нарича трансформация на израза. И всички случаи. Всичко е много просто. Но тук има едно нещо много важно правило. Толкова важно, че може безопасно да се извика основното правило цялата математика. Нарушаване на това правило неизбежно води до грешки. Навлизаме ли дълбоко?)

Да предположим, че трансформираме нашия израз случайно, по следния начин:

Преобразуване? Разбира се. Написахме израза под различна форма, какво не е наред тук?

Не е така.) Въпросът е, че трансформациите "във всеки случай" математиката изобщо не се интересува.) Цялата математика е изградена върху трансформации, при които се променя външен вид, но същността на израза не се променя. Три плюс пет могат да бъдат написани под каквато форма искате, но трябва да са осем.

Трансформации, безсмислени изрази са наречени идентични.

Точно идентични трансформации и ни позволявайте стъпка по стъпка да превърнем сложния пример в прост израз, като същевременно запазим същността на примера. Ако допуснем грешка във веригата от трансформации, ние правим НЕ идентична трансформация, тогава ще решим други пример. С други отговори, които не са от значение за правилните.)

Това е основното правило за решаване на всякакви задачи: съответствие с идентичността на трансформациите.

Примерът с числовия израз 3 + 5 дадох за яснота. В алгебричните изрази идентичните трансформации се дават чрез формули и правила. Да кажем, че има формула в алгебра:

a (b + c) \u003d ab + ac

Това означава, че във всеки пример можем вместо израза a (b + c) не се колебайте да напишете израз ab + ac... И обратно. то идентична трансформация. Математиката ни дава избор между тези два израза. И кой да напиша - от конкретен пример Зависи.

Друг пример. Едно от най-важните и необходими преобразувания е основното свойство на фракцията. Повече подробности можете да намерите на връзката, но тук само ще напомня правилото: ако числителят и знаменателят на фракцията се умножат (разделят) по едно и също число или израз, който не е равен на нула, фракцията няма да се промени. Ето пример за идентични трансформации за това свойство:

Както вероятно се досещате, тази верига може да продължи безкрайно ...) Много важно свойство. Това е, което ви позволява да превърнете всякакви чудовища-примери в бели и пухкави.)

Има много формули, указващи идентични трансформации. Но най-важните са съвсем разумна сума. Една от основните трансформации е факторизацията. Използва се във всяка математика, от начална до напреднала. Да започнем с него. В следващия урок.)

Ако този сайт ви харесва ...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете нивото си. Тестване с незабавна проверка. Учене - с интерес!)

можете да се запознаете с функции и производни.